培优专题04 解析几何 6 大重难题型
💎题型 01 轨迹方程与曲线方程问题
命题方向一 定义法求轨迹方程
命题方向二 相关点法求轨迹方程
命题方向三 交轨法与探究型轨迹问题
💎题型 02 圆锥曲线的弦长、面积与斜率问题
命题方向一 弦长问题
命题方向二 面积问题
命题方向三 斜率问题
💎题型 03 定点、定值、定直线 “三定” 问题
命题方向一 定点问题
命题方向二 定值问题
命题方向三 定直线问题
💎题型 04 圆锥曲线中的取值范围、最值问题
命题方向一 圆锥曲线的最值问题
命题方向二 圆锥曲线的范围问题
💎题型 05 证明类与几何探究问题
命题方向一 圆锥曲线中的证明问题
命题方向二 圆锥曲线中探究性问题
💎题型 06 圆锥曲线的融合交汇问题
命题方向一 圆锥曲线与三角函数的融合问题
命题方向二 圆锥曲线与数列的融合问题
命题方向三 圆锥曲线与立体几何的融合问题
题型01 轨迹方程与曲线方程问题
抓关键·破难点
五大轨迹方程速解技法
1.定义法：从题设条件能直接判断出点的轨迹为所学的曲线(椭圆、双曲线、抛物线等)，则先判断动点的
轨迹形状，再确定相关曲线的基本元素，从而得到轨迹方程.
2.直接法：当所求动点要满足的条件简单明确时，可直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、
限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.
3.相关点转化法：当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点转化法求轨迹方程:
(1)某个动点P 在已知方程的曲线上移动;(2)另一个动点M 随P 的变化而变化；（3）在变化过程中P 和M
满足一定的规律.
4.参数法：当题设条件中很难或者无法直接找到坐标变量x ，y 的关系时，可通过设辅助参数k ,分别找到
,x y 与k 的关系，即
( )
( )
x
f k
y
g k
=
ì
í
=
î
，消去参数k 后即可求得轨迹方程.
5.交轨法： 求两曲线的交点轨迹方程时，往往先利用方程组求出交点坐标(含参数)，再消参即可.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 定义法求轨迹方程
1.（2026·甘肃陇南·一模）已知定点
1, 3
A
-
，点B 为圆
2
2
(
1)
(
1)
4
x
y
+
+
+
=
上的动点，C 为AB 的中
点．
（1）求C 的轨迹方程；
（2）若过定点
1 , 1
2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
的直线l 与C 的轨迹交于
,
M N 两点，且
3
MN =
，求直线l 的方程．
2.（2026·山东聊城·一模）已知圆
2
2
1
25
:
2
4
C
x
y
+
+
=
，圆
2
2
2
1
:
2
4
C
x
y
-
+
=
，动圆C 与
1
C 、
2
C 都
外切.
（1）求圆心C 的轨迹方程；
（2）设
1,0
A -
，M 、N 是圆心C 轨迹上的不同两点，过点H 作AH
MN
^
，垂足为H ，若直线AM
与AN 的斜率之积等于2
- ，求动点H 轨迹的长度.
🎯命题方向二 相关点法求轨迹方程
3.（2026·浙江丽水·模拟）已知
12
5,0 ,
4, 5
A
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø 是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上的两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知
,
P Q 是椭圆C 上的两动点，且
,
P Q 的横坐标之和为50
9 ，设直线l为线段PQ的中垂线，过点A 作
直线AM
l
^ ，垂足为M ．求垂足M 横坐标
M
x 的取值范围，并求M 的轨迹方程．
🎯命题方向三 交轨法与探究型轨迹问题
4. （2025·高考综合改革适应性演练）已知椭圆C 的离心率为
1
2 ，左、右焦点分别为
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
（1）求C 的方程；
（2）已知点
0 1,4
M
，证明：线段
1
0
F M 的垂直平分线与C 恰有一个公共点；
（3）设M 是坐标平面上的动点，且线段
1F M 的垂直平分线与C 恰有一个公共点，证明M 的轨迹为圆，并
求该圆的方程．
5.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，右焦点为F，
点
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø在C 上，过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A，B 两点.
（1）求椭圆C 的方程.
（2）若直线l 的斜率为
3 ，求PAB
D
的面积.
（3）设点Q 满足
0
QP
QA
QB
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r ，求点Q 的轨迹方程.
