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第24 讲 动量和动量定理
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 动量和冲量 ....................................................................................................................5
知识点1 动量............................................................................................................................5
知识点2 动量与动能的比较...................................................................................................5
知识点3 冲量............................................................................................................................5
知识点4 冲量与功的比较.......................................................................................................6
考向1 对动量、冲量、动量变化量的理解
.......................................................................6
【思维建模】 动能、动量、动量变化量的比较..........................7
考向2 恒力冲量的计算
.........................................................................................................9
考向3 利用F－t 图像求冲量..................................................................................................10
考点二 动量定理 ...................................................................................................11
知识点1 动量定理....................................................................................................................11
知识点2 用动量定理解释两种现象......................................................................................11
知识点3 动量定理的理解.......................................................................................................11
知识点4 利用动量定理解题的基本思路...............................................................................11
考向1 用动量定理解释生活中的现象..................................................................................12
考向2 动量定理的有关计算
..............................................................................................12
考点三 应用动量定理处理“流体类”问题 .....................................................................14
知识点1 流体类“柱状模型”...............................................................................................14
知识点2 微粒类“柱状模型”...............................................................................................14
考向1 动能定理解决流体类问题
.....................................................................................14
考向2 动能定理解决微粒类问题
.....................................................................................16
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................18
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
动量和冲量
简单
应用
高频
2025•广东、2025•陕晋青
宁卷、2025•北京、2025•
四川、2025•甘肃、2025•
上海
2024•重庆、2024•浙江、
2024•浙江
2023•天津、
2023•广东、
2023•新课标
卷、2023•福
建
动量定理
综合
应用
高频
2025•浙江、2025•湖北、
2025•浙江
2024•全国甲卷、2024•福
建、2024•广东、2024•江苏
2023•浙江、
2023•浙江
应用动量定
理处理“流
体类”问题
综合
应用
低频
2025•北京
2024•北京
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：高考对这部分内容的考查呈现基础性、综合性和应用性并重的特征。高考命题情境紧密贴合
生活实际和科技前沿，体现物理知识的应用价值。从命题规律看，动量定理是核心考点，其中动量定理的
考查形式灵活多样：既可能以选择题形式单独考查冲量计算或动量变化定性分析，也可能以计算题形式与
力学主干知识（如牛顿定律、能量守恒）综合，重点考查建模能力。两类流体模型（连续流体和连续微
粒）的考查则突出实际情境建模能力。
3.备考建议：本讲内容备考时候，动量与冲量的核心是矢量性，备考时需重点理解动量定理的矢量表达
式，建议通过对比动量与动能的差异明确应用场景，深刻理解概念、熟练掌握微元法、精准识别模型、规
范解题步骤，精通两类流体模型，强化微元法训练，多接触生活情境题，并通过大量综合训练提升解决实
际问题的能力。
4.命题情境：
①生活实践类：暴雨冲击屋顶、消防水枪灭火冲刷、风沙/冰雹打击物体、传送带运送颗粒物（煤、
粮食）、水轮机叶片受力、除尘装置、草坪洒水器旋转、喷泉、水管反冲、小型火箭/水火箭模型、河流
冲击堤岸/桥墩、海浪冲击礁石/防波堤等
②学习探究类：喷泉水柱功率计算、无人机螺旋桨推力分析。
5.常用方法：图像法、平均值法、转化法、微元法
复习目标：
1.理解
量和冲量的概念。
动
2.理解
量定理及其表达式，能用
量定理解
生活中的有关
象。
动
动
释
现
3.会用
量定理
行
动
进
简单
算
计
并解决相关
，并会在流体力学中建立“柱状”模型。
问题
2
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3
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4
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考点一 动量和冲量
知识点1 动量
1.定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量.
2.定义式：p=mv
3.动量是矢量，方向与v 的方向
相同。两个动量相同必须是大小相等，方向一致.
4.动量的变化量
①动量的变化量：Δp 一般用末动量
p ’ 减去初动量
p 进行矢量运算，也称为动量的增量．即Δp=p’-p
②动量是矢量，动量的变化量Δp 也是矢量，其方向与速度的改变量
Δ
v 的方向相同
。
知识点2 动量与动能的比较
动量
动能
物理意义
描述机械运动状态的物理量
定义式
p=mv
Ek=1
2 mv 2
标矢性
矢量
标量
变化因素
合外力的冲量
合外力所做的功
大小关系
p=√2mE k
Ek= p2
2m
变化量
Δp=Ft
ΔEk=Fl
联系
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变
化时动能不一定发生变化
知识点3 冲量
1.定义：力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量，
2.定义式：I=Ft，单位为N·s.
