专题8.5椭圆十大题型（解析版）_2026高考数学系统提分方案《189个题型专项突破合集》_专题8.5椭圆十大题型

专题 8.5 椭圆【十大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)............................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)....................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:28)....................................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)——(cid:30)(cid:31)(cid:28)..............................................................................................................................10
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:47)(cid:21)(cid:28)..................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:50)(cid:61)(cid:36)(cid:59)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:47)(cid:21)(cid:28)..................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:50)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:66)(cid:33)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:66)(cid:56)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:28)......................................................................................16
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:28)..........................................................................................................19
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:21)(cid:28)..................................................................................................................21
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:27)(cid:47)(cid:21)(cid:28)........................................................................................................................23
1(cid:56)(cid:30)(cid:31)
(cid:25)(cid:50)(cid:83)(cid:68) (cid:84)(cid:21)(cid:85)(cid:86) (cid:25)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
2022 (cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:15)(cid:13)(cid:103)(cid:10)
(cid:104)10(cid:21)(cid:105)5(cid:88)
2023(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:101)(cid:10)(cid:104)5(cid:21)(cid:105)
(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:108)(cid:31)(cid:109)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:32)(cid:110)(cid:83)
(1)(cid:15)(cid:90)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:77)(cid:78) 5(cid:88)
(cid:111)(cid:112)(cid:105)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:21)(cid:32)(cid:110)(cid:50).(cid:114)(cid:115)(cid:77)(cid:97)(cid:32)(cid:24)
(cid:91)(cid:53)(cid:56)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) 2023 (cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:15)(cid:13)(cid:103)(cid:10)
(cid:25)(cid:87)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:105)(cid:119)(cid:83)(cid:25)(cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:40)
(2)(cid:92)(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) (cid:104)12(cid:21)(cid:105)5(cid:88)
(cid:41)(cid:35)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:105)(cid:119)(cid:83)(cid:121)(cid:20)(cid:122)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:21)(cid:32)(cid:53)
(cid:79)(cid:80)((cid:73)(cid:74)(cid:56)(cid:94)(cid:95)(cid:79)(cid:56)(cid:96)(cid:50)(cid:56) 2023(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)(cid:104)19(cid:21)(cid:105)15
(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:105)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:44)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
(cid:63)(cid:69)(cid:70)) (cid:88)
(cid:140)(cid:139)(cid:25)(cid:120)(cid:141)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:21)(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:105)(cid:146)
(3)(cid:92)(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:37)(cid:27) 2024(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:101)(cid:10)(cid:104)16(cid:21)(cid:105)
(cid:83)(cid:11)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:68)(cid:90).
15(cid:88)
2024(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:101)(cid:10)(cid:104)5(cid:21)(cid:105)
5(cid:88)
(cid:22)(cid:136)(cid:137)(cid:50)1 (cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:28)
1(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:151)(cid:57)(cid:111)(cid:44)(cid:152)(cid:143)(cid:33)(cid:50) , (cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:66)(cid:135)(cid:153)(cid:154)(cid:13)((cid:131)(cid:153) )(cid:32)(cid:50)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31).(cid:157)(cid:152)(cid:143)(cid:33)(cid:50)(cid:155)
(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:152)(cid:49)(cid:50)(cid:158)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:62).
(2)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:159)(cid:139)(cid:160)(cid:161)P={ ,2a> }.2(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:36)(cid:162)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:48)(cid:32)(cid:165)(cid:166)(cid:32)(cid:94)(cid:37)(cid:3)(cid:164)(cid:10)
(cid:30)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:38)
(cid:164)(cid:48)(cid:32)(cid:165)(cid:166)
(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38) F(-c,0),F (c,0) F(0,-c),F (0,c)
1 2 1 2
a,b,c(cid:32)(cid:3)(cid:164)
3(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:50)(cid:44)(cid:55)(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:176)
(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (a>b>0)(cid:178)(cid:179).
(1)(cid:96)(cid:50)
(cid:180)x=0(cid:105)(cid:181)y= b(cid:132)(cid:180)y=0(cid:105)(cid:181)x= a.
(cid:157)(cid:182)(cid:183) (-a,0)(cid:105) (a,0)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:44)x(cid:176)(cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:184)(cid:50)(cid:105) (0,-b), (0,b)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:44)y(cid:176)(cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:184)(cid:50).(cid:185)(cid:178)x(cid:176)(cid:56)
y(cid:176)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:176)(cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:187)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:176)(cid:188)(cid:189)(cid:143)(cid:184)(cid:50)(cid:105)(cid:157)(cid:189)(cid:143)(cid:184)(cid:50)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:50).
(2)(cid:55)(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:176)
(cid:43)(cid:190) (cid:105) (cid:88)(cid:191)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:66)(cid:177)(cid:176).
(cid:55)(cid:176)(cid:55) =2a(cid:105)(cid:177)(cid:176)(cid:55) =2b(cid:105)a(cid:66)b(cid:88)(cid:191)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:192)(cid:176)(cid:55)(cid:66)(cid:177)(cid:192)(cid:176)(cid:55).
4(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)
(1)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:44)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:32)(cid:193) (cid:95)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70).(cid:27)e(cid:160)(cid:161)(cid:105)(cid:194)e= .
(2)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:73)(cid:74)(cid:10)0<e<1.
(3)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:195)(cid:34)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:196)(cid:16)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:200)(cid:151)(cid:41)(cid:129).
(cid:201)e(cid:202)(cid:203)(cid:115)(cid:153)1(cid:204)(cid:105)c(cid:202)(cid:203)(cid:115)(cid:153)a(cid:105)(cid:114)(cid:205)b= (cid:202)(cid:206)(cid:105)(cid:185)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:202)(cid:200)(cid:132)(cid:201)e(cid:202)(cid:203)(cid:115)(cid:153)0(cid:204)(cid:105)c(cid:202)(cid:203)
(cid:115)(cid:153)0(cid:105)(cid:114)(cid:205)b= (cid:202)(cid:203)(cid:115)(cid:153)a(cid:105)(cid:185)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:202)(cid:203)(cid:115)(cid:153)(cid:31)(cid:132)(cid:201)(cid:208)(cid:209)(cid:201)a=b(cid:204)(cid:105)c=0(cid:105)(cid:157)(cid:204)(cid:152)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:110)(cid:139)(cid:105)
(cid:91)(cid:53)(cid:196)(cid:178)(cid:31)(cid:105)(cid:187)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) .
(cid:22)(cid:136)(cid:137)(cid:50)2 (cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:68)(cid:90)(cid:40)(cid:210)(cid:28)
1(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:68)(cid:90)
(1)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:210)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:213)(cid:33) (cid:32)(cid:65)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:166)(cid:214)(cid:215)(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41).
(2)(cid:27)(cid:216)(cid:33)(cid:164)(cid:13)(cid:210)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:183)(cid:213)(cid:199)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:69)(cid:162)(cid:220)(cid:50)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:162)(cid:163)(cid:38)(cid:176)(cid:60)(cid:105)(cid:221)(cid:222)(cid:186)(cid:68)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:142)(cid:33)(cid:108)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:125)(cid:105)(cid:223)(cid:214)(cid:121)(cid:224)(cid:27)(cid:216)
(cid:33)(cid:164)(cid:13)(cid:210)(cid:68)(cid:90).(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:212)(cid:21)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:105)(cid:86)(cid:235)(cid:126)(cid:40)(cid:41)(cid:48)(cid:32)a(cid:105)b(cid:32)(cid:65)(cid:105)(cid:114)(cid:205)(cid:213)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:102)(cid:4)(cid:195)(cid:49)(cid:50)(cid:32)
(cid:165)(cid:166)(cid:103).
(cid:236)(cid:218)(cid:219)(cid:130)(cid:237)(cid:213)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:165)(cid:166)(cid:105)(cid:221)(cid:222)(cid:214)(cid:27)(cid:121)(cid:238)(cid:152)(cid:239)(cid:40)(cid:210)(cid:117)(cid:90)(cid:240)(cid:47)(cid:21)(cid:10)(cid:142)(cid:108)(cid:88)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:105)(cid:88)(cid:191)(cid:223)(cid:49)(cid:50)(cid:162)x(cid:176)(cid:60)(cid:66)(cid:49)(cid:50)(cid:162)y(cid:176)(cid:60)(cid:224)(cid:27)(cid:216)(cid:33)(cid:164)(cid:13)(cid:210)(cid:232)(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:244)(cid:90)(cid:245)(cid:132)(cid:246)(cid:108)(cid:27)(cid:216)(cid:33)(cid:164)(cid:13)(cid:210)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:142)(cid:247)(cid:40)
(cid:41)(cid:178) =1(A>0,B>0,A≠B)(cid:105)(cid:244)(cid:90)(cid:245).
(cid:22)(cid:136)(cid:137)(cid:50)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)
1(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
(1)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:248)(cid:249)
(cid:232)M(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105) , (cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:201)(cid:50)M, , (cid:130)(cid:162)(cid:250)(cid:142)(cid:233)(cid:251)(cid:43)(cid:60)(cid:204)(cid:105)(cid:187)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:142)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)
(cid:53)(cid:105)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161).
(2)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:154)(cid:27)(cid:7)(cid:125)
(cid:217)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:54)(cid:55)L=2a+2c.
(cid:236)(cid:162) (cid:48)(cid:105)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:33)(cid:15)(cid:214)(cid:181) .
(cid:258)(cid:232) (cid:105) (cid:105)(cid:259) .
(cid:22)(cid:136)(cid:137)(cid:50)4 (cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:73)(cid:74)(cid:32)(cid:90)(cid:21)(cid:260)(cid:261)(cid:28)
1(cid:150)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:73)(cid:74)(cid:32)(cid:40)(cid:210)
(cid:90)(cid:21)(cid:32)(cid:3)(cid:262)(cid:108)(cid:263)(cid:264)(cid:91)(cid:53)(cid:227)(cid:228)(cid:3)(cid:153)a, b, c(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:125)((cid:135)(cid:125)(cid:71)(cid:130)(cid:135)(cid:125))(cid:105)(cid:265)(cid:16)(cid:178)e(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:125)(cid:105)(cid:154)(cid:27)(cid:40)(cid:210)(cid:218)(cid:238):
(1)(cid:251)(cid:203)(cid:68)(cid:126)a, c(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:7)(cid:125) (cid:68)(cid:90).
(2)(cid:255)a(cid:44)b(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:68)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:196)(cid:53)(cid:7)(cid:125) (cid:68)(cid:90).
(3)(cid:253)(cid:266)a, c(cid:32)(cid:267)(cid:268)(cid:125).(cid:63)(cid:69)(cid:70)e(cid:32)(cid:68)(cid:90)(cid:48)(cid:214)(cid:121)(cid:130)(cid:68)(cid:126)a, c(cid:32)(cid:269)(cid:270)(cid:65)(cid:105)(cid:205)(cid:108)(cid:181)(cid:126)a(cid:44)c(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:114)(cid:205)(cid:68)(cid:181)
e.
(cid:22)(cid:136)(cid:137)(cid:50)5 (cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:47)(cid:21)(cid:32)(cid:90)(cid:21)(cid:260)(cid:261)(cid:28)
1(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:47)(cid:21)
(cid:68)(cid:90)(cid:207)(cid:241)(cid:47)(cid:21)(cid:142)(cid:247)(cid:188)(cid:121)(cid:238)(cid:152)(cid:239)(cid:271)(cid:272)(cid:10)
(1)(cid:77)(cid:78)(cid:210)(cid:10)(cid:273)(cid:21)(cid:274)(cid:48)(cid:32)(cid:233)(cid:234)(cid:66)(cid:138)(cid:243)(cid:237)(cid:183)(cid:275)(cid:270)(cid:127)(cid:77)(cid:78)(cid:276)(cid:277)(cid:35)(cid:195)(cid:34)(cid:105)(cid:259)(cid:25)(cid:278)(cid:224)(cid:27)(cid:91)(cid:53)(cid:79)(cid:80)(cid:117)(cid:90)(cid:240)(cid:105)(cid:157)(cid:223)(cid:108)
(cid:77)(cid:78)(cid:210).(cid:90)(cid:21)(cid:32)(cid:3)(cid:262)(cid:108)(cid:237)(cid:279)(cid:39)(cid:213)(cid:88)(cid:89)(cid:126)(cid:64)(cid:65)(cid:47)(cid:21)(cid:186)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:195)(cid:34)(cid:105)(cid:282)(cid:237)(cid:263)(cid:264)(cid:283)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:68)(cid:90).
(2)(cid:284)(cid:13)(cid:210)(cid:10)(cid:273)(cid:21)(cid:274)(cid:48)(cid:32)(cid:233)(cid:234)(cid:66)(cid:138)(cid:243)(cid:237)(cid:270)(cid:127)(cid:142)(cid:239)(cid:183)(cid:213)(cid:32)(cid:285)(cid:13)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:259)(cid:214)(cid:227)(cid:228)(cid:274)(cid:38)(cid:285)(cid:13)(cid:105)(cid:286)(cid:274)(cid:38)(cid:196)(cid:134)(cid:160)(cid:161)
(cid:178)(cid:142)(cid:143)((cid:71)(cid:287)(cid:143))(cid:196)(cid:134)(cid:32)(cid:285)(cid:13)(cid:3)(cid:164)(cid:125)(cid:105)(cid:229)(cid:230)(cid:211)(cid:212)(cid:285)(cid:13)(cid:3)(cid:164)(cid:125)(cid:32)(cid:276)(cid:277)(cid:20)(cid:27)(cid:288)(cid:40)(cid:210)(cid:56)(cid:289)(cid:191)(cid:125)(cid:210)(cid:105)(cid:37)(cid:27)(cid:290)(cid:291)(cid:130)(cid:135)(cid:125)(cid:121)
(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:285)(cid:13)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:68)(cid:210)(cid:68)(cid:126)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:56)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:71)(cid:73)(cid:74)(cid:105)(cid:292)(cid:83)(cid:4)(cid:195)(cid:293)(cid:196)(cid:134)(cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:94)(cid:64)(cid:65)(cid:32)(cid:294)(cid:295).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) , (cid:88)(cid:191)(cid:108)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105) (cid:178) (cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)(cid:273)
1 2 16 5 1
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝑀: 𝑃 𝑀 |𝑃𝐹|=3(cid:105)(cid:259) |=(cid:102) (cid:103)
2
A(cid:150)2|𝑃𝐹 B(cid:150)3 C(cid:150)5 D(cid:150)6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181) |+ |= =8(cid:105)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214).
1 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31) 2 + 2 =1(cid:105) |𝑃 (cid:214) 𝐹 (cid:181) 2 |𝑃 = 𝐹 16(cid:105)(cid:186) 2𝑎 (cid:121) =4(cid:105)
16 5
𝑥 𝑦
𝑀: 𝑎 𝑎
2 2
(cid:185)(cid:178) , (cid:88)(cid:191)(cid:108)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105) (cid:178) (cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)
1 2 16 5
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝑀: 𝑃 𝑀
(cid:186)(cid:121) |+ |= =8(cid:105)(cid:305) |=3(cid:105)(cid:186)(cid:121) |=5.
1 2 1 2
(cid:306)(cid:20)|(cid:10)𝑃𝐹C. |𝑃𝐹 2𝑎 |𝑃𝐹 |𝑃𝐹
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)1-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:189)(cid:307)(cid:308)(cid:309)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:50)P(cid:162)(cid:30)(cid:31)C(cid:10) + =1(cid:60)(cid:105)C(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:178)F(cid:105)(cid:273)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:50)
9 8
𝑥 𝑦
𝑃𝐹
(cid:162)(cid:121)(cid:220)(cid:50)O(cid:178)(cid:31)(cid:69)(cid:105)| |(cid:178)(cid:192)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:60)(cid:105)(cid:259)| |(cid:32)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
A(cid:150)2 𝑂B𝐹(cid:150)4 𝑃C𝐹(cid:150)6 D(cid:150)8
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:224)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:48)(cid:165)(cid:43)(cid:33)(cid:15)(cid:44)(cid:31)(cid:32)(cid:192)(cid:310)(cid:68)(cid:181)| |(cid:105)(cid:244)(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:90).
′
2 2 𝑃𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31)C(cid:10) + =1
9 8
𝑥 𝑦
(cid:186)(cid:121)(cid:311)(cid:30)(cid:31) =3(cid:105) =2 2(cid:105)(cid:259) =1(cid:105)
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:303)𝑎(cid:49)(cid:50)(cid:178) 𝑏(cid:105)(cid:312)(cid:203) (cid:105)𝑐(cid:313)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:312)(cid:203) (cid:105)
′ ′
𝐹 𝑃𝐹 𝑃𝐹 𝑄 𝑂𝑄
(cid:185)(cid:178)| |= =1(cid:105)(cid:186)(cid:121)| |=1(cid:105)
(cid:185)(cid:178) 𝑂𝐹(cid:88)(cid:191)𝑐(cid:178) (cid:32)(cid:48)𝑂𝑄(cid:50)(cid:105)(cid:186)(cid:121)| |=2| |=2(cid:105)
′ ′
(cid:305)| 𝑂|,𝑄+| |=𝐹𝐹,𝑃=𝐹6(cid:105)(cid:186)(cid:121)| |=𝑃𝐹 | |𝑂=𝑄4.
′ ′
(cid:306)(cid:20)𝑃𝐹(cid:10)B. 𝑃𝐹 2𝑎 𝑃𝐹 6− 𝑃𝐹
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)1-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:314)(cid:309)(cid:315)(cid:316)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1( > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) , (cid:150)(cid:50) (cid:162)
2 2 1 2
𝑥 𝑦
(cid:60)(cid:105)(cid:208) (cid:150)| | | |=2(cid:105)(cid:259) =(cid:102) 𝐸 :𝑎(cid:103) 𝑏 𝑎 𝑏 𝐹 𝐹 𝑃 𝐸
1 2 1 2
𝑃1𝐹 ⊥𝑃𝐹 𝑃𝐹 ⋅ 𝑃𝐹 𝑏
A(cid:150) B(cid:150)1 C(cid:150) 3 D(cid:150)2
2(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)
(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:317)(cid:251)(cid:3)(cid:164)(cid:318)(cid:125)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:181).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:231)(cid:21)(cid:195)(cid:105)| |+| |= (cid:105)(cid:180)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:192)(cid:49)(cid:62)(cid:178)c(cid:105)
1 2
(cid:255) (cid:105)(cid:181)| |2𝑃+𝐹| |2𝑃=𝐹| 2𝑎|2(cid:105)(cid:194)(| 𝐸|+| |)2=| |2+2| | | |(cid:105)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:185)(cid:207)𝑃𝐹4 ⊥2=𝑃𝐹4 2+4(cid:105)𝑃𝐹(cid:194) 2=𝑃𝐹2+1(cid:105)(cid:186)𝐹(cid:121)𝐹 2= 2 𝑃2𝐹=1(cid:105)𝑃(cid:194)𝐹 =1. 𝐹 𝐹 𝑃𝐹 ⋅ 𝑃𝐹
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑎B. 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 −𝑐 𝑏
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)1-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:319)(cid:299)(cid:319)(cid:320)·(cid:142)(cid:300)(cid:103)(cid:273) (cid:178)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105) , (cid:178) (cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:208)| |=8(cid:105)
121 96 1 2 2
𝑥 𝑦
(cid:259)| |=(cid:102)(cid:321)(cid:321)(cid:103) 𝑃 𝐶∶ 𝐹 𝐹 𝐶 𝑃𝐹
1
𝑃A𝐹(cid:150)10 B(cid:150)12 C(cid:150)14 D(cid:150)16
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:89)(cid:68)(cid:90).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:214)(cid:136)(cid:10) =11(cid:105)(cid:259)| |+| |=22(cid:105)
1 2
(cid:194)| |+8=22(cid:105)(cid:90)(cid:181)| |=1𝑎4. 𝑃𝐹 𝑃𝐹
1 1
(cid:306)(cid:20)𝑃𝐹(cid:10)C. 𝑃𝐹
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
(cid:22)(cid:179)2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:315)(cid:322)(cid:139)(cid:323)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178) 2(cid:105)(cid:49)(cid:62)(cid:178)2 2(cid:105)(cid:259)(cid:311)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)
3
𝑥
(cid:178)(cid:102) (cid:103)
A(cid:150) 2 + 2=1 B(cid:150) 2 + 2=1
3 9
𝑥 𝑥
𝑦 𝑦
2 2 2 2
C(cid:150) + =1 D(cid:150) + =1
9 7 36 28
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
=3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:66)(cid:49)(cid:62)(cid:214)(cid:181) (cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:214)(cid:181) 2(cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:40)(cid:41).
= 2
𝑎
= 2 =3 𝑏
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:136)(cid:10) 3 𝑐(cid:105)(cid:214)(cid:181) (cid:105)
𝑐=2 2 = 2
𝑎 𝑎
(cid:259) 2= =7(cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:311)(cid:30)(cid:31)2(cid:32)𝑐(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2 + 2 =𝑐1.
9 7
𝑥 𝑦
𝑏 9−2
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C.
