北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题六 机械能守恒定律
基础篇
考点一 功和功率
1.(2022广东,9,6分)(多选)如图所示,载有防疫物资的无人驾驶小车,在水平MN段
以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶,在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度
2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg,MN=PQ=20 m,PQ段的倾角为30°,重力
加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A.从M到N,小车牵引力大小为40 N
B.从M到N,小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q,小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q,小车克服摩擦力做功700 J
答案 ABD
2.(2022河北廊坊期末,2)如图1所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在
水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化
关系如图2所示,图线为半圆。则小物块运动到x 处时F所做的总功为 (
0
)
1 π π
A.0 B. Fmx0C. Fmx0D. x2
2 4 4 0
答案 C
3.(2021重庆选考适应性测试,10)(多选)如图所示,倾角为θ的斜面MN段粗糙,其余
段光滑,PM、MN长度均为3d。四个质量均为m的相同样品1、2、3、4放在斜
面上,每个样品(可视为质点)左侧固定有长度为d的轻质细杆,细杆与斜面平行,且
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与其左侧的样品接触但不粘连,样品与MN间的动摩擦因数为tan θ。若样品1在
P处时,四个样品由静止一起释放,则(重力加速度大小为g)( )
3
A.当样品1刚进入MN段时,样品的共同加速度大小为 g sin θ
4
B.当样品1刚进入MN段时,样品1的轻杆受到的压力大小为3mg sin θ
C.从开始到四个样品均位于MN段时,摩擦力做的总功为9dmg sin θ
D.当四个样品均位于MN段时,样品的共同速度大小为3√gdsinθ
答案 AD
考点二 动能与动能定理
1.(2019课标Ⅲ,17,6分)从地面竖直向上抛出一物体,物体在运动过程中除受到重
力外,还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h
在3 m以内时,物体上升、下落过程中动能E 随h的变化如图所示。重力加速度
k
取10 m/s2。该物体的质量为 ( )
A.2 kg B.1.5 kg C.1 kg D.0.5 kg
答案 C
2.(2022浙江6月选考,12,3分)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径
之一。如图所示,风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在
风速为9 m/s时,输出电功率为405 kW,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为
不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A,空气密度为ρ,风场风速为v,并保持
风正面吹向叶片。下列说法正确的是 ( )
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A.该风力发电机的输出电功率与风速成正比
1
B.单位时间流过面积A的流动空气动能为 ρAv2
2
C.若每天平均有1.0×108 kW的风能资源,则每天发电量为2.4×109 kW·h
D.若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s范围内,则该发电机年发电量至少为
6.0×105 kW·h
答案 D
3.(2022全国乙,20,6分)(多选)质量为1 kg的物块在水平力F的作用下由静止开始
在水平地面上做直线运动,F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动
摩擦因数为0.2,重力加速度大小取g=10 m/s2。则( )
A.4 s时物块的动能为零
B.6 s时物块回到初始位置
C.3 s时物块的动量为12 kg·m/s
D.0~6 s时间内F对物块所做的功为40 J
答案 AD
考点三 机械能守恒定律
1.(2021广东,9,6分)(多选)长征途中,为了突破敌方关隘,战士爬上陡峭的山头,居高
临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为
m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h,在空中的运动可视为
平抛运动,轨迹如图所示,重力加速度为g。下列说法正确的有 ( )
A.甲在空中的运动时间比乙的长
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B.两手榴弹在落地前瞬间,重力的功率相等
C.从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D.从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
答案 BC
2.(2022全国乙,16,6分)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环
从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于 (
)
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
答案 C
3.(2022全国甲,14,6分)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。
运动员从a处由静止自由滑下,到b处起跳,c点为a、b之间的最低点,a、c两处的
高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍,
运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力,则c点处这一段圆弧雪道的半径
不应小于 ( )
