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专题 40 带电粒子在电场运动（二）
三、解答题
46．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固
定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，
油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v、 ；两板间加上电压后（上板
0
为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大
小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1
【解析】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，可知油滴a做减速运动，
油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得
其中
对b由受力平衡可得
其中
联立解得
47．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动 距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前 距离做匀加速直线运动，后 距离做匀速运动，设用时分别为t、t，有
1 2
，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
48．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形 区域内存
在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化， 边长为
， 边长为 ，质量为m、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入
射角为 ，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，求入射角 的范围；（3）当 ，粒子在 为 范围内均匀射入电场，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量
之比 。
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【解析】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，
速度分解如图所示
粒子在水平方向的速度为
根据 可知
解得
（2）粒子进入电场时的初动能
粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得
粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，则要求解得
所以入射角的范围为
或
（3）设粒子入射角为 时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，
在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度
运动时间为
粒子在沿电场方向，反复做加速相同的减速运动，加速运动，则
则
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为 ，则且
代入数据化简可得
即
解得
（舍去）或
解得
则从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比
49．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度
大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴夹
角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
50．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、位于
同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极板
接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离
，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1） ；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量 ，电势能的变化
量 ；（3）见解析
【解析】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电
场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为 ，新油滴所受电场力
若 ，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；
若 ，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
51．（2021·福建·统考高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为 ，
O为水平连线 的中点，M、N在 连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（ ）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位
置x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（ ）的小球 以一定初动能从M点竖直下落，一段时
间后经过N点，其在 段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度
大小，k为静电力常量。
（1）求小球 在M点所受电场力大小。
（2）当小球 运动到N点时，恰与一沿x轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞。已知 与
的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短。求碰撞前 的动量大小。
（3）现将 固定在N点，为保证 能运动到N点与之相碰， 从M点下落时的初动能须满足什么条件？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设A到M点的距离为 ，A点的电荷对小球 的库仑力大小为 ，由库仑定律有
①
设小球 在 点所受电场力大小为 ，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
③（2）设O点下方 处为 点， 与 的距离为 ，小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律和
力的合成有
④
式中
设小球 的质量为 ，小球 在 点的加速度大小为 ，由牛顿第二定律有
⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 ， ， 碰撞前、后的速度分别为 ， ，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
⑦
⑧
设小球S 碰撞前的动量为 ，由动量的定义有
2
⑨
依题意有
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得⑩
即碰撞前 的动量大小为 。
（3）设O点上方 处为D点。根据图（c）和对称性可知， 在D点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上， 在此处加速度为0； 在D点上方做减速运动，在D点下方做加速运动，为保证
能运动到N点与 相碰， 运动到D点时的速度必须大于零。
设M点与D点电势差为 ，由电势差定义有
⑪
设小球 初动能为 ，运动到D点的动能为 ，由动能定理有
⑫
⑬
