2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
（考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1 章、第2 章（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．以下函数式是二次函数的是（ ）
A．y =a x
2+bx +c
B．y =(2 x −1)
2−4 x
2
C．
D．y =(x−1)(x−2)
2．指出下列事件中是必然事件的是（ ）
A．某人射击一次，中靶
B．抛掷两颗骰子，点数之和为16
C．设a，b为实数，如果a
2+b
2=0，那么a=b=0
D．从分别写有号数1，2，3 的3 张标签中，任取一张，得到1 号签
3．从一盒写有“水果月饼2 枚，巧克力月饼2 枚，海苔月饼2 枚，蛋黄月饼2 枚”的礼饼盒里随机
取出一枚，正好是巧克力月饼的概率是（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．3
4
4．已知点(−1, y1)，(−2, y2)，(−4 , y3)在二次函数y =−2 x
2−8 x +m的图象上，则y1, y2, y3的大小
关系是（ ）
A．y1< y2< y3
B．y3< y2< y1
C．y3< y1< y2
D．y2< y3< y1
5．将抛物线y =( x +1)
2+ 4向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线为
（ ）
A．y =( x +3)
2+1 B．y =( x−1)
2−1
C．y =( x +3)
2−1 D．y =( x −1)
2+9
6．同一坐标系中，二次函数y =(x−a)
2与一次函数y =a+ax的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
500
投中次数(m)
28
60
78
104
124
153
252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.55
B．0.4
C．0.6
D．0.5
8．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m，在两侧距地面3.5m高处有两个挂单
位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式
是（ ）（建筑物厚度忽略不计）
A．y =−1
2 x
2+8
B．y =−1
2 x
2+7
C．y = 1
2 x
2+8
D．
9．已知二次函数y =a x
2−2(b−1) x +1(a≠0)，当−2≤x ≤−1时，y随x的增大而增大，则
（ ）
A．当a>0时，ab的最大值为1
4
B．当a>0时，ab的最大值为1
8
C．当a<0时，ab的最大值为1
4
D．当a<0时，ab的最大值为1
8
10．如图是抛物线y =a x
2+bx +c (a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在
点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m，0)在−2到
之间；④当x<0时，a x
2+(b+2) x ≥0；⑤一元二次方程a x
2+(b−1
2)x +c =0有两个不相等的实数
根，其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．②④⑤
D．②③⑤
二、填空题:本大题有6 个小题，每小题4 分，共24 分.
11．如果函数y =(m+1) x
m
2−m+3是二次函数，则m 的值为 ．
12．一个不透明的袋子里装有5个红球和3个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一
个球是红球的概率为 ．
13．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y =a x
2；②y =b x
2；③
；④
．则
a、b、c、d 的大小关系为 ．
14．为了解衢州市九年级学生的跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如下：
组别
（个）
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x ≥180
人数
50
150
200
600
根据衢州市体育中考跳绳评分标准，跳绳个数不小于180 的为满分，现任意抽查衢州市一名九年级
学生，成绩满分的概率约为 ．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab−(a+b)，例如2⊗3=2×3−(2+3)=1．若y
关于x 的函数y =(kx +1)⊗(x−1)的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ．
16．如图，抛物线y = x
2−6 x +5与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，点D (2,m)在抛物线上，点E
在直线BC上，若∠DEB =2∠DCB，则点E 的坐标是 ．
三、解答题:本大题有7 个小题，第17 题6 分，第18-19 每小题8 分，第20-21 每小题10 分，第22-23 每
小题12 分，共66 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为
(a≠0)．
(1)当x =−1时，求y 的值．
(2)将抛物线向左平移2 个单位后，恰经过点(−1,0)，求b 的值．
18．三张卡片分别标有数字1，2，3．
(1)如果从中任取一个数字，放回，再取一个数字，能组成多少个不同的两位数?
