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重难点专题02 平方根与立方根
模块一、算术平方根
重难点一、求一个数的算术平方根
算术平方根结果为非负数。先思考哪个非负数的平方等于原数，正数算术平
方根仅有一个，0 的算术平方根是 0。注意区分平方根与算术平方根，题目带√符号，直
接求算术平方根，不要额外添加负号，计算前优先化简原数。
1．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）对于实数a 、b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，则关于4 6
※
的结果，下列说法正确的是（ ）
A．平方根是2
B．算术平方根是2
C．立方根是2
D．立方根是2
−
2．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的
数据：
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①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为22
7
②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为9 万千米
③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为
3
−
个标准大气压
④火箭发动机某部件体积恰好为3 6 立方米．
老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
3．（21-22 七年级下·江苏南通·阶段检测）
2
( 2)
−
= _________．
4．（25-26 七年级下·湖南永州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，
若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例
如：2
−，8
−，18
−
这三个数，(
) (
)
2
8
4
−
−
=
，(
) (
)
2
18
6
−
−
=
，(
) (
)
8
18
12
−
−
=
，其结果4 ，6 ，
12都是整数，所以2
−，8
−，18
−
这三个数是“完全数组”，而4 ，6 ，12称为“完全子集”．
(1) 9
−，1
−，4
−这三个数是“完全数组”吗？请说明理由．
(2)若4
−，a ，16
−
这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12，求a 的值．
重难点二、利用算术平方根的非负性解题
算术平方根≥0，常见题型搭配绝对值、平方，多个非负数相加等于 0 时，
则每一项均为 0。据此列出方程求出未知数的值，再代入代数式求值。解题关键准确识别
非负式子，牢记几个常见非负形式，规避符号易错点。
1．（25-26 七年级下·广西崇左·期中）若(
)
2
4
2
0
a
b
+
+
−
=
，则（ ）
A．
4,
2
a
b
= −
= −
B．
4,
2
a
b
=
=
C．
4,
2
a
b
= −
=
D．满足这个式子的数a
b
、不存在
2．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）如果(
)
2
x
y
−
的算术平方根是x
y
−
，则下列式子中成立的是
（ ）
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A．x
y
B．x
y
C．x
y
D．x
y
3．（25-26 七年级下·山东济南·期末）某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换
数对”功能．
定义：对于输入的数对(
)
,a b ，其中
0
b
．计算器会先将a 进行开立方运算得到m ，即
3
m
a
=
，再将b 的
算术平方根取相反数得到n ，即n
b
= −
，最后输出两个结果(
)
,
m n 和(
)
,n m ，将这两个输出结果称为数对
(
)
,a b 的“变换数对”．
例如：数对(
)
8,49 的“变换数对”为(
)
2, 7
−
和(
)
7,2
−
．
(1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________；
A．(
)
3, 5
−
B．(
)
2,6 C．(
)
0,7 D．(
)
1, 9
−
−
(2)若输入数对(
)
64,9 ，则输出的“变换数对”结果为________；
(3)社团成员小明输入某个数对(
)
,p q 后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是(
)
2,5
−
，求p 和q 的值．
4．（25-26 七年级下·河南濮阳·期末）如图，正方形ABCD的四个顶点均在边长为1的正方形网格的格点
上，且点C 在数轴上表示1
−．以点C 为圆心，以CD的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E ．小明
利用割补法求出了正方形ABCD的面积是13，请你解决下面问题．
(1)正方形ABCD的边长是__________；
(2)点E 表示的实数是__________；
(3)能否将正方形ABCD纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2 ，长比
宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由；
(4)将正方形ABCD纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留π ）．
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5．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数x 的平方等于a ，即
2x
a
=
，那么这个非负数x 叫作a 的算术平方根，记为
a ．0 的算术平方根是0，即
0
0
=
，所以被开方数a 为非负数．
【探究新知】
(1)若(
)
2
a
a
=
，则a 的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若2
1
2
2
0
a
b
a
b
−+ +
−
+
=
，求(
)
2025
a
b
−
的值．
【拓展应用】
(3)若2025
2026
a
a
a
−
+
−
=
，求
2
2025
a −
的值．
6．（25-26 八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列
素材，完成各题．
[素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C 表
示的数为c．已知a、b、c 满足
2
|
3 | (6
)
7
a
c
b
+
+
+
= −
−
(1)在“灵动数轴”中，a =________，b = ________，c = ________．
(2)折叠“灵动数轴”，使点B 与点C 重合，求此时与点A 重合的点所表示的数．
7．（25-26 八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在ABC
中，
90
C
=
，BC 长为cm
a
，AC 长为cm
b
，AB 长
为15cm，并且
9
12
0
a
b
−
+
−
=
．请回答以下问题：
(1)a = ，b = ；
(2)如图，在DEF
中，
90
E
=
，
3cm
EF =
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．在ABC
中，动点P
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从点A 出发，沿AC 运动，到点C 停止，速度为3cm / s，若另外有一个动点Q 与点P 同时出发，动点Q
