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04 运动和力的关系
[-考点-07-] 等时圆模型
1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如
图甲所示；
2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所
示；
3．两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑
到下端所用时间相等，如图丙所示．
典例如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆
的圆心，它们处在同一竖直平面内．现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端
分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三
条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(
)
A．tAB＝tCD＝tEF
B．tAB>tCD>tEF
C．tAB<tCD<tEF
D．tAB＝tCD<tEF
答案 B
解析 如图所示，过D 点作OD 的垂线与竖直虚线交于G，以OG 为直径作圆，可以看出F
点在辅助圆内，而B 点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B 项正确．
1
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1.(2023·浙江·期末)如图所示，
为圆的直径，
为圆的两条弦，现同时在A、B 两
点释放两小滑块，分别沿光滑的弦滑到O 点（O 点为最低点），物体滑下的先后顺序是(
)
A．沿
的物体最先到达
B．沿
的物体最先到达
C．同时到达
D．条件不足，无法判断
答案 C
解析 根据题意，设
和
与水平面夹角分别为
和
，长度分别为和
，设圆的直
径为
，由几何关系有
,
,沿
方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
,联立解得
,沿
方向上，同理可得
.故选C.
2.(多选)如图所示，Oa、Ob 和ad 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d 位于
同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，O′为圆心．每根杆上都套着一个小滑环(未
画出)，两个滑环从O 点无初速度释放，一个滑环从d 点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表
2
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示滑环沿Oa、Ob、da 到达a 或b 所用的时间．下列关系正确的是( )
A．t1＝t2
B．t2>t3
C．t1<t2
D．t1＝t3
答案 BCD
解析 设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da 三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点
均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d 无初速度释放的小滑环到达a 点的时间相
等，即tca＝t1＝t3；而由c→a 和由O→b 滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度
均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故B、C、D 正确．
3．(2023·全国·专题)如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC 被固定成一个平行四边形
ABCD.四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C 两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为
R.四个相同的光滑圆环a、b、c、d 分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则
下列说法正确的是( )
A．圆环a 滑到B 端的时间比圆环b 滑到C 端的时间短
B．圆环b 滑到C 端的时间比圆环d 滑到C 端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
答案 C
解析 设杆AB 长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第
二定律可得mgsinθ=ma,可得a=gsinθ,由运动学公式可得
,由几何关系可知l= 2Rsinθ
3
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解得
,则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d 的下滑时
间同为
.故选C.
4.(2023·全国·高一专题练习)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有
AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中B、C 两点处于同一个圆上，C 是圆上任意一点，
B、M 分别为此圆与y 轴、x 轴的切点，A 点在y 轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、
b、c 三个小球分别从A、B、C 点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M 点，所用时间
分别为
、
、
，则( )
A．
<
<
B．
=
<
C．
>
=
D．由于C 点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
答案 C
解析 对于BM 段，位移
,加速度
,根据
得
,对于AM 段，位移
,加速度
,由
得
,对于CM 段，设CM 与竖直方向夹角为θ，同理可解得
4
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,即
.故选C.
5.(2023·全国·专题)如图所示，两个半径不同的竖直圆环相切于O 点，圆心
、
连线正
好沿竖直方向.现有长度可伸缩的光滑杆刚好过O 点放置，调节杆的长度，两端始终与环
接触，上下两接触点分别记作a、b.一大小不计的光滑小圆环（图中未画出）从a 点
由静止释放后沿杆下滑，当慢慢增大杆与竖直方向夹角θ 时，小圆环沿杆下滑的时间t 将(
)
A．增大
B．减小
C．不变
D．因角度与两竖直圆环的半径均未知，故无法确定
答案 C
解析 圆环下滑的加速度为
,根据
,可得
则当慢慢增大杆与竖直方向夹角θ 时，小圆环沿杆下滑的时间t 将不变.故选C.