(2)如果同时从中任选两个数组成两位数，其中组成的两位数是偶数的概率是多少？
19．如图，二次函数y =(x +2)
2+m的图象与y 交于点C，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的
对称轴对称，已知一次函数
的图象经过该二次函数图象上的点A (−1,0)及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出满足(x +2)
2≥kx +b−m的x 的取值范围．
20．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4 个．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后
从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
摸到白球的频率
m
n
0.518
0.5069
0.497
9
0.5016
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(2)试估算口袋中白球有多少个？
(3)若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要
选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．
21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10 元，销售500 件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到
605 件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1 元，日销量将减少20 件．
①现要保证每天总毛利润6000 元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10 %交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9 元，水电房租费每日102 元，
若剩下的每天总纯利润要达到5100 元，则每件涨价应为多少？
22．已知二次函数y = x
2−6ax +9(a为常数)．
(1)若该函数图象过点(2,7)，求a的值和图象顶点坐标；
(2)在（1）的情况下，当−1≤x<3时，求y的取值范围；
(3)当x ≥3，y随x的增大而增大，P(x1, y1)，Q(x2, y2)是该函数图象上的两个点，对任意的
3a−2≤x1≤5，3a−2≤x2≤5，y1，y2总满足y1−y2≤9a
2+20，求a的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝﹣x2+kx
2
﹣k（k＜0）与x 轴正半轴交于点C，
与y 轴的交点为A．
（1）若抛物线经过点B（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）无论k 取何值，抛物线都经过定点M，求点M 的坐标；
（3）在（1）的条件下，点P 是抛物线上的一个动点，记△ABP 的面积为S1，△ABM 的面积为S2，
设S2＝nS1，若符合条件的点P 有三个，求n 的值．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1 章、第2 章（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．以下函数式是二次函数的是（ ）
A．y =a x
2+bx +c
B．y =(2 x−1)
2−4 x
2
C．
D．y =(x−1)(x−2)
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y =a x
2+bx +c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做
二次函数，进行判断．
【解析】解：A、当a=0时，y =a x
2+bx +c不是二次函数，故本选项错误；
B、由y =(2 x −1)
2−4 x
2得到y =−4 x +1，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到y = x
2−3 x +2，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
2．指出下列事件中是必然事件的是（ ）
A．某人射击一次，中靶
B．抛掷两颗骰子，点数之和为16
C．设a，b为实数，如果a
2+b
2=0，那么a=b=0
D．从分别写有号数1，2，3 的3 张标签中，任取一张，得到1 号签
【答案】C
【分析】根据必然事件的定义逐一进行分析，即可得到答案．
【解析】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误；
B、是不可能事件，不符合题意，选项错误；
C、是必然事件，符合题意，选项正确；
D、是随机事件，不符合题意，选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握必然事件的定义是解题关键．
3．从一盒写有“水果月饼2 枚，巧克力月饼2 枚，海苔月饼2 枚，蛋黄月饼2 枚”的礼饼盒里随机
取出一枚，正好是巧克力月饼的概率是（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．3
4
【答案】B
【分析】月饼一共8 只，其中巧克力2 只，根据概率公式计算即可．
【解析】解：月饼一共有2×4 =8只，巧克力月饼有2 只，
所以随机取出一只月饼，正好是巧克力月饼的概率是2
8 = 1
4 ，
故选：B．
【点睛】本题考查概率计算，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
4．已知点(−1, y1)，(−2, y2)，(−4 , y3)在二次函数y =−2 x
2−8 x +m的图象上，则y1, y2, y3的大小
关系是（ ）
A．y1< y2< y3
B．y3< y2< y1
C．y3< y1< y2
D．y2< y3< y1
【答案】C
【分析】由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为x =−2，利用二次函数的性质，求解即可．
