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知识点38：机械能守恒定律和功能关系的理解及应用
考点一：机械能守恒的判断
【知识思维方法技巧】
机械能守恒定律判断的方法：
（1）单个物体用做功判断法：只有重力做功，机械能守恒，有弹力做功，机械能不守恒。
（2）系统（2 个物体以上的连接体）用能量转化判断法：外力对系统不做功（表明系统与
外界之间无能量交换），系统内无其他摩擦和介质阻力做功（表明系统内不存在机械能与
其他形式之间的转换），则系统的机械能守恒。
（3）绳子突然绷紧、非弹性碰撞、有摩擦力、电场力或安培力做功等情况， 机械能必不
守恒。
题型一：单个物体运动模型
【典例1 拔尖题】奥运会比赛项目撑竿跳高如图所示，则( )
A．加速助跑过程中，运动员的机械能守恒
B．起跳上升过程中，运动员的重力势能减少
C．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加
D．越过横杆后在下落过程中，运动员的动能增加
【典例1 拔尖题】【答案】D
【解析】加速助跑过程中，运动员的动能增大，机械能增大，A 错误；起跳上升过程中，
运动员的重力势能增大，B 错误；起跳上升过程中，竿的弹性势能在减小，C 错误；越过
横杆后在下落过程中，运动员的重力势能减小，动能增加，D 正确。
题型二：连接体运动模型
【典例2 拔尖题】（多选）如图所示，一轻弹簧一端固定在O 点，另一端系一小球，将小
球从与悬点O 在同一水平面且使弹簧保持原长的A 点静止释放，让小球自由摆下，不计空
气阻力，在小球由A 点摆向最低点B 的过程中，下列说法正确的是( )
1
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A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
【典例2 拔尖题】【答案】BD
【解析】小球由A 点下摆到B 点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所
以小球的机械能减少，故选项A 错误，B 正确；在此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力
做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动
能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C 错误，D 正确。
【典例2 拔尖题对应练习】（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑
的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A 点的
正上方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使
半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D
错误；小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，
小球的机械能守恒，B 正确；小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半
圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C 正确．
考点二：功能关系的理解及与图像问题的结合应用
【知识思维方法技巧】
（1）功是能量转化的量度，力学中几种常见的功能关系如下：
2
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（2）涉及做功与能量转化问题的解题方法：
分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，确定能
量之间的转化情况。
①若只涉及动能的变化则用动能定理分析．
②若只涉及重力势能的变化则用重力做功与重力势能变化的关系分析．
③当涉及滑动摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量守恒定律，特别注意摩擦产生
的内能Q＝Ffl 相对，l 相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
④若只涉及机械能的变化则有两种分析方法：一是定义法：如果动能和势能都增加(或减
少)，机械能一定增加(或减少)．二是功能关系法：除重力(或弹簧弹力)以外的其他力做正
功(或负功)，机械能一定增加(或减少)。
题型一：单个物体运动功能关系的理解
【典例1 拔尖题】(多选)物体由地面以120 J 的初动能竖直向上抛出，当它从抛出至上升到
某一点A 的过程中，动能减少40 J，机械能减少10 J．设空气阻力大小不变，以地面为零
势能面，则物体( )
A．落回到地面时机械能为70 J
B．到达最高点时机械能为90 J
C．从最高点落回地面的过程中重力做功为60 J
D．从抛出到落回地面的过程中克服阻力做功为60 J
【典例1 拔尖题】【答案】BD
【解析】物体以120 J 的初动能竖直向上抛出，向上运动的过程中重力和空气阻力都做负功
当上升到某一高度时，动能减少了40 J，而机械能损失了10 J．根据功能关系可知：合力
做功为－40 J，空气阻力做功为－10 J，对从抛出点到A 点的过程，根据功能关系：mgh＋
Ffh＝40 J，Ffh＝10 J，得Ff＝mg；当上升到最高点时，动能为零，动能减小120 J，设最
大高度为H，则有：mgH＋FfH＝120 J，解得mgH＝90 J，FfH＝30 J，即机械能减小30
J，在最高点时机械能为120 J－30 J＝90 J，即上升过程机械能共减少了30 J；当下落过程
中，由于阻力做功不变，所以机械能又损失了30 J，故整个过程克服阻力做功为60 J，则
该物体落回到地面时的机械能为60 J，从最高点落回地面的过程中重力做功为mgH＝90
J，故A、C 错误，B、D 正确．
【典例1 拔尖题对应练习】如图abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R；bc
是半径为R 的四分之一圆弧，与ab 相切于b 点．一质量为m 的小球，始终受到与重力大小
相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a 点
开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR
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【典例1 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】小球从a 运动到c，根据动能定理，得F·3R－mgR＝mv，又F＝mg，故v1＝2，
小球离开c 点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向
做初速度为零的匀加速直线运动，且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g，故
小球从c 点到最高点所用的时间t＝＝2，水平位移x＝gt2＝2R，根据功能关系，小球从a
点到轨迹最高点机械能的增量为力F 做的功，即ΔE＝F·(2R＋R＋x)＝5mgR.
