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第3 讲 力的合成与分解
学习目标
1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2. 能利用效果分解法和正交分解等方法计算分力。
3. 能够分辨出死结与活结、定杆与动杆模型并掌握其特点。
知识梳理
一、力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的 跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的
合力，原来那几个力叫做分力。
(2)关系：合力和分力是 的关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的 交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为 作平行四
边形，这两个邻边之间的 就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量 ，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)运算法则： 定则或 定则。
(3)分解方法：①按照 分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从 定则。
2．标量：只有大小没有方向的量，运算时按 相加减。
考点一 力的合成
1、合力范围的确定
（1）两个共点力的合力大小的范围：
。
①最大值：当两个力同向时，合力最大，为
。
②最小值：当两个力反向时，合力最小，为
。
（2）三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为
。
②最小值：如果任意两个力大小之和大于第三个力，则三个力的合力最小值为零，否则合力最小值就等于
最大的力减去另外两个力的代数和。
2、力的合成方法
（1）作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作
平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一分力的
夹角确定合力的方向。
（2）计算法：根据余弦定理，合的大小
；如图所示，合力的方向满足
。
考向1 合力与分力的关系
【例题】 (多选)下列有关合力和分力的关系说法正确的是( )
A．两个力的合力一定大于这两个力中的任意一个
B．两个分力大小一定，夹角越大，合力越小
C．合力及其分力同时作用于同一物体上
D．两个力的合力可以等于这两个力中的任意一个
规律方法 合力和分力的关系
1、两个分力大小一定时，夹角θ 越大，合力越小。
2、合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
3、合力可以大于分力、等于分力，也可以小于分力。
【变式1-1】三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F 的大小，下列说法正确的是( )
A．F 大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F 至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0
考向2 用作图法求合力
【例题】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则
下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
考向3 计算法求合力
【例题】 如图所示，一个“Y”字形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条均匀且弹性良好，其自由长度
均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片可将弹丸发射出去。若橡皮条的弹力满足胡
克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则弹丸被发射过程中所
受的最大弹力为( )
A.
B．
C．kL
D．2kL
方法总结 几种特殊情况的共点力的合成方法
类 型
作 图
合力的计算
①互相垂直
F＝
tan θ＝
②两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F 与F1夹角为
③两力等大且夹角120°
合力与分力等大
【变式1-1】为了把陷在泥坑里的汽车拉出来，司机用一条结实的绳子把汽车拴在一棵大树上，开始时车
与树相距12 m，然后在绳的中点用400 N 的水平力F 沿垂直绳的方向拉绳，结果中点被拉过0.6 m，如图
所示(俯视图)，假设绳子的伸长不计，则汽车受到的拉力为( )
A．200 N B．400 N C．2 000 N
D．800 N
【变式1-2】表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d 等为网绳的结点，安
全网水平张紧后，质量为m 的运动员从高处落下，恰好落在O 点上．该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg
夹角均为120°，如图乙所示，此时O 点受到向下的冲击力大小为4F，重力加速度为g，则这时O 点周围
每根网绳承受的张力大小为( )
A. F
B. 2F
C. 4F＋mg
D.