题型02 圆锥曲线的弦长、面积与斜率问题
抓关键·破难点
一、巧妙缩小弦长公式的计算量的解题模板
第①步：考虑一般情况，设交点
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，直线:l y
kx
b
=
+
第②步：联立“线锥”方程，得到一个关于x 的一元二次方程
2
0(
0)
Ax
Bx
C
A
+
+
=
¹
第③步:检验
2
4
0
B
AC
D =
-
>
,然后由根与系数的关系得
1
2
B
x
x
A
+
= -
，
1
2
C
x x
A
=
.
第④步:代入弦长公式得
2
2
1
2
1
2
|
|
1
(
)
4
MN
k
x
x
x x
=
+
×
+
-
2
2
4
1
B
C
k
A
A
æ
ö
=
+
×
-
-
ç
÷
è
ø
.
观察上式，可得
2
2
4
B
C
A
A
A
D
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，由此，弦长公式就和D 建立了关系，可以得到简化的弦长公式
2
2
|
|
1
MN
k
A
D
=
+
×
( 此处的D 和A 都是对应x 来说的) ，而若得的是关于y 的一元二次方程
2
0
A y
B y
C
¢
¢
+
+
=
，同理可得
2
2
1
|
|
1
MN
k
A
¢
D
=
+
×
¢
(此处¢
D 和A¢则是对应y 来说的，
0
k ¹
).
二、直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积
1.一般方法：
（其中
为弦长，
为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式
.
进一步，=
=
2.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着
轴或者
轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一
般在
轴或者
轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
d
AB
S
2
1
=
AB
d
m
kx
y
+
=
2
0
0
1
1
2
2
1
2
1
4
)
(
1
2
1
k
m
y
kx
x
x
x
x
k
+
+
-
-
+
+
m
y
kx
x
x
x
x
+
-
-
+
0
0
1
1
2
2
1
4
)
(
2
1
x
y
x
y
3.坐标法：设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
.
三、“直曲相交”下斜率为定值的高分必记结论
1.设
( , )
P m n 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上一定点，,
A B 是椭圆C 上不同于点P 的两点，若
0
PA
PB
k
k
+
=
，则直线AB 的斜率为
2
2
(
0)
b m n
a n
¹
.
2.设
( , )
P m n 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
上一定点，,
A B 是双曲线C 上不同于点P 的两点，若
0
PA
PB
k
k
+
=
，则直线AB 的斜率为
2
2
(
0)
b m n
a n
-
¹
.
3.设
( , )
P m n 是双曲线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
上一定点，,
A B 是抛物线C 上不同于点P 的两点，若
0
PA
PB
k
k
+
=
，则直线AB 的斜率为
(
0)
p n
n
-
¹
.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 弦长问题
1 .（2026·山东青岛第二中学·一模）已知椭圆
：
的右焦点为
，且过点
.
（1）求
方程；
（2）设
为
上一动点，当
取得最大值时，求直线QF 被
截得的弦长.
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
4
2
PAB
PQA
PQB
A
B
S
S
S
PQ y
y
PQ
y
y
y y
D
D
D
=
+
=
-
=
+
-
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
4
2
PAB
PQA
PQB
A
B
S
S
S
PQ x
x
PQ
x
x
x x
D
D
D
=
+
=
-
=
+
-
|
|
2
1
1
2
2
1
y
x
y
x
S
AOB
-
=
D
C
2
2
2
2
1
0
+
=
> >
x
y
a
b
a
b
10
F ,
3
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
C 的
Q
C
PQ
QF
+
C
2.（2026·江西省九江市多校·联考）已知双曲线
的左焦点为
，离心率
为2.
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线与
交于
两点，与
轴交于点
，且
是
的中点，求
.
3.（2026·安徽皖北协作区·联考）已知椭圆
的短轴长为4，离心率为
．
（1）求Γ 的方程；
（2）若直线
与
交于A，B 两点，且
，求m 的取值范围．
4. （2026·浙江强基联盟·联考）已知MN 是双曲线
2
2
1
4
x
y
-
=
上垂直于实轴的动弦，
1A ，
2
A 为双曲线
的左、右顶点，直线
1A M 与
2
A N 相交于点P，点P 形成的曲线为C．
（1）若MN 过双曲线的右焦点，求|
|
MN ；
（2）求曲线C 的方程；
（3）已知动直线
2
:
1
0
l y
kx
k
k
=
-
+
>
与曲线C 交于
1
1
,
A x
y
，
2
2
,
B x
y
两点，
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
为直线l 上的另两点
3
1
2
4
y
y
y
y
>
>
>
，点F 的坐标为
3,0 ，且|
| |
|
AC
AF
=
，
|
| |
|
BD
BF
=
，O 为坐标原点，证明：|
| |
|
OC
OD
=
．
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
2,0
F -
C
F
l
C
,
A B
y
P
P
BF
AB
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
5
5
y
x
m
=
+
G
8 10
|
|
9
AB <
🎯命题方向二 面积问题
5. （2026··广东惠州第一中学3 月阶段·考试）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A.请
从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C 存在且唯一.
