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7.4 常见的几种分布列
1
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2
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3
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4
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考点一 二项分布
【例1】（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1 分，负者得0 分，
且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为
，每局比赛的结果互不影响.
(1)经过3 局比赛，记甲的得分为X，求X 的分布列和期望；
(2)若比赛采取3 局制，试计算3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【一隅三反】
1．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022 年10 月16 日在北京开幕，各地报起了
一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000 人
的竞赛成绩（满分100 分）数据，统计结果如下表所示：
成绩区
间
频数
20
180
200
280
220
80
20
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3 位同学参加党史知识竞赛，记他们之中
不低于60 分的人数为
，求
的分布列及数学期望.
2．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5 个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，
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直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件
为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.
(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件
为“大货车从中间直行车道通行”，求
；
(2)用
表示张先生每周工作日出行事件
发生的次数，求
的分布及期望
.
考点二 超几何分布
【例2】（2024·广东茂名·一模）近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了
加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企
业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个
汽车零部件进行检测.
(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3 个零部件进行检测，求至少有1 个零部件是合格的概率；
(2)若该批零部件共有20 个，其中有4 个零部件不合格，现从中任取2 个零部件，求不合格零部件的产品数
的分布列及其期望值.
【一隅三反】
1．（2024 高三下·河南·专题练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有10 个大小､形状完全相同的小球，其中8 个
6
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白球，2 个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4 次，记随机变量
为小张摸出白球
的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求
和
；
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求
的分布列.
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知一个不透明的箱中装有3 个白球，4 个黑球，现从该箱中任取3 个球
（无放回，且每球取到的机会均等）.
(1)求取出的3 个球的颜色相同的概率；
(2)记随机变量
为取出3 个球中白球的个数，求
的分布列及数学期望．
3．（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多
爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等
各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径
为一级果，果径
为二级果，果径
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或
以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000 个，测量这
些脐橙的果径（单位：
），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000 个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000 个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9 个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽
取的9 个脐橙中再抽出3 个，求抽到的一级果个数
的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100 个，其中一级果的个数为
，
记一级果的个数为
的概率为
，写出
的表达式，并求出当
为何值时，
最大？
考点三 正态分布
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023 年11
月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100 个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
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脐橙数量/盒
购物群数量/个
12
18
32
18
(1)求实数
的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100 个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量
，其中
为（1）中的平均数，
.若该脐橙基地参与
销售的购物群约有1000 个，销售的脐橙在
（单位：盒）内的群为“
级群”，销售数量小于256 盒
的购物群为“
级群”，销售数量不小于616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励
600 元，每个“
级群”奖励100，对“
级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数
按四舍五入取整数）
附：若
，则
，
，
.
【一隅三反】
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，
9
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减轻学生学习压力，准备对各校高三男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数
（单位：
）
学生得分
50
70
80
90
某校为迎接检查，高三第一学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布
，学校制
定了相应的措施指导学生调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．5 月中旬，教育局聘请第三方机构抽查
的该校高三30 名男生的身高指数频数分布表如下：
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数
（单位：
）
人数
3
9
12
6
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
附：参考数据与公式：若
，则①
；②
；③
.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分
布
，并把质量差在
内的产品称为优等品，质量差在
内的产品称为一等品，
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优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000 件，
测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s 近似值为10，用样本平均数
作为
的近似值，用样本
标准差s 作为
的估计值，记质量差服从正态分布
，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同
一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
．
(2)假如企业包装时要求把2 件优等品和n（
，且
）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中
摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n 的代数式表示某箱产品抽检被记为B 的概率p；
②设抽检5 箱产品恰有3 箱被记为B 的概率为
，求当n 为何值时，
取得最大值．
11
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3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024 年3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12
个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球
，已知这种球的质量指标
（单位：
）服从正态分布
，其中
.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11 场比赛，最
后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5 局3 胜制）：比赛中以3：0 或3：1 取胜的球队积3 分，
负队积0 分；而在比赛中以3：2 取胜的球队积2 分，负队积1 分.9 轮过后，积分榜上的前2 名分别为1 班排球
队和2 班排球队，1 班排球队积26 分，2 班排球队积22 分.第10 轮1 班排球队对抗3 班排球队，设每局比赛1
班排球队取胜均概率为
.
