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专题12 应用能量观点处理圆周平抛组合模型
一、应用动能定理解决多过程问题
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进
行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。
2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，
然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
3．当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。
4．在分段分析时，有些过程可以用牛顿运动定律，也可利用动能定理，动能定理往往比牛顿运动定律解
题更简单方便，我们可优先采用动能定理解决问题。
二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关
物理量。
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0。
②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提供向心力，mg
＝，vmin＝。
【模型演练】．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）质量为
的小物块轻轻放在水平
匀速运动的传送带上的P 点，随传送带运动到A 点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B 点进
入竖直光滑圆弧轨道下滑。B、C 为圆弧的两端点，其连线水平，斜面与圆弧轨道在C 点相切连接（小物
块经过C 点时机械能损失不计）。已知圆弧半径
，圆弧对应圆心角
，轨道最低点为O，A
1
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点距水平面的高度
。设小物块首次经过C 点时为零时刻，在
时刻小物块经过D 点，小物块
与斜面间的滑动摩擦因数为
。（
，
，
）求：
（1）小物块离开A 点的水平初速度
大小；
（2）小物块经过O 点时受到轨道的支持力大小；
（3）斜面上CD 间的距离。
【答案】（1）
；（2）43N；（3）0.98m
【详解】（1）对小物块，由A 到B 做平抛运动，则在竖直方向有
在B 点有
，
（2）设小物块到达O 点时的速度为，对小物块，由B 到O，根据动能定理有
而
2
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在O 点，由牛顿第二定律有
联立解得
（3）根据牛顿第二定律，小物块上滑过程有
解得
下滑过程有
解得
由机械能守恒知
小物块由C 上升到最高点历时
由最高点到D 点历时
3
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因此可得
【总结提升】
1．物体做往复运动时，如果用运动学、动力学观点去分析运动过程，会十分烦琐，甚至无法确定往复运
动的具体过程和终态。这时就体现出动能定理的优势了。由于动能定理解题的优越性，求解多过程往复运
动问题时，一般应用动能定理。
2．在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别：
(1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；
(2)滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功W 克f＝Ffs(s 为路程)。
1．（2023 下·浙江温州·高一校考阶段练习）特战队员在进行素质训练时，抓住一端固定在同一水平高度的
不同位置的绳索，从高度一定的平台由水平状态无初速开始下摆，如图所示，在到达竖直状态时放开绳索，
特战队员水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点。下列说法正确的是
（ ）
A．绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大
B．绳索越长，特战队员在到达竖直状态时绳索拉力越大
C．绳索越长，特战队员落地时的水平速度越大
D．绳索越长，特战队员落地时的速度越大
【答案】C
4
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【详解】C．运动员由水平状态无初速开始下摆至最低点，根据动能定理有
特战队员落地时的水平速度
可知绳索越长，特战队员落地时的水平速度越大，故C 正确；
B．特战队员在到达竖直状态时，根据牛顿第二定律有