条件①：C 的离心率为2；
条件②：C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
；
条件③：C 的右焦点与点A 的距离为1.
（1）求C 的方程；
（2）若过点
2,3
P
的直线l 交C 的右支
．．于点M，且AMP
D
的面积为3，求l 的方程.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解
答计分.
6. （2026·东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学第一次联合模拟考试）
已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，
，
均为椭圆
上的动点．
（ⅰ）若直线
、直线
分别过
左右焦点，记直线
、
、
的斜率分别为
，
，
，
当
，
，
成等差数列时，求点
的坐标；
（ⅱ）若
的重心是坐标原点
，证明：
的面积是定值．
2
2
2
2
Γ :
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
1
2
2 3
Γ
A
B
C
Γ
AC
BC
Γ 的
AC
AB
BC
1k
2k
3k
1k
2k
3k
C
ABC
V
O
ABC
V
🎯命题方向三 斜率问题
7. （2026·湖南长沙模拟·检测）已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
（1）求
的方程；
（2）直线l 与双曲线有两个不同的交点A、B，设
，直线PA 与双曲线的另一个交点为C，直线PB
与双曲线的另一个交点为D，若直线CD 过定点
，求直线AB 的斜率．
8. （2026·重庆育才中学3 月·模拟）已知
分别为双曲线
的左，右顶点，
为双曲线
上异于
的任意一点，直线
，
斜率之积为
，
的焦距为
．
（1）求
的方程；
（2）过点
作直线与双曲线
交于
，
两点（
不与
重合），记
的斜率分别
为
，证明：
为定值．
9. （2026·山东青岛一模·调研）如图，椭圆
，
，已知
右
顶点为
，且它们的交点分别为
，
，
，
．
G
7,0
-
7
2
G
1,0
P
5 3
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
,AB
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
-
= (
)
0
0
a
b
>
>
，
M
E
,AB
MA
MB
3
4
E
2 7
E
4,0
l
E
C
D
,CD
,AB
,
,
l AC AD
1
2
, ,
k k k
1
2
k
k
k
k
+
2
2
1 :
1(
0)
x
y
m
n
m
n
G
+
=
>
>
2
2
2 :
1
x
y
n
m
G
+
=
1G
(2,0)
H
1(1,1)
P
2( 1,1)
P -
3( 1, 1)
P - -
4(1, 1)
P -
（1）求
与
的标准方程；
（2）过点
作直线MN，交
于点M，交
于点N，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
求
；（上述各点均不重合）
（3）点
是
上的动点，直线
交
于点
，直线
交
于点
，直线
交
于点
，直线
与直线
交于点N，求点G 坐标，使直线NG 与直线NH 的斜率之积为定值．（上述各点
均不重合）
10. （2026·甘肃省一模）如图所示，焦点在
轴上的椭圆
的顶点分别为
，
且椭圆过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
上任意一点
作四边形
的内切圆的两条切线
，切点分别为
，当切线
1G
2
G
1P
1G
2
G
3PM
1k
3PN
2k
2
1
k
k
1
Q
1G
1 1
QP
2
G
2
Q
2 2
QP
1G
3
Q
3 3
QP
2
G
4
Q
4 4
QP
1 1
QP
x
C
1
2
1
2
1
2
2
π
,
,
,
,
3
A A B B
B A B
Ð
=
6
1, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C
C
P
1
1
2
2
AB A B
,
PAPB
,AB
斜率存在时，记切线
斜率分别为
，试判断
是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，
请说明理由；
（3）若切线
与椭圆
的另一个交点分别为
，求
的最小值.