3.冲量也是矢量，它的方向由力的方向决定.
4.冲量的计算方法
(1)恒力的冲量:直接用定义式I=Ft 计算。
5
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(2)变力的冲量
①平均值法:方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力
F 在某段时间t 内的冲量I=F1+ F2
2
t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。
②图像法:作出F－t 变化图线，图线与
t 轴所围的面积
即为变力的冲量。如图所示。
③动量定理法:对于易确定始、末时刻动量的情况，求出该力作用下物体动量的变化量，再由动量
定理I=Δp 求解。
知识点4 冲量与功的比较
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力作用时
间的乘积
作用在物体上的力和物体在力的
方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I=Ft (F 为恒力)
W=Flcosθ (F 为恒力)
矢标性
矢量
标量
意义
(1)表示力对时间的累积
(2)是动量变化的量度
(1)表示力对空间的累积
(2)是能量变化的量度
联系
都是过程量,都与力的作用过程相联系
考向1 对动量、冲量、动量变化量的理解
例1（2025·广东佛山·一模）如图所示，某同学用大腿颠足球，某时刻质量为
的足球以
的竖直
向下的速度碰撞大腿，足球与腿接触
后竖直向上原速反弹，重力加速度取
，则在足球与腿碰
撞的过程中，下列说法正确的是（ ）
6
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A．碰撞前后，足球动量变化量的大小为
B．碰撞前，足球的动量大小为
C．足球对大腿的冲量大小为
D．大腿对足球的平均作用力大小为
【答案】A
【详解】A．以竖直向下为正方向，碰撞前后，足球的动量变化量为
则碰撞前后，足球的动量变化量的大小为
，故A 正确；
B．碰撞前，足球的动量大小为
故B 错误；
CD．以竖直向下为正方向，碰撞过程中，根据动量定理可得
解得
则大腿对足球的平均作用力大小为18N，根据牛顿第三定律可知，足球对大腿的平均作用力大小为
则足球对大腿的冲量大小为
故CD 错误。
故选A。
【思维建模】 动能、动量、动量变化量的比较
动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有
的能量
物体的质量和速度的
乘积
物体末动量与初动量的矢量差
定义式
Ek＝1
2mv2
p＝mv
Δp＝p'－p
标矢性
标量
矢量
矢量
特点
状态量
状态量
过程量
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关联
方程
Ek= p
2
2m
，Ek=1
2pv，p=√2m Ek，p=2 Ek
v
联系
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化，但动量发生变化时动能不一
定发生变化
【变式训练1·变考法】
（2025·江苏泰州·模拟预测）有两个完全相同的铅球，从图甲中左、右两
个圆筒的正上方相同高度处同时静止释放，两球分别与左、右两个筒的底部发生碰撞并反弹。其中左筒底
部为一钢板，右筒底部为泡沫，压力传感器测得球第一次碰撞中受到的撞击力随时间变化如图乙中的曲线
①②，已知曲线①②与时间轴围成的面积相等。则第一次碰撞过程中（ ）
A．左边小球所受重力的冲量大
B．两小球所受合外力的冲量相等
C．左边小球动量变化率大
D．右边小球动量变化大
【答案】C
【详解】A．甲左边装置底部为钢板，右边装置底部为泡沫，则小球与甲左边装置底部碰撞过程作用时
间较小，重力冲量
可知左边小球所受重力的冲量小，故A 错误；
BD．两小球所受合外力的冲量为支持力（撞击力）冲量与重力冲量之差，题意知曲线①②与时间轴围
成的面积相等，即支持力冲量相等，由于左边小球所受重力的冲量小，则左边小球所受合外力的冲量大，
即左边小球动量变化量大，故BD 错误；
C．由于左边小球碰撞过程中所受合外力的冲量大，且作用时间较小，故左边小球的动量变化率（
）大，故C 正确。
故选C。
考向2 恒力冲量的计算
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例2（2025·河南·模拟预测）如图所示，长为
的非弹性轻绳，一端悬挂于天花板上的
点，另一端系一质
量为
的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角
，重力加速度为
，
，忽略空气阻力。在小球转过半圈的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力的冲量大小为
B．合力的冲量大小为
C．轻绳上的拉力的冲量大小为
D．轻绳上的拉力的冲量大小为
【答案】B
【详解】A．对小球，有
解得
在小球转过半圆的过程中，重力的冲量大小
，故A 错误；
B．合力的冲量大小
又
联立解得
，故B 正确；
CD．轻绳对小球的拉力冲量大小
，故CD 错误。
故选B。
考向3 利用F－t 图像求冲量
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例3（2025·四川内江·模拟预测）一物体放在水平地面上，如图1 所示，已知物体所受水平拉力F 随时间t
的变化情况如图2 所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图3 所示。以下说法错误的是（ ）
