专题7.4 空间直线、平面的垂直（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 垂直关系的有关命题的判断】..................................................................................................................5
【题型2 证明线线垂直】..........................................................................................................................................5
【题型3 线面垂直的判定】......................................................................................................................................7
【题型4 线面垂直的性质定理的应用】..................................................................................................................8
【题型5 面面垂直的判定】....................................................................................................................................10
【题型6 面面垂直的性质定理的应用】................................................................................................................12
【题型7 平行、垂直关系的综合应用】................................................................................................................14
【题型8 垂直关系的探索性问题】........................................................................................................................16
1、空间直线、平面的垂直
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解空间中直线与直线、直
线与平面、平面与平面的垂直
关系
(2)掌握直线与平面、平面与平
面垂直的判定与性质，并会简
单应用
2023 年新高考Ⅱ卷：第20
题，12 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第17
题，15 分
2025 年全国一卷：第9 题，6
分、第17 题，15 分
2025 年北京卷：第14 题，5
分
2025 年天津卷：第17 题，15
分
空间直线、平面的垂直是高考的重
点、热点内容.从近几年的高考情况来
看，主要分三方面进行考查，一是空间
中线面垂直关系的命题的真假判断，常
以选择题、填空题的形式考查，难度较
易；二是空间线线、线面、面面垂直的
证明以及垂直关系的转化，一般以解答
题的第一小问的形式考查，难度中等；
三是线面平行、垂直关系的存在性问
题，难度中等；解题时要灵活运用直
线、平面的垂直的判定与性质，复习备
考时要强化定理条件的严谨性，避免忽
略定理核心条件导致失误.
知识点
1 线面垂直的判定定理和性质定理
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂直，记作l⊥α.直线l 叫做平
面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度
叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
知识点
2 面面垂直的判定定理和性质定理
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α 与β 垂直，
记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质
定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
知识点
3 空间中的垂直关系的判定方法
1．直线与直线垂直的判定方法
(1)定义
法
：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a 与直线b 垂
直，记作a⊥b；
(2)利用线面垂直的性质定理；
(3)利用面面垂直的性质定理；
2．直线与平面垂直的判定方法
(1)定义
法
：利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常
用)；
(2)利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平
面垂直(常用方法);
(3)可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平
面(选择、填空题常用)；
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于这两个平面的交线的直线垂直于另
一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面；
(6)面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.
3．面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理.
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后
进一步转化为线线垂直.
4．平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
知识点
4 空间中位置关系的相互转化
1．线、面垂直位置关系的相互转化
2．平行关系与垂直关系的相互转化
【方法技巧与总结】
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
【题型1 垂直关系的有关命题的判断】
【例1】（2025·重庆·二模）已知 m,n,a,b 是两条不重合的直线， α ，β 是两个不重合的平面，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 m⊥α ,n// β ,α ⊥β ，则 m⊥n
B．若 m⊥n，m⊥α ，n// β ，则 α ⊥β
C．若 m//n，m//α ，n// β ，则 α // β
D．若 a//α ，a⊂β ，α ∩β =b ，则 a//b
【变式1-1】（2025·重庆·三模）已知直线m，n和平面α，其中m⊂α，则“m⊥n”是“n⊥α”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·天津滨海新·三模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命
题正确的是（ ）
A．若m//α，n⊂α，则m//n
B．若m//α，m//n，则n//α
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α ⊥βD．若α ⊥β，α ∩β =l，m⊥l，则m⊥α
【变式1-3】（2025·天津和平·二模）已知a，b 是空间两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则
下列命题正确的为（ ）
A．若α ∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若a∥α，a⊥β，则α ⊥β
C．若α ∩β =a，γ ∩β =b，a∥b，则α ∥γ D．若α ⊥β，a⊂α，则a⊥β
【题型2 证明线线垂直】
【例2】（2025 高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，连接AC，B D1，则直线
AC，B D1位置关系是（ ）
A．异面且垂直
B．异面但不垂直
C．相交且垂直
D．平行
【变式2-1】（24-25 高二上·贵州·阶段练习）如图，在长方体ABCD−A
′ B
′C
′ D
′中，直线A A
′与DC的位
置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面且垂直
D．异面但不垂直
【变式2-2】（24-25 高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =1.证明：
(1)A D1⊥B1C；
(2)A D1与B1C是异面直线.