题型03 定点、定值、定直线“三定”问题
抓关键·破难点
一. 破解定点问题的解题策略：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）求证直线过定点
0
0
(
,
)
x
y
：常利用直线的点斜式方程
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
或截距式y
kx
b
=
+
来证明．
二.定值问题的解题技巧
（1）先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关.
（2）引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值.
三.定直线问题的解题策略
定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹的方法，
如定义法、消参法、交轨法等.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 定点问题
1. （2026·重庆礼嘉中学·模拟）已知抛物线
：
与双曲线
的渐近线在第一、
四象限的交点分别为
，
，且
16
OPQ
SD
=
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）
，
为
上异于
，
的两动点，且以线段
为直径的圆恰好经过
，证明：直线
过
定点.
,
PAPB
1
2
,k k
1
2
k k×
,
PAPB
C
,
E F
EF
E
2
2
0
y
px p
=
>
2
2
1
x
y
-
=
P
Q
E
A
B
E
P
Q
AB
P
AB
2.（2026·山东聊城一模） 已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，且
．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线交
于
两点，以线段
为直径作圆，该圆是否恒过
上一定点？若是，
求出该点坐标；若否，请说明理由．
3. （2026·齐齐哈尔·一模）已知动圆过定点
，且被
轴截得的弦长为4.
（1）求动圆圆心
的轨迹方程；
（2）已知过点
的直线与圆心
的轨迹交于
两点，点
关于
轴的对称点为
.
（i）求
（
为坐标原点）面积的最小值；
（ii）证明：直线
必过定点
.
4 （2026·陕西渭南中学·一模）已知平面上一动圆P 与圆
相内切（其中圆P 的
半径小于圆F 的半径），且圆P 经过点F 关于原点的对称点
，记圆心P 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程；
（2）记C 与x 轴的两个交点分别为
，
（
在
的右侧），直线l 与C 相交于点M，N（异于点
，
），且直线
的斜率恰好是直线
的斜率的7 倍．
（i）直线l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
2
:
2
(0
6)
C y
px
p
=
<
<
F
( ,4)
Pa
C
5
PF =
C
(5, 2)
T
-
l
C
,AB
AB
C
2,0
E
y
C
E
l
C
,AB
B
x
B¢
AOB
V
O
AB¢
D
2
2
:
2 3
13
F x
y
x
+
-
=
F ¢
1A
2A
2A
1A
1A
2A
1AM
2AN
（ii）求四边形
的面积S 的最大值．
🎯命题方向二 定值问题
5．（2026·河南九师联盟模拟·预测）已知
，
，动点M 满足
，设M 的
轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设直线
与曲线C 有两个交点A，B，求k 的取值范围；
（3）设直线
与曲线C 交于P，Q 两点，求证：
为定值．
6．（2026·山东烟台诊断性·测试）已知双曲线
经过点
，且离心率为2．
（1）求
的方程；
（2）过
的右焦点且斜率不为0 的直线与
交于
两点，设
分别为
的左、右顶点，且直线
的斜率分别为
，判断：
是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
7. （2026·湖北武汉3 月调研）曲线E：
（
）与直线l：
交于点A，过点A
且与l 垂直的直线交曲线E 于另外的点B，设线段AB 的中点为P，定点Q 的坐标为
.
（1）用t 表示点A 的坐标；
1
2
AMAN
1
2,0
C -
2 2,0
C
1
2
2
MC
MC
-
=
:
1
l y
kx
=
+
:
2
l
x
my
=
+
¢
2
2
1
1
PC
QC
+
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
2 3
，
C
C
l
C
,AB
,
M N
C
,
AMBN
1
2
,k k
1
2
k
k
2
2
1
1
x
y
t
t
+
=
-
0
1
t
< <
1
x y
+ =
1 1
,
8 8
æ
ö
ç
÷
è
ø
（2）证明：
为定值；
（3）是否存在某条直线始终与以
为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理
由.
🎯命题方向三 定直线问题
8. （2026·内蒙古包头市·一模）已知平面直角坐标系
上一动点
满足
，
，
．
（1）求点
的轨迹曲线
的方程；
（2）斜率为
的直线与曲线
交于
，
两点，点
．
①求直线
，
的斜率之和；
②PAB
D
的外接圆圆心
是否在某定直线上？说明理由．
9 .（2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知抛物线
焦点为
，
，
，
为抛物线
上的三个动点，且
.
（1）求拋物线
的方程；
（2）过
分别作抛物线的三条切线，分别为
，
，
，
，
交于点
，
，
交于点
E，
，
交于点
.
