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阶段复习(二) 力与曲线运动
知识网络
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规范训练
规范答题
答案 (1)904 N (2)1.8 m
解析 (1)运动员由A 到B 做斜抛运动，则运动员由A 到B 水平方向上做匀速直线运动，
即vB＝vAcos α
运动员在A 点时，设单杠对人的作用力为FT，
根据牛顿第二定律FT－mgcos α＝mv A
2
d
联立解得FT≈1 807 N
则运动员重心在A 点时单杠对每只手的拉力大小为F＝FT
2
解得F≈904 N
(2)运动员在A 点时竖直方向的分速度为
vAy＝vBtan α＝5 m/s
运动员由A 点到C 点在竖直方向上做竖直上抛运动，取竖直向上的方向为正方向，
则－h＝vAyt－1
2gt2
解得t＝1.2 s
运动员在水平方向上做匀速直线运动，
3
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则L＝vBt＝1.8 m
阶段复习练(二)
(分值：100 分)
一、单项选择题：每小题4 分，共28 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·山东省调研)关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A.在变力作用下，物体不可能做曲线运动
B.做曲线运动的物体，相等时间内速度的变化量可能相同
C.做曲线运动的物体，受到的合外力一定在不断改变
D.只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
答案 B
解析 在变力作用下，物体也可能做曲线运动，例如匀速圆周运动，选项A 错误；做曲线运动的物体，相等
时间内速度的变化量可能相同，例如平抛运动，选项B 正确；做曲线运动的物体，受到的合外力不一定在不
断改变，例如平抛运动，选项C 错误；只有当物体做匀速圆周运动时，它所受的合外力才指向圆心，选项D
错误。
2.(2023·全国甲卷·14)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A.机械能一直增加
B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变
D.被推出后瞬间动能最大
答案 B
解析 铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A 错误；铅球的加速度恒为重力加速度，保持不变，B
正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动的合成可
知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D 错误。
3.甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平
方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度
大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度大小v1与乒乓球击打乙的球拍的速度大小v2的比值
为( )
A.√6
3
B.√2
C.√2
2
D.√3
3
答案 C
4
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解析 将乒乓球击打球拍的速度沿水平方向和竖直方向分解，则两次击打球拍水平方向分速度相等，即v1sin
45°＝v2sin 30°，解得v1
v2
＝√2
2 ，选项C 正确。
4.(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引
力具有相同的性质、且都满足F∝Mm
r
2 。已知地月之间的距离r 大约是地球半径的60 倍，地球表面的重力加
速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A.30π√
r
g
B.30π√
g
r
C.120π√
r
g
D.120π√
g
r
答案 C
解析 设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg=G M 地m
R
2
，月球绕地球公转有G
M 地m月
r
2
=m 月4 π
2
T
2 r，r=60R，联立解得T=120π√
r
g
，故选C。
5.如图所示，甲同学站在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排
球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动， 恰好落回出发点。忽略空气阻力， 则排球( )
A.沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B.沿轨迹①运动的最小速度为v2
C.沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D.沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
答案 A
解析 根据题图可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点左边的运动，根据平抛规律可知h＝1
2
gt2，vx＝x
t ，轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小，竖直分速度v y
2＝2gh，轨迹①的
竖直分速度大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速度小于v2，故A
