文档文本内容
顺义区 2023 届高三第一次统练
数学试卷
考生须知：
1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共 10道小题，共40分，第二部分共 11道小题，共
110分，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由集合的交集运算得出答案.
【详解】 ， ，
，
故选：C.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为复数 对应的点的坐标为 ，则
所以故选:A
3. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式 的通项公式求出展开式的通项，令 的指数为 求出 ，将 的值代入通项求
出展开式的常数项．
【详解】解：二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式的常数项为 .
故选：D
4. 若等差数列 和等比数列 满足 ，则 的公差为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为
，又
又
，
故选：A5. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析给定函数 的奇偶性、单调性即可判断作答.
【详解】函数 定义域为R， ，函数 是R上的
奇函数，
函数 的图象关于y轴对称，选项A，D不满足；
因为函数 在R上单调递增， 在R上单调递减，则函数 在R上单调递增，选项C不满足，
B满足.
故选：B
6. 若双曲线 的离心率为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.【详解】 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
7. 已知 ， ，则“存在 使得 ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.
【详解】若存在 使得 ，
则 ，
∴ ，即 ，
∴存在 使得 ，
∴“存在 使得 ”是“ ”的充分条件；
当 时， ，此时
∴ 存在 使得 ，
∴“存在 使得 ”不是“ ”的必要条件.
综上所述，“存在 使得 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口． 于 年提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经
验公式： ，其中 为 常数．为测算某蓄电池的 常数 ，在电池容量不变的条件
下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 ．若计算时取
，则该蓄电池的 常数 大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出 ，可得出 ，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的
运算法则计算可得 的近似值.
【详解】由题意可得 ，所以， ，所以， ，
所以， .
故选：B.
9. 在棱长为 1 的正方体 中，动点 P 在棱 上，动点 Q 在线段 上、若
，则三棱锥 的体积（ ）
A. 与 无关，与 有关 B. 与 有关，与 无关
C. 与 都有关 D. 与 都无关
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得出 平面 ，所以点 到平面 的距离也即 到平面的距离，得到点 到平面 的距离为定值，而底面 的面积也是定值，并补随 的变
化而变化，进而得到答案.
【详解】因为 为正方体，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离也即 到平面 的距离，也即点 到平面 的距离不随
的变化而变化，设点 到平面 的距离为 ，过点 作 ，根据正方体的特征可知：
平面 ，因为 平面 ，所以 ， ，所以 平面
，则有 ，
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以点 到 的距离也即 到 的距离，且距离为1，所以 （定值），
所以 （定值），
则三棱锥 的体积不随 与 的变化而变化，也即与与 都无关.
故选： .
10. 已知点A，B在圆 上，且 ，P为圆 上任意一点，则 的最小值为（）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可设 ， ，然后根据向量数量积的坐标表示及三
角函数的性质即得.
【详解】因为点A，B在圆 上，且 ，P为圆 上任意一点，
则 ，设 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 的最小值为
故选：D.
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域为______________．【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】因为函数
则 ，解得 且
所以函数的定义域为
故答案为:
12. 已知圆 ，点A、B在圆M上，且 为 的中点，则直线 的方程为
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得到 ，根据两直线垂直时斜率的关系得到 ，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】 可整理为 ，
所以圆心为 ，根据垂径定理可得 ， ，
所以 ，直线AB的方程为 整理得 .
故答案为:
13. 若存在 使得 ，则m可取的一个值为_____________．
【答案】 （ 内的任一值均可）
【解析】【分析】根据题意可知：函数 有零点，则 ，解之即可，在所得到的范
围内任取一个值即可求解.
【详解】因为存在 使得 ，
也即函数 有零点，则有 ，解得： ，
所以 可取 内的任意一个值，取 ，
故答案为： .（ 内的任一值均可）
14. 在 中， ， ， ，则 ___________， _____________．
.
【答案】 ① ## ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理化简可得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值；利用余弦定理可得
出关于 的等式，结合 可得出 的值.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 ，则 ，所以， ，则 ，故 ，
由余弦定理可得 ，即 ， ，解得 .
故答案为： ； .
15. 如果函数 满足对任意s， ，有 ，则称 为优函数．给出下列
四个结论：
① 为优函数；
②若 为优函数，则 ；
③若 为优函数，则 在 上单调递增；④若 在 上单调递减，则 为优函数．
其中，所有正确结论的序号是______________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①计算出 ，故 ，得到
①正确；
②赋值法得到 ， ，依次类推得到 ；
③举出反例；
④由 在 上单调递减，得到 ，整理变形后相加得到
，即 ，④正确.
【详解】因为 ，
所以
，
故 ，故 是优函数，①正确；
因为 为优函数，故 ，即 ，
，故 ，
同理可得 ，……， ，②正确；
例如 ，满足 ，
即 ，为优函数，但 在 上单调递减，故③错误；
若 在 上单调递减，
任取 ， ，
则 ，即 ，
变形为 ，
两式相加得： ，
因为 ，所以 ，
则 为优函数，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 的一个零点为 ．
（1）求A和函数 的最小正周期；
（2）当 时，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】【分析】（1）解方程 即可求 ，然后把函数 降幂，辅助角公式后再求周期.
