2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重点难点过关测
（考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1 章、第2 章、第4 章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．若a
b = 1
2，则a
a+b的值为（ ）
A．
B．
C．3
2
D．3
2．已知二次函数表达式为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．最大值是
C．顶点坐标为
D．图象开口向上
3．已知二次函数y＝（a
1
﹣）x2，当x≥0 时，y 随x 增大而增大，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞0
B．a＞1
C．a≥1
D．a＜1
4．已知点P 是线段AB的黄金分割点，且
，下列命题说法错误的是（ ）
A．A P
2= PB⋅AB
B．AP: AB = PB: AP
C．B P
2= AB⋅AP
D．AP: PB = AB: AP
5．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (3,2)，现以原点O 为位似中
心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2 的位似图形△A
' B
'C
'，则顶点C
'的坐标是（ ）
A．(2,4)
B．(4,2)
C．(6,4)
D．(5,4)
6．利用六张编号为1，2，3，4，5，6 的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一
结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抽中的扑克牌编号是3 的概率
B．抽中的扑克牌编号是3 的倍数的概率
C．抽中的扑克牌编号大于3 的概率
D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率
7．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷口B流
出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形
CGHD．同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH =12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、
D、
三点共线．在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，不去接则
洗手液落在台面的位置距DH的水平面是（ ）
A．6√3
B．6√2
C．12√3
D．12√2
8．抛物线y =a x
2+bx +c (a>0)与x 轴交于(x1,0)，(x2,0)两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线
与x 轴交于(x3,0)，(x4,0)两点，下列说法正确的是（ ）
A．x1+ x2> x3+ x4
B．x1+ x2< x3+ x4
C．x1+ x2= x3+ x4
D．x1−x2= x3−x4
9．已知抛物线y =a x
2+bx +c（a，b，c 都是常数，且a≠0）开口向上且过点A (−1,0)，B (m,0)（
1<m<2），小明得出下列结论：①b>0；②若(−1, y1)和(1, y2)都在抛物线上，则y1> y2；③
2a+c>0；④若方程a(x−m)(x +1)+ 4 =0没有实数根，则b
2−4 ac<16a．其中正确结论的个数是
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
10．如图，在矩形ABCD中，AB =9，BC =12，E 为边BC的中点，F 为边AB上一点，连接EF，
△BEF与△GEF关于EF对称，延长EG，FG分别交边AD，CD于点H ，I．若
，则
DI为（ ）．
A．3
4
B．4
5
C．1
D．4
3
二、填空题:本大题有6 个小题，每小题4 分，共24 分.
11．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要使△ABP∽△ACB，还需添加条件： ．（填写一个即
可）
12．从3 名男生和2 名女生中任选1 名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是
．
13．如图，AD∥BE∥CF，如果AB =6，
，DF =12，则EF的长为 ．
14．二次函数y =a x
2+bx +c的部分对应值列表如下：
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
7
−8
−9
−5
7
…
则一元二次方程a(2 x−1)
2+b(2 x−1)+c =7的解为 ．
15．已知二次函数y = x
2−3 x +1，当m≤x ≤1时，函数有最大值4−m，则m= ．
16．如图，在抛物线y =a x
2−4（a >0）上有两点P、Q，点P 的坐标为（4m，y1），点Q 的坐标为
（m，y2）（m>0），点M 在y 轴上，M 的坐标为（0，−1）．
（1）用含a、m 的代数式表示|y1−y2|= ．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM 与直线QM 关于直线y=−1对称时，|y1−y2|为定值d，
则d= ．
三、解答题:本大题有7 个小题，第17 题6 分，第18-19 每小题8 分，第20-21 每小题10 分，第22-23 每
小题12 分，共66 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF 的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB 的长．
