文档文本内容
定价：7.00元
12315
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
初中数学 九年级 下册 扉页 出片文件.pdf 1 2015/12/30 13:28:22
!"#$#%&
!!"
#$%!&'
"#$%$&
'($)(*)'(!%(*+&
'(#$%)*+,!-
!
'
(
.
/
0
.
/
!'('1234 , 5"
67-8# -..-/.
9 ! ! : # 0001234 1567158
'
(
.
/
;
<
=
>
?
' ( @ A B C D " E F G H D I
!
-9: JK ;/,. JK!<1/: DL!-/: MN
/.-, O - PQ - /!!/./- O - PQ , RDI
("=)><9 ?< ?/.. ?--9/. ?>
ST# <1.. U
(>VW $/.-,% -@ 5
XYZ[\]# .-. ?:9:<//>@!:9:</@>@
#^_`abcdef\]# :9:</-,/
6g# ABC65CBD234EF567F58
主 编：王燕春
副 主 编：康 杰
本册编写人员：彭 林 程 舟 康 杰 符玉和 丁明怡
责 任 编 辑：冯 刚 朱 艳
装 帧 设 计：王 斐
内 文 设 计：北京恒艺博缘印务有限公司
责 任 印 制：杨雅清
2025年1 月第1 0 次印刷
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
亲爱的同学们：
欢迎你们使用本套义务教育教科书！
数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分。通
过本套教科书，能够获得良好的数学教育，在数学上得到不同程度的发展。
希望这套数学教科书能够陪伴你度过一个充满智慧、乐趣的初中！
前 言
栏目说明
思考
思考是数学发展的前提，
不要放弃任何一个独立思考
的机会，甚至在别人已经说
出答案而你还没有找到例子
或思路的时候也不要放弃。
交流
将你的思路和方法记录
下来，有条理地向其他同学
或老师表达，耐心倾听他们
的意见，调整自己的思路或
方法。
探索
严谨观察、细致分析、
大胆猜想、细心验证、不
断反思，直到找到满意的结
论，体会数学探索的艰辛与
乐趣。
实践
学好数学不仅要勤于动脑，也
要勤于动手。动手画图、计算、列
式、填表，将实际问题转化为数学
问题，用数学的方法解决问题。
你将遇到富有趣味性、挑战性的数学问题。这些问
题需要你在理解的基础上，运用所学的数学知识和方法，
寻求解决问题的思路和线索，猜想与验证结论，并将解
决问题的整个过程有条理地记录下来，和同学们分享。
综合与实践
数学既能锤炼思维又具
有广泛应用的事实将在这里
得到充分的体现。你将尝试
综合运用所学的数学概念、
原理、方法和思想去解释和
解决实际生活中的问题与现
象，经历制定方案、调查研究、
收集数据、整理数据、分析
数据、做出判断、发现规律
等过程，感受到数学的魅力。
阅读理解
数
学
文
化
你将会发现数学发展的悠久历史，体验数学家探索数学
的艰辛与快乐，感受数学对其他学科的巨大贡献。数学是人
类文化的重要组成部分。
探 究 学 习
你将面对一个新的情境，需要你发现和提出问题，独立
思考，通过归纳、概括、类比、证明，得到新的猜想或规律，
或者得到一个崭新的方法。
? ?
? ?问题解决
前言.indd 1
2013-11-7 13:13:06
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
1
目 录
第二十三章 图形的变换
23.1 平移变换… ……………………………………………… 2
习题23 - 1………………………………………………………… 8
23.2 旋转变换… ……………………………………………… 10
综合与实践 图案设计… …………………………………………… 15
习题23 - 2………………………………………………………… 16
23.3 轴对称变换… …………………………………………… 18
习题23 - 3………………………………………………………… 22
23.4 位似变换… ……………………………………………… 24
习题23 - 4………………………………………………………… 28
阅读理解 绝妙的证明… …………………………………………… 30
回顾与整理… ………………………………………………………… 31
复习题… ……………………………………………………………… 32
第二十四章 投影、视图与展开图
24.1 中心投影与平行投影… ………………………………… 38
习题24 - 1………………………………………………………… 41
24.2 基本几何体的三视图… ………………………………… 43
24.3 基本几何体的平面展开图… …………………………… 48
习题24 - 2………………………………………………………… 52
阅读理解 视点、视线和盲区… …………………………………… 55
回顾与整理… ………………………………………………………… 56
复习题… ……………………………………………………………… 57
1
37
第二十五章 概率的求法与应用
25.1 求概率的方法… ………………………………………… 62
习题25 - 1………………………………………………………… 70
25.2 概率的简单应用… ……………………………………… 72
61
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
2
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
附录
26.1 解决实际问题的一般思路… …………………………… 84
习题26 - 1………………………………………………………… 91
26.2 应用举例… ……………………………………………… 93
习题26 - 2……………………………………………………… 101
综合与实践 复印纸和包装箱中的数学问题… ………………… 103
阅读理解 哥尼斯堡七桥问题… ………………………………… 104
回顾与整理… ……………………………………………………… 106
复习题… …………………………………………………………… 107
110
83
习题25 - 2………………………………………………………… 75
探究学习 模拟彩票中奖实验… …………………………………… 77
阅读理解 历史上科学家掷币实验的记录… ……………………… 78
回顾与整理… ………………………………………………………… 79
复习题… ……………………………………………………………… 80
第二十三章
图形的变换
仔细观察这些美丽的图案，你能根据其
中的一部分绘制出整个图案吗？
在这一章中，我们将走进图形变换的天
地，探索图形变换的规律 .
2
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
如图23 - 1，手扶电梯的运动、飞机的滑行等，都给我们带来平行移动的
形象.
23.1
平移变换
思考
还记得利用直尺和
三角尺画平行线的方法吗
( 图23 - 2 ) ？三角尺的移
动过程有什么特征？
像这样，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，得到
一个新的图形，这样的图形运动称为平移变换，简称平移.
平移不改变图形的形状和大小.
在图23 - 2 中，△ABC 平移到△A′B′C′，点A，B，C 分别平移到了点A′，
B′，C′ . A 与A′，B 与B′，C 与C′ 分别是对应点；AB 与A′B′ 是对应线段；
∠A 与∠A′ 是对应角.
A
B
C
A′
B′
C′
l 1
l 2
图23 - 2
你还能举出图23 - 2 中其他的
对应线段、对应角吗？
图23 - 1
第二十三章 图形的变换
3
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
1. 在图23 - 2 中，对应线段、对应角之间有怎样的关系？
2. 在图23 - 3( 1 ) 中，如果△ABC 沿着PQ 方向移动到△A′B′C′ 的
位置，对应点所连的线段有怎样的关系？在图23 - 3( 2 ) 中，如果
△ABC 沿着MN 方向移动到△A″B″C″ 的位置呢？
交流
可以得到：
图23 - 3
P
B′
Q
A′
C′
C
A″
C M
N
B″
C″
B
A
A
B
( 1 )
( 2 )
经过平移，图形的对应线段相等且平行( 或在一条直线上 ) ；对应
角相等；对应点所连的线段相等且平行( 或在同一条直线上 ) .
例1 如图23 - 4，平移△ABC，使点A 移动到点A′，作出平移后的
△A′B′C′ .
分析：利用图形平移后对应点的特征，作出点B，C 的对应点B′，C′ .
A′
A
C
B
图23 - 4
B
C
A
B′
C′
A′
l
l′
图23 - 5
解：如图23 - 5，连接AA′，过点B 与点C 分别作AA′ 的平行线l，l′，在
l，l′ 上分别截取BB′ = AA′，CC′ = AA′，则点B′ 就是点B 的对应点，点C′ 就
4
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
交流
是点C 的对应点. 连接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′ 就是△ABC 平移后的图形.
1. 除例1 的方法外，你还有其他方法作出△A′B′C′ 吗？
2. 确定一个图形平移后的位置，需要什么条件？
例2 如图23 - 6，将N 状的图形按箭头所指的方向平移3 cm，作出平
移后的图形.
图23 - 6
图23 - 7
解：在图形上，找出关键的4 个点，分别过这4 个点按箭头所指的方向作
4 条长为3 cm 的线段，将所作线段的另4 个端点按原来的顺序连接，即可得
到平移后的图形( 图23 - 7 ) .
实践
如图23 - 8，在方格纸中，画出将图
中的△ABC 向右平移3 格后的△A′B′C′，
然后再画出将△A′B′C′ 向上平移2 格后
的△A″B″C″ . △A″B″C″ 是否可以看成是
△ABC 经过一次平移后得到的呢？
A
C
B
图23 - 8
第二十三章 图形的变换
7
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
实际上，可以得到下面的结论：
在平面直角坐标系中，将点( x，y ) 向右( 或向左 ) 平移a ( a > 0 )
个单位长度，可以得到对应点( x + a，y ) [ 或 ( x - a，y )] ；
将点( x，y ) 向上( 或向下 ) 平移b ( b > 0 ) 个单位长度，可以得
到对应点( x，y + b ) [或( x，y - b ) ].
在解答某些几何题时，经常把几何图形中的某一部分平移，形成新的图形，
使已知与求解的线段或角建立联系，从而发现解题思路.
例3 已知：如图23 - 11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，对角线AC，
BD 交于点O，AC = BD，且∠AOD = 60° .
求证：BC + AD = AC .
证明：过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E，得四边形ACED .
又∵ AD ∥CE，
∴ 四边形ACED 是平行四边形.
∴ AC = DE，AD = CE .
又∵ AC = BD，
∴ BD = DE .
∵ DE ∥AC，∠AOD = 60°，
∴ ∠BDE = 60° .
∴ △BDE 是等边三角形.
探索
在平面直角坐标系中，将点( - 4，3 ) 按下列要求移动：
( 1 ) 向右平移6 个单位长度；
( 2 ) 再向下平移3 个单位长度；
( 3 ) 再向左平移6 个单位长度；
( 4 ) 再向下平移3 个单位长度；
( 5 ) 最后，向右平移6 个单位长度.
写出平移过程中各点的坐标，并画出移动路线图，看一看它像一个
什么数字.
A
D
O
B
C
E
图23 - 11
8
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
练习
1. 如图，四边形ABCD 的各顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A ( - 2，2 )，
B ( - 3， - 2 )，C ( 3， - 2 )，D ( 2，2 ) .
把这个四边形向上平移3 个单位长
度，再向右平移4 个单位长度后，
得到四边形A′B′C′D′，请你写出它
的顶点坐标.
2. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC，已知
AC = 2，BD =
5 ，AB + DC = 3，
求梯形的高.
6
4
2
−2
−4
−6
−2 O
2
4
6
8
y
x
A
B
C
D
A′
D′
B′
C′
( 第1 题 )
习 题 23 - 1
基础
1. 在图中画出六边形ABCDEF 沿从A 到B 的方向平移距离等于线段AB 的长度后的图形.
2. 如图，EF 是四边形ABCD 平移后一边所在的位置. 试画出四边形ABCD 平移后的图形.
A
F
E
D
C
B
( 第1 题 )
D
C
B
A
F
E
( 第2 题 )
∴ BE = DE = AC .
∵ BC + CE = AC，
∴ BC + AD = AC .
我们看到，解决本题的关键在于把线段AC 平移到DE 的位置，使已知与
求证所隐含的内在联系充分显示出来.
第二十三章 图形的变换
9
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
3. 如图，△ECD 是由△ABC 怎样平移后得到的？指出图中相等的线段和角.
4. 如图，△ABC 平移后得到△DEF，指出图中的平行线段和相等线段.
A
B
C
D
E
A
D
C
B
E
F
( 第3 题 )
( 第4 题 )
5. 如图，△DEA 和△FAG 都是由△ABC 平移后得到的. 试说明DF ∥EA ∥BC .
6. 如图，AB = DC，画出线段AB 平移后的线段DE，其平移方向为从A 到D，平移的距
离为线段AD 的长. 平移后所得的∠DEC 与∠DCE 相等吗？试说明理由.
D
F
E
G
A
B
C
B
A
D
C
( 第5 题 )
( 第6 题 )
7. 如图，⊙O 的半径OD 为5 cm，直线l ⊥ OD，垂足为O，
那么直线l 沿射线OD 方向平移多少厘米时与⊙O 相切？为
什么？
8. 在平面直角坐标系中：
( 1 ) 描出A ( - 2，1 )，B ( - 3， - 5 )，C ( 0，4 ) 三点，依次连
接各点，得到△ABC .
( 2 ) 将△ABC 平移，使其顶点A 移到点( 1，1 ) . 画出平移
后的三角形，并写出B，C 两点平移后的坐标.
提升
1. 如图，将Rt △ABC 沿直角边AB 向右平移2 个单位长度
至△DEF . 如果AB = 4，∠ABC = 90°，且△ABC 的面积
为6，求图中蓝色部分的面积.
2. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC，对角线AC = 20，BD = 15，
CH ⊥ AB 于点H，且CH = 12，求梯形的面积.
O
l
D
( 第7 题 )
A
D
B
E
C
F
( 第1 题 )
10
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
在日常生活中，除了物体的平移外，我们还可以看到许多物体的旋转现象.
拓展
如图，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥
MN . 桥建造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？( 假
定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直 )
A
B
23.2
旋转变换
我们可以把图23 - 12 中的扇叶、指针等看做图形. 像这样，在平面内，
将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一
个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋
转变换，简称旋转，这个定点称为旋转中心，转动的
角称为旋转角. 如果图形上的点P 经过旋转到点P′，
那么这两个点叫做旋转的对应点. 例如，在图23 - 13
中，把△OAB 以点O 为旋转中心，逆时针旋转45°，
得到△OA′B′，则点A 与A′，点B 与B′ 分别是对应点.
旋转不改变图形的形状和大小.
A′
A
B
O
B′
45c
图23 - 13
思考
图23 - 14 可以看做是一
个菱形通过几次旋转得到的？
每次旋转了多少度？
图23 - 14
图23 - 12
第二十三章 图形的变换
11
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
例1 如图23 - 15，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，△ABD 经
过旋转后到达△ACE 的位置. 请回答：
( 1 ) 旋转中心是哪一点？
( 2 ) 逆时针旋转了多少度？
( 3 ) 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，
点M 旋转到了什么位置？
解：( 1 ) 旋转中心是点A ；
( 2 ) 逆时针旋转了60° ；
( 3 ) 点M 旋转到了AC 的中点位置上.
M
B
D
C
E
A
图23 - 15
实践
如图23 - 16，利用计算机或图形计算器画一个三角形，作出这个
三角形绕某一点O 旋转一定角度后的图形. 观察图中对应点与旋转中
心所连线段之间有什么关系，对应点与旋转中心连线所成的角之间有什
么关系.
改变点O 的位置，再对这个图形作旋转变换，上述结论是否仍然
成立？
图23 - 16
可以得到：
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都
是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.
C
A
B′
A′
C′
B
O
A
B
C
B′
A′
C′
O
12
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
例2 如图23 - 17，△ABC 绕点C 顺时针旋转后，顶点A 的对应点为
点D . 试确定顶点B 的对应点的位置，并画出旋转后的三角形.
分析：假设顶点B 的对应点为E，则∠BCE，
∠ACD 都是旋转角，且∠BCE = ∠ACD，CE = CB，
CD = CA .
作法：( 1 ) 如图23 - 18，连接CD ；
( 2 ) 以BC 为一边作∠BCF，使∠BCF =
∠ACD ；
( 3 ) 在射线CF 上截取CE = CB ；
( 4 ) 连接DE .
△DEC 就是△ABC 绕点C 按顺时针旋转后的
图形.
A
B
C
D
图23 - 17
E
F
A
B
C
D
图23 - 18
你还能用其他方法
作出△DEC 吗？
练习
1. 如图，△ABC 与△ADE 都是等腰直
角三角形，∠C 和∠AED 都是直角，
点E 在AB 上. 如果△ABC 经逆时针
旋转后能与△ADE 重合，那么请指出
其旋转中心与旋转角度.
