文档文本内容
题号猜押11 全国卷高考数学第17 题（解答题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T17
立体几何
四棱锥、面面垂直证明、球面上点共面、异面直线所成角
2025
Ⅱ卷
T17
立体几何
翻折问题、线面垂直证明、二面角正弦值
2024
Ⅰ卷
T17
立体几何
四棱锥、线面平行证明、二面角求参
2024
Ⅱ卷
T17
立体几何
翻折问题、线线垂直证明、二面角正弦值
2023
Ⅰ卷
T19
函数与导数
函数单调性讨论、不等式证明
2023
Ⅱ卷
T19
概率统计
频率分布直方图、分段函数最值
2022
Ⅰ卷
T19
立体几何
直三棱柱、点到平面距离、二面角正弦值
2022
Ⅱ卷
T19
概率统计
频率分布直方图、条件概率
2021
Ⅰ卷
T19
解三角形
正弦定理、边角互化、余弦定理求角
2021
Ⅱ卷
T19
立体几何
四棱锥、面面垂直证明、二面角余弦值
近5 年解答题第三题（等价T17）考点分布呈现明显特征。立体几何占据绝对主导地位，10 套试卷中出现6
次（2025Ⅰ、Ⅱ卷，2024Ⅰ、Ⅱ卷，2022Ⅰ卷，2021Ⅱ卷），考查形式高度稳定：第（1）问证明线面平行、线面
垂直或面面垂直，第（2）问建立空间直角坐标系求二面角、线面角或点到平面距离。概率统计出现2 次
（2023Ⅱ卷、2022Ⅱ卷），函数与导数出现1 次（2023Ⅰ卷），解三角形出现1 次（2021Ⅰ卷）。2024、2025
年连续四次（含Ⅰ、Ⅱ卷）该位置均为立体几何，表明立体几何已成为该位置的固定考点，其他模块偶有轮
换但概率较低。
预测
2026 年T17 极大概率仍为立体几何，延续“证明+计算”的双问结构。第（1）问考查垂直关系的证明（线面
垂直或面面垂直）概率较高，平行证明作为备选；第（2）问以向量法求二面角的正弦值或余弦值为主，线
面角、点到平面距离作为备选。图形载体可能为棱锥（特别是四棱锥、三棱锥）或棱柱，底面可能涉及正
方形、菱形、等腰三角形等特殊图形。翻折问题（2024Ⅱ卷、2025Ⅱ卷）成为近年热点，需重点关注。
备考核心
主攻立体几何证明，熟练掌握线面垂直的判定（线与平面内两条相交直线垂直）、面面垂直的判定（一个
平面内的一条直线垂直于另一个平面），注意辅助线的添加技巧；强化向量法建系，能根据图形特征合理
建立空间直角坐标系（以垂直关系为轴），准确写出各点坐标，熟练计算平面法向量（待定系数法）；掌
握二面角的向量求法（注意锐角判断），理解线面角的向量公式；关注翻折问题，理解翻折前后几何元素
的位置关系变化，能找出翻折过程中的不变量与变量。规范书写，先证垂直关系再建系，法向量求解过程
可简写，结论明确。限时训练，每道题控制在12~15 分钟。
考点1 立体几何
1．（2026·浙江宁波·二模）如图，四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面ABCD ，AB
BC
^
，
/ /
AD
平面PBC ，
1
PA = ，
2
AC =
．
(1)证明：AD
PB
^
；
(2)若点B 到平面ACP 的距离为1，求平面ACP 与平面BCP 夹角的余弦值．
2．（2026·河南南阳·一模）已知三棱锥P
ABC
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，且PB
AC
^
，
2 2
PA
PB
=
=
，E ，F 分别为棱PB ，PC 的中点．
(1)求证：PA
BC
^
；
(2)求平面AEF 与平面ABC 的夹角的正弦值．
3．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，
2
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，
/ /
AC
平面BGH ，点G ，H 分别在棱PA ，PC 上，且GH
PD
^
．
(1)求证：PA
PC
=
；
(2)若
=
PB
PD ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，点A 关于平面PCD的对称点为M ，求点M 到平面PAB 的
距离．
4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中
2
AB =
，
5
AC
BC
=
=
，D ，E ，F 分别是
棱
1
CC ，AB ，
1
1
B C 的中点．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1
1
ACC A ；
(2)若平面DEF 与平面
1
1
ACC A 夹角的余弦值为11 205
205
，求
1
AA 的长．
5．（2026·山东济宁·一模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ABB A ^ 平面
1
,
,
120
ABC AB
AB
BAC
Ð
^
=
°，
1
4,
AB
AB
D
=
=
为
1
1
A B 的中点，E 为
1
CC 的中点.
