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第一次月考卷
注意事项：
本试卷满分100 分，试题共23 题，选择10 道．填空6 道、解答7 道 .答卷前，考生务必用0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60 分钟
一、选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河北邢台·九年级期末）已知x＝a 是一元二次方程
的解，则代数式
的值为
（ ）
A．3
B．6
C．﹣3
D．﹣6
【答案】B
【分析】把x＝a 代入一元二次方程
，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘
以2，即可求解．
【详解】解：把x＝a 代入一元二次方程
，得
a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a=6，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值
是解题的关键．
2．（2022·河北保定·八年级期末）抢微信红包已成为中国传统节日人们最喜爱的祝福方式，今年端午节期
间，某人在自己的微信群中发出红包，一共有10 名好友抢到红包，抢到红包的金额情况如下表：
金额（元）
4
4.5
5
5.5
6
8
人数（人）
1
3
2
1
2
1
则10 名好友抢到金额的众数、中位数分别是（ ）A．4.5，5
B．4.5，6
C．8，4.5
D．5，
4.5
【答案】A
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【详解】解：由表可知4.5 元出现的次数最多，
∴众数为4.5 元，
∵第5、6 个数据为5，5，
∴中位数为5 元，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时
候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为
所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）一元二次方程
，配方后可变形为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】解：移项得：x2-8x=1，
配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）
2=17，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵
活选择方法是解题的关键．
4．（2022·河北保定外国语学校一模）张家口宣化区某校在2022 年新年开学第一天举行了“扛红旗当先
锋”跳绳比赛活动．共有13 名同学参加（他们的成绩各不相同），成绩前6 名的同学可以进行到下一轮的
比赛．某参赛同学想知道自己是否晋级，除了需要知道自己的跳绳成绩外，还需要知道这13 名同学跳绳成
绩的（ ）
A．中位数
B．平均数
C．众数
D．方差
【答案】A
【详解】解：共有13 名同学参加，前6 晋级决赛，第7 名的成绩即为13 人成绩的中位数，
所以还需要知道这13 名同学跳绳成绩的中位数，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的意义是解题关键．
5．（2022·河北唐山·九年级期末）
是下列哪个一元二次方程的根是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解．
【详解】解：设一元二次方程为
（
），
则方程的根为
，
又因为
，
则
，
，
，
所以一元二次方程为
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的
系数．
6．（2022·河北保定·八年级期末）甲、乙、丙、丁四人进行
短跑训练，统计近期10 次测试的平均成
绩都是
，10 次测试成绩的方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差（
）
0.2
2.1
0.019
22
则这四人中发挥最稳定的是（ ）A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴这四人中发挥最稳定的是丙，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（2022·河北承德·九年级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121 人患了流感，每轮传染中
平均每人传染了x 个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1 轮后有
个人患了流感
B．第2 轮又增加
个人患流感
C．依题意可得方程
D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210 人感染
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染
了x 人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，则第二轮
后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判
断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人．
则第一轮后共有（1+x）人患了流感，
故A 正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，
第2 轮又增加
个人患流感，
故B 正确，不符合题意；
依题意，得1+x+x（1+x）=121，
即（1+x）
2=121，
故C 正确，不符合题意；
解方程，得x1=10，x2=-12（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10 人．
∴经过三轮一共会有
人感染，