（2）若 恒成立，即求 .
【小问1详解】
的一个零点为
，即 ，
所以函数 的最小正周期为 .
【小问2详解】
当 时有最大值，即 .
若 恒成立，即 ,
所以 ，故 的取值范围为 .
17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的
患者的康复时间，经整理得到如下数据：
只服用药物 只服用药物
康复时间
A B
7天内康复 360人 160人
8至14天康复 228人 200人14 天内未康
12人 40人
复
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复
的人数，求X的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“ ”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的
概率，其中 ．当 最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为1
（3）2
【解析】
【分析】（1）结合表格中数据求出概率；
（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，
得到分布列和期望；
（3）求出只服用药物 A 的患者中，14 天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到
，列出不等式组，求出 ，结合 得到答案.
【小问1详解】
只服用药物A的人数为 人，且能在14天内康复的人数有 人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为 ；
【小问2详解】
只服用药物A的患者7天内康复的概率为 ，只服用药物B的患者7天内康复的概率为 ，
其中X的可能取值为 ，
， ，
，
则分布列为：
0 1 2
数学期望为 ；
【小问3详解】
只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为 ，
，
令 ，即 ，
解得： ，因 ，所以 .
为
18. 如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形， ，，E是 的中点．
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）已知，点M在棱 上，且二面角 的大小为 ，再从条件①、条件②这两个条件中
选择一个作为已知，求 的值．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空
间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.
【小问1详解】
取PA中点F，连接 ，
因为E是 的中点，F是PA中点，
所以 是中位线，
所以 平行且等于AD的一半，
因为 ，
所以 平行于 ，
又 ，
所以 与 平行且相等，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE平行于BF，
而 平面 ，
平面 ，
所以直线 ∥平面 .
【小问2详解】
若选①：平面 平面 ，
取AD中点O，
因为侧面 为等边三角形，
所以 平面 ，
易证 平面 ，以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
， ,
所以 ,
所以 ，
所以
所以 ，
所以 , ,
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
令 ，
解得 ，
所以 ，
易知地面一个法向量为 ，
又二面角 的大小为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
又点M在棱 上，所以 ，
所以 ，
所以 的值为 .
若选②：
则取AD中点O，
因为侧面 为等边三角形，
所以 平面 ，
连接OA,OC,OD，
易知 ，
所以 ，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
， ,
所以 ,
所以 ，所以
所以 ，
所以 , ,
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以 ，
易知地面一个法向量为 ，
又二面角 的大小为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
又点M在棱 上，所以 ，
所以 ，
所以 的值为 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；的
（2）求函数 单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)当 时，求出函数 的导函数 ，利用导数的几何意义求出 处的切线的斜率，
利用点斜式求出切线方程；
(2)对a进行分类讨论，由此求得 的单调区间．
【小问1详解】
当 时， ，
所以
又因为 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，即
【小问2详解】
由题意知， 的定义域为R
①当 时， ，则当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，由 得 或 ，
（i）若 ，则 ，所以 在R上单调递增，
（ii）若 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，（iii）若 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上所述，当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 和 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 和 ．
20. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以 为邻边的平行四
边形 的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形 的面积是定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得关于 ， ， 的方程组，求得 ， 的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形 是平
行四边形，可得 点坐标，把 点坐标代入椭圆方程，得到 ，利用弦长公式求得 ，再由
点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形 的面积为定值．
【小问1详解】
由题意，可得 ，解得 ， ， ，
所以椭圆为 .
【小问2详解】
证明：把 代入椭圆方程 ，
得 ，
所以 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 点坐标为 .
又因为点 在椭圆上，
所以 ，即 .因为 ，
即 .
又点 到直线 的距离 ，
所以平行四边形 的面积
，
即平行四边形 的面积为定值.
21. 已知 为正整数数列，满足 ．记 ．定义A的伴随数列
如下：
① ；
② ，其中 ．
的
（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应 伴随数列 ；
（2）当 时，若 ，求证： ；
（3）当 时，若 ，求证： ．
【答案】（1） ；
（2）见解析； （3）见解析.
【解析】
【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；
（2）讨论 ， 两种情况，利用反证法即可求解；（3）讨论 ， 两种情况，当 时，由（2）的结论， 中至少有两个1，利用反证
法可得 ，根据 的定义即可证明.
【小问1详解】
因为数列A：4，3，2，1， ，
所以 .
因为 ，
所以 ， ， ，
， .
故数列A的伴随数列为 .
【小问2详解】
当 时， ，显然有 ；
当 时，只要证明 .
用反证法，假设 ，
则 ，从而 ，矛盾.
所以 .
再根据 为正整数，可知 .
故当 时， .
【小问3详解】
当 时， ，有 ，此时 ，命题成立；
当 时，由（2）的结论， 中至少有两个1，现假设 中共有 个1，即
则 .
因为若 ，则 ，矛盾.
所以 .
根据 的定义可知， ， ，
，
以此类推可知一直有 ，再由后面 ，可知 ；
另一方面 与 奇偶性相同，所以 .
【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解,注意反证法的运用.