(1)求证：DE ∥平面
1
AB C ；
(2)若三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为8 3 ，求AE 与平面
1
1
BCC B 所成角的正弦值.
6．（2026·江苏·一模）如图，已知PAB
V
是圆锥PO 的轴截面，
3
PA = ，
2
AB =
.
(1)求圆锥PO 的外接球的表面积；
(2)若C 为弧AB 的中点，求二面角C
PA
B
-
-
的正切值.
7．（2026·广东深圳·一模）已知球O 的半径为1，在球O 的内接八面体PABCDQ 中，顶点P ，Q 分别在平
面ABCD 两侧，且四棱锥P
ABCD
-
与Q
ABCD
-
都是正四棱锥.
(1)如图1，若点O 在平面ABCD 上，求证：
//
PA 平面QBC ；
(2)如图2，若二面角P
AB
Q
-
-
的正切值为3
- ，求该内接八面体的体积.
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为CD，PA
的中点.
(1)证明：
/ /
EF
平面PBC；
(2)若平面PAB ^ 平面ABCD，PA
PB
=
，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
° ，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值为
4 31
31
，求点F 到平面PBC 的距离.
9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在梯形ABCD 中，AB
CD
∥
，
12
AB =
，
5
AD
BC
=
=
，
4
CD =
，DE
AB
^
于点E ，CF
AB
^
于点F ，将
ADE
V
沿DE 翻折，将
BCF
V
沿CF 翻折，使得点A
B
、重合为点P .
(1)证明：平面PEF ^ 平面DCFE ；
(2)求四棱锥P
DCFE
-
外接球的表面积；
(3)求平面PDC 与平面PFC 夹角的余弦值.
10．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E 为
1
BB 的中点，
1
1
1
2
DD
DA
D C
=
=
.
(1)证明：
1
AA
BD
^
；
(2)平面
1
1
A EC 把四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
分成两部分，体积分别是
1V 和
2
1
2
V V
V
<
，求
1
2
V
V 的值；
(3)求平面
1
1
A EC 与平面EAC 夹角的余弦值.
11．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是正方形，平面PAB ^ 平面
ABCD ，PAB
V
是边长为2 的等边三角形，E 为侧棱PB 的中点，F 为线段BC 上一点.
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)若
//
EF
平面PCD，求直线PF 与平面PAD 所成角的正弦值；
(3)设点G 为三棱锥E
ABF
-
的外接球的球心，试判断三棱锥G
PAD
-
的体积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由.
12．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为2 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为线段BC 、AD 的中点，
现将四边形CDFE 折起至MNFE ，得到三棱柱
-
AFN
BEM ，如图2 所示，记二面角M
EF
A
-
-
的平面角为q ．
(1)若
π
2
q =
时，求三棱柱
-
AFN
BEM 的体积；
(2)若P 为线段EF 上一点，满足AP
BP
^
，求直线AP 与平面NBE 所成角的正弦值的取值范围．
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E 为
1
BB 的中点，
1
AB
BE
=
= ．
(1)求点
1
B 到平面
1
1
A EC 的距离；
(2)求二面角
1
1
A
EC
A
-
-
的正弦值．
2．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，
2
BC
PB
PC
=
=
=
，BC
AP
^
，D 是BC 的中点.