2. 如图，O 是六个正三角形的公共顶
点. 正六边形ABCDEF 能否看做某条
线段绕O 点连续旋转所形成的图形？
3. 如图，画出△ABC 绕点C 逆时针旋转
90° 后的图形.
4. 如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上
任意一点，以点A 为中心，把△ADE
顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
D
E
B
C
A
A
F
E
O
B
C
D
( 第1 题 )
( 第2 题 )
A
D
E
C
B
C
B
A
( 第3 题 )
( 第4 题 )
第二十三章 图形的变换
13
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
思考
中心对称图形与旋转变换图形有什么关系？
实践
1. 如图23 - 19，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点
O 的对称点，并写出它们的坐标. 这些对称点坐标与已知点的坐标有什
么关系？
A ( 3，0 )， B ( 0， - 2 )， C ( 2，1 )， D ( - 1，3 ) .
2. 如图23 - 20，利用计算机或图形计算器在平面直角坐标系中
画一个△ABC . 以原点O 为中心作旋转角为180° 的旋转变换，得到
△A′B′C′ . 度量点A，A′ 的坐标，观察它们的坐标有什么关系. 再度量
点B，B′ 与点C，C′ 的坐标，观察它们的坐标有什么关系.
任意改变△ABC 的位置，上面得出的结论是否仍然成立？
实际上，可以得到如下结论：
点P ( x，y ) 关于原点的对称点为P ′( - x，- y ) .
图23 - 19
y
3
2
1
1
2
3
3 2 1
1
2
3
O
A
D
C
B
x
图23 - 20
6
5
4
3
2
1
O
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−8 −6 −4 −2
2
4
6
8 x
y
A
B
C
C′
A′
B′
14
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
例3 如图23 - 21，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A ( - 3，1 )，B ( - 1，
- 1 )，C ( - 2，3 )，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC 关于
原点对称的图形.
解：点P ( x，y ) 关于原点的对称点为P′ ( - x， - y )，因此△ABC 的三个顶
点A ( - 3，1 )，B ( - 1， - 1 )，C ( - 2，3 ) 关于原点的对称点分别为A′ ( 3， - 1 )，
B′ ( 1，1 )，C′ ( 2， - 3 ) . 依次连接A′B′，B′C′，C′A′ 就可以得到与△ABC 关于
原点对称的△A′B′C′ .
A
B
C
−4 −3
O
−1
−2
−3
1
2
3
y
x
1 2
3 4
−1
−2
图23 - 21
请你在图23 - 21 上作出与
△ABC 关于原点对称的图形.
例4 如图23 - 22，在四边形ABCD 中，
∠ADC = ∠ABC = 90°，AD = CD，DP ⊥ AB 于P .
如果四边形ABCD 的面积是18，求DP 的长.
分析：这个问题看似条件不足，但仔细想一想，
如果将△ADP 剪下来，补到△CDF 处，可证得四边
形DPBF 恰为一个正方形，DP 的长就可求得. 这里
的图形割补，相当于△ADP 绕点D 逆时针旋转90° 到△CDF 的位置.
解：将△ADP 绕点D 逆时针旋转90°，使AD 与CD 重合，得△DCF . 因
为∠A + ∠DCB = 180°，所以旋转后F，C，B 在同一条直线上.
∵ ∠DPB = ∠DFB = ∠PDF = 90°，DP = DF，
∴ 四边形DPBF 是正方形.
∵ 四边形ABCD 的面积是18，
∴ 正方形DPBF 的面积是18 .
∴ DP2 = 18 .
∴ DP = 18
3 2
=
.
D
A
P
B
C
F
图23 - 22
第二十三章 图形的变换
15
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. 下列各点中，哪两个点关于原点O 对称？
A ( - 5，0 ) ； B ( 0，2 ) ；
C ( 2， - 1 ) ；
D ( 2，0 ) ；
E ( 0，5 ) ；
F ( - 2，1 ) ；
G ( - 2， - 1 ) .
2. 如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边. 如果将△ABD 绕点A 按逆时
针方向旋转到△ACD′ 的位置，求∠ADD′ 的大小.
3. 如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30° 后得到正方形
EFCG，EF 交AD 于H . 求DH 的长.
C
D′
A
D
B
E
A
B
C
G
H
D
F
( 第2 题 )
( 第3 题 )
综合与实践
图23 - 23
图案设计
许多美丽的图案都是用平移、旋转的方法绘制而成的. 如图
23 - 23，观察它们的变化规律，你能设计一些类似的图案吗？试
试看！
16
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
基础
1. 任意画一个△ABC，作下列旋转：
( 1 ) 以A 为中心，把这个三角形逆时针旋转40° ；
( 2 ) 以B 为中心，把这个三角形顺时针旋转60° ；
( 3 ) 在三角形外任取一点为中心，把这个三角形顺时针旋转120° ；
( 4 ) 以AC 中点为中心，把这个三角形旋转180° .
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，P 是BC 边上任意一点. 以点A 为中心，取旋转角等于
∠BAC，把△ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形.
习 题 23 - 2
A
B
P
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
( 第2 题 )
( 第4 题 )
( 第3 题 )
3. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB = 90° . △ABC 旋转后能与△DEC 重合，如果点B，
C，E 三点在同一直线上，那么：
( 1 ) 旋转中心是哪一点？( 2 ) 旋转角的度数是多少？( 3 ) DE 和AB 的位置关系怎样？
4. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 60°，AC = 1 . 如果将△ABC 绕点A 逆时针旋转
60° 到△ADE 的位置，求EC 的长.
5. 如图，如果等边三角形ABC 旋转后能与等边三角形DCB 重合，那么在图形所在的平
面上可以作为旋转中心的点有几个？分别说明其旋转的方向.
A
B
C
D
( 第5 题 )
( 第6 题 )
6. 如图，其中的图形都是由一个基本图形经过旋转得到的，分别指出旋转中心和旋转角
的大小.
第二十三章 图形的变换
17
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
7. 四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A ( 5，0 )，B ( - 2，3 )，C ( - 1，0 )，D ( - 1， - 5 )，
作出与四边形ABCD 关于原点O 对称的图形.
提升
1. 如图，如果四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，那么将△ADE 旋转某一角度后，
能不能与△ABG 重合？如果能重合，那么旋转中心是什么，旋转角的度数是多少？
A
D
C
B
E
F
G
D
B
A
E
C
( 第1 题 )
( 第2 题 )
2. 如图，如果△BAD 与△CAE 是能够重合的图形，其中∠BAD = ∠CAE = 30°，AB = AC，
AD = AE，且∠DAC = 90° . 那么旋转中心是什么？旋转角的度数是多少？
3. 如图，△ABC，△DCE 是能够重合的等边三角形，且B，C，E 三点在同一条直线上. 如
果将△ABC 绕点C 旋转，那么旋转角最小是多少度时能与△DCE 重合？
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E
( 第3 题 )
( 第4 题 )
4. 如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形. BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说
明上述关系成立的理由吗？
拓展
1. 直线y = 2x + 2 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90° 得
到△A 1OB 1，求经过A，A 1，B 1 三点的抛物线的表达式.
18
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
2. 如图，D 是等边三角形ABC 外一点，且满足DB = DC，
∠BDC = 120° . M，N 分别是AB，AC 上的点，且∠MDN = 60° .
当∠MDN 绕点D 旋转时，MN，BM，CN 的关系是否发生变
化？请简述理由.
A
M
B
D
C
N
( 第2 题 )
23.3
轴对称变换
思考
1. 什么叫轴对称图形？轴对称图形有什么性质？你能举
出学习过的轴对称图形吗？
2. 观察以下两组图案，你能分别说出最后图案的形成过
程吗？
( 1 )
( 2 )
图23 - 24
实践
1. 图23 - 25 给出了某图形的一部分，请你先画出这部分图形关
于直线l 1 对称的图形，再画出所得到的对称图形关于直线l 2 对称的
图形.
2. 请你在图23 - 26 的正方形内填充适当图案，使它们和正方形内
第二十三章 图形的变换
19
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
的已知图案关于虚线所在直线对称，然后和同学们交流.
l 1
l 2
图23 - 25
图23 - 26
像这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形的图形运动称为轴对称
变换.
利用轴对称变换，可以设计出美丽的图案. 在许多美术作品中，都可以
看到轴对称的例子( 图23 - 27 ) .
图23 - 27
有时，将平移、旋转和轴对称结合起来，可以设计出更美丽的图案. 许
多镶边和背景图案就是这样设计出来的( 图23 - 28 ) .
图23 - 28
20
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
思考
在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的
两个点的坐标有什么关系？关于y 轴对称的
两个点的坐标有什么关系？
实际上，可以得到下列结论：
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称
变换后得到，一个轴对称图形也可以看做以它的一部分为基础，经轴对称
变换而成.
点P ( x，y ) 关于x 轴的对称点为P 1 ( x，- y ) ；
点P ( x，y ) 关于y 轴的对称点为P 2 ( - x，y ) .
例1 如图23 - 29，四边形ABCD 的顶点坐标为A ( - 5，1 )，B ( - 2，
1 )，C ( - 2，5 )，D ( - 5，4 ) . 请作出与四边形ABCD 关于y 轴对称的图形.
解：点P ( x，y ) 关于y 轴对称的点坐标为P′ ( - x，y )，因此，四边形
ABCD 的顶点A，B，C，D 关于y 轴对称的点分别为A′ ( 5，1 )，B′ ( 2，1 )，
C′ ( 2，5 )，D′ ( 5，4 ) . 依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形
ABCD 关于y 轴对称的四边形A′B′C′D′ .
D
C
y
6
4
2
−2
−4
−6
−6
−4
−2
2
4
6
O
D′
B′
A
A′
C′
B
x
图23 - 29
请你在图23 - 29 上作出
与四边形ABCD 关于x 轴对
称的图形.
第二十三章 图形的变换
21
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
例2 如图23 - 30，矩形纸片ABCD 中，AB = 3，
BC = 4 . 现将点A，C 重合，使纸片折叠压平，设折
痕为EF，请计算重叠部分△AEF 的面积.
分析：通过折叠，直角梯形ECDF 变为直角梯
形EAGF，△CEF 变为△AEF . EF 所在直线是它们
的对称轴. 折叠实际上是图形的轴对称变换.
解：将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点A，
C 重合，
∴ △CEF ≌△AEF.
∴ AE = CE.
设CE = x，则AE = CE = x，BE = 4 - x .
在Rt △ABE 中，AE 2 = AB 2 + BE 2，
∴ x 2 = 3 2 + ( 4 - x )2 .
解得
x = 25
8 .
∴ S △AEF = S △CEF = 1
2
1
2
25
8
3
75
16
CE AB
⋅
=
×
×
=
.
A
B
E
C
D
F
G
图23 - 30
练习
1. 先画出△ABC 关于直线l 1 对称的图形△A 1B 1C 1，再画出△A 1B 1C 1 关于直线l 2
对称的图形△A 2B 2C 2 .
2. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出△ABC 关于 x 轴和y
轴对称的图形.
A
l 1
l 2
C
B
( 第1 题 )
22
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
3. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB = AC + CD . 求证：∠C =
2 ∠B .
习 题 23 - 3
基础
1. 把下列各图形补成关于直线l 对称的图形.
( 第1 题 )
l
l
l
( 第2 题 )
P
P
l 1
l 1
l 2
l 2
( 1 )
( 2 )
2. 请你分别在图( 1 )、图( 2 ) 中画出点P 关于直线l 1 对称的点P′，再画出点P′ 关于直线
l 2 对称的点P″ .
3. 如图所示，村庄A，B 分别在笔直公路l 的两侧. 一辆汽车在公路l 上行驶，汽车在什
么位置时到A，B 两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由.
O
1
2
3
1
2
3
3 2 1
1
2
3
x
y
A (2，1)
B (3，1)
C (1，3)
A
B
C
D
( 第2 题 )
( 第3 题 )
第二十三章 图形的变换
23
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
l
A
B
( 第3 题 )
A
B
C
D
y
O
−1
1
2
3
4
1
2
3
4
x
−1
−2
−3
−4
( 第4 题 )
4. 如图，矩形ABCD 中，A ( 0，4 )，B ( - 4，4 )，C ( - 4，2 ) .
( 1 ) 请写出D 点坐标；
( 2 ) 作出矩形ABCD 关于y 轴对称的图形.
提升
1. 在平面直角坐标系中，直线l 过点M ( 3，0 )，且平行于y 轴. 如果△ABC 三个顶点
的坐标分别是A ( - 2，0 )，B ( - 1，0 )，C ( - 1，2 )，△ABC 关于y 轴的对称图形是
△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1 关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2 的三个顶点
的坐标.
2. 如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A，B 两城镇供气. 泵站修在管道的什
么位置，可使所用的输气管线最短？
A
B
l
( 第2 题 )
拓展
直线y
x
= -
+
4
3
8 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B，M 是OB 上的一点. 如果将△ABM
沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B′ 处，求直线AM 的表达式.
24
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
在日常生活中，我们经常见到下面一类相似的图形( 图23 - 31 ) ：通过
幻灯机，把图片上的图形放大到屏幕上；摄影师通过照相机，把景物的影像缩
小在底片上.
23.4
位似变换
这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形与原图形
是相似的. 因此，我们可以得到真实的图片和照片.
探索
首先，我们来证明如下的命题：
如图23 - 32，O 是△ABC 外的一点，作射
线OA，OB，OC，在射线OA，OB，OC 上分别
取三点A′，B′，C′，使OA
OA
OB
OB
OC
OC
′ =
′ =
′ ，那么
△A′B′C′ ∽△ABC .
其次，我们研究上面命题是否可以推广到
多边形的情况：
如图23 - 33，O 是四边形ABCD 外的一点，
作射线OA，OB，OC，OD，在射线OA，OB，
OC，OD 上分别取四点A′，B′，C′，D′，使
OA
OA
OB
OB
OC
OC
OD
OD
′ =
′ =
′ =
′ ，那么四边形A′B′C′D′
与四边形ABCD 相似吗？
图23 - 33
B
D
A
C
B′
C′
D′
A′
O
图23 - 32
A
O
C
C′
B′
B
A′
图23 - 31
第二十三章 图形的变换
25
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
图23 - 32、图23 - 33 中的两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相
交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形. 其中交点O 叫做位似中心.
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
例1 任意画一个四边形，不改变图形的形状，把它的各边长缩小为原
来的1
2 .
解：如图23 - 34，在四边形ABCD 外任意取一点O，作射线OA，OB，
OC，OD，然后分别在射线OA，OB，OC，OD 上取点A′，B′，C′，D′，使得
OA
OA
OB
OB
OC
OC
OD
OD
′ =
′ =
′ =
′ = 1
2 ，顺次连接点A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′
就是所要求作的图形.
O
C′
C
A
A′
B′
D′
D
B
图23 - 34
想一想，还可以把
位似中心取在哪里？
像这样，由一个平面图形得到它的位似图形的图形运动称为位似变换.
实践
利用下面的方法可以将一个图形放大：
如图23 - 35，用螺钉把四根直尺在A，B，
C，D 四处互相连接起来，使连接处可以转动，
并使四边形ABCD 形成一个平行四边形. 在
CB 尺上选一点O，使B 介于C，O 之间. 在
O 处装上一根针，这根针的作用在于能把O
图23 - 35
A
B
O
E
C
D
26
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
固定在图板上的某一点；再在CD 尺上选一点E，使O，A，E 三点共线；
最后在A 处装上一根针，E 处装上一支铅笔.
使用的时候，将O 点固定，让A 处的针描画已知图形，那么E 处
的铅笔便会随着画出相似的图形来.
y
6
5
4
3
2
1
O
−1
−2
−2
2
4
6
x
A (1Ὂ3)
B (1Ὂ1)
C (6Ὂ2)
图23 - 36
1. 如图23 - 36，△ABC 的顶点坐
标分别为A ( 1，3 )，B ( 1，1 )，C ( 6，2 )，
以点O 为位似中心，相似比为2，将
△ABC 放大. 观察对应顶点坐标的变化，
你有什么发现？
2. 如图23 - 37，利用计算机或图
形计算器在平面直角坐标系中画一个
△ABC，以点O 为位似中心，自选相似
比为k，进行位似变换，得到△A′B′C′ 和
△A″B″C″ .