h h 2h 2h
A. B. C. D.
k+1 k k k-1
答案 D
4.(2022河北,9,6分)(多选)如图,轻质定滑轮固定在天花板上,物体P和Q用不可伸
长的轻绳相连,悬挂在定滑轮上,质量m >m ,t=0时刻将两物体由静止释放,物体Q
Q P
g
的加速度大小为 。T时刻轻绳突然断开,物体P能够达到的最高点恰与物体Q
3
释放位置处于同一高度,取t=0时刻物体P所在水平面为零势能面,此时物体Q的
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机械能为E。重力加速度大小为g,不计摩擦和空气阻力,两物体均可视为质点。
下列说法正确的是 ( )
A.物体P和Q的质量之比为1∶3
E
B.2T时刻物体Q的机械能为
2
3E
C.2T时刻物体P重力的功率为
2T
2gT
D.2T时刻物体P的速度大小为
3
答案 BCD
5.(2021山西八校联考,7)如图所示,原长为l、劲度系数为k的轻弹簧,一端拴接一
个质量为m的小球,另一端固定在光滑转动轴O上,弹簧中有一不可伸长的细绳,
mg
两端分别系在弹簧的两端,细绳长为l+ 。初始时,小球静止在竖直的弹簧上端,
k
轻触小球,小球绕光滑转轴O在竖直平面转动,假设细绳拉直瞬间前后小球的速度
大小不变。当地重力加速度为g,当小球转动到最低点时,细绳的拉力大小为 (
)
4kmgl
A.mg B.
lk+mg
4kmgl 4kmgl
C. +mgD. -mg
lk+mg lk+mg
答案 B
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综合篇
拓展一 动能定理在多过程中的应用
1.(2018江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端连接一小物块,
O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放,沿粗糙程度相同的水平
面向右运动,最远到达B点。在从A到B的过程中,物块( )
A.加速度先减小后增大
B.经过O点时的速度最大
C.所受弹簧弹力始终做正功
D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
答案 AD
2.(2021全国甲,20,6分)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜
面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为E ,向上滑动一段距离后速度减小为零,
k
E
此后物体向下滑动,到达斜面底端时动能为 k。已知sin α=0.6,重力加速度大小为
5
g。则 ( )
E
A.物体向上滑动的距离为 k
2mg
g
B.物体向下滑动时的加速度大小为
5
C.物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D.物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
答案 BC
3.(2021湖北,4,4分)如图(a)所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上
滑,运动过程中摩擦力大小f恒定,物块动能E 与运动路程s的关系如图(b)所示。
k
重力加速度大小取10 m/s2,物块质量m和所受摩擦力大小f分别为 ( )
图(a)
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图(b)
A.m=0.7 kg,f=0.5 N B.m=0.7 kg,f=1.0 N
C.m=0.8 kg,f=0.5 N D.m=0.8 kg,f=1.0 N
答案 A
4.(2018课标Ⅲ,25,20分)如图,在竖直平面内,一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和
水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O为圆心,OA和OB之间的夹角
3
为α,sin α= 。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C
5
点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一
水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道
的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小;
(2)小球到达A点时动量的大小;
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
3 √5gR
答案 (1) mg
4 2
m√23gR
(2)
2
3√5R
(3)
5 g
5.(2021福建,14,12分)如图(a),一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙,BC段光滑。斜
面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处,弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块
在沿斜面向下的拉力T作用下,由A处从静止开始下滑,当滑块第一次到达B点时
撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图(b)所示。已知AB段长度
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为2 m,滑块质量为2 kg,滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5,弹簧始终在弹性限