(1)证明：平面ABC ^ 平面APD ；
(2)若
1
AD = ，三棱锥P
ABC
-
的体积为
3
3
，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
3．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形ABCD 中，
60
A
Ð
=
°，
2
AB =
，E 为AB 的中点，将
ADE
V
沿DE
翻折至A DE
¢
V
，得到四棱锥A
BCDE
¢ -
.
(1)证明：平面A BE
¢
^平面BCDE ；
(2)当二面角A
DE
C
¢ -
-
为120°时，求CA¢和平面A DE
¢
所成角的正弦值.
4．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台ABC
DEF
-
中，AD ^ 平面DEF ，DE
DF
^
，
2
AB =
，
4
=
AD
，
8
DE
DF
=
= ，G 是棱CF 上一点（不含端点）．
(1)若G 为CF 的中点，求直线EG 与平面BCD所成角的正弦值．
(2)是否存在点G ，使得BD
EG
⊥
？若存在，求出CG
GF 的值；若不存在，说明理由．
5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PBC ^ 平面ABC ，
2,
2 2
CP
CA
CB
PB
=
=
=
=
．
(1)证明：平面PAC ^ 平面ABC ；
(2)已知平行于
,
AC PB 的平面将三棱锥P
ABC
-
截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角B
AP
C
-
-
的大小为45°，求
ACB
Ð
的余弦值．
6．（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC
^
，AB
BC
=
，
1
1
1
1
60
BB A
BB C
Ð
= Ð
=
°，点D 为
1
1
AC 的中点．
(1)证明：平面
1
BB D ^ 平面
1
1
AAC C ；
(2)若
1
2
BD
B D
=
=
，点M 为
1
CC 的中点，求点A 到平面
1A BM 的距离．
7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
内接于圆柱
1
OO ，且底面为矩形，B 是圆柱
1
OO
底面圆O 的圆周上一动点，AC 是圆O 的直径，且
1
AC
AA
=
，E 是AB 的中点，Q 是
1
BB 的中点．
(1)证明：
1
/ /
O E
平面
1
1
ADD A ；
(2)设
COB
q
Ð
=
，求平面
1
AQC 与平面ABC 的夹角的正弦值.（用q 表示）
8．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中
3
90
=
=
=
=
AB
AC
BAC
BCD
Ð
Ð
o
，
，
30
CBD
Ð
=
o ．将
ABC
V
沿BC 翻折至
PBC
△
，使得二面角P
BC
D
-
-
为直二面角．
(1)证明：PB ^ 平面PCD；
(2)若
, ,
,
P B C D 在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面PBD 与平面BCD所成角的余弦值．
9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是梯形，
//
AD BC ，
侧面
1
1
ABB A 为菱形，
1
DAB
DAA
Ð
= Ð
．
(1)求证：
1
A B
AD
^
；
(2)若
2
AD
AB
BC
=
=
，
1
60
A AB
Ð
=
°，点D 在平面
1
1
ABB A 上的射影恰为线段
1A B 的中点，求
1
AB 与平面
1
1
DCC D 所成角的正弦值．
10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，四边形
1
1
ACC A
是矩形，
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
BC
AA
=
=
.
(1)证明：
1
AA ^ 平面ABC .
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值.
(3)在线段
1
BC 上是否存在点D，使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
？若存在，求出
1
BD
C D 的值；
若不存在，请说明理由.
11．（2026·山西朔州·一模）如图，线段
,
BC DE 的中点都是
,
,
O AO
BC AO
DE
^
^
.
(1)若
2
OC OE
OE
×
=
uuur uuur
uuur ，证明：平面ABD ^ 平面ADE ；
(2)若
14,
10,
7,
BC
DE
AO
BD
BO
=
=
=
<
，且点B 到平面ADE 的距离为21
5 ，求直线AE 与平面ABD 所成角的
正弦值.