18．为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，某校开设了“烹饪、园艺、缝
纫”3 门劳动课程，每位同学任意选修其中的1 门课程的代号和名称如下表所示：
课程代
号
A
B
C
课程名
称
烹饪
园艺
缝纫
(1)用恰当的方法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果（用A，B，C 表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一门课程的概率．
19．如图，抛物线y1=a x
2−2 x +c与x 轴交于A(−1，0)和B(3，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点A 的直线y2=mx +n与抛物线在第一象限交于点D，若点D 的纵坐标为5，请直接写出当
y2< y1时，x 的取值范围是________．
20．如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG平分∠BAC，交DE，BC于点F，G，且
AD⋅AC = AE⋅AB
(1)求证：△ADE∼△ABC；
(2)若△ADE与△ABC的周长之比是1:2，AG =5，求
的值．
21．某超市以20 元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40 天里，设第x天的销售单价
为y元/千克，y与x满足如下关系：y ={
30(1≤x ≤15, x 为整数)
−2
5 x +38(16≤x ≤40, x 为整数)，
(1)第几天时销售单价为24 元/千克？
(2)如图，设第x天的销售量为m千克，m与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第x天销
售该绿色食品获得的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是
多少？
22．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”
为d (P ,Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．二次函数y = x
2−3 x + 4的图象如图所示．
(1)点A 为图象与y 轴的交点，点B (−1,b)在该二次函数的图象上，求d ( A ,B)的值．
(2)点C 是二次函数y = x
2−3 x + 4 (x ≥0)图象上的一点，记点C 的横坐标为m．
①求d (O ,C)的最小值及对应的点C 的坐标．
②当t ≤m≤t +1时，d (O ,C)的最大值为p，最小值为q，若p−q = 3
4 ，求t 的值．
23．如图，二次函数y =−1
2 x
2+bx +c图像交x 轴于点A，B（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,3)，
CD⊥y轴，交抛物线于另一点D，且
，P 为抛物线上一点，PE∥y轴，与x 轴交于E，与BC，
CD分别交于点F，G．
(1)求二次函数解析式．
(2)当P 在CD上方时，是否存在点P，使得以C，P，G 为顶点的三角形与△FBE相似，若存在，求
出△CPG与△FBE的相似比，若不存在，说明理由．
(3)点D 关于直线PC的对称点为D
'，当点D
'落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的横坐标为______．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重点难点过关测
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1 章、第2 章、第4 章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．若a
b = 1
2，则a
a+b的值为（ ）
A．
B．
C．3
2
D．3
【答案】A
【分析】根据合比性质进行计算．
【解析】解：
a
b = 1
2，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比
性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
2．已知二次函数表达式为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．最大值是
C．顶点坐标为
D．图象开口向上
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的图像和性质作答即可．
【解析】由
可知，图象开口向下，对称轴为直线x =−2，最大值是
，顶点坐标为
(−2,−1)，
ABCD 中只有B 正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
3．已知二次函数y＝（a
1
﹣）x2，当x≥0 时，y 随x 增大而增大，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞0
B．a＞1
C．a≥1
D．a＜1
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【解析】∵二次函数
的对称轴为y 轴，当x>0 时，y 随x 增大而增大，
∴二次函数
的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的
关键．
4．已知点P 是线段AB的黄金分割点，且
，下列命题说法错误的是（ ）
A．A P
2= PB⋅AB
B．AP: AB = PB: AP
C．B P
2= AB⋅AP
D．AP: PB = AB: AP
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可．
【解析】解：∵点P 是线段AB的黄金分割点，且
，
∴
，
∴A P
2= PB⋅AB，AP: PB = AB: AP，
∴A、B、D 说法正确，不符合题意，C 说法错误，符合题意.
