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第38 讲 实验：测量电源的电动势和内阻
目录
.....1
.....4
考点一 原型实验................................................................................................................................................................... 4
考点二 拓展实验.................................................................................................................................................................11
. .16
基础巩固练.............................................................................................................................................................................. 16
综合提升练.............................................................................................................................................................................. 23
核心考点
1.实验原理与核心公式：
核心原理：闭合电路欧姆定律E=U+Ir。
三种主要方案：
伏安法、伏阻法、安阻法。
2.实验操作与步骤：
电路连接：按电路图正确连接实物（注意电表正负、量程、滑动变阻器接法）。
数据采集：改变滑动变阻器阻值，至少测量6 组U、I 值，测量范围尽量大，且应使电
表示数在量程1/3 以上。
注意事项：电流不宜过大（防止电源极化内阻变化），通电时间不宜过长，每次测量
后立即断开开关。
3.数据处理方法：
公式法：由多组(U,I)数据，联立方程求解E、r，再取平均值。
图像法（核心）：作U-I 图像。
纵轴截距：电源的电动势E；斜率的绝对值：电源的内阻r。
4.误差分析：
伏安法系统误差（偏差方向）：
电流表外接法：测量值均偏小。
电流表内接法：电动势无系统误差，内阻测量值偏大。
偶然误差：读数误差、接触电阻等。
改进措施：
引入定值电阻作保护电阻，防止短路。
图像法处理数据，E 和r 取直线拟合结果。
考情透析
1.题型与难度：高考必考的电学实验之一，常以填空、作图、计算形式出现在实验题
中。难度中档→较难，有较好的区分度，考验对原理和误差的深刻理解。
2.命题规律：
高频考查：误差分析（为什么E 和r 偏大/偏小？）、电路实物图连接、U-I 图像的处理
与计算、实验方法创新与迁移（如用电阻箱、定值电阻等替代或改装）。
常规考法：给定电源和电表，让设计伏安法电路，进行连线、记录数据并处理。
创新考法：
更换实验器材：用电阻箱、定值电阻或改装后的电表替代传统滑动变阻器或电压/电流
表。
改变测量对象：测量水果电池、太阳能电池或旧电池的E 和r，其内阻可能很大，电表
接法需调整。
图像创新：要求作非标准图像（如1/IR 图、UU/R 图），并理解新图像斜率和截距的物
理意义。
3.考查方向：侧重从图像（U-I 图）中获取E 和r 的能力、对系统误差的本质分析（电
表内阻的影响）、图像法处理数据的优点及作图规范（描点、连线、延长）、实验方案的
对比与改进（如何减小误差或提高精度）。
素养对接
1.模型建构：理解实际的电源可抽象为理想电源E 与内阻r 串联的模型，并以此为出发
点设计实验。
2.图像法处理数据：通过对U-I 图像的截距和斜率进行分析，从离散的数据点中寻找线
性规律，培养数形结合、从图像中获取信息的能力。
3.误差分析与批判性思维：能自觉思考电流表内/外接法对E、r 测量值的影响，培养科
学评估、严谨论证的思维习惯。
4.等效与转化思想：将复杂的测量问题（如已知内阻的电流表可当电压表用）进行等效
转化；理解伏阻法、安阻法是伏安法的等效变形。
学习目标
1.知识目标：
能写出根据闭合电路欧姆定律推导出的三种实验方案的原理表达式（伏安法、伏阻
法、安阻法）。
能说出伏安法测E、r 的实验器材、步骤及注意事项。
能说出U-I 图像中纵轴截距、横轴截距、斜率绝对值的物理意义。
能说出电流表内/外接法导致的E、r 系统误差方向。
2.能力目标：
电路设计与连接能力：能根据实验原理，设计出合理的实验电路图（正确选择电表接
法、滑动变阻器接法），并能规范连接实物图。
数据处理与计算能力：能正确处理实验数据，能用图像法（U-I 图）准确求出E 和r
（包括合理选取坐标标度、描点、连线、求斜率截距）。
误差分析能力：能对电流表内/外接法下的系统误差进行定性（偏大或偏小）分析；能
分析偶然误差的来源并提出改进建议。
创新迁移能力：能通过改变电表功能（如已知内阻的电压表可当电流表用）、改变电
路连接（伏阻法、安阻法）等，完成E 和r 的测量。
备考建议
1.掌握“伏安法”系统误差的根源，这是决胜关键：
电流表外接法（教材标准图）：
误差来源：电压表的分流。电压表测的U 是真实的路端电压U 真，但电流表测的I 是I 总
=I 真+IV（包含流过电压表的微弱电流）。