【变式2-3】（24-25 高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，D，E 分别为
BC，A1B1的中点.
(1)求证：AB⊥DE.
(2)若A A1=3，AB = AC =2，求三棱锥A−BCE的体积.
【题型3 线面垂直的判定】
【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，已知四棱锥S−ABCD的底面为菱形，∠BAD =π
3 , AS =CS.
(1)求证：AC ⊥平面BDS；
(2)若AB =2,BS = ❑√3, DS =1，求四棱锥S−ABCD的体积.
【变式3-1】（2025·山西·三模）如图所示，在三棱锥A −BCD中，AB =CD，AC = AD = BC = BD，
BC =2 AB，点E，F，G分别在棱BC，AC，AD上运动，且AB//平面EFG，CD //平面EFG，M，
N分别是线段CD和AB的中点．
(1)证明：直线MN ⊥平面EFG；
(2)当三角形EFG面积的最大值为1
2
时，求三棱锥A −BCD的体积．
【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方
形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA =2，点E，F分别为PB，PD的中点.
(1)求证：PA ⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离.
【变式3-3】（2025·四川雅安·三模）四棱锥P−ABCD中，AP = AC，底面ABCD为等腰梯形，CD ∥
AB，AB =2CD =2BC =2，E为线段PC的中点，PC ⊥CB.
(1)证明：AE⊥平面PCB；
(2)若PB =2，求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值.
【题型4 线面垂直的性质定理的应用】
【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
∠BAD =90
∘，AD // BC，AB =2，AD =1, PA = BC = 4 , PA ⊥平面ABCD.
(1)求证:直线BD⊥PC；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的大小.
【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）在多面体ABCDE中，已知
AB = BC =2, AC =2❑√2, DA = DB = EB = EC = ❑√5，且平面BCE与平面DAB均垂直于平面ABC , F为DE
的中点.
(1)证明：DE ∥ AC；
(2)求直线BF与平面ACE所成角的正弦值.
【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面四边形ABCD中，AB =8，CD =3 ❑√3，ED =9，
∠ADC =90°，∠BAD =30°，点E , F满足⃗AE = 2
3⃗ED ,⃗AF =
❑√3
2⃗AB．将△AEF沿EF翻折至△PEF，
使得PC =12．
(1)证明：EF ⊥PD；
(2)求直线CD与平面PBF所成角的余弦值．
【变式4-3】（2025·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB //CD
，∠BAD =90°，2 AB = AD = DC = DP=2，PA =2❑√2，PC =2❑√3.
(1)若M，F分别是PA，BC的中点，证明：MF ⊥AD；
(2)求二面角P−BC −D的余弦值.
【题型5 面面垂直的判定】
【例5】（2025·江西南昌·二模）在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面AC C1 A1是边长为4 的正方形，
BC1=2❑√7, AB =2，AB⊥BC.
(1)求证：平面AC C1 A1⊥平面ABC；
(2)求二面角B−A C1−C的余弦值.
【变式5-1】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB =2，
BC = 4，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E 为PB 中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PAB；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值．
【变式5-2】（2025·海南三亚·一模）在多面体A1B1−ABC中，AB B1 A1为平行四边形，A1B⊥平面
ABC , A A1=2, A1B = ❑√2，∠ABC =90
∘, D为A1C的中点.
(1)证明：平面B1BC ⊥平面AB B1 A1；
(2)已知多面体A1B1−ABC的体积为2❑√3
3
，求AD与平面B1BC所成角的正弦值.
【变式5-3】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，
AB = AP =2, PA ⊥平面ABCD，E，F 分别是线段PB，PD 的中点，G是线段PC 上的一点．
(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；
(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为1
3
，求CG 的长．
【题型6 面面垂直的性质定理的应用】
【例6】（2025·全国·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD // BC，
CD⊥AD，AD =CD =2BC =2，平面PAD⊥平面ABCD.且△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)证明：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角A −PB−C的正弦值.
【变式6-1】（2025·福建厦门·三模）在三棱锥P−ABC中，AC ⊥BC，AP⊥CP，AP =CP =2，D是
AB的中点，且平面PAC ⊥平面ABC.
(1)证明：AP⊥平面BCP；
(2)已知平面α经过直线PC，且AB //α，直线PD与平面α所成角的正弦值为
❑√6
3
，求三棱锥P−ABC的
体积.