(1)令
，则
，且
，求
，并证明：
；
(2)第10 轮比赛中，记1 班排球队3：1 取胜的概率为
，求出
的最大值点
；
(3)以（2）中
作为
的值，在第10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为
，求
的分布列.
参考数据：
，则
，
.
12
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考点四 独立重复试验
【例4】（2024·四川攀枝花·三模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文
化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，其中前2 个问题回答正确各得5 分，回答不正确得0 分；第三个问
题回答正确得10 分，回答不正确得-5 分，得分不少于15 分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率
都是
，回答第三个问题正确的概率为
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分X 的分布列及数学期望．
【一隅三反】
1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有
个红球和2 个白球，乙口袋有
个
红球和2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球
2 次，每次摸出一个球.
(1)当
时，
（i）求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
（ii）设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
(2)当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，则当
为何值时，
最大？
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2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为
、
，投中
得分，投不中得
分．两人的每次投球均相互独立．
(1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0 分的概率；
(2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和
的分布列及其数学期望．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）某旅游景区在手机APP 上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有
4 个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选
项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数
的
(1)求甲任选一题并答对的概率;
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2 道单项选择题构成，每道选择题答对得2 分，答错扣1 分，放弃
作答得0 分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为
，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每
组答题总得分为
，
①求
和
②求
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考点五 条件概率与全概率
【例5-1】（23-24 江苏南通·阶段练习）某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五
局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件
表示“甲获得冠军”，事件
表示
“比赛进行了五局”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024·河北邢台·二模）（多选）为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育
活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，
则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
，由掷两枚硬币的方式确定第一
次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．第三次投篮的人是乙的概率为
C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
D．设第n 次投篮的人是甲的概率为
，则
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有9 个除颜色外完全相同的小球，其中5 个红球，4 个黄球．若从袋子
中任取3 个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2 红1 黄的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲乙两人为一组参加比赛
､
，
每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情
况如何，甲每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮
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的人是甲乙的概率各为
､
.第2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2 次投篮的人是乙的情况下，
第1 次投篮的人是甲的概率为 .
3．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津
旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这
6 个随机选择1 个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选
择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ．
4．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．
现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数
字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2 号球的概率为 ．
考点六 统计案例
【例6-1】（2024·上海·模拟预测）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损
坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数
（个）
61
73
90
105
119
136
149
163
(1)建立
关于
的回归模型
，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数.（
精确到0.1，
精确到1，精确到0.0001）
(2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100 台进行等距离飞行测试，对其中60 台进行
飞行前保养，测试结束后，有20 台报废，其中保养过的推进器占比
，请根据统计数据完成
列联表，
并根据小概率值
的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养
未保
养
合计
报废
20
未报
废
合计
60
100
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
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【例6-2】（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量
（单位：
瓶）与天气温度
（单位：
）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气
温度
和饮料的销售量
进行了数据收集，得到下面的表格：
10
15
20
25
30
35
40
4
16
64
256
2048
4096
8192
经分析，可以用
作为
关于
的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求
关于
的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1 分，需添加饮料的记2 分，每台饮料自动售卖机在一天中需
添加饮料的概率均为
，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3 台，记总得分为随机变量
，求
的分布
列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据
，经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为
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【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘
法得到电动汽车销量
（单位：万台）关于
（年份）的线性回归方程
，且销量
的方差为
，年份
的方差为
.
(1)求
与
的相关系数，并据此判断电动汽车销量
与年份
的线性相关性的强弱.
(2)该机构还调查了该地区90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽
车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值
的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
①参考数据：
.
②参考公式：线性回归方程为
，其中
，
；相关系数
，若
，则可判断
与
线性相关较强；
，其
中
.附表：
18
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0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
2．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛
奶精品”的美誉.2024 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）
的数据如下：
人工投入增量x（人）
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y（万元）
13
22
31
42
50
56
58
该基地为了预测人工投入增量为16 人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对人工投入增量x 做变换，
令
，则
，且有
，
，
，
.
(1)（i）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工
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投入增量为16 人时的年收益增量.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服
从正态分布
.购买10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大?
附：若随机变量
，则
，
；
样本
的最小二乘估计公式为：
，
，
.