【解析】解：二次函数y =−2 x
2−8 x +m，
则
，开口向下，对称轴直线为x =−
−8
2×(−2) =−2，
则函数图象上的点，离对称轴越远函数值越小，
点(−1, y1)，(−2, y2)，(−4 , y3)到对称轴的距离分别为：1、0、2，
则y3< y1< y2，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．
5．将抛物线y =( x +1)
2+ 4向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线为
（ ）
A．y =( x +3)
2+1 B．y =( x −1)
2−1
C．y =( x +3)
2−1
D．y =( x −1)
2+9
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论．
【解析】解：将抛物线y =( x +1)
2+ 4向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物
线：y =(x +1+2)
2+ 4−5，即y =( x +3)
2−1，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是
解题的关键．
6．同一坐标系中，二次函数y =(x−a)
2与一次函数y =a+ax的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正
误．
【解析】解：A、由一次函数y =a+ax的图象可得：两个a 的符号不一致， 故错误；
B、由一次函数y =a+ax的图象可得：a<0，此时二次函数y =(x −a)
2的顶点(a,0)，a>0，矛盾，故
错误；
C、由一次函数y =a+ax的图象可得：两个a 的符号不一致，故错误；
D、由一次函数y =a+ax的图象可得：a>0，此时二次函数y =(x −a)
2的顶点(a,0)，a>0，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象
限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数
(n)
5
0
100
150
20
0
250
300
500
投中次数
(m)
2
8
60
78
10
4
124
153
252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.55
B．0.4
C．0.6
D．0.5
【答案】D
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的
概率．
【解析】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，
不能单纯的依靠几次决定．
8．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m，在两侧距地面3.5m高处有两个挂单
位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式
是（ ）（建筑物厚度忽略不计）
A．y =−1
2 x
2+8
B．y =−1
2 x
2+7
C．y = 1
2 x
2+8
D．
【答案】A
【分析】根据题意设出函数解析式，把(4，0)和(3，3.5)代入抛物线，用待定系数法求函数解析式
即可．
【解析】解：根据题意，抛物线过(−4，0)、(4，0)、(−3，3.5)、(3，3.5)四点，
∵对称轴是y轴，
∴b=0，
设抛物线解析式为y =a x
2+c，
把(4，0)和(3，3.5)代入抛物线得：
{
16a+c =0
9a+c =3.5，
解得： {
a=−1
2
c =8
，
∴抛物线解析式为：y =−1
2 x
2+8，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法．
9．已知二次函数y =a x
2−2(b−1) x +1(a≠0)，当−2≤x ≤−1时，y随x的增大而增大，则
（ ）
A．当a>0时，ab的最大值为1
4
B．当a>0时，ab的最大值为1
8
C．当a<0时，ab的最大值为1
4
D．当a<0时，ab的最大值为1
8
【答案】B
【分析】根据题意，分当a>0时，当a<0时，根据二次函数的性质，得出ab的最值，进而即可求解．
【解析】解：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x =−−2(b−1)
2a
= b−1
a
，
∵当−2≤x ≤−1时，y随x的增大而增大，
∴b−1
a
≤−2，
∴b−1≤−2a，
∴
，
∴ab≤−2a
2+a=−2(a−1
4)
2
+ 1
8，即ab的最大值为1
8，故B 选项正确，A 选项错误；
当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x =−−2(b−1)
2a
= b−1
a
，
∵当−2≤x ≤−1时，y随x的增大而增大，
∴b−1
a
≥−1，
∴b−1≤−a，
∴b≤−a+1，
∴ab≥−a
2+a=−(a−1
2)
2
+ 1
4 ，即ab的最小值为1
4 ，故C，D 选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图是抛物线y =a x
2+bx +c (a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在
点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m，0)在−2到
之间；④当x<0时，a x
2+(b+2) x ≥0；⑤一元二次方程a x
2+(b−1
2)x +c =0有两个不相等的实数
根，其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．②④⑤
D．②③⑤
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x 等于1 时，y 等于n，再利用对称轴公式即可
求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判
别式即可求解．
【解析】解：①因为抛物线的顶点坐标为(1，n)，则其对称轴为x =1，
