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考向 27 空间点、直线、平面
之间的位置关系
1.（2022年甲卷理7文9）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均
为 ，则
A． B． 与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
【答案】D
【解析】 与平面 即 ， 与平面 即 ，
则 ，设 ，则 ，由长方体对角线长公式 ，得
，从而 ， ， 与平面 所成的角 的正弦值为 ，
， 与平面 所成的角 的正弦值为 ．
2.（2022年乙卷理7文9）在正方体 中，E，F分别为AB，BC的中点，则
A．平面 平面 B．平面 平面C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【解析】
对于A选项：在正方体 中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知 ，从而
平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以A选项正确；
对于B选项：因为平面 平面 ,由上述过程易知平面 平面 不成立；
对于C选项：由题意知直线 与直线 必相交，故平面 平面 有公共点，从而C选项错误；
对于D选项：连接 ， ， ，易知平面 平面 ，
与平面 有公共点 ，故平面 与平面
又因为平面
不平行，所以D选项错误.
3.（2022年新高考1卷第9题）已知正方体 ，则
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【答案】ABD
【解析】在正方体 中，因为 ， ，所以 平面 ，所以
， ，故选项A，B均正确；
设 ，因为 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，在直角
中， ，故 ，故选项C错误；
直线 与平面 所成的角为 ，故选项D正确．综上，答案选ABD．(1)证明点或线共面：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有
条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线
上．
(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
（3）求异面直线所成角
①平移法：
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体
几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面
直线所成的角也是常用的方法之一。
②利用模型求异面直线所成的角
已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ ，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射
1
影a′所成的角为θ。求证：cosθ= cosθ ·cosθ 。
2 1 2
③向量法求异面直线所成的角
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线
不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．
2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．
一、单选题
1．正方体 中，点 在棱 上，过点 作平面 的平行平面 ，记平面 与平面
的交线为 ，则 与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则
；
在正方体中，易证 平面 ，故 ，所以 ，即 与 所成角的大小为 .
故选: .
2．如图，直三棱柱 中， ，若 ，则异面直线 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，连接
, 即为异面直线 所成角
，
又 ，
在 中，
是正三角形
故选：C
3．设a，b是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ，则
②若 ，则③若 ，则
④若 ，则
其中为真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①中， ，则平面 与平面 可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；
②中， ，直线 与直线 可能平行，异面或者垂直，故②错误；
③中， ，则 ，故 ，故③正确；
④中， ，则 ，故④正确.
故选：C.
4．如图，已知 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线 相交的是（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线 ．
【答案】A
【解析】如图，易知 ，所以 ，且 ，
所以 为梯形，故 与EF相交，A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为平面CDH 平面EFNL， 平面CDH， 平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为 平面ADF， 平面 ，故AD与EF异面，D错误.
故选：A5．已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，则直线 ，CE所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知 ，则∠ECF（或其补角）为直线 与CE所成角．不妨设
，则 ， ， ，由余弦定理得 ，即直线 与CE
所成角的余弦值为 ．
故选：C．
6．已知 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】依题意 ，
A选项，若 ，则可能 ，所以A选项错误.
B选项，若 ，则 与 可能相交、异面、平行，所以B选项错误.
C选项，若 ，则可能 ，所以C选项错误.
D选项，由于 ，所以平面 内存在直线 ，满足 ，
若 ，则 ，则 ，所以D选项正确.
故选：D
7．如图正方体 中， 分别为棱 的中点，连接 .空间
任意两点 ，若线段 上不存在点在线段 上，则称 两点可视，则下列选项中与点 可
视的为（ ）
A．点P B．点B C．点R D．点Q
【答案】D
【解析】如图连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 , ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ,
因为 ∥ ，所以 ∥ ，所以 四点共面，
所以 与 相交，所以点 与点 不可视，所以排除A，因为 ∥ ，所以 共面，
所以由图可知 与 相交， 与 相交，
所以点 ，点 都与点 不可视，所以排除BC，
故选：D
8．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【答案】B
【解析】对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故错误；
对于B，若l∥α，l⊥β，根据线面平行的性质定理可知，α内一定存在和l平行的直线m，
则m也垂直于β，由线面垂直的判定定理可知α⊥β，故B正确；
对于C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在β内，故错误；
对于D，若α⊥β，l∥α，则l可能和β平行，故错误，
故选：B
二、多选题
9．已知空间中 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．
C． 与 异面
D．
【答案】BCD
【解析】A：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确；
B：由 ， 可得 或者 ，故B错误；
C：由 ， ， 可得 与 异面或 ，故C错误；
D：由 ， ， ，当 时，不能得到 ，
只有当 时，才可以得到 ，故D错误.