从点B 出发，沿BA运动，到点A 停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q 为顶点的三角
形与DEF
全等，求出点Q 的运动速度；
(3)若在ABC
中，动点P 仍从点A 出发，运动轨迹变为沿AC
CB
→
运动，到点B 停止，速度仍为
3cm / s．动点Q 运动轨迹不变，仍与点P 同时出发，从点B 出发沿着BA运动，到点A 停止．在两点运
动过程中的某时刻，仍有以X ，P，Q 为顶点的三角形与DEF
全等( X 为A 或B)，此时点Q 的运动速度
还可以为 cm/s ．
重难点三、估计算术平方根的取值范围
使用夹逼法，找到两个相邻整数，使整数平方分别小于、大于被开方数，确
定算术平方根介于两整数之间。估算后可以进一步确定小数范围，常用于比较实数大小。
估算时尽量熟记常见完全平方数，提升做题速度与准确度。
1．（25-26 七年级下·河南许昌·期中）如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时
候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为
26
1
−．请估计这个比值在（ ）
A．3 和4 之间
B．4 和5 之间
C．5 和6 之间
D．6 和7 之间
2．（25-26 七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数7 的大小在（ ）
2
2.61
2
2.62
2
2.63
2
2.64
2
2.65
2
2.66
2
2.67
6.8121
6.8644
6.9169
6.9696
7.0225
7.0756
7.1289
A．2.61与2.64 之间
B．2.64 与2.65 之间
C．2.65与2.66 之间
D．2.65 与2.67 之间
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3．（25-26 七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算10 大小的计算过程如图所示，用这种方法估算19
的大小，则19 的大小约为______．（精确到0.01）
因为3
10
4
，所以10 的整数部分是3．
因为10 9
1
−
= ，16 9
7
−=
，
所以10 的小数部分约为1
7 ，
所以
1
10
3
3.14
7
．
4．（25-26 七年级下·江西南昌·期中）江西省非物质文化遗产保护项目——宣纸刺绣，源于明代天启年间
的顾氏家族“纸绣”，被誉为“叶尖上的水墨丹青”．小南作为宣纸刺绣传承人设计了一幅新作品（惊蛰春
晖），需要在长方形的宣纸上构图．他遇到了两个与数学有关的问题．
(1)【问题1】寻找“无理数”的长和宽．
小南有一张面积为
2
105dm 的长方形宣纸纸，长与宽的比为5 3
∶．求长方形宣纸的长和宽；
(2)【问题2 】比大小——构图中的抉择．
小南需要在宣纸上设计一个正方形区域用来绣主图案，他设计了两种方案：
方案A：正方形区域的边长为52dm；
方案B ：正方形区域的边长是7.2dm ．
请比较52 和7.2 的大小；
(3)若小南选择了方案A，则正方形区域的边长在哪两个连续整数之间？请说明理由．
5．（25-26 七年级下·福建福州·期中）在学习了如何估计2 近似值的方法后，小明同学对求
N （N 为
正整数）的近似值进行拓展性思考，探究过程如下：
当
2
N =
时，
∵面积为2 的正方形边长为2 ，且
2
2
1
2
2
．
∴1
2
2
∴
2 的整数部分为1
设2
1 x
= + （其中0
1
x
）
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则
(
)
2
2
1
x
=
+
，画出示意图1：
根据图示，可得
(
)
2
2
2
1
1
1 2
2
S
x
x
x
x
x
x
=
+
= +
+
+
= +
+
=
正方形
．
由于0
1
x
，
2
x 较小，忽略．
∴1 2
2
x
+
=
，解得
0.5
x =
．
得到第一次的近似值2
1.5
．
他发现这样计算的结果与课本上的近似值有差距，思考后继续探究：
设1.5与2 之间的差距值为d，则
2
1.5
d
=
+
，
得
(
)
2
2
2
2
1.5
1.5
2 1.5
d
d
d
=
+
=
+
+
，由于
2
d 很小，忽略，
得到
2
2
1.5
2 1.5d
=
+
，
解得
0.0833
d = −
，
得到第一次修正值2
1.4167
，
若再次重复刚才的过程进行第二次修正，得到2
1.4143
，继续这个过程得到下表：
真实值
第一次近
似
第一次修正
第二次修正
第三次修正
…
1.41421356
1.5
1.4167
1.4143
1.4142
…
可以看出，每一次修正都让结果更接近真实值．阅读上述的探究过程解答下列问题：
(1) 3 的整数部分为 ；
(2)求12 第一次修正后的值（无需画图，精确到0.001）；
(3)求50 以内第一次近似求解中
0.5
x =
的所有N 的值．
重难点四、无理数整数部分的有关计算
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先用夹逼法估算算术平方根范围，得到整数部分；小数部分 = 原无理数−
整数部分。遇到含根号代数式，先拆分整数、小数部分，再代入进行化简计算。注意负数
算术平方根不存在，审题先判断被开方数是否具备意义。
1．（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为44 ，它的整数
部分是__________．
2．（25-26 八年级上·山东济南·阶段检测）30 的小数部分是______．
3．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上点A是表示实数10 的点．
(1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点A（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 10 的整数部分为______，10 的小数部分为______．
4．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）如图，三张边长分别为OA，OB ，OC 大小不同的正方形纸片叠放
在一起，OB 为边的正方形纸片的面积为
2
20cm ,
1cm
AB
BC
=
=
．（点O，A，B，C 在同一直线上）
(1)求OB 的长．
(2)若
,
OA
m OC
n
=
=
，则：
①mn = ；
②m 的整数部分为 ，n 的小数部分为 ．
重难点五、与算术平方根有关的规律探索题
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先计算几组式子结果，横向、纵向对比被开方数与算术平方根的变化规律。
重点观察被开方数扩大或缩小倍数，对应算术平方根的变化倍数，总结通用规律，再利用
规律直接求解。计算时做好标记，防止看错数字。
1．（25-26 七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知4
2
=
，
400
20
=
，
40000
200
=
，…，则
400000000 = （ ）
A．2000
B．20000
C．200000
D．2000000
2．（25-26 七年级下·福建龙岩·期末）某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密
码．例如：数9对应的密码是9
3
=
，数900对应的密码是900
30
=
．已知数2026对应的密码约为
45.01，数202.6 对应的密码约为14.23，则数20.26 对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
3．（25-26 七年级下·广东广州·期中）已知2.6
1.612
，则
260 ______．
4．（23-24 八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n