即−b
2a =1，所以b=−2a，所以①错误；
②当x =1时，y =n，
所以a+b+c =n，因为b=−2a，
所以c−a=n，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为x =1，
且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，
所以抛物线另一个交点(m，0)在−2到
之间；所以③正确；
④因为a x
2+(b+2) x ≥0，即a x
2+bx ≥−2 x，
根据图象可知：
把抛物线y =a x
2+bx +c (a≠0)图象向下平移c 个单位后图象过原点，
即可得抛物线y =a x
2+bx (a≠0)的图象，
所以当x<0时，a x
2+bx<−2 x，
即a x
2+(b+2) x<0．所以④错误；
⑤一元二次方程a x
2+(b−1
2)x +c =0，
Δ=(b−1
2)
2
−4 ac，
因为根据图象可知：a<0，c>0，
所以−4 ac>0，
所以Δ=(b−1
2)
2
−4 ac>0，
所以一元二次方程a x
2+(b−1
2)x +c =0有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴
的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题
11．如果函数y =(m+1) x
m
2−m+3是二次函数，则m 的值为 ．
【答案】2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【解析】解：∵y =(m+1) x
m
2−m+3是二次函数，
∴{
m+1≠0
m
2−m=2，
解得：{
m≠−1
m=−1
m=2
，
∴m=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
12．一个不透明的袋子里装有5个红球和3个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一
个球是红球的概率为 ．
【答案】5
8或0.625
【分析】从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，再根据概率公式求
解即可．
【解析】解：从袋中任意摸出一个球共有8种等可能结果，其中是红球的有5种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为5
8，
故答案为：5
8．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P( A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现
的结果数．
13．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y =a x
2；②y =b x
2；③
；④
．则
a、b、c、d 的大小关系为 ．
【答案】a>b>d >c
【分析】设x =1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解析】解：因为直线x =1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,d )，(1,c)，
所以，a>b>d >c．
故答案为：a>b>d >c．
【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关
键．
14．为了解衢州市九年级学生的跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如下：
组别
（个）
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x ≥180
人数
50
150
200
600
根据衢州市体育中考跳绳评分标准，跳绳个数不小于180 的为满分，现任意抽查衢州市一名九年级
学生，成绩满分的概率约为 ．
【答案】3
5
【分析】根据概率公式即可求解．
【解析】解：依题意，任意抽查衢州市一名九年级学生，成绩满分的概率约为
，
故答案为：3
5．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．概率=所求情况数与总情况
数之比．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab−(a+b)，例如2⊗3=2×3−(2+3)=1．若y
关于x 的函数y =(kx +1)⊗(x−1)的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ．
【答案】−1或0
【分析】由定义的新运算求得y 关于x 的函数为：y =−x
2+ kx + k，再由y 关于x 函数的图象与x 轴仅
有一个公共点得到，求解即可．
【解析】解：∵a⊗b=ab−(a+b)，
∴y =(kx +1)⊗(x−1)
=(kx +1)(x −1)−[(kx +1)+(x −1)]
=k x
2−2kx−1
即y =k x
2−2kx−1，
∵y =k x
2−2kx−1的图象与x 轴仅有一个公共点，令y =0，得k x
2−2kx−1=0，
∴Δ=b
2−4 ac = 4 k
2+ 4 k =0，
∴k
2+ k =0，
解得：k =0或k =−1．
故答案为：
或0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x 轴交点坐标的关系，解题关键是熟
记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x 轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个
根，说明二次函数图像和x 轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次
函数图像和x 轴的横坐标没有交点．
16．如图，抛物线y = x
2−6 x +5与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，点D (2,m)在抛物线上，点E
在直线BC上，若∠DEB =2∠DCB，则点E 的坐标是 ．
【答案】( 17
5 , 8