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割、比例性质，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应
线段是解题的关键．
5．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (3,2)，现以原点O 为位似中
心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2 的位似图形△A
' B
'C
'，则顶点C
'的坐标是（ ）
A．(2,4)
B．(4,2)
C．(6,4)
D．(5,4)
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【解析】解：∵△ABC的位似比为2 的位似图形是△A
' B
'C
'，且C (3,2)，
∴C
' (2×3,2×2)，即
，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
6．利用六张编号为1，2，3，4，5，6 的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一
结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抽中的扑克牌编号是3 的概率
B．抽中的扑克牌编号是3 的倍数的概率
C．抽中的扑克牌编号大于3 的概率
D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率
【答案】B
【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可．
【解析】A、抽中的扑克牌编号是3 的概率为1
6 ≈16.67 %，不符合试验的结果；
B、抽中的扑克牌编号是3 的倍数的概率1
3 ≈33.33 %，基本符合试验的结果；
C、抽中的扑克牌编号大于3 的概率为1
2 =50 %，不符合试验的结果；
D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率1
2 =50 %，不符合试验的结果．
故选：B．
【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定
值即为概率．
7．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷口B流
出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形
CGHD．同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH =12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、
D、
三点共线．在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，不去接则
洗手液落在台面的位置距DH的水平面是（ ）
A．6√3
B．6√2
C．12√3
D．12√2
【答案】D
【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为y =a(x −6)
2+16，利用待定系数法求抛物线解
析式进而求解．
【解析】解：如图：
根据题意，得Q (9,15.5),B (6,16),OH =6，
设抛物线解析式为y =a(x −6)
2+16，
把点Q (9,15.5)代入得：a(9−6)
2+16=15.5，
解得：
，
所以抛物线解析式为y =−1
18
(x−6)
2+16=−1
18 x
2+ 2
3 x +14，
当y =0时，即−1
18 x
2+ 2
3 x +14 =0，
解得：
或6−12√2（舍去），
又OH =6，
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12√2cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准
确进行计算．
8．抛物线y =a x
2+bx +c (a>0)与x 轴交于(x1,0)，(x2,0)两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线
与x 轴交于(x3,0)，(x4,0)两点，下列说法正确的是（ ）
A．x1+ x2> x3+ x4
B．x1+ x2< x3+ x4
C．x1+ x2= x3+ x4
D．x1−x2= x3−x4
【答案】C
【分析】根据抛物线上下平移，对称轴不变，结合一元二次方程根与系数的关系可得结论．
【解析】解：∵抛物线y =a x
2+bx +c (a>0)与x 轴交于(x1,0)，(x2,0)两点，
∴当y =0时，a x
2+bx +c =0，此时，x1+ x2=−b
2a，
将抛物线y =a x
2+bx +c (a>0)向上平移，对称轴不变，即为x =−b
2a，
故有，x3+ x4=−b
2a，
∴x1+ x2= x3+ x4
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9．已知抛物线y =a x
2+bx +c（a，b，c 都是常数，且a≠0）开口向上且过点A (−1,0)，B (m,0)（
1<m<2），小明得出下列结论：①b>0；②若(−1, y1)和(1, y2)都在抛物线上，则y1> y2；③
2a+c>0；④若方程a(x−m)(x +1)+ 4 =0没有实数根，则b
2−4 ac<16a．其中正确结论的个数是
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其
函数值越大，即可判断②，将方程转化为a x
2+bx +c + 4 =0无实根，根据一元二次方程根的判别式即