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)2-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:98)(cid:99)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136) , (cid:88)(cid:191)(cid:108)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105) (cid:162) (cid:60)(cid:105)
1 2 2 2
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝐸:𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 𝑀 𝐸
20
(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:105)2 =3 (cid:105)(cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:304) (cid:105)(cid:208) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) (cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
2 2 1 1 2 3
𝑁 𝑦 𝐹 𝑁 𝑀𝐹 𝑀𝑁 𝐹 △𝑀𝐹 𝐹 𝐸
2 2 2 2
A(cid:150) + =1 B(cid:150) + =1
25 10 25 20
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 2 2 2
C(cid:150) + =1 D(cid:150) + =1
20 5 15 10
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)
(cid:232) ( , ) ( ),(cid:160)(cid:161)(cid:126) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:133)(cid:134)(cid:3)(cid:164)(cid:121)(cid:35)(cid:317)(cid:251)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:68)(cid:126)(cid:50) ( , )(cid:105)(cid:263)(cid:264)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
1 2
(cid:33)(cid:34)𝑀(cid:68)𝑥𝑀(cid:90)𝑦(cid:194)𝑀(cid:214),𝑁. 0,𝑡 △𝑀𝐹 𝐹 𝑀 𝑥𝑀𝑦𝑀
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)
(cid:138)(cid:139)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)(cid:10) ( ), ( )(cid:105)| |= (cid:105)(cid:232) ( , ) ( )(cid:105)
1 2 1 2
𝐹 −𝑐,020𝐹 𝑐,10 𝐹 𝐹 2𝑐20 𝑀 𝑥𝑀𝑦𝑀20,𝑁 0,𝑡
(cid:259)(cid:255) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) (cid:105)(cid:181) × ×| |= ×| |= (cid:105)
1 2 3 2 3 3
△𝑀𝐹 𝐹 2𝑐 𝑦𝑀 ,𝑐 𝑦𝑀 ①
(cid:255)2 =3 (cid:105)(cid:181)2( )=3( ) (cid:150)
2 2
𝐹 𝑁 𝑀𝐹 −𝑐,𝑡 𝑐−𝑥𝑀,−𝑦𝑀 ②
(cid:312)(cid:203) , (cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:304) , (cid:105) × = (cid:150)
1 1 1 1
𝑡 𝑦𝑀
𝑁𝐹 ∵ 𝑀𝑁 𝐹 ∴𝑀𝐹 ⊥𝑁𝐹 ∴𝑐 𝑥𝑀+𝑐 −1③
(cid:255) (cid:181) 2 = 16 2(cid:105)
9
②③ 𝑦𝑀 𝑐
(cid:138)(cid:139) (cid:181) = 5, =±4 5, =5 5, 5,0 , 5,0 (cid:105)
1 2
3 3
① 𝑐 ∴𝑦𝑀 𝑥𝑀 2 𝐹 − 𝐹 2 2 2
| |+| |= = 5 5+ 5 + ±4 5 + 5 5 5 + ±4 5 =10(cid:105) =5, 2= 2 2
1 2
3 3 3 3
∴ 𝑀𝐹 𝑀𝐹 2𝑎 2 2 − ∴𝑎 𝑏 𝑎 −𝑐
=20(cid:105)(cid:306)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1(cid:105)
25 20
𝑥 𝑦
𝐸
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B(cid:150)
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)2-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:328)(cid:297)(cid:315)(cid:329)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:32)(cid:302)､(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) ( 2,0)，
2 2 1
𝑥 𝑦
( 2,0)(cid:105)(cid:84)(cid:43) (cid:44) (cid:176)(cid:32)(cid:184)(cid:50)(cid:178) ( 2,0)(cid:105)(cid:304)(cid:303)(cid:49) 𝐶 (cid:50) :𝑎 (cid:156) 𝑏 1(𝑎 (cid:153) 𝑏 (cid:50) ，| |=4(cid:105)(cid:208) (cid:32) 𝐹 (cid:48)−(cid:50) (cid:162)(cid:30)
2 2 2 2 2
𝐹(cid:31) (cid:60)(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31)𝑙(cid:32)𝑥(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:102) (cid:103)𝑃 −3 𝐹 𝐹 𝑀⊥𝑙 𝑀 𝐹 𝑀 𝐹 𝑀 𝑄
𝐶 2 2 𝐶 2 2
A(cid:150) + =1 B(cid:150) + =1
6 4 5 3
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
C(cid:150) 2 + 2 =1 D(cid:150) 2 + 2=1
4 2 3
𝑥 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:312)(cid:203) (cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:224)(cid:27)| |2𝑦 +| |2=| |2(cid:68)(cid:126) (cid:105)(cid:255) 2= 2 2(cid:68)(cid:126) 2(cid:214)(cid:181)
1 1 2 1 2
𝐹 𝑄 𝐹 𝑄 𝐹 𝑄 𝐹 𝐹 𝑎 𝑏 𝑎 −𝑐 𝑏(cid:245)(cid:330).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:312)(cid:203) (cid:105)(cid:231)(cid:21)(cid:195)(cid:105)(cid:136) (cid:108)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105) = 2(cid:105)
1 1 2
𝐹 𝑄 𝐹 𝐹|𝑃 | 𝑐
(cid:305) (cid:108)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105)(cid:186)(cid:121) // (cid:105)| |= 2 =2(cid:105)
2 1 2 2
𝐹 𝑀
(cid:185) 𝑄 (cid:178) 𝐹 (cid:105) 𝑀 (cid:186)(cid:121) 𝐹 (cid:105) 𝑄 𝑙 𝐹 𝑄
2 1 2
(cid:185)(cid:178)𝐹(cid:50)𝑀(cid:162)⊥(cid:30)𝑙 (cid:31) (cid:60)(cid:105)𝐹 (cid:138)𝑄⊥(cid:139)𝐹(cid:30)𝑄(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)
𝑄 𝐶 2
| |2+| |2=| |2(cid:105)(cid:181)22+ 2=(2 2) (cid:105)
1 2 1 2
(cid:90)𝐹(cid:181)𝑄 =2(cid:102)𝐹 𝑄=0(cid:331)𝐹(cid:332)𝐹(cid:103)(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2=(2𝑎2−22)= =2(cid:105)
𝑎 𝑎 2 2 𝑏 𝑎 −𝑐 4−2
(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1.
4 2
𝑥 𝑦
𝐶
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C.
2 2 1
(cid:22)(cid:196)(cid:125)2-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:297)(cid:334)(cid:333)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1( > >0)(cid:32)(cid:60)(cid:96)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178) (cid:105)(cid:304)(cid:36)(cid:302)(cid:49)
2 2 2
𝑥 𝑦
(cid:50)(cid:335)(cid:336)(cid:52)(cid:178)30°(cid:32)(cid:251)(cid:43) (cid:184)(cid:30)(cid:31) (cid:153) (cid:105) (cid:152)(cid:50)(cid:105)(cid:273) 𝐸:𝑎 𝑏 (cid:32)(cid:54)𝑎(cid:55)(cid:178)𝑏 16(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 𝑃 (cid:102) (cid:103)
2 2 𝑙 2 𝐸 2𝐴 𝐵 △2𝑃𝐴𝐵2 𝐸2 2
A(cid:150) + =1 B(cid:150) + =1 C(cid:150) + =1 D(cid:150) + =1
4 3 12 9 16 12 36 27
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:181) = (cid:105)(cid:160)(cid:161)(cid:50) (cid:32)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:214)(cid:181)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:336)(cid:70)(cid:35)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:68)(cid:126)
2 2
(cid:181)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:337)(cid:228)(cid:152)(cid:233)(cid:251)(cid:43)𝑎(cid:32)(cid:40)2𝑐(cid:41)(cid:105)(cid:214)(cid:181)(cid:184)𝑃(cid:50) (cid:32)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:211)(cid:212)(cid:48)(cid:317)(cid:43)𝑃𝐹(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:181) 𝑃=𝐹 |(cid:105)
2
=𝐴𝐵 |(cid:105)(cid:286) (cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:265)(cid:16)(cid:178) |+ +𝑀 |(cid:105)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181) |𝑃(cid:32)𝐴|(cid:54)(cid:55)|𝐴(cid:178)𝐹 (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:68)
2 2 2
(cid:90)|𝑃𝐵(cid:150)| |𝐵𝐹 △𝑃𝐴𝐵 |𝐴𝐹 |𝐴𝐵| |𝐵𝐹 △𝑃𝐴𝐵 4𝑎
1
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70) = = (cid:105)(cid:214)(cid:181) = (cid:105)
2
𝑐
(cid:186)(cid:121) 2=4 2(cid:105)(cid:194) 2+ 2=4 2(cid:105) 𝑒 (cid:214)(cid:181) 𝑎 = 3 (cid:105) 𝑎 2𝑐
𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 𝑐(cid:259)(cid:50) 3 (cid:105)(cid:303)(cid:49)(cid:50) (cid:105)(cid:186)(cid:121) = 3 = 3(cid:105)
2
2
𝑐−0
𝑃(0, 𝑐) 𝐹 (𝑐,0) 𝑘𝑃𝐹 0−𝑐 −
(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:336)(cid:70) =tan30°= 3(cid:105)
3
𝐴𝐵 𝑘
(cid:186)(cid:121) = (cid:105)(cid:194) (cid:105)
2
2
(cid:255)(cid:21)
𝑘
(cid:195)
⋅
(cid:232)
𝑘𝑃
(cid:251)
𝐹
(cid:43)
−1
(cid:32)(cid:40)(cid:41)
𝑃𝐹
(cid:178)
⊥
=
𝐴𝐵3
+ (cid:105)
3
𝐴𝐵 𝑦 (𝑥 𝑐)
(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) = 3 + 3 (cid:105)
2
(cid:232)(cid:251)𝑃(cid:43)𝐹 (cid:44)(cid:251)(cid:43) 𝑦 (cid:32)−(cid:184)(cid:50)𝑥(cid:178) (cid:105)𝑐
2
(cid:337)(cid:228) 𝐴𝐵= 3 3 +𝑃𝐹 (cid:105)(cid:214)(cid:181) 𝑀 = (cid:105) = 3 (cid:105)
= 3 + 3 2 𝑐 2
𝑦 (𝑥 𝑐)
𝑥 𝑦 𝑐
(cid:259) 𝑦, 3 −(cid:105)(cid:214)𝑥(cid:181) (cid:178)𝑐 (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:251)(cid:43) (cid:178)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:317)(cid:43)(cid:105)
2 2 2 2
𝑐
𝑀( 𝑐) 𝑀 𝑃𝐹 𝐴𝐵 𝑃𝐹
(cid:194) = |(cid:105) = |(cid:105)
2 2
|𝑃𝐴| (cid:32)|(cid:54)𝐴𝐹(cid:55)(cid:178)|𝑃𝐵|+ |𝐵𝐹 + = |+ + |= =16(cid:105)(cid:214)(cid:181) =4(cid:105)
2 2
△𝑃𝐴𝐵 1 |𝑃𝐴| |𝑃𝐵| |𝐴𝐵| |𝐴𝐹 |𝐴𝐵| |𝐵𝐹 4𝑎 𝑎
(cid:186)(cid:121) = =2(cid:105) = 3 =2 3(cid:105)
2
𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2 2
(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:10) + =1.
16 12
𝑥 𝑦
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C(cid:150)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:319)(cid:299)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:40)(cid:41) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:259)(cid:81)(cid:13)k(cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108)(cid:102) (cid:103)
𝑥 𝑦
A(cid:150)(4,6) B(cid:150)(6,8) 𝑘−4 8− C 𝑘(cid:150)(4,8) D(cid:150)(4,6) (6,8)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:48)(cid:88)(cid:338)(cid:339)(cid:131)(cid:153)0(cid:208)(cid:130)(cid:237)(cid:283)(cid:135)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:90). ∪
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)(cid:178)(cid:40)(cid:41) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:105)
𝑥 𝑦
𝑘−4 8−𝑘
>0
(cid:186)(cid:121) >0 (cid:105)(cid:90)(cid:181)4< <8(cid:208) 6(cid:105)
𝑘−4
8−𝑘 𝑘 𝑘≠
(cid:186)(cid:121)(cid:81)𝑘(cid:13)−4k≠(cid:32)8(cid:72)−𝑘(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108)(4,6) (6,8).
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D. ∪
(cid:22)(cid:196)(cid:125)3-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:98)(cid:99)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:113)(cid:21)“(cid:81)(cid:13) (1,3)”(cid:108)(cid:113)(cid:21)“(cid:42)(cid:43)( ) 2+( ) 2=( )( )(cid:160)
(cid:161)(cid:30)(cid:31)”(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:102) (cid:103) 𝑝∈ 3−𝑝 𝑥 𝑝−1 𝑦 3−𝑝 𝑝−1
A(cid:150)(cid:340)(cid:83)(cid:233)(cid:234) B(cid:150)(cid:340)(cid:88)(cid:130)(cid:341)(cid:83)(cid:233)(cid:234)
C(cid:150)(cid:341)(cid:83)(cid:130)(cid:340)(cid:88)(cid:233)(cid:234) D(cid:150)(cid:342)(cid:130)(cid:340)(cid:88)(cid:141)(cid:130)(cid:341)(cid:83)(cid:233)(cid:234)(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:225)(cid:226)(cid:68)(cid:126)“(cid:42)(cid:43)( ) 2+( ) 2=( )( )(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)”(cid:32)(cid:340)(cid:83)(cid:233)(cid:234)(cid:105)(cid:327)(cid:142)(cid:343)(cid:194)(cid:214)(cid:289)(cid:344).
3−𝑝 𝑥 𝑝−1 𝑦 3−𝑝 𝑝−1 2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)“(cid:42)(cid:43)( ) 2+( ) 2=( )( )(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)”(cid:135)(cid:345)(cid:153)“(cid:42)(cid:43) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:30)
𝑥 𝑦
(cid:31)”(cid:105) 3−𝑝 𝑥 𝑝−1 𝑦 3−𝑝 𝑝−1 𝑝−1 3−𝑝
>0
2 2
(cid:205)“(cid:42)(cid:43) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)”(cid:105)(cid:135)(cid:345)(cid:153) >0 (cid:105)(cid:90)(cid:181)1< <2(cid:71)2< <3(cid:105)
𝑥 𝑦 𝑝−1
𝑝−1 3−𝑝 3−𝑝 𝑝 𝑝
(cid:186)(cid:121)(cid:113)(cid:21)“(cid:81)(cid:13) (1,3)”(cid:108)(cid:113)(cid:21)“(cid:42)(cid:43)( 𝑝)−21+≠(3−𝑝) 2=( )( )(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)”(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:341)(cid:83)(cid:130)(cid:340)(cid:88)(cid:233)(cid:234).
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C. 𝑝∈ 3−𝑝 𝑥 𝑝−1 𝑦 3−𝑝 𝑝−1
(cid:22)(cid:196)(cid:125)3-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:328)(cid:297)(cid:297)(cid:315)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:218)(cid:91)(cid:178)(cid:285)(cid:13) = (cid:132) = (cid:132) = (cid:32)(cid:91)(cid:346)(cid:105)(cid:259)(cid:40)(cid:41)
𝑐 𝑥 𝑥
( ) 2+( ) 2+ =0(cid:160)(cid:161)(cid:102) (cid:103) ①𝑦 𝑥 ②𝑦 𝑎 ③𝑦 𝑏
𝑎−1 𝑥 𝑏−1 𝑦 𝑐
A(cid:150)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:347)(cid:42)(cid:43) B(cid:150)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:347)(cid:42)(cid:43)
C(cid:150)(cid:49)(cid:50)(cid:162)𝑥(cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31) D(cid:150)(cid:49)(cid:50)(cid:162)𝑦(cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:224)𝑥(cid:27)(cid:51)(cid:143)(cid:285)(cid:13)(cid:162)(cid:163)(cid:38)(cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:76)(cid:348)(cid:79)(cid:66)(cid:349)(cid:62)(cid:105)𝑦(cid:289)(cid:344) 、 、 (cid:32)(cid:350)(cid:351)(cid:121)(cid:35)(cid:131)(cid:206)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:214)(cid:286)(cid:40)(cid:41)
( ) 2+( ) 2+ =0(cid:16)(cid:75)(cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:289)(cid:344)(cid:42)(cid:43)(cid:241)(cid:29). 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎−1 𝑥 𝑏−1 𝑦 𝑐 1 1
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:136) < > >1(cid:105)(cid:214)(cid:136) > >0, 0< <
𝑐 0,𝑏 𝑎 2 2 𝑏−1 𝑎−1 ∴ 𝑏−1 𝑎−1
(cid:286)(cid:40)(cid:41)( ) 2+( ) 2+ =0(cid:16)(cid:178) + =1(cid:105)(cid:255)0< < (cid:214)(cid:136)(cid:105)
𝑥 𝑦 −𝑐 −𝑐
−𝑐 −𝑐
(cid:40)(cid:41)( 𝑎− ) 12𝑥 +( 𝑏− ) 12𝑦 + = 𝑐 0(cid:160)(cid:161)(cid:49) 𝑎 (cid:50) −1 (cid:162) 𝑏 (cid:176) −1 (cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31). 𝑏−1 𝑎−1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑎−C.1 𝑥 𝑏−1 𝑦 𝑐 𝑥
(cid:22)(cid:196)(cid:125)3-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:352)(cid:298)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:273)(cid:40)(cid:41)( +1) 2+( ) 2= 2(cid:160)(cid:161)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:259)
(cid:102) (cid:103) 𝑚 𝑥 1−𝑚 𝑦 1−𝑚 𝑥
A(cid:150) < <1 B(cid:150)0< <1
C(cid:150)−1<𝑚<0 D(cid:150) <𝑚 <0(cid:71)0< <1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)−(cid:272)1(cid:28)𝑚(cid:224)(cid:27)(cid:301)(cid:136)(cid:233)(cid:234)(cid:105)(cid:88)(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)−(cid:105)1(cid:318)(cid:126)𝑚(cid:130)(cid:135)(cid:125)(cid:105)(cid:68)𝑚(cid:90)(cid:194)(cid:214).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:40)(cid:41)( +1) 2+( ) 2= 2(cid:214)(cid:16)(cid:178)(cid:10) 2 + 2 =1(cid:105)
1
𝑥 𝑦
𝑚 𝑥 1−𝑚 𝑦 1−𝑚 1−𝑚 𝑚+2 2
(cid:185)(cid:178)(cid:40)(cid:41) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:105)
1
𝑥 𝑦
1−>𝑚 +𝑚+1 𝑥
(cid:186)(cid:121) (cid:105)(cid:90)(cid:181) < <0.
+1>0
1−𝑚 𝑚
−1 𝑚
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C𝑚.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)——(cid:30)(cid:31)(cid:28)
(cid:22)(cid:179)4(cid:28)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:51)(cid:238)·(cid:110)(cid:353)·(cid:354)(cid:48)(cid:103)(cid:55)(cid:178)2(cid:32)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:355)(cid:50) (cid:66) (cid:88)(cid:191)(cid:162) (cid:176)(cid:66) (cid:176)(cid:60)(cid:356)(cid:357)(cid:105)(cid:259)(cid:50) (cid:3)(cid:153)
(cid:50) (cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:102) (cid:103) 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝐴
𝐵 2 𝑀2 2 2 2 2 2 2
A(cid:150) + =1 B(cid:150) + =1 C(cid:150) + =1 D(cid:150) + =1
4 2 4 2 16 4 16 4
𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:232)(cid:126) (cid:56) (cid:56) (cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) (cid:56) (cid:152)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:158)(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:27) (cid:50)(cid:32)(cid:358)(cid:359)(cid:163)(cid:38)(cid:360)(cid:361) (cid:56) (cid:50)(cid:163)
(cid:38)(cid:284)(cid:362)(cid:86)(cid:235)(cid:194)(cid:214)(cid:181)𝐴. 𝐵 𝑀 𝐴 𝐵 𝑀 𝐴 𝐵
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232) ( ,0)(cid:56) (0, )(cid:105) ( )(cid:105)
1 2
𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 𝑀 𝑥,𝑦
(cid:259)(cid:188) + =0(cid:105) +0=2 (cid:105)(cid:194) = (cid:105) = (cid:105)
1 2 1 2 2
𝑦
𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 −2𝑥 𝑦
(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) 2+ 2=4(cid:105)(cid:194)( )2+ =4(cid:105)(cid:194) 2 + 2 =1.
1 2 2 16 4
𝑦 𝑦 𝑥
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D. 𝑥 𝑦 −𝑥
(cid:22)(cid:196)(cid:125)4-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:98)(cid:99)·(cid:142)(cid:300)(cid:103)(cid:151)(cid:57)(cid:251)(cid:52)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:48)(cid:105)(cid:135)(cid:363) (cid:32)(cid:363)(cid:55)(cid:178)2(cid:105)M(cid:178) (cid:48)(cid:50)(cid:105)B(cid:105)C(cid:88)(cid:191)(cid:162)
(cid:364)(cid:43) = 3 (cid:105) = 3 ( 0)(cid:60)(cid:365)(cid:357)(cid:105)(cid:313)M(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:178) (cid:105)△(cid:259)𝐴𝐵(cid:102)𝐶 (cid:103) 𝐵𝐶
1
A𝑦(cid:150) (cid:178)𝑥(cid:366)𝑦(cid:88)(cid:31)− B𝑥(cid:150)𝑦≥(cid:178)(cid:366)(cid:88)(cid:43)(cid:190) C(cid:150) (cid:178)(cid:366)𝐶(cid:88)(cid:367)(cid:14)(cid:43) D(cid:150) (cid:178)(cid:366)(cid:88)(cid:30)(cid:31)
1 1 1 1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)𝐶(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:227)(cid:228)(cid:368)𝐶(cid:201)(cid:32)(cid:151)(cid:57)(cid:251)(cid:52)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:232)𝐶(cid:126)(cid:50)(cid:32)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:225)(cid:226)(cid:255)|𝐶 |=2(cid:181)( )2+3( + )2=4(cid:105)
(cid:327)(cid:142)(cid:343)(cid:255)(cid:138)(cid:139) = , = 3( )(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:126)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:255)(cid:207)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:90) 𝐵𝐶 . 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐
2 2
𝑏+𝑐 𝑏−𝑐
𝑥𝑀 𝑦𝑀 𝑀
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)
(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:130)(cid:369)(cid:232) ( 3 ) ( 3 )(cid:105)(cid:259) , 3 3 (cid:105)
2 2
𝑏+𝑐 𝑏− 𝑐
𝐵 𝑏, 𝑏 ,𝐶 𝑐,− 𝑐 𝑀
(cid:205)| |= ( )2+3( + )2=2(cid:105)(cid:194)( )2+3( + )2=4(cid:105)
𝐵𝐶 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐(cid:305) = , = 3( )(cid:105)(cid:186)(cid:121) 4 2 +12 2 =4(cid:105)(cid:194) 2 + 2 =1(cid:105)
1
𝑏+ 2 𝑐 2 𝑏−𝑐 3 𝑦 3 𝑀 𝑥3𝑀
𝑥𝑀 𝑦𝑀 𝑦𝑀 𝑥𝑀
(cid:185)(cid:178) , 0(cid:105)(cid:186)(cid:121) 0(cid:105)(cid:194) (cid:178)(cid:366)(cid:88)(cid:30)(cid:31).
