文档文本内容
10直击课堂
10 目标确认
1.能够定量分析带电粒子在各种边界的匀强磁场中的运动情况。
2.能够定性、定量分析简单复合场问题。
知识引航
高二物理课改暑期菁英班第八
高二物理课改暑期菁英班第八
讲带电粒子在磁场中的运动
讲带电粒子在磁场中的运动
直击课堂
直击课堂
学习目标
学习目标
知识引航
知识引航
年欧内斯特•劳伦斯提出回旋加速器的理论，
年首次研制成功。它的主要结构是在磁极间的真空室内有
两个半圆形的金属扁盒(
形盒)隔开相对放置，
形盒上加交变电压，其间隙处产生交变电场。置于中心的粒子源
产生带电粒子射出来，受到电场加速，在
形盒内不受电场力，仅受磁极间磁场的洛伦兹力，在垂直磁场平面内作
圆周运动。绕行半圈的时间为
，其中是粒子电荷，
是粒子的质量，
是磁场的磁感应强度。如果
形
盒上所加的交变电压的频率恰好等于粒子在磁场中作圆周运动的频率，则粒子绕行半圈后正赶上
形盒上电压方向
转变，粒子仍处于加速状态。由于上述粒子绕行半圈的时间与粒子的速度无关，因此粒子每绕行半圈受到一次加
速，绕行半径增大。经过很多次加速，粒子沿螺旋形轨道从
形盒边缘引出，能量可达几十兆电子伏特(
)。回
旋加速器的能量受制于随粒子速度增大的相对论效应，粒子的质量增大，粒子绕行周期变长，从而逐渐偏离了交变
电场的加速状态。进一步的改进有同步回旋加速器等其他加速器。
模块
模块1：模块一带电粒子在匀强磁场中的运动
：模块一带电粒子在匀强磁场中的运动
素材
knowledge combing
10 模块一 带电粒子在匀强磁场中的运动
上一讲我们学习了洛伦兹力，知道带电粒子在匀强磁场中的运动情况。实际中，磁场往往是有边界的，边界形状不
同的磁场往往有各自的特点，但同时又遵循统一的规律。这一模块，我们会详细分析带电粒子在单边界磁场中的运
动，并以此为基础，尝试分析带电粒子在其他边界形状磁场中的运动。
如图所示，考虑质量为
，带电量为
的带电的粒子以速度垂直边界进入边界为一条直线的匀强磁场的运动情
况，磁感应强度为
(本模块中带电粒子的速度方向均与磁场方向垂直，此后不再赘述)。
首先我们要确定带电粒子的运动轨迹。通过回顾上一讲中的知识我们知道，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运
动，轨迹是圆，半径
，我们现在需要确定轨迹的圆心。对于做匀速圆周运动的物体，向心力指向圆心，而
此时带电粒子的向心力完全由洛伦兹力提供，所以我们通过左手定则可知，洛伦兹力垂直速度，也就是边界的方向
向左，因此轨迹圆心在边界上，入射点的左边
处。至此，我们确定了圆心的位置和园的半径，把完整的圆
画出来，在磁场中的部分就是带电粒子在磁场中的运动轨迹。
找轨迹圆心的方法(已知入射速度、带电粒子比荷、磁感应强度)：
1.使用左手定则，确定洛伦兹力方向；
2.利用
求轨迹半径。
圆心的位置就在过入射点，沿洛伦兹力方向，距入射点
处。
我们观察这个轨迹可以发现，带电粒子的运动轨迹是一个半圆。在射出磁场的时候，其速度仍然与边界垂直，出射
点与入射点的距离为
，在磁场中运动的时间
。
如果我们减小带电粒子的入射速度，则射出磁场时速度仍然与边界垂直，出射点与入射点的距离减小，带电粒子在
磁场中运动的时间不变。
下面我们来分析，质量、电荷量相同的带正电、负电的带电粒子以与磁场边界成一定角度射入单边界匀强磁场的运
1930
1932
D
D
D
π m/qB
q
m
B
D
D
D
MeV
m
+q
v
B
r =
qB
mv
r =
qB
mv
r =
qB
mv
r =
qB
mv
d = 2r =
qB
2mv
t =
=
2
T
qB
π m
动情况。
显然(根据左手定则)，左边的劣弧是带正电粒子在磁场中的运动轨迹，右边的优弧是带负电粒子在磁场中的运动轨
迹，我们先来分析带正电粒子的运动情况。
粒子以与边界成角的速度射入匀强磁场，我们以同样的方法(与初速度方向垂直、左手定则、半径)确定轨迹圆心
位置在