实践
图23 - 37
y
4
3
2
1
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
6
x
C′
C′′
A′
A′′
A
C
B
B′
B′′
O
−1
−2
−3
−4
−5
−6
第二十三章 图形的变换
27
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
可以得到：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点
的对应坐标的比等于k 或-k .
例2 已知：△ABC 的顶点坐标分别为A ( 2，4 )，B ( 4，0 )，C ( 6，0 ) .
在第一象限内画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为1
2 的位似图形.
作法：如图23 - 38，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，点A 的
对应点A′ 的坐标为2
1
2 4
1
2
×
×
(
)
,
，即( 1，2 ) . 类似的，可以确定点B′，C′ 的
坐标分别为( 2，0 )，( 3，0 ) . 依次连接点A′，B′，C′，△A′B′C′ 就是所要求作
的△ABC 的位似图形.
y
6
4
2
O
−2
−6
−4
−2
2
4
6
x
B′
A′
C′
B
C
A
图23 - 38
( 1 ) 确定点A′，A″ 的横坐标，并分别计算它们与点A 的横坐标的
比值.
( 2 ) 确定点A′，A″ 的纵坐标，并分别计算它们与点A 的纵坐标的
比值. 观察比值与k 有什么关系. 其他对应点呢？
任意改变△ABC 的位置，上面得出的结论是否仍然成立？
28
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
基础
1. 如图，将三角形放大，使放大后的三角形与原三角形对应边的比为2∶1.
习 题 23 - 4
( 第1 题 )
( 第2 题 )
( 第3 题 )
P
练习
1. 如图，△OCD 与 △OAB 是位似图形，AB 与CD 平行吗？请说明理由.
2. 任意画一个五边形，不改变图形的形状，再把它的各边长放大为原来的3 倍.
3. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为A ( 0，- 2 )，B ( 3，- 1 )，C ( 2，1 ) . 以原点O
为位似中心，将这个三角形放大为原来的2 倍.
C
A
B
D
O
( 第1 题 )
y
2
1
−1
−2
−3
−2
−1
1
2
3
A
B
O
C
x
( 第3 题 )
2. 如图，将五边形缩小，使缩小后的五边形与原五边形对应线段的比是1∶3.
3. 如图，以点P 为位似中心，将五角星缩小为原来的1
2 .
第二十三章 图形的变换
29
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
提升
1. 如图，正方形EFGH，IJKL 是由正方形ABCD 经过位似变
换得到的，点P 是位似中心，其中PA = AE = EI .
( 1 ) 如果相似比为3，正方形ABCD 的位似图形是哪个正
方形？
( 2 ) 如果由正方形ABCD 得到它的位似图形正方形EFGH，
求其相似比.
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，图( 1 ) 中的A 状图案经
过变换后分别变成图( 2 )、图( 3 ) 中的图案( 虚线对应于原
图案 )，请写出相应点的坐标，并指出对应点坐标之间的关系.
I
J
K
L
E
A
P
D
H
G
C
B
F
( 第1 题 )
( 第2 题 )
y
8
6
4
2
O
2
4
6
8 x
M
N
Q
P (2Ὂ4)
y
8
6
4
2
O
2
6
8 x
Q 1
y
8
6
4
2
O
2
4
6
8 x
M 1
N 1
P 1(2Ὂ8)
Q 2
M 2
N 2
P 2 (4Ὂ8)
4
( 1 )
( 2 )
( 3 )
拓展
如图，利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，
进行位似变换，得到△A′B′C′ . 度量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′ 的长，你有什么
发现？任意改变△ABC 的位置，得出的结论是否仍然成立？
O
A′
B′
B
C
C′
A
30
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
绝妙的证明
有这样一道几何证明题：
如图23 - 39，ABCD 为任意给定的四边
形，AB，BC，CD，DA 边的中点分别是E，F，
G，H . 连接EG 和HF .
证明：S 四边形 ABCD
EG · HF 1
2 ( AB +
CD ) · 1
2 ( AD + BC ) .
我国数学家华罗庚对这道题有一个绝妙的证明：
如图23 - 40，他把
四边形沿对边中点连线
划分为四个小四边形，
分别记作“改、造、山、
河”. 然后，他让“改”
字块不动，挪动其余三
块：将“造”字块绕点H 旋转180° ；再将“河”字块绕点E 旋转
180° ；最后将“山”字块平移，让点C 与点D 重合. 有趣的是，这
样挪动后的新图形竟然是一个平行四边形( 图23 - 41 ) ！它的两条邻
边就是原四边形对边中点的连线. 我们知道，一个平行四边形的面
积总是不大于两条邻边边长的乘积，这就证明了前一个不等式.
如图23 - 42，再将原图绕F 点旋转180°，利用三角形两边之和
大于第三边，就得到上、下边长之
和的一半大于左、右对边中点连线
的长. 同理可证，左、右边长之和
的一半大于上、下对边中点连线的
长. 这就证明了后一个不等式.
A
E
B
H
F
C
G
D
图23 - 39
ஈ
ෲ
ᤵ
ࡣ
A
E
B
F
C
D
G
H
图23 - 40
ࡣ
ஈ
ෲ
ᤵ
图23 - 41
ஈ
ෲ
ᤵ
ࡣ
ஈ
ෲ
ᤵ
ࡣ
F
图23 - 42
阅读理解
数
学
文
化
第二十三章 图形的变换
31
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
知识
要点
学习
指导
1. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，得到
一个新的图形，这样的图形运动称为平移变换.
2. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向
转动一个角度，得到一个新的图形， 这样的图形运动称为旋转变换.
3. 由一个平面图形得到它的轴对称图形的图形运动称为轴对
称变换.
4. 由一个平面图形得到它的位似图形的图形运动称为位似
变换.
平移变换、旋转变换、轴对称变换都不改变图形的形状和大
小；位似变换不改变图形的形状，可以改变图形的大小.
1. 图形变换是对物体运动的数学抽象. 理解各种图形变换的
概念，要从物体的运动变化入手，这是认识各种图形变换的重要
途径.
例如，通过观察跑道上滑行的飞机的运动，找出运动规律，
从而认识图形的平移变换.
又如，通过观察电风扇的扇叶和钟的指针转动等实例，找出
运动规律，从而认识图形的旋转变换.
2. 要注意几种图形变换的相同点和不同点. 平移、旋转与轴
对称变换是一个几何图形运动到一个新的位置后，这个图形上任
意两点的距离保持不变( 即保距变换 ) ；位似变换是一个几何图形
在运动前、后的对应线段之比总为定值，而角的大小则保持不变
( 即保角变换 ) .
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
32
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
基础
1. 选择题：
( 1 ) 如图，△A′B′C′ 是由△ABC 平移得到的，下列说法错误的是( ) .
A. 将△ABC 先向右平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度就得到△A′B′C′
B. 将△ABC 先向上平移5 个单位长度，再向右平移9 个单位长度就得到△A′B′C′
C. 将△ABC 沿着CC′ 的方向，平移的距离等于线段CC′ 的长，就得到△A′B′C′
D. 将△ABC 沿着C′C 的方向，平移的距离等于线段CC′ 的长，就得到△A′B′C′
复 习 题
A
A′
B′
C′
B
C
[ 第1( 1 ) 题]
( 2 ) 如图，将△ABC 沿着EF 方向平移一定的距离到△MNL . 现有下列四个结论：
①AM ∥BN ；②AM = BN ；③BC = NL ；④∠ACB = ∠MNL . 其中正确的
有 ( ) .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
E
F
M
L
C
B
A
N
F
C
A
B
D
E
[ 第1( 2 ) 题]
[ 第1( 3 ) 题]
第二十三章 图形的变换
33
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 3 ) 如图，△ABC，△BDE，△CEF，△BEC 是四个等边三角形. 下列说法正确的是( ) .
A. 将△ABC 平移可得到其余的三个等边三角形
B. 将△ABC 绕点B 旋转可得到其余的三个等边三角形
C. 将△ABC 绕点C 旋转可得到其余的三个等边三角形
D. 将△ABC 旋转可得到其余的三个等边三角形，而不必平移
( 4 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐
标分别为A ( 0，
3 )，B ( - 1，0 )，C ( 1，0 ) . 如果
△DEF 各顶点的坐标分别为D ( 3 ，0 )，E ( 0，1 )，
F ( 0， - 1 )，则下列判断正确的是 ( ) .
A. △DEF 由△ABC 绕点O 顺时针旋转90° 得到
B. △DEF 由△ABC 绕点O 逆时针旋转90° 得到
C. △DEF 由△ABC 绕点O 顺时针旋转60° 得到
D. △DEF 由△ABC 绕点O 顺时针旋转120° 得到
2. 如图，图( 1 )、图( 2 ) 都是一个图形经过两次轴对称
变换之后得到的图形，图( 1 ) 中的两条对称轴是平行的，图( 2 ) 中的两条对称轴是垂
直的. 图( 1 ) 中的图形除了经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学习过
的 得到；图( 2 ) 中的图形可以通过 得到.
y
A
E
B
O
C
D
x
F
[ 第1( 4 ) 题]
3. 如图，画出△ABC 关于直线OM 对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′ 关于直线ON 对称
的△A″B″C″ . 观察△ABC 与△A″B″C″，你能发现这两个三角形之间有什么关系吗？
△A″B″C″ 能否由△ABC 旋转得到？
4. 如图，梯形ABMN 是直角梯形.
( 1 ) 请在图中补上一个直角梯形，使它与梯形ABMN 构成
一个等腰梯形；
( 2 ) 将补上的直角梯形以点M 为旋转中心，逆时针旋转
180°，再向上平移一格，画出这个直角梯形 .
( 第2 题 )
( 1 )
( 2 )
A
C
O
M
N
B
( 第3 题 )
B
M
A
N
( 第4 题 )
34
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
5. 根据下列点坐标的变化，判断它们进行了怎样的变换：
( 1 ) ( - 1，3 ) →( - 1， - 3 ) ；
( 2 ) ( - 5， - 6 ) →( - 5， - 1 ) ；
( 3 ) ( 3，4 ) →( - 3，4 ) ；
( 4 ) ( - 2，3 ) →( 2， - 3 ) ；
( 5 ) ( 4，8 ) →( 2，4 ) .
6. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1 个单位长度，以O 为原点建立平面直
角坐标系. 圆心为A( 3，0 ) 的⊙A 被y 轴截得的弦长BC = 8 . 解答下列问题：
( 1 ) ⊙A 的半径为 .
( 2 ) 请在图中将⊙A 先向上平移6 个单位长度，再向左平移8 个单位长度得到⊙D，
观察你所画的图形. ⊙D 的圆心D 的坐标是 ；⊙D 与x 轴的位置关系
是 ；⊙D 与y 轴的位置关系是 .
y
x
C
A
O
B
( 第6 题 )
提升
1. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF = 1
2 AB .
( 1 ) 证明：△ABE ≌△ADF ；
( 2 ) 在图中，可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种变换，使△ABE 变换到△ADF
的位置？
第二十三章 图形的变换
35
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 第3 题 )
A
A
A′
A′
B
B
B′
B′
C
C
C′
C′
( 1 )
( 2 )
A
A′ C
C′
D D′
B B′
( 第1 题 )
A′
A
C
B′
B
D
( 第2 题 )
请你动手试一试，如何通过平移、旋转与轴对称将△ABC 运动到△A′B′C′，使两者互
相重合. 再与你的伙伴们交流一下，看看谁的方法多.
拓展
1. 如图，把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到菱形A′B′C′D′ 的位置，它们的重叠
部分的面积是菱形ABCD 的面积的一半，如果AC =
2 ，求菱形平行移动的距离AA′ .
E
A
F
B
C
D
( 第1 题 )
A
B
C
D
E
( 第2 题 )
2. 如图，△ABC，△ADE 均是顶角为42° 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边. 图中的
哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
3. 用硬纸板剪出两个同样大小的三角形，按照下列两种情况将△ABC 和△A′B′C′ 放在桌面
上.
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 35°，将△ABC 绕点C 旋转到△A′B′C 的
位置，其中A′，B′ 分别是A，B 的对应点，且点B 在斜边A′B′ 上，直线CA′ 交AB 于D，
这时∠BDC 的度数是多少？
36
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
3. 如图，先阅读图形的操作过程( 本题中四个矩形的水平方向的边长均为a 个单位长度，
竖直方向的边长均为b 个单位长度 )，再解答问题.
在图( 1 ) 中，将线段A1 A2 向右平移1 个单位长度到B1 B2，得到封闭图形A1 A2 B2 B1 ( 即
蓝色部分 ) ；
在图( 2 ) 中，将折线A1 A2 A3 向右平移1 个单位长度到B1 B2 B3，得到封闭图形
A1 A2 A3 B3 B2 B1 ( 即蓝色部分 ) .
( 1 ) 类似的，在图( 3 ) 中，请你画一条有两个折点的折线，同样向右平移1 个单位长度，
从而得到一个封闭图形，并填充颜色.
( 2 ) 请你分别写出上述3 个图形中除去填充颜色部分后剩余部分的面积：
S 1 = ，S 2 = ，S 3 = .
( 3 ) 如图( 4 )，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油路( 小路任何地方的水平宽度都
是1 个单位长度 ) . 请你猜想草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的.
( 第3 题 )
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
A1
B1
A2
B2
A1
B1
A2
B2
A3
B3
草
地
小
路
草
地
第二十四章
投影、视图与展开图
› t
â r ¾ X ¾ VÕ J
ç
HCd â Ù
w3 ö . ! C2 • ö « ? æ
ö J
j c
V
w J ó ø y Ł 7 ” . Ł× . 5 f
HC2
0 VÕ › Q J M•
V
ó 5
J
º æ ł ó 5
Wut
…=ægY (
.
38
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
‘ 24 1 J › t %
K ˘
r 1 ¾ X } Ô æg ( VºÌ
Ì
¡
g ) ¾ VÕ J
º ¯ VÕ ` › t 5 ¶
N˜ & m
Wu " J
C ç w3
×â9
Vö J
Ô VÕC ç
H
C
^›
›t
投影 Jr137â
投影
线 J
V
^
æg7â投影面
.
24. 1
中心投影与平行投影
24 2 ç …HG % r 1 ¾ N
G
VŁ
. %
3 ; ? : â ç
0 • B’ c
J
HC
V&Þ 中
心投影. ÔB&Þ投影中心
.
: œ
HC b
J
ò
3 ;
? : â ç æÆ
J
HC
: œ r 1
¾ N
G
V&Þ 平行投影. ‘
24 3 J æÆ
V× J
‘ g
V3 `
Vg˙0 J
gæ
V&Þ正投影
.
આॖ
᭧
આॖ
˗ॷ
આॖ
ጳ
આॖ
24 2
આॖ
᭧
આॖ
ጳ
આॖ
24 3
24 1
( 2 )
( 1 )
第二十四章 投影、视图与展开图
39
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
思考
1. 在图24 - 2 中，把三角尺向投影面平行移动，
它的投影的形状和大小是否发生变化？
2. 在图24 - 3 中，把三角尺向投影面平行移动，
它的投影的形状和大小是否发生变化？
A
A′
B′
B
C
C′
D′
D
图24 - 4
图24 - 5
解： 如图24 - 6，分别连接A′A 和B′B，并延长A′A，B′B，可以发现A′A 与B′B
交于点P，即光是从点P 发出的，因此图24 - 4 所示的投影是中心投影.
A
P
A′
B′
B
C
C′
D′
D
图24 - 6
图24 - 7
例1 如图24 - 4 和图24 - 5 分别是在同一时刻木杆的影子，辨认哪幅
图所示的投影是中心投影，哪幅图所示的投影是平行投影.