考点二 力的分解
1.力的分解常用的方法
(1)按照解决问题需要分解
①F1使物体沿水平面前进，F2竖直向上提起物体。F1＝Fcosα，F2＝Fsinα。
②F1使球挤压竖直墙面，F2使球拉紧悬线。
，
。
②F1使AB 被拉伸，F2使BC 被压缩。
，
。
(2)正交分解法
①建系原则:一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力
在坐标轴上);在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤:把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x 轴、y 轴上。
x 轴上的合力:Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力:Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小:F＝❑√F x
2＋F y
2(如图所示)
合力方向:若F 与x 轴夹角为θ，则tan θ＝F y
F x
。
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按问题需要进行分解，若这三个力中，有两个力互
相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
3.力的分解中定解条件的讨论
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的
方向
有唯一解
已知合力与一个分力的
大小和方向
有唯一解
已知合力与一个分力的
大小及另一个分力的方
向
在0<θ<90°时有三种情况
①当F1=Fsin θ 或F1≥F 时，有一组解；
②当F1<Fsin θ 时，无解；
③Fsin θ<F1<F 时，有两组解
若90°<θ<180°，仅F1>F 时有一组解，其余情况
无解
考向1 按照研究问题需要分解
【例题】如图是扩张机的原理示意图，A、B 为活动铰链，C 为固定铰链，在A 处作用一水平力F，滑块E
就以比F 大得多的压力向上顶物体D。已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，滑块E 与左壁接触，
接触面光滑，则D 受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)( )
A．3 000 N
B．2 000 N
C．1 000 N
D．500 N
【变式2-1】明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧
见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假
设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推
力FN，则( )
A. 若F 一定，θ 大时FN大
B. 若F 一定，θ 小时FN大
C. 若θ 一定，F 小时FN大
D. 若θ 一定，F 大时FN小
【变式2-2】(2023·浙江6 月选考)如图所示，水平面上固定两个平行的半圆柱体，重力为G 的光滑圆柱
体静置其上，a、b 为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob 与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为( )
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C.Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
【变式2-3】(多选)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将
汽车顶起.当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下
列判断正确的是( )
A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N
C.若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
考向2 力的正交分解法
【例题】科学地佩戴口罩，对于呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图为一
侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD 和直线DE 组成的。假若口罩带可认为是
一段劲度系数为k 的弹性轻绳(遵循胡克定律)，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB 段与水平方
向的夹角为37°，DE 段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则耳朵受到口罩带的作用力为( )
A．kx，方向与水平向右成45°角
B．kx，方向与水平向左成45°角
C．kx，方向与水平向左成45°角
D．2kx，方向与水平向右成45°角
【变式3-1】(2023·广东卷)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面
可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和
磁力F 的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是( )
A．Ff＝G
B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ
D．F＝G sin θ
【变式3-2】表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d 等为网绳的结点，安
全网水平张紧后，质量为m 的运动员从高处落下，恰好落在O 点上．该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg
夹角均为120°，如图乙所示，此时O 点受到向下的冲击力大小为4F，重力加速度为g，则这时O 点周围
每根网绳承受的张力大小为( )
A. F
B. 2F
C. 4F＋mg
D.
【变式3-3】(2024·河北卷，5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg 的光滑均匀球
体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧
测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g 取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为( )
A.
❑√3
3 N
B.1.0 N
C.2❑√3
3 N
D.2.0 N
考向3 力分解中的定解条件的讨论
【例题】(多选)已知力F，且它的一个分力F1跟F 成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向
未知，则F1的大小可能是( )
A．
B．
C．
D．F
【变式4-1】将F＝40 N 的力分解为F1和F2，其中F1的方向与F 的夹角为30°，如图所示，则( )
A．当F2<20 N 时，一个F2有一个F1的值相对应
B．当F2＝20 N 时，F1的值是20 N
C．当F2>40 N 时，一个F2就有两个F1的值与它相对应
D．当10 N<F2<20 N 时，一个F2就有两个F1的值与它相对应
考点三 死结与活结、定杆与动杆
1.“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根
独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2.“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上
挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段
绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
考向1 活结与死结
【例题】 如图所示，水平直杆OP 右端固定于竖直墙上的O 点，长为L＝2 m 的轻绳一端固定于直杆P 点，
另一端固定于墙上O 点正下方的Q 点，OP 长为d＝1.2 m，重为8 N 的钩码用质量不计的光滑挂钩挂在轻绳
上且处于静止状态，则轻绳的弹力大小为( )
A．10 N
B．8 N
C．6 N
D．5 N
【变式5-1】如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一
重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从B 点沿支架缓慢地向C 点靠近。则绳中拉力大小
变化的情况是( )
A．先变小后变大
B．先变小后不变
C．先变大后不变
D．先变大后变小
【变式5-2】(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖
直杆 M、N 上的
a、b 两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态，衣服及衣架钩总质量为m，重力加速度
为g，如果绳长为l，两杆间距为d，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力大小为
B．增大两杆间距，绳的拉力不变
C．绳子的b 端缓慢上移到b′的过程中，绳子的拉力不变
D．绳子的b 端缓慢上移到b′的过程中，两绳拉力的合力不变
【变式5-3】（2020·全国）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处；绳的一端
固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O 点两侧绳与
竖直方向的夹角分别为α 和β。若α=70°，则β 等于（ ）
A．45° B．55° C．60° D．70°
考向2 定杆与动杆
1.动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起
杆的转动.如图甲所示，若C 为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向.