（i）证明：
的垂心在一条定直线上；
（ii）已知G 点在曲线
（
）上，求
的面积的最大值.
10．（2026·全国名校联盟·模拟）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，离心率为2，
圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点.
PA
PQ
+
PQ
xOy
Q
2 2
QE
QF
-
=
3, 0
E -
3, 0
F
Q
C
1
-
C
A
B
2,1
P
AP
BP
M
2
:
2
x
py
G
=
(0,1)
F
1
1
( , )
A x y
2
2
( ,
)
B x y
3
3
( ,
)
C x y
G
1
3
2
x
x
x
<
<
G
A
B
C
，，
1l
2l
3l
1l
3l
D
2l
3l
1l
2l
G
EDG
△
2
2
1
4
y
x +
=
0
y£
ABC
V
（1）求C 的方程；
（2）设A 为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于
,
M N 两点，直线
,
AM AN 分别交
圆O 的另一点于,
P Q.
（i）证明：
,
,
P O Q 三点共线；
（ii）设直线MN 与直线PQ交于D ，证明：点D 在定直线上.
题型04 圆锥曲线中的取值范围、最值问题
抓关键·破难点
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
刷经典·通方法
🎯命题方向一 圆锥曲线的最值问题
1. （2026·河南焦作·一模）过抛物线
的焦点
作直线，交
于
两点，交
轴
于点
，记过点
且垂直于
的直线为．
（1）证明：直线与
相切；
（2）若
，记直线与
的切点为
，求DAB
D
面积的最小值．
2．（2026·成都石室中学·二模）如图，已知椭圆
，点
在椭圆上且
，
，
分别经过
的左、右焦点
，
，且
，
．
2
:
2
0
C y
px p
=
>
F
C
,AB
y
P
P
AB
l
l
C
2
p=
l
C
D
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
=
0
0
,
P x y
0 0
y >
PQ
PR
C
1F
2F
1
1
PF
FQ
l
=
uuur
uuur
2
2
PF
FR
m
=
uuur
uuur
（1）若
，求点
的坐标；
（2）证明：
是定值，并求出
的值；
（3）求四边形
面积最大值．
3. （2026·江苏扬州市第一次·调研）过双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
上一点
1,0
A -
作两渐近线的垂
线，垂足为D 、E ，且
1
2
AD
AE
×
=
.
（1）求双曲线方程；
（2）过点
,0 (
)
B m
m
a
>
的直线与双曲线右支交于P 、Q 两点，连接AP 、AQ ，直线
x
n m
n
=
>
与
AP 、AQ 分别交于M 、N ，
90
MBN
Ð
=
o .
（i）若
2
m =
，求n 的值；
（ii）求n 的最小值.
4. （2026·安徽临泉第二中学3 月模拟）设
分别为椭圆
左、右焦点，
是椭圆
短轴的一个顶点，已知
1 2
PFF
D
的面积为
.
2
l=
P
l m
+
l m
+
1
2
FQRF
1
2
,
F F
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的
P
C
1
2
1
3,cos
2
F PF
Ð
= -
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，
是椭圆上不重合的三点，原点
是
的重心，求点
到直线
的距离的最
大值.
5. （2026·海南儋州市高三第一次教学质量诊断·考试）已知抛物线
的焦点为点
，点
在抛物线
上，
，且
的最小值为
．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P 不在坐标轴上，过P 可作抛物线C 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
①证明：
；
②若直线
，
，直线AB 与x 轴相交于点H，求
的最大值．
6. （2026·江苏南京市中华中学模拟预测）已知
分别为椭圆
的左，右焦
点，
为
的上顶点，点
为椭圆
上的一个动点，且三角形
面积的最大值为1，焦距为2.
（1）求椭圆的标准方程；
C
, ,
M NG
O
MNG
V
M
NG
2
1
:
2
2
C y
px p
æ
ö
=
>
ç
÷
è
ø
F
M
C
2,1
E
MF
ME
+
5
2
2
PF
AF BF
=
AB
PO
^
AB PO G
=
I
GH
PG
1
2
,
F F
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
G
E
P
E
1
2
F PF
（2）如图，过点
作两直线
分别与椭圆
相交于点
和点
.
（i）若点
不在坐标轴上，且
，求直线
的方程；
（ii）若直线
斜率都存在，且
，求四边形
面积的最小值.