故选：BCD
10．如图，若 为正六棱台， ， ， 则下列说法正确的是
（ ）
A．
B． 平面
C． 平面
D．侧棱与底面所成的角为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，因为 与 平行，与 异面，故A错误；对于B选项，连接 ， ,因为六棱台 是正六棱台，
所以 平面 , 平面 ,故 ,
又因为底面 是正六边形，所以 , 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ，
即 平面 ，故B正确；
对于C选项，设 与 交于点 ，因为 ， ，所以 ， ，又 ，所以
， 即 ，又 ，所以 是平行四边形， ， 平面 ,
平面 ,
所以 平面 ，故C正确；
对于D选项， 平面 , 平面
为侧棱与底面所成的角，在 中, ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题11．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为______．
【答案】
【解析】如图所示，设 分别为 和 的中点，
可得 ， ，且 ，
所以异面直线 与 所成角即为直线 与 所成的角，
作 的中点为 ，则 为直角三角形，
因为 ，
在 中，
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
在 中， ，
在 中，
可得 ，
又因为异面直线所成角的范围是 ，
所以 与 所成的角的余弦值为 .
故答案为： .12．已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形， 为 的中点，若 ，则侧面
四边形 为正方形，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
则 为异面直线 与 所成的角（或补角），
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 ， ，
又由四边形 为正方形，所以 ，所以 .
故答案为： .
13．在矩形ABCD中， ，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△ 折起到△ 处，
使得平面 平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 且 为 的中点，∴ ，
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
则直线PC与平面ABCE所成角为
，
即 ，
所以 .故答案为： ．
14．正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，给出下列四
个命题：
①上底边 的中点在平面 内
②直线 与平面 不平行
③平面 截正方体所得的截面面积为
④点 与点 到平面 的距离相等．
错误的命题是________．
【答案】①②④
【解析】在①中，如图所示，连接 ， ，延长 ， 交于点 ，因为 ， 为 ， 的中点，
所以 ， ，所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，
所以截面即为梯形 ，所以上底边 的中点不在平面 内，故①错误；
在②中，如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，由条件可知 ， ，
且 ， ，所以平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，故②错误；
在③中，由①可知，因为 ， ，
所以 ，所以 ，故③正确；
在④中，记点 与点 到平面 的距离分别为 ， ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，故④错误．
故答案为：①②④ .
一、单选题
1．（2022·浙江·模拟预测）现有边长为 的正四面体 ，其中点M为 的重心，点N，H分
别为 ， 中点．下列说法正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵正四面体 ，点M为 的重心，
∴M为等边 的中心，
∴ 面 ， 面 ，∴ .
直线 与 交于点A，故AN不与DM垂直，故排除A；
延长DM交BC于点G，则G为BC中点，连接AG，如图所示，
边长为 ，在 中可得 ，
由 ， ， ， .
故B正确，C错误；
在 中，H，M分别为NA，NG的中点，
∴ ，又∵ ，∴HM不与AB平行，
故D错误.
故选：B.2．（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面 与 平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）.
（1） 、 都垂直于平面r，那么 ∥ .
（2） 、 都平行于平面r，那么 ∥ .
（3） 、 都垂直于直线l，那么 ∥ .
（4）如果l、m是两条异面直线，且 ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥ ，那么 ∥
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.
故选：D
3．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，已知正方体 的棱长为 ，则下列结论中正确的是（ ）
①若 是直线 上的动点，则 平面
②若 是直线 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
③平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
④若 是直线 上的动点，则
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】对于①，连接 ，， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ，
， 平面 ， 平面 平面 ，
若 是直线 上的动点，则 平面 ， 平面 ，①正确；
对于②，由①知， 平面 ，
，②正确；
对于③，连接 ，交 于点 ，连接 ，
平面 平面 ， 平面 与平面 所成的锐二面角即为平面 与平面
所成的锐二面角，
四边形 为正方形， ， 为 中点，
又 ， ，
即为平面 与平面 所成的锐二面角的平面角，， ，
即平面 与平面 所成的锐二面角不为 ，③错误；
对于④， 四边形 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ；
若 是直线 上的动点，则 平面 ， ，④正确.