特战队员在到达竖直状态时绳索拉力
故B 错误；
A．设平台与地面的高度为
，特战队员做平抛运动时，水平方向有
特战队员落地时的水平位移为
根据数学关系可知
时，特战队员落地时的水平位移最大，故A 错误；
D．运动员由平台运动至地面，根据动能定理有
可得特战队员落地时的速度为
5
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故D 错误。
故选C。
2．（多选）（2023 上·陕西西安·高一校考阶段练习）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B 点，
半圆轨道的圆心为O，半径为R，C 为其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连
线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C 点。
不计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C 点时速度为0
B．小球到达C 点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A 点的初速度为
D．若小球到达D 点时对内外轨道均无弹力，则
【答案】AD
【详解】A．小球恰好过圆弧轨道最高点C，由于下方有支持物，所以过C 点时速度为0，故A 正确；
B．小球过C 点时速度为0，不能做平抛运动，故B 错误
C．A 到C，由机械能守恒定律可得
解得
6
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故C 错误；
D．由D 到C 根据机械能守恒有
在D 点小球对内外轨道均无弹力，则重力的分力提供向心力，有
解得
故D 正确。
故选AD。
3．（多选）（2023 下·福建莆田·高一统考期末）如图甲，宋人孟元老《东京梦华录》对花样跳水的描述：
“又有两画船，上立秋千，……筋斗掷身入水，谓之水秋千。”某次“水秋千”表演过程如图乙，质量为
m 的表演者，以O 点为圆心荡到与竖直方向夹角θ=45°的B 点时，松手沿切线方向飞出。若在空中经过最
高点C 时的速度为v，水秋千绳长为l，A 为最低点，表演者可视为质点，整个过程船体静止不动，不计空
气阻力和绳的质量，重力加速度为g。则（ ）
A．表演者在B 处重力的瞬时功率为mgv
B．表演者从A 运动到B 的过程中，处于超重状态
C．表演者在A 处受到秋千的作用力大小为
7
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D．若B 到水面的高度为CB 间高度的4 倍，则落水点到B 点的水平距离为
【答案】AC
【详解】A．表演者从B 运动到C 做斜上抛运动，在最高点C 时的速度为v，即水平方向的速度始终为v，
而在B 点时，速度方向与竖直方向成45°，此时水平速度和竖直速度大小相等，所以在B 处重力的瞬时功
率为
故A 正确；
B．从A 运动到B 的过程中，表演者既有指向圆心的向心加速度，也有切下斜向右下方的切向加速度，若
竖直方向上加速度的分量向上，则表演者处于超重状态，如果竖直方向上加速度分量向下，则表演者处于
失重状态，故B 错误；
C．从A 运动到B 的过程中，由动能定理可知
从B 点做斜抛运动，则
表演者在A 处受到秋千的作用力大小为F，则
则表演者在A 处受到秋千的作用力大小为
故C 正确；
D．由于B 到水面的高度为CB 间高度的4 倍，设CB 间高度为h，则B 到水面的高度为4h，由于从C 点开
始做平抛运动，故
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从B 点运动到最高处，由运动学公式可得
解得
CB 的水平位移为
故落水点到B 点的水平距离为
故D 错误。
故选AC。
4.（2024 上·浙江·高一期末）极限运动深受大家喜爱，但是过于危险，为了模拟极限运动的情况，物理小
组进行了如图所示的实验，竖直平面内的
圆弧形光滑轨道半径为
，A 端与圆心O 等高，AD 为与
水平方向成
角的斜面，B 端在O 的正上方，一个质量
的小球在A 点正上方3m 处由静止开始释
放，自由下落至A 点后进入圆形轨道并恰好能沿圆形轨道到达B 点，最后落到斜面上C 点，（忽略空气阻
力，重力加速度g 取
）。求：
（1）小球进入圆轨道A 点的瞬间，对轨道的压力大小；
（2）小球从B 点运动到C 点所用的时间t；
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（3）小球平抛过程中距离BC 边最远的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，小球从静止自由下落到A 点，由机械能守恒定律有
设小球进入圆轨道A 点的瞬间，轨道对小球的支持力为
，则有
联立解得