🎯命题方向二 圆锥曲线的范围问题
7. （2026·河北黄骅·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆G :
2
2
1
4
x
y
+
= 的右顶点为A ，点
( ,0)
P a
、
(0, )
Q
t 分别是x 轴负半轴、y 轴正半轴上的动点.
（1）若P 是G 的左焦点，且OA
PQ
=
，求t 的值；
（2）设
2 2
t =
，G 上存在x 轴上方一点B .若tan
2 2
AQB
Ð
=
，求B 的坐标；
（3）设
2
t =
，过P 的直线l 与G 交于M 、N 两点( M 、N 两点不重合)，与y 轴交于C 且C 的纵坐标
1
cy > ，记M 与N 到直线AQ 的距离分别为
1d 、
2
d .若存在直线l ，满足
1
2
3 2
d
d
+
=
成立，求a 的取值范
围.
8．（2026·广东江门·模拟）已知椭圆
的长轴长为，离心率为
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）椭圆
的左右顶点分别为
，
是直线
上一点，直线
分别交椭圆于点
两点，连
接
交轴于点
.
（i）当
最大时，求点
的坐标；
（ii）若
，求
的取值范围.
1
2
,
F F
1
2
,
l l
E
,
M N
,A B
,
M N
1
1
MGF
NGF
Ð
Ð
=
1l
1
2
,
l l
MN
AB
^
MANB
2
2
2
2
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
：
4
3
2
C
1
2
,AA
P
4
x=
1
2
,
PA PA
,
M N
MN
x
D
1
2
APA
Ð
P
1
2
MAD
NA D
S
S
l
= ×
V
V
l
9. （2026·广东汕头3 月调研）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E 的方程为
2
2
y
px
=
，T 为E 上一点，
F 为E 的焦点，过点
,
F T 的直线交E 于另一点S （S 不与T 重合）．|
|
TS 的最小值为4．
（1）求E 的标准方程；
（2）过点F 作直线l 交E 于,
A B 两点（A 在B 上方），点M 坐标为
2,0 ，延长AM 交E 于点C ，延
长CF 交E 于点D ，连接BD ．
（ⅰ）求
BDF
V
面积的最小值；
（ⅱ）当AC 、BD 均不与x 轴垂直时，设AC 中点为P ，BD 中点为Q ，求cos
POQ
Ð
的取值范围．
题型05 证明类与几何探究问题
抓关键·破难点
一、圆锥曲线中证明问题的解题策略
1.几何条件代数化：将题目中的垂直、平行、共线、等角、等距、中点、定点等几何关系，转化为坐标关
系、斜率关系、向量关系或距离公式，再通过联立方程进行推理证明.
2.设而不求与整体代换：设出直线与曲线的交点坐标，联立后利用判别式与韦达定理得到根与系数的关系，
整体代入待证式子中化简，消去参数完成证明.
3.先特殊后一般：先取特殊位置（如直线斜率为0、斜率不存在、过顶点）猜出结论，再用一般情况严格推
导，使证明方向更明确.
二、圆锥曲线中探究性问题的解题策略
1.假设存在→推理→验证：先假设满足条件的点、直线、定值存在，再根据条件列式推导，若推出合理结
果则存在，矛盾则不存在.
2.转化为方程有解问题：将探究是否存在的问题，转化为关于参数的方程或方程组是否有解、解是否满足
范围限制的问题.
3.紧扣定义与几何性质：充分利用椭圆、双曲线、抛物线的定义、对称性、光学性质、切线性质，简化探
究过程.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 圆锥曲线中的证明问题
1. （2026·湖北武汉模拟）已知椭圆
，过椭圆
上一点
作曲线
的切线，
交
轴于点Q，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别为其左、右顶点.
（1）证明：切线
的方程为
.
2
2
:
1
2
x
C
y
+
=
C
0
0
0
,
0
P x
y
y ¹
C
x
1F
2F
C
1A
2A
PQ
0
0
1
2
x x
y y
+
=
（2）证明：
为
的外角平分线.
（3）过点
，
分别作
，
，垂足分别为
.证明：
，
，
，
四点
共圆.
2. （2026·湖北鄂州3 月·质检）已知动圆
与圆
：
外切，同时与圆
：
相内切.
（1）求动圆圆心
的轨迹
的方程；
（2）设曲线
与
轴交于
，
两点（
在
左侧），过
的动直线交
于
，
两点，直线
，
交直线
于
，
两点，证明：
（i）以
为直径
圆
恒过定点，并求出定点坐标；
（ii）直线
与圆
相切.