2.定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向.如图乙所示.
【例题】 (多选)图甲中轻杆OA 的A 端固定在竖直墙壁上，另一端O 光滑，一端固定在竖直墙壁B 点的细
线跨过O 端系一质量为m 的重物，OB 水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一
端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m 的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，下列说法正
确的是( )
A.图甲轻杆中弹力大小为mg
B．图乙轻杆中弹力大小为mg
C．图甲中轻杆中弹力与细线OB 中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D．图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆
规律方法 绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
1、无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
2、如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即
“定杆”。
【变式6-1】(多选)甲图中，水平轻杆AB 一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆
之间夹角为37°，在B 点下方悬挂质量为m 的重物。乙图中，轻杆CD 一端插入竖直墙内，另一端装有小
滑轮，现用水平轻绳绕过滑轮挂住质量为m 的重物，绳、杆之间夹角也为37°。两图中重物都静止，则下
列说法中正确的是( )
A．与轻杆AB 连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂
C．轻杆CD 上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
D．两根杆中弹力方向均沿杆方向
【变式6-2】如图所示的装置，杆QO 沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP 用铰链固定于O
点且可绕O 点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球1、2 并系于P 点，其中拴接小球1 的轻
绳跨过定滑轮，已知O 点到滑轮顶端Q 的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为α＝120°，则m1∶m2
为( )
A．1∶2
B．∶2
C．1∶1
D．∶1
【变式6-3】如图甲所示的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB 固定于平台上且不可转动，其B 端固
定一光滑定滑轮；轻杆CD 用铰链连接于平台上，可绕C 端自由转动，其D 端连接两条轻绳，一条轻绳绕过
滑轮后悬挂一质量为m 的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O 上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某
次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一
竖直面内，OD 绳沿竖直方向，γ＝37°，θ＝90°，重力加速度大小为g，则( )
A．α 一定等于β
B．AB 杆受到绳子的作用力大小为mg
C．CD 杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB 的角平分线方向，大小为mg
D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB 杆受到绳子的作用力将逐渐增大
跟踪训练-考点拓展
1．水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮
后悬挂一重为100 N 的重物，CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为( )
A．100 N B．86.6 N C．50 N D．20 N
2．如图所示，在水平天花板的A 点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。
另一根细线上端固定在该天花板的B 点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G 的物体，BO 段细线与天花
板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是( )
A．细线BO 对天花板的拉力大小是
B．a 杆对滑轮的作用力大小是
C．a 杆和细线对滑轮的合力大小是G
D．a 杆对滑轮的作用力大小是G
3．(多选)如图所示，重物A 被绕过小滑轮P 的细线所悬挂，重物B 放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P 被一
根斜拉短线系于天花板上的O 点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B 物体，cO′沿竖直方向拉着弹
簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态，g＝10
m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP 的张力是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A 的质量为2 kg
C．桌面对B 物体的摩擦力为10 N
D．OP 与竖直方向的夹角为60°
4.甲图中，轻杆AB 一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B 点下
方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD 一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量
为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲乙两图中杆中弹力之比 1：❑√3
B．甲图中杆的弹力更大
C．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂
5.(2024·浙江1 月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B 上系有不可伸长的细线a、b、c 和d，
其中a 的上端悬挂于竖直固定的支架上，d 跨过左侧定滑轮、c 跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q 相
连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B 和配重P、Q 质量均为50 g，细线c、d 平行且
与水平方向成θ＝30°角(不计摩擦)，则细线a、b 的拉力分别为( )
A．2 N，1 N
B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N
D．1 N，0.5 N