由对称性，D点与C点电势相等，M点与N点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥ 式可得
⑪⑫⑬
⑭
52．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质
量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过
N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能 。
【答案】（1） ；（2） ，方向垂直导体板向下；（3）
【解析】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
53．（2020·天津·统考高考真题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原
理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量
分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次
进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进
入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的
电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为
q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间 ；（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ，待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射
相同次数，求待测离子质量 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有
①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则
②
联立①②式，得
③
（2）根据动能定理，有
④
得 ⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，
设其为 ，有
⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为 ，在无场区的总路程设为 ，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子
的总飞行时间为 。有
⑦
联立①⑥⑦式，得
⑧
可见，离子从A到B的总飞行时间与 成正比。由题意可得
可得
⑨
54．（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的
圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的
速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率
v 穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
0
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv，该粒子进入电场时的速度应为多大？
0
【答案】（1） ；（2） ；（3）0或
【解析】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知
所以根据动能定理有
解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点
为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv，即在电场方向上速度变
0
化为v，过C点做AC垂线会与圆周交于B点
0
故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有
电场力提供加速度联立解得
当粒子从C点射出时初速度为0，粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速率
应为 或 。
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为 ，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场
方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为 ，由几何关系
及运动学规律可得，此时入射速率为
55．（2019·天津·高考真题）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃
料，也无污染物排放．引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极
、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）， 、 间电压为 ，使正离子加速形成离子束，在加速过程
中引擎获得恒定的推力．单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为 ，电荷量为 ，其中 是
正整数， 是元电荷．
（1）若引擎获得的推力为 ，求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时，引擎获得的推力 也不同，试推导 的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使 尽量大，请提出增大 的三条建议．
【答案】（1） （2） （3）用质量大的离子；用带电量少的离子；减小加速电
压．【解析】（1）设正离子经过电极 时的速度为 ，根据动能定理，有
①
设正离子束所受的电场力为 ，根据牛顿第三定律，有
②
设引擎在 时间内飘入电极间的正离子个数为 ，由牛顿第二定律，有
③
联立①②③式，且 得
④
（2）设正离子束所受的电场力为 ，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
⑤
考虑到牛顿第三定律得到 ，联立①⑤式得
⑥
（3）为使 尽量大，分析⑥式得到
三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子；减小加速电压．
56．（2019·全国·高考真题）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平
方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B．A不带电，B的电荷量为q（q>0）．A从O点发射
时的速度大小为v，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为 ．重力加速度为g，求
0
（1）电场强度的大小；
（2）B运动到P点时的动能．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a．根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，
有mg+qE=ma①
②
解得
③
（2）设B从O点发射时的速度为v，到达P点时的动能为E，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有
1 k
④
且有
⑤
⑥
联立③④⑤⑥式得
⑦
57．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的
金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为 （ >0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒
子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v 平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
