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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学 2023．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设 ，若 ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 已知点 ， ．若直线 上存在点P，使得 ，则实数k的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 过双曲线 的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若
（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 或2
7. 在长方体 中， 与平面 相交于点M，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型
是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上有3个零点
9. 如图，圆M为 的外接圆， ， ，N为边BC的中点，则 （ ）
A. 5 B. 10 C. 13 D. 26
10. 已 知 项 数 为 的 等 差 数 列 满 足 ， ． 若
，则k的最大值是（ ）
.
A 14 B. 15 C. 16 D. 17
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若复数 ，则 ________.
12. 函数 的值域为________．
13. 经过抛物线 的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若 ，则 （O为坐标原
点）的面积为______．
在
14. 中， ， ， ．
（1）若 ，则 ________；
（2）当 ________（写出一个可能的值）时，满足条件的 有两个．
15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗
时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效
果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何
一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则红方获得战斗演习胜利；④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
的
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ABC，D，E 分别为 AC， 中点，
， ．
（1）求证： 平面BDE；
的
（2）求直线DE与平面ABE所成角 正弦值；
（3）求点D到平面ABE的距离．
17. 设函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择两个作为已知，使得 存在．
（1）求函数 的解析式；
（2）求 在区间 上 的最大值和最小值．
条件①： ；
条件②： 的最大值为 ；条件③： 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示
这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望 ；
（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为 ；从该地区高
一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为 ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学
生获奖的概率为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
19. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 对 恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 ．
20. 已知椭圆 经过点 ．
（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）设椭圆E的左顶点为A，直线 与E相交于M，N两点，直线AM与直线 相交于点
Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知有穷数列 满足 ．给定正整数m，若
存在正整数s， ，使得对任意的 ，都有 ，则称数列A是 连续
等项数列．
（1）判断数列 是否为 连续等项数列？是否为 连续等项数列？说明理由；
（2）若项数为N的任意数列A都是 连续等项数列，求N的最小值；
（3）若数列 不是 连续等项数列，而数列 ，数列
与数列 都是 连续等项数列，且 ，求 的值．
