第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点 74 空间线面位置
回归教材
三个基本事实及基于基本事实 1,2 的三个推论
基本事实 1
过不在一条直线上的三个点, 有且只有一个平面.
基本事实 2
如果一条直线上的两个点在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内.
基本事实 3
如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该
点的公共直线.
推论 1
经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
推论 2
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论 3
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
空间直线与平面、平面与平面的位置关系
位置关系
符号语言
直线与
平面
直线 a 在平面 α 内
a⊂α
直线 a 在平面 α
外
直线 a 与平面 α 相交于
点 A
a∩α = A
直线 a 与平面 α 平行
a//α
平面与
平面
平面 α 与平面 β 平行
α // β
平面 α 与平面 β 相交于直线 l
α ∩β =l
唯一性定理：(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过平面外一点
有且只有一个平面与已知平面平行.
教材素材变式
1.[多选][2025 年浙江宁波十校联考第11 题][人A 必修二P128 练习第1 题变式]
关于空间几何命题正确的是（）
A.平行于同一直线的两平面必平行
B.垂直于同一平面的两直线必平行
C.若直线l 与平面α 内无数条直线垂直，则l⊥α
D.若平面α 内存在不共线三点到平面β 距离相等，则α∥β
第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
2.[多选][2024 年新高考Ⅱ卷第10 题][人A 必修二P132 习题8.4 第2(2)题变式]
已知点P 在平面α 外，直线m⊂α，则（）
A.过P 存在唯一平面与m 平行
B.过P 存在无数直线与m 异面
C.过P 且与m 垂直的直线必与α 垂直
D.过P 且与α 垂直的直线必与m 垂直
3.[2025 年江苏苏锡常镇调研第6 题][苏教必修二P178 例3 变式] 三个平面两两相
交，可能形成的交线条数为（）
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.以上都可能
4.[2024 年全国甲卷理科第8 题][人A 必修二P131 练习第4 题变式] 设α,β 为不同平
面，m,n 为不同直线，则（）
A.若m∥n,n⊂α,则m∥α B.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
C.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β D.若α∩β=m,n∥m,则n∥α 且n∥β
5.[多选][2025 年广东六校联考第12 题][苏教必修二P174 习题13.2(2)第2 题变式]
关于空间线面关系错误的是（）
A.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b B.若α⊥β,a⊥α,则a∥β
C.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c D.若a,b 在α 内射影平行，则a∥b
6.[多选][2024 年上海春考第15 题][人A 必修二P132 习题8.4 第4,5 题变式] 下列命
题正确的有（）
A.若a,b 异面，则存在唯一平面与a,b 等距
B.三个平面最多将空间分成8 部分
C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a,b 必不相交
D.若a∥α,P∈α,则存在唯一平面过P 且与a 平行
7.[多选][人 B 必修四 P96 习题 11-2B 第 5 题变式] 如图,在正方体
ABCD−A1B1C1 D1 中, O 为 BD 的中点,直线 A1C ∩ 平面 C1BD = M ,则下列说法
正确的是（）
第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
A. A ,C ,C1, A1 四点共面 B. C1, M ,O 三点共线
C. M ∈ 平面 B B1 D1 D D. A1C 与 BD 异面
8.[多选] [人 A 必修二 P131 练习第 2 题变式] 如图所示,在棱长为 2 的正方体
ABCD−A1B1C1 D1 中, M , N 分别为棱 C1 D1,C1C 的中点,则下列结论正确的是
（）
A. 直线 BN 与 M B1 是异面直线
B. 直线 AM 与 BN 是平行直线
C. 直线 MN 与 AC 是相交直线
D. 平面 BMN 截正方体所得的截面面积为 9
2
9.[人 B 必修四 P95 例 2 变式] 如图,已知正方体 ABCD−A1B1C1 D1 中, E , F 分别
是棱 C C1, A A1 的中点.
(1)画出平面 BE D1 F 与平面 ABCD 的交线,并说明理由;
(2) 设 H 为直线 B1 D 与平面 BE D1 F 的交点, 求证: B , H , D1 三点共线.