0
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【答案】（1） ； （2）
【解析】（1）PG、QG间场强大小相等，均为E，粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的
加速度大小为a，有
①
F=qE=ma②设粒子第一次到达G时动能为E，由动能定理有
k
③
设粒子第一次到达G时所用时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有
④
l=vt⑤
0
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦
（2）设粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此时金属板的长度L
为 ⑧
58．（2015·福建·高考真题）如图，绝缘粗糙的竖直平面 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁
场，电场方向水平向右，电场强度大小为 ，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 ．一质量为 、
电荷量为 的带正电的小滑块从 点由静止开始沿 下滑，到达 点时离开 做曲线运动． 、 两
点间距离为 ，重力加速度为 ．
（1）求小滑块运动到 点时的速度大小 ；
（2）求小滑块从 点运动到 点过程中克服摩擦力做的功 ；
（3）若 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到
点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的 点．已知小滑块在 点时的速度大小为 ，从 点
运动到 点的时间为 ，求小滑块运动到 点时速度的大小 .【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】小滑块到达 点时离开 ，此时与 间的作用力为零，对小滑块受力分析计算此时的速度的
大小；由动能定理直接计算摩擦力做的功 ；撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据分运动计算最后的
合速度的大小。
【解析】（1）由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹
力等于电场力 时滑块离开 开始做曲线运动，即
解得小滑块运动到 点时的速度
（2）从 到 根据动能定理：
解得：
（3）当小滑块速度最大时，所受合外力为零，即滑块在 点的速度 方向与重力、电场力的合力方向垂
直，故撤去磁场后，小滑块将做类平抛运动，设等效重力加速度为 ，则有
且
联立解得：
【点睛】解决本题的关键是分析清楚小滑块的运动过程，在与 分离时，小滑块与 间的作用力为零，
在撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据滑块的不同的运动过程逐步求解即可．
59．（2015·安徽·高考真题）在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E（图中未画出），由A点斜射出一质量为m，带电荷量为+q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l 为
0
常数，粒子所受重力忽略不计，求：
（1）粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
（2）粒子从A到C过程所经历的时间；
（3）粒子经过C点时的速率。
【答案】（1）3qEl；（2） ；（3）
0
【解析】（1）粒子从A到C电场力做功为
W=qE（yA﹣yC）=3qEl
0
（2）根据抛体运动的特点，粒子在x轴方向做匀速直线运动，由对称性可知，轨迹是最高点D在y轴上，
可令
tA=toB=T
0
tBC=T
由
Eq=ma
得：
又
解得
则A到C过程所经历的时间（3）粒子在DC段做类平抛运动，则有
2l=vCx（2T）
0
vcy=a（2T）
解得
60．（2014·安徽·高考真题）如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间的距离为d，
上板正中有一小孔．质量为m、电荷量为+q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下
极板处速度恰为零（空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g）．求：
（1）小球到达小孔处的速度；
（2）极板间电场强度的大小和电容器所带电荷量；
（3）小球从开始下落运动到下极板处的时间．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【解析】（1）小球到达小孔前是自由落体运动，根据速度位移关系公式，有：v2=2gh
解得： ①
（2）对从释放到到达下极板处过程运用动能定理列式，有：mg（h+d）-qEd=0
解得： ②
电容器两极板间的电压为：电容器的带电量为：
（3）加速过程：
mgt =mv…③
1
减速过程，有：
（mg-qE）t=0-mv…④
2
t=t+t…⑤
1 2
联立①②③④⑤解得：
【点睛】本题关键是明确小球的受力情况和运动规律，然后结合动能定理和动量定理列式分析，不难．
61．（2014·全国·高考真题）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xy平面）向
外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向．在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v 的速
0
度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在（d，0）点沿垂直于x轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离
开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
（1）电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
（2）该粒子在电场中运动的时间．
【答案】 （1） ＝ ；（2）t＝
【解析】试题分析：（1）设磁感应强度的大小为B，粒子质量与所带电荷量分别为m和q，粒子进入磁场
后做匀速圆周运动，并设其圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律和向心力公式有：qvB＝ ①
0
由题设条件和图中几何关系可知：r＝d ②
设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向运动的速度大小为v，由牛顿第二定律有：qE＝ma ③
x x
根据运动学公式有：v＝at， ＝d ④
x x由于粒子在电场中做类平抛运动（如图），有：tanθ＝ ⑤
由①②③④⑤式联立解得： ＝
（2）由④⑤式联立解得：t＝
考点：本题主要考查了带电粒子在交替复合场中的运动问题，属于中档题．
62．（2015·全国·高考真题）如图所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子在匀强电场中运动，A、B
为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A点的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B
0
点时速度方向与电场方向的夹角为30°．不计重力．求A、B两点间的电势差．
【答案】
【解析】设带电粒子在B点的速度大小为v ，粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
B
v sin30°=v sin60°
B 0
由此得
设A、B两点间的电热差为U ，由动能定理有：
AB解得
【考点定位】动能定理；带电粒子在电场中运动
【方法技巧】本题主要是动能定理在带电粒子在电场中运动的应用和类平抛运动
63．（2018·浙江·高考真题）如图所示，AMB是一条长L=10m的绝缘水平轨道，固定在离水平地面高