故D 错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列
出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
8．（2022·河北石家庄·八年级期末）在体操比赛评分时，要去掉一个最高分和一个最低分，这样做的目的
是( )
A．使平均数不受极端值的影响
B．使众数不受极端值的影响
C．使中位数不受极端值的影响
D．使方差不受极端值的影响
【答案】A
【分析】根据平均数、众数、中位数，方差的概念即可解答．
【详解】解： A 、平均数是一组数据的总和除以数据个数的商，所以受极端值影响，所以此选项正确；
B、众数指的是一组数据中出现次数最多的数值，而最高分和最低分只有两个，并不会影响众数，所以此
选项不正确；
C、中位数指的是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，因此极端值不会对中位数产生很大影响，
所以此选项不正确；
D、方差反映数据的波动大小，受极端值影响不大，所以此选项不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差的意义，众数是一组数据中出现比较多的那个数，中位
数是一组数据按大小顺序排列，位于中间的那个数，平均数是一组数据的总和除以数据个数的商，方差反
映数据的波动大小，解题的关键是掌握相关概念．
9．（2022·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）已知a，b，c 是△ABC 的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b
－25，则最长边c 的范围（ ）
A．1＜c＜7
B．4≤c＜7
C．4＜c＜7
D．1＜c≤4
【答案】B
【分析】由a2+b2=6a+8b-25，得a，b 的值，然后利用三角形的三边关系求得c 的取值范围即可．
【详解】∵a2+b2=6a+8b-25，
∴（a-3）
2+（b-4）
2=0，
∴a=3，b=4；
∴4-3＜c＜4+3，
∵c 是最长边，
∴4≤c＜7．
故选B．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行
配方，难度不大．
10．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，在
中，
，AB=
，BC=
．点
从点
开始
沿边
向点
以
的速度移动，同时点
从点
开始沿边
向点
以
的速度移动，当其中一
点到达终点时，另一点随即停止．当四边形
的面积为
时，点
的运动时间为( )
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【分析】先求出
的面积，得出当四边形
的面积为
时△BPQ 的面积，设运动时间为t，则
，
，根据三角形面积公式列出关于他t 的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在
中，
，AB=
，BC=
，
∴
，
∴当四边形
的面积为
时，
，
设运动时间为t，则
，
，
∴
，
解得：
，
，
∵点P 在AB 上的运动时间为：
，
∴
，
∴
不符合题意，
即当四边形
的面积为
时，点
的运动时间为2s，故C 正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意
列出关于t 的方程，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·河北衡水·八年级期末）某公司招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，
李强的三项测试百分制得分依次是
分，
分，
分，其中计算机成绩占
，语言表达占
，写作
能力成绩占
，则李强最终的成绩是______分．
【答案】86
【分析】直接利用加权平均数的算法求出答案即可．
【详解】解：李强最终的成绩是
（分），
故答案为：
．
【点睛】此题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的算法是解题的关键．
12．（2021·浙江金华·八年级期末）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1 与2m－4，则
=__________.
【答案】4
【分析】利用直接开平方法得到
，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得
m=1，则方程的两个根分别是2 与-2，则有
，然后两边平方得到
=4．
【详解】由
得
，解得
，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1 与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2 和-2，
∴
，
∴
=4.
13．（2021·河北唐山·八年级期末）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9 的众数是4，则这组数据的中位数
是__________．
【答案】4.5
【分析】根据组数据的众数是4，可得x=4，再根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：∵数据2，3，5，x，7，4，6，9 的众数是4，
∴x=4，
把这一组数据从小到大排列为2，3，4，4，5，6，7，9，
位于正中间两个数的是4，5，
∴这组数据的中位数是（4+5）÷2=4.5．
故答案为：4.5
【点睛】本题主要考查了求中位数，众数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（从小到大）排列后位
于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
14．（2022·河北·二模）在解一元二次方程x2＋px＋q＝0 时，小明看错了系数p，解得方程的根为1 和﹣
3；小红看错了系数q，解得方程的根为4 和﹣2，则p＝________，q＝________．