🎯命题方向二 圆锥曲线中探究性问题
3．（2026·云南红河州、文山州模拟预测）已知抛物线
：
（
）的焦点
到准线的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知
，
，
三点（点
在点
和点
之间）在抛物线上．
（ⅰ）若点
，求
周长的最小值；
（ⅱ）过
，
，
三点作抛物线的三条切线，分别两两相交于点
，
，
，如图所示，直线
，
PQ
1
2
FPF
Ð
1F
2F
1 1
FB
PQ
^
2
2
FB
PQ
^
1
2
,
B B
1A
2A
2
B
1B
P
M
2
2 6
5 0
x
y
x
+
+
+ =
N
2
2 6
91 0
x
y
x
+
-
-
=
P
T
T
x
1A
2A
1A
2A
N
T
A
B
1AA
1AB
12
x =
E
F
EF
的
G
AB
G
C
2 2
x
py
=
0
p>
F
A
B
C
B
A
C
3,6
Q
AQF
V
A
B
C
D
E
G
DE
分别交
轴于点
，
，是否存在常数
，使得
，若存在，求出
的
值；若不存在，请说明理由．
4．（2026·湖北孝感·二模）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，点
在双曲线
上．点
为双曲线
右支上除右顶点外的任意点．
（1）求双曲线
的标准方程；
（2）证明：点
到
的两条渐近线的距离之积为定值；
（3）已知
的左顶点
和右焦点
，直线
与直线
相交于点
．试问是否存在常数
，使
得
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．
5. （2026·河北唐山·一模）已知椭圆
的离心率为
，其左顶点为A，上顶
点为B，
的面积是1，其中O 是原点，平行于
的直线l 与C 交于M，N.
（1）求C 的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；
若不存在，请说明理由.
GE
y
M
N
l
1
1
1
1
B
C
OM
ON
y
y
l
æ
ö
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
l
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
π
3
2, 3
T
-
C
M
C
C
M
C
C
A
F
AM
1
:
2
l
x =
N
l
AFM
AFN
l
Ð
= Ð
l
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
3
2
AOB
V
AB
6. （2026·河北滦州第一中学3 月·检测）已知椭圆
过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）斜率为1 的直线与椭圆
交于
两点，点P 坐标为
，直线
与椭圆的另一个交点为点
M，直线PD 与椭圆
的另一个交点为点N.
①已知点M 坐标为
，求点
横坐标（用
表示）；
②过点
作
于点G，是否存在定点Q，使得
为定值，若存在，求出点
的坐标，若不存
在，请说明理由.
题型06 圆锥曲线的融合交汇问题
抓关键·破难点
此类问题以圆锥曲线为载体，与三角函数、平面向量、数列、导数等知识相互渗透、综合考查，解
题时需立足解析几何本质，将不同知识模块转化为坐标、斜率、距离等统一关系，再通过联立方程、韦达
定理、参数消元完成求解。解题时应紧扣曲线定义与几何性质，将交汇条件代数化，遵循 “设点、设线、
联立、判别式、韦达定理、代入化简” 的通用步骤，把综合问题转化为常规代数式运算，最终得到定值、
定点、取值范围或轨迹结论。
刷经典·通方法
🎯命题方向一 圆锥曲线与三角函数的融合问题
1.（2026·辽宁·模拟预测）抛物线
2
:
2
0
E y
px p
=
>
的焦点为F ，M 为E 上一点，M 的纵坐标为
2
2 ，点N 在y 轴上，MN
y
^ 轴，线段MN 的中点为P ，且
//
PF y 轴．
(1)求E 的方程；
(2)已知, ,
A B C 为E 上三个不同的点，点A 在第一象限．
（ⅰ）若点B 在原点，
90
BAC
Ð
=
°，AB
AC
=
，点A 的横坐标
0x 满足
*
0
1
n
x
n
n
<
<
+
ÎN ，求n ．
（ⅱ）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c，且满足
2 2tan
1
2 2tan
1
9
B
C
-
-
= ，
2
2
2
2
1
0
: x
y
E
a
b
a
b
+
=
> >
2,0,
(
)
1
(
)
0,
A
B -
E
E
,CD
4,0
-
PC
E
1
1
,
x
y
C
1
x
P
PG
MN
^
GQ
Q
2
2
2
3
3
3
2
a
c
b
ac
+
-
=
，
ABC
V
的重心G 在x 轴上，求点G 的坐标．
🎯命题方向二 圆锥曲线与数列的融合问题
2. （2026·辽宁盘锦大洼区·一模）已知椭圆C：
，
，
，点
在椭圆C 上.由椭圆的光学性质得到：从焦点
处发出的一束光线，射向椭圆C 上的点
，
经椭圆反射后经过焦点
；继续传播，射向椭圆C 上的点
，经椭圆反射后经过焦点
；如此反复，设
第
次入射点为
.规定：当
为奇数时，记
；当
为偶数时，记
；记
，
，即：
，
，
，… ，
，
，
，….