考点七 分布列与数列综合
【例7-1】（2024·广西南宁·二模）2023 年10 月7 日，杭州第19 届亚运会女子排球中国队以3：0 战胜日本队
夺得冠军，这也是中国女排第9 个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，
某校甲、乙、丙等7 名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2 人，副攻手2 人，接应
手1 人，二传手1 人，自由人1 人．现从这7 人中随机抽取3 人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为
，求
的分布列及期望；
(3)若恰好抽到甲，乙，丙3 人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为
，当乙接到球时，乙传
给甲、丙的概率分别为
，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为
，假设球一直没有掉地上，求经
过n 次传球后甲接到球的概率．
20
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【例7-2】（2024·山东济南·二模）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成
平后，每球交换发
球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为
､
，
乙发球时甲得分的概率为
，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成
平后，甲先发球.
(1)求再打2 球该局比赛结束的概率；
(2)两人又打了
个球该局比赛结束，求
的数学期望
；
(3)若将规则改为“打成
平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.
【一隅三反】
1 ．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）甲乙两个口袋中各装有1 个黑球和2 个白球，现从甲、乙两口袋中
各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有1 个黑
球的概率为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
的数学期望
2．（2024·黑龙江·模拟预测）三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其
中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石
头”时，只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜
拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第
回猜拳决出胜利者的概率.
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考点八 分布列中的最值
【例8-1】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果标准果精
､
､
品果礼品果
､
.质检技术人员从该批水果中随机选取100 个，按果径大小分成5 组进行统计：
（单位：
）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于
为不达标果，在
到
之间为标准果，在
到
之间为精品果，达到
及以上的为
礼品果.
(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100 个水果中抽取10 个，再从这10 个水果中随机抽取2 个，记礼品果
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的个数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取
个，设其中恰有2 个精品果的概率为
.当
最大时，
求
的值.
【例8-2】（2024·广东梅州·一模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500 名
高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
三
组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3 人.记参加公益劳动时间在
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内的学生人数为
，求
的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20 名学生，用“
”表示这20 名学生
中恰有
名学生参加公益劳动时间在
]（单位:小时）内的概率，其中
.当
最大时，写
出
的值.
【一隅三反】
1．（2024·河北沧州·三模）双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009 年11 月11 日举办的促销活动，当时
参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11 月11 日成为天猫举办大规模促销活动
的固定日期.某工厂现有工人50 人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照
，
，
，
分成4 组，制成如图所示的频率分布直方图.
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(1)求
的值及年产量的第75 百分位数；
(2)假设年产量在
中的工人中有
名女性
，从该区间的人中随机抽取10 人进行奖励，其中
女性恰有
人，记
，则当
为何值时，
取得最大值.
2．（23-24 高二下·浙江舟山·期末）某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部
参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，
教练对近两年甲参加过的60 场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12 次，其中球队获胜6 次；
中锋位置出场24 次，其中球队获胜16 次；后卫位置出场24 次，其中球队获胜18 次.用该样本的频率估计概率，
则：
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(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10 场热身赛，比赛没有平局，获胜得1 分，失败得0 分.已知Ⅰ队在每场比
赛中获胜的概率是p（
），若比赛最有可能的比分是7 3∶，求p 的取值范围；
(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6 支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若
每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3 场的条件下，记其获胜的场数为X，求X 的分布列和数学期望.