12．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为正方形，PA ^底面ABCD ，
PA
AB
=
，E 为线段PB 中点，F 为线段BC 上的动点．
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)设直线AF 与平面PBC 所成角为q ，求sinq 的取值范围．
13．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PAB ⊥平面ABC ，
2
2 2
AB
AC
AP
BP
=
=
=
=
，
，
2
3
BAC
p
Ð
=
，,
,
E F G 分别为棱
,
,
PA PB PC 上的点.
(1)若EF ∥AB ，FG ∥BC ，证明: EG ∥AC ；
(2)若
,
E F 分别为棱
,
PA PB 的中点，在棱PC 上是否存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ?若存
在，求 PG
PC 的值；若不存在，请说明理由.
14．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形EFDC 为正方形，AD ^ 平面EFDC ，
/ /
AB
CD ，
且
2
AB
AD
=
=
，
4
CD =
，P 为棱BC 上的点.
(1)证明：平面FDB ^平面BCE ；
(2)若平面FAP 与平面FBD 的夹角的余弦值为
42
14
，求线段BP 的长.
15．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，
,
AB
BC
BD
CBA
CBD
=
=
Ð
= Ð
．
(1)证明：BC
AD
^
；
(2)若
ABC
V
和
DBC
△
所在平面垂直，且平面ABD 与平面BCD所成角的余弦值为
5
5
，求
CBA
Ð
．
16．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）如图，在圆台
1
2
O O 中，下底面圆
2
O 的直径
2 2
AB =
，点C 在
圆
2
O 上，且AC
BC
=
，上底面圆
1
O 的半径
1
1
O P = ，且平面ACP ^平面ABC ．
(1)证明：
1
PO
BC
∥
．
(2)若圆台
1
2
O O 的高为2，求平面
1
APO 与平面PBC 所成二面角的正弦值．
17．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥E
ABCD
-
中，底面是直角梯形
,
ABCD AB
DC
∥
，
90
2
1
3
6
ADC
AB
CD
AD
AE
BCE
o
V
,
,
,
,
,
Ð
=
=
=
=
=
为正三角形，且平面BCE ^ 平面ABCD ．
(1)求证：BC
AE
^
；
(2)求直线AB 和平面ADE 所成角的正弦值；
(3)设点P 是三棱锥E
ABC
-
外接球上一点，求点P 到平面ADE 距离的最大值．
18．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面
,
//
ABCD AB CD ，
,
2,
4,
BC
CD PD
BC
CD
AB
M
^
=
=
=
=
为棱PC 上一点，N 为PA 中点．
(1)若DM
PC
^
，证明：MN / / 平面ABCD ；
(2)证明：AD ^ 平面PBD ；
(3)若直线BN 与平面MAD 所成角的正弦值为5 33
33
，求PM
PC ．
19．（2026·江苏镇江·一模）如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，
60
DAB
Ð
=
°，
2
4
BC
PQ
=
=
，
1
AB = ，M 为BC 的中点，
/ /
PQ
BC ，PD
DC
^
，QB
MD
^
.
(1)证明：CD ^ 平面PDM ；
(2)若
3 3
PM =
，求平面PCD与平面QAB 夹角的余弦值.
20．（25-26 高三下·河南·开学考试）如图，在
ABC
V
中，
5
AB =
，
2
2
AC =
+
，D 为线段AC 上一点，
2
AD =
，
5
BD =
，过点D 作DE
AC
^
，交BC 于点E ，将CDE
V
沿DE 翻折至
PDE
△
的位置，使得
2
AP =
．
(1)证明：AP ^ 平面PDE ；
(2)在线段DE 上是否存在点M ，使得平面PBD 与平面PBM 的夹角的余弦值为7 6
18
？若存在，求出DM
DE 的
值；若不存在，请说明理由．