A．物体的质量为0.75kg
B．0~8s 时间内拉力的冲量为18N⋅s
C．0~8s 时间内物体动量变化量的大小4kg⋅m/s
D．0~10s 时间内，物体克服摩擦力所做的功为30J
【答案】A
【详解】A．根据v−t 图像的斜率表示加速度，由图3 可知，在2~6s 时间内物体的加速度为
由图2 可知，在2~6s 时间内F2=3N，根据牛顿第二定律有
可得
在6~8s 时间内物体匀速运动，此时
联立解得
，故A 错误，符合题意；
B．根据F−t 图像与时间轴围成的面积表示冲量，根据图2 可得0~8s 时间内拉力的冲量为
，故B 正确，不符合题意；
C．前2s 内物体处于静止状态静摩擦力f1=1N，2~6s 内物体做匀加速运动；6~8s 内物体做匀速直线运动，
在此过程中物体拉力与摩擦力相等，即f2=2N，物体在0~8s 时间内根据动量定理有
，故C 正确，不符合题意；
D．6~8s 内物体做匀速运动，可知滑动摩擦力等于此时的拉力为f2=2N，由图3 的面积关系可得物体的
位移为
则物体克服摩擦力所做的功为
，故D 正确，不符合题意。
故选A。
考点二 动量定理
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知识点1 动量定理
1.内容：物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化.
2.表达式:F合t=mv t−mv 0
知识点2 用动量定理解释两种现象
1. Δp 一定时，F 的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。
2. F 一定，此时力的作用时间越长，Δp 就越大；力的作用时间越短，Δp 就越小。
知识点3 动量定理的理解
1. 动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统.对物体系统，只需分析系统受的外力，不必
考虑系统内力.系统内力的作用不改变整个系统的总动量.
2. 动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力.对于变力，动量定理中的力F 应当理解为变
力在作用时间内的平均值.
3. 当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定理求解．
知识点4 利用动量定理解题的基本思路
1.确定研究对象．
2.对物体进行受力分析．可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再
求合力的冲量．
3.抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号．
4.根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解．
得分速记
1)上述公式是一矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同，运用它分析问题时要特别注意冲量、动
量及动量变化量的方向.
2) 公式中的F 是研究对象所受的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，
F 是合外力作用时间的平均值。
3)动量定理中的冲量可以是合外力的冲量，可以是各个力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲
量的矢量和。
4)由Ft=p
'−p ，得F= p'−p
t
，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率．
5)上述公式除了表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变
化的原因．
特别提醒
分析问题时，要看好哪个量不变，哪个量变化。
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考向1 用动量定理解释生活中的现象
例4（2025·海南·三模）如图所示为某款运动跑鞋宣传图，图片显示：“该款鞋鞋底采用EVA 材料，能够
有效吸收行走或运动时的冲击力，保护双脚免受伤害”。对于该款鞋，下列说法正确的是（ ）
A．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量
B．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小合力对双脚的冲量
C．延长双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力
D．缩短双脚与鞋底的冲击时间，从而减小鞋底对双脚的平均冲击力
【答案】C
【详解】AB．由动量定理
可知，无论是缩短还是延长双脚与鞋底的冲击时间，合力对双脚
的冲量都保持不变。故AB 错误；
CD．由
可知，延长双脚与鞋底的冲击时间，可以减小鞋底对双脚的平均冲击力。故C 正确，D
错误。
故选C。
考向2 动量定理的有关计算
例5（2025·重庆·一模）现有一把
的铁锤钉钉子，打击前瞬间铁锤的速度为
，打击后铁锤的速
度变为0，打击时间为0.01s。重力加速度
，求上述打击过程：
(1)铁锤的动量变化量；
(2)考虑铁锤所受的重力，钉子受到的平均作用力大小。
【答案】(1)
(2)186N
【详解】（1）规定铁锤初速度方向为正方向，对铁锤分析
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即动量变化量的大小为