1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑦𝐵 D𝑦. 𝐶≥ 𝑦𝑀≥ 𝐶
(cid:22)(cid:196)(cid:125)4-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:373)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:230)(cid:354)(cid:32)(cid:13)(cid:11)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:380)(cid:162)(cid:59)(cid:32)(cid:381)(cid:13)(cid:11)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:48)(cid:385)(cid:242)(cid:199)(cid:31)(cid:109)(cid:42)
(cid:43)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:66)(cid:39)(cid:43)(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:10)(cid:151)(cid:57)(cid:111)(cid:61)(cid:142)(cid:33)(cid:50)(cid:66)(cid:33)(cid:251)(cid:43)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:254)(cid:142)(cid:33)(cid:193)(cid:179)(cid:32)(cid:186)(cid:188)(cid:50)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:108)(cid:142)(cid:31)(cid:109)(cid:42)(cid:43)(cid:150)(cid:157)(cid:223)
(cid:108)(cid:31)(cid:109)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:104)(cid:246)(cid:33)(cid:34)(cid:71)(cid:95)(cid:178)(cid:85)(cid:142)(cid:33)(cid:34)(cid:150)(cid:273)(cid:151)(cid:57)(cid:111)(cid:142)(cid:357)(cid:50) ( )(cid:61)(cid:33)(cid:50) (1,0)(cid:66)(cid:61)(cid:33)(cid:251)(cid:43) =4(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:386)(cid:193)(cid:108)
1 𝑃 𝑥,𝑦 𝐴 𝑥
(cid:105)(cid:259)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
2
𝑃
A(cid:150)(cid:31) B(cid:150)(cid:30)(cid:31) C(cid:150)(cid:347)(cid:42)(cid:43) D(cid:150)(cid:367)(cid:14)(cid:43)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:224)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:251)(cid:203)(cid:210)(cid:68)(cid:90).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:90)(cid:10)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:181) 2 2 = 1 (cid:105)
| | 2
(𝑥−1) +(𝑦−0)
𝑥−4
3 2
(cid:387)(cid:15)(cid:181)(cid:10) + =1(cid:105)
4 3
𝑥 𝑦
(cid:186)(cid:121)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:150)
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑃B(cid:150)
(cid:22)(cid:196)(cid:125)4-3(cid:28)(cid:102)2023·(cid:333)(cid:388)(cid:298)(cid:389)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:31) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2+ 2=16(cid:105)(cid:251)(cid:43) (cid:178)(cid:31) (cid:32)(cid:390)(cid:43)(cid:105)(cid:313) ( )
(2,0)(cid:152)(cid:50)(cid:61)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:88)(cid:191)(cid:178) , (cid:105)(cid:357)(cid:50) (cid:391)(cid:392)𝐶| |= (cid:105)𝑥| 𝑦|= (cid:105)(cid:259)(cid:357)(cid:50)𝑙 (cid:32)(cid:45)𝐶(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:102) 𝐴 (cid:103)−2,0 ,𝐵
1 2 1 2
A(cid:150) 2+ 2= 𝑙 4 B(cid:150) 2 + 𝑑2 = 𝑑 1 𝑃 C(cid:150) 𝑃2𝐴 2 = 𝑑 1 𝑃𝐵 𝑑 D(cid:150) 2=4 𝑃
16 12 16 12
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:91)(cid:214)(cid:181) + =8(cid:105)(cid:194)| |+| |=8(cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:357)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:68)
1 2
(cid:126)(cid:36)(cid:48)(cid:32)(cid:393)(cid:13)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:61)𝑑(cid:357)(cid:50)𝑑(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)𝑃.𝐴 𝑃𝐵 𝑃
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:218)(cid:91)(cid:105)(cid:88)(cid:191)(cid:304)𝑃(cid:50) (cid:394)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:317)(cid:43)(cid:105)(cid:317)(cid:392)(cid:88)(cid:191)(cid:178) , , (cid:105)
1 1 1
(cid:259) // // (cid:105) =| 𝐴|,,𝑂,𝐵=| |𝑙(cid:105)(cid:390)(cid:50)(cid:178) , 𝐴 𝑂 𝐵
1 1 1 1 1 2 1 1
𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝑑 𝐴𝐴 𝑑 𝐵𝐵 𝑂
(cid:185)(cid:178) ( ) (2,0)(cid:105)(cid:186)(cid:121) (cid:108) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105),
𝐴 −2,0 ,𝐵 𝑂 𝐴𝐵 | | | |
(cid:186)(cid:121) (cid:108)(cid:395)(cid:53) (cid:32)(cid:48)(cid:165)(cid:43)(cid:105)(cid:186)(cid:121)| |= 1 1 = 1 2(cid:105)
1 1 1 1 2 2
𝐴𝐴 +𝐵𝐵 𝑑 +𝑑
𝑂𝑂 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝑂𝑂(cid:305)(cid:185)(cid:178)(cid:31) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2+ 2=16(cid:105) =4(cid:105)
(cid:186)(cid:121)| 𝐶|= =4(cid:105)𝑥(cid:186)(cid:121)𝑦 + =𝑟8(cid:105)
1 1 2
(cid:194)| 𝑂|𝑂+| 𝑟|=8(cid:105) 𝑑 𝑑
(cid:186)(cid:121)𝑃𝐴(cid:357)(cid:50) 𝑃(cid:32)𝐵(cid:45)(cid:46)(cid:108)(cid:121) 、 (cid:178)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:178)8(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:105)
𝑃 2 2𝐴 𝐵
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1( > >0)(cid:105)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:259) = =2(cid:105)𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:186)(cid:121)2𝑎 =84,𝑐, 2=16(cid:105) 2= 2 2=12(cid:105)
𝑎 𝑎 𝑏 𝑎2 −𝑐2
(cid:186)(cid:121)(cid:357)(cid:50) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1.
16 12
𝑥 𝑦
𝑃
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:47)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:179)5(cid:28)(cid:102)2024·(cid:396)(cid:397)(cid:333)(cid:398)(cid:399)(cid:400)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) (cid:108)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:251)(cid:43) =1(cid:44) (cid:184)(cid:153) (cid:56) (cid:152)(cid:50)(cid:105)
1 2
𝑥
𝐹 𝐶: 𝑦 𝑥 𝐶 𝐴 𝐵
(cid:259) (cid:54)(cid:55)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
1
△A𝐹(cid:150)𝐴𝐵2 B(cid:150) 3 C(cid:150)2 2 D(cid:150)4 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) (cid:401)(cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:86)(cid:235)(cid:194)(cid:214)(cid:181).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255) =1𝐴(cid:105)𝐵(cid:306) (cid:401)(cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)
(cid:306) (cid:32)(cid:54)(cid:55)2−1 = =𝐴𝐵4× 2=4 2.
1
1
(cid:306)(cid:20)△(cid:10)𝐹D𝐴.𝐵 𝐶△𝐹 𝐴𝐵 4𝑎
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)5-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:110)(cid:353)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136) , (cid:108)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:50)P(cid:162)C(cid:60)(cid:105)(cid:208)(cid:43)(cid:190)
1 2 9 5 1
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝐶: 𝑃𝐹
(cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:162)(cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:60)(cid:105)(cid:259)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
1 2 2 1
A(cid:150)1 𝐹 𝐹 B(cid:150) 15 𝑃𝐹 𝐹 C(cid:150) 15 D(cid:150)8
2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:181)(cid:61) (cid:178)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:68)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:194)(cid:214).
1 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:178)M(cid:105)(cid:259)△|𝑃𝐹|𝐹=2| |= =4(cid:105)
1 2
(cid:153)(cid:108)| |= 𝑃𝐹 =2(cid:105)(cid:305)| |=4𝑃(cid:105)𝐹 𝑂𝑀 2𝑐
1 1 2
(cid:259) 𝑃𝐹 (cid:178)2(cid:135)𝑎−(cid:402)2𝑐(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105) 𝐹 𝐹
1 2
△𝑃𝐹 𝐹1
= ×2× = 15(cid:150)
1 2 2
𝑆 (cid:306) △ (cid:20) 𝑃𝐹 (cid:10) 𝐹 C(cid:150) 16−12 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)5-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:352)(cid:298)(cid:403)(cid:404)(cid:405)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1(0< < (cid:32)(cid:302)､(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) , (cid:105)
9 1 2
𝑥 𝑦
𝐶: 𝑚 𝑚 9,𝑚∈𝑍) 𝐹 𝐹
7
(cid:50) (cid:162) (cid:60)(cid:292)(cid:130)(cid:162)(cid:163)(cid:38)(cid:176)(cid:60)(cid:105)(cid:208) (cid:108)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:36)(cid:48)(cid:142)(cid:143)(cid:111)(cid:52)(cid:32)(cid:256)(cid:257)(cid:65)(cid:178) (cid:105)(cid:259) =(cid:102) (cid:103)
1 2 8
𝑃 𝐶 △𝑃𝐹 𝐹 𝑚
A(cid:150)4 B(cid:150)5 C(cid:150)6 D(cid:150)8
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)| |+| |=6(cid:105)(cid:232)| |= (cid:105)(cid:255) (cid:108)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:256)(cid:257)(cid:33)(cid:15)(cid:68)(cid:126) (cid:105)(cid:214)(cid:68) (cid:32)
1 2 1 2 1 2
(cid:65). 𝑃𝐹 𝑃𝐹 𝐹 𝐹 𝑛 △𝑃𝐹 𝐹 𝑛 𝑚
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:231)(cid:21)(cid:195)(cid:181)| |+| |=6(cid:105)(cid:232)| |= (cid:105)
1 2 1 2
(cid:130)(cid:369)(cid:232)(cid:50) (cid:162)(cid:104)(cid:142)(cid:346)(cid:406)(cid:105)𝑃(cid:273)𝐹| |𝑃=𝐹| |= (cid:105)𝐹(cid:188)𝐹| 𝑛|= < <6)(cid:105)
1 1 2 2
𝑃 2 2 2𝑃𝐹7 𝐹 𝐹 𝑛 2 𝑃𝐹 2 62−𝑛7(0 𝑛
(cid:306)cos = = (cid:71)cos = = (cid:105)
1 2 2 2 8 2 1 ( ) 8
𝑛 +𝑛 −(6−𝑛) 𝑛 +(6−𝑛) −𝑛
∠𝑃𝐹 𝐹 𝑛 ∠2𝑃𝐹 𝐹 2𝑛 6−𝑛
24
(cid:90)(cid:181) =4(cid:71) = (cid:105)(cid:305) + =9(cid:105)(cid:186)(cid:121) = =5.
11 2
𝑛
(cid:273)| 𝑛 |=| 𝑛 |= (cid:105)𝑚(cid:188)∈| 𝑍,𝑚|= < <6)𝑛(cid:105)(cid:250)4(cid:15),𝑚(cid:214)(cid:181) = =5.
2 1 2 1
(cid:207)(cid:204)𝑃𝐹| |=𝐹4𝐹(cid:105)| 𝑛|=2(cid:105)𝑃𝐹(cid:130)(cid:407)(cid:139)6−(cid:50)𝑛((cid:162)0 (cid:104)𝑛(cid:142)(cid:346)(cid:406)(cid:105) 𝑛 4,𝑚
2 1
(cid:186)(cid:121) 𝑃𝐹=5. 𝑃𝐹 𝑃
(cid:306)(cid:20)𝑚(cid:10)B.
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)5-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:296)(cid:408)(cid:409)(cid:309)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) (cid:105) (cid:105)(cid:304)(cid:50) (cid:32)(cid:251)(cid:43) (cid:44)
9 5 1 2 2
𝑥 𝑦
𝐶: 𝐹 𝐹 𝐹 𝑙
(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:184)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:273)| |=4(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
2 1 2
A𝐶(cid:150)2 3 𝐴 B(cid:150)𝐴𝐹13 △𝐴𝐹C𝐹(cid:150)4 D(cid:150) 15
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:410)(cid:33)(cid:233)(cid:234)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:68)(cid:126) |(cid:105)(cid:244)(cid:68)(cid:126)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:156)(cid:245).
1 1 2
2 2 |𝐴𝐹 △𝐴𝐹 𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:48)(cid:105)| |=2 =4(cid:105)(cid:255)| |=4(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:181)| |=2(cid:105)
9 5 1 2 2 1
𝑥 𝑦
𝐶: 𝐹 𝐹 9−5 𝐴𝐹 𝐴𝐹(cid:185)(cid:207) (cid:178)(cid:135)(cid:402)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:411)(cid:363)(cid:60)(cid:32)(cid:24) = |2 ( 1 |) 2 = 42 12= 15(cid:105)
1 2 2 1
2
△𝐴𝐹 𝐹 ℎ |𝐴𝐹 − |𝐴𝐹 −
1
(cid:186)(cid:121) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) = | = 15.
1 2 1 2 2 1
△𝐴𝐹 𝐹 𝑆△𝐴𝐹 𝐹 |𝐴𝐹 ⋅ℎ
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:50)(cid:61)(cid:36)(cid:59)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:47)(cid:21)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)6(cid:28)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)(cid:60)·(cid:396)(cid:397)(cid:333)(cid:398)(cid:399)(cid:400)·(cid:354)(cid:412)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:178) (cid:178) (cid:60)(cid:413)(cid:195)(cid:142)(cid:50)(cid:105)(cid:259)| |
25 9
𝑥 𝑦
(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103) 𝐶: 𝐹,𝑃 𝐶 𝑃𝐹
A(cid:150)5 B(cid:150)9 C(cid:150)10 D(cid:150)18
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:181) ( )(cid:105)(cid:232) ( , )(cid:282)(cid:224)(cid:27)(cid:152)(cid:50)(cid:158)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:125)(cid:214)(cid:181)| |= ( )2+ 2=
0 0 0 0
2 𝐹 −4,0 𝑃 𝑥 𝑦 𝑃𝐹 𝑥 −4 𝑦
16 25 (cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:246)(cid:268)(cid:285)(cid:13)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:68)(cid:181)(cid:36)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)9.
0
25 4
(cid:22)(cid:90)(cid:245)𝑥(cid:304)−(cid:41)(cid:28)(cid:414)(cid:136) ( )(cid:105)
(cid:232) ( 0 , 0 ), 0 [ 𝐹 − ](cid:105) 4,0 (cid:259) 25 2 0 + 9 2 0=1(cid:105)(cid:214)(cid:181) 2 0 =9 25 2 0 (cid:105)
𝑥 𝑦 𝑥
𝑃 𝑥 𝑦 𝑥 ∈ −5,5 𝑦 1−
(cid:186)(cid:121)| |= ( )2+ 2= 2 +16+ 2= 2 +16+9 2 0
0 0 0 0 0 0 0 25
𝑥
= 1
𝑃
6
𝐹
2 0 +
𝑥
2
−
5
4
= 1
𝑦
6
𝑥
25
−28
(cid:132)
𝑥 𝑦 𝑥 −8𝑥 1−
0 0
25 25 4
𝑥
(cid:255)(cid:246)(cid:268)(cid:285)−(cid:13)8(cid:79)𝑥 (cid:80)(cid:214)(cid:181)(cid:201) =𝑥 −(cid:204)(cid:105)| |(cid:72)(cid:181)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)9.
0
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B. 𝑥 −5 𝑃𝐹
(cid:22)(cid:196)(cid:125)6-1(cid:28)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)(cid:60)·(cid:370)(cid:371)(cid:55)(cid:415)·(cid:354)(cid:412)(cid:103)(cid:301)(cid:136) (cid:108)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:60)(cid:96)(cid:50)(cid:105)(cid:50) (cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:32)(cid:413)(cid:195)(cid:142)(cid:50)(cid:105)
3
𝑥
𝐵 𝑦 𝑀
(cid:259)| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
𝑀 A 𝐵 (cid:150)2 B(cid:150)2 2 C(cid:150)3 2 D(cid:150) 9
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:232)(cid:126) (cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:163)(cid:38)(cid:160)(cid:161)(cid:126)| |(cid:282)(cid:327)(cid:416)(cid:16)(cid:75)(cid:105)(cid:244)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:188)(cid:417)(cid:79)(cid:138)(cid:139)(cid:246)(cid:268)(cid:285)(cid:13)(cid:32)(cid:79)(cid:80)
(cid:68)(cid:90)(cid:126)| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)𝑀(cid:65). 𝑀𝐵
𝑀𝐵(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232) ( , )(cid:105) (0,1)(cid:105)(cid:208) 2 0+ 2=1(cid:105)
0 0 3 0
𝑥
𝑀 𝑥 𝑦 𝐵 𝑦
(cid:186)(cid:121)| |= ( )2+( )2= 2+( )2= 2+( )2
0 0 0 0 0 0
𝑀𝐵 𝑥 −0 𝑦 −1 2 𝑥 𝑦 −1 3−3𝑦 𝑦 −1
= 2 +4= + 1 + 9(cid:105)
0 0 0 2 2
−2𝑦 −2𝑦 −2 𝑦 1
(cid:305)(cid:185)(cid:178) [ ](cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:201) = (cid:204)(cid:72)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:105)
0 0 2
𝑦 ∈ −1,1 𝑦 −
(cid:186)(cid:121)| | = 9=3 2(cid:105)
max
2 2
𝑀𝐵
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C.
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)6-2(cid:28)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)(cid:60)·(cid:418)(cid:333)·(cid:354)(cid:48)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:50) (cid:178)(cid:30)(cid:31) : + =1(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:50) (cid:108)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:32)(cid:357)(cid:50)(cid:105)(cid:50)
25 16
𝑥 𝑦
𝐹 𝐶 𝑃 𝐶 𝑄
| |
(cid:108)(cid:31) +3)2+ 2=1(cid:60)(cid:32)(cid:357)(cid:50)(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:108)(cid:102) (cid:103)
| |
𝑃𝐹
𝑀:(𝑥 𝑦 𝑃𝑄
1 2 2 8
A(cid:150) B(cid:150) C(cid:150) D(cid:150)
2 9 3 3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)
| |
(cid:156)(cid:126)(cid:91)(cid:53)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:121)(cid:35)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:68)(cid:181) (cid:32)(cid:64)(cid:206)(cid:65).
| |
𝑃𝐹
𝑃𝑄
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:218)(cid:238)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:10)
2 2
(cid:162)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:48)(cid:105) = = =3(cid:105)
25 16
𝑥 𝑦
𝐶: 𝑎 5,𝑏 4,𝑐
(cid:259) (3,0)(cid:105)
(cid:31)𝐹 +3)2+ 2=1(cid:32)(cid:31)(cid:69) ( )(cid:105)(cid:192)(cid:310) =1(cid:105)
(cid:31)(cid:69)𝑀:(𝑥( )(cid:178)(cid:30)𝑦 (cid:31) (cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)𝑀(cid:105)−(cid:255)3,(cid:30)0 (cid:31)(cid:33)(cid:34)𝑟(cid:214)(cid:181)| |+| |= =10(cid:105)
| 𝑀|=−3,0 | |(cid:105)𝐶 𝑃𝐹 𝑃𝑀 2𝑎
(cid:255)∴(cid:30)𝑃𝐹(cid:31)(cid:32)(cid:77)10(cid:78)−(cid:79)𝑃𝑀(cid:80)(cid:214)(cid:181) | | + (cid:105)(cid:194)2 | | 8(cid:105)
(cid:255)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:181)| 𝑎−| 𝑐≤| 𝑃𝑀|+≤| 𝑎 |=𝑐 | |+≤1(cid:105)𝑃𝑀 ≤
| | | | 𝑃|𝑄 ≤| 𝑃𝑀11 𝑄𝑀 11 𝑃𝑀 2
(cid:186)(cid:121) = = = (cid:105)
| | | | 1 | | 1 | | 1 8 1 9
𝑃𝐹 𝑃𝐹 10−𝑃𝑀
𝑃𝑄 ≥ 𝑃𝑀+ 𝑃𝑀+ 𝑃𝑀+ −1≥ + −1
| | 2
(cid:186)(cid:121) (cid:32)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:108) .
| | 9
𝑃𝐹
𝑃𝑄(cid:306)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:196)(cid:125)6-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:328)(cid:297)(cid:297)(cid:315)·(cid:142)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:50) (cid:162)(cid:30)(cid:31) 2 + 2 =1(cid:60)(cid:365)(cid:357)(cid:105)(cid:50) (cid:162)(cid:31) 2+( )2=1(cid:60)(cid:365)(cid:357)(cid:105)
18 9
𝑥 𝑦
𝑀 𝑁 𝑥 𝑦−1
(cid:259)| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
𝑀A𝑁(cid:150)1+ 19 B(cid:150)1+2 5 C(cid:150)5 D(cid:150)6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:31)(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:152)(cid:50)(cid:158)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:125)(cid:56)(cid:288)(cid:40)(cid:210)(cid:327)(cid:416)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:90)(cid:10)(cid:232)(cid:31) 2+( )2=1(cid:32)(cid:31)(cid:69)(cid:178) (0,1)(cid:105)(cid:259)| | | |+ =| |+1(cid:105)
(cid:232) , )(cid:105)(cid:259) 2 0 + 2 0= 𝑥 𝑦 2 − = 1 2(cid:105) 𝐶 𝑀𝑁 ≤ 𝑀𝐶 𝑟 𝑀𝐶
0 0 18 9 0 0
𝑥 𝑦
𝑀(𝑥 𝑦 1⇒𝑥 18−2𝑦
(cid:186)(cid:121)| |= 2+( )2= 2+ 2 +1= 2+ 2 +1
0 0 0 0 0 0 0 0
𝑀𝐶 𝑥 𝑦 −1 𝑥 𝑦 −2𝑦 18−2𝑦 𝑦 −2𝑦
= 2 +19= ( +1)2+20 2 5(cid:105)(cid:201)(cid:208)(cid:209)(cid:201) = (cid:204)(cid:72)(cid:181)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:105)
0 0 0 0
(cid:186)(cid:121)− | 𝑦 − | 2𝑦 | |+1 2 − 𝑦 5+1(cid:150) ≤ 𝑦 −1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑀B𝑁(cid:150)≤ 𝑀𝐶 ≤
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:50)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:66)(cid:33)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:66)(cid:56)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)7(cid:28)(cid:102)2024·(cid:23)(cid:419)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:232) , (cid:88)(cid:191)(cid:108)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:105)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:304) (cid:32)(cid:251)(cid:43) (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:153) (cid:152)(cid:50)(cid:105)
1 2 9 4 1
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝐹 𝑙 𝐴,𝐵
(cid:259)| |+| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)( )
2 2
𝐴𝐹 29 𝐵𝐹 28 8
A(cid:150) B(cid:150) C(cid:150) D(cid:150)6
3 3 3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:136) (cid:54)(cid:55)(cid:178)(cid:33)(cid:65)4a(cid:105)(cid:114)(cid:205)(cid:214)(cid:181)(cid:201)| |(cid:64)(cid:206)(cid:204)(cid:105)| |+| |(cid:64)(cid:131)(cid:105)(cid:244)(cid:211)
2 2 2
(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:49)(cid:50)(cid:257)(cid:64)(cid:206)(cid:178)(cid:389)(cid:310)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:90)△(cid:150)𝐴𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:136) = =2,| |+| |= =6,| |+| |= =6
1 2 1 2
(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:178)| |+| 𝑎|+3|,𝑏 |=𝐴|𝐹 |+𝐴|𝐹 |+2|𝑎 |+𝐵|𝐹 |=𝐵1𝐹2(cid:105) 2𝑎
2 2 2 1 2 1 2
∴(cid:201)△|𝐴𝐵𝐹|(cid:64)(cid:206)(cid:204)(cid:105)| 𝐴𝐹|+| 𝐴𝐵|(cid:64)(cid:131)𝐵(cid:150)𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐵𝐹 𝐵𝐹
2 2
(cid:201) ∴ 𝐴𝐵 (cid:176)(cid:105)(cid:194)AB 𝐴𝐹 (cid:178)(cid:389)(cid:310) 𝐵 (cid:204) 𝐹 (cid:105)| |(cid:64)(cid:206)(cid:105)(cid:207)(cid:204)| |= 2 2 = 8 (cid:105)
3
𝑏
𝐴𝐵⊥𝑥 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑎
8 28
| |+| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178) = (cid:150)
2 2 3 3
(cid:306)∴ 𝐴(cid:20)𝐹(cid:10)B(cid:150)𝐵𝐹 12−2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)7-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:420)(cid:421)(cid:33)(cid:297)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31)C(cid:10) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) (cid:105) (cid:105)A(cid:108)C(cid:60)(cid:142)
9 5 1 2
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹
(cid:50)(cid:105) (2,1)(cid:105)(cid:259)| |+| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
1
A𝐵(cid:150)7 𝐴𝐵 B𝐴(cid:150)𝐹8 C(cid:150)9 D(cid:150)11
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)
(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181)| |+| |=| |+ | |(cid:105)(cid:224)(cid:27)| | | | | |(cid:214)(cid:68)| |+| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65).
