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2024 年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题68 电磁感应现象中的含容电路和双棒问题
特训目标
特训内容
目标1
电磁感应现象中的含容电路（1T—5T）
目标2
等间距双棒问题（6T—10T）
目标3
不等间距双棒问题（11T—15T）
【特训典例】
一、电磁感应现象中的含容电路
1．光滑平行金属导轨 M、N 水平放置，导轨上放置着一根与导轨垂直的导体棒 PQ。导轨左端与由电容
为 C 的电容器、单刀双掷开关和电动势为 E 的电源组成的电路相连接，如图所示。在导轨所在的空间存
在方向垂直于导轨平面的匀强磁场（图中未画出）。先将开关接在位置 a，使电容器充电并达到稳定后，
再将开关拨到位置 b。导体棒将会在磁场的作用下开始向右运动，设导轨足够长。已知磁感应强度大小为
B，两水平轨道间距为 L，导体棒质量为 m，则以下说法中正确的是（ ）
A．空间存在的磁场方向为垂直纸面向外
B．导体棒向右运动的最大速度为
C．金属棒稳定后电容器两端的电压为
D．导体棒运动的过程中，通过导体棒的电荷量为
【答案】C
【详解】A．开关拨到a 时，电容器上极板带正电；开关拨向b 时，通过导体棒的电流从P 到Q，导体棒向
右运动，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，选项A 错误；
B．导体棒向右做加速运动时要切割磁感线产生感应电动势，当感应电动势与电容器两端电压相等时，回
路电流为零，此时安培力为零，加速度为零，速度最大，以后导体棒做匀速运动，即U=BLv，因U<E，则
1
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最大速度小于
，选项B 错误；
CD．设稳定时的速度为v，此时电容器两端电压为U，则由动量定理
；
；U=BLv；
联立解得
；
选项C 正确，D 错误。故选C。
2．如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不
计。在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好。整个装
置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。现给杆ab 一个初速度
，使杆向右运动。则
（ ）
A．当杆ab 刚具有初速度
时，杆ab 两端的电压
，且b 点电势高于a 点电势
B．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐减小
C．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度
，
使杆向右运动，则杆ab 稳定后的速度为
D．在图乙中，若ab 杆电阻为0，在ab 杆上加一水平向右的恒力，ab 杆将水平向右做匀加速直线运动
【答案】BCD
【详解】A．当杆ab 刚具有初速度
时，ab 产生的感应电动势大小为
①根据串联分压规律可得
杆ab 两端的电压为
②根据右手定则可知感应电流方向由b→a，所以a 点电势高于b
点电势，故A 错误；
B．设ab 在某时刻的速度大小为v1，根据闭合电路欧姆定律可得
③ab 所受安培力大小为
2
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④根据牛顿第二定律可知ab 在速度大小为v1时的加速度大小为
⑤
易知ab 做减速运动，即v1减小，所以a1减小，则v1随t 的变化率的绝对值逐渐减小，再根据④式可知I 随
t 的变化率的绝对值逐渐减小，故B 正确；
C．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度
，使杆
向右运动，设ab 从开始运动到最终稳定过程中回路中的平均电流为
，经历时间为t，对ab 根据动量定理
有
⑥ab 稳定后电容器所带电荷量为
⑦此时ab 产生的感应电动势大小等于
电容器两端电压，即
⑧联立⑥⑦⑧解得
⑨故C 正确；
D．若ab 杆电阻为0，在ab 杆上加一水平向右的恒力F，设ab 从静止开始在一极短的时间
内速度的变
化量为
，此时电容器两端电压为
⑩电容器所带电荷量为
⑪
ab 的加速度为
⑫通过ab 的电流为
⑬根据牛顿第二定律有
⑭
联立⑩⑪⑫⑬⑭解得
⑮即a2为定值，所以ab 杆将水平向右做匀加速直线运动，故D 正
确。故选BCD。
3．如图，光滑水平金属导轨间距为l，处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左侧接有
电容为C 的电容器，质量为m 的导体棒MN 与导轨接触良好，在恒定外力F 的作用下从静止开始运动，不
计所有电阻，下列关于导体棒运动过程中判断正确的是（ ）
A．导体棒在磁场中做匀加速直线运动
B．导体棒上M 端的电势比N 端的电势高
C．当导轨足够长时，导体棒在一定时间内的位移与力F 成正比
3
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D．导体棒中不会产生感应电流
【答案】ABC
【详解】A．导体棒的加速度大小为a，设导体棒开始运动后在一极短的时间
