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高中物理解题技巧之电磁学篇10
数学圆法巧解磁场中的临界问题
一.应用技巧
1.“放缩圆”法
适用
条件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的
变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速
度v 越大，运动半径也越大。可以发现这些带
电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂
直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出
临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
【例】如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀
强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【答案】 BC
【解析】 由t＝T 知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁
场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ 越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周
运动，轨迹线弧长s＝rθ，运动时间越长，θ 越大，但半径r 不一定大，s 也不一定大，故A
错误，B 正确．由周期公式T＝知，电子做圆周运动的周期与电子的速率无关，所以电子
在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨
迹4 与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r＝可知它们的速率不
同，故C 正确，D 错误．
1
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2.“旋转圆”法
适用
条件
速度大
小一
定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电
粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速
圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，
则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
以入射点P 为圆心、半径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界
条件，这种方法称为“旋转圆”法
【例】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y
轴相切于坐标原点O。O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带电粒
子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的
质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【答案】(1)见解析 (2)60°
【解析】(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得
Bqv＝m，则r＝。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，
故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察
到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大
则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大
sin ＝＝，即φmax＝60°。
3.“平移圆”法
【例】如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边
长度为d，∠B＝。现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未
知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的
粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
2
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A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D．粒子进入磁场时的速度大小为
【答案】 ABC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时
间是T，即为t＝T，则得周期为T＝4t，故A 正确；由T＝4t，R＝，T＝得，B＝＝，故B
正确；运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有Rsin ＋＝d，
解得R＝d，故C 正确；根据粒子在磁场中运动的速度为v＝，周期为T＝4t，半径R＝d，
联立可得v＝，故D 错误。
二、实战应用(应用技巧解题，提供解析仅供参考)
1．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入
速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，
相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为
（ ）
A．
∶2
B．
∶1
C．
∶1
D．3∶
【答案】C
【详解】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由
可知
3
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R＝
即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。
若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M
离P 点最远时，则
MP＝2R1
同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N 离P 点最远时，则
NP＝2R2
由几何关系可知
R2＝Rcos 30°＝
R
则
故选C。
2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子
之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动
4
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，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放
缩圆解决该问题，
粒子垂直ac 射入磁场，则轨迹圆心必在ac 直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。
当半径
和
时，粒子分别从ac、bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动
时间等于半个周期。
当0.5R<r<1.5R 时，粒子从半圆边界射出， 轨迹如图
粒子要想圆心角最大，则可知需要让
越大越好，因此
最大即为ce 和半圆磁场边
界相切，则根据几何关系可得此时
，因此可知此时恰好a 点即为粒子做圆周运
动的圆心，此时有
粒子运动最长时间为
,
故选C。
3．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向
与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已
知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的
区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为
，为了
使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，
如图所示
A 点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，
，
为直角三角形，则由几何关系可得
解得
解得磁场的磁感应强度最小值
6
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故选C。
4．直线OM 和直线ON 之间的夹角为30°，如图所示，直线OM 上方存在匀强磁场，磁感