1 2 2 2 1
𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐴𝐵 2𝑎− 𝐴𝐹 𝐴𝐵 − 𝐴𝐹 ≤ 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:192)(cid:49)(cid:62)(cid:178) (cid:105)(cid:259) (2,0)(cid:105) =3(cid:105)
2
(cid:218)(cid:91)(cid:105)(cid:312)(cid:203) (cid:105)(cid:259)𝑐| |𝐹+| |=𝑎| |+ | |=6+| | | |(cid:105)
2 1 2 2
(cid:205)| | | 𝐴𝐹| | 𝐴|𝐵=1(cid:105)𝐴(cid:201)𝐹(cid:208)(cid:209)(cid:201)𝐴𝐵 2𝑎(cid:422)−(cid:43)𝐴𝐹(cid:208) (cid:162) (cid:48)𝐴𝐵(cid:158)−(cid:204)𝐴(cid:135)𝐹(cid:9)(cid:254)(cid:228)(cid:105)
2 2 2 2
(cid:306)|𝐴𝐵|−+𝐴|𝐹 |≤(cid:32)(cid:64)𝐵𝐹(cid:131)(cid:65)(cid:178)7. 𝐴,𝐹 ,𝐵 𝐹 𝐴,𝐵
1
(cid:306)(cid:20)𝐴𝐵(cid:10)A. 𝐴𝐹
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)7-2(cid:28)(cid:102)24-25(cid:24)(cid:51)(cid:60)·(cid:98)(cid:99)·(cid:423)(cid:190)(cid:424)(cid:425)(cid:103)(cid:232)(cid:30)(cid:31) ： + =1(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:357)(cid:50) (cid:162)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:105)(cid:50) (cid:108)
4 3
𝑥 𝑦
𝐶 𝐹 𝑃 𝐶 𝐴
(cid:251)(cid:43) =0(cid:60)(cid:32)(cid:357)(cid:50)(cid:105)(cid:259)| | | |(cid:32)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
A 4 (cid:150) 𝑥−51𝑦6−4112 B(cid:150)16 41 𝑃𝐴 − 𝑃𝐹 C(cid:150)16 41 D(cid:150) 16 41
41 41 41 41
− −4 4−
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:152)(cid:50)(cid:158)(cid:43)(cid:190)(cid:64)(cid:177)(cid:56)(cid:50)(cid:61)(cid:251)(cid:43)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:125)(cid:327)(cid:416)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:178) (1,0)(cid:105)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:178) ( )(cid:105)
′
(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:136)| |+| |=4(cid:105)(cid:186)(cid:121)| 𝐹|= | |(cid:105) 𝐹 −1,0
′ ′
(cid:259)| | | |=| | 𝑃𝐹 | 𝑃|𝐹=| |+| 𝑃|𝐹 (cid:105)4− 𝑃𝐹
′ ′
𝑃𝐴 − 𝑃𝐹 𝑃𝐴 − 4− 𝑃𝐹 𝑃𝐴 𝑃𝐹 −4(cid:186)(cid:121)| |+| |(cid:64)(cid:206)(cid:204)(cid:105)(cid:194)| | | |(cid:64)(cid:206)(cid:105)
′
(cid:33)(cid:50)(cid:61)𝑃𝐴(cid:251)(cid:43)(cid:64)𝑃(cid:177)𝐹 (cid:62)(cid:63)(cid:108)(cid:304)(cid:33)(cid:50)𝑃(cid:251)𝐴(cid:43)−(cid:32)𝑃𝐹(cid:317)(cid:43)(cid:190)(cid:105)
(cid:211)(cid:212)(cid:50)(cid:61)(cid:251)(cid:43)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:125)(cid:214)(cid:181) = |4×( ) × | =16 41(cid:105)
42 52 41
−1 −0 5−12
𝑑 +
(cid:186)(cid:121)| | | |=16 41 .
41
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑃𝐴
C.
− 𝑃𝐹 −4
(cid:22)(cid:196)(cid:125)7-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:388)(cid:426)(cid:309)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)F(cid:178)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)P(cid:178)C(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)Q(cid:178)(cid:31) 2
4
𝑥
+( )2=1(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)(cid:259)| |+| |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103) 𝐶: 𝑦 𝑀:𝑥
𝑦A−(cid:150)35 B(cid:150)𝑃5𝑄+2 𝑃3𝐹 C(cid:150)3+2 3 D(cid:150)6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:178) 3,0)(cid:105)(cid:156)(cid:126)(cid:91)(cid:53)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:91)(cid:53)(cid:66)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:136)(cid:201) (cid:51)(cid:50)(cid:422)
1 1
(cid:43)(cid:204)| |+| |(cid:72)(cid:61)(cid:64)(cid:131)(cid:65). 𝐹 (− 𝑀,𝐹 ,𝑃
(cid:22)(cid:90)(cid:245)𝑃𝑄(cid:304)(cid:41)(cid:28)𝑃(cid:255)𝐹 (cid:21)(cid:195)(cid:136)(cid:105) 3,0)(cid:105)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:178) 3,0)(cid:105)
1
(cid:218)(cid:91)(cid:105)P(cid:178)C(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)Q𝐹(cid:178)((cid:31) 2+ 2=1(cid:60)(cid:142)(cid:50)𝐹(cid:105)(− (cid:105)(cid:192)(cid:310)(cid:178)1(cid:105)
𝑀:𝑥 (𝑦−3) 𝑀(0,3)
| |+| |=| |+1+| | | |+| |+| |+1= 3) 2 +32+ +1=5+2 3(cid:105)
1 1
(cid:201)𝑃𝑄(cid:208)(cid:209)(cid:201)𝑃𝐹 𝑃(cid:51)𝑀(cid:50)(cid:422)(cid:43)(cid:204)𝑃𝐹(cid:105)(cid:135)≤(cid:9)𝑀(cid:254)𝐹(cid:228)(cid:105)𝑃𝐹 𝑃𝐹 (− 2𝑎
1
(cid:186)(cid:121)| |𝑀+,𝐹| ,𝑃|(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)5+2 3.
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑃𝑄B. 𝑃𝐹(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)8(cid:28)(cid:102)2024·(cid:296)(cid:408)·(cid:142)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:50)F(cid:105)A(cid:88)(cid:191)(cid:108)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:56)(cid:303)(cid:96)(cid:50)(cid:105) ( )(cid:391)(cid:392)
2 2
𝑥 𝑦
=0(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:135)(cid:153)(cid:102) (cid:103) 𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 𝐵 0,𝑏
𝐹𝐵⋅ A 𝐴 (cid:150) 𝐵 3 1 B(cid:150) 5 C(cid:150) 3 D(cid:150) 5 1
2 2 2 2
+ −1 −1 +
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:225)(cid:226)(cid:211)(cid:212) =0(cid:427)(cid:344)(cid:126) (cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:211)(cid:212)(cid:428)(cid:429)(cid:33)(cid:15)(cid:214)(cid:136)| |2+| |2= + 2(cid:105)(cid:430)(cid:327)
𝐹𝐵⋅𝐴𝐵 𝐹𝐵⊥𝐴𝐵 𝐹𝐵 𝐴𝐵 (𝑎 𝑐)
(cid:205)(cid:387)(cid:15)(cid:3)(cid:153)a(cid:66)c(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:181) (cid:194)(cid:63)(cid:69)(cid:70)e(cid:32)(cid:65).
𝑐
𝑎
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)
=0(cid:105) (cid:105)
∵𝐹| 𝐵⋅|2𝐴+𝐵| |2=∴𝐹𝐵+⊥𝐴𝐵2(cid:105)(cid:194) 2+ 2+ 2+ 2= + 2(cid:105)
(cid:387)∴(cid:15)𝐹𝐵(cid:181) 𝐴𝐵2=0(𝑎(cid:105)(cid:194)𝑐)2+ 𝑏 2=𝑐0(cid:105)𝑎 𝑏 (𝑎 𝑐)
(cid:135)(cid:9)(cid:152) 2 (cid:363) 𝑎 (cid:250) 𝑐− (cid:204) 2𝑏 (cid:431)(cid:121) 2(cid:181) 2𝑐 + 𝑎𝑐− = 𝑎 0(cid:105)(cid:194) 2+ =0(cid:105)(cid:68)(cid:181) = ± 5(cid:105)
2 2
𝑐 𝑐 −1
𝑎 𝑎 𝑎−1 𝑒 𝑒−1 𝑒
0< <1(cid:105) = 5(cid:105)
2
−1+
∵ 𝑒 ∴𝑒
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B.
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)8-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:328)(cid:297)(cid:432)(cid:307)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:220)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:44)(cid:251)(cid:43) +1=0(cid:184)(cid:153)
2 2
𝑥 𝑦
𝑂 𝐶:𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 𝑙:𝑥−𝑦 𝐴,𝐵
1
(cid:152)(cid:50)(cid:105)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:273)(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:336)(cid:70)(cid:178) (cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
4
𝐴𝐵 𝑀 𝑂𝑀 − 𝐶
A(cid:150) 1 B(cid:150) 3 C(cid:150) 5 D(cid:150) 6
2 2 2 3
−1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:232) ( , ) ( , )(cid:105)(cid:259) 1 2, 1 2 (cid:105)(cid:255)(cid:50)(cid:67)(cid:210)(cid:68)(cid:90)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:194)(cid:214).
1 1 2 2
2 2
𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦
𝐴 𝑥 𝑦 ,𝐵 𝑥 𝑦 𝑀
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232) ( , ) ( , )(cid:105)(cid:259) 1 2, 1 2 (cid:105)
1 1 2 2
2 2
𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦
𝐴 𝑥 𝑦 ,𝐵 𝑥 𝑦 𝑀
2 2
1+ 1 =1
(cid:259) 2 2 (cid:105)(cid:152)(cid:125)(cid:283)(cid:433)(cid:214)(cid:181) 2 = ( 1 2 )( 1 2 ) (cid:105)
𝑎
𝑥2 2
2
+𝑦
𝑏2
2 2 =1
𝑏
2 ( 𝑦1−𝑦2 )( 𝑦1+𝑦2 )
𝑥 𝑦 −𝑎 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥
𝑎 2 = 𝑏 1× 1 (cid:105)(cid:194) 2=4 2(cid:105)
2 4
𝑏
∴−𝑎 − 𝑎 𝑏(cid:194) 2=4( 2 2)(cid:105)3 2=4 2(cid:105)(cid:306) = 3.
2
𝑐
(cid:306) 𝑎 (cid:20)(cid:10)B. 𝑎 −𝑐 𝑎 𝑐 𝑎
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)8-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:352)(cid:298)(cid:434)(cid:320)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:50) (cid:108)(cid:30)(cid:31) + =1( > >0)(cid:60)(cid:32)(cid:50)(cid:105)(cid:121) (cid:178)(cid:31)(cid:69)(cid:32)(cid:31)(cid:44) (cid:176)(cid:283)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:390)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50) (cid:105)(cid:31) (cid:44) (cid:176)(cid:283)(cid:184)(cid:153) (cid:152)(cid:50) 𝑀 (cid:105)(cid:273) 𝑎 (cid:108)𝑏 (cid:435)(cid:52)(cid:51)𝑎 (cid:52)𝑏(cid:53)(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70) 𝑀 (cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108)(cid:102) 𝑥 (cid:103)
A(cid:150)( 3,1
𝐹
)
𝑀 𝑦 𝑃,𝑄
B(cid:150)
△5𝑃𝑄𝑀
,1
2
−1
2−
C(cid:150) 6 2,1 D(cid:150) 6 2, 5
2 2 2
− − −1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212) (cid:176)(cid:214)(cid:232) ( )(cid:105)(cid:284)(cid:362)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:214)(cid:68)(cid:181)(cid:31) (cid:32)(cid:192)(cid:310)(cid:105)(cid:211)(cid:212) (cid:178)(cid:435)(cid:52)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:214)
(cid:253)(cid:266)(cid:3)(cid:153) (cid:32)(cid:267)(cid:268)𝑀(cid:130)𝐹(cid:135)⊥(cid:125)𝑥(cid:105)(cid:327)(cid:205)𝑀(cid:288)(cid:436)𝑐,𝑦(cid:126)(cid:63)(cid:69)(cid:70) (cid:105)(cid:90)(cid:130)(cid:135)(cid:125)(cid:194)(cid:214)(cid:68)𝑀(cid:181)(cid:138)(cid:219). △𝑃𝑀𝑄
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)𝑎(cid:41),𝑐(cid:28) (cid:31) (cid:44) (cid:176)(cid:283)(cid:390)(cid:153)(cid:49)(cid:50) (cid:105) 𝑒 (cid:176)(cid:105)(cid:214)(cid:232) ( )(cid:105)
∵ 𝑀2 𝑥2 𝐹 ∴𝑀2 𝐹⊥𝑥 𝑀 𝑐,2𝑦
(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:105) + =1(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:10) =± (cid:105) (cid:31) (cid:32)(cid:192)(cid:310)(cid:178) (cid:132)
2 2
𝑐 𝑦 𝑏 𝑏
∵𝑀 ∴𝑎 𝑏 𝑦 𝑎 ∴ 𝑀 𝑎
(cid:156) (cid:176)(cid:105)(cid:317)(cid:392)(cid:178) (cid:105)
𝑀| 𝑁|⊥=𝑦| |(cid:105) 𝑁 = (cid:105)
∵ 𝑀𝑃 (cid:178) 𝑀 (cid:435) 𝑄 (cid:52)(cid:51) ∴ (cid:52) ∠ (cid:53) 𝑃𝑀 (cid:105) 𝑁 ∠𝑁𝑀𝑄 < (cid:105) 2 > > 2× 2 (cid:105)
4 2
π 𝑏 𝑏
∵△𝑃𝑀𝑄 ∴∠𝑁𝑀𝑄 ∴ 𝑎 𝑐 𝑎
< 2 2< 2 (cid:105)(cid:194) < 2< 2 (cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:10) 6 2< < 5 (cid:105)
2 2
− −1
∴𝑎𝑐 𝑎 −𝑐 𝑎𝑐 𝑒 1−𝑒 𝑒 𝑒
(cid:194)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:178) 6 2, 5 .
2 2
− −1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D.
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)8-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:373)(cid:408)(cid:437)(cid:438)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) (cid:178)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:105)(cid:30)(cid:31) + =1( > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:105)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:178) ， (cid:105)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:96)(cid:50)(cid:88) (cid:191)(cid:178) ， (cid:105)(cid:49)(cid:62) 𝑂 (cid:178) (cid:105)(cid:121) (cid:178)(cid:251) 𝐸 (cid:310) :𝑎(cid:32)(cid:31)𝑏(cid:44)(cid:30)(cid:31)𝑎 (cid:162)𝑏(cid:104)(cid:142)(cid:66)(cid:104)(cid:51)(cid:346)(cid:406)(cid:88)(cid:191)(cid:184)
1 2 1 2
(cid:153) 𝐹 ，𝐹 (cid:152)(cid:50).(cid:208) =2 𝐴3 𝐵(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31) 2(cid:32)𝑐(cid:63)(cid:69)(cid:70)𝐹(cid:178)𝐹(cid:102) (cid:103) 𝐸
𝑀 A(cid:150) 𝑁2 𝑁𝑀⋅ B 𝐴 (cid:150) 𝐵 2 𝑎𝑐 𝐸 C(cid:150) 3 D(cid:150) 6
2 3 3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:68)(cid:181) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2+ 2= 2(cid:105)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:337)(cid:228)(cid:40)(cid:41)(cid:439)(cid:214)(cid:181) 2 2, 2
1 2
𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏
𝐹 𝐹 𝑥 𝑦 𝑐 𝑀( 𝑐 𝑐),𝑁(−2 2 2 )(cid:105)(cid:211)(cid:212)(cid:301)(cid:136)(cid:214)(cid:108)4 2 2 2=2 3 (cid:105)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70).
𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 −𝑏
(cid:22)(cid:90)𝑐 (cid:245) , (cid:304) − (cid:41)𝑐 (cid:28)(cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)𝑐 (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 𝑎2𝑐 + 2= 2(cid:105) 𝐸
1 2
(cid:337)(cid:228) 2+ 2=𝐹 𝐹2 (cid:105)(cid:90)(cid:181) 2= 2( 2 𝑥2) , 2 𝑦 = 4 (cid:105) 𝑐
2 2+ 2 2= 2 2 2 2
𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏
𝑥 𝑦 𝑐
𝑥 𝑐 𝑦 𝑐
(cid:186)(cid:121) 𝑏 𝑥 2 𝑎2, 𝑦2 𝑏 𝑎 2 2 2 )(cid:105)
𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏
(cid:305) 𝑀( 𝑐 𝑐) (cid:105) ,𝑁(− 𝑐 ,−𝑐
(cid:186) 𝐴 (cid:121) (−𝑎,0 = ),𝐵 ( (𝑎,02) 2, 2 2 )(cid:105) = (cid:105)
2𝑎 𝑐 −𝑏 𝑏
𝑁𝑀 𝑎 𝑐 𝐴𝐵 (2𝑎,0)
(cid:186)(cid:121) · =4 2 2 2=2 3 (cid:105)
𝑎 𝑐 −𝑏
(cid:186)(cid:121) 𝑁 4 𝑀2( 𝐴2𝐵 2)=𝑐3 4(cid:105)(cid:186)(cid:121)4 𝑎𝑐2 2 2( 2 2)=3 4(cid:105)
(cid:186)(cid:121)3𝑎4 𝑐 −2𝑏2+4 4𝑐=0(cid:105)(cid:186)(cid:121)𝑎3𝑐 4−4𝑎2𝑎+4−=𝑐 0(cid:105) 𝑐
(cid:90)(cid:181) 2
𝑐
=
−28
(cid:71)
𝑎 𝑐
2=2
𝑎
(cid:102)(cid:331)(cid:332)(cid:103).
𝑒 −8𝑒
3
𝑒 𝑒
(cid:186)(cid:121) = 6.
3
𝑒
(cid:306)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178) 6.
3
𝐸
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:21)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:179)9(cid:28)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:297)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:44)(cid:49)(cid:62)(cid:386)(cid:67)(cid:135)(cid:153)(cid:102) (cid:103)
80 35
𝑥 𝑦
𝐶:
A(cid:150) 5 B(cid:150)2 5 C(cid:150)2 6 D(cid:150)3 6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:126) (cid:105)(cid:244)(cid:68)(cid:55)(cid:176)(cid:55) (cid:44)(cid:49)(cid:62) (cid:386)(cid:67).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:181) 2=80(cid:105) 2=35(cid:105)𝑎,(cid:186)𝑏,𝑐(cid:121) =4 5(cid:105) =2𝑎 2 22=𝑐3 5(cid:105)
(cid:186)(cid:121)(cid:55)(cid:176)(cid:55) =8 5𝑎(cid:105)(cid:49)(cid:62) =𝑏 6 5(cid:105) 𝑎 𝑐 𝑎 −𝑏
(cid:186)(cid:121)(cid:55)(cid:176)(cid:55)2(cid:44)𝑎(cid:49)(cid:62)(cid:386)(cid:67)(cid:135)(cid:153)2𝑐 =2 5(cid:150)
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B. 2𝑎−2𝑐
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)9-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:418)(cid:333)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) (cid:10) + =1( > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:61)(cid:251)(cid:43) (cid:10) =0(cid:32)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:62)(cid:63)(cid:386)(cid:67)(cid:178)2(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:108)(cid:102) (cid:103) 𝐸 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥−𝑦−4
A(cid:150) 2 𝐸 B(cid:150)2 C(cid:150)2 2 D(cid:150)4
| |
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:232)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:302)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178)( ),( ) >0(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) | | | | =2(cid:105)(cid:88)0< <4(cid:66)
2 2
−𝑐−4 𝑐−4
𝐸 −𝑐,0 𝑐,0 ,𝑐 − 𝑐4(cid:152)(cid:239)(cid:87)(cid:116)(cid:105)(cid:88)(cid:89)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214).
(cid:22)𝑐≥(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:302)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178)( ),( ) >0(cid:105)
| |
(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)(cid:10) | | 𝐸| | =2(cid:105)(cid:259)|( + − 4) 𝑐,0 | 𝑐,0 || , = 𝑐 2 2(cid:105)
2 2
−𝑐−4 𝑐−4
(cid:273)0< <4(cid:105)(cid:259)|( + − 4) | ||=|( + 𝑐 4)+ − ( 𝑐−4 )|= =2 2(cid:105)(cid:194) = 2(cid:132)
(cid:273) 4𝑐(cid:105)(cid:259)|( +4𝑐) | − 𝑐||−=4|( +4𝑐) ( )𝑐|−=48 22𝑐2(cid:105)(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:195)𝑐(cid:132)
(cid:140)𝑐(cid:60)≥(cid:186)(cid:440)(cid:10) =𝑐 2(cid:105)−(cid:194)𝑐−(cid:32)4(cid:49)(cid:62)(cid:108)𝑐 =−2 𝑐2−.4 ≠
(cid:306)(cid:20)(cid:10)C. 𝑐 𝐸 2𝑐
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)9-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:98)(cid:99)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1( > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) , (cid:105)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)
2 2 1 2
𝑥 𝑦
𝐸:𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝐹 𝐹
2 2(cid:105)(cid:50) (cid:162)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:105)(cid:208)| |=2| |(cid:105) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)4 7(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
3 1 2 1 2
A(cid:150) 𝐴 4 2 𝐸 B(cid:150)𝐴𝐹 8 2 𝐴𝐹 △𝐴 C 𝐹 (cid:150) 𝐹 6 D(cid:150)1 𝐸 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:139)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:68)(cid:126)| |= (cid:105)| |= (cid:105)(cid:244)(cid:224)(cid:27)(cid:256)(cid:257)(cid:33)(cid:15)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:68)(cid:181)
1 3 2 3
4𝑎 2𝑎
cos (cid:32)(cid:65)(cid:105)(cid:211)(cid:212)(cid:186)(cid:181)(cid:233)(cid:234)(cid:20)(cid:122)(cid:139)(cid:368)(cid:32)(cid:7)𝐴(cid:125)𝐹(cid:86)(cid:235)(cid:51)(cid:52)𝐴(cid:53)𝐹(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:105)(cid:214)(cid:68)(cid:126) (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:245)(cid:330).
1 2
∠𝐹 𝐴𝐹 | |=2| | 𝑎,𝑐
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:301)(cid:136)(cid:233)(cid:234)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181) 1 2 (cid:105)
| |+| |=
1 2
𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:306)| |= (cid:105)| |= (cid:105) 𝐴𝐹 𝐴𝐹 2𝑎
1 3 2 3
4𝑎 2𝑎
𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:232)| |= (cid:105)(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)2 2(cid:105)(cid:186)(cid:121) =2 2(cid:105)
1 2 3 3
𝑐
𝐹 𝐹 2𝑐 𝐸 16 2 4 2 2 5 9 𝑎 2 3
(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:33)(cid:15)(cid:214)(cid:181)cos = 9 9 = × = (cid:105)
1 2 𝑎2× 𝑎× 4 4 2 4
+3 −34𝑐 𝑐
4𝑎 2𝑎
∠𝐹 𝐴𝐹 − 𝑎 −
(cid:259)sin = 7(cid:105)(cid:306) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) 1 × × × 7=4 7(cid:105)(cid:306) =6(cid:105)
1 2 4 1 2 2 3 3 4
4𝑎 2𝑎
∠𝐹 𝐴𝐹 △𝐴𝐹 𝐹 𝑎
(cid:259) =6×2 2=4 2(cid:105)(cid:306)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)8 2.