度内,重力加速度大小取10 m/s2, sin 37°=0.6。求:
(1)当拉力为10 N时,滑块的加速度大小;
(2)滑块第一次到达B点时的动能;
(3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后,沿斜面上滑的最大距离。
图(a)
图(b)
答案 (1)7 m/s2 (2)26 J (3)1.3 m
6.(2021湖南,14,15分)如图,竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水
平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接,水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质
量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为μ。以水平轨道末端O点为坐
标原点建立平面直角坐标系xOy,x轴的正方向水平向右,y轴的正方向竖直向下,
弧形轨道P端坐标为(2μL,μL),Q端在y轴上。重力加速度为g。
(1)若A从倾斜轨道上距x轴高度为2μL的位置由静止开始下滑,求A经过O点时
的速度大小;
(2)若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑,经过O点落在弧形轨道PQ上的
动能均相同,求PQ的曲线方程;
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(3)将质量为λm(λ为常数且λ≥5)的小物块B置于O点,A沿倾斜轨道由静止开始下
滑,与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短),要使A和B均能落在弧形轨道上,且A落在
B落点的右侧,求A下滑的初始位置距x轴高度的取值范围。
答案 (1)√2μgL (2)4y2+x2-8μLy=0 (3)见解析
1
解析 (1)A由距x轴高度为2μL的位置滑到O点的过程满足:mg·2μL-μmgL= mv2
2
得v=√2μgL
(2)A滑过O点后做平抛运动落到轨道PQ上:
水平方向x=v t
0
1
竖直方向y= gt2
2
√ g
得v =x
0
2y
1
竖直方向,由动能定理得mgy= mv2
2 y
得v2
=2gy
y
设A落在轨道PQ上的速度为v,则v2=v2+v2
y 0
g
得v2=2gy+x2
2y
A落在轨道PQ上的动能相同,则v2不变
g
令v2=2gy+x2 =k
2y
将点(2μL,μL)代入得k=4μgL
g
PQ的曲线方程:2gy+x2 =4μgL
2y
整理得:4y2+x2-8μLy=0
1
(3)设A由距x轴高h处滑下,到O点时速度为v ,这个过程满足:mgh-μmgL= mv2
A 2 A
A与B发生弹性碰撞:
mv =mv '+λmv '
A A B
1 1 1
mv2 = mv A'2+ λmv '2
2 A 2 2 B
1-λ
得v '= v
A 1+λ A
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2
v '= v
B λ+1 A
1-λ
λ≥5,则v '= v <0
A 1+λ A
若要满足A落在B落点的右侧,必须有
物块A再次返回O点时的速度v ″>v '
A B
1 1
μmg·2L= mv A'2- mv ″2
2 2 A
若要使A和B均能落在弧形轨道上,则
1
μL=
gt2
,2μL≥v ″t
2 0 A 0
μL(3λ-1) λ2+λ+1
解得 ≤h≤ μL
λ-3 (λ-1) 2
易错警示
若要满足A落在B落点右侧,必须满足的条件是A与B发生弹性碰撞后A返回倾
斜轨道,且能再次滑过水平轨道,到达O点时的速度v ″>v '。
A B
7.(2019课标Ⅰ,25,20分)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段
光滑圆弧平滑连接,小物块B静止于水平轨道的最左端,如图(a)所示。t=0时刻,小
物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑,一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极
短);当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时,速度减为0,此时对其施加一外
力,使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图(b)所示,图中的v 和
1
t 均为未知量。已知A的质量为m,初始时A与B的高度差为H,重力加速度大小
1
为g,不计空气阻力。
图(a)
图(b)
(1)求物块B的质量;
(2)在图(b)所描述的整个运动过程中,求物块A克服摩擦力所做的功;
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(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后,改变物块与
轨道间的动摩擦因数,然后将A从P点释放,一段时间后A刚好能与B再次碰上。
求改变前后动摩擦因数的比值。
2 11
答案 (1)3m (2) mgH (3)
15 9
拓展二 机械能守恒定律在多物体中的应用
1.(2021山东济南历城二中模拟,8)如图所示,将一表面光滑的半圆柱体固定于水平
桌面上,一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连,
乙球的质量大于甲球的质量。开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠住圆柱侧
面。现静止释放甲球,为使小球甲能恰好通过圆柱的最高点,球可看成质点,则下
列说法正确的是 ( )
A.甲球在运动到圆柱顶前两球速度相同