内速度的变化量为
，此
时电容器两端电压为
电容器的带电量为
回路中的电流为
根据牛顿第二定律有
解得
故A 正确；
B．根据右手定则可知导体棒上M 端的电势比N 端的电势高，故B 正确；
C．由于导体棒运动过程中加速度大小a′与F 成正比，所以根据
可知，导体棒在一定时间内的位移
与力F 成正比，故C 正确；
D．导体棒运动过程中速度不断增大，产生的感应电动势不断增大，所以电容器两端电压不断增大，根据
可知电容器充电，所以导体棒中会产生感应电流，故D 错误。故选ABC。
4．足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端连接电容为C 的电容器，导轨间距为l，磁
感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场穿过导轨所在平面。一根质量为m 的导体棒垂直静置在导轨
上，俯视图如图。t=0 时刻导体棒在水平拉力作用下从静止开始向右运动，电容器两极板间电势差U 随时
间t 变化的图象如图所示，则（ ）
A．导体棒的加速度
B．水平拉力的大小为F =
C．通过导体棒的电流大小为
D．0 ~ t0时间内安培力所做的功为W =
【答案】AC
【详解】A.电容器两端电势差U 等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小，当导体棒速度为v 时，有
①由题图可知U 随t 均匀变化，则v 也随t 均匀变化，即导体棒做匀加速运动，设t0时刻导体棒的
4
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速度大小为v0，则根据加速度的定义可知
②且
③联立②③解得
④
BC.t0时间内通过导体棒某一横截面的电荷量等于给电容器充入的电荷量，则根据电流的定义可知通过导体
棒的电流大小为
⑤由⑤式可知通过导体棒的电流大小不变，导体棒所受安培力大小不变，F
为恒力，根据牛顿第二定律可得
⑥联立④⑤⑥解得
⑦故B 错误，C 正确；
D.0~t0时间内，导体棒的位移大小为
⑧安培力所做的功为
⑨联立④⑤⑧⑨解得
⑩故D 错误。故选AC。
5．如图所示，在水平面内固定着间距为L 的两根光滑平行金属导轨（导轨足够长且电阻忽略不计），导
轨MN 两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。在导轨的左端接入电动
势为E、内阻不计的电源和电容为C 的电容器。先将金属棒a 静置在导轨上，闭合开关S1、S3，让a 运动速
度达到
时断开S1，同时将金属棒b 静置在导轨上，经过一段时间后，流经a 的电流为零。已知a、b 的长
度均为L，电阻均为R，质量均为m，在运动过程与导轨垂直并保持良好接触。
（1）求开关S1、S3闭合，a 运动速度刚为
时a 的加速度大小；
（2）求b 产生的焦耳热
；
（3）若将棒a、b 均静置在水平轨道上，闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，求两棒最终速度的
大小。
5
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【答案】（1）
；（2）
，（3）
【详解】（1）a 切割磁感线产生的电动势
由牛顿第二定律得
；
（2）对ab 系统，由动量守恒得
；
由能量守恒得
；
（3）闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，两棒同时加速，直到匀速运动，对电容器，放电量
对导体棒a，某时刻经极短时间
整个过程
；
所以两棒最终速度
二、等间距双棒问题
6．如图所示，CN、DQ 是两条足够长水平固定放置的阻值可忽略的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，水
平导轨所在区域存在竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。水平导轨的左端与一段半径为r 的光滑
圆弧轨道平滑连接，水平导轨的右端接入阻值为R 的电阻。一质量为m、长度为L、电阻为R 的导体棒a
静置于水平轨道最左端，将另一个与导体棒a 完全相同的导体棒b 从圆弧轨道上h（
）高处由静止释
放，b 与a 发生完全非弹性碰撞（粘连一起），运动过程中导体棒a、b 始终与导轨垂直且接触良好，重力
加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．b 棒刚到达圆弧底端时对轨道的压力大小为3mg
B．两棒最终停在CD 右侧
处
C．整个过程中，通过b 棒的电荷量为
D．整个过程中，电阻R 上产生的焦耳热为
【答案】BD
6
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【详解】A．b 导体棒在弯曲轨道上下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得
，b 棒刚到达圆
弧底端时
根据牛顿第三定律可知，b 棒刚到达圆弧底端时对轨道的压力大小
故A 错误；
D．b 与a 发生完全非弹性碰撞
根据能量守恒，回路总产热
电阻R 上产生的焦耳热为
故D 正确；
BC．对两棒碰后根据动量定理
通过b 棒的电荷量为
根据
得