可求解．
【解析】解：∵抛物线y =a x
2+bx +c（a，b，c 都是常数，且a≠0）开口向上且过点A (−1,0)，
B (m,0)（1<m<2），
∴对称轴为直线x = m−1
2
，a>0，
又对称轴为x =−b
2a，
∴b
a =1−m，
∵1<m<2，
∴1−m<0，
，
∴b=(1−m)a<0，
故①不正确，
②∵对称轴为直线x = m−1
2
，1<m<2，
∵1−m−1
2
= 3−m
2
<1，m−1
2
−(−1)= m+1
2
>1，
(−1, y1)和(1, y2)都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
y1> y2，
故②正确，
∵对称轴为直线x = m−1
2
，1<m<2，
∴0< m−1
2
< 1
2，
，
∴a>−b>0，
由抛物线过点A (−1,0)，则a−b+c =0，
∴a−b+c<a+a+c =2a+c，
∴2a+c>0，
故③正确，
∵抛物线y =a x
2+bx +c（a，b，c 都是常数，且a≠0）开口向上且过点A (−1,0)，B (m,0)（1<m<2
），
设抛物线y =a x
2+bx +c的解析式为y =a(x−m)(x +1)，
若方程a(x−m)(x +1)+ 4 =0没有实数根，
即a x
2+bx +c + 4 =0无实根，
∴Δ=b
2−4 a(c + 4)=b
2−4 ac−16a<0，
即b
2−4 ac<16a．故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质
是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB =9，BC =12，E 为边BC的中点，F 为边AB上一点，连接EF，
△BEF与△GEF关于EF对称，延长EG，FG分别交边AD，CD于点H ，I．若
，则
DI为（ ）．
A．3
4
B．4
5
C．1
D．4
3
【答案】C
【分析】如图：连接
，由对称的性质可得∠FGE =∠B =90°，∠GEF =∠FEB，BE = EG，
BF = FG；再证△AFH ≅△GFH (AAS)，可得AF = FG= BF，进而得到BF = 1
2 AB = 9
2，由点E 是中
点，得EG = BE = EC = 1
2 BC =6，然后可证明△EGI ≌△ECI，则有∠GEI =∠CEI，可得
∠FEI =90°；再证△BFE∼△CEI，由相似的性质可求得IC的长，进而可得DI．
【解析】解：如图：连接
，
∵△BEF与△GEF关于EF对称，
∴∠FGE =∠B =90°，∠GEF =∠FEB，BE = EG，BF = FG，
又∵
，
∴∠HFG =∠GEF，
∴∠HFG+∠FHG =∠GEF +∠FHG，即∠HGF =∠HFE =90°，
∵∠A =∠B =90°，
∴∠AFH +∠BFE =90°,∠BEF +∠BFE =90°，
∴∠AFH =∠BEF =∠HFG，
在△AFH和△GFH中，
{
∠HAF =∠HGF
∠HFA =∠HFG
FH = FH
，
∴△AFH ≅△GFH (AAS)，
∴AF = FG= BF，
∴F 为边AB的中点，即BF = 1
2 AB = 9
2，
∵E 为边BC的中点，
∴BE = EC = 1
2 BC =6，
∴EG = BE = EC = 1
2 BC =6，
∵∠IGE =∠C =90°，IE = IE，
∴△EGI ≌△ECI (HL)，
∴∠GEI =∠CEI，
∴
，
∴∠FEI =90°；
∵∠FEB+∠CEI =∠CEI +∠CIE =90°，
∴∠FEB =∠CIE，
∴Rt△BFE∼Rt△CEI，
∴IC
BE = CE
BF ，
∴IC = BE⋅CE
BF
= 6×6
9
2
=8
，
∴DI =CD−IC =9−8=1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
二、填空题
11．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要使△ABP∽△ACB，还需添加条件： ．（填写一个
即可）
【答案】∠ABP=∠C 或∠APB=∠ABC 或AP
AB = AB
AC （填一个即可）
【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进而分析即可解决问题．
【解析】解：在△ABP 和△ACB 中，
∵∠A=∠A，
∴∠ABP=∠C 或∠APB=∠ABC 或AP
AB = AB
AC 时，△ABP∽△ACB.
故答案为：∠ABP=∠C 或∠APB=∠ABC 或AP
AB = AB
AC ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是记住相似三角形的判定方法．
12．从3 名男生和2 名女生中任选1 名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是
．
【答案】2
5/0.4
【分析】根据概率计算公式求解即可．
【解析】解：∵一共有3 名男生，2 名女生，每位学生被选取的概率相同，
∴从3 名男生和2 名女生中任选1 名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是2
5，
故答案为：2
5．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
13．如图，AD∥BE∥CF，如果AB =6，
，DF =12，则EF的长为 ．
【答案】4.8
【分析】由AD∥BE∥CF可得成比例线段，代入数据可求得EF．
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，
∴BC
AC = EF
DF ，
∵AB =6，
，DF =12，
∴4
10 = EF
12 ，