（n 是整数，且
4
n
）行从左向右数第(
3)
n −
个数是______．
（用含n 的代数式表示）
5．（25-26 七年级下·湖南湘西·阶段检测）先观察表格，再回答下列问题．
a
…
0.000001
0.01
1
100
10000
1000000
a
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它
的移动规律．
(2)利用你在（1）中发现的规律，已知
3
1.732
：
，求出0.03 的值．
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(3)已知
1800,
3.24
1.8
a
−
−
＝
＝
，你能求出a 的值吗？
6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化
规律．
已知1
1
= ，则100
10
=
，10000
100
=
；已知9
3
=
，则900
30
=
，90000
300
=
；
已知3 1
1
= ，则3 1000
10
=
，3 1000000
100
=
；已知3 8
2
=
，则3 8000
20
=
，3 8000000
200
=
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a =
，那么100a = ；若3
1.2
b = −
，那么3 1000000b = ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
+
−
=
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的
值．
重难点六、算术平方根的实际应用
常见正方形面积求边长问题，正方形边长等于面积的算术平方根。列出面积
等式后，开方只选取正数解，边长不能为负数。读懂题干几何情景，建立面积与算术平方
根模型，舍去不符合现实意义的负根，最后作答。
1．（2026·安徽合肥·二模）物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动
（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度h （单
位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式
2h
t
g
=
，其中
2
10 m/s
g
，若物体从100 m 的高处自由下落，
则下落的时间t 介于（ ）
A．2 和3之间
B．3和4 之间
C．4 和5之间
D．5和6 之间
2．（2026·安徽马鞍山·二模）欧拉发现的一个有关三角形的定理：在ABC
中，R 和r 分别是ABC
外接
圆和内切圆的半径，O 和I 分别是ABC
外接圆和内切圆的圆心，则
2
2
OI
R
Rr
=
−
．若
5
R =
，
1
r = ，
则OI ______4．（填“”“”或“ = ”）
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3．（25-26 七年级下·黑龙江牡丹江·期中）江滨公园喜迎春季花卉展，要将原来
2
400m 的正方形花坛，欲
建成
2
300m 的长宽比为5:3的长方形花坛，或改建成面积为
2
300m 的圆形花坛，如果把原来的正方形场地
的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的围墙，利用旧栅栏的费用（包括安装、粉刷）每米10 元，问两个
改建方案是否都可行?并计算预计费用．（参考数据20
4.47
，π
3
，费用精确到元）
4．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·期中）据以下操作，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
母亲节将至，小颖自己制作了一块圆柱形蛋糕
准备送给妈妈，来表达自己的爱意．已知这块
蛋糕的底面积为
2
36 cm
，高为10cm．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个底面
积为
2
200cm ，高为12cm的长方体礼品盒来装
这块蛋糕，已知这个长方体礼品盒底面的长与
宽之比为5: 4（礼品盒的厚度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1 可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________cm；
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个长方体礼品盒的长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？说明理由．
5．（25-26 七年级下·福建厦门·期中）探究不同情境，回答下面问题：
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表4
A 型
长宽（单位：mm ）
5
A
210 148
4
A
297 210
3
A
420 297
2
A
594 420
1
A
841 594
(1)如图1，把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，所得的4 个直角三角形拼成一个面积为2 的大正方
形，则大正方形的边长为 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比值是 ．
(2)如图2，按照国际标准，A 系列纸为长方形，将
0
A 纸沿长边对折、裁开，便成两张
1
A 纸；将
1
A 纸沿长
边对折、裁开，便成两张
2
A 纸；将
2
A 纸沿长边对折、裁开，便成两张
3
A 纸；将
3
A 纸沿长边对折、裁
开，便成两张
4
A 纸．所得的每张A 系列纸长和宽的比值相同（形状相同），将一张A 系列纸按如图3 所
示的方式进行两次折叠（折痕分别是直线AE 和
)
AP ，线段AB 落在线段AD上，点B 的对应点是点B，
第一次折叠展开所得四边形ABEB是正方形，第二次折叠线段AE 落在射线AD上，点E 的对应点是点
E，点C 的对应点是点C．
①判断点E是否与点D 重合，如果是，请说明理由；如果不是，直接回答点E在点D 的左侧或右侧？
②若
168mm
DC=
，2 取近似数1.4，判断这张A 系列纸最接近图4 中的哪种型号？并说明理由．（温
馨提示：（1）中的一般结论可直接用）
6．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
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一、教材理解：
(1)如图1，把两个边长均为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就可以
得到如图2 一个面积为2 的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的
方法：如图3 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正
半轴交点A表示的数为________；
二、深入思考：
如图4，怎样把由5 个边长为1 的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位
长度是1）中得到如图5 剪拼方式；
(2)如图6，小红根据图5 剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，
则与正半轴交点M 表示的数是_________；
三、动手操作：
(3)如图7，现有13 个边长均为1 的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7 中用虚线画出
．．．．剪
裁方案，同时在图8 网格中画出
．．拼接完成后的大正方形；
(4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数