6．(2022·河南·期末)如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、
2、3 上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为
、
、
；乙图中质点从竖直
面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6 由静止开始滑到下端所用的时间分别
为
、
、
，则( )
5
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
答案 A
解析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底
端，由牛顿第二定律可知加速度为
,位移为
,由匀变速直线运动规律有
,联立解得下滑时间
,相当于沿竖直直径自由下落的时间，有
.故选A.
7.(2023·山东临沂·期末)倾角为
的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A 点
伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D 三点，其中AC 与斜面垂直，且
，现有三个质量均为
的小圆环（看作质点）分别套在三根细
杆上，依次从A 点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D 三点所有时间分别为
、
、
，下
列说法正确的是( )
A．
B．
C．
D．
6
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答案 B
解析 由于
,则可以判断AB 竖直向下，以AB 为直径做圆，则必过C 点，如图
圆环在杆AC 上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得mgcosθ=ma,
联立解得
,可见从A 点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无
关，可得
.故选B.
8.(2023·湖北武汉·联考)用5 根光滑杆组成如图所示的四边形
和对角线
，且对角
线
竖直，
.一个中间有孔的光滑小球（可以看成质点）穿在杆上，从A
点静止释放沿
杆滑到B 点的时间为，从A 点由静止释放沿
杆滑到D 点的时间为
，从B 点由静止释放沿
杆滑到C 点的时间为
，从D 点由静止释放沿
杆滑到C 点
的时间为
，从A 点由静止释放沿
杆滑到C 点的时间为
，下列时间关系正确的是(
)
A．
B．
7
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C．
D．
答案 A
解析 设BC 与AC 夹角为α1，CD 与AC 夹角为α2，AB 与AC 夹角为β1，AD 与AC 夹角为
β2，由题意根据几何关系可得
,
,
,
根据运动学
规律以及牛顿第二定律有
,
,
根据自由落体运动规律有
所以有
.故选A.
9.(2022·陕西安康·校考期末)如图所示，竖直墙上的A 点与水平地面上的M 点到墙角的距离
都为d，C 点在M 点正上方与A 点等高，B 点在C 点正上方d 处，某时刻同时由静止释放
a、b、c 三个小球，a 球由A 点释放沿光滑倾斜直轨道AM 运动，b、c 球分别由B、C 点自
由下落，它们运动到M 点所用时间分别为ta、tb、tc，下列说法正确的是( )
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 竖直墙上的A 点与水平地面上的M 点到墙角的距离都为d，AM 与水平方向夹角为
45°，则有
,C 点在M 点正上方与A 点等高，有
,B 点在C 点正
8
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上方d 处，有
,可得
.故选B.
10.(多选)(2023·全国·专题)如图所示，1、2、3、4 四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶
端运动到底端，其运动时间分别为
，已知竖直固定的圆环的半径为r，O 为圆
心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为
，重力加速度为g，下列说法正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
答案 BC
解析 1 号小球的加速度为
，位移为
运动时间为
；2 号小球的加速度为
，位移为
，运动时间为
；3 号小球的加速度为
位移为
，运动时间为
；4 号小球的加速度为
，位移为
，运动时间为
则
，
9
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，
.故选BC.
11.(多选)(2022·福建莆田·校考)如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O
点，O 点恰好是下半圆的顶点，它们处在同一竖直平面内.现有两条光滑直轨道AOB、
COD，轨道与竖直直径的夹角关系为
，现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止
下滑至底端，则下列关系中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
答案 BD
解析 AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知
,可得
,由于从A 到B
下落的高度差大于从C 到D 的高度差，故有
,故A 错误，B 正确；CD．从A 到O 的
过程，加速度为
,设圆的直径为d，运动时间为，则有
解得
,同理可知从C 到O 的过程，运动时间也为
；从O 到B 的过程，设高度
差为h，则有
,解得运动时间
,同理可求得从O 到D 的运动时间
,由于
，所以
,综上分析可知,
,故C 错误，D
正确.故选BD.
