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专题40 带电粒子在电场运动（二）
三、解答题
46．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固
定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，
油滴a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板
为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大
小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
47．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t。
48．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形
区域内存
在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，
边长为
，
边长为
，质量为m、电荷量为
的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为
，入
射角为
，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
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（1）当
时，若粒子能从
边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当
时，若粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，求入射角
的范围；
（3）当
，粒子在
为
范围内均匀射入电场，求从
边出射的粒子与入射粒子的数量
之比
。
49．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度
大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹
角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
50．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923 年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d 的足够大金属极板，上极板中央
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有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于
同一竖直线上的球形小油滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板
接正极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
51．（2021·福建·统考高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O 点的距离均为
，
O 为水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q
（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位
置x 的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，一段时
间后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。图中g 为重力加速度
大小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求碰撞前
的动量大小。
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（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动能须满足什么条件？
52．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S 点释放一初速度为0、质
量为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过
N。不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
53．（2020·天津·统考高考真题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原
理如图所示，从离子源A 处飘出的离子初速度不计，经电压为U 的匀强电场加速后射入质量分析器。质量
分析器由两个反射区和长为l 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2 均未加电场，当离子第一次
进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进
入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2 时，撤去反射区的
电场，离子打在荧光屏B 上被探测到，可测得离子从A 到B 的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为
q，不计离子重力。
（1）求质量为m 的离子第一次通过漂移管所用的时间
；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为
的离子总飞行时间为
，待测离子的总飞行时间为
，两种离子在质量分析器中反射
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相同次数，求待测离子质量
。
54．（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O 为圆心，半径为R 的
圆，AB 为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的
速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率
v0穿出电场，AC 与AB 的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
55．（2019·天津·高考真题）2018 年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃
料，也无污染物排放．引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极
、
之间的匀强电场（初速度忽略不计），
、
间电压为
，使正离子加速形成离子束，在加速过程
中引擎获得恒定的推力．单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为
，电荷量为
，其中
是
正整数，是元电荷．
（1）若引擎获得的推力为
，求单位时间内飘入
、
间的正离子数目
为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率
不同时，引擎获得的推力
也不同，试推导
的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使
尽量大，请提出增大
的三条建议．
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57．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的
金属网G，PQG 的尺寸相同。G 接地，P、Q 的电势均为
（
>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒
子自G 的左端上方距离G 为h 的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
58．（2015·福建·高考真题）如图，绝缘粗糙的竖直平面
左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁
场，电场方向水平向右，电场强度大小为
，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
．一质量为
、
电荷量为
的带正电的小滑块从
点由静止开始沿
下滑，到达
点时离开
做曲线运动．
、
两
点间距离为，重力加速度为
．
（1）求小滑块运动到
点时的速度大小
；
（2）求小滑块从
点运动到
点过程中克服摩擦力做的功
；
（3）若
点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到
点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的
点．已知小滑块在
点时的速度大小为
，从
点
运动到
点的时间为，求小滑块运动到
点时速度的大小
.
59．（2015·安徽·高考真题）在xOy 平面内，有沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E（图中未画出），
由A 点斜射出一质量为m，带电荷量为+q 的粒子，B 和C 是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为
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常数，粒子所受重力忽略不计，求：
（1）粒子从A 到C 过程中电场力对它做的功；
（2）粒子从A 到C 过程所经历的时间；
（3）粒子经过C 点时的速率。
60．（2014·安徽·高考真题）如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间的距离为d，
上板正中有一小孔．质量为m、电荷量为+q 的小球从小孔正上方高h 处由静止开始下落，穿过小孔到达下
极板处速度恰为零（空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g）．求：
（1）小球到达小孔处的速度；
（2）极板间电场强度的大小和电容器所带电荷量；
（3）小球从开始下落运动到下极板处的时间．
61．（2014·全国·高考真题）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xy 平面）向