轴负半轴交点Q 所表示的数为_______，并请你在图9 中画出
．．找到点Q 过程中使用的那条半径
．．．．．
模块二、平方根
重难点一、平方根概念理解
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若x
2=a，x 叫做a 的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0 平方根是
0，负数没有平方根。区分概念：算术平方根是平方根中非负的那一个。审题看清提问是
求平方根还是算术平方根，二者结果形式不同。
1．（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数5.7 万精确到十分位
B．16 的平方根是4
C．单项式2
3
ab 的系数是2
D．同角的补角相等
2．（25-26 八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（ ）
A．
5
−
是5 的一个平方根
B．400 万有7 个有效数字
C．近似数12.8 和12.80 表示的意义是相同的
D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1
3．（25-26 八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；②若y 是x 的函数，则当y 取一个值时，一定有唯一的x 与它对应；③
平方根是它本身的数是0 和1；④平行于x 轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系
一定满足
2
2
2
a
b
c
+
=
；⑥若
2
(
3)
3
a
a
−
=
−
，则
3
a
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段检测）下列说法中，正确的是_______（填序号）
①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有1，0 ；④无理数
都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根；
5．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒
子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知2
1
a−的算术平方根为
3，b 是8 的立方根，c 是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______．
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重难点二、求一个数的平方根
寻找满足平方等于原数的所有数，正数平方根写成±√a 形式。计算前先化
简原数，比如带分数先化为假分数。不要混淆书写格式，求平方根必须带上正负号；负数
不存在平方根，遇到负数直接判定无实数解。
1．（25-26 七年级下·广西玉林·期中）4 的平方根是（ ）．
A．4
B．3
C．2
D．2
2．（25-26 八年级上·河南周口·期末）
1
2 4 的平方根是（ ）
A．1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
3．（25-26 八年级上·重庆万州·期中）下列说法：（1）
2
a 的算术平方根是a ；（2）
4 的平方根是2
；
（3）实数和数轴上的点是一一对应的；（4）三条边对应相等的两个三角形全等；（5）全等三角形对应
边上的中线相等．其中正确的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
4．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4 有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为
2，则另一个平方根为_____．
5．（25-26 七年级下·安徽六安·期末）我们规定：a
b
时，a
b
a
b
=
+
★
；当a
b
时，
2
2
a
b
a
b
=
+
★
．已
知
3
25
x
=
★
，则x =________．
6．（25-26 八年级上·全国·课后作业）回答下列问题：
(1)12 是144 的平方根吗？
(2)169 的负的平方根是哪个数？
(3) 0.3
是0.9 的平方根吗？
(4)哪个数的平方根只有一个？
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7．（25-26 七年级下·四川成都·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观
性，可以帮助理解数学问题．现有边长为a ，b 的正方形及以此为邻边的长方形卡片若干．
(1)①小明用五张卡片拼成图1 的正方形，用不同方式表示图1 中阴影部分的面积，得到等量关系：
_______________________；
②运用公式解决问题：若
9
8
mn =
，
2
4
m
n
−
= −，求
2
m
n
+
的值；
(2)①小明再用四张卡片拼成如图2 的大正方形，请用不同方式表示图2 中阴影部分的面积，得到等量关
系：________________________；
②运用公式解决问题：若(
)(
)
5
2 10
5
6
x
x
−
−
=
，求(
)
(
)
2
2
5
2
10
5
x
x
−
+
−
的值．
8．（25-26 七年级下·江苏无锡·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问
题．例如：若对于正整数a ，b ，有
n
a
b
=
，那么称b 为n 的劳格数，记为
(
)
,
n
L a b
=
（a ，b 为正整
数）．例如：
23
9
=
，则
(
)
2
3,9
L
=
．根据他们的研究结果，完成下列各题：
(1)填空：(
)
2,16
L
=______，(
)
4,64
L
= ______；
(2)计算：(
)
(
)
3,27
6,36
L
L
+
= ______；
(3)若(
)
2,
2
L
m =
，(
)
,16
2
L n
=
，求(
)
,
L m n 的值．
重难点三、求代数式的平方根
先求出代数式的值，再求该数值的平方根。注意代数式取值范围，若代数式
结果为负数，则不存在平方根。若题目带有隐含条件，先利用条件算出代数式最终数值，
再套用平方根定义求解，不要直接对式子开方。
1．（24-25 八年级上·福建莆田·期末）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同
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学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下：
设母亲的年龄为x ，女儿的年龄为y ，母女年龄之和为2m ，则：
2
x
y
m
+
=
，
两边同乘(
)
x
y
−
，得
2
2
2
2
x
y
mx
my
−
=
−
，①
移项，得
2
2
2
2
x
mx
y
my
−
=
−
，
两边加上
2
m ，得
2
2
2
2
2
2
x
mx
m
y
my
m
−
+
=
−
+
，②
即(
)
(
)
2
2
x
m
y
m
−
=
−
，③
两边开方，得x
m
y
m
−
=
−
，④
即x
y
=
，母女年龄相同，
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．（专题10 同底数幂的除法-2022 年【寒假分层作业】七年级数学（北师大版））若
2
13
64
x =
,则
13 x
−= （ ）
A．
1
8
−
B．1
8
C．1
80
D．1
512
3．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段检测）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4 个全等的长