可以看出，在图24 - 2 的中心投影中，当我们固定灯泡和投影面的
位置，平行移动三角尺时，它的投影会随着三角尺靠近投影面而缩小，
远离投影面而放大，但形状不变. 在图24 - 3 中，当平行移动三角尺时，
它的投影形状、大小都不变. 由于正投影能够反映物体的真实形状和大
小，因此，在工程技术上常采用正投影的方法绘制图纸.
40
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
‘
24 7 Jl
C′C D′D Jó #´
C′C J D′D J;?’
C′C ) D′D J
3æÆ J
e
24 5
^Ł
V çæÆ
V
.
例2 ‘
24 8 Jlc3
AB `
VgæÆÌÚ “˙0 Ñ
d
V Jó
×3
AB `%
V
85
.
A
A
B
A
B
Bࣱ
ᛡ
Ϛப
ۇᄰ
24 8
解：; 2 B A
VBn { A′ J B B
VBn { B′ J w3
AB
V;n{
A′B′ .
‘
24 9 J G AB `
Vg æ Æ Ñ J 3
AB ` %
V A′B′ 1 J
A′B′ AB .
G AB `
VgÚ “ Ñ Jò
V J
A′B′ AB .
G AB `
Vg˙0 Ñ Jò
V
G•B JB
A′ `B B′ ØL
.
A
A′
B′
A′
B′
A′(B′)
A
B
A
B
Bࣱ
ᛡ
Ϛப
ۇᄰ
24 9
线段的正投影
有什么规律？
第二十四章 投影、视图与展开图
41
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
把一张矩形硬纸片置于桌面的上方，按平行、倾斜、垂直于桌面放
置时，它的正投影可能是怎样的图形？
交流
练习
1. 观察图24 - 1，辨别哪个是中心投影，哪个是平行投影.
2. 如图，用线段表示同一时刻另一棵树在阳光照射下的影长.
( 第2 题 )
3. 小华和小明在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出路灯的位置.
习 题 24 - 1
基础
1. 甲、乙两人同时在太阳光下，他们的身高与其影长的关系是 . 已知甲的
身高为1. 7 m，影长为2. 5 m ；乙的身高为1. 65 m，那么乙的影长为 m
( 精确到0. 01 ) .
( 第3 题 )
42
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
2. 操场上有甲、乙两棵树，甲树高2. 1 m，在阳光下甲树影长为1. 2 m，乙树影长为1. 02 m，
求乙树高.
3. 如图所示，请在图中用线段表示出树的影长.
4. 如图，某一时刻一缕阳光照在大树梢A，又照到小树梢C，落到地面E 处，测得
BD = 11 m，CD = 2 m，DE = 2. 5 m，试求大树AB 的高.
Ӓ
ˌ
( 第1 题 )
提升
1. 下图记录的是一棵大树在一天中的四个时刻里因阳光照射而在地面上形成的影子的方
向，请你按时间先后顺序进行排序，并说明理由. ܺ
Аጳ
( 第3 题 )
A
C
B
D
E
( 第4 题 )
( 第2 题 )
A
E
D
B
C
2. 数学兴趣小组的同学们想测量校园里一棵大树AB 的
高度. 他们发现大树的影子恰好落在院墙CD 和地面
BC 上( 如图所示 ) . 测得CD = 1. 2 m，BC = 2. 4 m，此
时测得垂直于地面的1 m 杆的影长为0. 6 m，求大树
AB 的高度.
拓展
1. 甲在阳光下走了1 分钟，乙在路灯下也走了1 分钟，分析
一下他们的影长是如何变化的.
2. 如图所示，灯塔后面有一片小树林，小丽沿着小路正对
着灯塔方向走去. 她看到的小树是愈来愈多，还是愈来愈
少？为什么?
( 第2 题 )
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
A
E
D
B
C
J ð"¥&?JD
1ø.Õ@Y*&b r+„.d&b
43
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
思考
´ µt
¸
24 10 L
.
æÆ 3 ¾ J
ò l X J Y J Z
…Ô 1 ˙ 0 æg ‰
d
V ç
$æ N ]
24.2
基本几何体的三视图
X
Y
Z
ࠕ᫂
ᰴ
24 10
HC
› t
d
V&Þ 视图. ‘
24 11 J ´ µt
X J Y J Z …Ôæg‰
= ç ~ N . X æg ‰
~ N• ł ç
´ µ t
´ J
3 • ł ç ´ µ t
4 Y Y
æg ‰
~ N• ł ç ´ µ t
J
3 • ł
ç ´ µ t
4 Y Z æg ‰
~ N• ł ç
´ µt
´ J3•ł ç´ µt
.
• ˚ ¡ J
HC
0 › t
d g j
=
&Þ 主视图 J 0 › t
» g
j
= &Þ 左视图 J 0 › t
‰g j
= &Þ 俯视图 J
òCR&Þ三视图
.
24 11 × J
‘ g
…
Ô —— 1 ˙ 0
æg Y (
O• æg ‰ J l
Vg Y
T ? ‰` 90° Ì
Vg Z T ¾ ‰
` 90° J C; ? j ´ µ t O
• æ g ‰
…= J
‘ 24
12
^Ł .
X
Y
Z
ࠕ
ࠕ᫂
ᰴ
ᰴ᫂
24 11
Z
Y
X
˟
ڏ
ο
ڏ
ࢻ
ڏ
24 12
44
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
• ˚ ¡ J
HC
¿ = ß =
¾ g J » = ß =
? g .
ß=& â›t
´ 4 J»=
& â›t
4 J
¿=& â›t
´
.
e…= Ñ J j X
主视图与俯视图的长度相等，且相互对正，即“长对正”；
主视图与左视图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”；
俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”.
…Ô=×´ Ì 4 Ł˛
"¥&Þ þ…;w ÿ.
例1
0 … Œ l
¸ 24 13 24 14 L J
l
còC
…=
Ł
.
ʽ᭧ᄺ
ࢻ᭧ᄺ
᭧ᄺ
ʽ᭧ᄺ
ࢻ᭧ᄺ
᭧ᄺ
24 13
24 14
解：( 1 )
ß = » = ç 1 O
~ N J ¿ = ç J
‘ 24 15
^Ł .
( 2 ) 0… Œ
…=‘
24 16
^Ł .
24 15
24 16
要注意符合
三等规则！
J ð"¥&?JD
1ø.Õ@Y*&b r+„.d&b
45
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
1. ‘ g
1 ×
—Ô › t l
¸ 24 17
¤ Õ L J
c ò
C
…=
Ł
.
交流
…= Ñ J
‘ g • Ô Wu t
…Ô = 1 O J C; ? y • Ô = O
º Ł Ô Wu t .
‘ / C; y • Ô = œ œ Oº Ł J
d µ t ; y • Ô =
œ œ
d
µ N O ºŁ
. ‘ g •ÔW ut & —Ô= 1O J
;?5
% ×
•
Ô
=
.
‘ J
… Ô= ç
—Ô1 O
~ N•
Ô8
G
J
;?6
c~ N—Ô=
.
= Ñ J•˚2: j9
ˆ 3
G3 J:À9
ˆ 3
G?3
.
例2 “
ö 24 18 24 19
^ L
= J
› c ò C
^ º Ł
Wu
t
P&
.
ʽ᭧ᄺ
ʽ᭧ᄺ
ࢻ᭧ᄺ
ࢻ᭧ᄺ
᭧ᄺ
᭧ᄺ
24 17
2. c
d µtÌ/
…=
Ł
.
24 18
24 19
注意，它们都只有二视
图，这说明它们的左视图与
主视图相同.
46
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
解：图24 - 18 所表示的几何体是圆锥，
如图24 - 20 所示.
图24 - 19 所表示的几何体是圆台，如图
24 - 21 所示.
图24 - 20
图24 - 21
探索
将图24 - 22 至图24 - 25 所示的4 个基本几何体，按图24 - 26 至
图24 - 29 所给的三视图摆出相应的立体模型.
图24 - 25
图24 - 24
图24 - 23
图24 - 22
图24 - 26
图24 - 27
图24 - 28
图24 - 29
第二十四章 投影、视图与展开图
47
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. 画出底面半径为1 cm，高为3 cm 的圆锥的三视图的示意图.
2. 说出3 个俯视图为圆的几何体的名称.
3. 如图，根据所给视图，说出它们所表示的几何体的名称.
4. 找出与下列几何体相对应的视图，并在视图下面的括号中填上相应的序号.
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( )
( )
( )
( )
( 第3 题 )
( 第4 题 )
( 1 )
( 2 )
48
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
24.3
基本几何体的平面展开图
思考
‘ g
24 30
|
g l
ø L ? 3
( J
Y ( Q ç ¤
æ g
N ]
24 30
•Ô
gY ( ç•Ô~ N J‘
24 31
^Ł .
•Ô|
gY ( ç•Ô
a N J‘
24 32
^Ł .
探索
2 • Ô ‘ 24 33
^ Ł
´ µ t . $ J
ø
L } Π( J
l Y (
G‘ 24 34 ×
•
Ôæg N
.
24 33
24 34
24 31
24 32
A
D
B
C
A
B
C
J ð"¥&?JD
1ø.Õ@Y*&b r+„.d&b
49
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
HC: J
24 34
^ Ł
ç ´ µ t
º g
ø L • Œ ( Q J Y
(º
G
æg
N . íi J+
O• Ô´ µ
t
º
g J
¸r
ÀO
µ 0 Y (;
?
jÀO
ægY (
.
1. •Ô
d … Œ|
º g ; ? Y (
G‘ 24 35 ×
Ó Ô æg N ]
交流
2 . 24 36
^ Ł
æg N× J Ó _
G• Ô
d µ t ]
( 1 )
( 2 )
( 3)
24 35
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
24 36
例
}%&6{•
{%& Jz‘˛Lc ‘
24 37
^Ł
%&
…=
Ł
J
¸ r …= ‚ {
Ô%&
^J F ¤
g%
( ı‚
0. 1 m 2 ) .
分析： 5 ¥ × J
‘ g | K
Ô %&
g % g % J C; | K {
Ô %&
^
J F ¤
· g % .
e J ME 5 ¥
¤ y ç
…= | † c %&
a t
5 Ì J
i Q3
a t
5 Ì c ò
• Ô æg Y ( J
0 º
‘«cò
·g%
.
24 37
4 m
6 m
50
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
由展开图可知，制作一个灯具所需材料的面积为
(
1
2 × 6 × 6sin60° ) × 2 + ( 4 × 6 ) × 3
≈ 103. 2 ( m 2 ).
答：制作每个灯具所需材料的面积约为103. 2 m 2 .
思考
图24 - 40 是一个正方体的平面展开图，如果使字
母A 出现在顶面，那么它的底面应该出现什么字母？
你还能再画出
其他形式的平面展
开图吗？
图24 - 39
4 m
6 m
图24 - 40
C
B
A
D
E
F
解：由图24 - 37 可知，灯具是正三棱柱形状. 如图
24 - 38 所示，其上、下底是相同的等边三角形，三个侧
面是相同的矩形，而且矩形的长为6 m、宽为4 m，等
边三角形的边长为6 m，所以可得到这个正三棱柱灯具
的一个平面展开图，如图24 - 39 .
图24 - 38
J ð"¥&?JD
1ø.Õ@Y*&b r+„.d&b
51
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. ¾ u N ( 1 )Ì ( 2 ) ç } ¥ í Wu t º g
æg Y ( J
› c ò CJ ›
^ º
Ł
Wut
P&
.
2. | †
( 1 )Ì ( 2 ) ×Ó•Ô;
G
( 3 )
^Ł
Wut
.
3. “
ö¾g
…= JcÔWut
ægY (
.
( 3 ¥ )
( 1 ¥ )
( 1 )
( 2 )
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 2 ¥ )
52
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
习 题 24 - 2
ó'
1.
1
…Ô=¾º×
.
Wut
ß=
»=
¿=
2. þ•Ô
ß= · ç~ N J¿= · ç ÿ›+Y ]Æ› Ú
.
3. ‘ J ( 1 )Ì ( 2 )Ì ( 3 )Ì ( 4 ) ç ~ o Oæ c
G w
ß = ¿ = J Ó 8 &
r ¤ ] Þ $ æ ]
( 3 ¥ )
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
第二十四章 投影、视图与展开图
53
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
4. 画出如图所示的正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱的三视图的示意图.
᭧ᄺ
᭧ᄺ
᭧ᄺ
( 第4 题 )
5. 找出与下列几何体相对应的视图，在视图下面的括号中填上相应的序号.
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( )
( )
( )
( 第5 题 )
6. 下面两个平面展开图中，哪一个可以围成一个长方体？
7. 画出正三棱柱和正四棱柱的一种平面展开图.
8. 某工厂要加工一批包装盒，设计师给出了如图
所示的三视图，请按照三视图确定制作每个包
装盒所需纸板的面积.
60 cm
30 cm
30 cm
60 cm
( 第8 题 )
( 第6 题 )
54
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
"ä
1. | †¥ X
( 1 ) …= ç
Wut• ç/ Y
( )
( 2 ) &—Ô= ç~ N
Wut• ç Y
( )
( 3 ) | N›t
…= ç…H N Y
( )
( 4 ) <˜›t
…= ç Ù N
. ( )
2. “
ö¾g
ß=¿= JŒ‰Wut
»=
.
'Y
1. ‘ ç•Ô 4Þ
2 cm
0~ Œ
¿= JŒ‰ò
ß=»=
.
( 2 ¥ )
( 1 )
( 2 )
( 1 ¥ )
4 cm
6 cm
( 2 ¥ )
2. ‘ J ç • Ô Wu t
= J c ò
æg Y ( J i Q3
q 8 2 ˘ â c ò
a t
5 Ì .
3. âc•Ô
T
at
5Ì
.
第二十四章 投影、视图与展开图
55
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
视点、视线和盲区
当你乘车沿着一条平直的马路向前行驶时，会看到图24 - 41 所
示的情境. 虽然建筑物A 比建筑物B 矮，但当小轿车从位置①向位
置②行驶时，你从车里向外看，建筑物A 好像越来越大，建筑物B
逐渐被建筑物A 遮挡，直至完全消失. 这是为什么呢？
B
A
α
2
α
1
①
②
图24 - 41
这与视点、视线和盲区的知识有关. 我们把人眼睛的位置称为
视点，由视点出发的线称为视线，人眼睛看不到的地方称为盲区.
被视物体看上去的高矮是由视角. ( 视线与水平线的夹角 ) 决定
的，而视角的大小又依赖于被视物体的高度及视点与被视物体之间
的距离. 对于同一物体，距离
越近，视角. 越大；距离越远，
视角. 越小. 当汽车向前行驶
时，人的眼睛( 视点 ) 与前方
建筑物的距离越来越近，视角
. 逐渐变大，被前面矮一些的
建筑物遮挡的盲区也就越来越
大，直到远处高大的建筑物完
全在你眼前消失.
反过来，如图24 - 42 所示，当A 处于什么位置时，在B 点就看
不到它了呢?
ጳ
ܗ
ᄯӝ
A
B
图24 - 42
阅读理解
数
学
文
化
56
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
4Ô*˚ ! `-ØN ! o ð
图24 42 中的灰色区域为盲区. 在这里可以躲开B 点的观察.
盲区是一个空间，在不同的情况下，可以发挥不同的作用.
视点、视线和盲区在人们的生活中有着广泛的应用，你能再举
出几个这方面的例子吗？
知识
要点
学习
指导
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
5fæł
VÌó 5Wut
=ægY (/
.
1.
V;lÞ× w
VæÆ
V
.
æÆ
V× J
‘ g
V3 `
Vg ˙ 0 J g æ
V&
Þ
d
V
.
2. › t
d
VC ç › t
= . 0 › t
d g j
= &
Þ ß = J
0 » g j
= &Þ » = J
0 ‰g j
=
&Þ¿= J
òCR&Þ…=
.