B.乙球下落过程中机械能守恒
m π-1
C.当两球质量比满足 甲= 时,甲球能恰好通过圆柱顶端
m 3
乙
m 1
D.当两球质量比满足 甲= 时,甲球能恰好通过圆柱顶端
m 2
乙
答案 C
2.(2021重庆育才中学二模,7)如图所示,滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕
过光滑定滑轮连接物块1,物块1又与一轻质弹簧连接在一起,轻质弹簧另一端固
定在地面上。开始时用手托住滑块2,使绳子刚好伸直但无张力,此时弹簧的压缩
量为d。现将滑块2从A处由静止释放,经过B处的速度最大,到达C处的速度为
零,此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d,A、C间距
离为4d,不计滑轮质量、大小及摩擦。下列说法中正确的是 ( )
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A.滑块2下滑过程中,机械能先增大后减小
B.滑块2经过B处时的加速度等于零
C.物块1和滑块2的质量之比为3∶2
D.若滑块2质量增加一倍,其他条件不变,仍让滑块2由A处从静止滑到C处,滑块
2到达C处时,物块1和滑块2的速度之比为5∶4
答案 B
3.(2022广东湛江期末,13)如图所示,在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k
的轻质弹簧相连,A放在水平地面上,B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连,C
放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C,使细线恰好伸直但没有拉力,并保证
ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m,C的质量
为M(M>2m),细线与滑轮之间的摩擦不计,开始时整个系统处于静止状态。释放C
后它沿斜面下滑,当A恰好要离开地面时,B获得最大速度(B未触及滑轮,弹簧始终
处于弹性限度内,重力加速度大小为g)。求:
(1)释放物体C之前弹簧的压缩量;
(2)物体B的最大速度v 。
m
mg √ 1
答案 (1) (2)2mg
k k(M+m)
4.(2018江苏单科,14,16分)如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一
端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线
上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时
BC与水平方向的夹角为53°。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰
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好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin 53°=0.8,cos
53°=0.6。求:
(1)小球受到手的拉力大小F;
(2)物块和小球的质量之比M∶m;
(3)小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T。
5
答案 (1) Mg-mg (2)6∶5 (3)见解析
3
解析 (1)设小球受AC、BC的拉力分别为F 、F
1 2
F sin 53°=F cos 53°
1 2
F+mg=F cos 53°+F sin 53°
1 2
且F =Mg
1
5
解得F= Mg-mg
3
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中
小球上升高度h =3l sin 53°,物块下降高度h =2l
1 2
由机械能守恒定律得mgh =Mgh
1 2
M 6
解得 =
m 5
(3)根据机械能守恒定律,小球回到起始点。设此时AC方向的加速度大小为a,物
块受到的拉力为T
由牛顿运动定律得Mg-T=Ma
小球受AC的拉力T'=T
由牛顿运动定律得T'-mg cos 53°=ma
8mMg 48 8
解得T= (T= mg或T= Mg)
5(m+M) 55 11
5.(2021浙江6月选考,20,12分)如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,
台面上竖直放置倾角θ=37°的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆
周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF,它们平滑连接,其中管道CD的半径
r=0.1 m、圆心在O 点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O 点,O 、D、O 和F
1 2 1 2
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点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑,
与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞,碰后小球经管道CD、轨道DEF
从F点竖直向下运动,与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞,碰后速度方向水平
向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦
1
因数μ= ,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
12
(1)若小滑块的初始高度h=0.9 m,求小滑块到达B点时速度v 的大小;