【答案】 ﹣2
3
﹣
【分析】由小明看错了系数p 知常数项q 无误，根据所得两根之积可得q 的值；由小红看错了系数q 知一
次项系数p 无误，根据所得两根之和可得p 和q 的值．
【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为和
，
∴
，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为
和
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝
﹣
，x1•x2＝
，解题关键熟记根与系数的关系．
15．（2021·河北唐山·九年级期中）小刚在解关于
的方程
时，只抄对了
，
，
解出其中一个根是
他核对时发现所抄的比原方程的值小
则
______，原方程的根的情况是
______．
【答案】
， 有两个不相等的实数根
【分析】依题意可知，
是方程
的一个根，代入
可求出值，再结合根的判别式
，即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：依题意可知：
是方程
的一个根，
，
，
原方程为
．
，
原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：
；有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，牢记“当
时，方程有两个不相等的实数根”
是解题的关键．
16．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在《代数学》中记载了求方程
正数解
的几何方法：如图1，先构造一个面积为
的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x 的矩
形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7-4=3．小明尝试用此方法解关于x 的方程
时，构造出如图2 所示正方形．已知图2 中阴影部分的面积和为39．
（1）该方程的正数解为______；
（2）c 的值为______．
【答案】 3 -39
【分析】仿照已知构造图形得到大正方形的面积为64，由此得到方程的正数解，将解代入方程即可求出
c．
【详解】解：如图2，先构造一个面积为
的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为
x 的
矩形，得到大正方的面积为
，
∴该方程的正数解为
，
把x=3 代入方程得9+30+c=0，
解得c=-39，
故答案为：3，-39．
【点睛】此题考查了利用图形法求一元二次方程的解，正确读懂题意，仿照已知题意求出大正方形的面积
是解题的关键．
三、解答题（本大题共7 小题，共62 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）已知有理数-1，1，m．
(1)当m=-5 时，求这三个数的和；
(2)计算
，1 这两个数的平均数；
(3)如果这三个数的平均数是4，求m 的值．
【答案】(1)-5；(2)-1；(3)m=12．
【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可得出答案；
（1）根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（2）根据这三个数的平均数是4，列出方程，然后求解即可得出答案．
(1)解：m=-5，则三个数为-1，1，-5，
∴这三个数的和为-1+1+(-5)= -5；
(2)解：-3，1 的平均数为
；
(3)解：根据题意得：-1+1+m=4×3，
∴m=12．
【点睛】本题考查了有理数的加法，算术平均数，一元一次方程，掌握算数平均数的计算公式是解题的关
键．
18．（2020·河北·廊坊市第四中学九年级期中）按要求解下列方程：
（1）x2
2
﹣x
4
﹣＝0（配方法）；
（2）x2+4x
3
﹣＝0（公式法）．
【答案】（1）x1＝1+
，x2＝1﹣
；（2）x1＝﹣2+
，x2＝﹣2﹣
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1）∵x2
2
﹣x
4
﹣＝0，
∴x2
2
﹣x＝4，
则x2
2
﹣x+1＝4+1，即（x
1
﹣）
2＝5，
∴x
1
﹣＝±
，
∴x1＝1+
，x2＝1﹣
；
（2）∵a＝1，b＝4，c＝﹣3，
∴△＝42
4×1×
﹣
（﹣3）＝28＞0，
则x＝
＝﹣2
，
即x1＝﹣2+
，x2＝﹣2﹣
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法是解方程的公用方法，公式法解方程的常用方法．
19．（2018·河北·邢台市第三十中学九年级期中）关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于−3，求k 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用根的判别式，求出
大于等于0 恒成立，就可以证明；
（2）利用公式法得到该方程的两个根，一个是2，一个是
，根据方程有一根小于−3，求出k 的取值范
围．
【详解】解：（1）∵
，
∴方程总有两个实数根；
（2）根据求根公式得该方程的解是
，即
，
，
∵方程有一根小于−3，
∴
，解得
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知
识点进行求解．
20．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当
时，请直接写出
的值；
（2）当
时，求
的值．
【答案】（1）
或
；（2）
或
【分析】（1）根据题意可得：
，然后求解一元二次方程即可；
（2）根据题中计算图可得：
，
由
，代入化简可得：
，求解方
程，然后代入
即可得．
【详解】解：（1）由题意可得：
，
，
则
或
，
解得
或
；
（2）由题意得：
，
，
，
整理得：
，
∴
，
则
或
，
解得
或，
或．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出
