压轴01 抽象函数与嵌套函数的5 大核心题型
抽象函数与嵌套函数是高中函数模块的核心难点，是高考中解决函数性质、解析式、最值范围问题的
高频工具，在函数单调性、奇偶性、周期性等模块应用广泛。
这类问题以“无具体解析式研究性质/解析式”为核心逻辑，在给定抽象约束（如函数方程、多层嵌套
关系）下，求解解析式、判断函数性质或证明不等式。它重点考查学生赋值法、变量替换、配凑变形、嵌
套递推、性质综合的应用能力，是检验函数思维与逻辑推理的关键载体。
核心考点：
抽象函数：赋值法 + 性质推导，关注定义域与特殊值。
嵌套函数：逐层拆解 + 换元法，注意内层值域与外层定义域匹配。
题型01 赋值法研究抽象函数
1.（2025·广东深圳·三模）已知函数
f x 的定义域为R ，
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，
1
1
f
= ，则（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 的图象关于点
0,0 对称
C．
f x 的图象关于直线
1
2
x =
对称
D．
2025
2025
f
=
2.设定义在R 上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R 都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝
________；f(2 025)＝________.
题型02 数形结合法研究抽象函数
3．（2026 阜阳一模）定义在R 上的奇函数
f x ，满足
1
3
f
x
f
x
+
=
-
且
f x 在
0,2 上为单调递减的一
次函数，
2
2
f
= - ，则错误的是（ ）
A．函数
f x 图象关于直线
2
x =
对称
技法指导
求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件等式
中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用.
技法指导
数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信息，
结合图象解题.
B．函数
f x 的周期为6
C．
2024
2022
2
f
f
+
=
D．设
2
e
( 6
2)
x
g x
x
- +
=
- <
<
，
f x 和
g x 的图象所有交点横坐标之和为4
-
4.已知定义在R 上的函数
,
f x
g x ，其中函数
f x 满足
f
x
f x
-
=
且在
0,+¥ 上单调递减，函数
g x
满足
1
1
g
x
g
x
-
=
+
且在
1,+¥ 上单调递减，设函数
1
2
F x
f x
g x
f x
g x
é
ù
=
+
+
-
ë
û ，则对任意
R
xÎ
，均有（ ）
A．
1
1
F
x
F
x
-
³
+
B．
1
1
F
x
F
x
-
£
+
C．
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
D．
2
2
1
1
F
x
F
x
-
£
+
题型03 利用函数性质之间的关系推理论证
5.（2026 绵阳高三第二次诊断）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，
g x 是定义在R 上的偶函数，若函数
f x
g x
-
的值域为
4,1
-
，则函数
2
2
f
x
g
x
+
的最小值为（ ）
A．16
-
B．4
-
C．1
-
D．0
6.已知函数
1
f
x +
是偶函数，当
1
2
1
x
x
<
<
时，
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
-
>
é
ù
ë
û
恒成立，设
1
2
a
f
=
-
，
2
b
f
=
，
3
c
f
=
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A．c
b
a
<
<
B．b
a
c
<
<
C．b
c
a
<
<
D．a
b
c
<
<
题型04 嵌套函数零点个数的判断
7．（2026·甘肃金昌·期中）已知函数
2
3
2 ,
1,
4
2,
1,
x
x x
f x
x
x
x
ì -
-
£
ï
= í +
-
>
ïî
则函数
3
y
f
f x
=
- 的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
技法指导
函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个.
技法指导
（1）判断嵌套函数零点个数的主要步骤：①换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；②依次解
方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x 的值或判断图象交点个数.
（2）抓住两点：①转化换元；②充分利用函数的图象与性质.
8．（2026·山东济宁·期中）已知函数
2
2 ,
0
1
ln
,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì -
+
³
ï
= í
-
+
<
ïî
，则函数
1
y
f
f x
=
-
é
ù
ë
û 的零点个数是（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．5
题型05 求嵌套函数零点中的参数
9．（2026·吉林长春·期中）设
3
1
x
f x
（）=
-
，若关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
=
-
+
+
（）
（）（
）（）
有三个不同的零点，
则实数t 的取值范围为（ ）
A．
1
0, 2
B．
0,2
C．
0,1
D．
0,1
10．（2026·山东菏泽·月考）已知函数
1
2
1,
2
2
ln
,2
8
2
x
x
f x
x
x
ì
-
£
<
ïï
= í
ï
£
£
ïî
，若函数
g x
f x
ax
=
-
有三个不同的零点，
则实数a 的取值范围是________.