æg N
d
V çó 5Wut=
ó'
.
Wu t …= Ñ J
6
þ
´ +
d J 4 æ J
1 ÿ J y
3ºŁ: j9
ˆ 3 Jy?3ºŁ:À9
ˆ 3
.
3. 2 Wu t
º g Y ( O• Ô æg ‰
NC ç Ô Wu
t
ægY (
.
1. × w
V` æÆ
V
$ 8 Ý × w
V
3 ç
• B’ c
J
ò ç v 1 ˜
1 3 Y º æÆ
V×
å &
V× w J
ò
3 ç æÆ
.
V3 `
Vg ˙ 0
æÆ
VC ç › t
d
V . 5 f × J
‘ g
å &† › Ú J
HC• ˚
^
É
V
ç
d
V
.
J ð"¥&?JD
1ø.Õ@Y*&b r+„.d&b
57
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
学习
指导
2. = ç “
ö
d
V
1 j
J
ò 2 • Ô Wu t & â
æg ‰. æ ł × 6
0 ÿ = Wu t
`
æ J ’ YG
˛:
.
3. = ç › t
d
V . ò À ç ¥ í
VÕ . = Ñ 6
J
˜ w ç : j 9 J
K: À 9 l
ˆ 3 J 6 æg ‰
& âc O
.
4. æg Y ( ç 2 Wu t & â æg ‰
3 • µ . æ ł
Ñ 6
Y ( ` …= Ł ˛
Ý J
6 X X| † ó
5Wut
ægY ( Jó_ “
öY (
ö{›
5Ì
.
复 习 题
ó'
1. ¾u¨¥ X
( 1 ) O• Ñ J—Ô¶ 41O
Oæcœ¾
r⁄‰ J5C
V´ &$æ" ]
( 2 ) þ̉å
9 ÑÌ×å
12 Ñ JO•Ô ˆ @œ¾
V´ &$æ+Ñ ]
( 3 ) O• Ñ J
—Ô ¶ 4 1 O
! J • Ô Ò $ 20° J 3 • Ô Ò $ 60° J 5 C
V´
1OY ]
2. ‘ Jy%¾ &
AB J CD — “´ÀO
2 â J°c 2 â
AB J CD
V´
.
A
C
B
D
( 2 ¥ )
62
x+3
2
y=kx+b
m= -1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
探索
每位同学同时抛掷两枚硬币，观察两枚硬币落地后的情况：
( 1 ) 两枚硬币落地后，可能出现的结果有几种?
( 2 ) 两枚硬币落地后，正面都朝上的概率有多大?
P ( 正面朝上 ) = 1—2 .
所求事件出现的结果个数.
所有可能出现的结果个数.
25.1
求概率的方法
由于硬币是均匀的，每个结果发生的可能性都相等，其中“正面朝上”的
结果只有1 个，所以“正面朝上”的概率是：
正面朝上
图25 - 1
反面朝上
前面我们已经学习过，事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件. 还
知道，事件发生的可能性可以用数值表示，如P ( 必然事件 ) = 1，P ( 不可能事
件 ) = 0 .
表示一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率， 记作P ( 事
件 ) . 例如，降水概率是60%，是指降水的可能性是60%.
现在，我们来学习求概率的方法.
1. 列举法
我们曾做过抛掷一枚硬币的实验，硬币落地后，所有可能出现的结果有2
个，如图25 - 1 所示.
第二十五章 概率的求法与应用
63
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
假设抛掷的分别是A，B 两枚硬币，落地后硬币A 所有可能出现的结果
如下表的左列所示，硬币B 所有可能出现的结果如下表的上行所示，两枚硬
币所有可能同时出现的结果如下表所示：
正面朝上
反面朝上
正面朝上
( 正，正 )
( 正，反 )
反面朝上
( 反，正 )
( 反，反 )
硬币B 可
能出现
硬币A 可能出现
同时可能出现
上面是用列表的方法列举所有可能出现的结果，有下面4 个：
( 正，正 ) ；( 正，反 ) ；( 反，正 ) ；( 反，反 ) .
由于两枚硬币都是均匀的，每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两
枚正面都朝上”的结果有1 个. 所以
P ( 两枚正面都朝上 ) = 1
4 .
我们也可以先列举硬币 A 所有可能出现的结果，在它的每个结果后面再
分别列举硬币 B 所有可能出现的结果，由此得到A，B 两枚硬币所有可能同时
出现的结果，如图25 - 2 所示：
这样计算的根据是什么？
图25 - 2
正面
正面
( 正，正 )
反面
( 正，反 )
( 反，正 )
反面
( 反，反 )
A，B 币
B 币
正面
反面
A 币
64
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
上面是用画树状图的方法列举所有可能出现的结果.
由此可知，用列举法求概率的一般步骤是：
( 1 ) 列举 ( 列表、画树状图 ) 事件所有可能出现的结果，并判断每个结果
发生的可能性是否都相等；
( 2 ) 如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数n 和其中出现所求事件
A 的结果个数m ；
( 3 ) 用公式计算所求事件A 发生的概率. 即
在五张大小相同的卡片上，分别写有数字0，1，1，2，2，把
写有1，2 的两张卡片放在左边，把另外写有0，1，2 的三张卡片放在右边，
并且写有数字的面都朝下.
( 1 ) 分别从左、右两边随机各取出一张卡片，求这两张卡片上的数字之和
为奇数的概率；
( 2 ) 将右边的三张卡片随机排成一行，求翻开后组成一个三位数的概率.
分析：只需列举所有可能发生的结果，并确定每个结果发生的可能性都
相等.
( 1 ) 将取出的左、右两边两张卡片上的数字求和，所有可能出现的结果如
下表所示：
0
1
2
1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2
2 + 0 = 2
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
右边取出
的数字
左边取出的数字
两个数字求和
( 2 ) 右边三张卡片随机排成一行，翻开后，所有可能出现的结果如图
25 - 3 右列所示：
P ) !A * = m
—n .
第二十五章 概率的求法与应用
65
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
解：( 1 ) 这两张卡片的数字之和所有可
能出现的结果有6 个：
1，2，3，2，3，4.
每个结果发生的可能性都相等，其中出现和为奇数的结果有3 个. 所以
P ( 数字之和为奇数 ) = 3—6 = 1—2 .
( 2 ) 翻开后所有可能出现的结果有6 个：
012，021，102，120，201，210 .
其中出现三位数的结果有4 个. 所以
P ( 组成一个三位数 ) = 4—6 = 2—3 .
1. 甲、乙两人的口袋里都装有5 元、10 元的两张人民币，两人分别从口袋里随机
掏出一张.
( 1 ) 列出这两张币值之和所有可能出现的结果；
( 2 ) 求这两张币值之和是偶数的概率 .
2. 把A，K，Q 三张扑克牌背面朝上，随机排成一行，求A 牌恰好排在中间的概率.
为什么每个结果发生的
可能性都相等？
要确定每个结果
发生的可能性相等！
图25 - 3
0
1
2
1
2
012
2
1
021
1
0
210
0
1
201
0
2
102
2
0
120
百位
十位
个位
出现的结果
例2 口袋里有四枚除颜色外都相同的棋子，其中有三枚是红色的， 一
枚是黑色的. 从中随机同时摸出两枚，求摸出的两枚棋子颜色不同的概率.
66
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
解：同时摸出两枚棋子的所有可能结果有6 个：
( 红1，红2 )；( 红1，红3 )；( 红1，黑 )；( 红2，红3 )；( 红2，黑 )；( 红3，黑 ).
每个结果发生的可能性都相同，其中出现颜色不同的结果有3 个. 所以
P ( 摸出两枚棋子颜色不同 ) = 3—6 = 1—2 .
口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一
枚是黑色的. 从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一
枚记下颜色. 求两次摸出棋子颜色不同的概率.
分析：这是有放回的两次摸出棋子的问题，也就是每次都是从三枚棋子中
随机摸出一枚. 列举两次摸出棋子的所有可能结果，如下表所示：
为什么不列出
( 红2，红1 )？
图25 - 4
红1
红2
红2
红1，红2
红3
红1，红3
黑
红1，黑
红3
黑
红3，黑
黑
红2，黑
红3
红2，红3
一枚 另一枚
两枚
红1
红2
黑
红1
( 红1，红1 )
( 红1，红2 )
( 红1，黑 )
红2
( 红2，红1 )
( 红2，红2 )
( 红2，黑 )
黑
( 黑，红1 )
( 黑，红2 )
( 黑，黑 )
第二次可能
摸出的结果
第一次可能摸出的结果
两次可能摸出
的结果
这里的( 红2，红1 )与( 红1，红2 )
为什么不一样？
分析：只需列举同时摸出两枚棋子的所有可能结果. 为防止遗漏或重复，
给三枚红色棋子编号为红1、红2、红3 . 结果如图25 - 4 所示：
第二十五章 概率的求法与应用
67
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2．用频率估计
抛掷一枚硬币时，我们可以通过列举法求得硬
币落地后“正面朝上”的概率. 如果把硬币换成瓶
盖 ( 图25 - 5 )，怎样求瓶盖掉在地上后，盖面朝上
的概率呢？
图25 - 5
请你用画树状图的方法，列举例3 中两次摸出棋子所有可能的结果.
1. 将一副扑克牌中的两张牌分别从中间剪开，分成大小一样的四片，背面朝上放
在桌面上洗匀，从中随机同时取出两片.
( 1 ) 列举取出两片的所有可能的结果；
( 2 ) 求取出的两片恰好是同一张扑克牌的概率.
2. 三张一样的卡片，分别写上数字0，1，2，放进抽屉里洗匀. 从中随机取一张，
把卡片上的数字记在十位上，然后放回抽屉里洗匀；再从中随机取一张，把卡
片上的数字记在个位上. 求：
( 1 ) 组成的是一个两位数的概率；
( 2 ) 组成的是一个两位奇数的概率.
7 ł
解：两次摸出棋子所有可能出现的结果有9 个：
( 红1，红1 ) ；( 红1，红2 ) ；( 红1，黑 ) ；
( 红2，红1 ) ；( 红2，红2 ) ；( 红2，黑 ) ；
( 黑，红1 ) ；( 黑，红2 ) ；( 黑，黑 ) .
每个结果发生的可能性都相等，其中颜色不同的结果有4 个，所以
P ( 两次摸出棋子颜色不同 ) = 4
9 .
74
x
y=kx+b
m= .
数学 九年级 下册
7
在气温和水分都适宜的土壤里，种下一粒麦种会出现发芽或不发芽
两种情况. 每种情况发生的可能性都相等吗？怎样估计一粒麦种发芽的
概率？
由于麦种的品种与质量不同，在气温和水分都适宜的土壤里，种下的一粒
麦种可能发芽，也可能不发芽. 品种与质量好的麦种发芽的可能性大，不发芽
的可能性小. 换麦种时，通常要做发芽实验以测定麦种的发芽率，从而估算每
亩① 地播种的麦种数量，也可以用发芽率来估计一粒麦种发芽的概率.
某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取
500 粒麦种进行实验. 实验结果如下表所示 ( 发芽率精确到0.000 1 ) ：
实验的麦种数/ 粒
500
500
500
500
500
发芽的麦种数/ 粒
492
487
491
493
489
发芽率 / %
98.40
97.40
98.20
98.60
97.80
其中，
发芽率= 发芽的麦种数
——————
实验的麦种数× 100%.
试估计：在与实验条件相同的情况下，种一粒这样的麦种发芽的概率( 精
确到0.01 ) .
分析： 500 粒麦种的一次实验，把其中发芽的麦种粒数看做频数，那么，
发芽率就是频率. 用五次实验中发芽率的平均值估计一粒麦种发芽的概率.
解：用计算器计算，发芽率的平均值 x 98.08% = 0.980 8，方差s = 1.856 × 10
- 5.
由于方差很小，即发芽率在平均值0.980 8 附近波动很小. 所以，估计一
粒麦种发芽的概率约为0.98.
答：在与实验条件相同的情况下，种一粒麦种发芽的概率约为0.98.
①1 亩 667 平方米.
第二十五章 概率的求法与应用
75
AB- CD
WABC
1 O
7 ł
思考
在例3 中，麦种发芽率的平均值与随意种一粒麦种发芽的
概率的含义分别是什么？它们的数值有什么关系？
1. 检验员检测了一台机床前三天正常生产的全部零件的质量，检测结果如下表 ( 合
格率精确到0.000 1 ) ：
零件生产时间
第一天
第二天
第三天
零件的合格率/ %
97. 75
98.05
97.95
其中，合格率= 合格的零件数
——————
检测的零件数
× 100%.
从这台机床第四天正常生产的零件中随机抽取一个，估计这个零件是合格品的
概率.
2. 某灯泡厂生产的灯泡，经抽样实验，被抽取的灯泡98% 能使用2 500 h 以上. 你
买了一只该厂生产的灯泡，这只灯泡能使用2 500 h 以上的概率是多少？
基础
1. 在学校田径运动会4×100 米接力比赛时，用抽签的方法安排跑道，九年级( 1 )、( 2 )、
( 3 ) 三个班恰好分在一组. 求下列事件的概率：
( 1 ) 九年级 ( 1 ) 班恰好排在第一道的概率；
( 2 ) 九年级 ( 1 )、( 2 ) 班恰好依次排在第一、第二道的概率.
2. 有5 张电影票，其中有3 张是第10 排的，2 张是第1 排的. 5 人抓阄分配.
( 1 ) 小华从5 个阄中随机抓1 张，求抓到的是第10 排的概率；
习 题 25 - 2
76
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
( 2 ) 小华已经抓去1 张第10 排的电影票，小芳、小明再从剩下的阄中同时随机各取一
张，求两人抓到的都是第10 排的概率.
3. 水平相当的小明和小华进行一场羽毛球比赛，规定三局两胜. 求小明以2 : 0 获胜的概率.
4. 某邮局发行1 万张有奖明信片，当明信片售完后从0 ~ 9 中分别摇出四个数字组成一
个中奖号. 明信片号码与中奖号码相同时，为特等奖；后三个号码相同时，为一等奖；
后两个号码相同时，为二等奖；最后一个号码相同时，为三等奖.
( 1 ) 小芳购买了5 张明信片，求她中特等奖的概率；
( 2 ) 小丽购买了1 张明信片，求她中一等奖的概率；
( 3 ) 求购买1 张明信片的中奖概率.
5. 小兰去银行取款时，忘记了她的教育储蓄存折密码的最后两个数字，只记住了后两个
数字都比5 大. 当她按对前面的数字后，随机按了后面两个比5 大的数字. 求她按对密
码的概率.
6. 射击运动员小强在以往的5 次比赛中，射中9 环以上的命中率 ( % ) 依次是 ： 97.45，
98.04，97.85，97.63，98.10.
( 1 ) 估计他射击1 次射中9 环以上的概率；
( 2 ) 说明这里的命中率与概率的含义各是什么.
提升
1. 小华的抽屉里，左边只放有大小厚薄差不多的5 科不同的课本，右边只放有大小厚薄
一样的这5 科的作业本. 上自习课时，小华从抽屉的左边随机摸出一本课本，又从右
边随机摸出一本作业本. 求他摸出的两本恰好是同一科的概率.
2. 从甲班乒乓球队的5 名选手中，随机抽选3 名组队参加乒乓球团体赛. 求抽选的3 名
恰好是前3 号选手的概率.
拓展
甲、乙两人进行射击比赛，规定每人各射击10 次，抽签决定先后，轮流射击一次.
( 1 ) 写出甲抽得先射击的概率；
( 2 ) 抽签结果是甲先射击. 甲射击10 次，总成绩是91 环；乙射击9 次后，总成绩是82 环，
按乙的射击水平他必然能射中8 环以上，而且射中8 环以内每个点的可能性都相等，
求乙最后一次射击能胜甲的概率( 提示：分别计算所有可能射中8 环以内区域的面积
和能胜甲的环数区域的面积 ) .