3
𝑐 𝐸
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B(cid:150)
2 2
(cid:22)(cid:196)(cid:125)9-3(cid:28)(cid:102)2024·(cid:373)(cid:408)(cid:441)(cid:442)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) (cid:105) (cid:88)(cid:191)(cid:178)(cid:30)(cid:31) (cid:10) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:50) ( , ) (cid:162)
1 2 6 2 0 0
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝐶 𝑃 𝑥 𝑦 𝐶
(cid:60)(cid:105)(cid:273) (cid:131)(cid:153) (cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108)(cid:102) (cid:103)
1 2 3 0
π
∠𝐹 𝑃𝐹 𝑥A(cid:150)( 3) ( 3,+ ) B(cid:150)( 3, 3)
C(cid:150) −∞,− 5 ∪ 5,+∞ D(cid:150) − 5, 5
−∞,− ∪ ∞ −
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:301)(cid:136)(cid:214)(cid:136) (cid:105) (cid:32)(cid:163)(cid:38)(cid:66)(cid:300)(cid:105)(cid:255)(cid:133)(cid:134)(cid:13)(cid:134)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:163)(cid:38)(cid:365)(cid:235)(cid:214)(cid:181)(cid:3)(cid:153) (cid:32)(cid:130)(cid:135)(cid:3)(cid:164)(cid:105)
1 2 0
(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:90). 𝑃𝐹 𝑃𝐹 𝑥
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)
(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31) (cid:10) 2 + 2 =1(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2=6(cid:105) 2=2(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2= 2 2=4(cid:105)
6 2
𝑥 𝑦
𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 −𝑏
(cid:186)(cid:121) ( )(cid:105) (2,0)(cid:105)
1 2
(cid:185)(cid:178) 𝐹 (cid:50) − ( 2,0 , ) 𝐹 (cid:162) (cid:60)(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2 0+ 2 0=1(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2= 1 2(cid:105) 6< < 6(cid:105)
0 0 6 2 0 3 0 0
𝑥 𝑦
𝑃 𝑥 𝑦 𝐶 𝑦 2− 𝑥 − 𝑥
(cid:305) =( )(cid:105) =( )(cid:105)(cid:186)(cid:121) = 2+ 2 = 2 2 (cid:105)
1 0 0 2 0 0 1 2 0 0 3 0
𝑃| 𝐹 | −2−𝑥 ,−𝑦 𝑃𝐹 2−𝑥 ,−𝑦 𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 |𝑥 | 𝑦 −4 𝑥 −2
(cid:305) = ( )2+( )2= 2 | +3|= 2 ( +3)(cid:105) = ( )2+( )2= 2 | |= 2
1 0 0 0 0 2 0 0 0
⃗ 3 3 ⃗ 3 3
𝑃𝐹 −2−𝑥 −𝑦 𝑥 𝑥 𝑃𝐹 2−𝑥 −𝑦 3−𝑥
( )(cid:105)
0
3−𝑥 | | | |
(cid:186)(cid:121) = cos (cid:105)
1 2 1 2 1 2
𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 𝑃𝐹 ⋅ 𝑃|𝐹 | | ∠𝐹 𝑃 | 𝐹 | | | |
(cid:185)(cid:178) (cid:131)(cid:153) (cid:105)(cid:186)(cid:121) cos < cos (cid:105)
1 2 3 1 2 1 2 1 2 3
π π
∠𝐹 𝑃𝐹 𝑃𝐹 ⋅ 𝑃𝐹 ∠𝐹 𝑃𝐹 𝑃𝐹 ⋅ 𝑃𝐹
(cid:186)(cid:121) 2 2 < 2 ( +3) ( ) 1 (cid:105)(cid:90)(cid:181) 5< < 5(cid:105)
3 0 3 0 0 2 0
(cid:186)(cid:121) 𝑥 (cid:32) − (cid:72) 2 (cid:65)(cid:73)𝑥(cid:74)(cid:108) ⋅ 5 3 , − 5 𝑥 . ⋅ − 𝑥
0
(cid:306)(cid:20)𝑥(cid:10)D. −
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:27)(cid:47)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:179)10(cid:28)(cid:102)2024·(cid:296)(cid:408)(cid:443)(cid:3)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:443)(cid:309)(cid:131)(cid:444)(cid:108)(cid:142)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:347)(cid:448)(cid:57)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:139)(cid:452)(cid:336)(cid:453)(cid:444)(cid:105)(cid:269)(cid:188)(cid:454)(cid:455)(cid:105)(cid:447)(cid:24)(cid:56)(cid:452)
(cid:110)(cid:56)(cid:456)(cid:131)(cid:32)(cid:276)(cid:50)(cid:105)(cid:187)(cid:457)(cid:389)(cid:199)(cid:42)(cid:333)(cid:458)(cid:56)(cid:459)(cid:333)(cid:458)(cid:56)(cid:460)(cid:333)(cid:458)(cid:184)(cid:389)(cid:461)(cid:272)(cid:32)(cid:462)(cid:463)(cid:105)(cid:254)(cid:178)(cid:312)(cid:203)(cid:42)(cid:333)(cid:458)(cid:44)(cid:464)(cid:465)(cid:23)(cid:466)(cid:32)(cid:110)(cid:83)
(cid:184)(cid:389)(cid:444)(cid:452)(cid:105)(cid:131)(cid:444)(cid:467)(cid:468)(cid:469)(cid:81)(cid:127)(cid:443)(cid:3)“(cid:51)(cid:458)(cid:470)(cid:139)”(cid:32)(cid:110)(cid:83)(cid:471)(cid:113)(cid:105)(cid:443)(cid:309)(cid:131)(cid:444)(cid:32)(cid:444)(cid:447)(cid:472)(cid:53)(cid:115)(cid:473)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:273)(cid:444)(cid:447)(cid:186)(cid:162)(cid:151)(cid:57)(cid:349)
(cid:444)(cid:57)(cid:178)(cid:43)(cid:190) (cid:105)(cid:208) (cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:238)(cid:49)(cid:50)(cid:105) =44(cid:474)(cid:105)(cid:444)(cid:447)(cid:64)(cid:24)(cid:50) (cid:62)(cid:444)(cid:57)110(cid:474)(cid:105)(cid:259)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)
(cid:102) (cid:103) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑃1 2 2 4
A(cid:150) B(cid:150) C(cid:150) D(cid:150)
3 5 3 5
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:227)(cid:228)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:151)(cid:57)(cid:251)(cid:52)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:105)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + = > >0)(cid:105)(cid:231)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)
2 2
𝑦 𝑥
+ =110 𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏
2 2 =44 (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:126)(cid:63)(cid:69)(cid:70).
𝑎 𝑐
𝑏
(cid:22)(cid:90)𝑎(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:218)(cid:91)(cid:475)(cid:30)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:176)(cid:186)(cid:162)(cid:251)(cid:43)(cid:227)(cid:228)(cid:251)(cid:52)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:105)
2 2
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + = > >0)(cid:105)
2 2
𝑦 𝑥
𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 + =110
(cid:180) = (cid:105)(cid:194)( 2 )2 + 2 2 =1(cid:105)(cid:90)(cid:181) =± 2 (cid:105)(cid:231)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) 2 2 =44 (cid:105)
−𝑐 𝑥 𝑏 𝑎 𝑐
𝑏
𝑦 −+𝑐 =11𝑎0 𝑏 𝑥 𝑎
(cid:186)(cid:121) 2 2 (cid:105)(cid:186)(cid:121) = 22 (cid:105)(cid:186)(cid:121) = = 4 (cid:150) 𝑎
=22 110 5
𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 𝑐
𝑎 −𝑐
𝑎 𝑒 𝑎
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D𝑎(cid:150)
(cid:22)(cid:196)(cid:125)10-1(cid:28)(cid:102)2024·(cid:111)(cid:476)(cid:374)(cid:477)(cid:478)·(cid:142)(cid:300)(cid:103)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:188)(cid:157)(cid:479)(cid:32)(cid:480)(cid:11)(cid:79)(cid:80)(cid:10)(cid:114)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:126)(cid:481)(cid:32)(cid:480)(cid:43)(cid:105)
(cid:401)(cid:30)(cid:31)(cid:482)(cid:364)(cid:230)(cid:105)(cid:482)(cid:364)(cid:480)(cid:43)(cid:401)(cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:483)(cid:142)(cid:143)(cid:49)(cid:50).(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:480)(cid:11)(cid:79)(cid:80)(cid:90)(cid:240)(cid:238)(cid:57)(cid:32)(cid:21)(cid:274)(cid:10)(cid:301)(cid:136)(cid:42)(cid:43)C(cid:32)(cid:40)(cid:41)
2 2
(cid:178) + =1(cid:105)(cid:36)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:108) (cid:105) (cid:105)(cid:251)(cid:43)l(cid:44)(cid:30)(cid:31)C(cid:390)(cid:153)(cid:50)P(cid:105)(cid:208)| |=2(cid:105)(cid:304)(cid:50)P(cid:208)(cid:44)(cid:251)(cid:43)l(cid:317)
25 16 1 2 1
𝑥 𝑦
(cid:251)(cid:32)(cid:251)(cid:43) (cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:55)(cid:176)(cid:184)(cid:153)(cid:50)M(cid:105)(cid:259)| 𝐹 𝐹 |:| |=(cid:102) (cid:103) 𝑃𝐹
1 2
′
𝑙 𝐹 𝑀 𝐹 𝑀
A(cid:150)1: 3 B(cid:150)1:2 C(cid:150)1:3 D(cid:150)1:4(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:66)(cid:480)(cid:32)(cid:482)(cid:364)(cid:33)(cid:15)(cid:105)(cid:121)(cid:35)(cid:52)(cid:151)(cid:88)(cid:43)(cid:33)(cid:15)(cid:214)(cid:181)
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:301)(cid:136)(cid:181) =5(cid:105)| |=2(cid:105)
1
(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181)| |=𝑎 | 𝑃𝐹|=8(cid:105)
2 1
(cid:211)(cid:212)(cid:480)(cid:32)(cid:482)(cid:364)(cid:33)(cid:15)𝑃𝐹(cid:214)(cid:181) 2𝑎(cid:178)− 𝑃𝐹 (cid:32)(cid:52)(cid:151)(cid:88)(cid:43)(cid:105)
1 2
| | 𝑃|𝑀 | ∠𝐹 𝑃|𝐹 | | |
(cid:255)(cid:350)(cid:257)(cid:33)(cid:15) 1 = 1 (cid:105) 2 = 2
sin sin sin sin
𝐹 𝑀1 𝐹 𝑃1 𝐹 𝑀2 𝐹 𝑃2
∠𝐹 𝑃𝑀 ∠𝐹 𝑀𝑃 ∠𝐹 𝑃𝑀 ∠𝐹 𝑀𝑃
| | sin | | sin sin sin
(cid:186)(cid:121) 1 = 1 (cid:105) 2 = 2 (cid:105)(cid:305) 1 = 2
| | sin | | sin sin sin
𝐹1𝑀 ∠𝐹1𝑃𝑀 𝐹2𝑀 ∠𝐹2𝑃𝑀 ∠𝐹1𝑃𝑀 ∠𝐹2𝑃𝑀
𝐹 𝑃 ∠𝐹 𝑀𝑃 𝐹 𝑃 ∠𝐹 𝑀𝑃 ∠𝐹 𝑀𝑃 ∠𝐹 𝑀𝑃
| | | |
(cid:186)(cid:121) 1 = 2
| | | |
𝐹1𝑀 𝐹2𝑀
𝐹 𝑃 𝐹 𝑃
(cid:194)| |:| |=| |:| |=1:4.
1 2 1 2
(cid:306)(cid:20)𝐹(cid:10)𝑀D.𝐹 𝑀 𝐹 𝑃 𝐹 𝑃
(cid:22)(cid:196)(cid:125)10-2(cid:28)(cid:102)2024·(cid:110)(cid:353)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:105)“(cid:484)(cid:485)(cid:142)(cid:9)”(cid:385)(cid:486)(cid:487)(cid:488)(cid:489)(cid:490)(cid:486)(cid:265)(cid:491)(cid:45)(cid:461)(cid:492)(cid:133)(cid:486)(cid:493)(cid:105)(cid:162)(cid:486)(cid:493)(cid:494)(cid:115)(cid:142)
(cid:50) (cid:196)(cid:45)(cid:327)(cid:362)(cid:121)(cid:486)(cid:493)(cid:493)(cid:69) (cid:178)(cid:142)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:461)I(cid:495)(cid:486)(cid:492)(cid:416)(cid:105)(cid:386)(cid:230)(cid:487)(cid:488)(cid:162) (cid:50)(cid:104)(cid:246)(cid:268)(cid:196)(cid:45)(cid:327)(cid:362)(cid:496)(cid:121) (cid:178)(cid:142)(cid:143)
(cid:49)𝑃(cid:50)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:461)II(cid:495)(cid:486)(cid:492)𝐹(cid:416)(cid:105)(cid:64)(cid:497)(cid:487)(cid:488)(cid:162) (cid:50)(cid:104)(cid:51)(cid:268)(cid:196)(cid:45)(cid:327)(cid:362)(cid:121) (cid:178)(cid:31)(cid:69)(cid:32)𝑃(cid:31)(cid:53)(cid:45)(cid:461)III(cid:495)(cid:486)(cid:492)(cid:416)(cid:105)𝐹(cid:273)(cid:27)2
1
(cid:66)2 (cid:88)(cid:191)(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:461)I(cid:66)II(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:105)(cid:27)𝑃2 (cid:66)2 (cid:88)(cid:191)(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)𝐹(cid:45)(cid:461)I(cid:66)II(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:32)(cid:55)(cid:105)(cid:259)(cid:102) (cid:103) 𝑐
2 1 2
𝑐 𝑎 𝑎
A(cid:150) < B(cid:150) + < +
1 1 2 2 1 1 2 2
C(cid:150)
𝑎2> −𝑐1 𝑎 −𝑐
D(cid:150)
𝑎1> 𝑐2 𝑎 𝑐
𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:91)(cid:346)(cid:214)(cid:136)| |= = (cid:214)(cid:289)(cid:344)A(cid:132)(cid:211)(cid:212)(cid:91)(cid:346)(cid:214)(cid:136) > (cid:105) > (cid:138)(cid:139)(cid:255)(cid:130)(cid:135)(cid:125)(cid:32)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:289)(cid:344)B(cid:105)C(cid:132)(cid:94) + 𝑃=𝐹 𝑎+−𝑐(cid:152)(cid:363)𝑎(cid:250)−(cid:204)𝑐(cid:151)(cid:40)(cid:16)(cid:75)(cid:214)(cid:289)(cid:344)D. 𝑎 𝑎 𝑐 𝑐
1 2 2 1
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:218)(cid:91)(cid:214)(cid:136)𝑎(cid:105) 𝑐 𝑎 =|𝑐 |(cid:105) =| |(cid:105) = (cid:105)A(cid:130)(cid:350)(cid:213)(cid:132)
1 1 2 2 1 1 2 2
> (cid:105) > (cid:105) ∵+𝑎 −>𝑐 +𝑃𝐹(cid:132)B𝑎(cid:130)−𝑐(cid:350)(cid:213)(cid:132)𝑃𝐹 ∴𝑎 −𝑐 𝑎 −𝑐
1 2 1 2 1 1 2 2
𝑎
(cid:255)
𝑎
> (cid:105)
∴𝑐
>
𝑐
(cid:214)(cid:136)
∴𝑎2< 𝑐1(cid:105)C 𝑎
(cid:130)(cid:350)
𝑐
(cid:213)(cid:132)
1 2 1 2
𝑐1 𝑐2
𝑎 + 𝑎 = 𝑐 + 𝑐 (cid:105)(cid:214)(cid:181) 𝑎 ( + 𝑎 )2=( + )2(cid:105)(cid:306) 2 2+2 = 2 2+2 (cid:105)
1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1
𝑎 (cid:194) 2𝑐 +2 𝑎 = 𝑐2+2 𝑎 (cid:105) 𝑐 > (cid:105) 𝑎 𝑐 > 𝑎 (cid:105) −𝑐 (cid:194) 1> 𝑎 𝑐2(cid:105)D 𝑎 (cid:350) − (cid:213) 𝑐 (cid:105) 𝑎 𝑐
1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
𝑐1 𝑐2
𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 ∵𝑏 𝑏 ∴𝑐 𝑎 𝑎 𝑐 𝑎 𝑎(cid:306)(cid:20):D.
(cid:22)(cid:196)(cid:125)10-3(cid:28)(cid:102)2023·(cid:314)(cid:309)(cid:498)(cid:499)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:108)(cid:48)(cid:99)(cid:503)(cid:85)(cid:504)(cid:505)(cid:506)(cid:105)(cid:507)(cid:508)(cid:301)(cid:188)1000(cid:287)(cid:97)(cid:32)(cid:509)(cid:510)(cid:105)(cid:178)(cid:511)(cid:503)
(cid:66)(cid:427)(cid:296)(cid:157)(cid:142)(cid:503)(cid:85)(cid:504)(cid:505)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:512)(cid:17)(cid:16)(cid:513)(cid:153)(cid:415)(cid:88)(cid:204)(cid:499)(cid:514)(cid:515)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:17)(cid:16)(cid:505)(cid:516)(cid:499).(cid:149)(cid:357)(cid:48)(cid:286)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:517)(cid:514)(cid:230)(cid:518)(cid:519)(cid:162)(cid:520)(cid:472)
(cid:515)(cid:521)(cid:522)(cid:490)(cid:60)(cid:105)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:105)(cid:311)(cid:502)(cid:32)(cid:502)(cid:489)(cid:108)(cid:142)(cid:143)(cid:192)(cid:310)(cid:178) 2(cid:32)(cid:31)(cid:105)(cid:31)(cid:69)(cid:61)(cid:502)(cid:523)(cid:411)(cid:355)(cid:62)(cid:63)(cid:178) 2(cid:105)(cid:320)(cid:480)(cid:524)(cid:364)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:162)
(cid:490)(cid:57)(cid:53)(cid:254)(cid:199)(cid:142)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:294)(cid:525)(cid:102)(cid:415)(cid:88)(cid:204)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:32)(cid:320)(cid:480)(cid:44)(cid:490)(cid:57)(cid:526)(cid:52)(cid:178)60°(cid:103)(cid:105)(cid:273)(cid:502)(cid:523)(cid:411)(cid:355)(cid:350)(cid:527)(cid:165)(cid:153)(cid:311)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)
(cid:165)(cid:166)(cid:105)(cid:259)(cid:311)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
A(cid:150) 3 B(cid:150) 2 C(cid:150) 3 D(cid:150) 2
2
2− −1 −1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:410)(cid:33)(cid:233)(cid:234)(cid:105)(cid:156)(cid:126)(cid:91)(cid:53)(cid:105)(cid:244)(cid:224)(cid:27)(cid:350)(cid:257)(cid:33)(cid:15)(cid:68)(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:166)(cid:68)(cid:126)(cid:192)(cid:49)(cid:62)(cid:156)
(cid:245).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:218)(cid:91)(cid:105)(cid:502)(cid:32)(cid:502)(cid:489)(cid:44)(cid:490)(cid:57)(cid:203)(cid:528)(cid:50)B(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:55)(cid:176)(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:355)(cid:50)(cid:105)(cid:502)(cid:489)(cid:162)(cid:490)(cid:57)(cid:60)(cid:64)(cid:529)(cid:32)(cid:530)(cid:294)(cid:50)A(cid:108)(cid:30)
(cid:31)(cid:55)(cid:176)(cid:32)(cid:483)(cid:142)(cid:143)(cid:355)(cid:50)(cid:105)
(cid:94)(cid:37)(cid:32)(cid:502)(cid:489)(cid:178)C(cid:105)O(cid:178)(cid:502)(cid:32)(cid:31)(cid:69)(cid:105)F(cid:178)(cid:502)(cid:523)(cid:411)(cid:355)(cid:105)(cid:194)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:180)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:192)(cid:176)(cid:55)(cid:178) (cid:105)(cid:192)(cid:49)(cid:62)(cid:178) (cid:105)
𝑎 𝑐
(cid:255) = = 2(cid:105)(cid:181) + = = =45 (cid:105) = =2 2(cid:105)
∘
(cid:162) 𝑂𝐹⊥𝐵𝐶 (cid:48) ,| (cid:105) 𝑂𝐹| |𝑂 = 𝐵| 60 (cid:105)(cid:259) 𝑎 𝑐 =75 |𝐵 (cid:105) 𝐹| sin 2 7 , 5 ∠𝐹 = 𝐵 s 𝐶 in(45 + | 3 𝐴 0 𝐵 ) | = 22𝑎, × |𝐵𝐶3| + 2× 1 = 6 2(cid:105)
2 2 2 2 4
∘ ∘ ∘ ∘ ∘ +
(cid:255)(cid:350) △ (cid:257) 𝐴𝐵 (cid:33) 𝐶 (cid:15)(cid:181)(cid:105) ∠𝐵𝐴𝐶 = 2 2 (cid:105)(cid:90) ∠𝐴 (cid:181) 𝐶𝐵 = 2× 6 4 2 =1+ 1 (cid:105)(cid:259) = 1 (cid:105)
sin75 sin60 3+ 3 3
2𝑎 2
∘ ∘
𝑎 𝑐 1−
(cid:186)(cid:121)(cid:311)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70) = = 3 = 3.
3 1
𝑐 −1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)A. 𝑒 𝑎 + 2−
(cid:142)(cid:56)(cid:76)(cid:20)(cid:21)
1(cid:150)(cid:102)2024·(cid:373)(cid:408)(cid:531)(cid:298)·(cid:246)(cid:300)(cid:103)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:108)(cid:102) (cid:103)
5
𝑥
𝑦A(cid:150)(± 6,0) B(cid:150)(±2,0) C(cid:150)(0,± 6) D(cid:150)(0,±2)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:291)(cid:21)(cid:108)(cid:49)(cid:50)(cid:162)x(cid:176)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:68)(cid:126)c(cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:181)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28) = =2(cid:105)(cid:214)(cid:181)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:178)( )(cid:66)(2,0).
(cid:306)(cid:20)(cid:10)B. 𝑐 5−1 −2,0
2 2
2(cid:150)(cid:102)2024·(cid:352)(cid:106)(cid:532)(cid:33)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) (cid:108)(cid:30)(cid:31) (cid:10) + =1(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105) (cid:105) (cid:88)(cid:191)(cid:178) (cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:259)| |+| |
16 9 1 2 1 2
𝑥 𝑦
=(cid:102) (cid:103) 𝑃 𝐸 𝐹 𝐹 𝐸 𝑃𝐹 𝑃𝐹
A(cid:150)8 B(cid:150)6 C(cid:150)4 D(cid:150)3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:251)(cid:203)(cid:211)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:68)(cid:181)(cid:245)(cid:330).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:136)(cid:105)| |+| |= =8.