第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
知识点 74 空间线面位置
1. 答案：BD
解析：A 项需加不相交条件，C 项需"任意"直线
2. 答案：BD
解析：
A 错误：过平面外一点P，存在无数个平面与平面α 内直线m 平行（只要平面包含
过P 且与m 平行的直线）。
B 正确：过P 的直线中，除了与m 平行或相交的直线，其余均与m 异面，有无数
条。
C 错误：过P 且与m 垂直的直线不一定与α 垂直（可能仅在某平面内垂直）。
D 正确：过P 且与α 垂直的直线垂直于α 内所有直线，包括m。
3. 答案：C
解析：三个平面两两相交，交线可能为1 条（三平面共线）或3 条（两两相交且不
交于同一直线），故选C。
4. 答案：C
解析：
A 错误：若m∥n，n⊂α，则m∥α 或m⊂α。
B 错误：若m⊥α，α⊥β，则m∥β 或m⊂β。
C 正确：m⊥α，m⊥n⇒n∥α 或n⊂α，又n⊥β，故α⊥β。
D 错误：若α∩β=m，n∥m，则n∥α 或n⊂α，同理n∥β 或n⊂β。
5. 答案：ABCD
解析：
A 错误：a∥α，b∥β，α∥β 时，a 与b 可能平行、异面或相交。
B 错误：α⊥β，a⊥α 时，a∥β 或a⊂β。
C 错误：a⊥b，b⊥c 时，a 与c 可能平行、相交或异面。
D 错误：a，b 在α 内射影平行，a 与b 可能异面或相交。
6. 答案：BC
解析：
第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
A 错误：若a，b 异面，存在无数个平面与a，b 等距（过公垂线中点且与公垂线垂
直的平面唯一，但平移平面可得到无数个）。
B 正确：三个平面两两相交，最多将空间分成8 部分（如墙角）。
C 正确：α∥β，a⊂α，b⊂β，则a，b 无公共点，必不相交。
D 错误：过平面外一点P 和平面内直线a，存在唯一平面过P 且与a 平行；若
P∈α，过P 且与a 平行的平面有无数个（只要包含过P 且与a 平行的直线）。
7. 答案：ABC
解析：
A 正确：A，C，A ，
₁
C 是正方体的体对角线端点，四点共面（在平面
₁
ACC ₁ A ₁
内）。
B 正确：平面C ₁ BD 与平面ACC ₁ A 的交线为
₁
C ₁ O，而A ₁ C∩平面C ₁ BD=M，故
M 在交线C ₁ O 上，即C ，
₁
M，O 三点共线。
C 正确：BD 平面
⊂
BB ₁ D ₁ D，O 为BD 中点，C ₁ O 平面
⊂
BB ₁ D ₁ D，故M∈平面
BB ₁ D ₁ D。
D 错误：A ₁ C 与BD 均在平面ACC ₁ A 和平面
₁
ABCD 的交线相关平面内，实际A ₁ C
与BD 相交于O 点，不是异面直线。
8. 答案：AD
解析：
A 正确：BN 平面
⊂
BCC ₁ B ，
₁
MB
平面
₁⊂
B ₁ C ₁ D ₁ A ，两直线无公共点且不平行，
₁
故异面。
B 错误：AM 与BN 在正方体中不平行（可通过向量或几何关系判断）。
C 错误：MN 平面
⊂
C ₁ D ₁ C，AC 平面
⊂
ABCD，两平面平行，故MN 与AC 异面。取
A1 D1的中点E，B B1的中点F，连接EM、EN、EF、FB。
因为M，N分别为棱C1 D1，C1C的中点，E为A1 D1的中点，所以EM ∥A1C1，又在
正方体ABCD−A1B1C1 D1中A1C1∥AC，所以EM ∥AC。
同时，EN ∥D1C，D1C ∥A1B，所以EN ∥A1B，由此可知E、M、N、F、B五点
共面，即平面BMN截正方体所得的截面为等腰梯形BMNE。
已知正方体棱长为2：
求各边长度：
BM =
❑√BC
2+C M
2=
❑√2
2+1
2= ❑√5；
第七章 立体几何与空间向量
学科网（北京）股份有限公司
MN =
❑√M C1
2+C1 N
2=
❑√1
2+1
2= ❑√2；
NE =
❑√N D1
2+ D1 E
2=
❑√1
2+1
2= ❑√2；
BE =
❑√B B1
2+ B1 E
2=
❑√2
2+1
2= ❑√5。
求梯形的高：
过N作NH ⊥BM于H，过E作EG⊥BM于G，则HG = NE = ❑√2。
△BHM是直角三角形，BH = BM −HG
2
=
❑√5−❑√2
2
，BM = ❑√5，
BN =
❑√BC
2+C N
2=
❑√2
2+1
2= ❑√5，根据勾股定理可得
NH =
❑√B N
2−B H
2= ❑√(❑√5)
2−(
❑√5−❑√2
2
)
2= 3 ❑√2
2 。
根据梯形面积公式S = (a+b)ℎ
2
（其中a、b 为梯形的上底和下底，ℎ为梯形的
高），可得截面BMNE的面积为：
SBMNE= ( MN + BE)× NH
2
=
(❑√2+2❑√2)× 3 ❑√2
2
2
=
3 ❑√2× 3 ❑√2
2
2
= 9
2
所以平面BMN截正方体所得的截面面积为9
2，选项D 正确。
9.(1) 交线作法及理由：
延长D ₁ F 与DA 的延长线交于点P，延长BE 与DA 的延长线交于点P（因E，F 为
中点，D ₁ F∥BE，故交于同一点P），连接PB，则PB 为平面BED ₁ F 与平面
ABCD 的交线。
理由：P∈D ₁ F 平面
⊂
BED ₁ F，P∈DA 平面
⊂
ABCD，故P 在两平面交线上；同理
B∈两平面，故PB 为交线。
(2) 证明：
平面BED ₁ F∩平面BB ₁ D ₁ D=BD ，
₁
H∈平面BED ₁ F 且H∈B ₁ D，而B ₁ D 与平面
BED ₁ F 交于H，故H 在两平面交线BD 上，即
₁
B，H，D 三点共线。
₁