B
(2)若小球能完成整个运动过程,求h的最小值h ;
min
(3)若小球恰好能过最高点E,且三棱柱G的位置上下可调,求落地点Q与F点的水
平距离x的最大值x 。
max
答案 (1)4 m/s (2)0.45 m (3)0.8 m
6.(2021山东济南二模,18)如图所示,内径很小的细管PMN竖直固定,PM段为内径
1
粗糙的水平直线细管,P点处有一弹性挡板、MN段为内径光滑的半径为R的 圆
4
弧,两段细管于M点处顺滑连接。一细绳左侧连接一质量为3m的滑块A,另一端
穿过P板经细管连接一大小略小于内径的质量为m的滑块B。在外力影响下,两
滑块初始均静止,除PM段外,其余各处阻力不计,PM段动摩擦因数取0.5,重力加
速度为g。
(1)同时释放两滑块,试求滑块B运动至M点时,滑块A的速度大小。
(2)系统释放后,滑块B经M点后水平撞击挡板P能够以原速率弹回,第一次弹回
后刚好返回到M点,最终滑块B和系统静止。试判断整个过程中,滑块B在水平
段运动路程是PM段长度的几倍。
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(3)若滑块A的质量可以调节,但应大于滑块B。要使滑块B运动至M点时对细管
1
的压力不大于自身重力的 倍,试求滑块A与B满足要求的质量比值范围。
3
1
答案 (1) √(3π-2)gR (2)8倍
2
( 8 10 )
(3) ,
3π-2 3π-4
拓展三 功能关系与能量守恒
1.(2022河北唐山期末,8)(多选)将三个木板1、2、3固定在墙角,木板与墙壁和地
面构成了三个不同的三角形,如图所示,其中1和2底边相同,2和3高度相同。现
将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放,并沿斜面下滑到
底端,物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同。在这三个过程中,下列说法正确的
是 ( )
A.沿着1和2下滑到底端时,物块的速率不同,沿着2和3下滑到底端时,物块的速
率相同
B.沿着1下滑到底端时,物块的速度最大
C.物块沿着3下滑到底端的过程中,产生的热量是最多的
D.物块沿着1和2下滑到底端的过程中,产生的热量是一样多的
答案 BCD
2.(2018天津理综,2,6分)滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质
点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB,从滑道的A点滑行到最低点B的过程
中,由于摩擦力的存在,运动员的速率不变,则运动员沿AB下滑过程中( )
A.所受合外力始终为零
B.所受摩擦力大小不变
C.合外力做功一定为零
D.机械能始终保持不变
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拟》A版
答案 C
3.(2020课标Ⅰ,20,6分)(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始
沿斜面下滑,其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示,重力
加速度取10 m/s2。则 ( )
A.物块下滑过程中机械能不守恒
B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D.当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
答案 AB
4.(2021辽宁,10,6分)(多选)冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一。某
冰滑梯的示意图如图所示,螺旋滑道的摩擦可忽略;倾斜滑道和水平滑道与同一滑
板间的动摩擦因数μ相同,因滑板不同μ满足μ ≤μ≤1.2μ 。在设计滑梯时,要确保
0 0
所有游客在倾斜滑道上均减速下滑,且滑行结束时停在水平滑道上,以下L 、L 的
1 2
组合符合设计要求的是 ( )
h 3h 4h h
A.L = ,L = B.L1= ,L =
1 2μ 2 2μ 3μ 2 3μ
0 0 0 0
4h 2h 3h h
C.L = ,L = D.L1= ,L =
1 3μ 2 3μ 2μ 2 μ
0 0 0 0
答案 CD
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5.(2021北京,20,12分)秋千由踏板和绳构成,人在秋千上的摆动过程可以简化为单
摆的摆动,等效“摆球”的质量为m,人蹲在踏板上时摆长为l ,人站立时摆长为
1
l 。不计空气阻力,重力加速度大小为g。
2
(1)如果摆长为l ,“摆球”通过最低点时的速度为v,求此时“摆球”受到拉力T的
1
大小。
(2)在没有别人帮助的情况下,人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆
球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角θ 开始运动,到最低点时突然站起,此后保持站立姿势
1
摆到另一边的最大摆角为θ 。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小
2
不变,通过计算证明θ >θ 。
2 1
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越
来越高,达到某个最大摆角θ后,如果再次经过最低点时,通过一次站起并保持站立
姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动,求在最低点“摆球”增加的动能
ΔE 应满足的条件。
k
v2
答案 (1)T=mg+m
l
1
5
(2)a.见解析 b.ΔE ≥ mgl -mgl (1-cos θ)
k 2 2 1