结果：E 测<E 真（短路电流相同，但U-I 直线更缓），r 测<r 真。
电流表内接法：
误差来源：电流表的分压。电流表测的I 是真实的干路电流I_真，但电压表测的是U 总
=U 真+UA（包含电流表上的分压）。
结果：E 测=E 真（无系统误差，因为外电路断开时，电压表读数即为电动势），r 测=r 真
+RA>r 真（测量值偏大）。
2.掌握“图像法”求解E 和r 的规范操作：
作图：
坐标标度：横纵坐标不一定从0 开始。纵坐标（电压）U 的起点通常不从0 取，以将图
线放大，E 通过延长线交于纵轴得到。
描点连线：尽量让点均匀分布在拟合直线两侧，舍弃严重偏离的点（可能是读数误
差）。
读数：
纵截距：使较长的直线延长线与纵轴的交点，读出E。
斜率绝对值：在直线上取两个相距较远的点，计算r。
考点一 原型实验
【必备知识回顾】
一、实验原理
1.电路图
2．原理：根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir，改变滑动变阻器的电阻，测多组U、I 值，列方程组计
算E、r。
二、实验操作
1.选量程、连线路：按原理图连接电路，注意电压表、电流表的量程和正、负接线柱的连接。
2．滑动变阻器滑片移到阻值最大一端。
3．测量：闭合开关，改变滑动变阻器阻值，测多组U、I 值。
4．求解：利用公式法或图像法求E、r。
三、数据处理
方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小。
根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E 和内阻r。
方法二：用作图法处理数据，如图所示。
(1)图线与纵轴交点为电动势E。
(2)图线的斜率的绝对值表示内阻r。
四、误差分析
1.读数不准确和电表线性不良引起误差。
2．用图像法求E 和r 时，由于作图不准确造成误差。
3．实验时通电时间过长或电流过大，都会引起E、r 变化。
4．若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I
真与I 测的差值越大。其U－I 图像如图丙所示。结论：E 测＜E 真，r 测＜r 真。
5．若采用图乙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流值越大，电流表的分压越多，对应的
U 真与U 测的差值越大。其U－I 图像如图丁所示。结论：E 测＝E 真，r 测＞r 真。
五、注意事项
1.为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池。
2．电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快。
3．要测出不少于6 组的(I，U)数据，变化范围要大些。
【重难模型精讲】
【典例1】(2026·河南省驻马店市·期末考试)为测量电源的电动势和内阻，实验小组找到如下实验器材：
待测电源E(电动势约9V )；电流表A(量程3 A，内阻约0.1Ω)；电压表V (量程3V ，内阻RV =2000Ω)；
电阻箱R(0∼9999.9Ω)；滑动变阻器R1(0∼25Ω)；开关、导线若干。主要操作步骤如下：
(1)将电压表V 和电阻箱R串联改装成量程更大的电压表，为使改装后的电压表量程为9V ，电阻箱R
的阻值应调为 Ω。
(2)设计如图甲所示的实验电路，闭合开关S后，改变滑动变阻器的阻值，得到多组电压表示数U和对
应的电流表示数I。某次实验时，电压表指针位置如图乙所示，此时电压表的示数为 V 。
(3)若实验中电压表分流可以忽略，待测电源电动势用E表示，内阻用r表示，则电压表示数U与电流
表示数I满足的关系式为：U = (用I、E、r表示)。
(4)根据记录的数据，在坐标纸上作出U - I图像如图丙所示，可得电源电动势E = V ，电源内
阻r = Ω。(计算结果均保留3位有效数字)
【答案】4000.0
2.30
1
3 E - 1
3 Ir
8.85/8.79∼8.88
2.07/2.02∼2.09
【解析】(1)为使改装后的电压表量程为 9V ，电阻箱 R 的阻值应调为 R = 9-3
3
2000
Ω= 4000.0Ω
(2)电压表量程为3V ，分度值为0.1V ，此时电压表的示数为2.30V 。
(3)若实验中电压表分流可以忽略，根据欧姆定律有 U (RV + R)
RV
= E - Ir
结合上述解得 U = 1
3 E - 1
3 Ir
(4)结合上述有 U = 1
3 E - 1
3 Ir
根据图像有 1
3 E =2.95V ， 1
3 r = 2.95-1.00
2.83
Ω
解得 E≈8.85V ， r ≈2.07 Ω
【变式训练与拓展】
【变式1】(2026·河北省·单元测试)某同学家里有一使用光伏电池的电动玩具，该同学拆下了光伏电池，
欲测量其电动势和内阻。电池铭牌上标注“4V 2Ω 500mAh”。
(1)实验室可提供的器材如下：
电流表A(量程为0.6 A，内阻约为2Ω)
电压表V 1(量程为3V ，内阻约为10kΩ)
电压表V 2(量程为15V ，内阻约为60kΩ)
滑动变阻器R1(0∼20Ω)
电阻箱R2(最大阻值99Ω，最小分度0.1Ω)
电阻箱R3(最大阻值999Ω，最小分度1Ω)
单刀单掷开关S1、单刀双掷开关S2及导线若干
(2)为了测量电流表A的内阻、电池的电动势和内阻，该小组设计了如图甲所示的电路，电压表应选
择 (填“V 1”或“V 2”)，电阻箱应选择 (填“R2”或“R3”)。请在图乙中补充完整线路 。