第二十五章 概率的求法与应用
77
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
探 究 学 习
模拟彩票中奖实验
某种“15 选5”的彩票规定：从1~15 这15 个号码中选择5
个 ( 可以重复 )，如果选择的号码与摇出的5 个中奖号码( 比如中奖
号码为1， 2， 9， 11， 11 ) 至少有两个相同，就可以中奖. 请模拟彩票
中奖实验，用实验的结果估计购买一张这种彩票中奖的概率.
一、实验方法
方法1 ：用科学计算器模拟彩票中奖实验.
( 1 ) 按键操作如下：
具体操作
结 果
A型计算器
21
15
randint (1,15)
B型计算器
1
15
RanInt# (1,15)
按“enter”或“ = ”键，产生第一个号码，记作( x1，… )，依
次按5 次，产生5 个号码的结果，记作( x1，x2，x3，x4，x5 ). 比如
第一次实验出现：( 1，11，3，5， 14 )，与中奖号码比对不中奖，继
续实验.
( 2 ) 重复实验，直至出现与中奖号码至少有两个相同时，结束
这个实验. 比如第六次实验出现：( 2，8，7，11，13 )，其中与中奖
号码( 1，2，9，11，11 ) 至少有2，11 相同，结束这个实验.
( 3 ) 以5 人为一组，统计本组每人实验的结果，将每人重复实
验的次数和其中出现中奖的次数填在下表中.
实验者序号
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 5 )
每人实验的次数
出现中奖的次数
出现中奖的频率
78
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
阅读理解
数
学
文
化
历史上科学家掷币实验的记录
历史上，法国科学家蒲丰、皮尔逊等人做过成千上万次掷一枚
钱币的实验. 下页表中列举的就是蒲丰、皮尔逊等人做过的掷币实验
的记录.
方法2 ：摸球模拟彩票中奖实验.
( 1 ) 选用大小和质量都一样的15 个小球，每个小球分别写上1，
2，…，15 等号码，放进口袋里搅匀. 依次有放回地随机摸出5 次号
码( 小球 ) 作为一次实验.
随机从口袋里摸出1 个小球，记下小球的号码为 ( x1，… )，放
回口袋里再搅匀. 依次有放回地随机摸出5 次小球，得到5 个号码
的结果，记作( x1，x2，x3，x4，x5 ) . 比如第一次实验出现： ( 2，15，
10，4，7 )，与中奖号码比对不中奖，继续实验.
( 2 ) 、( 3 ) 同方法1 .
二、探究结果
1. 计算上页表中的中奖频率.
2. 计算重复实验的频率的平均值和方差.
3. 用5 人模拟实验中奖的频率的平均值估计购买一张这种彩票
中奖的概率.
4. 与其他组交流，比较哪个组的实验中奖频率的方差最小.
第二十五章 概率的求法与应用
79
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
知识
要点
本章主要内容是：概率的求法与应用.
1. 求概率的方法.
( 1 ) 列举法.
列举( 列表、画树状图 ) 事件所有可能出现的结果，并判断
每个结果发生的可能性都相等. 则事件A 发生的概率为
P ( A ) = m
—n .
其中，n 是所有可能出现的结果个数，m 是所求事件A 出现
的结果个数.
实验者
掷币次数
出现“正面朝上”的次数
频 率
德· 摩根
2 048
1 061
0.518 1
蒲丰
4 040
2 048
0.506 9
德· 摩根
4 092
2 048
0.500 5
费勒
10 000
4 979
0.497 9
皮尔逊
12 000
6 019
0.501 6
皮尔逊
24 000
12 012
0.500 5
罗曼诺夫斯基
80 640
39 699
0.492 3
根据上述蒲丰、皮尔逊等人的掷币实验数据，“正面朝上”发生
的频率在数值0.50 附近摆动. 那么，“正面朝上”的概率就是0.50.
根据上述结论，可以通过大量的重复实验，用事件发生的频率
作为它的概率.
80
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
基础
1. 填空题：
( 1 ) 必然事件的概率P = ，不可能事件的概率P = ，随机事件的概率
P 的取值范围是 ；
复 习 题
( 2 ) 用频率估计.
在大量重复实验时，如果一个事件发生的频率在某个常数附
近波动，就把这个常数作为这个事件的概率.
2. 概率的简单应用.
运用求概率的方法，解决生产、生活中一些简单事件的概率
问题.
1. 掌握求概率的方法.
重点掌握列举法，熟练运用列表和画树状图，列举所有可能
发生的结果：当每个结果发生的可能性都相等时，可以运用公式
P ( A ) = m
—n 求概率；当每个结果发生的可能性不相等时，运用重
复实验的频率估计概率.
2. 体会随机思想.
要从具体实例中了解事件发生的不确定性，在分析问题、解
决问题的过程中体会其中蕴含的随机思想.
3. 学会运用概率知识解决简单实际问题.
分析实际问题的特征，选择求概率的方法，类比三个典型应
用问题，建立实验模型，来求解生产、生活中的一些简单事件的
概率问题.提高运用数学知识的意识和分析问题及解决问题的能力.
学习
指导
知识
要点
第二十五章 概率的求法与应用
81
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 2 ) 事件A 发生的概率为P，那么，事件A 不发生的概率为 ；
( 3 ) 从1，2，3 这三个数字中随机取两个相加，所有可能的和是 ，和为偶数
的概率是 ；
( 4 ) 从0，1，3 这三个数字中随机取两个相减，所有可能的差是 ，差为负数
的概率是 ；
( 5 ) 甲、乙、丙三人随机站成一排，所有可能的站法有 ，甲不站在中间的概
率是 .
2. 选择题：
( 1 ) 下列说法中正确的是 ( ) .
A. 随机事件发生的概率是不能确定的
B. 明天，降水概率70%，是指明天70% 的时间下雨
C. 事件A 发生的概率与事件A 不发生的概率可能相等
D. 概率为0 的事件不存在
( 2 ) 随机从三男一女四名学生的学号中抽取两人的学号，被抽中的两人性别不同的
概率为 ( ).
A. 1—4
B. 1—3
C. 1—2
D. 3—4
3. 从长度分别是2，3，4，5 的四条线段中随机取出三条，求：
( 1 ) 三条线段能组成三角形的概率；
( 2 ) 三条线段能组成直角三角形的概率.
4. 在A 盒中有两张卡片，分别写有3，- 2； B 盒中有四张卡片，分别写有2，4，0，- 1. 随
机从这两个盒子中各取出一张卡片，求取出的两张卡片上的数的积：
( 1 ) 是负数的概率；
( 2 ) 是正数的概率；
( 3 ) 是零的概率.
5. 九年级( 1 )、( 2 )、( 3 ) 三个班教室门锁的钥匙都差不多，未贴标签摆放在一个盒子里，
各班学生同时随机各取出一把去开教室门. 求：
( 1 ) 只有一个班能打开教室门的概率；
( 2 ) 三个班都能打开教室门的概率；
( 3 ) 三个班都不能打开教室门的概率.
提升
1. 听说学校聘来三位新教师，四位同学都在猜测他们的性别. 甲猜三位都是男教师；乙
猜三位都是女教师；丙猜两位是男教师、另一位是女教师；丁猜一位是男教师、另两
位是女教师. 假设每位教师是男教师或女教师的可能性相等，请你分别求四位同学猜
对的概率.
82
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
2. 一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上， B，C，D 三人随机坐到其他三
个座位上，求A 与B 相邻而坐的概率.
( 第1 题 )
拓展
1. 如图，有6 张纸牌，从中任意抽取两张，点数之和是奇数的概率是 .
( 第2 题 )
A
圆桌
2. 甲、乙两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆( 舒适程度
不同，票价相同 )，但他们不知道这些车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车. 当第一辆车开来时，乙
不上车，而是仔细观察车的舒适状况. 如果第二辆车的舒适状况比第一辆车好，他就
上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车.
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
( 1 ) 三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？
( 2 ) 你认为甲、乙两人采用的方案，哪个人的方案能使自己乘坐舒适程度上等的车的
可能性大？为什么？
第二十六章
综合运用数学知识解决实际问题
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，
生物之谜，日用之繁，无处不用数学.
——华罗庚
84
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
交流
在人们的生活、学习和生产中，无处不用数学. 对于生活和生产中的数
学问题，应当怎样去解决呢？一般的思路和方法是什么呢？下面我们来研究这
些问题.
26.1
解决实际问题的一般思路
某商店出售一种商品，经营者提出了以下三种调价方案：
( 1 ) 先提价10%，再降价10% ；
( 2 ) 先降价10%，再提价10% ；
( 3 ) 先提价25%，再降价25% .
根据以上方案，请你思考下面几个问题：
( 1 ) 执行这三种调价方案以后，调价后的价格与原来的价格是否
相同？
( 2 ) 比较这三种调价方案，调价后的价格是否相同？如果不相同，
哪一种比较低些？
( 3 ) 推广到一般情况，如果先提价a%，再降价a%，可以得到什
么结论？
为了比较这三种调价方案，需要列出它们各自调价后价格的数学表达
式. 设这种商品原价为m 元：
按方案( 1 ) 调价后的价格为
m ( 1 + 10% ) ( 1 - 10% ) = 0. 99m ( 元 ) ；
按方案( 2 ) 调价后的价格为
m ( 1 - 10% ) ( 1 + 10% ) = 0. 99m ( 元 ) ；
按方案( 3 ) 调价后的价格为
m ( 1 + 25% ) ( 1 - 25% ) = 0. 937 5m ( 元 ) .
从以上三式可知，调价后的价格都与原来的价格不相同. 方案( 1 ) 与方案
( 2 ) 调价后的价格相同，而方案( 3 ) 调价后的价格比方案( 1 ) 与方案( 2 ) 调价
后的价格低.
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
85
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
转化为数学表
达式，可以作一般
性的研究.
利用方程组的
知识来解决.
推广到一般情况，设某种商品原价为m 元，
那么无论是先提价a%，再降价a% ；还是先降
价a%，再提价a%，调价后的价格都是
m [1 - ( a% ) 2] ( 元 ).
不难发现，m [1 - ( a% ) 2] < m. 当0 < a < 100 时，a 越大，调价后的商品
价格越低.
例1 某电脑公司有A，B，C 三种型号的电脑，其中A 型每台6 000 元，
B 型每台4 000 元，C 型每台2 500 元. 学校计划从该公司购进两种不同型号
的电脑共36 台，恰好花费100 500 元，请你设计不同的购买方案供学校选择.
分析：由于要求在这三种电脑中选购两种，因此需要分类讨论，利用计划
需购进电脑台数和购进电脑共用钱数这两个等量关系，列方程组来求解.
解：按要求有三种情况：
( 1 ) 当只购进A，B 型电脑时，设购进A 型电脑x 台，B 型电脑y 台. 根
据题意，得
6 000
4 000
100
36
500
x
y
x
y
+
=
+
=
.
解得
x
y
= −
=
57 75
.
.
21 75
.
不合题意，舍去.
( 2 ) 当只购进A，C 型电脑时，设购进A 型电脑x 台，C 型电脑z 台. 根
据题意，得
6 000
2 500
100 500
36
x
z
x
z
+
=
+
=
.
解得
x
z
=
=
3
33.
( 3 ) 当只购进B，C 型电脑时，设购进B 型电脑y 台，C 型电脑z 台. 根
据题意，得
4 000
2 500
100 500
36
y
z
y
z
+
=
+
=
.
86
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
解得
y
z
=
=
7
29.
所以，有两种方案可供学校选择，第一种方案是购进A 型电脑3 台和C
型电脑33 台；第二种方案是购进B 型电脑7 台和C 型电脑29 台.
我们看到，对于上述实际问题需要先把它转化为代数式或方程的数学问
题，再利用已学过的数学知识去解决.
实际问题是多种多样的，它们有着不同的背景，在解决这些实际问题时，
需要综合应用数学的有关知识.
例2 学校举办摄影展览，要求在长、宽分别为15 cm，10 cm 的长方形
相片四周，镶上一圈等宽的彩色纸条( 如图26 - 1 )，并使纸条的面积与相片的
面积之比为2∶3. 如果王英同学镶上的纸条宽
度为1. 6 cm，那么是否符合要求？如果不符合，
请你帮助她确定纸条的宽度( 精确到0. 1 cm ).
分析：此问题与图形有关，需要结合图形
寻找蕴含其中的数量关系，由已知两个长方形
的面积之比，联想到利用方程的知识来解决.
解：设纸条的宽度为x cm，根据题意，得
练习
1. 某商场同时售出两台电子琴，每台售价均为1 000 元. 以成本计算，一台盈利
20%，另一台亏本20% . 在本次出售中，试判断该商场是赔了还是赚了.
2. 在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分.
某班足球队参加了12 场比赛，共得22 分. 已知这个队只输了2 场，那么此队
胜几场？平几场？
?
?
10
15
图26 - 1
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
87
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
( 15 + 2x ) ( 10 + 2x ) = 15 × 10 × 5
3 .
整理得
2x 2 + 25x - 50 = 0.
解方程得
x 1 ≈ 1. 8，x 2 ≈ - 14. 3.
根据题意，取x ≈ 1. 8 .
因为1. 6 < 1. 8，误差超过要求范围，所以王英同学镶上的纸条不符合要求.
答：王英同学镶上的纸条不符合要求，纸条的宽度应约为1. 8 cm .
例3 小明去商店买灯泡. 商店柜台里现有功率为100 W 的白炽灯泡和
40 W 的节能灯泡，它们的单价分别为2 元和32 元. 经了解这两种灯泡的照
明效果和使用寿命都一样，但是节能灯泡省电. 已知小明家所在地的电价为
每度0. 5 元，请问：当这两种灯泡的使用寿命超过多少时间时，小明选择节能
灯泡才合算？[用电量( kW · h ) = 功率( kW ) × 时间( h )，1 度 = 1 kW · h]
分析：选择最优方案，需要对两种灯泡的用电量进行比较，结合题意联想
用不等式的知识求解. 要注意题目所给数量的实际意义及其单位的换算.
解：设使用寿命超过x 小时，选择节能灯泡才合算. 根据题意，得
2 + 0. 5 × 100
1 000
x > 32 + 0. 5 × 40
1 000
x.
解得
x > 1 000.
答：这两种灯泡的使用寿命超过1 000 小时，选择节能灯泡才合算.
转化为一元二次方程的
问题.
转化为不等式的问题.
1. 磁悬浮列车是一种新型交通工具，具有速度快、能耗低等优点. 它每个座位
的平均能耗仅为飞机每个座位平均能耗的1
3 ，是汽车每个座位平均能耗的
70% . 那么，汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) .
A. 3
7 B. 7
3 C. 10
21 D. 21
10
88
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
在解决实际问题时，怎样先把它转化为数学问题，然后通过对数学问题的
解答，来完成对应用问题的解答呢？我们看下面的例题.
例4 如图26 - 2，一座抛物线形拱
桥，已知水位在AB 位置时，水面宽9. 80 m；
水位再上升3 m 就达到警戒线CD，这时水
面宽6. 92 m. 如果洪水到来时，水位以每小
时0. 25 m 的速度上升，求洪水经过警戒线以后几个小时将到达拱桥的洞顶.
分析：由于拱桥为抛物线形，联想利用二次函数图象的知识来解决. 为了
便于研究，需要建立适当的平面直角坐标系.
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点，建立平面直角坐标系，则抛
物线顶点M 在y 轴上，且A，B 两点的坐标分别为( - 4. 90，0 )，( 4. 90，0 )，
C，D 两点的坐标分别为( - 3. 46，3 )，( 3. 46，3 )，如图26 - 3.
设抛物线的表达式为
y = ax 2 + k. ①
把B，D 两点的坐标( 4. 90，0 )，
( 3. 46，3 ) 分别代入①得
24 01
0
11 97
3
.
,
.