外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向．在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v0的速
度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在（d，0）点沿垂直于x 轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离
开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求：
（1）电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
（2）该粒子在电场中运动的时间．
63．（2018·浙江·高考真题）如图所示，AMB 是一条长L=10m 的绝缘水平轨道，固定在离水平地面高
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h=1.25m 处，A、B 为端点，M 为中点，轨道MB 处在方向竖直向上，大小E=5×103N/C 的匀强电场中，一
质量m=0.1kg，电荷量q=+1.3×10-4C 的可视为质点的滑块以初速度v0=6m/s 在轨道上自A 点开始向右运动，
经M 点进入电场，从B 点离开电场，已知滑块与轨道间动摩擦因数μ=0.2，求滑块
（1）到达M 点时的速度大小
（2）从M 点运动到B 点所用的时间
（3）落地点距B 点的水平距离
64．（2017·全国·高考真题）真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上
做匀速直线运动，速度大小为v0 ， 在油滴处于位置A 时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其
方向不变．持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运
动到B 点．重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B 点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条
件．已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A 两点间距离的两倍。
65．（2017·全国·高考真题）如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的
匀强电场。自该区域上方的A 点将质量为m、电荷量分别为q 和–q（q>0）的带电小球M、N 先后以相同
的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N
离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N 刚离开电场时的动能
的1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M 与N 在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A 点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
66．（2016·四川·高考真题）如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、
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Ⅱ两区域．区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有
固定在水平地面上高h＝2l、倾角α＝
的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s＝4l，区域Ⅱ可加竖
直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C 点在DD′上，距地面高H＝3l．零时刻，质量为m、带电荷
量为q 的小球P 在K 点具有大小
、方向与水平面夹角θ＝
的速度，在区域Ⅰ内做半径
的
匀速圆周运动，经C 点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚
运动到斜面的小球P 相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响．l 已知，
g 为重力加速度．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)若小球A、P 在斜面底端相遇，求释放小球A 的时刻tA；
(3)若小球A、P 在时刻t＝β
(β 为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨
论场强E 的极大值和极小值及相应的方向．
67．（2016·四川·高考真题）中国科学家2015 年10 月宣布中国将在2020 年开始建造世界上最大的粒子加
速器．加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．如
图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电
源的两极．质子从K 点沿轴线进入加速器并依此向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移
管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B 时速度为8×106m/s，进入漂移管E 时速度为
1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的
．质子
的荷质比取1×108C/kg．求：
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（1）漂移管B 的长度；
（2）相邻漂移管间的加速电压．
68．（2016·北京·高考真题）如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏
转电场，并从另一侧射出。已知电子质量为
，电荷量为，加速电场电压为
。偏转电场可看作匀强电
场，极板间电压为
，极板长度为
，板间距为
。
（1）忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度
和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离
；
（2）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决（1）问时忽略了电子所受重力，请利用
下列数据分析说明其原因。已知
，
，
，
，
。
（3）极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势
的定义式。类比电
势的定义方法，在重力场中建立“重力势”
的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。
69．（2015·四川·高考真题）如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB 固定在水平桌面上，B 端与桌面边缘对齐，
A 是轨道上一点，过A 点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的匀强电场．
带负电的小物体P 电荷量是2.0×10－6C，质量m＝0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P 从O 点由静止开
始向右运动，经过0.55s 到达A 点，到达B 点时速度是5m/s，到达空间D 点时速度与竖直方向的夹角为
α，且tanα＝1.2。P 在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F 作用，F 大小与P 的速率v 的关系如表
所示．P 视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
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（1）小物体P 从开始运动至速率为2m/s 所用的时间；
（2）小物体P 从A 运动至D 的过程，电场力做的功。
70．（2015·北京·高考真题）真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示，光照前两板都
不带电，以光照射A 板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出的电子都垂直于A 板向B
板运动，忽略电子之间的相互作用，保持光照条件不变，a 和b 为接线柱。已知单位时间内从A 板逸出的
电子数为N，电子逸出时的最大动能为
，元电荷为e。
（1）求A 板和B 板之间的最大电势差
，以及将a，b 短接时回路中的电流
。
（2）图示装置可看作直流电源，求其电动势E 和内阻r。
（3）在a 和b 之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U，外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间
内到达B 板的电子，在从A 板运动到B 板的过程中损失的动能之和设为
，请推导证明：
。（注
意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）
71．（2014·上海·统考高考真题）如图，一对平行金属板水平放置，板间距为d，上极板始终接地．长度为
、质量均匀的绝缘杆，上端可绕上板中央的固定轴0 在竖直平面内转动，下端固定一带正电的轻质小球，
其电荷量为q．当两板间电压为U1时，杆静止在与竖直方向
夹角
的位置；若两金属板在竖直平
面内同时绕O、O′顺时针旋转
至图中虚线位置时，为使杆仍在原位置静止，需改变两板间电压．假
定两板间始终为匀强电场．求:
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（1）绝缘杆所受的重力G；
（2）两板旋转后板间电压U2．
（3）在求前后两种情况中带电小球的电势能W1与W2时，某同学认为由于在两板旋转过程中带电小球位置
未变，电场力不做功，因此带电小球的电势能不变．你若认为该同学的结论正确，计算该电势能；你若认
为该同学的结论错误，说明理由并求W1与W2．
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