5 )和( 33
5 ,−8
5 )
【分析】先根据题意画出图形，先求出D点坐标，当E点在线段BC上时:
是△DCE 的外角，
∠DEB =2∠DCB，而∠DEB =∠DCE+∠CDE，所以此时∠DCE =∠CDE，有CE = DE，可求
出BC所在直线的解析式y =−x +5，设E点(a,−a+5)坐标，再根据两点距离公式，CE = DE，得到
关于a的方程，求解a的值，即可求出E点坐标；当E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件，可
以证明BC
2+ B D
2= DC
2，得到∠DBC为直角三角形，延长EB至E
'，取B E
' = BE，此时，
∠D E
' E =∠DE E
' =2∠DCB，从而证明E
'是要找的点，应为OC =OB，△OCB为等腰直角三角形，
点E和E
'关于B点对称，可以根据E点坐标求出E
'点坐标．
【解析】解：在y = x
2−6 x +5中，当x =0时，y =5，则有C (0，5)，
令y =0，则有x
2−6 x +5=0，
解得：x1=1, x2=6，
∴A (1，0)，B (5，0)，
根据D点坐标，有m=2
2−6×2+5=−3
所以D点坐标(2，−3)
设BC所在直线解析式为y =kx +b，其过点C (0,5)、B (5,0)
有{
b=5
5k +b=0，
解得{
k =−1
b=5
∴BC所在直线的解析式为：y =−x +5
当E点在线段BC上时，设E(a,−a+5)
∠DEB =∠DCE +∠CDE
而∠DEB =2∠DCB
∴∠DCE =∠CDE
∴CE = DE
因为：E(a,−a+5)，C(0,5)，D(2,−3)
有√a
2+(−a+5−5)
2=√(a−2)
2+[−a+5−(−3)]
2
解得：
，−a+5= 8
5
所以E点的坐标为: ( 17
5 , 8
5 )
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，B D
2=(5−2)
2+3
2=18，BC
2=5
2+5
2=50,DC
2=(5+3)
2+2
2=68
∴B D
2+ BC
2= DC
2
∴
如图延长EB至E
'，取B E
' = BE，
则有△DE E
'为等腰三角形，DE = D E
'，
∴∠DE E
' =∠D E
' E
又∵∠DEB =2∠DCB
∴∠D E
' E =2∠DCB
则E
'为符合题意的点，
∵OC =OB =5
∴∠OBC = 45
∘
E
'的横坐标：5+(5−17
5 )= 33
5 ，纵坐标为−8
5；
综上E 点的坐标为：( 17
5 , 8
5 )或( 33
5 ,−8
5 )，
故答案为：(
17
5 ，8
5)或(
33
5 ，−8
5)
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，
分情况找到E点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为
(a≠0)．
(1)当x =−1时，求y 的值．
(2)将抛物线向左平移2 个单位后，恰经过点(−1,0)，求b 的值．
【答案】(1)0
(2)0
【分析】（1）把x =−1代入
，即可求得；
（2）根据题意原抛物线经过(1,0)，代入解析式解方程即可求得．
【解析】（1）解：当x =−1时，y =a−2b+2b−a=0；
即y 的值为0；
（2）∵将抛物线向左平移2 个单位后，恰经过点(−1,0)，
∴原抛物线经过(1,0)，
把(1,0)代入解析式可得：a+2b+2b−a=0，
∴b=0．
【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．三张卡片分别标有数字1，2，3．
(1)如果从中任取一个数字，放回，再取一个数字，能组成多少个不同的两位数?
(2)如果同时从中任选两个数组成两位数，其中组成的两位数是偶数的概率是多少？
【答案】(1)共有9 个不同的二位数
(2)
【分析】（1）根据概率的求法，用树状图或列表法列举出所有的可能；列表时注意从中摸出一张卡
片然后放回，也就是可能出现两张卡片完全一样．
（2）列举出所有结果，找出符合条件的结果，根据概率公式求解．
【解析】（1）画树形图得：
∴能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33，共有9 个不同的两位数；
（2）∵从中任选两个数组成两位数，组成的两位数有：12，13，23，21，31，32，共有6 个不同的
两位数，其中偶数有2 个，
∴组成的两位数是偶数的概率是2
6 = 1
3．
【点睛】本题考查概率公式，列表或树状图求概率，掌握列表法或树状图是解题的关键．
19．如图，二次函数y =(x +2)
2+m的图象与y 交于点C，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的
对称轴对称，已知一次函数
的图象经过该二次函数图象上的点A (−1,0)及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出满足(x +2)
2≥kx +b−m的x 的取值范围．
【答案】(1)二次函数解析式为y = x
2+ 4 x +3，一次函数解析式为y =−x−1
(2)x ≤−4或x ≥−1．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B 坐标，利用方程组求出一次函数解析式；
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上方或二者的交点处即可写出自变量x 的取值范围．
【解析】（1）解：∵二次函数y =(x +2)
2+m经过点A (−1,0)，
∴0=(−1+2)
2+m，
∴m=−1，
∴二次函数解析式为y =(x +2)
2−1= x
2+ 4 x +3，
在y = x
2+ 4 x +3中，当x =0时，y = x
2+ 4 x +3=3，
∴点C 坐标(0，3)，
∵对称轴为直线x =−2，B、C 关于对称轴对称，
∴点B 坐标(−4，3)，
∵一次函数
经过点A、B，
∴{
−4 k +b=3
−k +b=0 ，
解得{
k =−1
b=−1，
∴一次函数解析式为y =−x−1，
（2）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方或二者的交点处时，x ≤−4或
x ≥−1，
