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计算题 01
1．(10 分)图甲为气压升降椅，图乙为其模型简图，活塞与椅面的总质量为m，活塞横截面积为S，汽缸内
封闭一定质量的理想气体，稳定时气体柱长度为L。设汽缸气密性、导热性能良好，忽略摩擦力。已知大
气压强为p0，室内温度T0，重力加速度为g。
(1)某同学盘坐上椅面，稳定后缸内气体柱长为
，求该同学的质量M；
(2)该同学坐稳定后，室内气温缓慢下降至0.9T0，求该过程外界对缸内气体做的功W。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）人坐上椅子，缸内压强由p1变为p2，气体做等温压缩，根据玻意耳定律可得
以活塞与椅面为对象，根据受力平衡可得
联立解得
（2）室内气温缓下降至0.9T0，气体等压压缩，气柱的高度为L′，则有
联立解得
2．(13 分)如图所示，质量为3m、半径为R 的四分之一光滑圆弧体b 静止在光滑的水平面上，圆弧面的最
计算题必刷·1 规范+1 模型+1 思想
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低点与水平面上的A 点对齐，且与水平面相切，轻质弹簧的右端与静止的质量为3m 的物块c 相连，左端
与水平面上的B 点对齐，AB 部分长为R，弹簧处于原长，水平面仅A、B 部分粗糙。现将质量为m、可视
为质点的物块a 从圆弧面的最高点由静止释放，物块a 与弹簧作用，第二次滑过AB 段后，恰好不再能滑
上圆弧面。已知弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
(1)物块a 从释放运动到圆弧面最低点时，圆弧体运动的距离为多少；
(2)物块a 第一次运动到A 点时速度多大；
(3)物块a 与水平面AB 部分间的动摩擦因数。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）物块a 在圆弧面上运动时，物块a 和b 组成的系统水平方向动量守恒，则
即
又因为
解得
（2）设物块a 第一次运动到A 点时速度为v1，圆弧体的速度为v2，根据水平方向动量守恒有
根据机械能守恒有
解得
，
（3）设物块a 与弹簧作用前的速度为v3，根据动能定理
设a 与弹簧作用后一瞬间速度为v4，物块c 的速度为v5，a 与弹簧作用过程，根据动量守恒定律
根据机械能守恒
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解得
，
由于物块a 刚好不再能滑上圆弧面，故物块a 第二次滑过AB 段后的速度大小等于v2，根据动能定理
解得
3．(16 分)如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距
，左半部分倾斜且粗糙，倾角
，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，
磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为
。右半部分俯视图如图（b）。导体棒
借助小
立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数
。导体棒
以
的速度向右进入三角形磁
场区域时，撤去小立柱，
棒开始下滑，同时对
棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两
棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为
，两棒的质量均为
，
棒电阻
，
棒电阻不计。重力加速度大小取
，以
棒开始下
滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，
棒的加速度大小
；
（2）
棒中电流随时间变化的关系式；
（3）
棒达到的最大速度
及所用时间
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）撤去小立柱时，导体棒
刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q 棒受力分析
（2）只有P 棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
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所以
（3）对Q 棒受力分析
当Q 棒速度达到最大时
解得此时
，
三角形磁场总长有
而P 棒在4s 内运动的位移为2m，小于L1。
Q 棒的加速度与时间的关系为
画出Q 棒的a-t 图，则Q 棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则
棒达到的最大速度
为
所用时间
=4s。
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