，方向与初速度的方向相反；
（2）钉子对铁锤的平均作用力为
，对于铁锤，以初速度的方向为正方向，由动量定理可得
解得
根据牛顿第三定律可得，钉子受到的平均作用力的大小
【变式训练2·变考法】（2025·山东青岛·三模）将小球以初速度
竖直向上抛出，经过一段时间小球又落
回抛出点，速度大小为v，运动过程中小球所受空气阻力大小与小球速率成正比，重力加速度为g，则小球
在空中运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设小球上升时间为，下降时间为
，上升下降总时间为，取向下方向为正方向。全过程根
据动量定理有
由于上升的高度等于下降的高度，则有
根据题意有
，
故得
联立解得
故选B。
考点三 应用动量定理处理“流体类”问题
知识点1 流体类“柱状模型”
1. 流体及其特点：通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
2. 分析步骤
①建立“柱状模型”，沿流速v 的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
②微元研究，作用时间Δt 内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt
③建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
知识点2 微粒类“柱状模型”
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1. 流体及其特点：通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位
体积内粒子数n
2. 分析步骤
①建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
②微元研究，极短作用时间Δt 内一段柱形流体的长度为Δl＝v0Δt，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元
内的粒子数N＝nv0SΔt（n 为单位体积内的粒子数）
③先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N 计算
考向1 动能定理解决流体类问题
例6
（2025·重庆·三模）《卖油翁》是宋代文学家欧阳修创作的一则写事明理的寓言故事，说明
了熟能生巧的道理。如图所示，油从距离地面高度为H 的地方倒出，油束刚好充满钱孔倒入壶内，钱孔的
横截面积为S，油壶的高度为h，油的密度为
，重力加速度为g。若油倒入瓶底四处散开，没有飞溅。下
列说法正确的是（ ）
A．单位时间倒入壶中油的质量为
B．单位时间倒入壶中油的质量为
C．在动量减小阶段，后落入壶内的油，动量变化更多
D．在动量减小阶段，任何时候落入壶内的油，动量变化都一样多
【答案】A
【详解】AB．设
时间内倒入壶中油的质量为
，油到达壶口时的速度为，则有
，
根据机械能功守恒，则有
联立解得
故单位时间内落入壶中油的质量为
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A 正确，B 错误；
CD．随着油面的上升，后落入壶内的油到达油面的速度逐渐减小，因此在动量减小阶段，其动量的变
化更少，CD 错误。
故选A。
【变式训练3·变情境】
（2025·福建福州·模拟预测）科学实践小组对福州内河调研发现，弯曲河
道的外侧河堤会受到流水冲击产生的压强。如图所示，河流某弯道处可视为圆心为O，半径为R 的圆弧的
一部分。假设河床水平，河道在整个弯道处宽度L 和水深H 均保持不变，水的流动速度v 大小恒定，
L≤R，河水密度为ρ，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，则在一段极短
时间Δt 内，（1）流水速度改变量的大小为 ；（2）通过观测截面水的动量改变量大小为
；（3）外侧河堤受到的流水冲击产生的压强大小为 。
【答案】
【详解】[1]水流做圆周运动，在极短时间
内，速度的变化量
，可根据圆周运动的向心加速度公式
推导。
向心加速度
则
[2]
[3]
考向2 动能定理解决微粒类问题
例7（2025·北京通州·一模）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离
子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体
被电离成正离子，而后飘入电极A、B 之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B 间电压为
，使正离
子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为
、电荷量为
，单位时间
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内飘入的正离子数目为
。将该离子推进器固定在地面上进行试验。
(1)求正离子经过电极B 时的速度的大小；
(2)求推进器获得的平均推力
的大小；
(3)加速正离子束所消耗的功率
不同时，引擎获得的推力
也不同，试推导
的表达式，并指出为提高
能量的转换效率，要使
尽量大可以采取的两条措施。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）正离子在A、B 之间加速过程，根据动能定理，有
解得
（2）设正离子束所受的电场力为
，根据牛顿第三定律，有
以很短时间
