文档内容
专题 7.2 空间点、直线、平面之间的位置
关系
目录
题型一： 位置关系的判定...............................................................................................................4
题型二： 共点、共线、共面的证明..............................................................................................5
题型三： 异面直线所成角...............................................................................................................7
题型四： 综合运用.........................................................................................................................10
知识点总结
知识点一、平面的基本事实及推论
(1)基本事实
基本
文字语言 图形语言 符号语言 作用
事实
基本 A，B，C三点不
过不在一条直线
共线⇒存在唯一 确定平面；判定
上的三个点，有
的平面 α 使 A， 点线共面
且只有一个平面
事实1 B，C∈α
如果一条直线上
基本
的两个点在一个 A∈l，B∈l，且 确定直线在平面
平面内，那么这 A∈ α ， 内；判定点在平
事实2
条直线在这个平 B∈α⇒l⊂α 面内
面内
如果两个不重合
基本
的平面有一个公 P∈ α ， 且 判定两平面相
共点，那么它们 P∈β⇒α∩β＝l， 交；判定点在直
事实3
有且只有一条过 且P∈l 线上
该点的公共直线(2)基本事实1与2的推论
推论 文字语言 图形语言 符号语言
经过一条直线和这条 A∉l⇒有且只有一个
推论1 直线外一点，有且只 平面 α，使 A∈α，
有一个平面 l⊂α
a∩b＝P⇒有且只有
经过两条相交直线，
推论2 一 个 平 面 α ， 使
有且只有一个平面
a⊂α，b⊂α
a∥b⇒有且只有一个
经过两条平行直线，
推论3 平面 α，使 a⊂α，
有且只有一个平面
b⊂α
知识点二、空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
共面 相交直线 在同一个平面内 1
直线 平行直线 在同一个平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
(2)空间中直线与平面的位置关系
位置 直线在 直线与 直线与
关系 平面内 平面相交 平面平行
公共点个数 无数个 1 0
图形表示
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．(3)空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面相交 两个平面平行
无数个
公共点个数 0
(有一条公共直线)
符号表示 α∩β＝a α∥β
图形表示
知识点三、常用唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
知识点四、异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)判定方法：
①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O分别作直线
a′∥a，b′∥b，我们把直线 a ′ 与 b ′ 所成的角 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线
所成角的范围是 (0° ， 90°] ．
例题精讲
题型一：位置关系的判定
【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
【例1】设 、 、 、 为空间中的四个不同点，则“ 、 、 、 在同一个平面
上”是“ 、 、 、 中有三点在同一直线上”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】下列说法中正确的是
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个互异平面 和 有三个不共线的交点
【变式训练2】空间不重合的三个平面可以把空间分成
A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分
【变式训练3】在正方体 中，点 是棱 的中点，点 是平面 内
的一点，且 ，则点 为
A．一个定点 B．一个平面上任意一点C．一条直线上任意一点 D．一个圆上任意一点
题型二：共点、共线、共面的证明
【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接
证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)
要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实 3，即证点在两
个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点
也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过
这点，把问题转化为证明点在直线上.
【例2】在 四 棱 柱 中 ， ， ， ，
．
（1）当 时，试用 表示 ；
（2）证明： ， ， ， 四点共面；
（3）判断直线 能否是平面 和平面 的交线，并说明理由．
【变式训练1】如图，在正方体 ，对角线 与平面 交于点 ． 、
交于点 、 为 的中点， 为 的中点，求证：（1） 、 、 三点共线
（2） 、 、 、 四点共面
（3） 、 、 三线共点．
【变式训练2】如图所示，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ，
分别在 ， 上，且 ，求证：
（1） ， ， ， 四点共面；
（2） 与 的交点在直线 上．题型三：异面直线所成角
【要点讲解】求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【例3】直线 与直线 相交，直线 也与直线 相交，则直线 与直线 的位置关系是
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
【变式训练1】在长方体 中，已知 ， ， ， 为 的
中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
【变式训练3】堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵
中， ，若 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为A． B． C． D．
【变式训练4】如图在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，那么异
面直线 和 所成的角的余弦值等于
A． B． C． D．
在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则直线 和 所
成角的余弦值是
A． B． C． D．
【变式训练5】在正四面体 中，棱长为2，且 是棱 中点，则异面直线 与夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【变式训练6】已知直三棱柱 中， ， ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【变式训练7】如图，已知正方形 所在平面与正方形 所在平面构成二面角的平
面 角 为 ， 且 异 面 直 线 与 所 成 角 为 ， 则
A．2 B． C．0 D．
【变式训练8】如图， ， 分别是二面角 的两个半平面内两点， ，
， ， ，若 ，则异面直线 ， 的夹角的
余弦值为A． B． C． D．
题型四：综合运用
【例4】如图，在正方体 中， ， 分别是 和 的中点．
（1）求证： ， ， ， 四点共面；
（2）求异面直线 且 所成的角．
【变式训练1】如图，直四棱柱 的底面 为直角梯形， ，
， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点．
（1）在图中作出平面 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示（不必写出作图过
程）；（2） 为棱 的中点，求异面直线 与 所成角的正弦值．
【变式训练2】如图，所有棱长均为2的斜三棱柱 中，
， 分别是 ， 的中点．
（1）求四边形 的面积；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