他按以下步骤进行操作：
①闭合开关S1，断开开关S2，调节滑动变阻器R1使电流表A指针满偏;
②保持滑片P不动，把开关S2与1接通，调节电阻箱，使电流表A指针半偏，读出电阻箱的阻值r0，则
可得电流表A的内阻R A =r0，该测量值 (填“大于”“小于”或“等于”)真实值;
③闭合开关S1，把开关S2与2接通，调节滑动变阻器阻值，记下多组电流表A的示数I和相应电压表的
示数U ;
④以U为纵坐标，I为横坐标，作出U - I图线如图丙所示，图线斜率的绝对值为k，纵截距为b，根据
图线求得电动势E =b，内阻r = 。
【答案】V 1
R2
小于
k -r0
【解答】
(2)由于电流表A的内阻较小，电池的电动势为4V ，因此为了保证电流表A的满偏，应选择电压表V 1
和电阻箱R2。
根据图甲，可知图乙中的完整线路如图所示
②调节电阻箱使电流表A指针半偏，读出电阻箱的阻值r0，则电流表A的内阻约等于电阻箱的阻值r0，
即R A =r0，而开关S2与1接通，电路中的总电阻减小，根据闭合回路欧姆定律可知，电路中的总电流增大，
通过R1的电流大于满偏电流，通过电阻箱的电流大于电流表A的电流，电阻箱的电阻小于电流表A的电阻，
则测得的电流表A内阻小于真实值。
④根据闭合回路欧姆定律可得E =U + I (r +r0)，可得U = E - I (r +r0)，纵截距为b，则E =b，图线
斜率为k，则r +r0=k，可得r =k -r0。
【变式2】(2026·内蒙古自治区·期末考试)某实验小组要测量未知电源的电动势和内阻，设计了如图甲
所示的测量电路。可供选择的器材有：
待测电源E(电动势约为1.5V ，内阻r约为0.5Ω);
电阻箱R(阻值范围0∼999.99Ω，0∼1.0 A );
电流表A(量程3mA，内阻等于199Ω);
定值电阻R0;
开关S，导线若干。
(1)电路中将电流表改装成量程为0.6 A的电流表，则定值电阻的阻值R0= Ω;
(2)闭合开关S，改变电阻箱的阻值，记录电阻箱的阻值R及对应的电流表示数I，作1
I - R图像如图乙
所示，则电池的电动势E = V ，电池的内阻r = Ω(结果均保留到小数点后两位);
(3)实验测得的电动势 (填“大于”“小于”或“等于”)真实值，实验测得的电池内阻 (填
“大于”“小于”或“等于”)真实值。
【答案】1
1.43
0.65
等于
等于
【解析】(1)根据并联电路电压相等有R0(600mA -3mA )=3mA ×199Ω，解得R0=1Ω。
(2)改装后的电流表内阻为R A =0.995Ω，
根据闭合电路欧姆定律
E
200 I = R A+ R+r，
整理得1
I = 200(R A+r)
E
+ 200
E R，
代入两个坐标(1,370)，(3,650)
可得E =1.43V ，r =0.65Ω。
(3)由于本实验电流表的内阻已知，所以电动势和内阻的测量值都等于真实值。
【变式3】(2026·湖北省荆州市·期末考试)为了测量某电源的电动势和内阻，并研究利用该电源为小灯
泡供电的情况，某实验小组的同学进行了如下实验：
(1)该同学首先设计了如图(a)所示的实验电路，其中R为电阻箱，定值电阻R0= 4 Ω，电压表可视为
理想电表，实验过程中采集电压表和电阻箱的读数，并以1
U 为纵坐标，1
R 为横坐标，画出1
U - 1
R 的关系图
线，如图(b)所示(该图线为一条直线)，根据图线求得该电源的电动势E = V ，内阻r = Ω。(均保
留两位有效数字)
(2)在第(1)问的电路设计中，如果电压表不能视为理想电表，电源电动势和内阻的测量值存在系统误
差，所测r测 r真，E测 E真。(均填“大于”“等于”或“小于”)
(3)在进一步研究中，该同学测得的某型号小灯泡的伏安特性曲线如图(c)所示，如果把两个该型号的
灯泡串联后再与R1=9Ω的定值电阻串联起来接在上述电源上(其电动势和内阻是第(1)问计算的结果)，如
图(d )所示，则每只小灯泡的实际功率约为 W 。(结果保留2位小数)
【答案】5.0
1.0
小于
小于
0.29
【解析】(1)根据图(a)所示的电路，由闭合电路欧姆定律得：U = E - U
R ( R0+r )，
可得：1
U = R0+r
E
⋅1
R + 1
E ；
根据1
U - 1
R 图线的斜率与纵截距，可得：R0+r
E
= 0.7 -0.2
0.5
Ω/V ；1
E =0.2V
-1
联立解得：E =5.0V ，r =1.0Ω；
(2)如果电压表不能视为理想电表，设其内阻为RV，同理可得：U = E真-( U
R + U
RV
)( R0+r真)，
可得：1
U = R0+r真
E真
⋅1
R + 1
E真
+ R0+r真
E真RV
；
电压表视为理想电表时，由(1)的解答可得：1
U = R0+r测
E测
⋅1
R + 1
E测
，
对应图线的纵截距可得：1
E真
+ R0+r真
E真RV
= 1
E测
，
可得：E测< E真，
对应图线的斜率可得：
R0+r真
E真
= R0+r测
E测
，
可得：r测<r真；
(3)设图(d )所示的电路中每个灯泡两端的电压为U，电路中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得：
2U = E - I ( R1+r )，
代入数据并整理得 I =0.5-0.2U，
在图(c)中作出此关系式的图线如下图所示：
两图线的交点对应的电压值与电流值分别约为：U 1=0.95V ，I 1=0.31 A
则流过每只小灯泡的实际电流约为0.31 A，每只小灯泡两端的实际电压约为0.95V ，其功率
P =UI ≈0.29W 。
考点二 拓展实验
【必备知识回顾】
1．实验器材、数据获取上的创新