由牛顿第三定律可得，小球进入圆轨道A 点的瞬间，对轨道的压力为
（2）根据题意可知，小球恰好能沿圆形轨道到达B 点，在B 点有
解得
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小球从B 点运动到C 点做平抛运动，则有
，
，
解得
（3）小球离开B 后，当垂直于斜面方向的速度为零时离斜面最远，分解
，如图所示
则有
又有
小球平抛过程中距离BC 边最远的距离
5．（2023 下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道
BCDE 组成，左侧为半径
的光滑圆弧轨道BC，轨道上端点B 和圆心O 的连线与水平方向的夹角
为
，下端点C 与粗糙水平轨道CD 相切，DE 为倾角
的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E
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点处的挡板上。现有质量
的小滑块P（视为质点）从空中的A 点以
的初速度水平向左
抛出，经过
后恰好从B 点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C 点之后继续沿水平轨道
CD 滑动，经过D 点后沿倾斜轨道向上运动至F 点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知
，滑块与轨道CD，DE 间的动摩擦因数
，各轨道均平滑连接，不计其余阻力，
。求：
（1）BO 连线与水平方向的夹角
；
（2）弹簧弹性势能的最大值；
（3）试判断滑块返回时能否从B 点离开，若能，求出飞出时对B 点的压力大小；若不能，判断滑块最后
位于何处。
【答案】（1）
；（2）2.02J；（3）能，2.6N
【详解】（1）根据题意可知，滑块从A 到B 做平抛运动，滑块经过B 点时的竖直分速度，
滑块恰好从B 点进入轨道，由平抛运动的规律有
解得
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，
（2）根据题意，设
，从B 到F，由动能定理有
解得
（3）设滑块返回时能上升的高度为h，由功能关系有
解得
BC 两点的竖直高度
因为
所以滑块返回时能从B 点离开，设滑块从B 点离开时的速度为
，根据机械能守恒定律有
在B 点，对滑块，由牛顿第二定律得
解得
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由牛顿第三定律可知，滑块飞出时对B 点的压力
6．（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图所示，一个质量为
的小球以某一初速
度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC 的A 点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械
能损失）。已知圆弧的半径
，
，小球到达A 点时的速度
。（取
）求：
（1）小球做平抛运动的初速度
；
（2）P 点与A 点的水平距离和竖直高度；
（3）小球到达圆弧最高点C 时对轨道的压力。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，方向竖直向上
【详解】（1）根据题意，小球到A 点的速度，如图所示
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由图可知
（2）由（1）分析可知，小球到A 点的竖直分速度为
小球做平抛运动
代入数据解得
竖直方向
水平方向
（3）取A 点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得
代入数据得
由牛顿第二定律得
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代入数据解得
由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小
方向竖直向上。
7．（2023 下·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示，质量为
的小孩坐在秋千板
上，小孩离拴绳子的横梁间距离为
，A 和B 分别为运动过程中的最低点和最高点，秋千板摆到最低点A
时，速度大小为
。忽略空气阻力和摩擦，小孩可视为质点，取
，求：
（1）A、B 两点高度差；
（2）若秋千板的质量是
，每根绳的拉力大小的最大值是多少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意，设A、B 两点高度差为，小孩由最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律有