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知椭圆
：
的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆
上的动点M 满足，到
一个定点
的距离与到不通过这个定点的一条定直线
的距离之比是一个常数
，其中
2
2
2
2
1
0
+
=
> >
x
y
a
b
a
b
1
1,0
F -
2 1,0
F
2 10
2,
3
Mæ
ö
ç
÷
è
ø
1F
1P
2F
2P
1F
n
1,2,3,
nP n =
×××
n
2
nF
F
=
n
1
nF
F
=
n
n
n
A
F P
=
1
n
n n
B
F P+
=
1
2 1
A
F P
=
2
1
2
A
F P
=
3
2
3
A
F P
=
1
2
2
B
F P
=
2
1 3
B
FP
=
3
2
4
B
F P
=
C
C
2
2
2
2
1
0
+
=
> >
x
y
a
b
a
b
C
,0
0
F t
t ¹
2a
x
t
=
t
a
）得到.求证：
为定值；
（3）若
，记
，
，求证：数列
为等比数列，
.
3.（2026·云南大理·模拟预测）已知点
在抛物线
上，过点
作斜率为
的直线
交
于另一个点
，设
与
关于
轴对称，再过
作斜率为
的直线交
与另一个点
，设
与
关于
轴对称，以此类推一直做下去，设
.
（1）求的值；
（2）求数列
的通项公式，并求数列
的前
项和
的取值范围；
（3）求
的面积.
4. （2026·海南部分学校联合调研）平面内一动点
到直线
的距离为
，到直线
2
2
2
a
b
t
=
+
2
1
2
1
1
1
n
n
A
B
-
-
+
1 3
A =
4
2
n
n
n
A
D
A
-
=
-
1
1
n
n
i
i
S
A
=
= å
n
D
1
4
6
n
n
S -
<
1
1,
P t
t
+
2
:
4
0
C x
y p
=
>
1P
1
-
C
1
Q
2P
1
Q
y
2P
1
-
C
2
Q
3P
2
Q
x
*
,
N
n
n
n
P x y
nÎ
t
nx
1
n
n
x
y
ì
ü
í
ý
+
î
þ
n
n
T
*
1
2
N
n n
n
PP P
n
+
+
Î
V
P
3
2
0
x
y
+
=
1d
的距离为
，且
，记点
的轨迹为曲线
.
（1）求
的方程；
（2）已知过点
且斜率不为0 的直线与
交于
两点，且
，求的方程；
（3）以点
为端点作
条射线分别与
交于
（射线
，
按逆时
针方向旋转），且
，求
.
🎯命题方向三 圆锥曲线与立体几何的融合问题
5.（2026·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左、右焦点
分别为
1
F ，
2
F ，经过点
1
F 且倾斜角为
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点( 其中点A
在x 轴上方). 连接
2
AF ，
2
BF .将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
1
2
A
FF
B
-
-
为直二面角，折
叠后A，B 在新图形中对应点记为A¢，B¢.
(1)当
3
p
q =
时，
①求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的外接球的表面积；
②求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的体积；
3
2
0
x
y
-
=
2d
2
2
1
2
24
7
d
d
+
=
P
W
W
1,0
l
Ω
,
D E
24
7
DE =
l
10
B ,
2
n n³
Ω
1
2
,
,
,
n
C C
C
L
1
2
,
,
BC BC L
n
BC
1
2
2
3
1
2π
n
C BC
C BC
C BC
n
Ð
Ð
Ð
=
=¼=
=
1
1
n
i
i
BC
=å
(2)是否存在
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø ，使得折叠后
2
A B F
¢ ¢
V
的周长为15
2 ？若存在，求tanq 的值；若不存在，
请说明理由.