故选：C.
4．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多
面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球 的球面上，且该
“鳖臑”的高为 ，底面是腰长为 的等腰直角三角形．则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
在三棱锥 中， 平面 ， 且 ， ，
因为 平面 ， 、 、 平面 ，则 ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以，三棱锥 的四个面都是直角三角形，且 ，
，设线段 的中点为 ，则 ，
所以，点 为三棱锥 的外接球球心，
设球 的半径为 ，则 ，因此，球 的表面积为 .
故选：A.
5．（2022·河南·模拟预测（文））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、
体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是
一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示， ， ，P，
Q，M，N分别是棱AB， ， ， 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取棱 ， 的中点G，H，连接AH，HQ，NH，MG，GH.
易证四边形APQH是平行四边形，四边形MNHG是平行四边形，
则 ， ，故 是异面直线PQ与MN所成的角或其补角.
因为 ， ，
所以 ， ， ，
则 ，
故异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 .
故选：B
6．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体 为对角线 上一点（不与点 重
合），过点 作垂直于直线 的平面 ，平面 与正方体表面相交形成的多边形记为 ，下列结论不正
确的是（ ）
A． 只可能为三角形或六边形
B．平面 与平面 的夹角为定值
C．当且仅当 为对角线 中点时， 的周长最大
D．当且仅当 为对角线 中点时， 的面积最大
【答案】C
【解析】如下图，在正方体中，体对角线 与平面 ，平面 ，平面 都垂直，由图可知，
在平面 运动过程中 只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面 与 都垂直，所以平面在移动过程中都是平行平面，与平面 的夹角为定值，故B正确；如下图，当 为对角线 中点时，
为正六边形 ，而三角形 为等边三角形，根据中位线定理 ，可得两个截面周长
相等，故C错误；由图可得，当 为对角线 中点时， 为正六边形 ，设边长 ，面积
为 ，当 向下刚开始移动时， 为六边形 ，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小
且变化量相等，设 ，而且所有六边形的高都相等且等于 ，两邻边夹角
都为 ，则
六边形 梯形
，当 为三角形时面积最大为
，所以当且仅当 为对角线 中点时， 的面积最大，故D正确.
故选：C.
7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .过
点B作垂直于平面ACD的平面 截该四面体，若截面面积存在最大值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .∵ 平面BCD， 平面
BCD， ，又 ， ,则 平面 ，过 作 于点 ，过点 作
,则 平面 ， 平面 ，故 ， ，则 平面 ， 平
面 ，故平面 平面ACD，设 ，设 ，在 中， ， ，在
中， ， ， ，在△ 中， ，则
，故 ，故
，令 ，
，得 ，当 时， ，当
时， ，故函数 在 时单调递减，在 时单调递增，即当 时，
有最小值，此时截面面积最大，故当 ， 时，截面面积最大，故若截面面积存在
最大值，则 ，故 的最大值为 ，
故选：C.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别是
侧棱 上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面
与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面
EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得
.
过A作 面EFG，垂足为P，过A作 ，垂足为Q，连接 ，易得 即为直线 与
平面 所成的角 ，
则 ，又 面EFG， 面EFG，则 ，又 ， 面 ，
，
所以 面 ， 面 ，则 ，则 即为平面 与底面 所成的锐二面角 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，则
，
又由
，，
则 ，
故 ，A，C错误；
故 ，由 可知 ，所以 ，
即 ，整理可得
，
即 ，即 ，
故 ，又 ，故 ，
B正确，D错误.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体 中，O为线
段 的中点（图中未标出），以下说法正确的有（ ）．A．线段CD中点为E，则直线OE与平面 所成角的正弦值为 ．
B．在线段 上取靠近B点的三等分点F，则直线 与直线 不共面．
C．在平面 上存在一动点P，满足 ，则P点轨迹为一椭圆．
D．在平面 上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛
物线，其准线到焦点的距离为 ．
【答案】AD
【解析】选项A：取 中点H，连接
正六面体 中，
则 平面 ，则 为直线 与平面 所成角
，中 ，
则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
由O为线段 的中点，E为线段CD中点，可得
则直线OE与平面 所成角的正弦值为 ．判断正确；
选项B：在线段 上取靠近 点的三等分点H，连接正六面体 中，
则四边形 为平行四边形，则 相交且互相平分，则
又 ，则四边形 为平行四边形，
则 相交且互相平分，则
又四边形 为平行四边形，则
则直线 与直线 共面．判断错误；
选项C：在平面 上一动点P，满足 ，
又正六面体 的棱长为2 ，则P点轨迹为线段 ．判断错误；
选项D：连接则正六面体 中，
则O点为矩形 的中心.
