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专题04 运动和力的关系
[-考点-07-] 等时圆模型
[典例]
答案 B
解析 如图所示，过D 点作OD 的垂线与竖直虚线交于G，以OG 为直径作圆，可以看出F
点在辅助圆内，而B 点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B 项正确．
1.答案 C
解析 根据题意，设
和
与水平面夹角分别为
和
，长度分别为和
，设圆的直
径为
，由几何关系有
,
,沿
方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
,联立解得
,沿
方向上，同理可得
.故选C.
2.答案 BCD
解析 设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da 三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点
均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d 无初速度释放的小滑环到达a 点的时间相
等，即tca＝t1＝t3；而由c→a 和由O→b 滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度
均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故B、C、D 正确．
3.答案 C
解析 设杆AB 长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第
二定律可得mgsinθ=ma,可得a=gsinθ,由运动学公式可得
,由几何关系可知l= 2Rsinθ
1
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解得
,则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d 的下滑时
间同为
.故选C.
4.答案 C
解析 对于BM 段，位移
,加速度
,根据
得
,对于AM 段，位移
,加速度
,由
得
,对于CM 段，设CM 与竖直方向夹角为θ，同理可解得
,即
.故选C.
5.答案 C
解析 圆环下滑的加速度为
,根据
,可得
则当慢慢增大杆与竖直方向夹角θ 时，小圆环沿杆下滑的时间t 将不变.故选C.
6.答案 A
解析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底
端，由牛顿第二定律可知加速度为
,位移为
,由匀变速直线运动规律有
,联立解得下滑时间
,相当于沿竖直直径自由下落的时间，有
.故选A.
7.答案 B
2
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解析 由于
,则可以判断AB 竖直向下，以AB 为直径做圆，则必过C 点，如图
圆环在杆AC 上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得mgcosθ=ma,
联立解得
,可见从A 点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无
关，可得
.故选B.
8.答案 A
解析 设BC 与AC 夹角为α1，CD 与AC 夹角为α2，AB 与AC 夹角为β1，AD 与AC 夹角为
β2，由题意根据几何关系可得
,
,
,
根据运动学
规律以及牛顿第二定律有
,
,
根据自由落体运动规律有
所以有
.故选A.
9.答案 B
解析 竖直墙上的A 点与水平地面上的M 点到墙角的距离都为d，AM 与水平方向夹角为
45°，则有
,C 点在M 点正上方与A 点等高，有
,B 点在C 点正
上方d 处，有
,可得
.故选B.
10.答案 BC
3
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解析 1 号小球的加速度为
，位移为
运动时间为
；2 号小球的加速度为
，位移为
，运动时间为
；3 号小球的加速度为
位移为
，运动时间为
；4 号小球的加速度为
，位移为
，运动时间为
则
，
，
.故选BC.
11.答案 BD
解析 AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知
,可得
,由于从A 到B
下落的高度差大于从C 到D 的高度差，故有
,故A 错误，B 正确；CD．从A 到O 的
过程，加速度为
,设圆的直径为d，运动时间为，则有
解得
,同理可知从C 到O 的过程，运动时间也为
；从O 到B 的过程，设高度
差为h，则有
,解得运动时间
,同理可求得从O 到D 的运动时间
4
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,由于
，所以
,综上分析可知,
,故C 错误，D
正确.故选BD.
12.答案 BCD
解析 设板与竖直方向的夹角为
，沿板运动的加速度为：
,设上面圆1
的半径为，下面圆2 的半径为
，则Bb 轨道的长度为：
,根据位移时间
公式得：
则
,故从上面圆1 上的任一点沿光滑直轨道达到下面圆2 的任
一点的时间相等；因B 在圆1 上，C 在圆1 内，D 在圆1 外，且板的低端堵在下面圆2 上，
故有
；轨道Aa 和Dd 相交于最低点a（d），
,则对A、D 有：
，
,联立解得：
则有：
,
故
,故有：
,故A 错误，BCD 正确.故选BCD.
13.答案 C
解析 如图所示，ABCD 为同一圆上的点，圆的半径为R，小球从A 沿光滑杆AB、AC、
AD 滑下，
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从AB 下滑用时，有
，解得
.从AC 下滑，有
,而AC 的长度为
,故有
,解得
.同理若从AD 下滑，时间为
，即小球到
达圆上三点所用时间相同；依此结论可知，而现在三个小球均从管口上方下滑且无摩擦，
相同时间后小球的位置是在同一个圆弧上，且所在位置与竖直位置连线与倾斜轨道夹角为
直角，故选C.
14.答案 B
解析 小球所受电场力大小与重力大小之比为
，可知小球所受重力与电场力的合力F 的
方向恰好与
平行，且由A 指向B.延长
，作
交
于M，以
为直径画
一个圆（图中虚线），
与该圆交于N.
设
，则小球沿
杆运动的加速度为
,位移为
由
得
,与
无关，由等时圆模型知
,而
，
，故
.故选B.
15.答案 C
解析 AB．假设AB、AC 与AD 的夹角分别为
、
，则从AB、AC、BD 下滑时有
;
;
6
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解得
.故AB 错误；CD．由AB 项分析，画出以P 点为最高点的半径为
r 的等时圆，如图，当两圆相切时时间最短，有
.解得
所以最短时间为
.故C 正确，D 错误.故选C.
7
