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绝密★启用前
2023 年高考押题预测卷02【全国甲卷】
数 学（理科）参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
A
B
D
A
C
D
A
D
C
D
1.C 【解析】：
，所以
，
，
或
．故选：
．
2. A 【解析】依题意，
，将向量
绕点
逆时针旋转90°所得向量坐标为
，
，
则有
，解得
，因此
，即
，
所以
.故选：A
3.A 【解析】：扇形
的面积
，
，
则底面积
，所以曲面棱柱的体积
，故选：
．
4.B 【解析】：对于
选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故
正确，
对于
选项，从环比来看，2018 年12 月至2019 年12 月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环比有
涨有跌，故
错误，
对于
选项，从环比同比来看，2018 年12 月至2019 年12 月全国居民消费价格同比均上涨，故
正确，
对于
选项，设2018 年12 月，2018 年11 月，2017 年12 月的全国居民消费价格分别为
，
，
，由题
意可得
，
，则
，故
正确，故选：
．
5.D 【解析】：已知直线和平面
所成的角为
，根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内
所有直线所成角中最小的角，故与
内直线所成角的最小值为
，当在
内的射影与平面
内的直线
垂直时，与之所成的角为
，故与
内直线所成角的范围为
．故选：
．
6. A 【解析】由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，
1
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，
，即
，
所以
，则输出的结果用原来数据表示为b，a，c.故选∶A．
7.C 【解析】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，
对于
，
是奇函数并且经过坐标原点，
选项是优美函数；
对于
，
是奇函数并且经过坐标原点，
选项是优美函数；
对于
，
的定义域为
，所以图像不经过坐标原点，
选项不是优美函数；
对于
，
，是奇函数，并且经过坐标原点，
选项是优美函数；故选：
．
8. D【解析】因为
，所以
，因为
，所以
∽
，
所以
，所以
，因为
，
，
所以
，设
，
分别为
的中点，因为
，
所以
，所以
为
的中点，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
，所以
；故选：D
9. A 【解析】：每列相邻的
灯共4 对，共有5 列，故横向相邻有
种；同理纵向相邻也有20
种，所以这2 头故障
灯相邻的概率为
．故选：
．
10.D【解析】：取
，
的中点
，
，易得
，
底面
为梯形，
，
，
，
2
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故
是等腰梯形，故底面
的外接圆的圆心在
上，记为
，
设
，可得
，解得
，
连接
，可得
的外接圆的圆心在
上，记为
，易得
，
设
，
，解得
，
过
作平面
的垂线，过
作平面
的垂线，两垂线交于
，
则
为外接球的球心，由平面
底面
，
可得
为矩形，可得外接球半径
，
四棱锥
外接球的表面积为
．故选：
．
11.C 【解析】设
为
的中点，
为
的重心，
，又
，
从而可得
，
，又直线与
的右支交于
，
两点，
，
，
经检验知：当离心率
时，
，
，
，
四点共线，
，
又根据点差法易得
，又
，
，又
，
，
，
，故选：
．
12. D 【解析】由
两边取对数可得
①，
3
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令
则
，因为
，所以
，
则①可转化得
，因为
，
因为存在
，使得关于
的不等式
成立，
所以存在
，
成立，故求
的最小值即可，
令
，
令
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，
，所以
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
，
4
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，所以实数
的最小值为
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13.
． 14. 30 15.
（注：可以用不等关系表示） 16. ①. 4 ②.
13【解析】角
的终边过点
，则
，
，
．故答案为：
．
14.【解析】：因为
，
所以
是含
项的系数，若从10 个
式子中取出0 个
，
则需要从中取出3 个
，7 个1，则得到的项为
，
若从10 个
式子中取出1 个
，
则需要从中取出1 个
，8 个1，则得到的项为
，
若从10 个
式子中取出大于或等于2 个
，则无法得到含
的项，
综上：含
的项为
，则含
项的系数为30．故答案为：30．
15.【解析】函数
，
当
时，
，
当
时，
，
5
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时，
，
在
上单调递增，
则有
或
，
解得
，当
时，有解
；
或
，当
时，有解
.
实数
的取值范围是
.故答案为：
16.【解析】由椭圆C：
可知
，
，
设
的方程为
，设
，
则由题意可得切线
的方程为
，同理切线
的方程为
，
即
，则
，
即
，所以P 点的横坐标为4；
又
，
故
的垂心为点H，则
，
6
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故
的方程为
，
的方程为
，
将两方程联立解得
，即
，
故
，
当且仅当
即
时取得等号，
故
的最小值为
，故答案为：4；
【点睛】关键点睛：求解
的最小值时，要求出
的坐标，利用两点间距离公式表示出
，结
合基本不等式求得最值，关键是利用椭圆的切线方程，联立求出P 点坐标.