应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒
子沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知
该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两直线交点O 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D 为一直线
解得
故选D。
5．利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方的感应强度大
小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距
为L．一群质量为m、电荷为q，具有不同素的的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入
磁场，对于能够从宽度d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是
7
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A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d 和L 不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d 和B 不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
【答案】BC
【详解】粒子向右偏转，根据左手定则知，粒子带负电．故A 错误．粒子在磁场中运动的
最大半径为
，根据半径公式
得，粒子的最大速度
．故B 正确．粒子在磁场中偏转的最小半径为
，根据半径
公式
得，粒子的最小速度
，则最大速度和最小速度之差
，保持
d 和L 不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大．保持d 和B 不变，增大
L，射出粒子的最大速度和最小速度之差不变．故C 正确，D 错误．故选BC．
6．如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在
纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所
在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－
4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力．电子源发射速度v
＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
A．θ＝90°时，l＝9.1cm
B．θ＝60°时，l＝9.1cm
8
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C．θ＝45°时，l＝4.55cm
D．θ＝30°时，l＝4.55cm
【答案】AD
【详解】解：由洛仑兹力充当向心力可得；
Bqv=m
解得：R=
=
=0.0455m=4.55cm；
所有粒子的圆心组成以S 为圆心，R 为半径的圆；电子出现的区域为以S 为圆心，以9.1cm
半径的圆形区域内，如图中大圆所示；
故当θ=90°时，纸板MN 均在该区域内，故l=9.1cm；当θ=30°时，l=4.55cm；故AD 正确，
BC 错误；
故选AD．
．
7．在直角坐标系
中，有一半径为
的圆形磁场区域，磁感应强度大小为
，方向垂直
于
平面指向纸面外，该区域的圆心坐标为
，如图所示。有一个负离子从点
沿
轴正向射入第I 象限，若负离子在该磁场中做一个完整圆周运动的周期为
，
则下列说法正确的是（ ）
9
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A．若负离子在磁场中运动的半径为
，则负离子能够经过磁场圆心坐标
B．若负离子在磁场中运动的半径为
，则负离子在磁场中的射入点与射出点相距最远
C．若负离子能够过磁场圆心坐标，则负离子在磁场中运动的时间为
D．若负离子在磁场中的射入点与射出点相距最远，则负离子在磁场中运动的时间
【答案】BC
【详解】
AC．若负离子能够过磁场圆心坐标（如图），负离子在磁场中运动的半径为
，负离子在
磁场中运动的圆弧等于完整圆弧的
，所以负离子在磁场中运动的时间
，选项A 错
误，C 正确。
BD．若负离子在磁场中的射入点与射出点相距最远，如图，以
为圆形磁场区域的一条
直径，负离子在磁场中运动的半径为
，负离子在磁场中运动的圆弧等于完整圆弧的
，
所以负离子在磁场中运动的时间
，选项B 正确，D 错误。
故选BC。
8．如题图，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC 边长
为l，
为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从C 点开始一定范围垂直AC 边射
入，射入的粒子恰好不从AB 边射出，已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为
，则（ ）
A．磁感应强度大小为
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B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时
间是
T，由
得
解得
故A 正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图
设轨道半径为R，由几何知识得
可得
11
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故B 错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为
故C 正确；
D．射入的粒子恰好不从AB 边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D 正确。
故选ACD。
9．如图所示，半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在
的区间内各处均沿x 轴正方向
同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q、初速度均为v，粒子重力以
及粒子之间的相互作用忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，其中最后到达y 轴的
粒子比最先到达y 轴的粒子晚
时间，则（ ）
A．粒子到达y 轴的位置一定各不相同
B．磁场区域半径R 应满足
C．从x 轴入射的粒子最先到达y 轴
D．
，其中
角的弧度值
【答案】BD
【详解】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
12
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的粒子直接沿直线做匀速运动到达y 轴，其它粒子在磁场中发生偏转
A．由图可知，发生偏转的粒子也有可能打在y=R 的位置上，所以粒子到达y 轴的位置不是
各不相同的，故A 错误；
B．以沿x 轴射入的粒子为例
则粒子不能达到y 轴就偏向上离开磁场区域，所以要求
所有粒子才能穿过磁场到达y 轴，故B 正确；
C．从x 轴入射的粒子在磁场中对应的弧长最长，所以该粒子最后到达y 轴，而y=±R 的粒
子直接沿直线做匀速运动到达y 轴，时间最短，故C 错误；
D．从x 轴入射的粒子运动时间为
的粒子直接沿直线做匀速运动到达y 轴，时间最短
所以
其中角度
为从x 轴入射的粒子运动的圆心角，根据几何关系有
则有
13
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故D 正确。
故选BD。
10．如图所示，半径分别为R 和2R 的同心圆处于同一平面内，O 为圆心，两圆形成的圆环
内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为
m、电荷量为
的粒子由大圆上的A 点以速率
沿大圆切线方向进入磁场，
不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从A 点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为
B．经过时间
，粒子第1 次回到A 点
C．运动路程
时，粒子第5 次回到A 点
D．粒子不可能回到A 点
【答案】AB
【详解】依题意，可作出粒子的运动轨迹如图所示
A．依题意，可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
，带电粒子从A 点出发第一次到
达小圆边界上时，由几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为
，则粒子
运动的路程为
故A 正确；
14
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B．粒子第1 次回到A 点，由几何知识可得粒子在磁场运动的总时间为