解得：EF = 4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线得出成比例线段是解本题的关键．
14．二次函数y =a x
2+bx +c的部分对应值列表如下：
x
…
−3
0
1
3
5
…
y
…
7
−8
−9
−5
7
…
则一元二次方程a(2 x−1)
2+b(2 x−1)+c =7的解为 ．
【答案】x1=−1, x2=3
【分析】利用x =−3时，y =7；x =5时，y =7得到二方程一元二次方程a x
2+bx +c =7的两根为
x1=−3, x2=5，由于把一元二次方程a(2 x−1)
2+b(2 x−1)+c =7可看作关于(2 x−1)的一元二次方
程，则2 x−1=−3或
，然后解一次方程即可．
【解析】解：对于二次函数y =a x
2+bx +c，
∵x =−3时，y =7；x =5时，y =7，
即方程一元二次方程a x
2+bx +c =7的两根为x1=−3, x2=5，
把一元二次方程a(2 x −1)
2+b(2 x −1)+c =7看作关于(2 x−1)的一元二次方程，
∴2 x−1=−3或
，
解得x1=−1, x2=3．
故答案为：x1=−1, x2=3．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与y =7的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函
数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
15．已知二次函数y = x
2−3 x +1，当m≤x ≤1时，函数有最大值4−m，则m= ．
【答案】
【分析】根据二次函数y = x
2−3 x +1的图象开口向上，对称轴为直线x = 3
2，可知当m≤x ≤1时，y随
x的增大而减小，所以当
时，函数有最大值4−m，可得m
2−3m+1= 4−m，即可求出答案．
【解析】∵二次函数y = x
2−3 x +1的图象开口向上，对称轴为直线x = 3
2，
∴当m≤x ≤1时，y随x的增大而减小，
∴当
时，函数有最大值4−m，
∴m
2−3m+1= 4−m，
解得m=−1或3，
∵m<1，
∴m=−1．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性以及二次函数的最值，熟练运用二
次函数的图象和性质是解题的关键．
16．如图，在抛物线y =a x
2−4（a >0）上有两点P、Q，点P 的坐标为（4m，y1），点Q 的坐标为
（m，y2）（m>0），点M 在y 轴上，M 的坐标为（0，−1）．
（1）用含a、m 的代数式表示|y1−y2|= ．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM 与直线QM 关于直线y=−1对称时，|y1−y2|为定值d，
则d= ．
【答案】 15am2 45
4
【分析】（1）把P、Q 的坐标分别代入y＝ax2
4
﹣，求得y1＝16am2
4
﹣，y2＝am2
4
﹣，即可得到|y1﹣
y2|＝15m2a．
（2）根据待定系数法求得直线PM 的解析式，然后半轴x＝m 代入求得对应的函数值，直线PM 与直
线QM 关于直线y＝﹣1 对称，即可得出16am
2−7
4
+（am2
4
﹣）＝2×（﹣1），解得am2＝3
4 ，由
（1）可知，|y1﹣y2|＝15m2a，即可得出d＝45
4 ．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2
4
﹣（a＞0）上有两点P、Q，点P 的坐标为（4m，y1），点Q 的
坐标为（m，y2）（m＞0），
∴y1＝16am2
4
﹣，y2＝am2
4
﹣，
∴|y1﹣y2|＝|15m2a|，
∵a＞0，m＞0，
∴|y1﹣y2|＝15m2a．
故答案为：15m2a．
（2）设直线PM 的解析式为y＝kx+b，
∵点P 的坐标为（4m，16am2
4
﹣），M（0，﹣1），
∴{
4 mk +b=16am
2−4
b=−1
，
解得{
k = 16am
2−3
4 m
b=−1
，
∴直线PM 为y＝16am
2−3
4 m
x
1
﹣，
当x＝m 时，y＝16am
2−3
4 m
•m
1
﹣＝16am
2−7
4
，
∵直线PM 与直线QM 关于直线y＝﹣1 对称，
∴16am
2−7
4
+（am2
4
﹣）＝2×（﹣1），
∴am2＝3
4 ，
∵|y1﹣y2|为定值d，|y1﹣y2|＝15m2a，
∴d＝45
4 ，
故答案为：45
4 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解
析式，轴对称的性质，根据题意得到关于am2的方程是解题的关键．
三、解答题
17．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF 的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB 的长．
【答案】（1）8；（2）10
【分析】（1）由l1//l2//l3，可得AB
BC = DE
EF ,再代入数据即可得到结论；
（2）由l1//l2//l3，可得AB
BC = DE
EF ,可得AB
BC = 2
3 , 结合AC = AB+ BC =25，从而可得答案.
【解析】解（1）∵l1//l2//l3，
∴AB
BC = DE
EF ,
∵AB＝3，BC＝6，DE＝4，
∴3
6 = 4
EF ,
∴EF =8, 经检验：符合题意；
（2）∵l1//l2//l3，
∴AB
BC = DE
EF ,而DE：EF＝2：3，
∴AB
BC = 2
3 ,
∴AC = AB+ BC =25,
∴AB = 2
5 ×25=10.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比
例”是解题的关键.