实验
方案
安阻法测电动势和内阻
伏阻法测电动势和内阻
实验
电路
实验
原理
E＝I1(R1＋r)
E＝I2(R2＋r)
E＝U1＋r
E＝U2＋r
图像
2.测量电池的电动势和内阻时，有时会遇到实验需要的电表没有给出，或者给出的电表的量程不符合
要求，如果电表的内阻已知（或可以看成理想电表），可以利用定值电阻对电表进行改装。
【重难模型精讲】
【典例2】(2026·重庆市市辖区·其他类型)某同学准备测量一节旧干电池的电动势和内电阻，手头有两
只电流表，但无电压表。现将内阻为1.0kΩ、量程为200 μA的电流表A1改装成合适量程的电压表，连接
成如图甲的电路进行实验，其中R0=3.0Ω。
(1)现有如下三个不同阻值的电阻，应选 作为图甲中的R1与A1串联后当成电压表使用。
A.90Ω
B.900Ω
C.9kΩ
(2)按图甲连接电路后，发现aa'、bb'和cc'三条导线中，有一条导线内部断开。为了找出这条导线，
将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b'间电压，读数不为零，再测量a、a'间电压，若读数不为
零，则一定是 导线断开;若读数为零，则一定是 导线断开。
(3)排除故障后，通过多次改变滑动变阻器触头位置，得到电流表A1和A2的多组I 1、I 2数据，作出图
像如图乙。由I 1- I 2图像得到的电池的电动势E = V ，内阻r = Ω。(结果均保留两位小数)
【答案】C
aa'
bb'
1.41/1.35/1.36/1.37/1.38/1.39/1.40/1.42/1.43/1.44 /1.45
0.50/0.41/0.42/0.43/0.44 /0.45/0.46/0.47/0.48/0.49/0.51
【解析】(1)将电流表A1改装为电压表时，需串联电阻R1，使得其满偏电流200 μA对应的电压为改装
后的量程V max
改装后的电压表量程应满足：V max = I max⋅( R A1+ R1)
其中R A1=1.0kΩ=1000 Ω，I max =200 μA =2×10
- 4 A
假设旧干电池电动势约为1.5V ，则需：V max≥1.5V
代入数据解得：R1≥V max
I max
- R A1=
1.5
2×10
- 4 -1000=7500-1000=6500Ω
因此应选择C作为R1;
(2)将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b'间电压，读数不为零，可知cc'不断开，再测量a、
a'间电压，若读数不为零，可知bb'间不断开，则一定是aa'间断开；若aa'间电压为零，则bb'导线断开；
(3)根据串并联电路的特点，结合闭合电路欧姆定律得：E = I ❑1( R ❑1+r ❑1)+( I ❑1+ I ❑2)( R
❑0+r )，
代入图像中两组数据(60mA ,0.12mA )、(260mA ,0.05mA )，
解得：E≈1.41V (1.36V -1.45V 均可)，r ≈0.50Ω(0.41Ω-0.51Ω均可)。
【变式训练与拓展】
【变式4】(2026·河北省唐山市·其他类型)某实验小组设计了如图甲所示的实验电路，来测量电源的电
动势和内阻，实验器材有：待测电源，阻值为R0的定值电阻，内阻可忽略的电流表，总阻值为R0且阻值均
匀的四分之一圆形变阻器，变阻器上有可指示滑片转过角度θ的刻度盘，开关、导线若干。回答下列问题：
(1)闭合开关，滑片在顺时针转动的过程中，电流表示数 (填“变大”或“变小”)，电路消耗的
总功率 (填“变大”或“变小”)。
(2)在实验中转动滑片，改变角度θ(弧度制)，测量通过定值电阻R0的电流I，以1
I 为纵坐标，1
θ 为横坐
标，作出图像如图乙所示，已知图像的斜率为k，纵截距为b，则电源的电动势为E = 。(用k、b、R0
表示)
(3)若θ = π
4 时变阻器消耗的功率最大，则k和b应满足的关系式为b= 。
【答案】变小
变大
π R0
bπ -2k
4 k
π
【解析】(1)滑片顺时针转动，变阻器接入电路的阻值变小，外电阻变小，路端电压变小，电流表示
数变小。
因为外电阻减小，可知电路总电阻减小，故干路电流变大，电路消耗的总功率 P = EI，可知电路消耗
的总功率P变大。
(2)由闭合电路欧姆定律可知 E = I R0+ I(1+ π
2θ)r
可推导出1
I = R0+r
E
+ πr
2 E ⋅1
θ
可知k = πr
2 E ，b= R0+r
E
解得E =
π R0
bπ -2k ，r = 2k R0
bπ -2k ;
(3)将电源与R0支路等效为一个新电源，当等效内阻等于θ = π
4 对应的电阻R0
2 时，变阻器消耗的功率
最大，故r = R0，结合(2)的结果，则b= 4
π k。
【变式5】(2026·安徽省合肥市·其他类型)某实验小组同学要测量某个水果电池的电动势和内阻，已知
该水果电池的内阻较大，进行了如下操作．
(1)小组同学先用多用表，将旋钮扳到直流2.5V 的电压挡，然后将两表笔与水果电池的两接线柱相连
接，多用电表的读数如图甲所示，则水果电池的电动势为 V ;
(2)小组同学为了较为准确测量水果电池的电动势和内阻，该小组同学设计了如图乙所示的电路，实
验室为其提供的部分实验器材如下：电压表V 1(量程0∼1.0V ，内阻为2kΩ)，电压表V 2(量程0∼2.0V ，
内阻为3kΩ)、滑动变阻器R1(0∼100Ω，额定电流为2 A )、滑动变阻器R2(0∼2kΩ，额定电流为2 A )
①实验中图乙的滑动变阻器应选择 (选填“R1”或“R2”)，开关闭合前，滑动变阻器的滑片应
位于最 (选填“左”或“右”)端;