1 2
(cid:306)(cid:20)(cid:10)A. 𝑃𝐹 𝑃𝐹 2𝑎
3(cid:150)(cid:102)2024·(cid:533)(cid:106)(cid:534)(cid:309)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:31) ( )2+ 2=2(cid:105)(cid:251)(cid:43) + =0(cid:105)(cid:40)(cid:41) 2 + 2=1(cid:105)(cid:259)“(cid:31) (cid:44)
2
𝑥
(cid:251)(cid:43) (cid:283)(cid:390)”(cid:108)“(cid:40)(cid:41) (cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:178)(cid:30)
𝐶:
(cid:31)
𝑥−
”(cid:32)
1
(cid:102)
𝑦
(cid:103)
𝑙:𝑎𝑥 𝑦−3 𝑚:𝑎 𝑦 𝐶
A𝑙(cid:150)(cid:340)(cid:88)(cid:535)(cid:341)(cid:83)(cid:233)𝑚(cid:234) B(cid:150)(cid:341)(cid:83)(cid:535)(cid:340)(cid:88)(cid:233)(cid:234)
C(cid:150)(cid:340)(cid:83)(cid:233)(cid:234) D(cid:150)(cid:342)(cid:535)(cid:340)(cid:88)(cid:141)(cid:535)(cid:341)(cid:83)(cid:233)(cid:234)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:263)(cid:264)(cid:31)(cid:44)(cid:251)(cid:43)(cid:283)(cid:390)(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:181)(cid:31) (cid:44)(cid:251)(cid:43) (cid:283)(cid:390)(cid:204)(cid:32) (cid:32)(cid:65)(cid:105)(cid:263)(cid:264)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181)(cid:201)(cid:40)(cid:41) (cid:160)(cid:161)(cid:32)
(cid:42)(cid:43)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:204)(cid:32) (cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:340)(cid:88)(cid:233)(cid:234)(cid:44)𝐶(cid:341)(cid:83)(cid:233)(cid:234)𝑙 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:194)𝑎(cid:214)(cid:181)(cid:90). 𝑚
𝑎 | |
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:273)(cid:31) (cid:44)(cid:251)(cid:43) (cid:283)(cid:390)(cid:105)(cid:259)(cid:188) = 2(cid:105)(cid:194) 2+ =0(cid:105)(cid:90)(cid:181) =1(cid:71) (cid:105)
2 1
𝑎−3
𝐶 𝑙 2 1 𝑎 + 𝑎 6𝑎−7 𝑎 −7
(cid:273)(cid:40)(cid:41) (cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:259) (cid:105)(cid:194) 0(cid:208) ±1(cid:105)
2>0
𝑎 ≠
𝑚 𝑎≠ 𝑎≠
(cid:306)“(cid:31) (cid:44)(cid:251)(cid:43) (cid:283)(cid:390)”(cid:108)“(cid:40)(cid:41) (cid:160)(cid:161)𝑎(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:178)(cid:30)(cid:31)”(cid:32)(cid:342)(cid:535)(cid:340)(cid:88)(cid:141)(cid:535)(cid:341)(cid:83)(cid:233)(cid:234).
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝐶D. 𝑙 𝑚
4(cid:150)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)(cid:60)·(cid:106)(cid:107)(cid:297)(cid:466)·(cid:354)(cid:412)(cid:103)(cid:218)(cid:91)(cid:108)(cid:142)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:536)(cid:444)(cid:105)(cid:201)(cid:537)(cid:57)(cid:162) (cid:538)(cid:204)(cid:105)(cid:162)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:32)(cid:349)(cid:57)(cid:539)(cid:105)(cid:444)(cid:540)
(cid:44)(cid:36)(cid:541)(cid:294)(cid:542)(cid:527)(cid:253)(cid:254)(cid:142)(cid:143)(cid:30)(cid:31).(cid:207)(cid:204)(cid:536)(cid:96)(cid:63)(cid:537)(cid:57)2m(cid:105)(cid:537)(cid:57)(cid:543)6m(cid:105)(cid:221)(cid:222)(cid:201)(cid:537)𝑙(cid:165)(cid:60)(cid:544)1m(cid:204)(cid:105)(cid:537)(cid:57)(cid:543)(cid:129)(cid:178)(cid:102) (cid:103)A(cid:150)3 3m B(cid:150)3 3m C(cid:150)4 2m D(cid:150)4 2m
2 3
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)(cid:444)(cid:540)(cid:44)(cid:36)(cid:541)(cid:294)(cid:542)(cid:527)(cid:253)(cid:254)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:10) + =1(cid:105)(cid:68)(cid:251)(cid:43) =1(cid:545)(cid:30)(cid:31)(cid:186)(cid:349)(cid:181)(cid:32)
9 4
𝑥 𝑦
𝑦
(cid:257)(cid:55)(cid:105)(cid:284)(cid:362)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:90).
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:121)(cid:91)(cid:48)(cid:537)(cid:57)(cid:186)(cid:162)(cid:32)(cid:251)(cid:43)(cid:178) (cid:176)(cid:105)(cid:537)(cid:57)(cid:32)(cid:317)(cid:251)(cid:151)(cid:88)(cid:43)(cid:186)(cid:162)(cid:251)(cid:43)(cid:178) (cid:176)(cid:105)(cid:227)(cid:228)(cid:151)(cid:57)(cid:251)(cid:52)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:105)(cid:211)
𝑥 2 2 𝑦
(cid:212)(cid:301)(cid:136)(cid:233)(cid:234)(cid:214)(cid:136)(cid:10)(cid:444)(cid:540)(cid:44)(cid:36)(cid:541)(cid:294)(cid:542)(cid:527)(cid:253)(cid:254)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:10) + =1(cid:105)
9 4
𝑥 𝑦
(cid:201)(cid:537)(cid:165)(cid:60)(cid:544)1m(cid:204)(cid:105)(cid:537)(cid:57)(cid:32)(cid:543)(cid:129)(cid:141)(cid:194)(cid:201) =1(cid:204)(cid:105)(cid:251)(cid:43) =1(cid:545)(cid:30)(cid:31)(cid:186)(cid:349)(cid:32)(cid:257)(cid:55).
(cid:430) =1(cid:284)(cid:362)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:214)(cid:181)(cid:10) =±3 3(cid:105) 𝑦 𝑦
2
𝑦 𝑥
(cid:186)(cid:121)(cid:201)(cid:537)(cid:165)(cid:60)(cid:544)1m(cid:204)(cid:105)(cid:537)(cid:57)(cid:32)(cid:543)(cid:129)(cid:178)3 3 (cid:105)
(cid:306)(cid:20)(cid:10)A. 𝑚
5(cid:150)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:297)(cid:23)(cid:256)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:302)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) 、 (cid:105)(cid:401)(cid:304) (cid:32)(cid:251)(cid:43) (cid:44) (cid:184)
1 2 2
𝑥 𝐶 𝐹 𝐹 𝐹 𝑙 𝐶
(cid:153) 、 (cid:152)(cid:50)(cid:105)(cid:273) =16(cid:105) =9(cid:105) =0(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178)(cid:10)(cid:102) (cid:103).
1 1 1 1
𝐴 A(cid:150) 𝐵2 + 2 =1 𝐹 𝐴⋅𝐹 B(cid:150) 𝐵 2 + 2 = 𝐴𝐹 1 ⋅𝐴𝐵 C(cid:150) 𝐵𝐹 2 + ⋅𝐵 2 𝐴 =1 𝐶 D(cid:150) 2 + 2=1
9 4 3 2 9 8 3
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
𝑦
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:136)(cid:10) (cid:105)(cid:211)(cid:212)(cid:13)(cid:134)(cid:58)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:195)(cid:34)(cid:214)(cid:181) | | =4(cid:105)| |=3(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
1 1
(cid:34)(cid:68) (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:40)(cid:41). 𝐵𝐴⊥𝐵𝐹 𝐹 𝐵 𝐴𝐵
𝑎,𝑏,𝑐
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)(cid:178) =0(cid:105)(cid:214)(cid:136) (cid:105)
1 1
𝐵𝐹 ⋅𝐵𝐴 𝐵𝐴⊥𝐵𝐹
2 2
(cid:259) = =16(cid:105) = =9(cid:105)
1 1 1 1
(cid:214)(cid:181) 𝐹 |𝐴⋅𝐹|𝐵 =4(cid:105) 𝐹|𝐵 |=3(cid:105)(cid:194) 𝐴𝐵 | ⋅𝐴𝐹 |=4 𝐴 (cid:105) 𝐵 | |=3(cid:105)(cid:259)| |= | |2+| |2=5(cid:105)
1 1 1 1
(cid:255)(cid:30)(cid:31)𝐹(cid:33)𝐵(cid:34)(cid:214)(cid:181) 𝐴𝐵=| |+| 𝐹 𝐵 |+| | 𝐴=𝐵12(cid:105)(cid:194) =𝐴3𝐹(cid:105) 𝐹 𝐵 𝐴𝐵
1 1
4𝑎 𝐴𝐹 𝐹 𝐵 𝐴𝐵 𝑎
(cid:208)| |= | |=2(cid:105)(cid:259)| |= | |2+| |2=2 5(cid:105)
2 1 1 2 1 2
𝐹 𝐵 2𝑎− 𝐹 𝐵 𝐹 𝐹 𝐹 𝐵 𝐹 𝐵
(cid:194) =2 5(cid:105)(cid:214)(cid:181) = 5(cid:105) = 2 2=2(cid:105)
2𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 −𝑐2 2
(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1.
9 4
𝑥 𝑦
𝐶
(cid:306)(cid:20)(cid:10)A.
6(cid:150)(cid:102)2024·(cid:189)(cid:307)(cid:111)(cid:333)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:232) 、 (cid:108)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:50)P(cid:162)(cid:30)(cid:31)C(cid:60)(cid:105)(cid:273) (cid:178)(cid:251)
1 2 9 1 2
𝑥
𝐹 𝐹 𝐶: 𝑦 △𝑃𝐹 𝐹
(cid:52)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
1 2
A(cid:150)2 2 △𝑃𝐹 𝐹 B(cid:150)1(cid:71) 2 C(cid:150) 2 D(cid:150)1(cid:71)2 2
3 3
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:88) =90 (cid:121)(cid:35) =90 (cid:152)(cid:239)(cid:87)(cid:116)(cid:88)(cid:191)(cid:327)(cid:416)(cid:68)(cid:90)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:126)(cid:138)(cid:219).
2 1 2 1
∘ ∘
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)
∠
(cid:178)
𝑃𝐹2
+
𝐹
2=1(cid:105)(cid:186)(cid:121)
∠𝐹
=
𝑃𝐹
= =2 2(cid:105)
9
𝑥
𝑦 𝑎 3,𝑏 1,𝑐
2 1
(cid:273) =90 (cid:102)(cid:201) =90 (cid:204)(cid:105)(cid:57)(cid:58)(cid:142)(cid:479)(cid:103)(cid:105)(cid:259)| |=4 2(cid:105)| |= = (cid:105)
2 1 1 2 2 1 2 3
∘ ∘ 𝑏
∠𝑃𝐹 𝐹 ∠𝑃𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑃 𝑎
(cid:186)(cid:121) = 1 ×4 2× 1 =2 2(cid:132)
1 2 2 3 3
𝑆△𝑃𝐹 𝐹
(cid:273) =90 (cid:105)(cid:232) |= |= (cid:105)(cid:259) + =6, 2+ 2=32(cid:105)(cid:186)(cid:121) = 62 =2(cid:105)
2 1 1 2 2
∘ −32
∠𝐹 𝑃𝐹 |𝑃𝐹 𝑚,|𝑃𝐹 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚𝑛
1
(cid:306) = =1< =2 2(cid:105)(cid:407)(cid:139)(cid:21)(cid:195)(cid:132)
1 2 2
𝑆△𝑃𝐹 𝐹 𝑚𝑛 𝑏𝑐
(cid:140)(cid:60)(cid:10) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)1(cid:71)2 2.
1 2
3
△𝑃𝐹 𝐹
(cid:306)(cid:20)(cid:10)D.
2 2
7(cid:150)(cid:102)2024·(cid:533)(cid:298)(cid:546)(cid:320)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:32)(cid:302)､(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:178) , (cid:108)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:142)(cid:357)(cid:50)(cid:105)(cid:251)(cid:43)
4 3 1 2
𝑥 𝑦
𝐶: 𝐹 𝐹 ,𝑀 𝐶
= ( )+2(cid:401)(cid:304)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:259)| | | |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
1
𝑙:𝑦 A(cid:150)𝑘 𝑥2−1 B(cid:150)2 𝑁 𝑀𝐹 − 𝑀C𝑁(cid:150)2 2 D(cid:150)6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:251)(cid:43) = ( )+2(cid:401)(cid:304)(cid:33)(cid:50) (1,2)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:255)| | | |= (| |+| |)
1 2
(cid:68)(cid:90). 𝑙:𝑦 𝑘 𝑥−1 𝑁 𝑀𝐹 − 𝑀𝑁 4− 𝑀𝐹 𝑀𝑁
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:181) ( ) (1,0)(cid:105)
4 3 1 ､ 2
𝑥 𝑦
𝐶: 𝐹 −1,0 𝐹
2 2
(cid:185)(cid:178)(cid:50) (cid:178)(cid:30)(cid:31) + =1(cid:60)(cid:32)(cid:50)(cid:105)(cid:259)| |+| |=4(cid:105)
4 3 1 2
𝑥 𝑦
(cid:251)(cid:43) 𝑀 = ( 𝐶 ) : +2(cid:401)(cid:304)(cid:33)(cid:50) (1,2)(cid:105) 𝑀𝐹 𝑀𝐹
(cid:259)| 𝑙:𝑦| |𝑘 𝑥−|1= (| |+|𝑁 |) | |= =2(cid:105)
1 2 2
(cid:201)(cid:208)𝑀(cid:209)𝐹(cid:201)− 𝑀(cid:162)𝑁(cid:43)(cid:190)4− (cid:60)𝑀𝐹(cid:204)(cid:72)(cid:135)𝑀(cid:9)𝑁(cid:105)≤4− 𝑁𝐹 4−2
2
(cid:186)(cid:121)| 𝑀| | |(cid:32)𝑁(cid:64)𝐹 (cid:131)(cid:65)(cid:178)2.
1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑀B𝐹. − 𝑀𝑁2 2
8(cid:150)(cid:102)2024·(cid:533)(cid:298)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) , (cid:108)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)O(cid:108)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:105)(cid:304) (cid:156)(cid:251)(cid:43)
1 2 2 2 1
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝐶:𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 𝐹
(cid:44)C(cid:184)(cid:153)A(cid:105)B(cid:152)(cid:50)(cid:105)(cid:273)| |= (cid:105)(cid:208) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) 3 2(cid:105)(cid:259)(cid:30)(cid:31)C(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178)(cid:102) (cid:103)
2 2 6
𝐴𝐹 |𝐴𝐵| △𝑂𝐴𝐹 𝑏
A(cid:150) 3 B(cid:150) 3 C(cid:150) 3 D(cid:150) 3
12 6 3 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:232) = (0< < )(cid:105)(cid:225)(cid:226)(cid:547)(cid:183) = 2tan (cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:21)(cid:195)(cid:235)(cid:181)(cid:90)(cid:181) = (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:51)(cid:52)
1 2 1 2 2 3
𝜃 π
∠𝐹 𝐴𝐹 𝜃, 𝜃 π 𝑆△𝐴𝐹 𝐹 𝑏 𝜃
(cid:53) (cid:178)(cid:135)(cid:363)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:327)(cid:142)(cid:343)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:181)(cid:105)| |= ,| |= = (cid:105)| |= = =
2 2 3 1 3 3 1 3 3 3
4𝑎 4𝑎 2𝑎 4𝑎 2𝑎 2𝑎
| 𝐴𝐵 | 𝐹 (cid:105)(cid:194) (cid:108) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:428)(cid:429)(cid:33)(cid:15)(cid:56)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:7)𝐴(cid:125)𝐹(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:90)𝐴 . 𝐹 2𝑎− 𝐵𝐹 −
1 1
(cid:22)𝐴𝐹(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)𝐹(cid:28) 𝐴𝐵
(cid:548)(cid:252)(cid:225)(cid:226)(cid:117)(cid:547)(cid:183)(cid:142)(cid:143)(cid:549)(cid:15)(cid:10)(cid:273) = (0< < )(cid:105)(cid:259) = 2tan (cid:105)
1 2 1 2 2
𝜃
(cid:547)(cid:183)(cid:218)(cid:238)(cid:10)(cid:232)| |= | | ∠ = 𝐹 𝐴𝐹 (cid:105) 𝜃 (cid:259) , (cid:255)(cid:256)𝜃(cid:257)(cid:33)π(cid:15)(cid:188) 𝑆△𝐴𝐹 𝐹 𝑏
1 2
4 2= 2+( 𝐴𝐹 )2 𝑚, 𝐴(𝐹 2)𝑎c−os𝑚(cid:105)(cid:194)4 2=[ +( )]2 ( )(1+cos )(cid:105)
(cid:186)
𝑐
(cid:121)
𝑚
(
2
)
𝑎
=
−𝑚4 2−2𝑚2
=
2𝑎−2𝑚2
(cid:105)
𝜃 𝑐 𝑚 2𝑎−𝑚 −2𝑚 2𝑎−𝑚 𝜃
2(1 cos ) 1 cos
𝑎 −4𝑐 𝑏
(cid:186)(cid:121) 𝑚 2𝑎−𝑚 = 1 ( + 𝜃 )sin + = 𝜃 1 2 2 sin = 2 2sin 2 cos 2= 2tan (cid:105)(cid:114)(cid:205)(cid:549)(cid:15)(cid:181)(cid:547)(cid:132)
1 2 2 2 1 cos 2co 𝜃 s2 𝜃 2
𝑏 2 𝜃
𝜃
𝑆△𝐴𝐹 𝐹 𝑚 2𝑎−𝑚 𝜃 ⋅ + 𝜃⋅ 𝜃 𝑏 𝑏
(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181)(cid:105) = 2tan =2 =2× 3 2= 3 2 (cid:105)(cid:90)(cid:181)tan = 3(cid:105)
1 2 2 2 6 3 2 3
𝜃 𝜃
𝑆△𝐴𝐹 𝐹 𝑏 𝑆△𝑂𝐴𝐹 𝑏 𝑏
(cid:185)(cid:178)0< < (cid:105)(cid:186)(cid:121) = (cid:105)(cid:90)(cid:181) = (cid:105)
2 2 2 6 3
𝜃 π 𝜃 π π
𝜃
(cid:255)| |= (cid:105) = (cid:105)(cid:214)(cid:181)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:178)(cid:135)(cid:363)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)
2 2 3 2
π
𝐴𝐹 |𝐴𝐵| ∠𝐵𝐴𝐹 𝐴𝐵𝐹
(cid:186)(cid:121) =| |+| |+| |=3| |(cid:105)(cid:186)(cid:121)| |= ,| |= = (cid:105)
2 2 2 2 3 1 3 3
4𝑎 4𝑎 2𝑎
4𝑎 𝐵𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐹 2𝑎−
(cid:186)(cid:121)| |= = =| |(cid:105)(cid:186)(cid:121) (cid:108) (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:105)
1 3 3 3 1 1
4𝑎 2𝑎 2𝑎
𝐵𝐹 − 2𝐴𝐹 𝐹 2𝐴𝐵
(cid:186)(cid:121) (cid:105)(cid:186)(cid:121) =( )2+ (cid:105)(cid:194) 2=3 2(cid:105)
1 2
3 3
4𝑎 2𝑎
𝐴𝐵⊥𝐹 𝐹 2𝑐 𝑎 𝑐
(cid:186)(cid:121) = = 3.
3
𝑐
𝑒 𝑎(cid:306)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:246)(cid:56)(cid:287)(cid:20)(cid:21)
2 2
9(cid:150)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:297)(cid:550)(cid:415)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:232)(cid:30)(cid:31)C(cid:10) + =1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) (cid:105) (cid:105)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:178)O(cid:150)(cid:273)(cid:30)(cid:31)C(cid:60)
8 4 1 2
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹
(cid:551)(cid:162)(cid:142)(cid:50)P(cid:105)(cid:471)(cid:181) = 7(cid:105)(cid:259)(cid:238)(cid:318)(cid:182)(cid:210)(cid:350)(cid:213)(cid:32)(cid:188)(cid:102) (cid:103)
|𝑂𝑃3|
A(cid:150)cos = B(cid:150) =5
1 2 5 1 2
∠𝐹 𝑃𝐹 𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹
C(cid:150) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178)2 D(cid:150) (cid:32)(cid:111)(cid:390)(cid:31)(cid:192)(cid:310)(cid:178) 2
1 2 1 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)△(cid:272)𝐹(cid:28)𝑃(cid:211)𝐹(cid:212)(cid:301)(cid:136)(cid:68)(cid:126)P(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:211)(cid:212)(cid:152)(cid:50)(cid:158)△(cid:62)(cid:63)𝐹 (cid:7)𝑃𝐹(cid:125)(cid:88)(cid:552)(cid:68)(cid:126)| |,| −|1(cid:105)(cid:162) (cid:48)(cid:224)(cid:27)(cid:256)(cid:257)(cid:33)
1 2 1 2
(cid:15)(cid:214)(cid:289)(cid:33)A(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:133)(cid:134)(cid:13)(cid:134)(cid:58)(cid:7)(cid:125)(cid:214)(cid:289)(cid:33)B(cid:105)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:7)(cid:125)(cid:214)(cid:289)(cid:33)𝑃C𝐹(cid:105)(cid:211)𝑃(cid:212)𝐹(cid:135)(cid:57)(cid:58)△(cid:210)𝐹(cid:214)𝑃(cid:289)𝐹(cid:33)D.
