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专题22 数列的概念与表示
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n 项an
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项
和，记作Sn，即Sn＝a1＋
a 2＋…＋
a n
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n 与an的对应关系
图象法
把点( n ，
a n)画在平面直角坐标系中
1
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公式法
通项公式
把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等
表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准
名称
含义/性质
按项的个
数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变
化趋势
递增数列
从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an<an＋1
递减数列
从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1
常数列
各项都相等的数列⇔an＝an＋1
摆动数列
从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
一项的数列
温馨提示：
1．已知数列{an}的前n 项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
本专题主要考查利用递推公式求通项公式，an 与Sn 的关系的应用，常结合等差或等比数列以解答
题的形式出现。
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 设数列
的前
项和为
，且满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，若对任意的
恒成立，求
的取值范围.
答案 (1)
2
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(2)
分析 （1）根据
与
之间的关系分析可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，进而可得通项公
式；
（2）由（1）可知：
，利用错位相减法可得
，结合恒成立问题分析求解即可.
解析 （1）因为
，
当
时，由
，解得
；
当
时，则
，
两方程相减得
，即
；
可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
，
两式相减得
，
可得
，即
.
因为
，
3
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可知
是单调递增数列，且
，可得
，
因为对任意的
恒成立，可得
，解得
，
所以
的取值范围为
.
方法归纳： (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前n 项和．
答案 (1)
(2)
．
分析 （1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
解析 （1）因为
，所以
，
又
因此
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
设
的前n 项和为
，则
，
又由
，
4
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得
，
，
当
时，经检验也满足
，
∴
．
（2）
．因此
．
命题点2 累乘法
例3 已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式.
(2)求数列
的前
项和.
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据题意利用累乘法可求得通项公式；
（2）由（1）得
，然后利用错位相减法可求得前
项和.
解析 （1）因为
，
5
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所以
，
，
，……，
，
所以
，
所以
，得
；
（2）由（1）得
，
令数列
的前
项和为
，则
所以
，
所以
，
所以
所以数列
的前
项和为
.
6
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方法归纳： (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2
－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如＝f(n)的数列，常令n 分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an
＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
单调递增，若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析 根据题意，分析可得
，即数列
从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的
通项公式，列出不等式，即可求解．
解析 解：由
为等差数列，且
，所以
，
因为数列
为递增数列，则
，即
从第二项开始，各项均为正数，
又因为
恒成立，所以数列
为常数数列或递增数列，所以
，
则有
，解可得
，
综上可得，
，所以实数
的取值范围为
．
故选：D．
命题点2 数列的周期性
例5 若首项为 1 的数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
答案 C
分析 利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得
到结果.
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解析 由
，
得：
，
，
，
，
，
，
因为
，由此得数列
是一个周期为
的数列，
所以
，则
，
故选：C.
命题点3 数列的最值
例6 已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，则数列
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 借助等差数列的性质结合所给条件可计算出
，表示出
后结合对勾函数的性质计算即可得.
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解析 因为
，所以
是以1 为公差的等差数列，
又
，所以
，即
，
则当
时，
，
又
符合上式，故
，
则
，
令
，由对勾函数性质可得：
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
故数列
的最大项为
．
故选：C.
方法归纳： (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
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