处，画出轨迹后经分析可得，粒子出射位置与入射位置相距
，速度方向变
化了
，在磁场中运动时间
。
随着入射角度增大(
)，粒子出射位置与入射位置距离会不断增大，当
时距离最大，为
，此时对应的是垂直边界入射的情况。
对于带负电粒子，我们有同样的分析方法可得，粒子出射位置与入射位置相距
，速
度方向变化了
，在磁场中运动时间
。
对比正负带电粒子的运动情况我们可以发现，两个粒子的运动轨迹一个是优弧，一个是劣弧，二者对应圆心角分别
为
、
，合起来正好是一个完整的圆；两个粒子的出射位置分别位于入射位置两边，距离相等，且都
随着入射方向与磁场边界夹角增大而减小，垂直入射时距离最大。
对于粒子在有边界匀强磁场中的运动，我们详细分析了单边界磁场的情况，对于其他边界，如平行边界磁场、方形
磁场等其他形状的磁场，都有类似的处理方法。
值得注意的是，对于找轨迹圆心，除了上文中用“方向、距离”的方法之外，还可以通过其他几何方法来求解。以单
边界磁场劣弧轨迹为例，我们已知粒子入射速度，那么圆心一定在过入射点与速度方向垂直的直线上；连接入射点
和出射点，这条线段是轨迹圆的一条弦，作这条弦的中垂线，则圆心同时也位于这条中垂线上。两条直线的交点，
就是轨迹圆的圆心。
找轨迹圆心的方法：(已知入射速度方向、磁感应强度方向、带电粒子电性、入射点和出射点)
1.过入射点，作与带电粒子在此处所受洛伦兹力方向平行的直线；
2.连接入射点与出射点，作这条线段的中垂线。
两条线的交点即为轨迹圆心。此处的“出射点”，可以理解为轨迹上除入射点外的任意一点。
另外，由于带电粒子在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，因此运动时间与路程(在一个周期内的话，也可以是速度
方向变化的角度，即轨迹对应圆心角)成正比，由
可知，周期与速度无关。
θ
v
01
d = 2r sinθ =
⋅
qB
2mv
sinθ
2θ
t =
T =
π
θ
qB
2θm
θ
0 < θ <
2
π
d
θ =
2
π
qB
2mv
d = 2r sinθ =
⋅
qB
2mv
sinθ
2π −2θ
(
)
t =
T =
π
π −θ
qB
2(π −θ)m
2θ
2π −2θ
(
)
T =
qB
2πm
如图所示，
表示真空室中垂直于纸面放置的感光板，它的一侧有方向垂直于纸面向里匀强磁场。一个质量为
，电荷量为的带电粒子从感光板上的狭缝
处以垂直于感光板的初速度射入磁场区域，最后到达感光板上的
点。经测量
、
间的距离为
，不计带电粒子受到的重力。求：
1 该粒子带正电还是负电？
2 带电粒子由
运动到所用的时间。
3 匀强磁场的磁感应强度
。
例题1
MN
m
q
O
v
P
P
O
L
O
P
t
B
1 “月球勘探者号”空间探测器运用高科技手段对月球进行了近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定方面
取得了新的成果。月球上的磁场极其微弱，通过探测器拍摄电子在月球磁场中的运动轨迹，可分析月球磁场的强弱分
布情况，如图所示是探测器通过月球表面①、②、③、④四个位置时，拍摄到的电子运动轨迹照片(尺寸比例相同)，
设电子速率相同，且与磁场方向垂直，则可知磁场从强到弱的位置排列正确的是（ ）
A. ①②③④
B. ①④②③
C. ④③②①
D. ③④②①
考法：达标检测
1 如图所示是质谱仪的一部分，两个具有相同电荷量的离子，以相同的速度从孔沿着与磁场垂直的方向进入匀强
磁场，在磁场中分成两条轨迹，最终打到照相机底片上。下列说法正确的是（ ）
A. 离子，均带负电
B. 离子的质量小于的质量
例题2
例题3
a
b
S
a
b
a
b
C. 离子的运动周期等于的运动周期
D. 离子的运动时间大于的运动时间
1 如图所示，比荷为
的电子从左侧垂直于界面、垂直于磁场射入宽度为、磁感应强度为
的匀强磁场区域，要
从右侧面穿出这个磁场区域，电子的速度至少应为（ ）
71%
A.