方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题：
(1)请写出下列三个代数式(
)
2
b
a
+
，(
)
2
b
a
−
，ab 之间的等量关系：________．
(2)根据（1）中的等量关系，若
1
xy = ，
3
x
y
+
=
，求
2
2
x
y
−
的值．
4．（21-22 七年级下·山东德州·期末）已知实数7
2x
−
与2
7
x −
互为相反数，y 的算术平方根是14，z
的绝对值为2 ，且m 和n 互为倒数，求
2
2mn
x
y
z
+
−
的平方根．
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重难点四、已知一个数的平方根，求这个数
正数两个平方根互为相反数，将两个平方根相加等于 0，列方程求出未知
数；再把未知数代回任意一个平方根式子，平方后得到原数。注意检验结果，确保求出的
数是正数，0 只有一个平方根，题型需要分类讨论。
1．（25-26 七年级上·浙江金华·期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江
的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a 和
8
a −，那么这段婺江的宽度是（ ）
A．4 米
B．16 米
C．25 米
D．36 米
2．（25-26 七年级下·安徽亳州·期中）2026 年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知
该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是6
2
m+ ，则m 的值为______．
3．（25-26 七年级下·江西南昌·期中）已知实数b 是4
a
−的平方根，当a 为非负整数时，满足3b 是有理
数，则b 的值可以是______．
4．（25-26 八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的
算术平方根为5
1
m+ ，平方根为(
)
3
m
−
，求这个数．
以下是乐乐的解题过程：
解：因为一个数的算术平方根为5
1
m+ ，平方根为(
)
3
m
−
．
所以5
1
3
m
m
+ =
−
或
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
．
①当5
1
3
m
m
+ =
−
时，解得
1
m = −，
所以5
1
4
m+ = −，所以这个数为16；
②当
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
时，解得
1
3
m =
，
所以
8
5
1
3
m + =
，所以这个数为64
9 ．
综上所述，这个数为16 或64
9 ．
李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程．
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5．（24-25 七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是3
4
b-
和2
6
b −，解出b 才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125 的立方根a 组成．进入密室后，需
解出关于x 的方程2
3
11
x
a
+
=
，才能兑换奖励．
(1)求a， b， x 的值；
(2)将奖励存入边长为a
b
−
的正方体盒子，若盒子体积比
3x 大k，求
1
k + 的算术平方根．
6．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的
数称为“三角形数”，而把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n 个三角形数可以用
(
) (
)
1
1
2
n n
n
+
表示．
发现：①
2
1 3
4
2
+
=
=
，②
2
3
6
9
3
+
=
=
，③
2
6
10
16
4
+
=
=
，……
结论：一个大于1 的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和．
(1)请你写出第④个等式：______；
(2)请你结合材料，用含(
)1
n n
的等式表示出上述结论，并加以证明；
(3)我们知道
2
2025
45
=
，因此2025 是正方形数．请直接写出2025 可以看作哪两个相邻“三角形数”之和．
重难点五、利用平方根解方程
整理方程，把含未知数项放在一侧，常数移到另一侧，化为x
2=a 形式。当
a>0，解为x=±√a；a=0，x=0；a<0，方程无实数解。移项留意符号变化，不要漏写负
根，这是最容易失分的地方。
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1．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）若(
)
2
1
1
x −
= ，则x =_____．
2．（20-21 七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如
2x
a
=
（a 为常数）的这类方程．
(1)小天先尝试解了下面两个方程：
①
2
1
x = ，解得
1
x = 或
1
x = −；②
2
1
x = −，此方程无实数解．
方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；
方程②无实数解的依据是：___________；
(2)小天进一步探究了解方程③和④：
③
2
3
21
x =
解：
2
7
x =
．
7
x =
或
7
x = −
．
④(
)
2
2
9
x +
=
．
解：
2
3
x +
=
或
2
3
x +
= -
．
1
x = 或
5
x = −．
请你参考小天的方法，解下列两个方程：
⑤
2
2
72
0
x −
=
；
⑥(
)
2
1
5
x −
=
．
3．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）(
)
2
1
2
7
x −
−
=
4．（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）如图，在5 5
的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分
也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A 表示的数为1．
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(1)图中正方形ABCD的面积为___________，边长为___________．
(2)若正方形ABCD从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B 第一次落在数轴上时，与点B 重合的点P
表示的数为___________；若正方形ABCD从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D 第一次落在数轴上
时，与点D 重合的点Q 表示的数为___________．
(3)能否用一块面积为
2
400cm 的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为
2
300cm 的长方形纸
片，使它的长与宽的比为3:2？请通过计算说明是否可行．
5．（25-26 七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261 年写下了
《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了(
) (
)
1,2,3,
n
a