一、单选题
1．（2026·广东深圳·一模）设
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
=
-
，
(
)
1
1
f -
= ，则
(9)
f
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
2．（2026·四川·模拟预测）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，
( )
f
x
¢
是减
函数，则（ ）
A．
(1)
(2)
( 3)
f
f
f
<
<
-
B．
( 3)
(1)
(2)
f
f
f
<
<
-
C．
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
<
-
<
D．
( 3)
(2)
(1)
f
f
f
-
<
<
3．（2026·浙江·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，对
x
" ÎR ，
6
f x
f
x
=
-
与
4
2
2
f
x
f
x
f
+
-
=
均恒成立，则
2026
f
= （ ）
A．1
-
B．0
C．
1
2
D．1
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
技法指导
（1）求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a 与y＝f（t）的图象，确定t1，t2 的取值范围，
进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数；
（2）处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.
A．
( )
f x 的一个周期为6
B．
( 1)
0
f -
=
C．
(2)
0
f
=
D．
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
5．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，且
1
f x
f x
+
= -
，则
（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的最小正周期是2
C．
f x 关于点
2,0 中心对称
D．
3
f x +
是奇函数
6．（2026·河北邯郸·一模）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，
1
2
,
0,
x x
"
Î
+ ¥ ，且
1
2
1
2
1
2
,
0
x
x
x
x
f
x
f
x
¹
-
-
>
é
ù
ë
û
，若
2
1
f
f
x
x
é
ù
+
=
ê
ú
ë
û
，则
f x 的零点为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．1
D．2
7．（2026·江苏南京·期末）设函数
3
ln
,
1
1 ,
1
x x
x
f x
x
x
ì
³
ï
= í
ï-
-
<
î
，若关于x 的方程
2
2
4
0
f x
mf x
m
+
-
-
=
é
ù
ë
û
恰好
有4 个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
1
2,
2
e
-
-
B．
1
2
, 2
e
- -
-
C．
1
2,
2
e
+
D．
1
0, e
8．（2026·贵州贵阳一模）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
=
-
，(2
)
f
x
+
是奇函数.且当0
1
x
£
£
时，
2
( )
f x
x
=
，则函数( )
( )
lg(
1)
g x
f x
x
=
-
+
的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
9．（2026·辽宁·一模）（多选）已知函数
f x 为定义在R 上的单调函数，且
2
2
x
f
f
x
x
-
-
= 10.若函数
2
2
,
0,
log
1,
0
f x
x
a x
g x
x
a
x
ì
-
-
£
ï
= í
-
-
>
ïî
有3 个零点，则a 的取值可能为（ ）
A．2
B．7
3
C．3
D．10
3
10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为R 的函数
f x ，对任意实数,x y 都有
2
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，且
1
1
f
= - ，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
f x 是偶函数
C．
f x 的图象关于点
0,1 中心对称
D．
1
2
2026
0
f
f
f
+
+
+
=
L
11．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数且在区间
0,3 上单调，函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
3
f x
f x
+
=
B．若1
1
g
= - ，则
1
5
2
f
=
C．若
g x 在区间
0,2 上是增函数，则
g x 在区间
4,6 上是增函数
D．若
3
0
2
f
=
，则
g x 在区间
5,6
-
上的零点之和为0
12．（2026·广西·期末）定义在
0, ¥
+
上的函数
f x 对任意实数,
0
x y >
均满足
f xy
f x
f
y
=
+
，且当
1
x > 时，
0
f x >
，
2
1
f
= ．则下列结论正确的是（ ）
A．
1
0
f
=
B．函数
1
1
f x
f
x
+
+
-
为偶函数
C．
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,+¥ 上单调递增
D．不等式
1
1
f x
f x
-
-
> 的解集为
0,2
13．（2026·河南周口·期末）函数
f x 满足
2
3
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，
3
1
2
f
=
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 的周期为6
C．
3
f x ³ -
D．
2
1
f
x +
的图象关于直线
1
2
x =
对称
14．（2026·四川绵阳·开学考试）已知函数
2
3
x
f
x =
-
，若关于x 的方程
2
2
3
0
f x
mf x
-
+
=
é
ù
ë
û
有4 个不
同的实数根，则m 的取值范围是______
15．已知函数
2
lg
,
0,
6
4,
0,
x
x
f x
x
x
x
ì
-
<
ï
= í
-
+
³
ïî
若关于x 的函数
2
3
y
f
x
bf x
=
-
+ 有8 个不同的零点，则实数b 的
取值范围为_____．
16．已知函数
2
2
4
1,
0
( )
log
,
0
x
x
x
f x
x x
ì
+
+
£
= í
>
î
，则函数
( ( ))
1
y
f f x
=
+ 有__________个零点．