B.
C.
D.
模块
模块2：模块二带电粒子在复合场中的运动
：模块二带电粒子在复合场中的运动
素材
knowledge combing
10 模块二 带电粒子在复合场中的运动
a
b
a
b
例题4
e/m
d
B
m
2Bed
m
Bed
2m
Bed
m
Bed
2
霍尔效应在
年被物理学家霍尔发现，它定义了磁场和感应电压之间的关系。当电流通过一个位于磁场中的导
体的时候，磁场会对导体中的电子产生一个垂直于电子运动方向上的作用力，从而在垂直于导体与磁感线的两个方
向上产生电势差。
虽然这个效应多年前就已经被人们知道并理解，但基于霍尔效应的传感器在材料工艺获得重大进展前并不实用，直
到出现了高强度的恒定磁体和工作于小电压输出的信号调节电路。根据设计和配置的不同，霍尔效应传感器可以作
为开/关传感器或者线性传感器，广泛应用于电力系统中。
如果带电粒子受洛伦兹力、电场力、重力中的两种或三种力的作用，那么我们说这个带电粒子就是在复合场中运
动。本模块涉及的复合场均有磁场。
因为受力情况复杂，带电粒子在复合场中运动的一般情况我们是很难定量计算的，但对于一些特殊情况，我们可以
进行简单计算或定性分析：
1.带电粒子做匀速直线运动
匀速直线运动，由牛顿第二定律可知，此时带电粒子所受合外力为零
所受合外力为零。我们可根据合外力为零列方程
求解。
2.带电粒子做直线运动
直线运动，由牛顿第二定律与运动学规律可知，此时带电粒子所受合外力方向在物体运动的直线上
合外力方向在物体运动的直线上，
也就是说，物体在与这条直线垂直的其他方向所受合外力为零
与这条直线垂直的其他方向所受合外力为零，我们可根据此条件列方程求解。
3.带电粒子在复合场中运动的能量问题。洛伦兹力不做功，电场力与重力做功只与初末位置有关，其他力做功可用
功的定义式计算，因此，我们可以套用“确定研究对象、分析过程并找初末状态、列方程求解”这个熟悉的解题流程
来解决能量问题。
【注意】对于是否考虑重力，除了看带电粒子的属性以及题中是否说明外，有时还要根据题意来判断。
考法：达标检测
1 如图所示，一束质量、带电量、速率均未知的正离子(不计重力)射入正交的电场、磁场区域，发现有些离子毫无偏
移地通过这一区域，对于这些离子来说，它们一定具有（ ）
71%
A. 相同的速率
B. 相同的电量
C. 相同的质量
D. 速率、电量和质量均相同
1879
例题5
1 如图所示，水平放置的平行金属板、带有等量异种电荷，板带正电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，若
一个带正电的液滴在两板间做直线运动，其运动的方向是（ ）
A. 沿竖直方向向下
B. 沿竖直方向向上
C. 沿水平方向向左
D. 沿水平方向向右
1 在方向如图所示的匀强电场(场强为)和匀强磁场(磁感应强度为
)共存的场区中，一电子沿垂直电场线和磁感线
的方向以速度
射入场区，设电子射出场区时的速度为，则（ ）
75%
A. 若
，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度
B. 若
，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度
C. 若
，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度
D. 若
，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度
演练1
a
b
a
例题6
E
B
v
0
v
v
>
0
B
E
v > v
0
v
>
0
B
E
v < v
0
v
<
0
B
E
v > v
0
v
<
0
B
E
v < v
0
如图所示，质量为