题型二：功能关系与图像问题的结合应用
【知识思维方法技巧】
功能关系与图像问题结合的解题方法：
（1）函数斜率面积法：先由物理学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表
达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种
转化。
①F－x 图像：图像与x 轴围成的面积表示力F 做的功．
②Ek－x 图像：由动能定理ΔEk＝Fx 知，Ek－x 图像的斜率表示合外力F.
③Ep－x 图像：由重力做功与重力势能变化的关系ΔEp＝－mgx 知，Ep－x 图像的斜率大小
表示重力mg.
④E－x 图像：由机械能定理可知，机械能E－x 图像的斜率表示物体除重力和弹力之外所
受的合外力．
（2）函数数据代入法：先由物理学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的
特殊数据代入函数公式进行计算。
类型一：Ek－x 及Ep－x 图像的综合应用
【典例2a 拔尖题】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到
一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用．距地面高度h 在3 m 以内时，物体上
升、下落过程中动能Ek随h 的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.该物体的质量为(
)
A．2 kg B．1.5 kg C．1 kg D．0.5 kg
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【典例2a 拔尖题】【答案】C
【解析】方法一：函数数值代入法。画出运动示意图．设该外力的大小为F，据动能定理
知
A→B(上升过程)：－(mg＋F)h＝EkB－EkA，B→A(下落过程)：(mg－F)h＝EkA′－EkB′
整理以上两式并代入数据得物体的质量m＝1 kg，选项C 正确．
方法二：函数斜率面积法。写表达式根据斜率求解
上升过程：－(mg＋F)h＝Ek－Ek0，则Ek＝－(mg＋F)h＋Ek0
下落过程：(mg－F)h＝Ek′－Ek0′，则Ek′＝(mg－F)h＋Ek0′，
结合题图可知mg＋F＝ N＝12 N，mg－F＝ N＝8 N
联立可得m＝1 kg，选项C 正确．
【典例2a 拔尖题对应练习】（多选）一物块在高3.0 m、长5.0 m 的斜面顶端从静止开始沿
斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取
10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D．当物块下滑2.0 m 时机械能损失了12 J
【典例2a 拔尖题对应练习】【答案】AB
【解析】由E－s 图象知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，
故A 正确；由E－s 图象知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20
J，重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcos α·s，其中cos α＝＝0.8，h＝3.0
m，g＝10 m/s2，则可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B 正确；物块下滑时的加速度大小a＝gsin α
－μgcos α＝2 m/s2，故C 错误；物块下滑2.0 m 时损失的机械能为ΔE′＝μmgcos α·s′＝8 J，
故D 错误．
类型二：机械能E－x 图像的综合应用
【典例2b 拔尖题】(多选)如图甲所示，一木块沿固定斜面由静止开始下滑，下滑过程中木
块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是( )
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A．在位移从0 增大到x0的过程中，木块的重力势能减少了E0
B．在位移从0 增大到x0的过程中，木块的重力势能减少了2E0
C．图线a 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小
D．图线b 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小
【典例2b 拔尖题】【答案】BD
【解析】木块沿斜面下滑过程中，动能增大，则图线b 为木块的动能随位移变化的关系图
线．由机械能的变化量等于动能的变化量与重力势能变化量之和，有E0－2E0＝E0－0＋
ΔEp，得ΔEp＝－2E0，即木块的重力势能减少了2E0，故A 错误，B 正确；由功能关系可知
图线a 斜率的绝对值表示木块所受的除重力之外的合力大小，故C 错误；由功能关系可知
图线b 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小，故D 正确．
【典例2b 拔尖题对应练习】（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E 总等于动能
Ek与重力势能Ep之和．取地面为重力势能零点，该物体的E 总和Ep随它离开地面的高度h
的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg B．h＝0 时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m 时，物体的动能Ek＝40 J D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
【典例2b 拔尖题对应练习】【答案】AD
【解析】由于Ep＝mgh，所以Ep与h 成正比，斜率是k＝mg，由图像得k＝20 N，因此m
＝2 kg，A 正确；当h＝0 时，Ep＝0，E 总＝Ek＝mv，因此v0＝10 m/s，B 错误；由图像知
h＝2 m 时，E 总＝90 J，Ep＝40 J，由E 总＝Ek＋Ep得Ek＝50 J，C 错误；h＝4 m 时，E 总
＝Ep＝80 J，即此时Ek＝0，即从地面上升至h＝4 m 高度时，物体的动能减少100 J，D 正
确。
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