.
a
k
a
k
+
=
+
=
解得 a ≈ - 0. 25， k ≈ 6.00 .
∴ 抛物线的表达式为y = - 0. 25x 2 + 6 .
顶点M 的坐标为( 0，6 ).
设CD 与y 轴交点为N，则ON = 3.
2. 如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面上的一
点A 测得点C 的仰角为45°，从地面上的另一点B 测得
点C 的仰角为60° . 已知AB = 20 m，点C 和直线AB 在
同一铅垂平面上，求气球离地面的高度( 精确到0. 1 m ).
45c60c
A
B
C
( 第2 题 )
C
A
B
D
图26 - 2
转化为二次函
数图象的问题.
C
A
O
B
N
D
x
y
M
图26 - 3
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
89
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
∵ OM = 6，
∴ MN = OM - ON = 3.
3 ÷ 0. 25 = 12 ( h ).
答：洪水经过警戒线以后12 小时将到达拱桥的洞顶.
探索
服装厂有大量形状为等腰直角三角形
的边角布料，如图26 - 4 . 图中∠C = 90°，
AC = BC = 4 . 现在要从这些布料中剪出扇
形，做成不同形状的玩具，且使构成扇形的
两条半径恰好都落在△ABC 的边上，扇形
的弧与△ABC 的其他边相切. 请设计出所有
符合要求的方案示意图，并求出扇形的半径.
C
A
B
图26 - 4
例5 如图26 - 5 所示，边长为800 m 的正方形ABCD 是个货场，从A
处有一条平直铁路通过，与BC 边交于点E，CE = 200 m .
点D 是货运汽车入口. 现要在铁路线AE 上修一个卸货
站，使得点D 到卸货站的距离最短，求这个最短距离
是多少.
分析：在这个问题中，要求出点D 到铁路AE 的最
短距离，首先要在图形中作出点D 到AE 的最短距离，
再寻求计算的方法.
解：作DF ⊥ AE，垂足为F，连接DE，如图26 - 6 .
∵ S △ADE = S 正方形ABCD - S △ABE - S △DCE
= 800 2 - 1
2 × 800 × 600 - 1
2 × 800 × 200
= 320 000.
在Rt △ABE 中，AE = 800
600
2
2
+
= 1 000，
∴ DF = 2
320 000
1 000
×
= 640.
答：点D 到卸货站的最短距离是640 m .
A
B
E
C
D
图26 - 5
想一想，扇形所在圆的
圆心位置怎样确定？
F
A
B
E
C
D
图26 - 6
90
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
交流
解决实际问题的一般思路是什么？
一般地，解决实际问题时都有一个转化的过程. 首先分析实际问题，将
它转化为相关的数学问题；然后运用相应的数学知识、方法去解答它；再把问
题的解答回归到实际问题中进行考察，经过检验得到实际问题的解. 这个思
路可以用下面的框图来表示：
ࠄᬅ᫈ᮥ
ߦ᫈ᮥ
ߦፇ
ࠄᬅ᫈ᮥ
ᄊᝍ
ᣁӑ˞ߦ᫈ᮥ
ڀॆ
ࠄᬅ᫈ᮥ
ᝍ
ን
练习
1. 在某闭合电路中，电压为定值，电流I ( A ) 与电阻
R ( Ω ) 成反比例. 如图表示的是该电路中电流I 与
电阻R 之间关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的
函数表达式为( ) .
A. I = 2
R B. I = 3
R C. I = 6
R D. I = - 6
R
2. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且
∠QPN = 30°，点A 处有一所中学，AP = 160 m . 假
设拖拉机在公路上行驶时，周围100 m 以内会受到
噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向
行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由. 如
果受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校
受影响的时间为多少？
I/A
R/Ω
O
2
3
B (3Ὂ2)
( 第1 题 )
P
M
N
A
Q
( 第2 题 )
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
93
AB- CD
WABC
1 O
生活和生产中的数学应用问题，背景往往比较复杂，数学关系比较隐
蔽. 因此需要认真阅读问题，抓住问题中的关键词语，理解题意，收集、分析、
处理数据，联系有关的数学知识，把握其中的数、形关系，将其转化为相应
的数学问题. 比如转化为方程、不等式、函数、几何图形和统计概率等数学问题.
例1 为了保护环境，某企业决定购买10 台污水处理设备．现有A，B
两种型号的污水处理设备，且它们的单价分别为15 万元和12 万元，又知该企
业购买污水处理设备的预算资金不超过130 万元．
( 1 ) 请你设计出该企业的购买方案.
( 2 ) 已知每台A，B 型设备一个月处理的污水量分别为250 吨，220 吨．
如果该企业每月产生的污水量为2 260 吨，为了尽可能节省资金，应选择哪
种购买方案？
分析：由企业购买设备的资金有限，联想到需要转化为不等式的问题；要
选择尽可能节省资金的方案，需要少购买价格较高的型号设备且使购买的两种
设备处理污水的能力能满足企业处理污水的要求.
解：( 1 ) 设购买A 型设备x 台，则购买B 型设备( 10 - x ) 台．根据题意，
得
15x + 12 ( 10 - x )
130 .
解不等式，得 x 10
3 .
∵ x 为非负整数，
∴ x 只能取1，2，3，0 ，相应的( 10 - x ) 的值为9，8，7，10.
∴ 该企业有四种购买方案.
方案一：购买A 型设备1 台，B 型设备9 台；
2
0.4
0.5
A
C1
C2
B1
B2
C3
B3
B
y
C4
B4
D
x
O
( 第2 题 )
26.2
应用举例
94
x
y=kx+b
m= .
数学 九年级 下册
方案二：购买A 型设备2 台，B 型设备8 台；
方案三：购买A 型设备3 台，B 型设备7 台；
方案四：只购买B 型设备10 台．
( 2 ) 设购买A 型设备x 台，则购买B 型( 10 - x ) 台. 根据题意，得
250x + 220 ( 10 - x )
2 260.
解不等式，得 x
2.
由( 1 ) 知，x 10
3 ，且x 为非负整数，
∴ x 只能取2，3，相应的( 10 - x ) 的值为8，7.
当x = 2 时，购买资金为：15 × 2 + 12 × 8 = 126 ( 万元 ).
当x = 3 时，购买资金为：15 × 3 + 12 × 7 = 129 ( 万元 ).
∴ 选择方案二，即购买A 型设备2 台， B 型设备8 台，可节省资金．
可以看到，在由数学问题回归到实际问题时，数学问题的解答不一定完全
符合实际意义，所以还要根据应用问题的实际意义，确定正确的答案.
例2 为了避免浪费水的现象，某城市计划出台阶梯水价政策，以家庭
为单位分月计算：基本用水量12 m 3 以下为第一级，水价为每立方米3. 7 元；
12 m 3 到16 m 3 为第二级，水价为第一级的2 倍；16 m 3 以上为第三级，将按
第一级水价的5 倍收费.
( 1 ) 按阶梯水价计算以下各家庭4 月份应
缴的水费，并填入下表：
4 月份总用水量/m 3
水费/ 元
小刚家
8
小丽家
11
小平家
14
小华家
26
( 2 ) 设一户家庭某月用水量为x m 3，按阶梯水价，试写出该户此月应缴水
费y ( 元 ) 与用水量x ( m 3 ) 之间的函数关系式，并画出图象；
( 3 ) 如果5 月份小平家缴了92. 5 元的水费，小刚家缴了40. 7 元的水费，
问这两家5 月份的用水量各是多少.
解：( 1 ) 略( 请自己完成填表 ).
( 2 ) 该户此月应缴水费y ( 元 ) 与用水量x ( m 3 ) 之间的函数关系式是
不同等级的用水量，
水价是不相同的.
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
95
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
44.4
74
148
yЋ
O
121620
x/m3
图26 - 7
3. 7x，( 0
x
12 )
3. 7 × 12 + 3. 7 × 2 × ( x - 12 )，( 12 < x
16 )
3. 7 × 12 + 3. 7 × 2 × 4 + 3. 7 × 5 × ( x - 16 ). ( x > 16 )
y =
函数图象如图26 - 7 所示.
( 3 ) 设小平家5 月份用水x 1 m 3，因为缴水
费92. 5 元，由图象可知，x 1 > 16.
所以 92. 5 = 3. 7 × 12 + 3. 7 × 2 × 4 + 3. 7 ×
5 × ( x 1 - 16 ).
解得 x1 = 17.
设小刚家5 月份用水x 2 m 3，因为缴水费
40. 7 元，由图象可知，x 2 < 12，
所以 40. 7 = 3. 7 × x 2.
解得 x 2 = 11.
答：5 月份小平家的用水量是17 m 3，小刚家的用水量是11 m 3.
探索
根据例2 的资料，请你设计一个月用水量与水费之间的关系对应表，
供收水费的工作人员使用.
练习
1. 如图是某商品价格标签的一部分，那么它的原价是( ) .
A. 25 元 B. 24 元 C. 26 元 D. 27 元
2. 王明同学节日到商场购物. 商场开展购物返券促销活动，
规定“满100，送50”，即购物满100 元，赠送50 元购物
券. 王明同学想，如果正好消费100 元，50 元购物券也用完，相当于几折优惠？
如果消费199 元，还是赠送50 元购物券，相当于几折优惠？你能帮助他解决
这些问题吗？
6 折
现价：15 元
( 第1 题 )
96
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
数学的应用需要根据实际问题，联系有关的数学知识，完成由实际问题
向数学问题的转化. 在应用的过程中既要善于联想，必要时还需要动手操作，
灵活运用所学知识.
例3 已知：如图26 - 8，C 城市在B 城市的正
北方向，两城市相距100 km . 计划在两城市间修筑一
条高速公路( 即线段BC ). 经测量，森林保护区A 既
在B 城市的北偏东40° 的方向上，又在C 城市的南偏
东56° 的方向上. 已知森林保护区A 的范围是以A 为
圆心，半径为50 km 的圆形区域. 计划修筑的这条高
速公路会不会穿越保护区？为什么？
分析：本题是一个涉及环保的应用问题，需要我
们把实际问题抽象为三角形中的数量关系，转化为解
直角三角形的数学问题.
解：过点A 作AD ⊥ BC，垂足为D，如图26 - 8.
在Rt △ADC 中，CD =
AD
tan56° .
在Rt △ADB 中，BD =
AD
tan 40° .
根据题意，CD + DB = CB = 100，得
AD
AD
tan
tan
56
40
100
° +
° =
，
∴
AD =
⋅
° ⋅
°
° +
°
≈
100
56
40
56
40
53 58
tan
tan
tan
tan
.
.
∴ AD > 50.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区.
例4 要剪切如图26 - 9 ( 1 ) 所示的甲、乙两种直角梯形零件( 单
位：mm )，且使两种零件数量相等. 有两种面积相等的矩形铝板可供选用，第
一种长500 mm，宽300 mm [图26 - 9 ( 2 )] ；第二种长600 mm，宽250 mm
[图26 - 9 ( 3 )].
( 1 ) 为了充分利用材料，应当选用第几种铝板？这时一块铝板最多能剪甲、
乙两种零件共多少个？剪下零件以后，剩余的边角料面积是多少？
Ӓ
ˌ
56c
40c
C
D
B
A
图26 - 8
转化为三角函数的
数学问题.
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
97
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
100
100
200
150
300
300
500
300
250
600
ႁ
˳
( 1 )
( 2 )
( 3 )
图26 - 9
分析：按照条件选择铝板，要动手操作，摆一摆、画一画、拼一拼，关键
要打破直角梯形常规的摆放方法，灵活地去拼接，寻找最佳的剪切方案.
解：( 1 ) 应选用第一种铝板，可剪甲、乙两种零件共4 个.
∵ 300
500
2 1
2 100
300
200
1
2 100
300
150
×
−
+
×
+
+
×
(
)
(
)
= 150 000 - 140 000 = 10 000，
∴ 剩余的边角料面积是10 000 mm 2.
( 2 ) 画出的图形如图26 - 10 所示.
图26 - 10
练习
根据国家有关规定，高层建筑物之间要留有一定
的距离. 已知甲、乙两楼在同一平面内的位置如
图所示，甲楼高33 m，上午太阳光线与地面的最
小夹角为60° .
( 1 ) 为保证乙楼能受到阳光照射，甲、乙两楼间
的距离至少应为多少？
( 2 ) 如果甲、乙两楼之间的实际距离只有15. 6 m，
那么乙楼的哪个部分上午有时不能享受阳光？
ႁ
˳
在解决数学应用问题时，往往要综合应用相关的数学知识.
( 2 ) 按你设计的剪切方案，画出示意图，并把边角余料用斜线表示出来.
98
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
交流
例5 在一次科技知识竞赛活动中，两组同学的成绩统计如下：
成绩/ 分
50
60
70
80
90
100
甲组人数/ 人
2
5
10
13
14
6
乙组人数/ 人
4
4
16
2
12
12
根据这些统计数据，试从不同的角度分析哪组同学的成绩更好一些.
分析：通过观察、分析数据，可以联想到用统计中的平均数、中位数、方
差等知识去解决.
解：( 1 ) 甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80 分. 甲组成绩在80 分( 含
80 分 ) 以上的有33 人，乙组成绩在80 分( 含80 分 ) 以上的有26 人，从这一
角度看，甲组的成绩总体较好.
( 2 ) s 2
甲 =
1
2
5
10
13
14
6
+
+
+
+
+
[2( 50 - 80 )2 + 5( 60 - 80 )2 +
10 ( 70 - 80 )2 + 13 ( 80 - 80 )2 + 14 ( 90 - 80 )2 + 6 ( 100 - 80 )2]
= 1
50 ( 2 × 900 + 5 × 400 + 10 × 100 + 13 × 0 + 14 × 100 + 6 × 400 )
= 172.
s 2
乙 = 1
50 ( 4 × 900 + 4 × 400 + 16 × 100 + 2 × 0 + 12 × 100 + 12 × 400 )
= 256.
∵ s 2
甲 < s 2
乙，
∴ 甲组成绩比乙组成绩波动要小，从这一角度看，甲组的成绩较好.
( 3 ) 从成绩统计表看，甲组成绩在90 分( 含90 分 ) 以上的人数为14 + 6 =
如图26 - 11( 单位：cm )，将厚度为0. 02 cm
的卷筒纸，在直径为10 cm 的卷筒上卷成直
径为20 cm的纸卷. 怎样求出卷纸的总长度？
请你找出最优的计算方法.
20
10
0.02
图26 - 11
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
99
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
20 ( 人 )，乙组成绩在90 分( 含90 分 ) 以上的人数为12 + 12 = 24 ( 人 )，乙组
成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6 人，从这一角
度看，乙组的成绩较好.
例6 某市要在一块地上( 图26 - 12 中的矩形ABCD ) 规划建造一个矩
形街心花园GHCK，为了使文物保护区△AEF 不被破
坏，矩形街心花园的顶点G 不能在文物保护区内. 已
知AB = 200 m，AD = 160 m，AE = 60 m，AF = 40 m. 求：
( 1 ) 当矩形街心花园的顶点G 恰是EF 的中点时，
花园的面积；
( 2 ) 当点G在EF上的什么位置时，花园的面积最大.
分析：当点G 为EF 的中点时，求矩形GHCK 的面积，实际上已经转化
成为一个数学问题. 由三角形中位线的性质，易求MG，NG 的长，从而计
算出花园的面积. 对于第( 2 ) 问，由于随着点G 在EF 上的变动，矩形花园
GHCK 的面积也在不断地变化，因此，要求何时花园的面积最大，就联想到要
将其转化为函数问题. 可以利用计算机或图形计算器探究，如图26 - 13.
G
A
M
F
N E
B
D K
C
H
图26 - 12
图26 - 13
A
F
D
K
C
H
B
E
G
S=24 000 m2
A
F
DK
C
H
B
E
G
S=23 750 m2
解：如图26 - 12，延长HG，KG 分别交AD，AB 于点M，N.
