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高中物理解题技巧之电磁学篇10
数学圆法巧解磁场中的临界问题
一.应用技巧
1.“放缩圆”法
适用
条件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的
变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速
度v 越大，运动半径也越大。可以发现这些带
电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂
直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出
临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
【例】如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀
强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
2.“旋转圆”法
适用
条件
速度大
小一
定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电
粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速
圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，
则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
以入射点P 为圆心、半径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界
条件，这种方法称为“旋转圆”法
【例】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y
轴相切于坐标原点O。O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带电粒
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子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的
质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
3.“平移圆”法
【例】如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边
长度为d，∠B＝。现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未
知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的
粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D．粒子进入磁场时的速度大小为
二、实战应用(应用技巧解题，提供解析仅供参考)
1．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入
速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，
相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为
（ ）
A．
∶2
B．
∶1
C．
∶1
D．3∶
2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
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（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子
之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向
与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已
知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的
区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．直线OM 和直线ON 之间的夹角为30°，如图所示，直线OM 上方存在匀强磁场，磁感
应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒
子沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知
该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两直线交点O 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方的感应强度大
小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距
为L．一群质量为m、电荷为q，具有不同素的的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入
磁场，对于能够从宽度d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d 和L 不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d 和B 不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
6．如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在
纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所
在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－
4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力．电子源发射速度v
＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
A．θ＝90°时，l＝9.1cm
B．θ＝60°时，l＝9.1cm
C．θ＝45°时，l＝4.55cm
D．θ＝30°时，l＝4.55cm．
7．在直角坐标系
中，有一半径为
的圆形磁场区域，磁感应强度大小为
，方向垂直
于
平面指向纸面外，该区域的圆心坐标为
，如图所示。有一个负离子从点
沿
轴正向射入第I 象限，若负离子在该磁场中做一个完整圆周运动的周期为
，
则下列说法正确的是（ ）
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A．若负离子在磁场中运动的半径为
，则负离子能够经过磁场圆心坐标
B．若负离子在磁场中运动的半径为
，则负离子在磁场中的射入点与射出点相距最远
C．若负离子能够过磁场圆心坐标，则负离子在磁场中运动的时间为
D．若负离子在磁场中的射入点与射出点相距最远，则负离子在磁场中运动的时间
8．如题图，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC 边长
为l，
为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从C 点开始一定范围垂直AC 边射
入，射入的粒子恰好不从AB 边射出，已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为
，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
9．如图所示，半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在
的区间内各处均沿x 轴正方向
同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q、初速度均为v，粒子重力以
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及粒子之间的相互作用忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，其中最后到达y 轴的
粒子比最先到达y 轴的粒子晚
时间，则（ ）
A．粒子到达y 轴的位置一定各不相同
B．磁场区域半径R 应满足
C．从x 轴入射的粒子最先到达y 轴
D．
，其中
角的弧度值
10．如图所示，半径分别为R 和2R 的同心圆处于同一平面内，O 为圆心，两圆形成的圆环
内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为
m、电荷量为
的粒子由大圆上的A 点以速率
沿大圆切线方向进入磁场，
不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从A 点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为
B．经过时间
，粒子第1 次回到A 点
C．运动路程
时，粒子第5 次回到A 点
D．粒子不可能回到A 点
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11．如图所示，直角三角形
区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀
强磁场。
，
，在
点有一个粒子源，可以沿
方向发射速度大小不同的
带正电的粒子。已知粒子的比荷均为
，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的
是（ ）
A．随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变小
B．随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏向角越大
C．从
边射出的粒子的最大速度为
D．从
边射出的粒子，在磁场中的运动时间为
12．如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场
区域的对称轴
与
垂直.a、b、c 三个质子先后从点沿垂直于磁场的方向摄入磁场，
它们的速度大小相等，b 的速度方向与
垂直，a、c 的速度方向与b 的速度方向间的夹角
分别为
，且
.三个质子经过附加磁场区域后能到达同一点
，则下列说法中正
确的有
A．三个质子从运动到
的时间相等
B．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在
轴上
C．若撤去附加磁场,a 到达
连线上的位置距点最近
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D．附加磁场方向与原磁场方向相同
13．如图，坐标原点
有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为
、电量
为
的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在
，半径为
的圆形区
域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为
。磁场右侧有一长度为
，平
行于
轴的光屏，其中心位于
。已知初速度沿
轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂
直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与
轴夹角满足
14．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
、方向垂直
纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方
向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持
续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下
边界
竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均
为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均
为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板
到
距离L 的关系。
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15．通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数
与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和
电子，同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所示，位于P 点的静止中子经衰变可形
成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的垂直距离
为a。在探测板的上方存在方
向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关
系并给出
的范围。
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