解得
（2）将小孩和秋千板视为一个整体，在最低点时速度最大，绳的拉力最大，设每根绳的拉力大小为
，
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由牛顿第二定律有
其中
解得
8．（2023 下·云南保山·高一校考阶段练习）如图所示，轻弹簧的一端与挡板O 相连接，弹簧的自然长度
为OA，现用质量为m=0.5kg 的小球压缩轻弹簧由静止释放，小球离开弹簧后在水平面上运动由B 点进入
半径为R=0.4m 的光滑半圆弧轨道，C 为半圆弧轨道的最高点，已知水平面OA 段光滑，AB 段粗糙且长度
L=3m，小球与水平面AB 段的动摩擦因数
，小球通过最高点C 时对轨道的压力恰好为零，不计空气
阻力，重力加速度g=10m/s2；求：
（1）弹簧压缩后具有的弹性势能Ep及小球落地点距离A 点的距离；
（2）若弹簧压缩的形变量相同，要使每次小球都能够进入半圆弧轨道且能沿着轨道返回水平面，则小球
质量应该满足什么条件；
（3）在（2）问中若取质量M=1kg 小球压缩轻弹簧，则小球被弹开后最终停在何处。
【答案】（1）8J，2.2m；（2）
；（3）距B 点1m 处
【详解】（1）小球通过最高点C 时对轨道的压力恰好为零，在C 点
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解得
平抛后竖直方向
水平方向
小球落地点距离A 点的距离
从A 到C 根据能量守恒
（2）弹簧压缩的形变量相同，则弹性势能相同，每次小球都能够进入半圆弧轨道，则
解得
且能沿着轨道返回水平面，则最高到达圆心等高处，则
解得
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所以小球质量
（3）质量M=1kg 小球压缩轻弹簧，全过程根据能量守恒
解得在AB 上的总路程
所以小球被弹开后最终停在距B 点1m 处。
9．（2024 下·高一课时练习）如图所示，竖直面内有一以O 为圆心的圆形区域，直径AB 与水平方向的夹
角θ＝30°。圆的半径为R；圆周上的A 点与圆心O 在同一直线上，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若小球从A 点平抛，落到半圆上时经历时间为
，求小球平抛的初速度；
（2）若小球从O 点平抛，求小球到达半圆上时的最小动能。
【答案】（1）
或
；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
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当竖直下降高度为
时，根据几何知识可知水平位移为
或
解得小球平抛的初速度为
或
（2）设落点位置水平和竖直方向位移分别为x，y，根据动能定理有
同时有
根据几何知识有
联立解得
根据数学知识可得当
时，动能有最小值，即
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时，有
10．（2023 下·浙江温州·高一校考阶段练习）如图所示，在高
的光滑水平平台上，质量
的
小物块压缩弹簧后被锁扣K 锁住，储存了一定量的弹性势能
。若打开锁扣K，小物块将以一定的速度
水平向右滑下平台做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC 上B 点沿切线方向进入圆弧形轨道.B 点的
高度
，圆弧轨道的圆心O 与平台等高，轨道最低点C 的切线水平，并与地面上动摩擦因数为
的足够长水平粗糙轨道CD 平滑连接，小物块沿轨道BCD 运动最终在E 点（图中未画出）静止，
。求：
（1）小物块滑下平台的速度
；
（2）小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能
的大小和C、E 两点间的距离。
【答案】（1）10m/s；（2）
，50m
【详解】（1）设物块从A 运动到B 的时间为t，由于
，
，则
根据几何关系
，
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可得
设小物块平抛运动的水平速度是
，则
解得
=10m/s
（2）由能量守恒可得，弹簧压缩时的弹性势能为
设C、E 两点间的距离为L，从A 到E 的整个过程，根据动能定理得
解得
L=50m
11．（2023 下·江苏连云港·高一统考期中）如图所示，粗糙水平面PA 与竖直面内半径为R=1m 的光滑半圆
弧在A 点相接，轻弹簧一端与墙壁连接，另一端与可视为质点、质量为m=2kg 的小滑块接触但不连接，小
滑块在水平向右的外力作用下静止于P 点，P 点与圆弧最低点A 的间距为2R。某时刻将小滑块由静止释放，
在弹力作用下物体获得一向左速度后脱离弹簧，它经过A 点时的速度vA=10m/s。已知小滑块和水平面间的