一．单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开
的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的
过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别
26
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为
，用
表示小球最后落入格子的号码，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5 且质地、大小相同的5 个小球，从袋子中一次性摸出
两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4 人参与摸球，则恰好2 人获奖的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的
只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2 倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号
的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2
B．0.5
C．0.6
D．0.8
4．（2024·辽宁·模拟预测）某种酸奶每罐净重
（单位：g）服从正态分布
.随机抽取1 罐，其净
重在
与
之间的概率为（ ）
（注：若
，
，
，
）
A．0.8186
B．0.84135
C．0.9545
D．0.6827
5（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标
，单位为
．该厂每天生
产的零件尺寸在(43.8,48.6)的数量为84000，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在42.6 以下的数量为（ ）
参考数据：若
，则
．
A．1587
B．2275
C．2700
D．1350
27
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6．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点
出发，每次向左移动的概率为
，
向右移动的概率为
.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位于
的位置，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·湖南·模拟预测）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区
内进行
投球.规定球重心投掷到区域
内得3 分，区域
内得2 分，区域
内得1 分，投掷到其他区域不得分.已知甲选
手投掷一次得3 分的概率为0.1，得2 分的概率为
，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3 次，得分大于
7 分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1 分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数
和
的分布列如下表一和下表二所示；
表一
6
7
8
9
10
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
表二
6
7
8
9
10
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
概率分布条形图如下图三和图四所示：
28
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则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1 名体育生组成
甲组，3 名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3 次，乙组的
同学每人各投球1 次.若甲组同学和乙组3 名同学的命中率依次分别为
，则（ ）
A．乙组同学恰好命中2 次的概率为
B．甲组同学恰好命中2 次的概率小于乙组同学恰好命中2 次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
10．（23-24 高三下·河南·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知变量
，
的线性回归方程
，且
，则
B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19 的
分位数为11
C．已知随机变量
最大，则
的取值为3 或4
D．已知随机变量
，则
11．（2024·山西太原·模拟预测）某工厂对一条生产线上的产品A 和B 进行抽检．已知每轮抽到A 产品的概率
为
，每轮抽检中抽到B 产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A 产品的件数与B 产品的件数的
比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（ ）
A．若
，则
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B．当
时，
取得最大值
C．若一轮抽检中x 的很大取值为M，
D．
恒成立
三．填空题
12．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔
等可能地
向左或向右移动一个单位，共移动5 次.该质点在有且仅有一次经过
位置的条件下，共经过两次1 位置的概
率为 .
13．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的四个外观相同的空箱子中随机选择
一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，
在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概
率．现在已知甲选择了号箱，用
表示号箱有奖品（
），用
表示主持人打开号箱子（
），则
，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在
内就认为身体
素质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在
内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取100 名高
中生的身体素质指标值
，经计算
．若该市高中生的身体
素质指标值服从正态分布
，则估计该市高中生身体素质良好的概率为 ．（用百分数作答，精确
到
）
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
．
四．解答题
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15．（2025 上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体
育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200 名学生，得到的反馈数据如
下：（单位：人）
男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
(1)能否有
的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关?
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记
事件
为“学生甲选择足球”，事件
为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求
，并判断事件
，
是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数
．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显
进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10 个，若该校有1000 名学生，请预估经过训
练后该校每分钟跳169 个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：
，其中
，
．若
，
，
，
．
16．（2024·河南三门峡·模拟预测）2024 年7 月26 日至8 月11 日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运
知识，M 大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6 道题中任选2 题作答，2 题均答对则进入决赛.已知这6 道题中小王能答对其中4 道题，记小王在初
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赛中答对的题目个数为
，求
的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)
大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进
入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3 次，中奖1 次奖励120 元，中奖2 次奖励180 元，中奖3 次奖励360 元，
若3 次均未中奖，则只奖励60 元.假定每次抽奖中奖的概率均为
，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1 次的概率为
，求
的极大值；
（ii）
大学数学系共有9 名大学生进入了决赛，若这9 名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120 元，试求
此时
的取值范围.
17．（2024·广东汕头·三模）11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1
分，先得11 分且至少领先2 分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10 10
∶
后，每球交换发球权，领先2 分者
胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚
质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为
，乙发球时甲得分的概率为
，各球的比赛结
果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．
(1)若每局比赛甲获胜的概率
，求该场比赛甲获胜的概率.
(2)已知第一局目前比分为10 10
∶
，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分
的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率
；
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18．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G 手机的销量情况，对近100 天该手机的日销量
（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值
，样本的标准差
.
(1)经分析，可以认为该款手机的日销售量
近似服从正态分布
，用样本的平均值
作为
的近似值，
用样本的标准差作为
的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在
之间的概
率；
(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加
一次活动；②箱子中装有红球和白球各10 个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1 个积分，如
果摸到的是红球，则获得2 个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19 或20
时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000 元；如果最终积分为20，顾客获
得一等奖，手机的售价减免2000 元.活动的第一天共有300 位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试
估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
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参考数据：若随机变量
，则
，
，
.
19．（2024·河北秦皇岛·三模）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15 个
区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标
和区域内该植物分布的数量
，得到数
组
.已知
，
，
.
(1)求样本
的样本相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量
（
可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的
，寿命为
的样本在寿命超过
的样本里的数量占比与寿命为1 的样本在全体样本中的数量占比相同，
均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
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（i）求
的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望
的值（用
表示，
取遍
），并求当
足够大时，
的值.
附：样本相关系数
；当
足够大时，
.
35