正确，B 错误；因为运动时间不同，故沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量Δv＝gΔt 不同，故C 错误；
因为两轨迹位移大小相同，但时间不同，故沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，故D 错误。
5
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6. (2025·山东德州市开学考)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A 从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，
小球击中了斜面上的P 点；将小球B 从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q 点。
不计空气阻力，重力加速度为g，小球A、B 在空中运动的时间之比为( )
A.2tan2θ∶1
B.tan2θ∶1
C.1∶2tan2θ
D.1∶tan2θ
答案 A
解析 设小球A 在空中运动的时间为t1，小球B 在空中运动的时间为t2，对小球A，由平抛运动的规律可得
tan θ＝y A
x A
＝gt1
2
2v0t1
＝gt1
2v0
，对小球B，结合几何知识，由平抛运动的规律可得tan θ＝v0
vB y
＝v0
gt2
，联立可得
t1
t2
＝2tan
2θ
1
，故选A。
7.如图所示为我国某平原地区从P 市到Q 市之间的高铁线路，线路上T1、T2、T3位置处的曲率半径分别为r、
r、2r。若列车在P 市到Q 市之间匀速率运行，列车在经过T1、T2、T3位置处与铁轨都没有发生侧向挤压，三
处铁轨平面与水平面间的夹角分别为α、β、γ。下列说法正确的是( )
A.列车依次通过3 个位置的角速度之比为1∶1∶2
B.列车依次通过3 个位置的向心加速度大小之比为1∶1∶2
C.3 个位置的tan α∶tan β∶tan γ＝2∶2∶1
D.3 个位置的内外轨道的高度差之比为1∶1∶2
答案 C
解析 根据ω＝v
r 可知，列车依次通过3 个位置的角速度之比为2∶2∶1，故A 错误；根据an＝v
2
r 可知，列车
依次通过3 个位置的向心加速度大小之比为2∶2∶1，故B 错误；根据列车在转弯处的受力分析，由牛顿第
二定律mgtan θ＝mv
2
r 可知tan θ＝v
2
gr ，tan α∶tan β∶tan γ＝2∶2∶1，故C 正确；设内外轨道间距离为L，则
有sin θ＝h
L，h 和sin θ 成正比，所以h1∶h2∶h3＝2√5
5
∶2√5
5
∶√2
2 ，故D 错误。
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二、多项选择题：每小题6 分，共18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
6 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分。
8.我国成功发射“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载
人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动，“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，“伴飞”小卫星有多种伴飞
模式，图甲和图乙是其中的两种伴飞模式，则下列说法正确的是( )
A.载人飞船的速度大小介于7.9 km/s 到11.2 km/s 之间
B.图甲的伴飞模式下，“伴飞”小卫星的线速度大小小于载人飞船的线速度大小
C.图乙模式下“伴飞”小卫星只需向后喷出气体，加速后，就可以和载人飞船对接
D.图甲和图乙这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的
答案 BD
解析 第一宇宙速度7.9 km/s 是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则载人飞船的速度小于7.9 km/s，
故A 错误；“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，可知题图甲和题图乙这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的
角速度都与载人飞船的角速度大小相等，即两种“伴飞”模式下，“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的，
根据v＝ωr，题图甲的“伴飞”模式下，由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径，则“伴
飞”小卫星的线速度大小小于载人飞船的线速度大小，故B、D 正确；题图乙模式下“伴飞”小卫星向后喷
出气体，加速后将做离心运动，变轨到更高的轨道，不可能与载人飞船对接，故C 错误。
9.(2024·山东济宁市育才中学月考)如图所示，质量均为m 的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘
一起以角速度ω 绕OO'轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为
μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速
度为g。下列说法正确的是( )
A.甲受到的摩擦力一定为μmg
B.乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C.若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D.若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