动摩擦因数μ=0.4，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块在P 点时弹簧的弹性势能Ep；
（2）小滑块到达C 点时对圆弧轨道压力
的大小；
（3）现将材质及粗糙程度相同的另一滑块E 也从P 点由静止释放，为使滑块在整个过程中不会从半圆弧
轨道AC 中间某个位置脱落，求E 的质量M 的取值范围。
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【答案】（1）116 J；（2）100 N；（3）
，
【详解】（1）小滑块由P 点运动到A 点过程中，假设弹簧对小滑块做功W，则由动能定理
W-µmg
2
﹒R=
mvA
2
解得
W=116 J
根据功能关系可知弹簧的弹性势能
EP=116J
（2）小滑块由A 点运动到C 点过程中，由机械能守恒
mvA
2=
mvC
2+mg
2
﹒R
在C 点
FN+ mg=m
解得
FN=100 N
根据牛顿第三定律可知小滑块到达C 点时对圆弧轨道的压力大小也为100 N。
（3）滑块在整个过程中不会从半圆弧轨道AC 中间某个位置脱落，共分两种情况：①滑块刚到达B 点或未
到达B 点时速度已经减为0，则
W-µMg
2
﹒R-Mg﹒R≤0
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解得
M≥
②滑块能到达C 点，且速度大于临界速度
vC=
则
W-µMg
2
﹒R-Mg
2
﹒R≥
Mv2
C
解得
M≤
12．（2023 下·安徽合肥·高一合肥八一学校校联考期末）如图所示，一根长
的不可伸长轻绳，一
端固定在天花板的O 点，另一端系一质量为
的小球。现将轻绳拉至水平位置，小球由A 点静止
释放，小球运动到最低点B 点时，轻绳刚好被拉断，B 点下方有一倾角为
的足够长的斜面，小球恰
好垂直打在斜面上C 点。（
，
，
）求：
（1）轻绳被拉断前瞬间的拉力大小？
（2）小球从B 点运动到斜面C 点的时间？
【答案】（1）3N；（2）0.4s
【详解】（1）小球从A 到B 运用动能定理
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解得
在B 合力提供向心力
（2）在C 速度可分解为水平方向的分速度
所以
13．（2023 下·江苏盐城·高一校联考期中）在足够长的光滑平台左端锁定一被压缩的轻质弹簧，一个可视
为质点的质量
的滑块与弹簧接触但不栓接。某一时刻释放弹簧弹出滑块，滑块从平台右端A 点
水平飞出，恰能落到B 点，刚好无碰撞地沿着倾斜轨道
滑下。已知
的竖直高度
，倾斜轨
道
长
，轨道倾角
，
通过粗糙水平轨道
与光滑竖直半圆轨道
相连，
长
，滑块与
、
的动摩擦因数
，各部分平滑连接。（
，
，
）求：
（1）弹簧处于锁定状态时的弹性势能；
（2）求小球到达D 点时的速度大小；
（3）小球从最高点E 水平抛出，落在水平轨道的F 点（图中未画出），F 离竖直半圆轨道D 点的水平距
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离为x，仅改变轨道半径R，当R 为何值时x 有最大值，最大值为多少。
【答案】（1）0.32J；（2）
；（3）
，
【详解】（1）A 到B 平抛运动，由平抛运动规律
解得小球从A 点飞出落到B 点的时间和小球在B 点瞬间竖直方向的速度大小
，
在B 点小球刚好无碰撞地沿着倾斜轨道BC 滑下，所以
解得
所以由动能定理可得弹簧处于锁定状态时的弹性势能为
（2）在B 点有
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B 到D 由动能定理
解得
（3）小球从E 点飞出后做平抛运动，竖直方向
水平方向
D 到E 由机械能守恒定律
得
所以当
时，x 有最大值为
14．（2023 下·湖南张家界·高一统考期末）如图所示，半径R=0.40m 的光滑半圆轨道处于竖直平面内，半
圆与水平地面切于圆的端点A，一小球在水平地面上向左运动到A 点后以一定的初速度v0冲上半圆环，沿
轨道恰好通过最高点B 点，最后小球落在C 点。（取重力加速度g=10m/s2）不计空气阻力。求：
（1）小球到达B 点的速度
；
（2）A、C 间的距离s；
（3）小球过A 点的速度v0。
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【答案】（1）2m/s；（2）0.8m；（3）
【详解】（1）小球恰好通过最高点B 时，根据牛顿第二定律
解得
（2）由平抛规律，竖直方向
解得
t=0.4s
水平方向位移关系
解得
（3）小球从A 点运动到B 点的过程中机械能守恒得
解得
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15．（2023 下·河南周口·高一校联考期末）某同学设计了一款小游戏，装置如图所示，固定在竖直面内、
