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重难点专题04 一次函数的应用
模块一、一次函数的实际应用
重难点一、分配方案问题
先设分配数量为自变量，结合总量关系列出一次函数解析式，再根据物资数
量、人数等现实约束，列出自变量取值不等式，求出整数可行方案。结合k 的正负判断函
数增减性，快速筛选最优分配方案，作答时完整列举全部符合条件的分配方案。
1．（25-26 八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器
材供学生使用，经调查，某公司有A，B 两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.8万元，每
套B 型健身器材售价为2 万元，经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.5万元；
每套B 型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进A，B 两种健身器材共100套，若A型健身器材买
x 套，共花费y 万元．
(1)请求出y 与x 的函数关系式；
(2)若A型健身器材的数量不超过55套，学校应如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)
0.1
140
y
x
= −
+
(2)购买A型健身器材55套，B 型健身器材45套才能使总费用最少
【难度】0.85
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【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意易得购买B 型健身器材(
)
100
x
−
套，然后可列函数解析式进行求解；
（2）根据题意易得
55
x
，然后由( )
1 及一次函数的增减性可进行求解．
【详解】（1）解：若A型健身器材买x 套，则B 型健身器材(
)
100
x
−
套，
由题意得：
(
)
(
)
1.8
0.5
2 0.7 100
0.1
140
y
x
x
x
=
−
+
−
= −
+
，
即y 与x 的函数关系式为
0.1
140
y
x
= −
+
（0
100
x
，且x 为整数）；
（2）解：由题意可知，
55
x
，由( )
1 可知，总费用为：
0.1
140
y
x
= −
+
，
y
随x 的增大而减小，
当
55
x =
时，y 有最小值，
即若A型健身器材买55套，
则B 型健身器材买(
)
100
100
55
45(
x
−
=
−
=
套) ，
答：购买A型健身器材55套，B 型健身器材45套才能使总费用最少．
2．（24-25 八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种
套餐：
A 套餐：月租0 元，市话通话费每分钟0.49 元；
B 套餐：月租费48 元，免费市话通话时间48 分钟，超出部分每分钟0.25元．
设A 套餐每月市话话费为
1y（元），B 套餐每月市话话费为
2y（元），月市话通话时间为x 分钟(
)
48
x
．
(1)分别写出
1y ，
2y 与x 的函数关系式；
(2)小明爸爸每月市话通话时间为200 分钟，请说明选择哪种套餐更合算．
【答案】(1)
(
)
1
2
0.49 ,
0.25
36
48
y
x y
x
x
=
=
+
(2)选择B 种套餐更合算
【难度】0.85
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可；
（2）结合（1），求出
200
x =
时，两种套餐的费用，再比较即可．
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本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意得：
1
0.49
y
x
=
，
(
)
(
)
2
48
0.25
48
0.25
36
48
y
x
x
x
=
+
−
=
+
；
（2）解：当
200
x =
时，
1
2
0.49
0.49 200
98
0.25
36
0.25 200
36
86
y
x
y
x
=
=
=
=
+
=
+
=
，
，
98
86
，
选择B 种套餐更合算．
3．（23-24 八年级下·河北石家庄·期中）A 县和B 县春季分别急需化肥100 吨和60 吨，C 县和D 县分别
储存化肥110 吨和50 吨，全部调配给A 县和B 县．运费如下表所示：
出发地
运费（元/吨）
目的地
C 县
D 县
A 县
40
45
B 县
35
50
(1)设从C 县运到A 县的化肥为x 吨，则从C 县运往B 县的化肥为 吨，从D 县运往A 县的化肥为 吨，从
D 县运往B 县的化肥为 吨；
(2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案．
【答案】(1)(
)
110
x
−
，(
)
100
x
−
，
(
)
(
)
50
100
50
x
x
−
−
=
−
(2)
(
)
10
5850 50
100
w
x
x
=
+
(3)最低运费6350 元；从C 县运到A 县的化肥为50 吨，从C 县运往B 县的化肥为60 吨，D 县的化肥全
运往A 县
【难度】0.85
【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次
函数的性质求最值．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求
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出自变量x 的取值范围；
（3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案．
【详解】（1）解：从C 县运往B 县的化肥：(
)
110
x
−
，
从D 县运往A 县的化肥：(
)
100
x
−
，
从D 县运往B 县的化肥：
(
)
(
)
50
100
50
x
x
−
−
=
−
；
（2）解：
(
)
(
)
(
)
40
35 110
45 100
50
50
10
5850
w
x
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
−
=
+
，
A 县的化肥全从C 县运进，则
100
x =
，
D 县的化肥全运往A 县，则
100 50
50
x =
−
=
，
所以自变量x 的取值范围是50
100
x
；
（3）解：由（2）知：
(
)
10
5850 50
100
w
x
x
=
+
，
∴w 与x 成一次函数，
10
0
k =
，w 随x 的增大而增大，
∵50
100
x
，
∴当
50
x =
时，w 最小，
10 50
5850
6350
w =
+
=
（元），