②实验小组同学移动滑动变阻器的滑片，同时记录多组电压表的示数U 1、U 2，用记录的实验数据描
绘了如图丙所示的图线，由图丙可知水果电池的电动势E = V ，内阻r = kΩ．
【答案】1.45
R2
右
1.4
1.2
【解析】(1)多用电表选择的是直流2.5V 的电压挡，读数为1.45V ;
(2)①由于水果电池的内阻较大，所以滑动变阻器应选择最大阻值为2kΩ的R2;
为了保护用电器，开关闭合前，滑动变阻器的滑片应置于最右端;
②由闭合电路的欧姆定律得E =U 2+( U 2
RV 2
+ U 1
RV 1
)r，整理得U 2=-
RV 2r
RV 1( RV 2+r ) U 1+ RV 2 E
RV 2+r ，
图像斜率的绝对值为
RV 2r
RV 1( RV 2+r ) = 1.0-0.7
0.7
，图像的截距为
RV 2 E
RV 2+r =1.0V ，解得E =1.4V ，
r =1.2kΩ．
【变式6】(2026·湖北省·单元测试)某班级分若干个学习小组，通过实验测量儿童电动车电池的电动势(
约为12Ⅴ)和内阻，但实验器材中发现电压表量程较小。可提供的器材有：
A.电压表V 1(量程0∽6V ，内阻约为6kΩ)
B.电压表V 2(量程0∽3V ，内阻约为3kΩ)
C.电阻箱R(0∽9999Ω)
D.滑动变阻器R1(0∽15kΩ)
E.滑动变阻器R2(0∽15Ω)
F.定值电阻R3(阻值为10Ω)
G.定值电阻R4(阻值为2Ω)
H.开关和若干导线
请回答下列问题：
(1)如图甲所示电路，想将电压表V 2改装成量程为0∼12V 的电压表。
①滑动变阻器R'应选用 (选填“R1”或“R2”);
②将滑动变阻器滑片P移至最右端，将电阻箱R阻值调为零，闭合开关，调节滑片，使电压表的指针
刚好满偏;
③保持滑片的位置不变，调节电阻箱，使电压表的示数为 V ，在不改变电阻箱的情况下，电压
表与电阻箱串联后将会改装成量程为0∼12V 的电压表V 3。
(2)利用图乙电路测量电池的电动势和内阻，多次移动滑片P，可获得电压表V 1、V 3的多组数据U 1、
U 3，描绘出U 1-U 3图像如图丙所示，则电池的电动势E = V ，内阻r = Ω
(3)若考虑电表内阻的影响，电动势的测量值与真实值相比 (选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
【答案】R2
0.75
11.5
0.5
偏小
【解析】(1)①在图甲是利用“半偏法”测量电压表的内阻原理图，由于电压表V 2的内阻约3kΩ，远
大于15Ω，可知，滑动变阻器R'应选用R2。
③电压表V 2要改装成量程为0∼12V 的电压表，则有3V
RV 2
= 12V
RV 2+ R
保持滑片P的位置不变，P、a间的电压仍为3V ，则有
U V 2
RV 2
=
3V
RV 2+ R ，
解得U V 2=0.75V 。
(2)对图乙，根据闭合电路欧姆定律得U 3= E - U 3-U 1
R3
( R4+r )
将R3=10Ω，R4=2Ω代入，整理得U 1=(1+ 10
r +2 )U 3- 10
r +2 E
结合图丙得1+ 10
r +2 = 46
9.2，- 10
r +2 E =- 46V ，解得r =0.5Ω，E =11.5V
(3)由于电压表V 3分流，使得测量结果有一定的偏差，将电池和电压表V 3、定值电阻R4当作等效电源，
可知E测< E真。
基础巩固练
1.(2026·福建省·同步练习)把铜片和锌片插入水果中，就可以制成一个水果电池。铜片和锌片相距越近、
插入越深，电池的内阻就越小，铜片是电池的正极，锌片是负极。某同学制作了一个水果电池，并查阅资
料得知该水果电池的电动势小于3V ，内阻为几百欧姆。该同学利用下列所给器材测量该水果电池的电动
势E和内阻r :
A.电流表G1;
B.电流表G2，内阻可忽略不计;
C.滑动变阻器R1;
D.电阻箱R2;
E.开关S，导线若干。
(1)若电流表G1的内阻Rg=50Ω，满偏电流I g=2mA，则将其改装成量程为3V 的电压表，需串联一
个阻值R =
Ω的电阻。
(2)改装好电压表后，该同学采用如图甲所示的电路图进行测量，通过实验得到电流表G1、G2的示数
分别为I 1、I 2，以I 1( Rg+ R)为纵轴、I 2为横轴作出的图像如图乙所示，图乙中a、b均为已知量。由此可
求出该水果电池的电动势E =
，内阻r =
。(均用a、b表示)
(3)实验测得的水果电池的电动势与真实值相比，E真
(选填“>”“<”或“=
”)E测。
【答案】1450
a
a
b
=
【解析】(1)根据电表改装原理U = I g( Rg+ R)，
解得R =1450Ω。
(2)根据闭合电路欧姆定律I 1( Rg+ R)= E - I 2r，结合图像可知E =a，r = a
b。
(3)由实验电路可知，当I 2=0时，即外电路断路时，改装的电压表示数即为电源电动势，电动势的测
量值等于真实值。
2.(2026·河南省许昌市·期中考试)在测定两节干电池电动势和内阻的实验中，某同学用到的器材有一个
电压表、一个电阻箱、一个定值电阻R0、一个开关S、两节干电池、若干导线，其实验实物图如图甲所示。
(1)改变电阻箱的阻值R，用图甲中的电压表测出多组电阻箱两端的电压U。实物图甲中已连接好部分
电路，请按照实验要求将剩余部分电路连接好
。
(2)在坐标纸上作出1
U 与1
R 的关系图线如图乙所示，结合图线计算出两节干电池的电动势E =
，内阻r =
。(结果用a、b和R0表示)
(3)若考虑电压表并非理想电压表，则电动势的测量值与真实值相比
；内阻的
测量值与真实值相比
。(选填“偏大”“相等”或“偏小”)