v2
解析 (1)根据牛顿运动定律T-mg=m
l
1
v2
得T=mg+m
l
1
(2)a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v 、v ,根据功能关
1 2
1
系得mgl (1-cos θ )= mv2
1 1 2 1
1
mgl (1-cos θ )= mv2
2 2 2 2
已知v =v ,得mgl (1-cos θ )=mgl (1-cos θ )
1 2 1 1 2 2
因为l >l ,得cos θ > cos θ
1 2 1 2
所以θ >θ
2 1
b.设“摆球”由最大摆角θ摆至最低点时动能为E ,根据功能关系得E =mgl (1-
k k 1
cos θ)
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动,通过最高点的最小速度为v
m
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v2
根据牛顿运动定律得mg=m m
l
2
1
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动,根据功能关系得E +ΔE ≥2mgl + mv2
k k 2 2 m
5
得ΔE ≥ mgl -mgl (1-cos θ)
k 2 2 1
6.(2021山东,18,16分)如图所示,三个质量均为m的小物块A、B、C,放置在水平
地面上,A紧靠竖直墙壁,一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接,C紧靠B,开始时
弹簧处于原长,A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力,使
B、C一起向左运动,当速度为零时,立即撤去恒力,一段时间后A离开墙壁,最终三
物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f,最大静摩擦
力等于滑动摩擦力,弹簧始终在弹性限度内。
1
(弹簧的弹性势能可表示为:E = kx2,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量)
p 2
(1)求B、C向左移动的最大距离x 和B、C分离时B的动能E ;
0 k
(2)为保证A能离开墙壁,求恒力的最小值F ;
min
(3)若三物块都停止时B、C间的距离为x ,从B、C分离到B停止运动的整个过
BC
程,B克服弹簧弹力做的功为W,通过推导比较W与fx 的大小;
BC
(4)若F=5f,请在所给坐标系中,画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图
像,并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时a、x值(用f、k、m表示),不要求推
导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点,水平向右为正方向。
2F-4f F2-6fF+8f2 ( √10)
答案 (1) (2)F = 3+ f (3)(4)见解析
min
k k 2
解析 (1)从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中,以B、C和弹簧为研究
对象,由功能关系得
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1
Fx =2fx + kx2 ①
0 0 2 0
弹簧与A、B相连,弹簧恢复原长之后B向右运动受弹簧阻力、摩擦阻力,C向右
运动受摩擦阻力,B、C速度相同后分离,从弹簧最短到B、C分离,以B、C和弹簧
1
为研究对象,由能量守恒得 kx2=2fx +2E ②
2 0 0 k
2F-4f
由①式得x = ③
0 k
F2-6fF+8f2
联立②③式得E = ④
k k
(2)当A刚要离开墙时,弹簧在B的带动下处于伸长状态,设弹簧的伸长量为x,以A
为研究对象,由平衡条件得kx=f ⑤
若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零,这种情况下恒力为最小值F ,从弹簧
min
恢复原长到A刚要离开墙的过程中,以B和弹簧为研究对象,由能量守恒得
1
E = kx2+fx ⑥
k 2
√10
联立④⑤⑥式得F =(3± )f ⑦
min
2
√10
根据题意舍去F =(3- )f,得
min
2
√10
F =(3+ )f⑧
min
2
(3)从B、C分离到B停止运动,设B(B做往返运动)的位移为x ,路程为s ,C的位移
B B
为x ,以B为研究对象,由动能定理得-W-fs =0-E ⑨
C B k
以C为研究对象,由动能定理得-fx =0-E ⑩
C k
由B、C的运动关系得s >x -x =x 11
B C BC B
联立⑨⑩11式得W<fx 12
BC
(4)在O点时,以B、C整体为研究对象,由F=5f和③式得F =kx =6f,则对B、C整
弹 0
2f 6f
体有F -2f=2ma,解得a= ;B、C分离时C的位移为x = ,分离后由E =fx 和
弹 m 0 k k C
3f 9f
F=5f及④式得x = ,故C停止运动时位移为 。
C k k
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应用篇
模型一 机车启动模型
1.(2021湖南,3,4分)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力,从而达到提速的目的。
总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢,每节车厢
发动机的额定功率均为P,若动车组所受的阻力与其速率成正比(F =kv,k为常量),
阻
动车组能达到的最大速度为v 。下列说法正确的是 ( )
m
A.动车组在匀加速启动过程中,牵引力恒定不变