时间内飘入电极间的
个正离子为研究对象，以离子喷出时的速度方向为正方向，根据
动量定理，有
其中
解得
（3）设正离子束所受的电场力为
，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
则
根据
的表达式可知，为增大
可用比荷较小的离子（质量大，带电量小的离子）、或减小加速电压。
【变式训练4·变载体】（2025·河南郑州·二模）某自动秤米机的原理如图所示，阀门距秤盘的高度
，当阀门打开时大米从静止开始下落，大米与秤盘的碰撞时间极短且不反弹（碰撞过程重力可忽
略）。当秤米机的示数为1kg 时，阀门在电机控制下立即关闭。已知大米的流量
，取重力加速
度大小
，忽略空气阻力及大米在秤盘堆积的高度，求：
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(1)大米落到秤盘前瞬间速度的大小，及阀门关闭瞬间空中大米的质量；
(2)大米与秤盘碰撞时对秤盘冲击力的大小；
(3)稳定后（空中的大米全部落入秤盘），秤米机的示数。
【答案】(1)2m/s，0.02kg
(2)
(3)1kg
【详解】（1）设每粒大米质量为
，由机械能守恒
解得大米落入秤盘时的速度大小
阀门关闭，米在空中近似做自由落体运动，则有
解得
空中大米的质量
（2）
时间内，从阀门处下落的大米质量
令其落到秤上时受到的冲击力为
，根据动量定理有
解得
根据牛顿第三定律可知，大米与秤盘碰撞时对秤冲击力
（3）关闭阀门时，秤示数为1kg，此时，结合上述可知，秤上大米质量为
则当空中大米全部落入盘中后，大米的总质量
1．（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到
的冲击力，就会有生命危
险。设有一质量为
的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、
下沿距离为
，要产生
的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（ ）
A．5 层
B．8 层
C．17 层
D．27 层
【答案】C
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【详解】鸡蛋触地后匀减速至静止，位移s=5cm=0.05m。匀减速平均速度为
，故撞击时间
根据动量定理
代入数据解得
由自由落体公式
得高度
每层楼高约3m，对应楼层数为
层。
故选C。
2．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L 的双轨推拉门由两扇宽为
的门板组成。门处于关闭状态，其俯视
图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板
完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力
与其重力大小之比为
，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设拉力为
，作用时间为，撤去外力后
运动的时间为
，
运动过程的最大速度为
，
则由动量定理，有
得
撤销拉力后，有
得
对于全过程，有
得
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对于全过程有
故
运动的总时间
可知当
越大时，越小，当
时，取最小值。
则
则
故选B。
3．（2025·浙江·高考真题）有一离地面高度
、质量为
稳定竖直降落的沙尘颗粒，在其降落
过程中受到的阻力与速率v 成正比，比例系数
，重力加速度
，则它降落到地面的时
间约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】沙尘颗粒开始时速度较小时，阻力较小，可知
…………①
沙尘颗粒速率增大，阻力增大，加速度减小，当
时，沙尘颗粒速度达到最大且稳定，此时速度满
足
…………②
解得
由动量定理可得
即
则沙尘下落时间为
由于
，则
故选B。
4．（2025·甘肃·高考真题）如图1 所示，细杆两端固定，质量为m 的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚
好能静止在细杆上。现以水平向左的力F 作用在物块上，F 随时间t 的变化如图2 所示。开始滑动瞬间的
滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。
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求：
(1)t=6s 时F 的大小，以及t 在0~6s 内F 的冲量大小。
(2)t 在0~6s 内，摩擦力f 随时间t 变化的关系式，并作出相应的f−t 图像。
(3)t=6s 时，物块的速度大小。
【答案】(1)
，
(2)见解析
(3)
【详解】（1）由图2 可知F 随时间线性变化，根据数学知识可知
所以当t=6s 时，
0~6s 内F 的冲量为F−t 图围成的面积，即
（2）由于初始时刻。物块刚好能静止在细杆上，则有
即
在垂直杆方向，当
时，
则0−4s，垂直杆方向
摩擦力
在4−6s 内，垂直杆方向
摩擦力
相应的f−t 图像如图
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（3）在0~6s 内沿杆方向根据动量定理有
在0~6s 内摩擦力的冲量为f−t 图围成的面积，则
联立有
可得
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