联立解得
所以两棒最终停在CD 右侧
处。故B 正确C 错误。故选BD。
7．如图，水平面上有两条相距为L 的足够长光滑平行金属导轨，在导轨上相隔某一距离垂直导轨静置长
度均为L 的金属棒a 和b，垂直导轨的虚线MN 右侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，匀强磁场磁感应
强度为B，导轨左端接有电压传感器。现让金属棒a、b 分别以速度v0、3v0向右运动，
时刻金属棒b
经过MN 进入磁场区域，当金属棒a 刚要进入磁场时，电压传感器的示数
。已知金属棒a、b 材
质相同，a、b 棒的质量分别为2m、m，a 棒电阻为R。导轨电阻不计，不考虑电压传感器对电路的影响，
磁场区域足够大，下列说法正确的是（ ）
A．从
时刻开始，电压传感器的示数逐渐减小
7
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B．改变a、b 两棒间初始距离，不会改变两棒的最终速度
C．当金属棒a 刚进入磁场时，a、b 两棒间的距离为
D．整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热为
【答案】CD
【详解】A ．从
时刻开始，在a 棒进入磁场之前，b 棒做减速运动，则电压传感器的示数逐渐减小；
当a 棒进入磁场之后，稳定时，电压传感器的示数不变，选项A 错误；
B．因b 进入磁场后做减速运动，因ab 棒均进入磁场后动量守恒，根据动量守恒定律
a、b 两棒间初始距离较大，则当a 进入磁场时b 减速时间较长，则速度vb较小，则最终两棒的最终速度较
小，则改变a、b 两棒间初始距离，会改变两棒的最终速度，选项B 错误；
C． a、b 棒的质量分别为2m、m，根据
可知横截面积之比2:1，根据
可知电阻之比为1:2
可知b 棒电阻为2R；当金属棒a 刚进入磁场时，电压传感器的示数
此时
解得
对b 棒由动量定理
其中
解得
选项C 正确；
D．a 棒进入磁场之前，在a 棒中产生的焦耳热
a 棒进入磁场之后，到最终达到共同速度时
解得
在a 棒中产生的焦耳热
整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热为
选项D 正确。故选CD。
8．如图所示，间距为
的两平行光滑长直金属导轨水平放置。
区域有匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向竖直向上。细金属杆
静置于磁场中，磁场外的细金属杆
以速度
向右运动，此后两杆在磁场
内未相撞且
出磁场时的速度为
。已知两杆的质量均为
，在导轨间的电阻均为
，两金属杆与导轨接
8
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触良好且始终与导轨垂直，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。则（ ）
A．
在磁场内运动过程中的最大加速度为
B．
在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为
C．
中产生焦耳热的最小值为
D．
的初始位置到
的最小距离为
【答案】ABD
【详解】A．根据题意可知，M 进入磁场后，M 做减速运动，N 做加速运动，则M 刚进入磁场时，
在磁
场中的加速度最大，则有
，
，
联立可得
由牛顿第二定律有
解得
故A 正确；
B．根据题意，对N 由动量定理有
又
联立可得
解得
故B 正确；
C．根据题意可知，若N 出磁场时，M 恰好追上N，则回路中产生的焦耳热最少，设此时M 的速度为，
由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律可得，回路中产生的焦耳热为
则
中产生焦耳热的最小值为
故C 错误；
D．根据题意，在磁场过程，设两棒相对靠近的位移为
，由公式
，
，
联立可得
9
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联立解得
由于两杆在磁场内未相撞，则有
的初始位置到
的最小距离为
故D 正确。故选ABD。
9．如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a 和b 垂直
静置于水平光滑平行金属导轨上，导轨间距为L，导轨电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒的
质量均为m，电阻均为R。将b 固定在导轨上，某时刻给a 施加一个水平向右的恒力F。下列说法正确的是
（ ）
A．a 棒所受的安培力先增大后减小
B．F 的功率最终为
C．若解除b，稳定后b 棒中的热功率为
D．若解除b，两棒间的距离一直增大
【答案】BCD
【详解】A．对a 受力分析结合牛顿第二定律有
；
解得
所以a 做加速度减小的加速运动，a 棒所受的安培力一直增大，故A 错误；
B．当a 棒的加速度a=0 时，棒的速度最大，此时
，F 的功率为
故B 正确；
C．若解除b，对a 受力分析结合牛顿第二定律有
对b 受力分析结合牛顿第二定律有
开始时安培力较小，所以
两个棒都加速但b 的速度比a 增加的快，由
可知电动势增
大，安培力增大，所以a 的加速度减小，b 的加速度增大，最终稳定时两个棒的加速度相同，两个棒的速