【变式6-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，平面A1 AC ⊥平面A1B1C1，
A1C1⊥A1B，AC =2❑√3，AB = A A1=2，∠CAB = π
6
(1)证明：A1B⊥平面A B1C；
(2)求BC1的长；
(3)求平面A A1B与平面A1BC夹角的余弦值．
【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD 为矩形，平面
ABCD⊥平面CD D1C1，A A1= AB =2 AD，∠D1 DC =60°，O，E 分别为CD，A1 D1的中点．
(1)证明：D1O⊥平面ABCD；
(2)求平面A B1 E与平面A A1B1B的夹角的余弦值．
【题型7 平行、垂直关系的综合应用】
【例7】（24-25 高二下·贵州毕节·期末）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，CA =CB，P，Q，M分
别是A1B，C C1
，A1C1
的中点，下列说法不正确的是（ ）
A．PM与QC1是异面直线
B．PQ //平面ABC
C．PQ⊥A1B
D．PQ⊥B1 M
【变式7-1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，四面体P−ABC的棱长均相等，D，F 分别为BC , PB的
中点，点E 满足⃗AE = 1
2⃗ED，则（ ）
A．EF⊥BC
B．PE⊥BC
C．EF //平面PAC
D．平面¿⊥平面ABC
【变式7-2】（24-25 高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD，
且PA =2，M、N 是线段PB、DC上的点，满足BM
MP = DN
NC = λ.
(1)若λ =1，求证：直线MN //平面PDA；
(2)是否存在实数λ，使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC？如果有请求出λ的值，否则请说明理由.
【变式7-3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四棱锥A −BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面
ABC ⊥底面BCDE，BC =2，CD = ❑√2，AB = AC ．
(1)求证：BE⊥平面ABC；
(2)若F，G分别为棱CD，AE的中点，求证：GF∥平面ABC；
(3)设△ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的大小．
【题型8 垂直关系的探索性问题】
【例8】（24-25 高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = A A1=2，点M 为
A1B1的中点.
(1)求点A 到平面MBC1的距离；
(2)在棱B B1
上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1 M？若存在，求出|B1Q)
|QB)
的值；若不存在，请说明理
由.
【变式8-1】（24-25 高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面
ABCD ,SA = SD = AD =2，四边形ABCD为正方形，E , M分别为AD、BC的中点.
(1)直接写出图中与EM平行的平面；
(2)求证：平面SAD⊥平面SAB；
(3)在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD?若存在，求三棱锥C −DMN体积；若不存
在，说明理由.
【变式8-2】（24-25 高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥P−ABCD的底ABCD是正方形，△PAD是正
三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：AM ⊥平面PCD；
(2)求二面角M −AC −D的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点Q，使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQ
QC
的值；如果不存在，请
说明理由．
【变式8-3】（24-25 高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四棱锥E−ABCD，底面ABCD是正方
形，AC与BD交于点O，EC ⊥平面ABCD，AB = ❑√2CE.
(1)求证：BD⊥平面ACE；
(2)求BE与平面ACE所成角的正弦值；
(3)G是线段EO上一点，且满足EG
EO = μ，是否存在实数μ使CG⊥平面BDE？若存在求出μ的值，若不存
在，请说明理由
一、单选题
1．（2025·山东临沂·模拟预测）已知l、m、n是直线，α是平面，且m⊂α，n//α，则“l⊥m，l⊥n”
是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（2025·天津·二模）已知m,n为两条不同的直线，α , β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β ⇒α ∥β
B．α ⊥β，α ∩β =n，m⊥n⇒m⊥β
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．n∥m，n⊥α ⇒m⊥α
3．（2025·福建厦门·三模）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M为AB的中点，l为平面A1 M C1与平面
ABCD的交线，则（ ）
A．l // A C1
B．l⊥A C1
C．l // B D1
D．l⊥B D1
4．（2025·天津·二模）已知a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若a⊥α，b⊥α，则a⊥b
B．若a//α，a// β，α ∩β =b，则a//b
C．若a⊥α，a⊥β，则α ⊥β
D．若α ⊥β，a//α，则a⊥β
5．（2025·广东·一模）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α ⊥β；