、带电荷量为的小球，在倾角为的光滑斜面上由静止开始下滑，匀强磁场的磁感应强度为
，方向垂直于纸面向外，若带电小球下滑后某个时刻对斜面的压力恰好为。重力加速度为，求：
1 小球的带电性质。
2 该时刻小球下滑的速度。
3 小球在斜面上滑行的距离。
例题7
m
q
α
B
0
g
1 如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒由
点进入电磁场并刚好能沿
直线向上运动，下列说法正确的是（ ）
56%
A. 微粒一定带负电
B. 微粒动能一定减小
C. 微粒的电势能一定增加
D. 微粒的机械能一定增加
1 设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，已知一粒子在电场力和洛伦兹力作用
下，从静止开始自点沿曲线
运动，到达
点时速度为零，点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是
（ ）
A. 此粒子必带正电荷
B. 点和
点在同一高度
例题8
a
ab
例题9
A
ACB
B
C
A
B
C. 粒子在点时速度最大
D. 粒子到达
点后，将沿曲线返回点
模块
模块3：当堂总结
：当堂总结
素材
knowledge combing
10课堂总结
模块
模块4：秋季你会遇见
：秋季你会遇见
回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个
形金属扁盒，两盒分别和一高频
交流电源的两极相连，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝都得到加速；两盒放在磁感应强度为
的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒的底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出粒子所带的电荷量为，质量为
，粒子的最大回旋半径为
，其运动轨迹如图所示，问：
1 粒子在盒内做何种运动？
C
B
A
例题10
D
B
q
m
R
m
2 粒子在两盒间的狭缝内做何种运动？
3 所加交变电压的频率为多大？粒子运动的角速度多大？
4 粒子离开加速器时速度多大？
5 设两
形盒间电场的电势差为
，盒间距离为，求加速到上述能量所需时间。
10 理科大视野
海因里希·鲁道夫·赫兹（1857年2月22日—1894年1月1日），德国物理学家，于1888年首先证实了电磁波的存在。
并对电磁学有很大的贡献，故频率的国际单位制单位赫兹以他的名字命名。
一八八五年三月，赫兹转到德国西南部边境的卡尔斯鲁尔(Karlsruhe)技术学院，担任物理系教授，又开始装配他的
电学实验室，并且在上课时示范电学实验。系里教三角学的多尔(MaxDoll)教授很欣赏他，知道这个年轻人身上有一
种不与人比较的风骨；他请赫兹来家里坐坐，把女儿伊丽莎白介绍给他。
伊丽莎白后来写下：『赫兹在星光下有一种近乎骄傲的自信。他自认是全世界唯一了解星光是什么的人，在他看来
满天的星光是不同的光体，规律地发出不同频率的电磁波来到地上…… 在他的说明中，星夜不只是美丽的，而且是
规则准确的。』赫兹的自信没有错，十九世纪全世界最懂电磁波实验的有两人，一位是法拉第，另一位就是赫兹。
伊丽莎白不懂电磁波，但是她知道这位寻求科学之真的男士，心里也是一片真诚与率直。他们认识不到四个月就结
婚，当时赫兹二十九岁。
赫兹找到爱情的归宿，并展开他一生最着名的研究。因为这一实验研究的成功，后来薛默士回顾历史上物理学家，
由伽利略到爱因斯坦，他认为最伟大的物理实验家就是赫兹。赫兹以实验证明人类千古的谜团--光的本质是电磁
波。
D
U
d
理科大视野
理科大视野