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:210)1(cid:10)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:181) =2 2(cid:105)| |= =2 =4(cid:105)(cid:259) (cid:105) (2,0)(cid:150)
1 2 1 2
(cid:255)(cid:94)(cid:95)(cid:79)(cid:214)(cid:232) , )(cid:102) >𝑎0(cid:105) >0(cid:103)𝐹(cid:105)𝐹 |2=𝑐 (cid:105)8−4|= (cid:105) 𝐹 (−2,=0) (cid:105)𝐹
0 0 0 0 1 2 1 2
2
0+
2
0 =𝑃1(𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 |𝑃𝐹 𝑚 |𝑃𝐹 𝑛 ∠𝐹 𝑃𝐹 𝜃
8 4 = 6
(cid:255) 𝑥 2+ 𝑦 2= 7 (cid:105)(cid:90)(cid:181) 0 0 =1 (cid:105)(cid:305) 1 (cid:105) 2 (2,0)(cid:105)
0 0
𝑥
𝐹 (−2,0) 𝐹
𝑦
𝑥 𝑦
(cid:186)(cid:121) = ( 6+2) 2 +12= 11+4 6(cid:105) = ( 6 2 +12= 6(cid:105)
𝑚 𝑛 −2) 11−4
(cid:186)(cid:121) = 11+4 6 6= 112 (4 6) 2 =5(cid:150)
(cid:255)(cid:30)𝑚(cid:31)𝑛(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:181) + ⋅= 11−=44 2(cid:105) −
(cid:162) (cid:48)(cid:105)𝑚(cid:255)(cid:256)(cid:257)𝑛 (cid:33)2(cid:15)𝑎(cid:105)(cid:181)| |2= 2+ 2 cos (cid:105)
1 2 1 2
△𝐹 𝑃𝐹 𝐹 𝐹 2𝑚 𝑛 −2𝑚𝑛 𝜃
(cid:194)42= + 2 cos =(4 2) × ×5cos (cid:105)
(𝑚 3𝑛) −2𝑚𝑛−2𝑚𝑛 𝜃 −2 5−2 𝜃
(cid:90)(cid:181)cos = (cid:105)(cid:306)A(cid:350)(cid:213)(cid:132)
5
𝜃
3
= cos =5× =3(cid:105)(cid:306)B(cid:553)(cid:554)(cid:132)
1 2 5
𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 𝑚𝑛 𝜃
(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:178) = 1 sin = 1 ×5× ( 3 ) 2 =2(cid:105)(cid:306)C(cid:350)(cid:213)(cid:132)
1 2 1 2 2 2 5
△𝐹 𝑃𝐹 𝑆△𝐹 𝑃𝐹 𝑚𝑛 𝜃 1−
1
(cid:232) (cid:32)(cid:111)(cid:390)(cid:31)(cid:192)(cid:310)(cid:178)r(cid:105)(cid:255) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:283)(cid:135)(cid:105)(cid:181) = + +| (cid:105)
1 2 1 2 1 2 2 1 2
△𝐹 𝑃𝐹 △𝐹 𝑃𝐹 𝑆△𝐹 𝑃𝐹 (𝑚 𝑛 𝐹 𝐹 |)𝑟
1
(cid:194)2= (4 2+ (cid:105)(cid:90)(cid:181) = 2 (cid:105)(cid:306)D(cid:350)(cid:213)(cid:150)
2
4)𝑟 𝑟 −1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:150)
(cid:210)2(cid:10)(cid:232) |= (cid:105) |= (cid:105) = (cid:150)(cid:414)(cid:136) =2 2(cid:105) = =2(cid:105)
1 2 1 2
|𝑃𝐹 𝑚 |𝑃𝐹 𝑛 ∠𝐹 𝑃𝐹 𝜃 𝑎 𝑐 8−4
(cid:255)(cid:555)(cid:16)(cid:556)(cid:135)(cid:125)(cid:105)(cid:181) = |2 |2= =3(cid:105)(cid:306)B(cid:553)(cid:554)(cid:132)
1 2 1
𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 |𝑂𝑃 −|𝑂𝐹 7−4(cid:255)(cid:48)(cid:43)(cid:55)(cid:33)(cid:15)(cid:181) 2+ 2= |2+ |2)=22(cid:105)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:181) + = =4 2(cid:105)
1
(cid:186)(cid:121) + 2=𝑚2+𝑛2+2(|𝑂𝑃=22|+𝑂𝐹 =32(cid:105)(cid:186)(cid:121) =5(cid:105)𝑚 𝑛 2𝑎
(𝑚 𝑛) 𝑚 3𝑛 2𝑚𝑛 2𝑚𝑛 𝑚𝑛
(cid:186)(cid:121)cos = 1 2= (cid:105)(cid:306)A(cid:350)(cid:213)(cid:132)
5
𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹
𝜃 3 𝑚𝑛 4 1 1 4
(cid:255)cos = (cid:105)(cid:181)sin = cos2 = (cid:105)(cid:186)(cid:121) = sin = ×5× =2(cid:105)(cid:306)C(cid:350)(cid:213)(cid:132)
5 5 1 2 2 2 5
𝜃 𝜃 1− 𝜃 𝑆△𝐹 𝑃𝐹 𝑚𝑛 𝜃
1
(cid:232) (cid:32)(cid:111)(cid:390)(cid:31)(cid:192)(cid:310)(cid:178)r(cid:105)(cid:255) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:283)(cid:135)(cid:105)(cid:181) = + +| (cid:105)
1 2 1 2 1 2 2 1 2
△𝐹 𝑃𝐹 △𝐹 𝑃𝐹 𝑆△𝐹 𝑃𝐹 (𝑚 𝑛 𝐹 𝐹 |)𝑟
1
(cid:194)2= (4 2+ (cid:105)(cid:90)(cid:181) = 2 (cid:105)(cid:306)D(cid:350)(cid:213)(cid:150)
2
4)𝑟 𝑟 −1
(cid:306)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:150)
10(cid:150)(cid:102)2024·(cid:352)(cid:106)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:142)(cid:143)(cid:557)(cid:188)(cid:192)(cid:462)(cid:537)(cid:32)(cid:31)(cid:558)(cid:53)(cid:559)(cid:560)(cid:561)(cid:105)(cid:36)(cid:411)(cid:57)(cid:192)(cid:310)(cid:178)3 (cid:105)(cid:559)(cid:560)(cid:561)(cid:24)(cid:178)16 (cid:102)(cid:559)
(cid:560)(cid:562)(cid:129)(cid:563)(cid:261)(cid:130)(cid:86)(cid:103)(cid:105)(cid:36)(cid:335)(cid:336)(cid:564)(cid:565)(cid:32)(cid:350)(cid:566)(cid:91)(cid:218)(cid:91)(cid:186)(cid:161)(cid:105) (cid:160)(cid:161)(cid:537)(cid:151)(cid:567)(cid:57)(cid:150)(cid:201)(cid:559)(cid:560) (cid:561)cm(cid:335)(cid:336)(cid:204)(cid:105)(cid:462)(cid:111)(cid:537)(cid:57) c(cid:178)m(cid:30)(cid:31)
(cid:53)(cid:105)(cid:568)(cid:294)(cid:366)(cid:88) (cid:178)(cid:462)(cid:111)(cid:537)(cid:32)(cid:350)(cid:566)(cid:91)(cid:150)(cid:232) = 𝑃(cid:105)𝑄(cid:259)(cid:238)(cid:318)(cid:138)(cid:243)(cid:350)(cid:213)(cid:32)(cid:108)(cid:102) (cid:103)
𝐴𝐵𝑁𝑀 ∠𝐶𝐵𝑄 𝜃
A(cid:150)(cid:201) =30°(cid:204)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178) 3
2
𝜃
1
B(cid:150)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:64)(cid:131)(cid:204)(cid:105)tan =
2
𝜃
3
C(cid:150)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)4(cid:204)(cid:105)tan =
4
𝜃
D(cid:150)(cid:201) =45°(cid:204)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)6
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)𝜃(cid:28)(cid:211)(cid:212) = (cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:55)(cid:176)(cid:178) (cid:105)(cid:177)(cid:176)(cid:55)(cid:178)6(cid:105)(cid:68)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:289)(cid:344)A(cid:105)(cid:255)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:64)(cid:131)(cid:136)(cid:55)(cid:176)(cid:64)(cid:55)(cid:214)
(cid:181) = (cid:68)(cid:90)(cid:289)∠(cid:344)𝑀B𝑁(cid:105)𝐸(cid:255)(cid:63)𝜃 (cid:69)(cid:70)(cid:68)(cid:126) (cid:194)𝑀𝑁(cid:214)(cid:289)(cid:344)C(cid:105)(cid:255) (cid:68)(cid:126) (cid:105)(cid:244)(cid:181)(cid:126)(cid:49)(cid:62)(cid:289)(cid:344)D.
(cid:22)(cid:90)𝑀𝑁(cid:245)(cid:304)𝐴(cid:41)𝐶(cid:28)(cid:304) (cid:156) (cid:153) (cid:105)(cid:218)(cid:91)𝑀(cid:105)𝑁 𝜃 𝑀𝑁
𝑀 𝑀𝐸⊥𝐵𝑁 𝐸
6
(cid:255) = = (cid:105)(cid:201) =30°(cid:204)(cid:105)(cid:162)Rt (cid:48)(cid:105) = = =12(cid:105)
sin sin30°
𝑀𝐸
∠𝐶𝐵𝑄 ∠𝑀𝑁𝐸 𝜃 𝜃 △𝑀𝑁𝐸 𝑀𝑁 𝜃(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:48)2 = =6(cid:105) = 2= 9= 3(cid:105)(cid:306)A(cid:350)(cid:213)(cid:132)
2 36 2
𝑏
𝑎 12,2𝑏 𝑒 1−𝑎 1−
(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:177)(cid:176)(cid:55)(cid:178)(cid:33)(cid:65)6(cid:105) = 2(cid:105)(cid:186)(cid:121)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:64)(cid:55)(cid:204)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:64)(cid:131)(cid:105)
2
𝑏
𝑒 1−𝑎
6 3
(cid:255)(cid:91)(cid:214)(cid:136)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:55)(cid:176)(cid:178) (cid:204)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:64)(cid:55)(cid:105)(cid:207)(cid:204)tan =tan = = (cid:105)(cid:306)B(cid:553)(cid:554)(cid:132)
16 8
𝐴𝐶 𝜃 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)4(cid:204)(cid:105) = 2+ 2= 32+22= 13(cid:105)(cid:194) =2 13(cid:105)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑀𝑁 6 3
(cid:186)(cid:121) = 2 2= =4(cid:105)(cid:186)(cid:121)tan =tan = = = (cid:105)(cid:306)C(cid:553)(cid:554)(cid:132)
4 2
𝑀𝐸
𝑁𝐸 𝑀𝑁 −𝑀𝐸 52−36 𝜃 ∠𝑀𝑁𝐸 𝐸𝑁
6
(cid:201) =45°(cid:204)(cid:105)tan =tan = = =1(cid:105)(cid:186)(cid:121) =6(cid:105)
𝑀𝐸
𝜃 𝜃 ∠𝑀𝑁𝐸 𝐸𝑁 𝐸𝑁 𝐸𝑁
(cid:255)(cid:428)(cid:429)(cid:33)(cid:15)(cid:214)(cid:181) = 2+ 2= 62+62=6 2(cid:105)(cid:194) =6 2(cid:105) =3 2(cid:105)
(cid:186)(cid:121) = 2 2𝑀=𝑁 𝑀𝐸=3(cid:105)𝐸(cid:186)𝑁(cid:121)(cid:49)(cid:62) =6(cid:105)(cid:306)D(cid:350)(cid:213)2𝑎. 𝑎
(cid:306)(cid:20)(cid:10)𝑐 AD𝑎. −𝑏 18−9 2𝑐
3
11(cid:150)(cid:102)2024·(cid:333)(cid:297)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136) ( )(cid:105) (2,0)(cid:105) (1,0)(cid:105)(cid:357)(cid:50) (cid:391)(cid:392) (cid:44) (cid:32)(cid:336)(cid:70)(cid:386)(cid:58)(cid:178) (cid:105)(cid:357)(cid:50)
4
(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:313)(cid:178) (cid:105)(cid:304)(cid:50) (cid:32)(cid:251)(cid:43)(cid:184) (cid:153) 𝐴 (cid:105)−2(cid:152),0(cid:50)(cid:105) 𝐵 (cid:208) (cid:105) 𝐶 (cid:32)(cid:48)(cid:50)(cid:178) (cid:105) 𝑀 (cid:259)(cid:102) 𝑀 (cid:103) 𝐴 𝑀𝐵 − 𝑀
Γ 𝐶 2 2Γ 𝑃 𝑄 𝑃 𝑄 𝑅
A(cid:150) (cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1
4 3
𝑥 𝑦
𝑀
B(cid:150)| |(cid:32)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:178)1
𝑀𝐶 3
C(cid:150)(cid:273) (cid:178)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:105)(cid:259) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:178)
2
𝑂 △𝑂𝑃𝑄
D(cid:150)(cid:273)(cid:43)(cid:190) (cid:32)(cid:317)(cid:251)(cid:151)(cid:88)(cid:43)(cid:184) (cid:176)(cid:153)(cid:50) (cid:105)(cid:259) (cid:50)(cid:32)(cid:358)(cid:163)(cid:38)(cid:108) (cid:50)(cid:32)(cid:358)(cid:163)(cid:38)(cid:32)4(cid:569)
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)𝑃(cid:212)𝑄(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:40)𝑥(cid:210)(cid:194)(cid:214)(cid:68)𝐷(cid:181)(cid:20)(cid:570)𝑅 A(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)𝐷(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:194)(cid:214)(cid:289)(cid:344)(cid:20)(cid:570)B(cid:105)(cid:337)(cid:228)(cid:251)(cid:43) (cid:44)(cid:30)
(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:571)(cid:572)(cid:33)(cid:15)(cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:126) (cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:573)(cid:13)(cid:214)(cid:289)(cid:344)(cid:20)(cid:570)C(cid:105)(cid:224)(cid:27)(cid:48)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:7)(cid:125)(cid:35)(cid:251)𝑃(cid:43)𝑄 (cid:44)
(cid:251)(cid:43) (cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:68)(cid:126) (cid:50)(cid:66) (cid:50)△(cid:32)𝑂(cid:358)𝑃𝑄(cid:163)(cid:38)(cid:105)(cid:114)(cid:205)(cid:289)(cid:344)(cid:20)(cid:570)D. 𝑃𝑄
𝑅𝐷 𝑅 𝐷 3 2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:94)(cid:153)(cid:20)(cid:570)A(cid:105)(cid:232) ( )(cid:105)(cid:185)(cid:178) ( )(cid:105) (2,0)(cid:105)(cid:186)(cid:121) = = (cid:105)(cid:16)(cid:75)(cid:181) +
2 4 4 3
𝑦 𝑦 𝑥 𝑦
=1( ±2)(cid:105)(cid:306)A(cid:553)(cid:554)(cid:132) 𝑀 𝑥,𝑦 𝐴 −2,0 𝐵 𝑘𝑀𝐴⋅𝑘𝑀𝐵 𝑥+ ⋅𝑥−2 −
𝑥≠ 2 2
(cid:94)(cid:153)(cid:20)(cid:570)B(cid:105)(cid:185)(cid:178) + =1( ±2)(cid:105)(cid:259) =2(cid:105) = 3(cid:105)(cid:259) = 2 2=1(cid:105)
4 3
𝑥 𝑦
(cid:186)(cid:121) (1,0)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:259)𝑥≠| | = 𝑎 = 𝑏 =1(cid:105)(cid:306) 𝑐 B(cid:350)𝑎(cid:213)−(cid:132)𝑏
min
(cid:94)(cid:153)𝐶(cid:20)(cid:570)C(cid:105)(cid:232) (cid:32)(cid:40)(cid:41) = 𝑀𝐶+1(cid:105)(cid:284)𝑎(cid:362)−(cid:30)𝑐 (cid:31)2(cid:40)−1(cid:41)(cid:105)(cid:181)(3 2+4) 2+ =0(cid:105)
𝑃𝑄 𝑥 𝑚𝑦 𝑚 𝑦 6𝑚𝑦−9
(cid:232) ( , ) ( , )(cid:105)(cid:259) + = , = (cid:105) =36 2+36(3 2+4)>0(cid:105)
1 1 2 2 1 2 3 2 4 1 2 3 2 4
−6𝑚 −9
(cid:186) 𝑃 (cid:121) 𝑥 𝑦 ,𝑄 = 1 𝑥 | 𝑦 || 𝑦 | = 𝑦 1 ( 𝑚 + + 𝑦 ) 𝑦 2 𝑚 + = 1 Δ 𝑚 2 + 36 𝑚 =6 2 1(cid:105)
2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 4 3 2 4 3 2 4
−6𝑚 𝑚 +
𝑆△𝑂𝑃𝑄
𝑂𝐶 𝑦 −𝑦 𝑦 𝑦 −4𝑦 𝑦 𝑚 + 𝑚 + 𝑚 +6
(cid:180) 2+1= 1(cid:105)(cid:259) = = 1 (cid:105)
3 2 1
6𝑡
(cid:180) ( 𝑚 )= + 𝑡 1 ≥ ( 1)(cid:105) 𝑆△ (cid:259) 𝑂𝑃𝑄 𝑡 = + 6 ， 3 𝑡+ ( 𝑡 1), ( )= 1 = 3 2 >0(cid:105) ( )(cid:162)[1,+ )(cid:178)(cid:574)(cid:285)(cid:13)(cid:105) ( )
( ) 2 2
𝑡 −1
(1) 𝑔 =𝑡4(cid:105) 3𝑡 ( ) 𝑡 𝑡=≥4(cid:105) 𝑆△𝑂𝑃𝑄 𝑔 𝑡 𝑡≥ 𝑔 ′ 𝑡 3−𝑡 𝑡 𝑔 𝑡 ∞ 𝑔 𝑡 ≥𝑔
min
𝑔 𝑡 6 3
(cid:186)(cid:121)( ) = = (cid:105)(cid:201)(cid:208)(cid:209)(cid:201) =1(cid:204)(cid:194) =0(cid:135)(cid:9)(cid:254)(cid:228)(cid:105)(cid:306)C(cid:350)(cid:213)(cid:132)
max 4 2
𝑆△𝑂𝑃𝑄 𝑡 𝑚
(cid:94)(cid:153)(cid:20)(cid:570)D(cid:105)(cid:185)(cid:178) 1 2, 1 2 (cid:105) 1 2= ( 1 2 ) +1= 2 +1= 4 (cid:105) 1 2= (cid:105)
2 2 2 2 3 2 4 3 2 4 2 3 2 4
𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑥 +𝑥 𝑚 𝑦 +𝑦 −3𝑚 𝑦 +𝑦 −3𝑚
𝑅 𝑚 + 𝑚 + 𝑚 +
(cid:186)(cid:121) 4 , (cid:105)(cid:259) = 4 (cid:105)
3 2 4 3 2 4 3 2 4
−3𝑚
(cid:232) ( 𝑅 ,0 𝑚 )(cid:105) + (cid:259) 𝑚 + = 𝑥𝑅 1 3 𝑚 3 2 𝑚 + 4 4 = (cid:105)(cid:259) = 3 1 2 4 (cid:105)
𝑚3+2 4
(cid:186)(cid:121) 𝐷 𝑥𝐷 =3 4 2 4= 𝑘𝑃 4 𝑄 (cid:105) ⋅ (cid:259) 𝑘𝑅𝐷 (cid:50)(cid:32) 𝑚 (cid:358) ⋅𝑥𝐷 (cid:163) − (cid:38) 𝑚 (cid:108) + (cid:50) − (cid:32) 1 (cid:358)(cid:163) 𝑥 (cid:38) 𝐷 (cid:32)4 𝑚 (cid:569) + (cid:105)(cid:306)D(cid:350)(cid:213).
1
𝑥𝑅 3𝑚2+4
(cid:306)(cid:20)(cid:10) 𝑥𝐷 BC𝑚D.+ 𝑅 𝐷
(cid:51)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:21)
2 2
12(cid:150)(cid:102)2024·(cid:60)(cid:575)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:40)(cid:41) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:105)(cid:259)(cid:81)(cid:13) (cid:32)(cid:72)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108) (4,6) (6,8) .
𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:40)(cid:41)(cid:160)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:318)(cid:126)(cid:130)𝑘−(cid:135)4(cid:125)8(cid:439)−𝑘(cid:181)(cid:90). 𝑘 ∪
2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:185)(cid:178)(cid:40)(cid:41) + =1(cid:160)(cid:161)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:108)(cid:30)(cid:31)(cid:105)
𝑥 𝑦
𝑘−4 8−𝑘
>0
(cid:186)(cid:121) >0 (cid:105)(cid:90)(cid:181)4< <8(cid:208) 6(cid:105)
𝑘−4
8−𝑘 𝑘 𝑘≠
(cid:186)(cid:121)(cid:81)𝑘(cid:13)−4k≠(cid:32)8(cid:72)−𝑘(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:108)(4,6) (6,8).
(cid:306)(cid:245)(cid:330)(cid:178)(cid:10)(4,6) (6,8). ∪
13(cid:150)(cid:102)2024·(cid:315)(cid:322)(cid:404)∪ (cid:576)(cid:373)·(cid:300)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:103)(cid:48)(cid:69)(cid:165)(cid:153)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:105)(cid:94)(cid:95)(cid:176)(cid:178)(cid:163)(cid:38)(cid:176)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:60)(cid:56)(cid:238)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) ,
1
(cid:105)(cid:303)(cid:96)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:273) (cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:178)4(cid:105) = 2 (cid:105)(cid:259) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2 + 2= 𝐸 1 (cid:150) 𝐹
2 1 2 3 4
π 𝑦
𝐹 𝐴 𝐸 ∠𝐹 𝐴𝐹 𝐸 𝑥(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) =2(cid:105)(cid:255) = 2 (cid:105)(cid:214)(cid:181) =sin = 3(cid:105)(cid:214)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).
1 2 3 3 2
π 𝑐 π
𝑎 ∠𝐹 𝐴𝐹 𝑎
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:178)4(cid:105)(cid:259)(cid:214)(cid:181) =4(cid:105)(cid:90)(cid:181) =2(cid:105)
𝐸 2𝑎 𝑎
2
(cid:185)(cid:178) = (cid:105)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:79)(cid:214)(cid:136) = (cid:105)
1 2 3 1 3
π π
∠𝐹 𝐴𝐹 ∠𝐹 𝐴𝑂
(cid:186)(cid:121) =sin = 3(cid:105)(cid:90)(cid:181) = 3(cid:105)(cid:186)(cid:121) 2= 2 2=1(cid:105)
3 2
𝑐 π
𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 −𝑐
(cid:305)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:105)(cid:186)(cid:121) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2 + 2=1.
4
𝑦
𝑦 𝐸 𝑥
(cid:306)(cid:245)(cid:330)(cid:178)(cid:10) 2 + 2=1.
4
𝑦
𝑥
2 2
14(cid:150)(cid:102)2024·(cid:373)(cid:408)(cid:531)(cid:298)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136) 、 (cid:108)(cid:30)(cid:31) + = > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:105)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)(cid:50) (cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:142)(cid:50)(cid:105)
1 2 2 2
𝑥 𝑦
𝐹 𝐹 𝑎 𝑏 1(𝑎 𝑏 𝑃 𝑂
(cid:178)(cid:163)(cid:38)(cid:220)(cid:50)(cid:105) (cid:178)(cid:350)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:259)(cid:311)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:178) 3 .
2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:255)△(cid:21)𝑃𝑂(cid:214)𝐹(cid:136)(cid:135)(cid:363)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:363)(cid:55)(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:214)(cid:136)(cid:50) (cid:32)(cid:163)(cid:38)−1(cid:105)(cid:414)(cid:136) (cid:178)(cid:251)(cid:52)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:428)(cid:429)(cid:33)(cid:15)(cid:35)
1 2
(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:318)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:63)(cid:69)(cid:70). 𝑃 △𝐹 𝑃𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:231)(cid:21)(cid:195) = |= |= (cid:105)
2 2
(cid:130)(cid:369)(cid:232)(cid:50) (cid:162)(cid:104)(cid:142)(cid:346)(cid:406)
|𝑃
(cid:105)
𝑂|
(cid:259)(cid:50)
|𝑃𝐹
,
3|𝑂
(cid:105)
𝐹 𝑐
2 2
𝑐 𝑐
𝑃 𝑃
2 2
(cid:414)(cid:136) |= + 3 = 3 (cid:105)
1
2 2
3𝑐 𝑐
(cid:255)(cid:30)|(cid:31)𝑃𝐹(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:10) |+ |=𝑐 (cid:105)
1 2
(cid:186)(cid:121) 3 + = (cid:105)|𝑃𝐹 |𝑃𝐹 2𝑎
𝑐 𝑐 22𝑎
(cid:186)(cid:121) = = = 3 .