半径为R 的光滑圆弧轨道AB 所对的圆心角为
，圆弧轨道最低点与水平面相切于A 点，质量为m 的
小球a 放在水平面上的P 点，给小球a 一个大小为
的水平向右的初速度(g 为重力加速度)，小球a 沿
水平面向右运动并滑上圆弧轨道，随后从圆弧轨道上的B 点抛出，最后落到地面。已知PA 之间的距离为
2R，不计空气阻力，小球可视为质点，小球a 在水平面上受到的阻力为其重力的0.25 倍，求：
（1）小球a 刚滑上圆弧轨道时对圆弧轨道的压力大小；
（2）小球a 从B 点抛出后在空中的最小速度；
（3）小球a 从B 点抛出到落地所用的时间。
【答案】（1）6mg；（2）
；（3）
【详解】（1）设小球a 运动到A 点时速度大小为v1，由动能定理有
解得
在A 点由牛顿第二定律有
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解得
根据牛顿第三定律可知，小球a 对圆弧轨道的压力大小
（2）设小球a 到B 点时速度大小为v2，由机械能守恒定律有
解得
小球a 从B 点抛出后，运动到最高点时速度最小，最小速度为
（3）小球a 从B 点抛出时竖直方向的分速度大小为
设小球a 从B 点落地时的速度大小为v3，根据机械能守恒有
落地时小球a 竖直方向的分速度大小为
小球a 从B 点抛出到落地所用时间
16．（2023 下·广东茂名·高一统考期末）如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一竖直
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平面内，圆弧轨道半径
，其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送带长度为
，离地高度为
，沿逆时针方向转动的速度为
．一质量
的小物块（可
视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数
，不计物块经过轨道连接处时
的动能损失，且传送带转动轮足够小，
。
（1）请通过计算判断物块能否到达传送带右端；
（2）若能离开传送带，求物体离开传送带时的速度；
（3）若能离开传送带，求物体落在地面与传送带右端之间的水平距离。
【答案】（1）能；（2）6m/s；（3）3m；
【详解】（1）设物块恰好能到达传送带最右端时的传送带长度为L0，则物块从圆弧轨道滑至水平传送带
上，根据机械能守恒定律得
解得
根据牛顿第二定律得
解得
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物块在传送带上运动速度减小到零的过程中
解得
物块能到达传送带右端；
（2）物块在传送带上一直向右做匀减速直线运动，有
解得
（3）物块离开传送带后做平抛运动
解得
物体落在地面与传送带右端之间的水平距离
17．（2023 下·广西·高一宾阳中学校联考期末）如图所示，粗糙水平面AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道
在B 点平滑相接，一质量m 的小滑块（可视为质点）将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，经过B 点后沿半
圆轨道恰好能通过最高点C 作平抛运动。已知：导轨半径R = 0.9m，小滑块的质量m = 0.2kg，小滑块与
轨道AB 间的动摩擦因数μ = 0.2，AB 的长度L = 10m。设轻弹簧在原长时弹性势能为零，小滑块到达B
点前已和弹簧分离。求：
（1）小滑块的落地点到B 点的距离；
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（2）小滑块对圆轨道最低处B 点的压力大小；
（3）弹簧压缩至A 点时弹簧的弹性势能；
（4）若仅改变AB 的长度L，其他不变，使滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出L 的范围。
【答案】（1）1.8m；（2）12N；（3）8.5J；（4）L ≤ 10m 或16.75m ≤ L ≤ 21.25m
【详解】（1）小滑块恰好能通过最高点C，有
解得
根据
得
t=0.6s
小滑块的落地点到B 点的距离
（2）从B 到C 根据动能定理有
解得
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在B 点，对小滑块有
解得
根据牛顿第三定律可得小滑块对圆轨道最低处B 点的压力大小为12N。
（3）设弹簧压缩至A 点时弹簧的弹性势能为EP，根据能量守恒定律有
解得
故弹簧压缩至A 点时弹簧的弹性势能为8.5J。
（4）当小滑块恰好能通过最高点C 做平抛运动时，AB 的长度为10m，当滑块运动到与圆心O 等高时速度
为零，设此时AB 之间的距离为L1，从A 到与圆心等高位置，根据能量守恒定律可得
解得
物块恰好达到B 点，根据能量守恒定律可得