18．为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，某校开设了“烹饪、园艺、缝
纫”3 门劳动课程，每位同学任意选修其中的1 门课程的代号和名称如下表所示：
课程代
号
A
B
C
课程名
称
烹饪
园艺
缝纫
(1)用恰当的方法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果（用A，B，C 表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一门课程的概率．
【答案】(1)列表见解析
(2)
【分析】（1）利用列举法表示甲与乙两位同学选课的所有可能的结果即可；
（2）根据（1）的可知，甲与乙两位同学选课的结果共有9 种．甲与乙两位同学恰好选择同一门课
的结果有3 种，再利用概率公式进行计算即可．
【解析】（1）解：列表如下：
乙
甲
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA BB BC
C
CA CB
∴甲与乙两位同学选课的结果共有9 种．
（2）解：由（1）得，
甲与乙两位同学选课的结果共有9 种．甲与乙两位同学恰好选择同一门课的结果有3 种，
∴甲与乙两位同学恰好选择同一门课的概率P = 3
9 = 1
3．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率
的方法和概率公式是解题的关键．
19．如图，抛物线y1=a x
2−2 x +c与x 轴交于A(−1，0)和B(3，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点A 的直线y2=mx +n与抛物线在第一象限交于点D，若点D 的纵坐标为5，请直接写出当
y2< y1时，x 的取值范围是________．
【答案】(1)y1= x
2−2 x−3；
(2)x>4或x<−1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点D 的坐标，再根据图象即可求得．
【解析】（1）解：把A(−1，0)和B(3，0)代入y1=a x
2−2 x +c，
得{
a+2+c =0
9a−6+c =0，
∴{
a=1
c =−3，
∴y1= x
2−2 x−3；
（2）解：当y =5时，则5= x
2−2 x−3，
解得x1=−2，x2= 4，
∵点D 在第一象限，
∴D (4，5)，
当x>4或x<−1时，直线y2=mx +n在抛物线y1= x
2−2 x−3的下方，
∴当y2< y1时，x 的取值范围是x>4或x<−1．
故答案为：x>4或x<−1．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及函数与不等式的关系，数形结合是解题
关键．
20．如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG平分∠BAC，交DE，BC于点F，G，且
AD⋅AC = AE⋅AB
(1)求证：△ADE∼△ABC；
(2)若△ADE与△ABC的周长之比是1:2，AG =5，求
的值．
【答案】(1)见解析；
(2)AF = 5
2．
【分析】（1）依据相似三角形的判定定理进行判定即可；
（2）结合（1）得到∠AED =∠ACB，AE
AC = C△ADE
C△ABC
= 1
2，易证△AEF ∼△ACG，得到AF
AG = AE
AC ，
将AG=5代入即可求解．
【解析】（1）证明：∵AD⋅AC = AE⋅AB，
∴AD
AB = AE
AC ，
∴△ADE∼△ABC；
（2）∵AG平分∠BAC，
∴∠EAF =∠CAG，
由（1）可知△ADE∼△ABC，
∴∠AED =∠ACB，AE
AC = C△ADE
C△ABC
= 1
2，
即∠AEF =∠ACG，
∴△AEF ∼△ACG，
∴AF
AG = AE
AC = 1
2，
∵AG=5，
∴AF = 1
2 AG = 5
2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用；解题的关键是证明三角形相似．
21．某超市以20 元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40 天里，设第x天的销售单价
为y元/千克，y与x满足如下关系：y ={
30(1≤x ≤15, x 为整数)
−2
5 x +38(16≤x ≤40, x 为整数)，
(1)第几天时销售单价为24 元/千克？
(2)如图，设第x天的销售量为m千克，m与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第x天销
售该绿色食品获得的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是
多少？
【答案】(1)第35 天销售单价为24 元/千克；
(2)w ={
50 x +250(1≤x ≤15)
−2 x