3 1
𝑐
(cid:306)(cid:245) 𝑒 (cid:330)(cid:178) 𝑎 (cid:10) 3 + . −1
(cid:189)(cid:56)(cid:90)(cid:245)(cid:21) −1
15(cid:150)(cid:102)24-25(cid:24)(cid:246)(cid:60)·(cid:98)(cid:99)·(cid:577)(cid:578)(cid:325)(cid:425)(cid:103)(cid:68)(cid:368)(cid:139)(cid:238)(cid:318)(cid:233)(cid:234)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:150)
(1)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:105)(cid:208)(cid:401)(cid:304)(cid:152)(cid:143)(cid:50)(0,2)(cid:66)(1,0)(cid:132)
(2)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) 𝑦 (cid:32)(cid:152)(cid:143)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:88)(cid:191)(cid:108)( )(cid:105)(2,0)(cid:105)(cid:282)(cid:208)(cid:401)(cid:304)(cid:50) 5 3 (cid:150)
2 2
−2,0 ,−2 2
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:102)1(cid:103)(cid:255)(cid:233)(cid:234)(cid:214)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1( > >0)(cid:105)(cid:244)(cid:255)(cid:233)(cid:234)(cid:318)(cid:40)(cid:41)(cid:68) (cid:105)(cid:194)(cid:214)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:132)
2 2
𝑦 𝑥
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎,𝑏
2 2
(cid:102)2(cid:103)(cid:138)(cid:139)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:136)(cid:214)(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1( > >0)(cid:105)(cid:208) =2(cid:105)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:214)(cid:68) (cid:105)(cid:255)(cid:207)(cid:214)(cid:68) (cid:35)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:102)1(cid:103)(cid:185)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:105)
2 2 𝑦
(cid:186)(cid:121)(cid:232)(cid:187)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1( > >0)(cid:150)
2 2
𝑦 𝑥
(cid:305)(cid:30)(cid:31)(cid:401)(cid:304)(cid:50)(0,2)(cid:66)(1 𝑎 ,0)(cid:105)𝑏 𝑎 𝑏
4 0
+ =1, 2=4,
(cid:186)(cid:121) 2 2 (cid:90)(cid:181)
0
+
1
=1,
2=1.
𝑎2 𝑏2 𝑎
𝑏
𝑎 𝑏
(cid:186)(cid:121)(cid:186)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2 + 2=1(cid:150)
4
𝑦
𝑥
(cid:102)2(cid:103)(cid:255)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:162) (cid:176)(cid:60)(cid:105)
2𝑥 2
(cid:186)(cid:121)(cid:232)(cid:187)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1( > >0)(cid:105)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:192)(cid:49)(cid:62)(cid:178) (cid:105)(cid:259)𝑎 = 𝑏 2(cid:105) 𝑎 𝑏
2 𝑐 𝑐2 2 2
(cid:305) = 5 +2 + 3 + 5 + 3 =2 10(cid:105)
2 2 2 2
(cid:186)2(cid:121)𝑎 = 10(cid:105) − −2 −
(cid:186)(cid:121)𝑎2= 2 2= =6(cid:105)
𝑏 𝑎 −𝑐 10−4 2 2
(cid:186)(cid:121)(cid:186)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:178) + =1(cid:150)
10 6
𝑥 𝑦
16(cid:150)(cid:102)2024·(cid:106)(cid:107)(cid:131)(cid:579)·(cid:51)(cid:300)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) 2 + 2=1(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:88)(cid:191)(cid:178) (cid:105) (cid:105)(cid:208)(cid:50) 1, 2 (cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:105)(cid:357)
2 1 2 2
𝑥
𝐶:𝑎 𝑦 𝐹 𝐹 𝐴
(cid:50)C(cid:105)D(cid:88)(cid:191)(cid:162)(cid:251)(cid:43) (cid:66)(cid:30)(cid:31)(cid:60).
2
(1)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:35)𝐹(cid:36)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:132)
(2)(cid:273)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:551)(cid:162)(cid:142)(cid:50)E(cid:105)(cid:471)(cid:181)(cid:189)(cid:363)(cid:53) (cid:108)(cid:580)(cid:53)(cid:105)(cid:68)(cid:50)D(cid:32)(cid:358)(cid:163)(cid:38).
1
𝐹 𝐷=𝐸1𝐶,
1 1
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(cid:102)1(cid:103)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:195)(cid:214)(cid:181) + =1, (cid:90)(cid:181) 2=2(cid:105) 2=1.(cid:244)(cid:86)(cid:235)(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:38).
2
2𝑏 2
2= 2.
𝑎 𝑎 𝑐
𝑎 −𝑏 𝑐
(cid:102)2(cid:103)(cid:232) ( )(cid:105) ( )(cid:105) ( , )(cid:105) ( )(cid:105)(cid:185)(cid:178)(cid:189)(cid:363)(cid:53) (cid:142)(cid:33)(cid:178)(cid:151)(cid:416)(cid:189)(cid:363)(cid:53)(cid:105)(cid:211)(cid:212) + =
0 0 1 1 1 1
𝐶 1,𝑡 𝐷 𝑚,𝑛 𝐸 𝑥 𝑦 𝐹 −1,0 𝐹 𝐷𝐸𝐶 𝐹 𝐶 𝐹 𝐷
(cid:105)(cid:181) ( + + )(cid:105)(cid:50)D(cid:105)E(cid:339)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:284)(cid:362)(cid:196)(cid:53)(cid:181) 2+ + +2=0 (cid:105)(cid:305) (cid:105)(cid:188)
1 1 1
𝐹 𝐸 +2+ 𝐸 𝑚=02(cid:105),𝑡 𝑛(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:10) =0(cid:71) = (cid:105)(cid:88)(cid:241)(cid:86)(cid:235)(cid:181)𝑡(cid:126)(cid:138)2𝑛(cid:219)𝑡(cid:132)2𝑚 ① 𝐷𝐹 ⊥𝐶𝐹
2𝑚 𝑛𝑡 ② 𝑡 𝑡 −𝑛=1,
1 1
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:102)1(cid:103)(cid:255)(cid:21)(cid:232)(cid:105) + =1, (cid:90)(cid:181) 2=2(cid:105) 2=1.
2
2𝑏 2
2= 2.
𝑎 𝑎 𝑐
(cid:186)(cid:121)(cid:30)(cid:31)G(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:178) 2 + 2= 𝑎 1. −(cid:49)𝑏(cid:50)(cid:163)𝑐(cid:38)(cid:178)(1,0)(cid:105)( )
2
𝑥
(cid:102)2(cid:103)(cid:232) ( )(cid:105) ( )(cid:105) 𝑦 ( , )(cid:105) ( )(cid:105) −1,0
0 0 1
𝐶 1,𝑡 𝐷 𝑚,𝑛 𝐸 𝑥 𝑦 𝐹 −1,0
(cid:185)(cid:178)(cid:189)(cid:363)(cid:53) (cid:108)(cid:580)(cid:53)(cid:105)(cid:142)(cid:33)(cid:178)(cid:151)(cid:416)(cid:189)(cid:363)(cid:53)(cid:105)(cid:186)(cid:121) + = (cid:105)
1 1 1 1
(cid:259) = + 𝐹 2(cid:105)𝐷𝐸𝐶 = + (cid:105)(cid:186)(cid:121) ( + + )(cid:105) 𝐹 𝐶 𝐹 𝐷 𝐹 𝐸
0 0
𝑥 𝑚 𝑦 𝑡 𝑛 2+2𝐸 2𝑚=22,𝑡 𝑛
D(cid:105)E(cid:339)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:105) (cid:105)(cid:196)(cid:53)(cid:181) 2+ + +2=0 (cid:105)
( +2)2+2( + )2=2
𝑚 𝑛
𝑡 2𝑛𝑡 2𝑚 ①
𝑚 𝑡 𝑛
(cid:305) (cid:105)(cid:186)(cid:121) =0(cid:105)(cid:194)2( +1)+ =0(cid:105)
2 2 1 1
(cid:259)𝐷𝐹 + ⊥ 2 𝐶 + 𝐹 =0(cid:105)𝐹 𝐷⋅𝐹 𝐶 𝑚 𝑛𝑡
2(cid:284)𝑚(cid:362) (cid:181)𝑛2𝑡+ =②0(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:10) =0(cid:71) = (cid:105)
(cid:273) ② =0(cid:204) ① (cid:105) 𝑡 = 𝑛𝑡 (cid:105) =± 2(cid:105)(cid:207) 𝑡 (cid:204)C 𝑡 (cid:44) − (cid:110) 𝑛 (cid:139)(cid:105)D(cid:50)(cid:163)(cid:38)(cid:178) ± 2 (cid:132)
2
2 2
𝑡 𝑚 −1 𝑛 2+2 2=2 𝐹 −1,
(cid:273) = (cid:204)(cid:105)(cid:337)(cid:228) (cid:105)
( +2)2+2( + )2=2
𝑚 𝑛
(cid:214)
𝑡
(cid:181)(cid:10)
−𝑛2+
+2=𝑚0(cid:105)(cid:90)(cid:181)(cid:10)𝑡 =𝑛 ± 2(cid:105)
(cid:185)(cid:178) 𝑚[ 42𝑚, 2](cid:105)(cid:186)(cid:121) = 𝑚+ 2−(cid:105)2
(cid:186)(cid:121)𝑚D∈(cid:50)(cid:358)−(cid:163)(cid:38)(cid:178) + 𝑚2(cid:71)−2.
−2 −1
17(cid:150)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)(cid:238)·(cid:315)(cid:322)(cid:315)(cid:353)·(cid:514)(cid:11)(cid:25)(cid:581)(cid:103)(cid:315)(cid:353)(cid:512)(cid:270)(cid:582)(cid:583)(cid:32)(cid:584)(cid:585)(cid:586)(cid:587)(cid:255)(cid:152)(cid:143)(cid:131)(cid:206)(cid:130)(cid:250)(cid:32)(cid:347)(cid:588)(cid:30)(cid:493)(cid:587)(cid:283)(cid:589)(cid:205)(cid:254)(cid:105)
(cid:36)(cid:584)(cid:585)(cid:586)(cid:587)(cid:55)(cid:176)(cid:590)(cid:591)(cid:592)(cid:593)97(cid:474)(cid:105)(cid:177)(cid:176)(cid:590)(cid:591)(cid:592)(cid:593)77(cid:474)(cid:105)(cid:177)(cid:176)(cid:55)(cid:44)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:32)(cid:151)(cid:40)(cid:193)(cid:203)(cid:115)(cid:594)(cid:595)(cid:193)0.618(cid:150)(cid:548)(cid:252)(cid:430)
(cid:177)(cid:176)(cid:55)(cid:44)(cid:55)(cid:176)(cid:55)(cid:32)(cid:151)(cid:40)(cid:193)(cid:178) 5 (cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:95)(cid:178)(cid:594)(cid:595)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:127)(cid:188)(cid:142)(cid:594)(cid:595)(cid:30)(cid:31) 2 + 2 =1( > >0)(cid:36)(cid:48)A(cid:105)F(cid:88)
2 2 2
−1 𝑥 𝑦
(cid:191)(cid:178)(cid:36)(cid:302)(cid:96)(cid:50)(cid:66)(cid:303)(cid:49)(cid:50)(cid:105)B(cid:178)(cid:60)(cid:96)(cid:50)(cid:150) 𝐶:𝑎 𝑏 𝑎 𝑏(1)(cid:68)(cid:594)(cid:595)(cid:30)(cid:31)C(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:132)
(2)(cid:596)(cid:250)(cid:11)(cid:162)(cid:597)(cid:598)(cid:594)(cid:595)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:204)(cid:599)(cid:326) (cid:214)(cid:237)(cid:178)(cid:251)(cid:52)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:105)(cid:581)(cid:289)(cid:344)(cid:311)(cid:250)(cid:11)(cid:32)(cid:599)(cid:326)(cid:108)(cid:600)(cid:350)(cid:213)(cid:105)(cid:282)(cid:182)(cid:183)
(cid:15)(cid:255)(cid:150) △𝐴𝐵𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)(cid:272)(cid:28)(1)(cid:211)(cid:212)(cid:21)(cid:274)(cid:48)(cid:594)(cid:595)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:244)(cid:211)(cid:212)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:86)(cid:235)(cid:7)(cid:125) = 2(cid:214)(cid:68)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70).(2)
2
𝑏
(cid:389)(cid:304)(cid:86)(cid:235) (cid:32)(cid:65)(cid:105)(cid:214)(cid:121)(cid:289)(cid:344)(cid:126)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:53)(cid:564). 𝑒 1−𝑎
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)
𝑘𝐴
(cid:28)
𝐵⋅
(cid:102)
𝑘𝐵
1
𝐹
(cid:103)(cid:255)(cid:21)(cid:195)(cid:105)(cid:232)(cid:30)(cid:31)C(cid:32)(cid:49)(cid:62)(cid:178)2c(cid:105)(cid:259) 2 = 5 (cid:105)
2 2
𝑏 −1
𝑎
(cid:305) 2= 2 2(cid:105)(cid:181) 2 2 = 5 (cid:105)(cid:194) 2= 5 (cid:105)
2 2 2
𝑎 −𝑐 −1 −1
𝑏 𝑎 −𝑐 2𝑎 1−𝑒
2= 5= 5 (cid:105)(cid:186)(cid:121) = 5 (cid:150)
2 2 2
3− −1 −1
(cid:102)𝑒 2(cid:103)(cid:350)(cid:213)(cid:150)(cid:15)(cid:255)(cid:218)(cid:238)(cid:132) 𝑒
1
2 2
(cid:232)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:69)(cid:178)O(cid:105)(cid:255) = = = = 4 2 2
2 2
𝑏 −𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 −𝑎 4 𝑏
1 𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝐵𝐹 𝑎⋅ 𝑐 −𝑎𝑐 −𝑎 𝑎 −𝑏 − 𝑏
1
= 2 2 2 = 2 2 2 =
2 2 5 5
𝑎 𝑎
− 𝑏 −𝑏 − −1 − −1 −1
(cid:186)(cid:121) = (cid:105)(cid:194) = (cid:105)
2
𝜋
𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝐵𝐹 −1 ∠𝐴𝐵𝐹
(cid:186)(cid:121) (cid:108)(cid:251)(cid:52)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:150)
△𝐴𝐵𝐹 2 2
18(cid:150)(cid:102)2024(cid:24)(cid:51)(cid:238)·(cid:98)(cid:99)·(cid:26)(cid:21)(cid:424)(cid:425)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) (cid:10) + = > >0)(cid:32)(cid:302)(cid:49)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:303)(cid:96)(cid:50)(cid:178) (cid:105)(cid:208)(cid:30)(cid:31)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:60)(cid:551)(cid:162)(cid:50) (cid:471)(cid:181) (cid:105)(cid:68)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:63)(cid:69)(cid:70) (cid:32) 𝐶 (cid:72)(cid:65)𝑎 (cid:73)(cid:74)𝑏 (cid:150) 1(𝑎 𝑏 𝐹 𝐴 𝐶
(cid:22)(cid:90)(cid:21)(cid:271)𝑃(cid:272)(cid:28)(cid:255)𝑃(cid:30)𝐹(cid:31)⊥𝑃(cid:60)𝐴(cid:551)(cid:162)(cid:142)(cid:50)𝐶P(cid:105)(cid:471) 𝑒＝90°(cid:105)(cid:214)(cid:136)(cid:50)P(cid:342)(cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:105)(cid:305)(cid:162)(cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:60)(cid:150)(cid:211)(cid:212)
∠𝐴𝑃𝐹 𝐹𝐴 2 2
(cid:233)(cid:234)(cid:215)(cid:126)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:286)(cid:36)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:337)(cid:228)(cid:105)(cid:601)(cid:332)y(cid:105)(cid:181)(cid:61)(cid:3)(cid:153)x(cid:32)(cid:142)(cid:602)(cid:246)(cid:268)(cid:40)(cid:41)(cid:105)(cid:214)(cid:68)(cid:181) = (cid:105)(cid:229)
2 2
𝑎𝑏 −𝑎 𝑐
𝑥 𝑎 −𝑏
2 2
(cid:230)(cid:255)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:214)(cid:181) < < (cid:105)(cid:16)(cid:75)(cid:214)(cid:181)a(cid:105)c(cid:386)(cid:158)(cid:32)(cid:3)(cid:164)(cid:105)(cid:327)(cid:205)(cid:214)(cid:181)(cid:63)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:73)(cid:74)(cid:150)
2 2
𝑎𝑏 −𝑎 𝑐
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:232)(cid:50) ( )(cid:150) −𝑐 (cid:255) 𝑎 −𝑏 ＝90° 𝑎 (cid:136)(cid:105)(cid:50) (cid:162)(cid:121) (cid:178)(cid:251)(cid:310)(cid:32)(cid:31)(cid:60)(cid:150)
𝑃2𝑥,𝑦 ∠𝐴𝑃𝐹2 𝑃 𝐹𝐴
(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:108) ) + 2=( ) (cid:105)(cid:194) 2=( ) 2+ (cid:105)
2 2
𝑎−𝑐 𝑎+𝑐
(𝑥− 𝑦 𝑦 𝑎−𝑐 𝑥−𝑥 𝑎𝑐①2 2
(cid:305)(cid:50) (cid:162)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:105)(cid:306) + =1 (cid:105)
2 2
𝑥 𝑦
(cid:430) 𝑃 (cid:284)(cid:362) (cid:105)(cid:181)( 2𝑎 2) 𝑏 2 ②2 + 2 2 3 =0(cid:105)
(cid:306)① ②2 2 𝑎 −𝑏2+𝑥 −2𝑎 =(𝑎0−(cid:105)𝑐)𝑥 𝑎 𝑏 −𝑎 𝑐
(𝑥−𝑎)[(𝑎 −𝑏 )𝑥−𝑎𝑏2 2𝑎 𝑐]
(cid:185)(cid:178) (cid:105)(cid:186)(cid:121) = (cid:150)
2 2
𝑎𝑏 −𝑎 𝑐
𝑥≠𝑎 𝑥 𝑎 −𝑏
(cid:305) < < (cid:105)(cid:259) < 2 2 < 2< 2 + 3 (cid:105)(cid:194) ( 2 2)< 2 + 3(cid:105)
2 2
𝑎𝑏 −𝑎 𝑐
−𝑐 𝑥 𝑎 −𝑐 𝑎 −𝑏 2 𝑎⇒2𝑎𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 2𝑎 𝑎 −𝑐 𝑎 𝑐 𝑎
(cid:152)(cid:363)(cid:250)(cid:204)(cid:431)(cid:121) 3(cid:105)(cid:387)(cid:15)(cid:181)2 + >0(cid:105)(cid:194)2 2+ >0(cid:105)(cid:90)(cid:181) > 1 (cid:71) < (cid:105)
2
𝑐 𝑐
(cid:305)0< <1(cid:105)(cid:186) 𝑎 (cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:69) 𝑎 (cid:70)(cid:32)(cid:72) 𝑎 (cid:65) −1 (cid:73)(cid:74)(cid:108) 𝑒 1 ,1 𝑒 . −1 𝑒 𝑒 −1
2
𝑒 𝑒∈
(cid:306)(cid:245)(cid:330)(cid:178)(cid:10) 1 ,1 .
2
2 2
19(cid:150)(cid:102)23-24(cid:24)(cid:246)·(cid:98)(cid:99)·(cid:577)(cid:230)(cid:156)(cid:603)(cid:103)(cid:301)(cid:136)(cid:30)(cid:31) (cid:10) + =1(cid:111)(cid:188)(cid:142)(cid:50) (2,3)(cid:105) (cid:105) (cid:88)(cid:191)(cid:178)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:302)(cid:56)(cid:303)(cid:49)
25 16 1 2
𝑥 𝑦
𝐶 𝑀 𝐹 𝐹
(cid:50)(cid:105) (cid:178)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:32)(cid:142)(cid:50)(cid:105)(cid:68)(cid:10)
(1)| 𝑃 | | 𝐶|(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:44)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:132)
1
(2)|𝑃𝑀|−+𝑃|𝐹 |(cid:32)(cid:64)(cid:131)(cid:65)(cid:44)(cid:64)(cid:206)(cid:65)(cid:150)
1
(cid:22)(cid:90)𝑃(cid:21)𝑀(cid:271)(cid:272)𝑃(cid:28)𝐹(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得 || |然后得到 |的最
1 1 1
大值与最小值； ||𝑃𝑀|−|𝑃𝐹 ≤|𝑀𝐹 |𝑃𝑀|−|𝑃𝐹
(2)利用椭圆的定义表示出 + |，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
1
|𝑃𝑀2| |𝑃2𝐹
(cid:22)(cid:90)(cid:245)(cid:304)(cid:41)(cid:28)(cid:102)1(cid:103)由椭圆 + =1可知 =5， =4， =3，
25 16
𝑥 𝑦
𝐶: 𝑎 𝑏 𝑐
则 ， (3,0)，
1 2
𝐹 (−3,0) 𝐹
则 || |= 34，当且仅当 、 、 三点共线时成立，
1 1 1
||𝑃𝑀|−|𝑃𝐹 ≤|𝑀𝐹 𝑃 𝑀 𝐹所以 34 | 34，
1
所以− ≤|𝑃𝑀|的|−最|𝑃大𝐹值≤与最小值分别为 34和 34；
1
(cid:102)2(cid:103)|𝑃𝑀|=−1|𝑃0𝐹， (3,0)， |= 10， −
2 2
设 是2椭𝑎圆上任一𝐹点，由 |𝑀𝐹|+ |= =10， |，
1 2 2 2
𝑃 + | |𝑃𝐹 |+|𝑃𝐹 |=2𝑎 ||𝑃=𝑀|≥|𝑃1𝐹0，|−|𝑀𝐹
1 2 2 1 2
等∴号|𝑃𝑀仅|当 |𝑃𝐹 =≥|𝑃𝐹 |−|𝑀𝐹|时成|立𝑃𝐹，此时2𝑎−、|𝑀𝐹、 共10线−，
2 2 2
由 |𝑃𝑀||+|𝑃𝐹 |−|，|𝑀𝐹 𝑃 𝑀 𝐹
2 2
|𝑃𝑀|≤+|𝑃𝐹 | |𝑀𝐹|+ |+ |= + |=10+ 10，
1 2 2 1 2
等∴号|𝑃𝑀仅|当 |𝑃𝐹 =≤|𝑃𝐹|+ |𝑀𝐹|时成|立𝑃𝐹，此时2𝑎 、|𝑀、𝐹 共线，
2 2 2
故 +|𝑃𝑀||的|最𝑃𝐹大值1|𝑀0+𝐹 10与最小值为𝑃 𝑀 10𝐹．
1
|𝑃𝑀| |𝑃𝐹 10−