从C 县运到A 县的化肥为50 吨，从C 县运往B 县的化肥为110
50
60
−
=
吨，从D 县运往A 县的化肥为
100 50
50
−
=
吨，D 县的化肥全运往A 县．
4．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》
【素材呈现】
素材一：在对A 城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10 辆燃油车与10 辆电
动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600 克，而5 辆燃油车与6 辆电动汽车每公里的总排放量则
为1374 克．
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年
的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172 千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大
约吸收111 千克的二氧化碳．
【问题解决】
(1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？
(2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100 棵，设购买杨树a 棵，这100 棵树木一年内吸收
的二氧化碳总量为w千克．
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①求w与a 的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20 棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100
棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186 克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排
放量是74 克
(2)①
61
11100
w
a
=
+
（0
100
a
且a 为整数）；②最优的采购方案是购买20 棵杨树和80 棵冷杉
【难度】0.56
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x 克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳
排放量是y 克，列二元一次方程组求解即可；
（2）①设购买了a 棵杨树，则购买的冷杉树为(
)
100
a
−
棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w 与a
的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20 棵”列出不等式求出a 的范围，根据一次函数的性质可知
w随a 的增大而增大，从而确定采购方案．
【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x 克，一辆电动汽车每公里产生的二氧
化碳排放量是y 克，
依题意得：
10
10
2600
5
6
1374
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
186
74
x
y
=
=
．
答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186 克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是
74 克．
（2）解：①设购买了a 棵杨树，则购买的冷杉树为(
)
100
a
−
棵，
根据题意得：
(
)
172
111 100
61
11100
w
a
a
a
=
+
−
=
+
，
∴w与a 的函数关系式为：
61
11100
w
a
=
+
（0
100
a
且a 为整数）．
②依题意得：0
20
a
，
∵61
0
，
∴w随着a 的增大而增大，
∴当
20
a =
时，w的值最大，
100
20
80
−
=
（棵）．
∴最优采购方案是购买20 棵杨树和80 棵冷杉．
5．（25-26 八年级下·广东广州·期末）A 城有肥料200t ，B 城有肥料300t ．现要把这些肥料全部运往C、
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D 两乡．从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/t 和25 元/t ；从B 城往C、D 两乡运肥料的费用
分别为15 元/t 和24 元/t ．现C 乡需要肥料240t，D 乡需要肥料260t．若从A 城运往C 乡的肥料为t
x ，
总运费为y 元．
(1)用含x 的代数式表示从A 城运往D 乡的肥料；
(2)写出总运费y 与x 之间的函数关系式；并写出x 的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
【答案】(1)(
)
200
t
x
−
(2)
(
)
4
10040 0
200
y
x
x
=
+
(3)从A 城运往C 乡0t ，运往D 乡200t ，从B 城运往C 乡240t ，运往D 乡60t 时，总运费最少，最少为
10040 元
【难度】0.62
【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）用A 城的肥料减去A 城运往C 乡的肥料即可得到答案；
（2）分别表示出从B 城运往C 乡的肥料和从B 城运往D 乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即
可得到答案；
（3）根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：从A 城运往D 乡的肥料为(
)
200
t
x
−
；
（2）解：从B 城运往C 乡的肥料为(
)
240
t
x
−
，
从B 城运往D 乡的肥料为
(
)
(
)
300
240
60
t
x
x
−
−
=
+
，
∴
(
)
(
)
(
)
20
25 200
15 240
24 60
y
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
+
20
5000
25
3600 15
1440
24
=
+
−
+
−
+
+
x
x
x
x
4
10040
x
=
+
(
)
0
200
x
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（3）解：
4
10040
y
x
=
+
的一次项系数为4
0
，
y
随x 的增大而增大，
又
0