2+80 x + 450(16≤x ≤40)，第20 天的利润最大，最大利润是1250 元
【分析】（1）把y =24代入y =−2
5 x +38，解方程即可求得；
（2）根据图象求得m与x之间的关系，然后根据利润等于售价减去成本价，然后整理即可得到w 与x
的关系式，根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答即可求出最大利润．
【解析】（1）解：由题意知−2
5 x +38=24，
解得：
，
第35 天销售单价为24 元/千克；
（2）当1≤x ≤40时，设m=kx +b，
把点(1,30),(40,225)代入得，
{
k +b=30
40k +b=225
解得{
k =5
b=25
m=5 x +25，
由题意可知：当1≤x ≤15时，
w =(30−20)×(5 x +25)=50 x +250，
当x =15时，w =50×15+250=1000，w 取得最大值1000 元；
当16≤x ≤40时，
w =(−2
5 x +38−20)×(5 x +25)=−2 x
2+80 x + 450=−2( x−20)
2+1250，
当x =20时，w =1250，w 取得最大值1250 元；
综上可得：w ={
50 x +250(1≤x ≤15)
−2 x
2+80 x + 450(16≤x ≤40)，
第20 天的利润最大，最大利润是1250 元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，
利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
22．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”
为d (P ,Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．二次函数y = x
2−3 x + 4的图象如图所示．
(1)点A 为图象与y 轴的交点，点B (−1,b)在该二次函数的图象上，求d ( A ,B)的值．
(2)点C 是二次函数y = x
2−3 x + 4 (x ≥0)图象上的一点，记点C 的横坐标为m．
①求d (O ,C)的最小值及对应的点C 的坐标．
②当t ≤m≤t +1时，d (O ,C)的最大值为p，最小值为q，若p−q = 3
4 ，求t 的值．
【答案】(1)5
(2)①（1，2）②t =1−√3
2 或t = √3
2
【分析】（1）分别求出A、B 的坐标，然后根据直角距离的定义求解即可；
（2）①先求出点C 的坐标为（m，m
2−3m+ 4），则d (O ,C)=(m−1)
2+3，由此求解即可；②分类
讨论当0<t ≤1
2时， 当1
2 <t ≤1时， 当
时，三种情况分别求解即可．
【解析】（1）解：∵点A 是二次函数y = x
2−3 x + 4与y 轴的交点，
∴点A 的坐标为（0，4），
∵点B（-1，b）在二次函数y = x
2−3 x + 4的函数图象上，
∴b=(−1)
2−3×(−1)+ 4 =8，
∴点B 的坐标为（-1，8），
∴d ( A ,B)=|−1−0|+|8−4|=5；
（2）解：①令x=m，则y =m
2−3m+ 4，
∴点C 的坐标为（m，m
2−3m+ 4），
∴d (O ,C )=|m−0|+|m
2−3m+ 4−0|，
∵m≥0，m
2−3m+ 4 =(m−3
2)
2
+ 7
4 ≥7
4 ，
∴d (O ,C)=m+m
2−3m+ 4 =(m−1)
2+3，
∴当m=1 时，d (O ,C)有最小值，最小值为3，此时点C 的坐标为（1，2）；
②∵d (O ,C)=(m−1)
2+3，
∴当0≤m<1时，d (O ,C)随m 的增大而减小，当m≥1时，d (O ,C)随m 的增大而增大，
把m=t代入到d (O ,C)=(m−1)
2+3中得，d (O ,C)=(t −1)
2+3
把m=t +1代入到d (O ,C)=(m−1)
2+3中得，d (O ,C)=t
2+3，
当t +1−1=1−t时，解得t = 1
2，
当0<t ≤1
2时， d (O ,C)的最小值q =3，最大值p=(t −1)
2+3
∵p−q = 3
4 ，
∴(t −1)
2= 3
4 ，
解得t =1−√3
2 或t =1+ √3
2 （舍去）；
当1
2 <t ≤1时， d (O ,C)的最小值q =3，最大值p=t
2+3
∵p−q = 3
4 ，
∴t = 3
4 ，
解得t = √3
2 或t =−√3
2 （舍去）；
当
时， d (O ,C)的最小值q =(t −1)
2+3，最大值p=t
2+3
∵p−q = 3
4 ，
∴t
2−(t −1)
2= 3
4 ，
解得t = 7
8（舍去）；
综上所述，t =1−√3
2 或t = √3
2 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质．
23．如图，二次函数y =−1
2 x