( 1 ) 当点G 是EF 的中点时，由三角形中位线定理，得
MG
AE
GN
AF
=
=
=
=
1
2
30
1
2
20
,
.
∴ S 矩形GHCK = HG · KG
= ( 200 - 30 ) ( 160 - 20 )
= 23 800 ( m 2 ).
( 2 ) 设MG = x，则HG = 200 - x.
∵ MG ∥AE，
100
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
∴ △FMG ∽△FAE.
∴
FM
FA
MG
AE
=
.
FM
FA MG
AE
x
x
=
⋅
=
=
40
60
2
3 .
MA = FA - FM
= 40 - 2
3 x ( 0
x
60 ).
∴ S 矩形GHCK = HG · KG
= ( 200 - x ) 160
40
2
3
-
-
(
)
x
= -
+
+
2
3
40
3
24 000
2x
x
= -
-
+
2
3
10
72 200
3
2
(
)
.
x
∴ 当x = 10 ( m ) 时，S 矩形GHCK 最大.
此时
FG
FE
MG
AE
=
=
=
10
60
1
6 ，即 FG∶GE = 1∶5.
答：当点G 恰是EF 的中点时，花园的面积为23 800 m 2 ；当点G 的位置
在EF 上，且满足FG∶GE = 1∶5 时，花园的面积最大.
练习
某公司销售部有营销人员15 人，销售部为了制订某种商品的月销售定额，统计了
这15 人某月的销售量如下：
每人销售量/ 件
1 800
510
250
210
150
120
人数/ 人
1
1
3
5
3
2
( 1 ) 求这15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数.
( 2 ) 假设销售部负责人把每位销售员的月销售量定为320 件，你认为是否合理？
如不合理，请你制订一个比较合理的销售定额，并说明理由.
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
101
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
习 题 26 - 2
基础
1. 我们知道，溶液的酸碱度由pH 确定. 当pH > 7 时，溶液呈碱性；当pH < 7 时，溶液
呈酸性. 如果将给定的HCl 溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映HCl 溶液的
pH 与所加水的体积V 的变化关系的是( ) .
( 第1 题 )
pH
pH
pH
pH
V
V
V
V
7
7
7
7
O
O
O
O
A
B
C
D
2. 如果一定值电阻R 两端所加电压为5 V 时，通过它的电流为1 A，那么通过这一电阻
的电流I 随它两端电压U 变化的图象是( ) .
3. 如图，要把角钢( 1 ) 变成120° 的钢架( 2 )，则在角钢( 1 ) 上截去的缺口的度数
是 .
᠅᠅
ൔൔ
( 第3 题 )
( 第4 题 )
120°
( 1 )
( 2 )
4. 要把北京2008 年奥运会的5 个吉祥物“福娃”放在展台上，有2 个位置已定( 如图 )，
其他3 个“福娃”在各种不同位置放置的情况下，“迎迎”和“贝贝”的位置不相邻这
一事件发生的概率为 .
5. 如图，是凸透镜成像的光路图. 已知AB ⊥ l，A′B′ ⊥ l，EO ⊥ l，它们的垂足分别是A，A′，
O. BE ∥l，AF 1 = F 1O = f = OF 2 ( f 为凸透镜的焦距 ) . 利用数学知识证明：A′B′ = AB .
I/A
2
1
O
5
10 U/ 7
I/A
2
1
O
5
10 U/ 7
I/A
2
1
O
5
10 U/ 7
I/A
2
1
O
5
10 U/ 7
( 第2 题 )
A
B
C
D
102
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
l
A
O
F1
E
B
F 2
A′
B′
( 第5 题 )
( 第6 题 )
( 第7 题 )
D
A
C
B
ႁ
˳
A
B
D
C
( 第2 题 )
6. 如图，在宽为20 m、长为32 m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路( 两条纵向，一
条横向；横向与纵向互相垂直 )，把耕地分成大小相等的六块试验田. 要使试验田面积
为570 m 2，请问道路应为多宽？
7. 如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD 是23 m，现在想测乙楼的高度CB . 某人在甲楼的楼
底A 和楼顶D 分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′ 和40° . 请利用这些数据求乙楼
的高度( 精确到0. 01 m ).
提升
1. 某同学在A，B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同. 随身听
和书包的单价之和是452 元，且随身听的单价比书包单价的4 倍少8 元.
( 1 ) 该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
( 2 ) 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打8 折销售，超市B 全
场购物满100 元返购物券30 元( 不足100 元不返券，购物券全场通用 ) . 但他只带
了400 元钱，如果他只在一家超市购买这两样物品，请问在哪一家购买更省钱？
2. 在生产中，为了节约原材料，加工某些零件时经常利用
一些边角废料. 如图，△ABC 为锐角三角形废料板，其
中BC = 12 cm，BC 边上的高AD = 8 cm . 在△ABC 上截
取矩形PQMN，使QM 边与BC 边重合，请画草图说明P，
N 两点落在什么位置上，才可能使它的面积最大？求出
它的最大值，并求出此时矩形的长和宽.
3. 某班共有50 名学生，老师安排每人制作一件A 型或B
型的陶艺品. 学校现有甲种制作材料36 kg，乙种制作材料29 kg . 制作一件陶艺品的
用料情况如下表：
陶艺品类型
所需的甲种材料/kg
所需的乙种材料/kg
Ａ 型
0. 9
0. 3
Ｂ 型
0. 4
1
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
103
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 1 ) 设制作Ｂ型陶艺品x 件，求x 的取值范围；
( 2 ) 请你根据学校现有材料，分别写出这个班制作Ａ型和Ｂ型陶艺品的件数.
拓展
如图，山顶有一座铁塔，山脚下有一个矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地
带. 该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得，从A，D，C 三点可看到塔顶
端H . 可供使用的测量工具有皮尺、测角器.
( 1 ) 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一
个测量塔顶端到地面高度的方案. 具体要求如下：
测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的
测量平面图，并将应测数据标记在图形上.
( 2 ) 根据你上述标记的数据，计算塔顶端到地面的高度HG .
A
B
D
C
G
H
综合与实践
复印纸和包装箱中的数学问题
1. 在复印资料的过程中，同学们发现复印纸的尺寸规格如
下表(单位：mm )：
型 号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
尺 寸
841 × 594 594 × 420 420 × 297 297 × 210 210 × 148
148 × 105
试研究各种型号纸张之间、每种型号纸张的长与宽之间存在
什么关系，想一想这样规定的实际意义是什么.
2. 某厂生产长方体形状的肥皂，它的长、宽、高分别是10 cm，
7 cm，3 cm. 请你为这个肥皂厂设计一种符合下列要求的包装箱，
并使包装箱所用材料最少( 只计算包装箱的表面积 ) .
( 1 ) 包装箱是一个长方体；
( 2 ) 肥皂装箱时，以相同面积的面相对接；
( 3 ) 一箱肥皂为30块，装上肥皂后不留空隙.
104
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
哥尼斯堡七桥问题
18 世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡，有一条普莱格尔河从城中穿过，
河中的两个小岛与两岸由七座小桥相连，如图26 - 14 所示. 当地居
民有一个传统，在假日里沿着小岛与河岸散步. 他们试图找到一条
这样的路线：一个人一次走遍七座桥，每座桥只能走过一次，最后
仍能回到出发点. 虽然，大多数人都把它当成有趣的娱乐，但是一直
也未能解决这个问题，这就是有名的七桥问题. 这个问题引起了当
时著名的瑞士数学家欧拉的注意.
欧拉为了解决这个问题，他并没有亲自去哥尼斯堡，而是把这
个问题作了数学化的处理：他把两岸和小岛都抽象成点，把桥看做
连接两点的线，这样著名的七桥问题便转
化为能否用一支笔不离开纸而一笔画出图
26 - 15 的问题了. 若可以画出来，则图形
中必有起点和终点，并且起点和终点应该
是同一点. 欧拉对这个问题进行了一般
性的研究， 发现了一笔画的规律. 他认为，
能一笔画的图形首先必须是连通图( 简单
地说，如果一个图中，任两个顶点之间都
B
D
C
A
图26 - 14
A
B
C
D
图26 - 15
阅读理解
数
学
文
化
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
105
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
有连接它们的线，那么这样的图便可称为连通图). 连通图中，与奇
数条线相连的顶点叫做奇点，与偶数条线相连的顶点叫做偶点. 七
桥问题中的图就是连通图，其中的点A，B，C，D 都是奇点. 但是，
不是所有的连通图都可以一笔画的，能否一笔画是由图中的奇、偶
点的数目决定的：
（1）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一
笔画成. 画时必须把一个奇点作为起点，另一个奇点作为终点. 例如
图26 - 16 的线路可以是：A →B →C →A →D →C.
（2）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成. 画时
可以把任一偶点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完
此图. 例如图26 - 17 中的各点都是偶点，画的线路可以是：
A →B →C →H →E →G →B →H →D →E →F →G →A.
（3）其他情况的连通图都不能一笔画出.
把上面所说的归纳起来，就是一个连通图若能一笔画出, 有且只
有两种情况：一种是所有的点都是偶点，另一种是只有两个奇点.
在七桥问题中，由于奇点的个数是4，所以它不能一笔画出，从
而解决了这个问题. 后来欧拉利用解决这个问题的思路和方法，继
续开展深入的研究，他也因此而成为新的数学分支——“图论”的
先驱.
图26 - 16
图26 - 17
A
A
B
C
D
E
F
G
H
B
C
D
106
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
本章主要学习了综合运用数学知识解决实际问题. 一般地，
解决实际问题有一个转化的过程，首先分析实际问题，将它转化
为相应的数学问题，然后运用数学知识和方法来解答它，再把数
学结论回归到实际问题中去检验，以确定实际问题的解答. 这个
思路用框图表示如下：
知识
要点
学习
指导
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
1. 学习数学重在应用，要注意数学与生活、生产实际及其相
关学科知识间的相互联系，发现其中的数学问题，运用所学知识
去解决，努力培养应用数学的意识.
2. 在解决实际问题时，首先要认真分析问题，注意收集、处
理信息，透彻理解题意，然后联想相关的数学知识，通过抽象、概括，
向数学问题转化. 实际问题往往背景复杂，文字叙述较长，需要
认真阅读，抓住关键词语，正确理解题意，认清事物之间的联系，
找到解决问题的关键.
3. 在实际问题转化为数学问题以后，要运用所掌握的数学知
识、技能和方法，完成对数学问题的解答. 有时数学问题的解答
并不一定符合问题的实际意义，这时就要针对问题的实际，对解
答进行分析、选择，得到实际问题的正确答案. 实际问题往往带
有更强的综合性，解决它们需要具备扎实的数学基础知识和基本
技能、较高的分析问题与解决问题的能力及勇于探索的精神.
ᣁӑ˞ߦ᫈ᮥ
ڀॆ
ࠄᬅ᫈ᮥ
ᝍ
ን
ߦ᫈ᮥ
ߦፇ
ࠄᬅ᫈ᮥ
ࠄᬅ᫈ᮥ
ᄊᝍ
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
107
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
基础
1. 甲对乙说：“你任意想一个数，把这个数乘2，结果加上8，再除以2，最后减去所想的
数，此时我就知道结果.”请你解释甲为什么能知道结果.
2. 某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来密铺地面，他购买的瓷砖形状不
可以是( ) .
A. 正三角形 B. 矩形 C. 正八边形 D. 正六边形
3. 小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回. 小明去时骑自行车，
返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行. 三个人步行的速
度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系是下面三
个图象中的一个. 请问完成一次往返，小明、爸爸、爷爷各用多少分钟？
复 习 题
( 第3 题 )
ᫎ
min
ሮm
O
1 200
6
21
ᫎ
min
ሮm
O
1 200
12
24
ᫎ
min
ሮm
O
1 200
20 26
( 1 )
( 2 )
( 3 )
4. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可以制作盒身16 个或盒底43 个，一个盒身与两个盒底
配成一套罐头盒. 现有150 张白铁皮，用几张制盒身、几张制盒底，可以正好制成整
套的罐头盒？
5. 华氏温度和摄氏温度之间满足关系y = ax + b，其中x 表示摄氏温度，y 表示华氏温度.
已知标准大气压下水的冰点为0 ℃或32 °F，沸点为100 ℃或212 °F . 试确定y 和x 的
函数关系，并分别求出当摄氏温度分别为- 40 ℃，30 ℃时，相应的华氏温度是多少.
6. 草原上的四口油井，位于四边形ABCD 的4 个顶点，如图所示. 现在要建立一个维修
站H，试问H 建在何处，才能使它到四口油井的距
离之和HA + HB + HC + HD 为最小？并说明理由.
A
B
C
D
( 第6 题 )
108
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
提升
1. 为了加快教学手段的现代化，某中学计划购置一批电脑. 已知甲公司的报价为每
台5 800 元，优惠条件是购买10 台以上，则从第11 台开始，可按报价的70% 付款；
乙公司的报价也是每台5 800 元，但优惠条件是每台均按报价的85% 付款. 假如你是
学校负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说
明理由.
2. 如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的A 处飞出（A 在y
轴上），运动员甲在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，
距地面约4 米高．
（1）求足球开始飞出到落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球落地点C 距守门员大约多少米？
3. 张强到某水果批发市场进货，市场中香蕉的价格如下表：
购买香蕉的质量/kg
不超过20
20 以上，但不超过40
40 以上
每千克价格/ 元
6
5
4
张强两次共购买香蕉50 kg( 第二次多于第一次 )，共付出264 元. 请问张强第一次、第
二次分别购买香蕉多少千克？
4. 某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90 吨和60 吨，该市的C 县和D 县分
别储存化肥100 吨和50 吨，全部调配给A 县和B 县. 已知C，D 两县运化肥到A，B
两县的运费( 元/ 吨 ) 如下表所示：
C
D
A
35
40
B
30
45
目的地
出发地
运 费
( 1 ) 设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W ( 元 ) 与x ( 吨 ) 的函数关系式，并写出
自变量x 的取值范围；
( 2 ) 求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案.
( 第2 题 )
O
A
B
C
M
1
1
y
x
第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
109
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
5. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D 和一个小灯泡，各
元器件均能正常工作.
( 1 ) 任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少？
( 2 ) 任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出
小灯泡发光的概率.
拓展
1. 李老师要装修带阁楼的新居( 如图所示为新居剖面
图 )，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上
楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离
FG 为1. 75 m . 他量得客厅高AB = 2. 8 m，楼梯洞口
宽AF = 2 m，阁楼阳台宽EF = 3 m . 请你帮助李老
师解决下列问题：
( 1 ) 要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1. 75 m，
楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？
( 2 ) 在( 1 ) 的条件下，为保证上楼时的舒适性，楼
梯的每个台阶的高要小于20 cm，每个台阶的
宽要大于20 cm，问楼梯应该设计多少个台阶？
2. 某电脑公司现有A，B，C 三种型号的甲品牌电脑和D，E 两种型号的乙品牌电脑. 某
中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.
( 1 ) 写出所有选购方案( 利用树状图或列表方法表示 ) ；
( 2 ) 如果( 1 ) 中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A
型电脑被选中的概率是多少？
( 3 ) 现知该中学购买甲、乙两种品牌电脑共36 台( 价格如图
所示 )，恰好用了10 万元人民币，其中选购的甲品牌电脑
为A 型电脑，求购买的A 型电脑有几台.
2 m
3 m
Լ
എ
ࠇ
Ԋ
2.8 m
A
B
C
G
F
D
E
( 第1 题 )
××ႃᑨНՃ
ႃᑨӭ͉
ӭͯ
Ћ
Aی6 000
Bی4 000
Cی2 500
Dی5 000
Eی2 000
( 第2 题 )
A
B
C
D
( 第5 题 )
110
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 九年级 下册
附 录
部分中英文词汇索引
中 文
英 文
页 码
平 移
translation
2
旋 转
rotation
10
位似图形
homothetic figures
25
投 影
projection
38
中心投影
center projection
38
平行投影
parallel projection
38