答案 BC
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解析 当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A 错误；对甲、乙整体分
析可知，乙受到转盘的摩擦力为Ff＝2mω2r1，故B 正确；若角速度增大，根据μmg＝mrω2，丙到转轴的距离
较大，则丙先达到滑动的临界点，故C 正确，D 错误。
10.(2024·山东省模拟)如图，两端开口的圆筒与水平地面成一定角度倾斜放置。OO'是圆筒的中轴线，M、N
是筒壁上的两个点，且MN∥OO'。一个可视为质点的小球自M 点正上方足够高处自由释放，由M 点无碰撞
进入圆筒后一直沿筒壁运动，a、b、c 是小球运动轨迹依次与MN 的交点。小球从M 到a 用时t1，从a 到b 用
时t2，从b 到c 用时t3，小球经过a、b、c 时对筒壁压力大小分别为Fa、Fb、Fc，lMa、lab、lbc表示M、a、b、c
相邻两点间的距离，不计一切摩擦和空气阻力。下列说法正确的是( )
A.t1＝t2＝t3
B.Fa＝Fb＝Fc
C.Fa<Fb<Fc
D.lMa∶lab∶lbc＝1∶3∶5
答案 AB
解析 由题意可知，小球自M 点正上方足够高处自由释放，由M 点无碰撞进入圆筒后，其速度可分解为沿筒
壁转动的速度和沿筒壁下滑的初速度，因圆筒倾斜放置，小球在圆筒中有沿筒壁向下的重力分力，因此小球
在圆筒截面方向做圆周转动的同时又沿筒壁向下做初速度不为零的匀加速直线运动，又由于a、b、c 是小球
运动轨迹依次与MN 的交点，表明经过相邻点过程圆周运动分运动恰好完成一个圆周，因为圆周运动转动周
期相等，根据分运动的等时性有t1＝t2＝t3，故A 正确；小球在圆筒截面方向做圆周运动，由于MN∥OO'，则
a、b、c 三点可以等效为沿圆筒截面方向做圆周运动轨迹的同一位置，即在a、b、c 三点圆周运动的线速度相
等，又由于在a、b、c 三点位置，重力沿圆筒截面的分力恰好沿截面的切线方向，可知由小球重力垂直圆筒
截面的分力和筒壁弹力的合力提供圆周运动的向心力，而圆周运动的半径相同，根据F 向＝mv
2
r ，G⊥＝mgcos
θ 可知，筒壁对小球的弹力大小相等，由牛顿第三定律可知，小球对筒壁的压力大小相等，则有Fa＝Fb＝Fc，
故B 正确，C 错误；根据上述可知，小球沿筒壁向下做初速度不为零的匀加速直线运动，由位移时间公式有
x＝v0t＋1
2at2，可知lMa∶lab∶lbc≠1∶3∶5，故D 错误。
三、非选择题：本题共5 小题，共54 分。
11.(8 分)在“探究平抛运动的特点”实验中
8
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(1)(1 分)利用图甲装置进行“探究平抛运动竖直分运动的特点”实验，用小锤击打弹性金属片，A 球沿水平方
向抛出，同时B 球自由下落，通过 (选填“眼睛看”或“耳朵听”)的方式比较它们落地时刻的先后
更加合适。
(2)(1 分)重复实验数次，无论打击力大或小，仪器距离地面高或低，A、B 两球总是同时落地，该实验表明
。
A.平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动
B.平抛运动水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动
D.平抛运动竖直方向的分运动是匀速直线运动
(3)(2 分)如图乙所示，在探究平抛运动水平分运动的特点时，除木板、小球、斜槽、铅笔、刻度尺、图钉之外，
下列器材中还需要的有 。
A.重垂线
B.秒表
C.弹簧测力计
D.天平
E.白纸和复写纸
(4)(2 分)用平滑的曲线把小球在白纸上留下的印迹连接起来，得到小球做平抛运动的轨迹，建立直角坐标系，
坐标原点选 。
A.斜槽末端端点
B.小球在斜槽末端时的球心
C.小球在斜槽末端时球的上端
D.小球在斜槽末端时球的下端
(5)(2 分)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每个小格的边长L＝5 cm，通过实验记录了小球在运动途中的三
个位置，如图丙所示，则该小球做平拋运动的初速度为 m/s。(g 取10 m/s2，结果保留两位有效数
字)
答案 (1)耳朵听 (2)C (3)AE (4)B (5)1.5
解析 (1)利用题图甲装置进行“探究平抛运动竖直分运动的特点”实验，用小锤击打弹性金属片，A 球沿水
平方向抛出，同时B 球自由下落，通过耳朵听的方式比较它们落地时刻的先后更加合适，利用眼睛看误差较
大。
(2)B 球做自由落体运动，A 球做平抛运动，由于重复实验数次，无论打击力大或小，仪器距离地面高或低，
A、B 两球总是同时落地，表明平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动。故选C。
(3)实验中需要利用重垂线确定y 轴方向，平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动，根据相邻点迹水平间
距相等可以确定相邻点迹所用时间相等，竖直方向上，根据Δy＝gT2可以求出小球相邻点迹之间的时间，实
验中不需要秒表；实验目的是研究平抛运动，不需要测量小球的质量与重力，因此实验中不需要弹簧测力计
与天平；实验中要利用白纸和复写纸确定小球的落点位置，因此实验中需要复写纸和白纸。故选A、E。
(4)根据题意可知，点迹为小球侧面在白纸上留下的印迹，该印迹正对小球的球心，因此坐标原点选小球在斜
槽末端时的球心。故选B。
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(5)根据题图丙可知，相邻点迹水平分位移相等，则相邻点迹的时间间隔相等，则在竖直方向上有Δy＝gT2
水平方向有v0＝Δ x
T
其中Δy＝5L－3L＝2L＝0.1 m，
Δx＝3L＝0.15 m
解得v0＝1.5 m/s。
12.(8 分)利用如图甲所示的装置，探究圆周运动中相关物理量之间的关系。拉力传感器固定在水平转盘圆心