解得
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故要使滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，则
或
。
18．（2023 下·江西南昌·高一统考期末）某同学自制了一游戏装置。如图所示，BC 段为四分之一的光滑圆
弧轨道，其半径为2R。CD 段为内壁光滑的细口径半圆管道，其半径为R，管的口径远小于圆弧半径，圆
弧轨道和半圆管道在最低点C 处相切，BD 在同一水平面上，将一质量为m 的小球从圆弧轨道B 点正上方
的A 点释放，小球沿切线进入圆弧轨道，从D 点飞出后打在四分之一圆弧的P 处，PD 的连线与竖直方向
的夹角用θ 表示，该同学发现改变小球的释放高度h，θ 也会随之变化。已知重力加速度为g，小球可视为
质点，不计一切摩擦力和阻力。
（1）若使得小球在通过D 点时对半圆管道没有压力，求小球释放时离B 点的高度；
（2）当
时，求小球打在圆弧上时的动能；
（3）要使得小球从D 点飞出后打在圆弧上的动能最小，求此时
和h 的值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）通过D 点时对半圆管道没有压力，则有
由机械能守恒可得
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联立可得
（2）由平抛可得水平方向
竖直方向
打在P 点时，由动能定理可得
将
代入联立可得：
（3）由上分析可知
可知当
时，
有最小值，得
且最小值
由动能定理可得
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解得
19．（2023 下·陕西咸阳·高一统考期末）如图所示为部分跳台滑雪轨道的简化示意图。运动员在某次滑雪
训练时，从滑道上的A 点由静止开始下滑，到达轨道B 点时的速度大小为15m/s，方向与水平方向之间的
夹角为37°，滑离B 点后下落到轨道上的C 点，落到C 点前瞬间速度方向与竖直方向之间的夹角也为37°。
已知运动员（含装备）的质量为50kg，轨道上A、B 两点间的高度差为12m，运动员可看作质点，不计空
气阻力，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）运动员（含装备）从A 点运动到B 点的过程中克服摩擦力做的功；
（2）运动员从B 点运动到C 点的时间；
（3）B 点和C 点之间的高度差。
【答案】（1）375J；（2）2.5s；（3）8.75m
【详解】（1）运动员从A 点运动到B 点的过程中，根据动能定理得
解得
（2）运动员从B 点运动到C 点的过程中做斜抛运动，根据运动的合成和分解可得
解得
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运动员在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，规定向下为正方向，运动员在B 点的竖直分速度为
在C 点的竖直分速度为
在竖直方向，根据速度时间关系
解得
（3）运动员从B 点运动到C 点的过程中，根据动能定理得
解得
20．（2023 下·陕西榆林·高一统考期末）如图，半径R=0.5m 的光滑圆弧轨道ABC 与足够长的粗糙轨道CD
在C 处平滑连接，O 为圆弧轨道ABC 的圆心，B 点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC 与OB 的夹角分别
为53°和37°。将一个质量m=0.5kg 的物体（视为质点）从A 点左侧高h=0.8m 处的P 点水平拋出，恰从A
点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道CD 间的动摩擦因数
，重力加速度
，
，
，
，不计空气阻力。求：
（1）物体水平拋出时的初速度大小
；
（2）经过B 点时，圆弧轨道对物体的支持力
的大小；
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（3）物体在轨道CD 上运动的距离x。（结果保留一位小数）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对A 点的速度进行分解，如图所示
由平抛运动规律知
解得
根据几何关系得
（2）从P 至B 点的过程，由机械能守恒定律有
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解得
经过B 点时，由向心力公式有
解得
（3）因为
所以物体沿轨道CD 向上做匀减速运动，速度减为零后不会下滑；从B 到上滑至最高点的过程，由动能定
理有
解得
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