(4)另一位同学将图甲电压表的导线改接在R0的c、d端，改变电阻箱的阻值R，测出多组电压表的数
据U，若用图像法测算电源的电动势和内阻，为了使得到的图线是一条直线，则该同学应描
绘
。
A. 1
U - 1
R 图 B．U - R图 C．1
U - R图 D．U - R
2图
【答案】
1
b
1
a - R0
偏小
偏小
C
【解析】(1)因电源是两节干电池，选取电压表量程为 0-3V ，电路图连接如图所示
(2)由闭合回路欧姆定律可知E =U + U
R (R0+r)
整理可得1
U = 1
E + R0+r
E
× 1
R
因为纵轴截距b= 1
E
所以E = 1
b
因为斜率b
a = R0+r
E
可得r = 1
a - R0
(3)由(2)问知b= 1
E测
①，b
a = R0+r测
E测
②
若考虑电压表并非理想电压表，则E真=U + U
R并
(R0+r真)
其中1
R并
= 1
R + 1
RV
整理可得1
U = 1
E真
+ R0+r真
E真
× 1
RV
+ R0+r真
E真
× 1
R
由此可知b= 1
E真
+ R0+r真
E真RV
③，b
a = R0+r真
E真
④
对比①与③，可知E真> E测；对比②与④，可知r真>r测。
(4)由闭合回路欧姆定律可知E =U + U
R0
(R+r)
整理可得1
U = 1
E +
r
E R0
+
1
E R0
× R
所以应描绘的是1
U - R图。
3.(2026·安徽省滁州市·其他类型)某实验小组利用铜片、锌片和苹果制作了一个水果电池，他们测量水
果电池的电动势E和内阻r，并探究电极间距对E和r的影响。实验电路图如图甲所示。已知电流表的内阻
Rg=50Ω、量程为0∼1mA，电阻箱R阻值的变化范围为0∼9999Ω。
(1)连接电路后，开关闭合前电阻箱的阻值应调节到
(填“最大”“最小”或
“任意”)值;
(2)调节电阻箱R，改变电路中的电流I，利用测量数据作出U - I图像，其中电压U为电阻箱两端电压
;
(3)保持铜片和锌片插入苹果中的深度不变，依次增加铜片与锌片的间距，先后得到U - I图像如图乙
中(a)、(b)、(c)、(d )所示;
(4)由图乙可知：在该实验中，随电极间距的增大，该水果电池的电动势
，内
阻
;(均填“增大”“减小”或“不变”)
(5)曲线(c)对应的水果电池电动势E =
V ，内阻r =
Ω。(
均保留3位有效数字)
【答案】最大
不变
增大
0.980/0.975/0.976/0.977/0.978/0.979/0.981/0.982/0.983/0.984 /0.985
425/ 418/ 419/ 420/ 421/ 422/ 423/ 424 / 426/ 427/ 428/ 429/ 430/ 431/ 432
【解析】(1)为了电路安全，开关闭合前电阻箱接入电路的阻值要调至最大。
(4)由电源的U - I图像可知，纵截距表示电源的电动势，斜率的绝对值表示电源和电流表的内阻之和，
所以由图乙可知在该实验中，随电极间距的增大，电动势不变，内阻逐渐增大。
(5)由图像可知电动势大小E =0.980V ，由闭合电路欧姆定律可知U =-( Rg+r )I + E，
图像的斜率k =| ΔU
ΔI |= Rg+r，
r =| ΔU
ΔI |- Rg= 0.98-0.60
0.8×10
-3 Ω-50Ω= 425Ω。
4.(2026·江苏省南通市·其他类型)某同学用伏安法测电源的电动势和内阻，实验室提供的器材有：
A.待测电源E(电动势约为6V ，内阻约为2Ω)
B.电压表V (量程为3V ，内阻未知)
C.电流表A(量程为3 A，内阻为0.2Ω)
D.滑动变阻器R(0∼10Ω,3 A )
E.电阻箱R0(最大阻值9999Ω)
F.开关和导线若干
(1)为了将电压表量程改装成6V ，需要先测量电压表的内阻，设计了如图甲所示电路.请根据图甲电
路用笔划线代替导线将图乙的实物图连接完整
．
(2)正确连接电路后，闭合开关S前，图乙中滑动变阻器的滑片应先移到最
(选
填“左”或“右”)端，电阻箱的阻值调为零.闭合开关S，调节滑动变阻器使电压表满偏;保持滑动变阻器
滑片的位置不变，当电阻箱阻值调节为如图丙所示时，电压表的示数U =2.00V .则电阻箱的阻值
为
Ω，电压表内阻为
Ω．
(3)将电阻箱和电压表串联组装成量程为6V 的电压表，表盘刻度未改变.将组装后的电压表接入如图
丁所示的电路，测量电源的电动势E和内阻r .调节滑动变阻器，读出电压表V 示数U和电流表A示数I，作
出U - I图像如图戊所示，则电源的电动势为
V ，内阻为
Ω.(
结果均保留三位有效数字)
(4)实验中，电动势的测量值
(选填“ 偏大” 或“ 偏小” )，理由
是
．
【答案】
左
1500
3000
5.90
1.95
偏小
因实验中测得电压表内阻偏大，在改装电压表时串联的电阻偏大，电压表实际量程大于6V ，示数小
于真实值
【解析】
(1)
连线如答图
;
(2)为保护电路，电压表示数从零开始调大，闭合开关S前，图乙中滑动变阻器的滑片应先移到最左端
;
如图丙所示，电阻箱的阻值为1500Ω;
电压表分的电压是电阻箱两倍，电压表内阻是电阻箱两倍为3000Ω;
(3)根据闭合电路欧姆定律2U = E - I (r +r A)，U = E
2 - r +r A
2
I，结合U - I图像可知，电源的电动势
E =2.95V ×2=5.90V ;
r +r A
2
= 2.95-0.80
2.00
，解得电源的内阻r =1.95Ω
(4) 电动势的测量值偏小;
因实验中测得电压表内阻偏大，在改装电压表时串联的电阻偏大，电压表实际量程大于6V ，示数小
于真实值