2+bx +c图像交x 轴于点A，B（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,3)，
CD⊥y轴，交抛物线于另一点D，且
，P 为抛物线上一点，PE∥y轴，与x 轴交于E，与BC，
CD分别交于点F，G．
(1)求二次函数解析式．
(2)当P 在CD上方时，是否存在点P，使得以C，P，G 为顶点的三角形与△FBE相似，若存在，求
出△CPG与△FBE的相似比，若不存在，说明理由．
(3)点D 关于直线PC的对称点为D
'，当点D
'落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的横坐标为______．
【答案】(1)
；
(2)△CPG与△FBE的相似比为2 或2
5；
(3)P 点横坐标5+ 2√3
3
或5−2√3
3
．
【分析】（1）先根据C 点坐标，得到c =3，再根据对称轴x = 5
2，得到
，即可求出二次函数解
析式；
（2）令y =0，求出A、B 两点坐标，①当△CPG∽△BFE时，根据△BEF ∽△BOC，得到BE
EF =2，
设P 点坐标为(m，−1
2 m
2+ 5
2 m+3)，则CG =m，PG =−1
2 m
2+ 5
2 m，再根据△CPG∽△BFE，得
到CG
PG = BE
EF =2，求出m= 4，得到点P(4,5)，即可得到△CPG与△FBE的相似比；②若
△PCG∽△BFE，同理可求m=1，得到P(1,5)，即可得到△CPG与△FBE的相似比；
（3）连接C D
'，连接D D
'交CP于点H，设点P(a,−1
2 a
2+ 5
2 a+3)，D
'(
5
2 ,n)，利用直线CP的解析
式可以得到用a表示n的式子，再利用勾股定理列出关于a的方程，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵C (0，3)，
，
∵CD =5，
∴对称轴x = 5
2，
∴−b
2a =−
b
2×(−1
2)
= 5
2，
，
即
；
（2）解：
时，−1
2 x
2+ 5
2 x +3=0，
解得：x1=6，x2=−1，
∵A 在B 的左侧，
∴A (−1,0)，B (6,0)，
∴OA =1，OB =6，
①当△CPG∽△BFE时，
∵PE∥y轴，
∴△BEF ∽△BOC，
∴BE
BO = EF
OC ，
∴BE⋅OC = EF ⋅BO，
∴BE
EF = BO
OC = 6
3 =2，
设P 点坐标为(m，−1
2 m
2+ 5
2 m+3)，则CG =m，PG =−1
2 m
2+ 5
2 m+3−3=−1
2 m
2+ 5
2 m，
∵△CPG∽△BFE，
∴PG
EF = CG
BE ，
∴CG
PG = BE
EF =2，
∴
m
−1
2 m
2+ 5
2 m
=2
，
∴m= 4或m=0（舍），
∴P(4,5)，
∴CG = 4，PG =2，
∴BE =OB−OE =OB−CG =6−4 =2，
∴△CPG与△FBE的相似比= CG
BE = 4
2 =2；
②若△PCG∽△BFE，
∴△BEF ∽△BOC，
∴BE
EF = BO
OC = 6
3 =2，
设P 点坐标为(m，−1
2 m
2+ 5
2 m+3)，PG =−1
2 m
2+ 5
2 m，CG =m，
∵△PCG∽△BFE，
∴PG
BE = CG
EF ，
∴PG
CG = BE
EF =2，
∴
−1
2 m
2+ 5
2 m
m
=2，
∴m=1或m=0（舍），
∴P(1,5)，
∴CG =1，PG =2，
∴BE =OB−OE =5，
∴△CPG与△FBE的相似比= PG
BE = 2
5；
（3）解：连接C D
'，连接D D
'交CP于点H，
∵点D 和点D
'关于直线PC对称，
∴PC垂直平分D D
'，
∴C D
' =CD =5，
设点P(a,−1
2 a
2+ 5
2 a+3)，D
'(
5
2 ,n)，直线CP的解析式为
，
∴{
3=b
−1
2 a
2+ 5
2 a+3=ak +b，解得：{
k =−1
2 a+ 5
2
b=3
，
∴直线CP的解析式为y =(−1
2 a+ 5
2)x +3，
∵H为D D
'的中点，D (5,3)，
∴H(
15
4 , 3+n
2 )，
∴3+n
2
=(−1
2 a+ 5
2)× 15
4 +3，
∴n= 87−15a
4
，
设CD交抛物线对称轴于点M，
∴D
' M =n−3= 75−15a
4
，
∵C M
2+ D
' M
2=C D
' 2，
∴(
5
2)
2
+(
75−15a
4
)
2
=5
2，
解得：a=5± 2√3
3
，
∴点P 的横坐标为5+ 2√3
3
或5−2√3
3
，
故答案为：5+ 2√3
3
或5−2√3
3
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像性质，一次函数
图像性质，图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质轴对称图形的性质等知识，利用点的坐
标表示出相应的线段长度是解题关键．