在无磁场区域运动的总时间为
则粒子第1 次回到A 点运动的时间为
故B 正确；
C．由几何知识，可得粒子第一次回到A 点运动路程
则粒子第5 次回到A 点时，运动的总路程为
故C 错误；
D．由以上选项分析可知，粒子能回到A 点，故D 错误。
故选AB。
11．如图所示，直角三角形
区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀
强磁场。
，
，在
点有一个粒子源，可以沿
方向发射速度大小不同的
带正电的粒子。已知粒子的比荷均为
，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的
是（ ）
A．随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变小
B．随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏向角越大
C．从
边射出的粒子的最大速度为
D．从
边射出的粒子，在磁场中的运动时间为
15
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【答案】CD
【详解】B．粒子在磁场中做圆周运动，从
边射出的粒子轨迹如图所示
则射出磁场时速度的偏向角都相等为60°，故B 错误；
C．从
点射出的粒子速度最大，由几何关系知，粒子运动的半径
由
得，最大速度为
选项C 正确；
AD．从
边射出的粒子的圆心角为
，在磁场中的运动时间为
则随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间不变，故A 错误，D 正确。
故选CD。
12．如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场
区域的对称轴
与
垂直.a、b、c 三个质子先后从点沿垂直于磁场的方向摄入磁场，
它们的速度大小相等，b 的速度方向与
垂直，a、c 的速度方向与b 的速度方向间的夹角
分别为
，且
.三个质子经过附加磁场区域后能到达同一点
，则下列说法中正
确的有
16
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A．三个质子从运动到
的时间相等
B．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在
轴上
C．若撤去附加磁场,a 到达
连线上的位置距点最近
D．附加磁场方向与原磁场方向相同
【答案】CD
【详解】本题考查带电粒子在磁场中的运动．由题中图形可知a、b、c 三个轨迹的长度是
不同的，而三种情况下粒子的运动速率相同，所以三个质子从S 运动到S’所用时间不等，A
项错误；在没有附加磁场的情况下，粒子运动的轨迹可以用右图来描绘，其中α>β，很明
显的看出它们的圆心不同时在OO’上，B 项错误；随着与垂直SS’运动方向夹角的增大，距
离S 点位置越近，因此撤去附加磁场后，a 到达SS’连线上的位置距S 点位置最近，C 项正确；
质子要想全部聚集在S’点，必须使得质子在原磁场中向右下方弯曲，根据左手定则，可以
判定附加磁场方向与原磁场方向相同，D 项正确．
13．如图，坐标原点
有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为
、电量
为
的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在
，半径为
的圆形区
域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为
。磁场右侧有一长度为
，平
行于
轴的光屏，其中心位于
。已知初速度沿
轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂
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直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与
轴夹角满足
【答案】AC
【详解】A．由题意，初速度沿
轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有
解得
A 正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直
高度最大值为
，并不会垂直打在光屛上，B 错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
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根据周期公式
可得
C 正确；
D．粒子初速度方向与
轴夹角为
时，若能打在光屛下端，如图
19
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由几何关系可得圆心角
即初速度与
轴夹角为
同理，粒子打在光屛上端时（图同B），初速度与
轴夹角为
D 错误。
故选AC。
14．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
、方向垂直
纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方
向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持
续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下
边界
竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均
为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均
为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板
到
距离L 的关系。
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【答案】(1)
，0.8R；(2)
；(3)当
时：
；当
时：
；当
时：
【详解】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界
边的Q 点射出，则由几何关系可
得
，
(2)a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界
边射出时距离H 点的距离为x，
由几何关系可得
21
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即a、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为
、
，
由几何关系可得
探测到三束离子，则c 束中的离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
的距离最大，
则
(3)a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
当
时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当
时， 只有b 和c 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板
的平均作用力为
当
时， 只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用
力为
15．通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数
与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和
电子，同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所示，位于P 点的静止中子经衰变可形
成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的垂直距离
为a。在探测板的上方存在方
向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关
系并给出
的范围。
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【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
核反应过程中：
根据动量和动能关系：
则总动能为：
（2）质子运动半径：
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
可得质子计数率为：
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（3）在确保计数率为
的情况下：
即：
如图乙所示：
恰能打到探测板左端的条件为：
即：
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