5.(2026·山东省青岛市·其他类型)某实验小组要测量一个特殊电池的电动势E和内阻r(内阻较大且随电
流变化)，该电池电动势在一定范围内能保持稳定，提供的实验器材有：电压表V 1(量程3V ，内阻约3kΩ)，
电压表V 2(量程3V ，可视为理想电压表)，滑动变阻器R，定值电阻R0(阻值5Ω)，开关及导线若干。主要
实验步骤如下：
(1)连接器材：根据图甲所示的电路图，用笔画线代替导线将图乙中的实物图补充完整
。
(2)调节滑动变阻器，记录多组电压表V 1的读数U 1和电压表V 2的读数U 2，通过计算机描点作图得到
该电池的U 1-U 2曲线，如图丙所示。由此可知该电池的电动势为
V ；当电压表V 1
的读数U 1=1.5V 时，该电池内阻为
Ω。(结果均保留2位有效数字)
丙
(3)实验中因电压表V 1内阻的影响，测得电池的内阻会比实际值
(选填“偏大”
“偏小”或“无影响”)。
(4)若将该电池与一个阻值为8Ω的电阻串联组成闭合电路，该电阻消耗的功率约
为
W (结果保留2位有效数字)。
【答案】
2.9
5.6
偏小
0.42/0.39∼0.45
【解析】(1)实物图连接如下：
；
(2)由闭合电路欧姆定律E =U 1+ U 2
R0
r，得U 1= E - r
R0
U 2，结合图像知E =2.9V ；
当电压表V 1的读数U 1=1.5V 时，由图像知U 2=1.25V ，代入上式得r =5.6 Ω；
(3)由于电压表V 1 存在内阻，E =U 1+(
U 2
R0
+ U 1
RV 1)r，会使测量值偏小；
(4)由题意，该电阻相当于实验电路滑动变阻器阻值为3Ω时的电路，则
U 1=U 2+ U 2
5Ω ×(8-5)Ω=1.6U 2，
在原曲线中作图
交点U 2=1.14V ，电流I = U 2
R0
=0.228 A，实际功率P = I
2 R≈0.42W 。
综合提升练
1．（2024·辽宁·高考真题）某探究小组要测量电池的电动势和内阻。可利用的器材有：电压表、电阻
丝、定值电阻（阻值为R0）、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干。他们设计了如图所示的实验电路原理
图。
(1)实验步骤如下：
①将电阻丝拉直固定，按照图（a）连接电路，金属夹置于电阻丝的_____（填“A”或“B”）端；
②闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U，断开开关S，记录金属夹与B 端的
距离L；
③多次重复步骤②，根据记录的若干组U、L 的值，作出图（c）中图线Ⅰ；
④按照图（b）将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组U、L 的值，作出图
（c）中图线Ⅱ。
(2)由图线得出纵轴截距为b，则待测电池的电动势E =_____。
(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2，若k2
k1
=n，则待测电池的内阻r =____（用n和R0表示）。
【答案】(1)A
(2)1
b
(3) R0
n-1
【详解】（1）为了保护电路，闭合开关前，金属夹置于电阻丝的最大阻值处，由图可知，应该置于A
端。
（2）对于电路图（a），根据闭合电路欧姆定律有
U = E - Ir
设金属丝的电阻率为ρ，横截面积为S，结合欧姆定律和电阻定律
I = U
R
R = ρ L
S
联立可得
U = E - US
ρL r
整理可得
1
U = 1
E + Sr
Eρ ⋅1
L
对于电路图（b），根据闭合电路欧姆定律有
U = E - I (r + R0)
结合欧姆定律和电阻定律
I = U
R
R = ρ L
S
联立后整理
1
U = 1
E + S(r + R0)
Eρ
⋅1
L
可知图线的纵轴截距
b= 1
E
解得
E = 1
b
（3）由题意可知
k1= Sr
Eρ
k2= S(r + R0)
Eρ
又
k2
k1
=n
联立解得
r = R0
n-1
2．（2024·甘肃·高考真题）精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响。可用器材有：电
压表（量程1.5V，内阻约为1.5kΩ）、电流表（量程0.6A）、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干。
某小组开展了以下实验。
(1)考虑电流表内阻影响
①用图1 所示电路测量电流表的内阻。从图2 电压表和电流表读数可得电流表内阻R A =______Ω（保
留2 位有效数字）。
②用图3 所示电路测量干电池电动势和内阻。电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分
别用U、I、r 和R A表示。则干电池电动势
______（用I、r 和R A表示）。
③调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图4 所示的U - I图像。则待测干电池电动势E =______V
（保留3 位有效数字）、内阻r =______Ω（保留1 位小数）。
(2)考虑电压表内阻影响
该小组也尝试用图5 所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成。原因是______（单选，填正确
答案标号）。
A．电路设计会损坏仪器
B．滑动变阻器接法错误
C．电压太大无法读数
D．电流太小无法读数
【答案】(1) 1.0 I (r + R A) 1.40 1.0
(2)D