∴不等式(x +2)
2+m≥kx +b，即不等式(x +2)
2≥kx +b−m的x 的取值范围为x ≤−4或x ≥−1．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用待
定系数法确定好解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
20．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4 个．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后
从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
摸到白球的频率
m
n
0.518
0.5069
0.497
9
0.5016
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________ （精确到0.1）；
(2)试估算口袋中白球有多少个？
(3)若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要
选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．
【答案】(1)0.5
(2)估计口袋中白球的个数为2 个
(3)P (颜色相同)= 1
3
【分析】（1）根据统计数据，当n 很大时，摸到白球的频率接近0.5；
（2）利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有16 种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后
根据概率公式求解．
【解析】（1）解：由题可得，当n 很大时，摸到白球的频率接近0.5；
故答案为：0.5；
（2）∵摸到白球的概率为0.5，
∴估计口袋中白球的个数
(个) ．
（3）解：根据题意列表如下：
第二次
第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白
2）
（白1，黑
1）
（白1，黑
2）
白2
（白2，白
1）
（白2，黑
1）
（白2，黑
2）
黑1
（黑1，白
1）
（黑1，白
2）
（黑1，黑
2）
黑2
（黑2，白
1）
（黑2，白
2）
（黑2，黑
1）
由上表可知，共有12 种等可能出现的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有4 种，分别为：（白1，
白2），（白2，白1），（黑2， 黑1），（黑1，黑2），
∴P (颜色相同)= 4
12 = 1
3．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率
在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集
中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，掌握上述内容是解题的关键．
21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10 元，销售500 件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到
605 件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1 元，日销量将减少20 件．
①现要保证每天总毛利润6000 元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10 %交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9 元，水电房租费每日102 元，
若剩下的每天总纯利润要达到5100 元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)10 %
(2)①每件应张价5 元；②每件涨价应为8 元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量
×(1+日平均增长率)
2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应涨价y 元，则每件盈利（毛利润）为(10+ y)元，销售数量为(500−20 y)件，根据每
件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z 元，则每天总毛利润为(10+ z)(500−20 z)元，每天总纯利润为
(10+ z)(500−20 z)(1−10 %)−0.9(500−20 z)−102元，根据每天总纯利润要达到5100 元，列方程求
解即可．
【解析】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
500(1+ x)
2=605，
解得： x1=10 %，
(不符合题意，舍去)，
∴x =10 %，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应涨价y 元，根据题意，得
(10+ y)(500−20 y)=6000，
解得：y1=10，y2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴y =5，
答：每件应涨价5 元；
②设每件涨价应为z 元，根据题意，得
(10+ z)(500−20 z)(1−10 %)−0.9(500−20 z)−102=5100，
解得：z1= z2=8，
∴z =8，
答：每件涨价应为8 元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解
题的关键．
22．已知二次函数y = x
2−6ax +9(a为常数)．
(1)若该函数图象过点(2,7)，求a的值和图象顶点坐标；
(2)在（1）的情况下，当−1≤x<3时，求y的取值范围；
(3)当x ≥3，y随x的增大而增大，P(x1, y1)，Q(x2, y2)是该函数图象上的两个点，对任意的
3a−2≤x1≤5，3a−2≤x2≤5，y1，y2总满足y1−y2≤9a
2+20，求a的取值范围．
【答案】(1)a= 1
2，(
3
2 , 27