的正上方，物块用穿过转盘圆心处光滑挂钩的轻质细线与拉力传感器相连，挂钩和物块之间的细线保持水平，
转盘由调速电机(未画出)带动，从调速电机示数可以读出转盘的转速。转盘上表面粗糙程度均匀，实验步骤
如下：
①将物块放置在转盘上，使得细线刚好伸直，测出此时物块中心到圆心的距离r；
②开启调速电机，缓慢增大电机的转速，直至拉力传感器刚要产生拉力，记录此时转盘的转速为n；
③改变物块到圆心的距离，重复①②步骤，记录多组r、n 的数据，并描在n2－1
r 图像中，如图乙所示。
回答下面问题：
(1)(2 分)在图乙中画出n2－1
r 图像；
(2)(2 分)若转速为n，则转盘转动的角速度ω＝ ；
(3)(2 分)关于该实验的有关说法正确的是 。
A.改变物块的位置和转速，则向心力的最大值将发生变化
B.该实验探究了质量和向心力一定时，转速和半径的关系
C.该实验探究了质量一定时，向心力与转速和半径的关系
(4)(2 分)若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知当地重力加速度为g，n2－1
r 图像的斜率为k，则物块与转盘间
的动摩擦因数μ＝ 。
答案 (1)见解析图 (2)2πn (3)B (4)4 π
2k
g
解析 (1)如图所示，作出的是一条过原点的直线，说明n2与1
r 成正比；
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(2)根据ω＝2πf 及f＝n，可知ω＝2πn
(3)该实验中物块的质量一定，向心力由最大静摩擦力来提供，最大静摩擦力只与正压力和接触面的粗糙程度
有关，与半径和转速无关，故该实验探究了质量和向心力一定时，转速和半径的关系，故A、C 错误，B 正
确。
(4)由题意，可知μmg＝m×4π2n2r
整理得n2＝μg
4 π
2·1
r
故k＝μg
4 π
2
解得μ＝4 π
2k
g
。
13.(10 分)假设航天员登上某一星球，该星球的半径为R＝3×106 m。他在该星球表面将一小球从与水平面成θ
＝30°角的斜面上水平抛出，如图所示，抛出的初速度大小为v0＝3√3 m/s，经过时间t＝2 s 小球又落在斜面
上。忽略星球的自转，不计星球表面的大气阻力，求：
(1)(5 分)该星球表面的重力加速度为多大；
(2)(5 分)该星球的第一宇宙速度为多大。
答案 (1)3 m/s2 (2)3×103 m/s
解析 (1)设该星球表面的重力加速度为g，小球做平抛运动的过程，有
tan 30°＝y
x ＝
1
2 gt
2
v0t
解得g＝2v0 tan30°
t
＝3 m/s2
(2)设该星球的第一宇宙速度为v，
由万有引力提供向心力可得GMm
R
2
＝mv
2
R
又GMm
R
2
＝mg
可得v＝√gR＝3×103 m/s。
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14.(12 分)乒乓球是我国的国球，中国乒乓球队更是奥运梦之队。在2024 年巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽
了奥运会乒乓球项目5 枚金牌，为国乒喝彩。乒乓球训练入门简单，一支球拍，一个球，就能做颠球训练，
也能对着墙壁开展对练模式。为了避免捡球的烦恼，现在推出了一种悬挂式乒乓球训练器，如图甲所示。该
训练器可简化成一根长为l 的轻质细绳下悬挂一可视为质点、质量为m 的小球。不计空气阻力，重力加速度
为g。
(1)(5 分)敲击小球，可以让小球在竖直平面内摆动，最大偏转角度为θ，则小球摆到最高点时，求绳子拉力大
小；
(2)(7 分)敲击小球，也可以让小球做圆锥摆运动，当轻绳偏离竖直方向夹角为θ 时，求绳子拉力大小及小球线
速度大小。
答案 (1)mgcos θ (2) mg
cosθ √glsinθ tanθ
解析 (1)当小球摆到最高点时v＝0
对小球受力分析，如图(a)
沿绳方向有FT1＝mgcos θ
(2)对小球受力分析，如图(b)
竖直方向有FT2cos θ＝mg
可得绳子的拉力大小为FT2＝mg
cosθ
水平方向由牛顿第二定律mgtan θ＝m
v
2
lsinθ
可得小球的线速度大小为v＝√glsinθ tanθ。
15.(16 分)(2025·山东德州市第一中学月考)滑雪运动越来越受到青少年们的青睐，滑雪大跳台场地简化后的滑
道示意图如图甲所示，A 为最高点，B 为起跳点。在某次训练中，运动员从A 由静止开始下滑，到达B 时速
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率为20√3 m/s，并沿与水平面夹角成α＝15°的方向飞出，落在倾角θ＝30°的坡道上的C 点，不计一切阻力和
摩擦，重力加速度大小g 取10 m/s2。求：
(1)(4 分)运动员由B 到C 的速度变化量Δv；
(2)(3 分)运动员离坡面的最大距离；
(3)(3 分)B、C 两点间的距离；
(4)(6 分)运动员落在C 点时的速度方向与斜面间夹角的正切值。
答案 (1)40√2 m/s，方向竖直向下
(2)20√3 m (3)80(√3＋1) m (4)2√3－3
解析 (1)以B 点为坐标原点，沿斜面向下建立x 轴，垂直于斜面向上建立y 轴，B 到C 的时间为t＝
2vBsin(α ＋θ)
gcosθ
＝4√2 s，则运动员由B 到C 的速度变化量为Δv＝gt＝40√2 m/s，方向竖直向下
(2)根据速度与位移的关系有
hmax＝[ vBsin(α ＋θ)]
2
2gcosθ
＝20√3 m
(3)运动员在沿x 轴方向有
xBC＝vBcos (α＋θ)·t＋1
2gsin θ·t2＝80(√3＋1) m
(4)设落在C 点时速度方向与斜面之间的夹角为β
vx＝vBcos (α＋θ)＋gsin θ·t＝(10√6＋20√2) m/s
vy＝vBsin (α＋θ)＝10√6 m/s
则tan β＝v y
v x
＝2√3－3。
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