17．【答案】（1）
，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题知
，进而结合等差数列通项公式解方程即可得
，
，再求
解通项公式与前
项和；
（2）选①：结合（1）得
，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得
，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得
，再根据错位相减法求解即可；
【解析】(1)设等差数列
的公差为
，
依题意可得
，则
2
1
na
n
7
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解得
，
，所以，数列
的通项公式为
.
;综上：
(2)选①
由（1）可知：
∴
∵
∴
选②
;由（1）可知：
∴
∵
选③
;由（1）可知：
，∴
∵
则
8
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于是得
两式相减得
，
所以
.
18.【答案】（1）
更适宜 （2）
，65.35 百万元 （3）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）根据散点图确定正确答案.
（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.
（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【解析】(1)根据散点图判断，
更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；
(2)因为
，所以两边同时取常用对数，得
，设
，所以
，因为
，所以
所以
.
所以
，即
，所以
.
令
，得
，
故预测该公司7 月份的5G 经济收入大约为65.35 百万元.
(3)前6 个月的收入中，收入超过20 百万元的有3 个，所以X 的取值为0，1，2，
所以X 的分布列为：
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0
1
2
P
所以
.
19.【答案】（1）证明见解析 （2）
或
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，由线面垂直的性质又可得线线垂直，即可由线面垂直的判定
定理求证,
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求解可得平面
的法向量,由两个平面法向量的夹角,结
合图形特征即可求解二面角大小.
【解析】(1)由已知，
为等腰直角三角形，E 为AC 的中点，可得
，
中
，
，
，
，
所
以
由
余
弦
定
理
得
，
因为
，所以AC⊥BC，
又因为AD⊥BC，
，
平面ADC,所以BC⊥平面ADC，
又
平面ADC，所以
，又
，
，
平面
,所以
平面
．
(2)如图过C 点作平面ABC 的垂线CP，以C 为原点，
分别以
，
，
为x，y，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz，
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则
，设
，其中
，
则
，
，
，
设平面ACD 的一个法向量为
，
则
即
可得
，
由题意
，解得
或
，
易知平面ABC 的一个法向量为
，
当
时，
，
，
由图可知二面角D-AC-B 为锐角，故二面角D-AC-B 的余弦值为
，
当
时，
，
，
由图可知二面角D-AC-B 为锐角，所以二面角D-AC-B 的余弦值为
，
综上，二面角
的余弦值为
或
．
20. 【解析】（1）解：易知直线
与
轴交于
，
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所以
，
，抛物线方程为
．
（2）①设直线
方程为
，
，
，
联立方程组
得
，
所以
，
．
②设直线
方程为
，
，
联立方程组
得
，
所以
，
，
整理得
，
，所以直线
过定点
．
21.【答案】（1）
（2）
，
【分析】（1）将
代入，得出
时，
，即
在区间
上单调递增，即可求出值域；
（2）先求出
，当
时，
，
在
单调递增，不合题意舍去；当
时，令
，则
，设
，再判断
的单调性，得出
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时符合题意，即可求出实数
的取值范围；由
和
即可得出
的值．
【解析】（1）当
时，
，其中
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
．
（2）
，其中
，
当
时，显然
，所以
在
上单调递增，
至多有1 个零点，不合题意舍去；
当
时，令
，则
，
设
，其中
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
有2 个零点，
当
时，
，
在
单调递增，显然不合题意，
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所以
有三个零点时，
的取值范围是
；
又因为
，
所以
，又
，
，
所以
，所以
，故
．
22.【答案】（1）
；
（2）
【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的
直角坐标方程;
（2）设
，由题意可得
，计算可求点P 横坐标的取值范围.
【解析】（1）由曲线
的参数方程为
（
为参数），
可得
由
,得
,即
,
曲线
的普通方程为
,直线的直角坐标方程为
（2）设
,连接
，易得
，
若
,则
，
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在
中，
，
,
,两边平方得
,
解得
,
点
横坐标的取值范围为
23．【答案】（1）
； （2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.
【解析】（1）依题意，
，于是不等式
化为：
或
或
，解得
，
所以不等式
的解集
.
（2）由（1）可知：函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即
，
由
得
，即
，
于是
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
15
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