B.若四节动力车厢输出功率均为额定值,则动车组从静止开始做匀加速运动
3
C.若四节动力车厢输出的总功率为2.25P,则动车组匀速行驶的速度为 v
4 m
D.若四节动力车厢输出功率均为额定值,动车组从静止启动,经过时间t达到最大
1
速度v ,则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 mv2-Pt
m 2 m
答案 C
2.(2022浙江6月选考,13,3分)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的
提升装置,把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台,先
加速再匀速,最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动,到达平台的速度刚好
为零,g取10 m/s2,则提升重物的最短时间为 ( )
A.13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
答案 C
3.(2018课标Ⅲ,19,6分)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送
到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图
线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提
升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第
②次提升过程 ( )
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A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
模型二 能量观点综合应用模型
1.(2022上海建青实验学校模拟,10)(多选)如图,质量为M、长度为L的小车静止在
光滑水平面上,质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平
恒力F作用在小物块上,使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车
之间的摩擦力为F,小物块滑到小车的最右端时,小车运动的距离为x,此过程中,以
f
下结论正确的是( )
A.小物块到达小车最右端时具有的动能为(F-F)(L+x)
f
B.小物块到达小车最右端时小车具有的动能为FL
f
C.小物块克服摩擦力所做的功为Fx
f
D.小物块和小车增加的机械能为F(L+x)-FL
f
答案 AD
2.(2022黑龙江哈三中一模,9)(多选)如图所示,传送带AB与水平面BC在同一平面
内,传送带AB的长度为8 m,水平面BC的长度为7 m,水平面BC与一竖直面内固
定的光滑半圆轨道相切于C点,半圆轨道的半径为0.2 m。传送带始终以4 m/s的
速率沿顺时针方向运动。一质量为0.1 kg的滑块(视为质点)无初速度地放到传送
带的A端,滑块经过C点滑上光滑半圆轨道。已知滑块与传送带间的动摩擦因数
为0.1,滑块与水平面BC间的动摩擦因数为0.05。取重力加速度大小g=10 m/s2,
下列说法正确的是 ( )
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A.滑块从A运动到B的过程中产生的热量为0.8 J
B.滑块经过C点时对半圆轨道的压力大小为0.9 N
C.滑块不能通过半圆轨道的最高点D
D.若将传送带的速率变为2 m/s,则该滑块停止运动时到C点的距离为2 m
答案 AC
3.(2022河北正定中学期末,8)(多选)如图所示,质量为M=1 kg的长木板放在光滑的
水平面上,质量为m=2 kg的滑块(可视为质点)放在长木板的左端,两者之间的动摩
擦因数为μ=0.2。某时刻用F=9 N的水平恒力作用在长木板上,经t=1 s后撤去力
F,最终滑块恰好没有滑离长木板。重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是
( )
A.撤去力F时长木板的速度为3 m/s
B.撤去力F时滑块的速度为2 m/s
C.滑块最终的速度为3 m/s
D.长木板的长度为1.5 m
答案 BC
4.(2022安徽安庆二模,8)(多选)绷紧的传送带与水平方向夹角为37°,传送带的v-t
图像如图所示,t=0时刻质量为1 kg的楔形物体从B点滑上传送带并沿传送带向
上做匀速运动,2 s后开始减速,在t=4 s时物体恰好到达最高点A点。重力加速度
为10 m/s2,对物体从B点运动到A点的过程中,下列说法正确的是(sin 37=0.6,cos
37°=0.8) ( )
A.物体与传送带间的动摩擦因数为0.75
B.物体重力势能增加48 J
C.摩擦力对物体做功大小为12 J
D.物体在传送带上运动过程中产生的热量为12 J
答案 AD
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5.(2022江西上饶一模,13)如图所示,一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板
通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线,与水平方
向夹角为θ,传送带以较大的恒定速率转动,传送方向向上,木板与传送带之间动摩
擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时,支持力均匀作用在
木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置,位于传送带部位的
长度设为x,当x=L/4时,木板能保持静止。
(1)将木板静止放置在x=L/2的位置,则木板释放瞬间加速度多大?