在平面 上一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线的距离相等，
则点Q的轨迹是以O为焦点以直线AB为准线的抛物线，
焦点O到准线AB的距离为 ．判断正确.
故选：AD
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知点 为正方体 的棱 的中点，过
的平面 截正方体， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 与地面 所成角的正切值为 ，则截面为正六边形或正三角形
B． 与地面 所成角为 则截面不可能为六边形
C．若截面为正三角形 时，三棱锥 的外接球的半径为
D．若截面为四边形，则截面与平面 所成角的余弦值的最小值为
【答案】AD
【解析】取 的中点 ，做 底面 ，则 为 的四等分点，
且 ，分别取 的中点 ，连接 、 交于 点，则 点为 的四等
分点，连接 ，在正方体 中， ， ，此时 平面 ，
即平面 与底面 所成的角为 ，且 ，
因为平面 平面 ，所以平面 与底面 所成的角的正切值为 ，
再分别取 的中点 ，连接 ，即过 的平面 截正方体的截面为正六边形；取 的中点 ，连接 ，则 为等边三角形， ，所以
即为平面 与平面 所成的二面角的平面角， 且 ， ，
，
所以平面 与平面 所成的二面角的平面角的正切值为 ，此时 为等边三角形，故A正
确；
当 时， ，所以 ，所以 ，
由于 ，所以 为等腰直角三角形， ，
由于 ，所以四边形 为等腰梯形，必与 有交点，
则截面为六边形，故B错误；
若截面为正三角形 时，则 为 的中点，所以三棱锥 为正三棱锥，且 ， ，
设正三角形 的外接圆的圆心为 ，外接球的球心为 ，连接 ，
则 ， ， 因为 ，
所以 ，在 中，
因为 ，所以 ，解得 ，故C错误； ，
若截面为四边形，则截面与底面 棱的交点必在 上，且截面为 时与平面 所成
角的最大，此时的余弦值最小，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
四边形 为等腰梯形， ，
则 即为截面为 时与平面 所成平面角， ，
， ，在 中，
由余弦定理得 ，故D正确.故选：AD.
三、填空题
11．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知A，B两点在球O的球面上，过直线AB的两个平面所
成的锐二面角为60°，两平面与球面的交线分别为圆C和圆D，圆C的半径为1，圆D的半径为2，且AB
是圆C的一条直径，则该球的半径为______．
【答案】
【解析】由题意可知，如图所示，
因为 ， ，C为AB的中点，所以 ．
又因为 圆C所在平面，
圆C与圆D所在平面所成的锐二面角为60°，所以 ．
又因为 圆D所在平面，所以在 中， ，
所以在 中， ．故答案为： .
12．（2022·广东广州·三模）讲一个半径为5 的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆
PA､PB､PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是___________ .
【答案】5
【解析】设PO=x，作OD⊥平面BPA，连接AD，DB，则PA= ，
DA= ，PD= ，
OD= ，
cos60°=cos30°cos∠CPD，
，1= ，
，所以x= ，
故答案为：5 .【点睛】本题考查直线与球相切的有关问题，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题.关键是利
用含有直二面角的三面角三余弦定理cos∠APC=cos∠APDcos∠CPD计算求解.
13．（2022·广东·一模）如图为四棱锥 的侧面展开图（点 ， 重合为点 ），其中 ，
， 是线段 的中点，请写出四棱锥 中一对一定相互垂直的异面直线：__________.
（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】 和 （ 和 ， 和 ， 和 ）（写出其中一对即可）
【解析】如图所示，连接 和 ,相交于点 ,连接 .
因为 ,
所以 , 所以 ,
又 ,所以 ,
所以 , , 所以 .
因为 , 所以 .又因为 平面 ,
所以 平面 , 又 平面 ,
所以 .