10
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12.(多选)(2022·江苏·专题)如图所示，圆1 和圆2 外切，它们的圆心在同一竖直线上，有四
块光滑的板，它们的一端A 搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2 上，其中B、C、D 三块板都
通过两圆的切点，B 在圆1 上，C 在圆1 内，D 在圆1 外，A 板与D 板最低点交于一点a
（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，从A、B、C、D 四处同时由静止释放一
个物块，它们都沿板运动，到达叫板底端的时间分别为tA、tB、tC、tD，下列判断正确的是(
)
A．
最短
B．
最短
C．
D．
答案 BCD
解析 设板与竖直方向的夹角为
，沿板运动的加速度为：
,设上面圆1
的半径为，下面圆2 的半径为
，则Bb 轨道的长度为：
,根据位移时间
公式得：
则
,故从上面圆1 上的任一点沿光滑直轨道达到下面圆2 的任
一点的时间相等；因B 在圆1 上，C 在圆1 内，D 在圆1 外，且板的低端堵在下面圆2 上，
故有
；轨道Aa 和Dd 相交于最低点a（d），
,则对A、D 有：
，
,联立解得：
则有：
,
11
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故
,故有：
,故A 错误，BCD 正确.故选BCD.
13.(2023·海南·开学考试）如图所示，三根在竖直平面内的光滑细管A、B、C 上端平齐，B
管竖直放置，A 管与B 管的夹角为α，C 管与B 管的夹角为β，且α﹤β.三个小球同时从管
口顶端静止释放，经过相同的时间，三球所处位置正确的是( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 如图所示，ABCD 为同一圆上的点，圆的半径为R，小球从A 沿光滑杆AB、AC、
AD 滑下，
从AB 下滑用时，有
，解得
.从AC 下滑，有
,而AC 的长度为
12
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,故有
,解得
.同理若从AD 下滑，时间为
，即小球到
达圆上三点所用时间相同；依此结论可知，而现在三个小球均从管口上方下滑且无摩擦，
相同时间后小球的位置是在同一个圆弧上，且所在位置与竖直位置连线与倾斜轨道夹角为
直角，故选C.
14.(2023·全国·专题)如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电场中，三个完全相同的
带正电的绝缘小球(未画出)分别套在固定于AB、AC、AD 的三根光滑细杆上，其中AB 与竖
直方向夹角为60°，AC 经过圆心，AD 竖直。现将小球无初速度地从A 端释放，小球分别
沿AB、AC、AD 下滑到B、C、D 三点。已知小球所受电场力大小与重力大小之比为
，
则小球在三根细杆上运动的时间关系为( )
A．
B．
C．
D．无法确定
答案 B
解析 小球所受电场力大小与重力大小之比为
，可知小球所受重力与电场力的合力F 的
方向恰好与
平行，且由A 指向B.延长
，作
交
于M，以
为直径画
一个圆（图中虚线），
与该圆交于N.
设
，则小球沿
杆运动的加速度为
,位移为
13
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由
得
,与
无关，由等时圆模型知
,而
，
，故
.故选B.
15．(2023·湖南·校考)滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB、AC、AD 和BD，A、
B、C、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所
示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A 点为
，且与A
等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g，则( )
A．如果小朋友在A 点沿滑梯AB、AC 由静止滑下，
B．如果小朋友分别从A 点和B 点沿滑梯AC，BD 由静止滑下
C．若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下
时，在滑梯上运动的最短时间是
D．若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下
时，在滑梯上运动的最短时间是
答案 C
解析 AB．假设AB、AC 与AD 的夹角分别为
、
，则从AB、AC、BD 下滑时有
14
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;
;
解得
.故AB 错误；CD．由AB 项分析，画出以P 点为最高点的半径为
r 的等时圆，如图，当两圆相切时时间最短，有
.解得
所以最短时间为
.故C 正确，D 错误.故选C.
15