【详解】（1）[1]由图2 可知，电压表读数为
U =0.60V
电流表读数为
I =0.58 A
根据欧姆定律可得电流表内阻为
R A = U
I = 0.60
0.58 Ω≈1.0Ω
[2]由闭合电路欧姆定律可知，干电池电动势的表达式为
E =U + I (r + R A)
[3][4]根据E =U + I (r + R A)变形为
U =-(r + R A)I + E
根据图像可知，纵截距
b= E =1.40V
斜率的绝对值
|k|=r + R A = 1.40-1.00
0.20-0
Ω=2.0Ω
所以待测干电池电动势为
E =1.40V
电源内阻为
r =1.0 Ω
（2）由于将电压表串联接在电路中，电压表内阻很大，电路中电流太小，故无法完成实验的原因可
能是电流太小无法读数。
故选D。
3．（2025·海南·高考真题）某小组测量电动势和内阻，可供使用的器材有：
电源（电动势E约为3V，内阻未知）
电压表（量程0~3V，内阻RV约为3kΩ）
电流表（量程0~0.6A，内阻RA约为1Ω）
定值电阻R0=3Ω
滑动变阻器R1（最大阻值50Ω）
滑动变阻器R2（最大阻值500Ω）
开关S
导线若干
该小组设计了如图(a)的实验电路：
回答下列问题：
(1)为了测量精确，滑动变阻器应选择_____（选填“R1”或“R2”）。
(2)闭合开关，调节滑动变阻器，记录电压表示数U 和对应的电流表示数I 如下表，根据表格的数据在
图(b)的坐标纸上补完数据点，并绘制U-I 图像_____。
1.00
1.30
1.70
2.00
2.50
0.38
0.32
0.24
0.18
0.08
(3)由U-I 图像可求得电源电动势测量值E测=_____V，内阻测量值r测=_____Ω（结果均保留三位有效
数字）。
(4)考虑电压表分流引起的误差，则E测 _____E真；（选填“大于”、 “小于”或“等于”）；r测与
真实值r真之间的关系式为_____（用RV，R0，r测，r真表示 ）。
【答案】(1)R1
(2)
(3) 2.90 2.00
(4) 小于 r测= (r真+ R0)RV
r真+ R0+ RV
- R0
【详解】（1）为了提高测量精度，方便调节电路，滑动变阻器选择最大阻值较小的R1；
（2）图像如下：
（3）[1][2]根据闭合电路欧姆定律有U = E测- I (R0+r测)
结合图线可得E测=2.90V ，R0+r测= 2.90
0.58 Ω
解得r测=2.00Ω
（4）[1]将电压表和电源等效为新的电源，故此时根据图像得到的电动势和内阻为等效电源的电动势
和内阻，等效电源的电动势为E测=
E真
r真+ R0+ RV
· RV
故E测< E真；
[2]将R0等效进电源的内阻中，可得等效新电源的内阻为r测= (r真+ R0)RV
r真+ R0+ RV
- R0
4．（2025·湖北·高考真题）某实验小组为测量一节干电池的电动势E 和内阻r，设计了如图（a）所示
电路，所用器材如下：干电池、智能手机、电流传感器、定值电阻R0、电阻箱、开关、导线等。按电路图
连接电路，将智能手机与电流传感器通过蓝牙无线连接，闭合开关S，逐次改变电阻箱的阻值R，用智能
手机记录对应的电流传感器测得的电流I。回答下列问题：
(1)R0在电路中起______（填“保护”或“分流”）作用。
(2)1
I 与E、r、R、R0的关系式为1
I =______。
(3)根据记录数据作出1
I - R图像，如图（b）所示。已知R0=9.0Ω，可得E=______V（保留三位有效数
字），r=______Ω（保留两位有效数字）
(4)电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果______（填“有”或“无”）影响。
【答案】(1)保护
(2) R
E + R0+r
E
(3) 1.47 1.3
(4)有
【详解】（1）R0与电阻箱串联，可知，R0在电路中起保护作用。
（2）根据闭合电路欧姆定律E = I (R+ R0+r)
化简可得1
I = R
E + R0+r
E
（3）[1][2]结合上述有1
I = R
E + R0+r
E
结合图（b）有1
E = 24 -7
25-0 V
-1，R0+r
E
=7 A
-1
解得E≈1.47V ，r ≈1.3Ω
（4）当电流传感器有内阻时，所测的电源内阻r测=r真+r传
导致电源内阻测量值偏大，即电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果有影响。
5．（2025·浙江·高考真题）在测量一节干电池的电动势和内阻的实验中，
(1)为了减小测量误差，如图所示的电路中应该选择的是___________（选填“甲”或“乙”）；
(2)通过调节滑动变阻器，测得多组U、I 数据，记录于下表。试在答题纸上的方格纸中建立合适的标
度，描点并作出U - I图像___________，由此求得电动势E =___________V，内阻r =___________Ω。（结
果均保留到小数点后两位）
次数
1
2
3
4
5
U/V
1.35
1.30
1.25
1.20
1.15
I/A
0.14
0.22
0.30
0.37
0.45
【答案】(1)甲
(2)
1.44/1.45/1.43 0.65/0.66/0.64
【详解】（1）因乙电路中电流表内阻对电源内阻的测量影响较大，则为了减小测量误差，如图所示
的电路中应该选择的是甲；
（2）根据实验数据做出电源的U-I 图像如图
[1][2]由U = E - Ir结合图像可知E =1.44V
内阻r = ΔU
ΔI = 1.35-1.15
0.45-0.14 Ω≈0.65Ω