故答案为： 和 .
14．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））在棱长为 的正方体 中， 分别
为 的中点， 为正方体棱上一动点.下列说法中所有正确的序号是___________
① 在 上运动时，存在某个位置，使得 与 所成角为 ；
② 在 上运动时， 与 所成角的最大正弦值为 ；
③ 在 上运动且 时，过 三点的平面截正方体所得多边形的周长为 ；
④ 在 上运动时（ 不与 重合），若点 在同一球面上，则该球表面积最大值为 .
【答案】②④
【解析】对于①，连接 ，平面 ， 平面 ， ；
四边形 为正方形， ；
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，即 与 所成角恒为 ，①错误；
对于②，取 中点 ，连接 ， ，
分别为 中点， ，又 平面 ， 平面 ，
与 所成角即为 ， ，
当 最大时， 最小，
又 ， 当 最大时， 最小，
当 与 或 重合时， 取得最大值 ，
的最小值为 ，②正确；对于③，延长 交于点 ，连接 交 于 ；
延长 交于点 ，连接 交 于 ；
则过 三点的平面截正方体所得多边形即为五边形 ；
取 中点 ，连接 ，
， ， ，即 ，
同理可得： ， ；
， ， ，
五边形 的周长为 ，③错误；
对于④，若点 在同一球面上，则该球即为三棱锥 的外接球，
的外接圆半径 ，
三棱锥 外接球半径 ，又 的最大值为 ， ，
该球表面积最大值为 ，④正确.
故答案为：②④.
1．（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶
点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为 ，对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.
2．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平
面 ， 是线段 的中点，则A． ，且直线 ， 是相交直线
B． ，且直线 ， 是相交直线
C． ，且直线 ， 是异面直线
D． ，且直线 ， 是异面直线
【答案】B
【解析】 点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的
中点， 平面 ， 平面 ， 是 中 边上的中线， 是 中 边上
的中线， 直线 ， 是相交直线，设 ，则 ， ，
， ， ，故选 ．
3．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于 ， 内有无数条直线与 平行， 或 ；
对于 ， 内有两条相交直线与 平行， ；
对于 ， ， 平行于同一条直线， 或 ；
对于 ， ， 垂直于同一平面， 或 ．故选 ．
4．（2017•新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所
在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；对于选项 ，由于
，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定
定理可知 不满足题意；所以选项 满足题意，故选 ．
5．(2018浙江)已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ， ， ∥ ，由线面平行的判定定理知 ∥ ．若 ∥ ， ， ，
不一定推出 ∥ ，直线 与 可能异面，故“ ∥ ”是“ ∥ ”的充分不必要条件．故选A．
6．（2017•新课标Ⅲ，文10）在正方体 中， 为棱 的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连 ，由题意得 ， 平面 ，且 平面 ，
， ， 平面 ， 平面 ， ，
故选 ．
7．（2015福建）若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ∥ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“ 且 ”推出“ 或 ”，但由“ 且 ”可推出“ ”，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选B．
8．（2019•新课标Ⅰ，文16）已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 ，的距离均为 ，那么 到平面 的距离为 ．
【答案】
【解析】因为 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 ， 的距离均为 ，
过点 作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，过 作 平面 ，交平面 于 ，
连结 ， ，则 ， ，
， 到平面 的距离为 ．
9．（2016•新课标Ⅱ，理14） ， 是两个平面， ， 是两条直线，有下列四个命题：
①如果 ， ， ，那么 ．
②如果 ， ，那么 ．
③如果 ， ，那么 ．
④如果 ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
【答案】②③④
【解析】①如果 ， ， ，不能得出 ，故错误；
②如果 ，则存在直线 ，使 ，由 ，可得 ，那么 ．故正确；
③如果 ， ，那么 与 无公共点，则 ，故正确
④如果 ， ，那么 ， 与 所成的角和 ， 与 所成的角均相等，故正确；
10．（2019北京理12）已知l，m是平面a外的两条不同直线．给出下列三个论断：
l m mPa l a
① ； ② ； ③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ______．
l ，l m mP mP l ， l m
【答案】 若 ，则 或 ， 则 ．
【解析】由l，m是平面α外的两条不同直线，知：l ，l m mP
由线面平行的判定定理得： 若 ，则 ．
mP l ， l m
由线面平行、垂直的性质定理得 ， 则 ．