b
n
+
=
展开式的系数规律．
第2 行
1
n =
(
)
1
a
b
a
b
+
=
+
第3 行
2
n =
(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
第4 行
3
n =
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
第5 行
4
n =
(
)
4
a
b
+
=
【应用体验】
(1)(
)
4
a
b
+
的展开式为 ；
(2)利用上面的规律计算：
①
6
5
4
3
2
2
6 2
15 2
20 2
15 2
6 2 1
+
+
+
+
+
+ = ；
②
5
4
3
2
3
5 3
10 3
10 3
5 3 1
−
+
−
+ −= ；
(3)若(
)
7
2
7
0
1
2
7
1
x
a
a x
a x
a x
+
=
+
+
+
+
，
①求
0a 的值．
②求
1
3
5
7
a
a
a
a
+
+
+
的值．
(4)当代数式
4
3
2
8
24
32
16
a
a
a
a
−
+
−
+
的值为1 时，求a 的值．
6．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）设多项式
( )
2
P x
x
ax
b
=
+
+
，
( )
2
Q x
x
cx
d
=
+
+
，其中a ，b ，c ，
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d 为常数，
( )
P x 和
( )
Q x 表示x 取某数时对应多项式的值，如：
( )
1
1
P
a
b
= +
+
．已知两个多项式恒满
足：
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
P
Q
P
Q
=
，则称(
)
,
P Q 为对称积对．
(1)根据对称积对定义，写出a ，b ，c ，d 之间的关系式________．
(2)已知(
)
,
P Q 为对称积对，a ，b ，c ，d 为整数．
①若
0
a
c
=
，证明：b
d
=
．
②当
( )
1
5
P
=
，
( )
( )
2
2
9
P
Q
=
=
，求a
b
c
d
+ + +
的值．
③若
0
a
c
，当
( )
( )
2
2
P
Q
=
，
2
2
(
)
(
)
5
a
c
b
d
−
+
−
=
时，求b
d
+
的最小值．
模块三、立方根
重难点一、立方根概念理解
若x
3=a，x 是a 的立方根。正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根
是 0。任意实数都存在立方根，区别于平方根。牢记性质，可以把负号移到根号外，简化
负数立方根运算。
1．（25-26 八年级上·河北邢台·阶段检测）式子3
8
2
−= −表示的意义是（ ）
A．8
−的平方根是2
−
B．2
−的立方根是8
−
C．8
−的立方根是2
−
D．2
−的平方根是8
−
2．（25-26 七年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，（1）
2
a 的值总是正的；（2）若ac
bc
=
，则a
b
=
；
（3）单项式
3
3
xy
的次数是7；（4）1 的算术平方根与立方根相同；正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（24-25 八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实
际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了n 次方根，下面是他
们写的“ n 次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整．
n 次方根的学习档案
定义：如果一个数x 的n 次方等于a （n 是大于1 的整数），即
nx
a
=
，那么这个数x 就
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叫做a 的n 次方根．例如2 是16 的 ．
求一个数a 的n 次方根的运算叫做 ，a 叫做 ．
特征：根据n 次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0 和负数的n
次方根的特征如下：
正数的n 次方根是正数；
0 的n 次方根是 ；
负数 ．
4．（25-26 七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么
2 不是有理数”的内容
后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务．
关于“无理数的衍生探究”的研究报告
教材部分内容：事实上，2 不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p ，q ，使得
2
p
q =
，于是
2
p
q
=
，
两边平方，得
2
2
2
p
q
=
，
由
2
2q 是偶数，得
2
p 是偶数，所以p 也是偶数．
因此可设
2
p
r
=
（r 是正整数），代入上式，得
2
2
4
2
r
q
=
，即
2
2
2
q
r
=
，
所以q 也是偶数，这样p
q
，都是偶数，与假设p
q
，互质矛盾，
即
2 不是有理数．
方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对3 2 是否为有理数展开了以下论证．
假设3 2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p ，q ，使得
3 2
p
q =
，于是
3 2
p
q
=
，
两边立方，得
3
3
2
p
q
=
任务：
(1) 3 是___________．（填“无理数”或“有理数”）
(2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(3)若3 2
m
+
是无理数，且与3 2 互为相反数，直接写出m 的值．
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5．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）我们知道64
−
的立方根是4
−，可以表示为
3
64
4,
−
= −
反之
(
)
3
4
64,
−
= −
16 的平方根是4
，可以表示为
16
4,
=
反之 (
)
2
4
16
=
．根据立方根和平方根的含义，完
成下面问题：
(1) 3 125 表示的含义是什么？
3 7
1
a + 表示的含义是什么？
(2) 8
2
a
b
+ −
表示的含义是什么？
(3)若
3
1
7
1
, 8
2
2,
2
a
a
b
+ =
+ −
=
求a
b
+
的值和8
3
3
a
b
−
+
+ 的平方根．
重难点二、求一个数的立方根
寻找立方后等于原数的数，正负号和原数保持一致。遇到带分数先转化为假
分数再开立方。熟记常见整数立方值快速口算。负数直接提取负号，先求正数立方根，再
添加负号，降低计算失误概率。
1．（25-26 七年级下·贵州遵义·期中）平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的
定义，8 的立方根是（ ）
A．8
B．
8
−
C．2
D．2
−
2．（25-26 七年级下·福建莆田·期中）填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2）3
1
27
−
= ___________________ ；(
)
3
3 8
= _____ ．
（3）3 64 的平方根是 _______ ；
64 的立方根是 _____ ．
3．（24-25 八年级下·上海静安·期末）方程
3x
2
=
的根是______．
4．（2026·河南周口·二模）计算(
)
(
)
0
3
8
π 1
−
+
−
= __________．