(2)设传送带与木板间产生的滑动摩擦力为f,试在0≤x≤L范围内,画出f-x图像。
(本小题仅根据图像给分)
(3)木板从x=L/2的位置静止释放,始终在滑动摩擦力的作用下,移动到x=L的位置
时,木板的速度多大?
(4)在(3)的过程中,木板的机械能增加量设为ΔE,传送带消耗的电能设为W,不计电
路中产生的电热,比较ΔE和W的大小关系,用文字说明理由。
答案 (1)g sin θ (2)见解析 (3)√2gLsinθ (4)见解析
L
解析 (1)x= 时,f =mg sin θ
4 1
L
x= 时,摩擦力加倍,f =2mg sin θ
2 2
f -mgsinθ
故a= 2 =g sin θ
m
(2)在0≤x≤L范围内,摩擦力与放在传送带上部分木板的正压力成正比,长木板不能
L
视为质点,正压力与放在传送带上的长度成正比,当x= 时f=mg sin θ,当x=L时,则
4
摩擦力为f=4mg sin θ。如图所示。
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L
(3)利用(2)中图像与x轴所围面积表示f做的功,可知从x= 到x=L摩擦力做功:
2
3
W= mgL sin θ
f 2
1 1
由动能定理W- mgL sin θ= mv2
f 2 2
得v=√2gLsinθ
(4)ΔE小于W,因为传送带与木板之间有滑动摩擦,电能有一部分转化为内能。
6.(2022广西柳州二模,14)如图所示,动摩擦因数μ=0.5的水平地面与半径为R的
光滑圆弧轨道平滑相连,B、C、D为圆弧轨道上的三个点,B点为最低点,C点与圆
心O等高,D点为圆弧轨道的最高点,而且D点的切线方向与倾斜传送带平行,已
知长度为5R的传送带与水平面的夹角为θ=37°,传送带表面的动摩擦因数也为μ,
正以v 顺时针转动。现位于水平面上A处一可视为质点的物体,其质量为m,在水
0
平向右的恒力F作用下从静止开始向右运动,当物体运动到B点时轨道对物体的
支持力为11mg,物体运动到C点时撤去外力F,其中A、B的距离为L=10R,重力加
速度为g,F和v 均未知。
0
(1)求水平恒力F的大小。
(2)判断物体能否到达D点,写出判断过程。
(3)讨论物体在传送带上运动过程中摩擦力做的功与传送带速度的关系。
答案 (1)mg (2)(3)见解析
mv2
解析 (1)对物体在B点进行受力分析得11mg-mg= B,又由A到B运动过程应
R
用动能定理有
1
FL-μmgL= mv2 ,联立可得F=mg
2 B
(2)若在D点恰好脱离轨道,向心力由重力指向圆心方向的分量提供:mg cos 37°=
mv2
D
R
解得v 2=0.8gR,B到D的过程应用动能定理:
D
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1 1
FR-mg(R+R cos 37°)= mvD'2- mv2
2 2 B
解得v '2=8.4gR,v '2>v2,可得物体能到达D点
D D D
(3)对初始时传送带上的物体进行受力分析:
mg sin 37°+μmg cos 37°=ma,解得a=g
v '2
物体在传送带上运动到速度为零时位移x = D =4.2R,未脱离传送带
1
2a
①若v ≥v ',根据运动的对称性,可知物体在传送带向上和向下的位移相等,摩擦力
0 D
做正功与负功相等,故摩擦力做的总功W =0。
总
②若v <v ',物体沿斜面向上运动的时间
0 D
v ' √8.4gR
t = D =
减
a g
1
向上运动的位移为x = at2 =4.2R
1 2 减
v
物体沿斜面向下与传送带共速前做匀加速运动的时间t = 0
加
g
1
v2
x = at2 = 0
2 2 加 2g
物体与传送带共速后由于mg sin 37°>μmg cos 37°,
v2
物体继续向下加速运动,x =x -x =4.2R- 0
3 1 2
2g
所以摩擦力做功W=-μmg cos 37°·(x +x )+μmg cos 37°·x =-3.36mgR+0.4mv2
1 3 2 0
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