度差恒定，安培力不再变化，此时
解得
此时b 棒的热功率
10
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故C 正确；
D．开始阶段a 棒速度增加的比b 棒要快，所以a 棒的速度大于b 棒的速度，两个棒间的距离逐渐增大，后
来当两个棒的加速度相同时，两个棒的速度差保持恒定，两个棒间的距离继续增大，故D 正确。
10．如图所示，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水
平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m
的金属棒a、b 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。先保持棒b 静止，将棒a 由静止释
放，当棒a 匀速运动时，再将棒b 由静止释放，从棒b 释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相
同的速度，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，
重力加速度为g（ ）
A．棒a 匀速运动时的速度大小为
B．释放瞬间棒b 的加速度大小
C．两棒恰好达到相同的速度大小为
D．时间
内棒a 相对于棒b 运动的距离为
【答案】BC
【详解】A．保持棒b 静止，将棒a 由静止释放，棒ａ切割磁感线产生的感应电动势为
回路中产生
的感应电流为
棒ａ受到的安培力为
棒ａ匀速运动时，合力为零，则有
代入数据解得
故A 错误；
B．棒ｂ由静止释放，由左手定则可知棒ｂ所受安培力方向沿斜面向下，ａ、ｂ棒串联电流相等，两者的
11
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安培力大小相等，对ｂ利用牛顿第二定律有
代入数据解得
故B 正确；
C．对a、b 棒分别利用动量定理，取沿斜面向下为正方向，则有
；
两式联立，解得
故C 正确；
D．从b 棒利用动量定理，取沿斜面向下为正方向，则有
已知
代入数据解
得
由法拉第电磁感应定律则有
由闭合电路欧姆定律则有
电量为
联立方程可得
而
代入数据解得
故D 错误。故选BC。
三、不等间距双棒问题
11．如图，间距分别为和
的平行光滑导轨固定在水平面上，两导轨分别处于竖直向下的匀强磁场中，
磁感应强度大小分别为
和
，且
。在导轨上分别放置两个长度与导轨间距相等，材质相同，粗
细相同的导体棒。现给右侧导体棒一沿导轨向右的水平初速度，已知导轨足够长，导轨电阻不计，两导体
棒与导轨始终垂直并接触良好，左侧导体棒始终未运动到右侧导轨，则以下所描绘两导体棒的速度、加速
度和感应电流随时间变化的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
12
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C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．设回路的总电阻为
，左侧导体棒的质量为
，右侧导体棒的质量为
，左侧导体棒的速
度为
，右侧导体棒的速度为
，回路中的感应电动势为
当两导体棒速度
相等时，回路的总电动势为零，感应电流为零，两导体棒不受安培力的作用，以相同速度做匀速直线运动，
故A 错误，B 正确；
C．感应电流为
对导体棒受力分析可得
；
可得
故C 错误；
D．对全过程分析，右侧导体棒做加速度减小的减速运动至速度不变，左侧导体棒做加速度减小的加速运
动至速度不变，则感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，两导体棒做匀速运动时，回路中没有感应电
流，故D 正确。故选BD。
12．如图所示，足够长的光滑金属导轨水平固定于竖直向上的匀强磁场中，窄轨的间距为
，宽轨的间距
为L，两根完全相同的导体棒
、
垂直于导轨静止放置并与导轨接触良好，导体棒的长度均为L，现
使导体棒
瞬间获得一个向右的初速度开始运动，已知导体棒
在到达宽窄导轨的连接处之前就已经
匀速运动，经过足够长的时间，两根导体棒都在宽轨上匀速运动，不考虑导体棒
经过宽窄导轨的连接
处时速度的变化。下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒
前后两次匀速运动的速率之比为3：2
B．导体棒
前后两次匀速运动的速率之比为1：2
C．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，通过回路的电荷量之比为1：3
13
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D．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热之比为5：9
【答案】ABD
【详解】设导体棒
瞬间获得向右的初速度为
，当导体棒
在窄导轨上运动与导体棒
在宽轨上运
动割磁感线产生的感应电动势相等时，两导体棒匀速，此时有
根据动量定理，对MN 有
对PQ 有
解得
，
，
根据能量守恒
同理，二者在宽轨上运动速度相等时，有
；
联立，求得
根据能量守恒
对PQ 有