与
之间关系是解题关键．
21．（2021·河北邢台·九年级期中）某旅游景点9 月30 日接待游客1.2 万人次，10 月2 日接待游客2.7 万人
次．
（1）求今年9 月30 日到10 月2 日，该景点接待游客的日平均增长率；
（2）由于暴雨天气，该景点10 月3 日接待游客人次比10 月2 日减少了
，10 月4 日天气放晴，接待游客
人次比10 月3 日增加了6a%，又因假期即将结束，10 月5 日接待游客人次比10 月4 日减少了
a%，即使
这样，10 月5 日接待游客人次还是比9 月30 日增加了50%，求a 的值．
【答案】（1）该景点接待游客的日平均增长率为50％；（2）a 的值为10．
【分析】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据9 月30 日和10 月2 日接待游客的人数列出方程
求解即可；
（2）根据“10 月5 日接待游客人数还是比9 月30 日增加了50%”列方程求解．
【详解】（1）设景点接待游客的日平均增长率为x，根据题意得：
，
解得
，
（舍去），
答：景点接待游客的日平均增长率为50%；
（2）根据题意得：
，
解得：
，
（舍去）
答：a 的值是10．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的等量关系并列出方程式解题的关键．
22．（2022·河北邯郸·二模）为了了解甲、乙两个车间4 月份工资收入情况，分别从甲、乙两个车间随机
抽取10 名员工进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图．
(1)“6 千元”所在扇形的圆心角是____________ ，请补充“5 千元”的条形统计图（在答题卡上，只画出
要求的部分）；
(2)已知乙车间工资的平均数为6 千元，方差为7.6 千元，请你计算甲车间工资的平均数和方差，并判断哪
个车间工资收入比较稳定；
(3)从乙车间选取n 名员工的工资，并与甲车间的工资组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原甲车间
工资的中位数，若n 取最小值时，求这n 名员工的工资和的最大值．
【答案】(1)144(2)平均数为6 千克；方差为1.2 千克
2；甲车间工资收入比较稳定(3)18 千元
【分析】（1）先求出甲车间员工工资为6 千元的员工人数占被调查人数的百分比，再乘以360°即可；根
据乙车间的条形统计图求出员工工资为5 千元的人数，再据此补充条形统计图即可．
（2）先求出甲车间这10 名员工各自的工资，再根据求平均数和求方差的方法进行计算，然后据此判断即
可．
（3）先求出甲车间工资的中位数，再根据新数据的中位数小于原甲车间工资的中位数确定n 的最小值，进
而确定这n 名员工的工资，即可求出这n 名员工的工资和的最大值．
(1)解：1-10%-20%-20%-10%=40%，40%×360°=144°．
故答案为：144．
10-5-2-1=2（名）．
补充条形统计图如下：
(2)解：甲车间员工工资为4 千元的有10×10%=1（名）．
甲车间员工工资为5 千元的有10×20%=2（名）．
甲车间员工工资为6 千元的有10×40%=4（名）．
甲车间员工工资为7 千元的有10×20%=2（名）．
甲车间员工工资为8 千元的有10×10%=1（名）．
∴
（千元）．
∴
（千元
2）．
∵
，
，
∴甲车间工资收入比较稳定．
(3)解：把甲车间员工工资按从小到大的顺序排列，位于第5 位和第6 位的是6 和6．
∴原甲车间的中位数为
（千元）．
∴原甲车间的员工工资低于6 千元的有3 名，不低于6 千元的有7 名．
∵新数据的中位数小于原甲车间工资的中位数，
∴n 的最小值为7-3=4．
∴当这4 名员工工资是低于6 千元，且是较高的工资时，这4 名员工的工资和取得最大值．
∴这4 名员工工资分别为5 千元，5 千元，4 千元，4 千元．
∴这4 名员工的工资和的最大值是5+5+4+4=18（千元）．
【点睛】本题考查求扇形统计图的圆心角，画条形统计图，求平均数，求方差，根据方差判断稳定性，求
中位数，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23．（2019·河北省保定市第二中学分校九年级期中）阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例题：已知x 可取任意实数，试求二次三项式
的取值范围．
解：
∵x 取任何实数，总有
，∴
．
因此，无论x 取任何实数，
的值总是不小于-4 的实数．
特别的，当x=3 时，
有最小值-4
【应用1】：已知x 可取任何实数，则二次三项式
的最值情况是（ ）
A．有最大值-10 B．有最小值-10 C．有最大值-7 D．有最小值-7
【应用2】：某品牌服装进货价为每件50 元，商家在销售中发现：当以每件90 元销售时，平均每天可售
出20 件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施．
（1）将市场调查发现：如果每件服装降价1 元，那么平均每天那就可多售出2 件，要想平均每天销售这种
服装盈利为1200 元，我们设降价x 元，根据题意列方程得（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：
这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？
【答案】【应用1】B ；【应用2】（1）A；（2）降价15 元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是
1250 元.
【分析】应用1、根据配方法求出其顶点式，即可得出即可；
应用2、（1）根据题意中的等量关系列出方程即可；
（2）根据（1）中的方程，将其转化为顶点式即可得出结论.
【详解】应用1、B
应用2、（1）A
（2）
∵
∴
特别的，当x=15 时，
有最大值1250
∴降价15 元时，每天的盈利最大，每天的最大盈利是1250 元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