4 )；
(2)27
4 ≤y ≤13；
(3)0≤a≤1
【分析】（1）求出顶点坐标为(3a,9−9a
2)，把点P(2,7)代入y = x
2−6ax +9中，求出a 即可；
（2）求得对称轴为直线x = 3
2，故当x = 3
2时取最小值，x =−1时取最大值，据此即可求得y的取值范
围；
（3）由题意3a≤3，即可得到5−3a≥2，3a−(3a−2)=2，从而求得5−3a≥2，3a−(3a−2)=2，
根据二次函数图象上点的坐标特征求得x =3a时，y最小为9−9a
2，x =5时，y最大为34−30a，即
可得到34−30a−(9−9a
2)≤9a
2+25，即可求得0≤a≤1．
【解析】（1）解：∵y = x
2−6ax +9=(x−3a)
2−9a
2+9，
∴顶点坐标为(3a,9−9a
2)，
把点P(2,7)代入y = x
2−6ax +9中得：4−12a+9=7，
解得：a= 1
2，
∴抛物线的顶点为(
3
2 , 27
4 )；
（2）由（1）得二次函数解析式为y = x
2−3 x +9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴当−1≤x<3时函数在x = 3
2时取最小值为y = 9
4 −3× 3
2 +9= 27
4 ，
在x =−1时取最大值为y =1+3+9=13，
故y的取值范围27
4 ≤y ≤13；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
∵当x ≥3，y随x的增大而增大，
∴对称轴x =3a≤3，即
，
∴5−3a≥2，3a−(3a−2)=2，
∴x =3a时，y最小为9−9a
2，
x =5时，y最大为34−30a，
所以34−30a−(9−9a
2)≤9a
2+25，解得a≥0，
综上所述0≤a≤1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝﹣x2+kx
2
﹣k（k＜0）与x 轴正半轴交于点C，
与y 轴的交点为A．
（1）若抛物线经过点B（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）无论k 取何值，抛物线都经过定点M，求点M 的坐标；
（3）在（1）的条件下，点P 是抛物线上的一个动点，记△ABP 的面积为S1，△ABM 的面积为S2，
设S2＝nS1，若符合条件的点P 有三个，求n 的值．
【答案】（1）y =−x
2−2 x + 4；（2）点M 的坐标为（2，-4）；（3）n 的值为
．
【分析】（1）直接把点B（-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由抛物线解析式为y =−x
2+ kx−2k =−x
2+(x−2)k，则当
时，y =−4，函数值与k 的取值
无关，由此即可得到答案；
（3）设直线BM 的解析式为y =k1 x +b，直线BM 于y 轴的交点为E，可求得直线BM 的解析式为
y =−x−2，得到E 点坐标为（0，-2），从而求出S△ABM =15；如图所示，在直线AB 上方作直线l1
∥AB，且直线l1与抛物线只有一个交点P1，对应的在直线AB 下方作直线l2∥AB，其中直线l1与直线
AB 的距离等于直线l2与直线AB 的距离，则S△AB P1= S△AB P2= S△AB P3（等底等高），根据除去P1，P2，
P3这三个位置外，符合S2=n S1的P 点的个数为4 个或2 个；推出S2=n S△AB P1，由此先求出直线AB
的解析式为y = x + 4，则可设直线l1的解析式为y = x +b2，联立{
y = x +b2
y =−x
2−2 x + 4得x
2+3 x −4 +b2=0，
求得b2= 25
4 ，从而求出点P1的坐标为（−3
2，19
4 ），过点P1作x 轴的垂线交AB 于H，根据
S△AB P1= S△P1BH + S△P1 AH，求出S△AB P1即可得到答案．
【解析】解：（1）∵抛物线y =−x
2+ kx−2k经过点B（-3，1），
∴1=−(−3)
2−3k −2k，
∴k =−2，
∴抛物线解析式为y =−x
2−2 x + 4；
（2）∵抛物线解析式为y =−x
2+ kx −2k =−x
2+(x−2)k，
当
时，y =−4，函数值与k 的取值无关，
∴点M 的坐标为（2，-4）；
（3）∵抛物线y =−x
2−2 x + 4与y 轴交于点A，
∴点A 的坐标为（0，4），
设直线BM 的解析式为y =k1 x +b，直线BM 于y 轴的交点为E，
∴{
−3k1+b=1
2k1+b=−4，
∴{
k1=−1
b=−2 ，
∴直线BM 的解析式为y =−x−2，
∴E 点坐标为（0，-2），
∴S△ABM = S△ABE+ S△AME= 1
2 AE⋅xM + 1
2 AE⋅(−xB)=15；
如图所示，在直线AB 上方作直线l1∥AB，且直线l1与抛物线只有一个交点P1，对应的在直线AB 下
方作直线l2∥AB，其中直线l1与直线AB 的距离等于直线l2与直线AB 的距离，
∴S△AB P1= S△AB P2= S△AB P3（等底等高），
∵除去P1，P2，P3这三个位置外，符合S2=n S1的P 点的个数为4 个或2 个；
∴S2=n S△AB P1，
设直线AB 的解析式为y =k2 x +b1，
∴{
−3k2+b1=1
b1= 4
，
∴{
k2=1
b1= 4，
∴直线AB 的解析式为y = x + 4，
∴可设直线l1的解析式为y = x +b2，
联立{
y = x +b2
y =−x
2−2 x + 4得x
2+3 x−4+b2=0，
∴Δ=3
2+ 4(4−b2)=0 ，
∴b2= 25
4 ，
∴x
2+3 x + 9
4 =0，
解得x =−3
2，
∴点P1的坐标为（−3
2，19
4 ），
过点P1作x 轴的垂线交AB 于H，
∴点H 的横坐标为−3
2，
∴点H 的纵坐标为5
2，
∴P1 H = 9
4 ，
∴S△AB P1= S△P1BH + S△P1 AH
= 1
2 P1 H ⋅(xH −xB)+ 1
2 P1 H ⋅(x A−xH)
= 1
2 P1 H ⋅(x A−xB)
= 27
8 ，
∴15= 27
8 n，
∴n= 40
9 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等
等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