解得
AB．可得导体棒
前后两次匀速运动的速率之比为
导体棒
前后两次匀速运动的速率之
比为
故AB 正确；
C．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，通过回路的电荷量之比为
故C 错误；
D．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热之比为
故D 正确。
故选ABD。
13．如图所示，两根平行且光滑的金属导轨由圆弧部分和水平部分组成，圆弧部分由两段间距为
、竖直
放置的四分之一圆弧导轨构成，水平部分由足够长、但不等宽的水平导轨构成，水平导轨的宽、窄部分间
距分别为
，虚线
右侧导轨区域处于竖直向上的匀强磁场中，宽、窄两部分区域内的磁感应强度大
小分别为
。金属棒
与
的质量均为
、电阻均为
，长度分别为、
，金属棒
静止在窄导轨
上。现将金属棒
从圆弧轨道上距水平导轨高度处由静止释放，在此后的运动过程中，
始终在宽导轨
上运动，
始终在窄导轨上运动，两金属棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨各部分之间均平滑连
接，导轨电阻不计，重力加速度为
，则（ ）
14
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A．金属棒
刚进入磁场时的速度大小为
B．通过金属棒
的最大电流为
C．整个过程中金属棒
上产生的焦耳热为
D．整个过程中通过金属棒
的电荷量为
【答案】BCD
【详解】A．设金属棒
刚进入磁场时的速度大小为
，根据机械能守恒定律有
解得
故A 错误；
B．金属棒cd 刚进入磁场时速度最大，产生的感应电动势最大，回路中的电流最大，
故B 正确；
C．易知金属棒cd 和ab 存在相对运动的过程中，通过两金属棒的电流时刻相等，根据左手定则可知两金属
棒所受安培力大小时刻大小相等、方向相反，所以两金属棒组成的系统动量守恒，当金属棒运动状态稳定
时，易知二者产生的感应电动势大小相等、方向相反，所以回路中电流为零，设两金属棒最终稳定的速度
大小为v1，根据动量守恒定律有
稳定时满足
又因为两金属棒阻值相同，则
根据能量守恒定律和焦耳定律可知整个过程中金属棒
上产生的焦耳热
15
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故C 正确；
D．对金属棒cd 根据动量定理有
由上式可得整个过程中通过金属棒
的电荷量为
故D 正确。故选BCD。
14．如图，光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为2l，PQ 部分的宽度为l，金属棒a 和b
的质量分别为2m 和m，其电阻大小分别为2R 和R，a 和b 分别静止在MN 和PQ 上，垂直导轨相距足够远，
整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B。现对a 棒施加水平向右恒力F 作用，两棒运动时始
终保持平行且a 总在MN 上运动，b 总在PQ 上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的（ ）
A．回路感应电动势为零
B．流过a 的电流大小为
C．金属棒a 和b 均做匀速直线运动
D．金属棒a 和b 均做加速度相同的匀加速直线运动
【答案】B
【详解】ACD．对金属棒a 和b 整体由于受恒定的拉力作用，则最终的稳定状态时，两棒都将有固定的加
速度值，则受恒定的安培力，即回路中有恒定的电流，设两棒的加速度分别为a1和a2，则回路的电流
则稳定时
因l1=2l2
则a2=2a1可知最终有加速度，此时电路中有电流，回路中感应电动势不为零。故ACD 错误；
B．足够长时间后，对a 棒
对b 棒
解得流过a 的电流大小为
故B 正确。
故选B。
15．如图所示，两根质量均为m 的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为
1 2∶，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，
现用水平恒力F 向右拉CD 棒，在CD 棒向右运动距离为s 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热为Q，此时AB
棒和CD 棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列
说法正确的是（ ）
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A．v 的大小等于
B．撤去拉力F 后，AB 棒的最终速度大小为
v，方向向右
C．撤去拉力F 后，CD 棒的最终速度大小为
v，方向向右
D．撤去拉力F 后，整个回路产生的焦耳热为
【答案】C
【详解】A．根据动能定理可知
根据AB 棒上产生的焦耳热可知
可解得
A 错误；
BC．最终稳定后，则有
分别对两根导体棒列动量定理，则有
，
根据公式
，
，
联立可解得
，
，AB 的速度方向向左，CD 的速度方向
向右，B 错误、C 正确；
D．根据能量守恒可知
，D 错误。故选C。
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