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5．（25-26 八年级下·云南昭通·期中）求x 的值：(
)
3
2
63
1
x −
−
= ．
6．（25-26 七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅
读的杂志上有一道智力题：求24389 的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，
你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求3 24389 ；
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可以确定3 24389 是 位数；
②由24389 的个位上的数字是9，可以确定3 24389 的个位上的数字是 ；
③如果划去24389 后面的三位389得到数24 ，而
3
2
8
=
，
33
27
=
，可以确定3 24389 的十位上的数字
是 ；由此求得3 24389 = ．
(2)已知438976 也是一个整数的立方，用类似的方法可以求3 438976 的值．
7．（25-26 七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上
有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速
地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试：
(1)因为59319 是一个立方数，即某个整数的立方，
由
3
3
10
59319
100
，所以
3
10
59319
100
，即能确定3 59319 是一个 位数；
又∵59319 的个位上的数是9 ，
∴能确定3 59319 的个位上的数是 ；
划去59319 后面的三位319 得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位，
∵
3
3
3
59.319
4
，∴
3
3
59.319
4
由此能确定3 59319 的十位上的数是 ．所以3 59319 = ．
(2)已知110592是一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明．
重难点三、已知一个数的立方根，求这个数
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根据立方根定义，将已知立方根进行立方运算，就能得到原数。立方运算不
改变符号，无需分类讨论。若立方根含有未知数，先解方程算出立方根数值，再立方求出
原数。题型不存在无解情况，实数均有立方根。
1．（24-25 七年级下·贵州铜仁·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和
立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知2
7
a −
的算
术平方根是3
9
b−
，
的立方根为2
−．
(1)求a
b
，的值．
(2)求3a
b
+ 的平方根．
2．（24-25 七年级下·河南洛阳·期中）（1）一个长方体的体积为
3
1296cm .它的长、宽、高之比为3:2:1.
求这个长方体的表面积；
（2）已知一个正数的平方根分别是
2
a+
和2
5
a −，
3
b −的立方根为1
−，求4a
b
−
的平方根.
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出a ，b ，c
及x 的值．
4．（24-25 八年级上·四川资阳·期末）已知2
2
m+ 的算术平方根是2，2
8
m
n
+ −的立方根是2
−．
(1)求5
10
m
n
−
的平方根；
(2)若代数式(
)(
)
2
nx
a
mx
x
b
+
+
+
中不含
2
x 项和x 项，且
16
y
b
a =
，求y 的值．
重难点四、与立方根有关的规律探索
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观察被开方数小数点移动方向与位数，总结立方根小数点变化规律：被开方
数小数点每移动三位，立方根同向移动一位。多列举几组数值验证猜想，归纳通用规律，
直接运用规律快速计算大数的立方根。
1．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解 我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心
算3 59319 的思路如下：
①先判断位数：由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，确定3 59319 是一个两位数；
②再确定个位：由59319 的个位上的数是9，确定3 59319 的个位上的数是9；
③最后确定十位：划去59319 后面的三位319 得到数59，而
33
27
=
，
34
64
=
，由此确定3 59319 的十位
上的数是3；
综上，得3 59319
39
=
．
迁移应用
0
9
～的立方数如下表：
底数
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
立方
数
3x
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
观察上表规律可知：底数的个位上的数是3 时，立方数的个位上的数是7
(1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数
的个位上的数是6；
(2)用上述方法求3 373248 ，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以3 373248 =
______；
(3)直接写出3 571787000 与3
0.017576
−
的值．
2．（25-26 七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力
题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算
的奥秘．
(1)请按照下面的分析试一试：
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①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可知3 59319 是______位数；
②由59319 的个位上的数是9，可知3 59319 的个位上的数是______；
③如果划去59319 后面的三位319 得到59，而
33
27
=
，
34
64
=
，由此确定3 59319 的十位上的数是
______；
④因此，3 59319 = ______．
(2)求3 50653 的值．
3．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出
50653的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面
的探究：
①首先进行估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
50653 1000000
，所以
3
10
50653
100
，所
以能确定3 50653 是两位数．
②其次观察立方数：31
1
= ，
3
2
8
=
，
33
27
=
，
34
64
=
，
35
125
=
，
3
6
216
=
，
3
7
343
=
，
38
512
=
，
39
729
=
．由50653的个位上的数是3，
3
7
343
=
，确定3 50653 的个位上的数是7 ．
③接着划去50653后面的三位653得到数50，而
33
27
=
，
34
64
=
，27
50
64
，所以
27000
50653
64000
，所以
3
0
5065
4
3
30
，所以3 50653 的十位上的数是3，于是得到3 50653
37
=
，