②若m⊥n，m⊥α，则n//α；
③若m//α，α ⊥β，则m⊥β，
④若α ∩β =m，n//m，且n⊄α，n⊄β，则n//α，n// β（ ）
A．②④
B．①②④
C．①④
D．①③
6．（2024·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD 为圆柱的轴截面，AB = BC =2，E，F 为上底面圆
周上的两个动点，且EF 过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A −BEF的体积为（ ）
A．2
3
B．4
3
C．2❑√2
3
D．2❑√3
3
7．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥A −BCDE是棱长均为2 的正四棱锥，三棱锥A −CDF是正四面
体，G 为BE的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．点A ,B ,C , F共面
B．平面ABE //平面CDF
C．FG⊥CD
D．FG⊥平面ACD
8．（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，点E 是边AC 的中点，点D 是边
BC 上一点（不与C 重合），将三角形DCE 沿DE 逆时针翻折，点C 的对应点是C1，连接C C1，设θ为二
面角C1−DE−C大小，θ∈(0,π)．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）
A．存在点D 和θ，使得DC1⊥AC
B．存在点D 和θ，使得BC1⊥AC
C．存在点D 和θ，使得BC1⊥DE
D．存在点D 和θ，使得C C1⊥DE
二、多选题
9．（2025·湖北·模拟预测）设α，β是两个平面，l是一条直线，则（ ）
A．若α // β，l⊥α，则l⊥β
B．若α ⊥β，l⊥α，则l // β
C．若l //α，l⊥β，则α ⊥β
D．若l //α，l // β，则α // β
10．（2025·福建厦门·三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD−A
′ B
′C
′ D
′，下面部分可视
为正四棱锥P−ABCD，O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ）
A．A
′O⊥AB
B．A
′O//平面APD
C．平面A A
′ P⊥平面BDP
D．C C
′与A
′ P为相交直线
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正三棱台ABC −A1B1C1中，D，E，D1，E1分别是AB，BC，
A1B1，B1C1的中点，且AC =2 A1C1，则下列说法正确的有（ ）
A．AC ⊥B B1
B．AC //平面D1 E1 ED
C．AB⊥平面D1 E1 ED
D．若D1 E1= D D1，则B B1⊥平面AC C1 A1
三、填空题
12．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF 是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC，平面CDT 0⊥平面ABC，
AB⊥BC ，AB // EF // RS //CD，BC // DE // ST 0// AF.若
AB = BC =8, AF =CD = 4 , RA = RF =T 0C =T 0 D = 5
2
，则该多面体的体积为
．
13．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，矩形 ABCD，AD =2 AB，E，F 分别是 AD，BC 的中点，
将平面 ABFE 沿 EF 折起，使得二面角 A −EF −D 的大小为 60
∘．在折起后形成的空间图形中，有
如下 3 个结论：
①平面CDEF ⊥平面ADE；
②四边形ABCD是正方形；
③直线AE和DF所成角的正切值是❑√7．
其中所有正确结论的序号是
．
14．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P在线段B1C上
运动，则下列结论正确的是 ．
①平面B D1 P⊥平面AC B1
②三棱锥A1−DPC1的体积为定值
③在B1C上存在点P，使得A1 P//面AC D1
④A1 P+ PC1的最小值为2
四、解答题
15．（2025·全国·二模）如图，四棱锥P−ABCD的各个顶点均在球O的表面上，且
AB = AD = 4 ,BC ⊥CD , PB⊥平面PAD.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P−ABCD体积的最大值；
16．（2025·天津·高考真题）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为4，E、F分别为A1 D1,C1B1中点，
CG =3GC1．
(1)求证：GF ⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D−FBE的体积．
17．（24-25 高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱ABC −A1 B1C1中，已知AB = A A1=2，D、E分
别是AB、A1 B1的中点.
(1)求正三棱柱ABC −A1 B1C1的表面积；
(2)求证：平面CD B1⊥平面AB B1 A1；
(3)求证：直线A C1//平面CD B1.
18．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
AB =2,∠DAB =∠DBF =60°，且FA = FC．
(1)求证：平面ABCD⊥平面BDEF；
(2)求四面体ADEF 的体积；
(3)求直线AD 与平面ABF 所成角的余弦值．
19．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，底面ABC是边长为1 的正三角形，
B B1=2,∠B1BC =60
∘, D是A1C1
的中点.
(1)直线B1 D与平面A1 AC C1能否垂直？给出结论，并给予证明
(2)若二面角A −BC −B1的平面角的余弦值为−1
3
.
（i）求侧面A1 AB B1的面积；
（ii）求B1 D与平面A1 AB B1所成角的正弦值.