h=1.25m处，A、B为端点，M为中点，轨道MB处在方向竖直向上，大小E=5×103N/C的匀强电场中，一
质量m=0.1kg，电荷量q=+1.3×10-4C的可视为质点的滑块以初速度v=6m/s在轨道上自A点开始向右运动，
0
经M点进入电场，从B点离开电场，已知滑块与轨道间动摩擦因数μ=0.2，求滑块
（1）到达M点时的速度大小
（2）从M点运动到B点所用的时间
（3）落地点距B点的水平距离
【答案】（1）4m/s（2） （3）1.5m
【解析】（1）滑块在AM阶段由摩擦力提供加速度，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式 ，联立解得
（2）进入电场后，受到电场力，F=Eq，
由牛顿第二定律有
根据运动学 公式
由运动学匀变速直线运动规律
联立解得
（3）从B点飞出后，粒子做平抛运动，由 可知
所以水平距离
64．（2017·全国·高考真题）真空中存在电场强度大小为E 的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上
1做匀速直线运动，速度大小为v ， 在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其
0
方向不变．持续一段时间t 后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运
1
动到B点．重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t 和v 应满足的条
1 0
件．已知不存在电场时，油滴以初速度v 做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
0
【答案】(1) ； (2)见解析
【解析】（1）设油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正．油滴在电场强度大小为E 的
1
匀强电场中做匀速直线运动，故匀强电场方向向上．在t=0时，电场强度突然从E 增加至E 时，油滴做竖
1 2
直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小a 满足
1
油滴在时刻t 的速度为
1
电场强度在时刻t 突然反向，油滴做匀变速直线运动，加速度方向向下，大小a 满足
1 2
油滴在时刻t=2t 的速度为
2 1
解得
（2）由题意，在t=0时刻前有
油滴从t=0到时刻t 的位移为
1
油滴在从时刻t 到时刻t=2t 的时间间隔内的位移为
1 2 1由题给条件有
式中h是B、A两点之间的距离
若B点在A点之上，依题意有
解得
为使 ，应有
即当
或
才是可能的
条件分别对应于
和
两种情形
若B在A点之下，依题意有
由以上式子得为使 ，应有
即
另一解为负，不符合题意，已舍去
65．（2017·全国·高考真题）如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的
匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和–q（q>0）的带电小球M、N先后以相同
的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N
离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能
的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
【答案】（1）3：1；（2） ；（3）
【解析】（1）设带电小球M、N抛出的初速度均为v，则它们进入电场时的水平速度仍为v。因为两小球
0 0
从抛出到离开电场，竖直方向做自由落体运动，所以M、N在电场中的运动时间t相等。又因为电场力作
用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，设在电场中沿水平方向的位移分别为s 和s。由运动公式可
1 2
得
v–at=0
0
联立解得（2）设A点距离电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，则
因为M在电场中做匀加速直线运动，则
解得
h=
（3）设电场强度为E，小球M进入电场后做直线运动，则
设M、N离开电场时的动能分别为E 、E ，由动能定理得
k1 k2
由已知条件
E =1.5E
k1 k2
联立解得
66．（2016·四川·高考真题）如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、
Ⅱ两区域．区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有
固定在水平地面上高h＝2l、倾角α＝ 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s＝4l，区域Ⅱ可加竖
直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C点在DD′上，距地面高H＝3l．零时刻，质量为m、带电荷量为q的小球P在K点具有大小 、方向与水平面夹角θ＝ 的速度，在区域Ⅰ内做半径 的
匀速圆周运动，经C点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚
运动到斜面的小球P相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响．l已知，
g为重力加速度．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
(3)若小球A、P在时刻t＝β (β为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨
论场强E的极大值和极小值及相应的方向．
【答案】（1） （2） （3）0， 竖直向上
【解析】试题分析：（1）由题知，小球P在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有 ①
代入数据解得 ②
（2）小球P在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C点的时刻为t ，到达斜面低端时刻为
C
t，有 ③
1
④
小球A释放后沿斜面运动加速度为a ，与小球P在时刻t 相遇于斜面底端，有 ⑤
A 1
⑥联立以上方程可得 ⑦
（3）设所求电场方向向下，在t' 时刻释放小球A，小球P在区域Ⅱ运动加速度为a ，有
A P
⑧
⑨
⑩
联立相关方程解得
对小球P的所有运动情形讨论可得
由此可得场强极小值为 ；场强极大值为 ，方向竖直向上．
考点：平抛运动；圆周运动；牛顿第二定律的应用
【名师点睛】此题是力、电、磁及运动大拼盘，综合考查带电粒子在磁场中及电场中的运动—圆周运动以
及平抛运动和下斜面上的匀加速运动等问题；解题时要能把这些复杂的物理过程分解为一个一个的小过程，
然后各个击破；此题是有一定难度的；考查学生综合分析问题，解决问题的能力．
67．（2016·四川·高考真题）中国科学家2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加
速器．加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．如
图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电
源的两极．质子从K点沿轴线进入加速器并依此向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移
管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为
1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的 ．质子
的荷质比取1×108C/kg．求：（1）漂移管B的长度；
（2）相邻漂移管间的加速电压．
【答案】（1）0．4m（2）
【解析】（1）设质子进入漂移管B的速度为 ，电源频率、周期分别为f、T，漂移管B的长度为L，则
联立并代入数据得
（2）设质子进入漂移管E的速度为 ，相邻漂移管间的加速电压为U，电场对质子所做的功为W，质子