即50653的立方根是37 ．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：1331的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算79507 的立方根，并书写详细过程．
重难点五、立方根的实际应用
多用于正方体体积问题，正方体棱长是体积的立方根。根据体积公式建立等
式，对体积开立方得到棱长。体积数值可为正数，不存在舍去负解的情况。读懂立体图形
情境，准确建立体积与立方根之间的数学模型。
1．（25-26 七年级下·陕西榆林·期中）一个正方体容器棱长为3cm，盛满水倒入另一个大正方体容器，连
续8次恰好装满，求大正方体棱长．（容器壁厚度忽略不计）
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2．（25-26 七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状
相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为1:1:8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多
少cm？
3．（25-26 七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和
人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是
3
18000cm ，升降阻车桩
的高是底面半径的6 倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式
2
π
v
r h
=
，h 是圆柱的高，
r 是底面半径，π 取3）
4．（25-26 七年级下·云南昆明·期中）一个快递包装盒是体积为0.064 立方米的正方体纸箱．快递员送货
时，装快递用的篮子是长方体形状，篮子的长为50 厘米，宽为38 厘米，高为45 厘米．这个正方体纸箱
能否完全放入篮子中？为什么？
5．（25-26 七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是
3
500π cm
3
，则它能否被装到容积为
3
1331cm 的立方
体容器中？请说明理由．（球的体积公式为
3
4π
3
V
R
=
，其中V 为球的体积，R 为球的半径）
6．（25-26 七年级上·青海西宁·期末）综合与实践
阅读：
我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图
形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，
3
2 既表示2 2 2
，也可对应“棱长为2 的正
方体的体积”；(
)
2
2
−
表示(
) (
)
2
2
−
−
，也能对应“边长为2 的正方形的面积（负号可理解为方向的抽
象）”．
理解：
（1）已知
3
a = −，计算
2
a 和
3
a 的值；并在数轴上分别表示出a、
2
a 、
3
a 对应的点（提示：先确定各数的
符号与绝对值）
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（2）观察
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
52
32
=
，…，写出2n （n 为正整数）的末位数字的规律，再
求
2025
2
的末位数字．
应用：
（3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______．
（4）已知
(
)
2
2
1
0
x
y
−
+
+
=
，求
y
x 的值，并说明该值在数轴上的位置特征．
拓展：
（5）当n 为正整数时，探究(
)
(
)
1
1
1
n
n+
−
+ −
的值；并思考：是否存在整数x，使得
(
)
4
3
1
0
x
x
+
+
−
=
？若
存在，求x 的值；若不存在，说明理由．
重难点六、平方根和立方根的综合应用
解题先分清题目要求平方根还是立方根，明确两者性质差异：负数无平方
根，但一定有立方根。审题留意限制条件，先确定字母取值范围，再分别开方、开立方，
计算完成后带回原式检验，避免混淆正负取值。
1．（25-26 七年级上·浙江杭州·期末）已知a 是27 的立方根，b 是1
9 的平方根与
1
8
−
的立方根的和，c 是
6
a
b
+
的平方．
(1)直接写出a ，b 的值，并比较a ，b ，a
b
−
的大小．
(2)求c 的所有可能值．
2．（20-21 七年级下·北京朝阳·期中）（1）如果3
12
x +
的立方根是3，求2
6
x +
的平方根；
（2）已知一个正数的两个平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，求
2019
a
的值．
3．（25-26 八年级上·湖南衡阳·阶段检测）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完
全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64
3
cm ，小明又将铁块从水中提
起，量得烧杯中的水位下降了16
9
cm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
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重难点七、程序设计与实数运算
按照程序框图给出的运算顺序分步计算，分清什么时候开平方、什么时候开
立方。注意开平方时区分算术平方根与平方根，遇到循环运算耐心逐层求解。运算遵循先
开方再乘除后加减的实数运算顺序，规范步骤。
1．（24-25 七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺
序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的
3
x = ，得到结果6；输入的
2
x = −，得出结果2．据
此判断下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果输入的x 为3
−，输出的结果为0
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x 可能是1012 或
2024
−
D．输出的结果有可能为0
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程
序．
按照上述运算程序，当
8
x = 时，y =________．
3．（25-26 八年级下·浙江台州·期中）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x 为81 时，
最终输出的数是_______．
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4．（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图：
例如：当输入x 的值为1
−时，计算结果3
4
；将输入值变为(
)
1
1 0
−
+ ＝，计算结果为6
4
；再将输入
值变为了0 1 1
+ = ，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果．
请思考下列问题．
(1)当输入x 的值为5，则输出y 的值是多少？请列式计算．
(2)当起始输入x 的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y．
5．（23-24 七年级上·浙江杭州·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在1
−，2，4，16 中选择3 个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．
(2)若输出y 的值为
3
−
，求输入x 的值．