从漂移管B运动到E电场做功W＇，质子的电荷量为q、质量为m，则
联立并代入数据得
68．（2016·北京·高考真题）如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏
转电场，并从另一侧射出。已知电子质量为 ，电荷量为 ，加速电场电压为 。偏转电场可看作匀强电
场，极板间电压为 ，极板长度为 ，板间距为 。
（1）忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度 和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离
；
（2）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决（1）问时忽略了电子所受重力，请利用
下列数据分析说明其原因。已知 ， ， ， ，
。
（3）极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势 的定义式。类比电
势的定义方法，在重力场中建立“重力势” 的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。【答案】（1） ， ；（2）电场力远大于电子的重力，故不需要考虑电子所受重力；
（3）见解析
【解析】（1）电子由静止开始经加速电场加速后，根据动能定理可得
解得电子射入偏转电场的初速度为
在偏转电场中，电子的运动时间为
偏转距离
又
联立解得
（2）电子的重力为
电子在电场中受到电场力为
可得电场力与重力的比值为可知电场力远大于电子的重力，故不需要考虑电子所受重力。
（3）电场中某点电势 定义为电荷在该点的电势能 与其电荷量q的比值，即
由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能 与其质量
的比值，叫做“重力势”，即
电势 和“重力势” 都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定。
69．（2015·四川·高考真题）如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，
A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的匀强电场．
带负电的小物体P电荷量是2.0×10－6C，质量m＝0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P从O点由静止开
始向右运动，经过0.55s到达A点，到达B点时速度是5m/s，到达空间D点时速度与竖直方向的夹角为
α，且tanα＝1.2。P在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表
所示．P视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
（1）小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间；
（2）小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功。
【答案】（1）小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间为0.5s；（2）小物体P从A运动至D的过程，
电场力做的功为﹣9.25J
【解析】（1）小物体P的速率从0只2m/s，受外力F=2N，设其做匀变速直线运动的加速度为a，经过时
1 1
间△t，则
1
F﹣μmg=ma ①
1 1
v=a△t ②
1 1由式代入数据得
△t=0.5s ③
1
（2）小物体P从2m/s运动至A点，受外力F=6N，设其做匀变速直线运动的加速度为a，则
2 2
F﹣μmg=ma ④
2 2
设小物体P从速度v 经过△t 时间，在A点的速度为v，则
1 2 2
△t=0.55s﹣△t⑤
2 1
v=v+a△t⑥
2 1 2 2
P从A点至B点，受外力F=6N、电场力和滑动摩擦力的作用，
2
设其做匀变速直线运动的加速度为a，电荷量为q，在B点的速度为v，从A点至B点的位移为x，则有：
3 3 1
F﹣μmg﹣qE=ma ⑦
2 3
⑧
P以速度v 滑出轨道右端B点，设水平方向外力为F，电场力大小为F ，
3 3 E
有
F =F⑨
E 3
F 与F 大小相等方向相反，P水平方向所受合力为零，所以P从B点开始做初速度为v 的平抛运动．
3 E 3
设P从B点运动至D点用是为△t，水平位移为x，
3 2
由题意知
（10）
x=v△t（11）
2 3 3
设小物体P从A点至D点电场力做功为W，则有
W=﹣qE（x+x） （12）
1 2
联立④⑧（10）（12）式并代入数据得
W=﹣9.25J
70．（2015·北京·高考真题）真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示，光照前两板都
不带电，以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出的电子都垂直于A板向B
板运动，忽略电子之间的相互作用，保持光照条件不变，a和b为接线柱。已知单位时间内从A板逸出的
电子数为N，电子逸出时的最大动能为 ，元电荷为e。（1）求A板和B板之间的最大电势差 ，以及将a，b短接时回路中的电流 。
（2）图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r。
（3）在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U，外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间
内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为 ，请推导证明： 。（注
意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）
【答案】（1） ， （2） ， （3）
【解析】（1）光照射A板后，A板发出的光电子不断打到B板上，在AB之间形成电场，将阻碍后续发出
的光电子向B运动。当AB之间的电势差达到最大值 时，以最大初动能从A板逸出的光电子也刚好不能
到达B板，由动能定理可得
解得
短路时，在A板上方设置与A平行、面积等大的参考面，时间t内通过该参考面的电荷量
根据电流定义式
可得
（2）电源电动势等于开路时的路端电压，故由闭合电路的欧姆定律可得
解得
（3）设单位时间内到达B板的光电子数为 ，则电路中的电流
则外电阻消耗的功率
光电阻在两极板中运动时，两极板间电压为 ,每个电子损失的动能
则单位时间内到达B板的电子损失的总动能
联立解得
故
71．（2014·上海·统考高考真题）如图，一对平行金属板水平放置，板间距为d，上极板始终接地．长度为
、质量均匀的绝缘杆，上端可绕上板中央的固定轴0在竖直平面内转动，下端固定一带正电的轻质小球，
其电荷量为q．当两板间电压为U 时，杆静止在与竖直方向 夹角 的位置；若两金属板在竖直平
1
面内同时绕O、O′顺时针旋转 至图中虚线位置时，为使杆仍在原位置静止，需改变两板间电压．假
定两板间始终为匀强电场．求:（1）绝缘杆所受的重力G；
（2）两板旋转后板间电压U．
2
（3）在求前后两种情况中带电小球的电势能W 与W 时，某同学认为由于在两板旋转过程中带电小球位置
1 2
未变，电场力不做功，因此带电小球的电势能不变．你若认为该同学的结论正确，计算该电势能；你若认
为该同学的结论错误，说明理由并求W 与W
1 2．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， 。
【解析】（1）绝缘杆长度设为 ，则重力作用点在几何中心即距离O点 处，重力的力臂为
电场力大小为
电场力的力臂为
根据杠杆平衡有
整理可得
（2）两板旋转后，质点不变，重力不变，重力力臂不变，两个极板之间的距离变为
电场力大小为
力臂变为根据杠杆平衡则有
可得
（3）结论错误．虽然小球位置没有变化，但是在极板旋转前后电场强度发生变化，电势发生变化，所以
电势能发生变化．设小球所在位置电势为 ，没有旋转时，电场强度
根据绝缘杆平衡判断电场力竖直向上，即电场线竖直向上，电势逐渐降低，所以
整理得
电势能
金属板转动后，电场强度
电势差
解得
电势能