200
x
当x 取最小值0 时，y 取得最小值，最小值为0 10040
10040
+
=
（元），
此时200
200,240
240,60
60
x
x
x
−
=
−
=
+
=
，
答：从A 城运往C 乡0t ，运往D 乡200t ，从B 城运往C 乡240t ，运往D 乡60t 时，总运费最少，最少为
10040 元．
6．（25-26 八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300 吨，乙地有木材400 吨．现将两地木材全部运
往A、B 两木艺加工厂，其中A厂需木材360 吨，B 厂需木材340 吨．设从甲地运x 吨木材到A厂
（0
300
x
），从甲地运往两木艺厂的总运费为
1y 元，从乙地运往两木艺厂的总运费为
2y 元．
运费表
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含x 的式子表示）：
甲地
乙地
A厂
x
②
B 厂
①
③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出
1
2
y
y
、
与x 之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费
2y 不得超过4800 元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两
木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
【答案】(1)①300
x
−
，②360
x
−
，③40
x
+
(2)
1
10
12000(0
300)
y
x
x
= −
+
；
2
5
4200(0
300)
y
x
x
=
+
(3)甲地运往A厂：120 吨，甲地运往B 厂：180 吨；乙地运往A厂：240）吨，乙地运往B 厂：160 吨，
15600
y
=
总最小值
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【难度】0.4
【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意．
（1）设从甲地运x 吨木材到A厂，根据“甲地有木材300 吨，乙地有木材400 吨．现将两地木材全部运往
A、B 两木艺加工厂，其中A厂需木材360 吨，B 厂需木材340 吨”列代数式即可；
（2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可；
（3）根据总运费
1
2
y
y
=
+
得到y总关于x 的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由题意得，①300
x
−
，②360
x
−
，③
(
)
340
300
40
x
x
−
−
=
+
，
故答案为：①300
x
−
，②360
x
−
，③40
x
+
；
（2）解：由题意得，
1
30
40(300
)
30
12000
40
10
12000(0
300)
y
x
x
x
x
x
x
=
+
−
=
+
−
= −
+
；
2
10(360
) 15(40
)
3600 10
600 15
5
4200(0
300)
y
x
x
x
x
x
x
=
−
+
+
=
−
+
+
=
+
；
（3）解：因为
2
4800
y
，即5
4200
4800
x+
，
可得5
600
x
，
得
120
x
，
又0
300
x
，
得0
120
x
．
∵
1
2
( 10
12000)
(5
4200)
5
16200
y
y
y
x
x
x
=
+
= −
+
+
+
= −
+
总
，
一次函数
5
16200
y
x
= −
+
总
中，5
0
−
，
故y总随x 增大而减小，
∴0
120
x
内，x 取最大值120 时，y 总最小．
故调运方案为：甲地运往A厂：120 吨，甲地运往B 厂：300 120
180
−
=
吨；乙地运往A厂：
360 120
240
−
=
吨，乙地运往B 厂：40 120
160
+
=
吨，
所以
5 120 16200
15600
y
= −
+
=
总最小值
（元）．
重难点二、最大利润问题
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梳理单件利润、销售数量，总利润 = 单件利润 × 销量，据此构建一次函
数。根据进货量、售价限制确定自变量取值范围，通过k 正负判断增减性：k>0 取区间最
大值，k<0 取区间最小值，代入解析式算出最大利润，最后结合题意规范作答。
1．（25-26 七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器
材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120 元，羽毛球每筒40 元，某体育用品商场抓住机遇推出促
销活动，提供了两种优惠方案：
方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折．
若该羽毛球俱乐部需采购球拍100 副，羽毛球x 筒(
)
100
x
．方案一、二所需付款金额分别为
1y 元、
2y
元．
(1)求
1y ，
1y 与x 之间的函数表达式；
(2)当
150
x =
时，通过计算比较这两种方案哪种更划算．
【答案】(1)
1
40
8000
y
x
=
+
，
2
32
9600.
y
x
=
+
(2)
解：当
150
x =
时，
1
40 150
8000
14000
y =
+
=
，
2
32 150
9600
14400
y =
+
=
14000 14400
，
方案一更划算．
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可；
（2）把
150
x =
分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：
(
)
1
120 100
40
100
40
8000
y
x
x
=
+
−
=
+
，
2
120 0.8 100
40 0.8
32
9600.
y
x
x
=
+
=
+
（2）略
2．（25-26 八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售
,
A B 两种型号的教学设备共20 台，每台的销售成
本和售价如下表．
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型号
A
B
成本/（万元/台）
3
5
售价/（万元/台）
4
8
(1)设该公司每月销售A型号设备x 台，则每月销售B 型号设备______台，每月共获得利润_____万
元．（用含x 的代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元，则该公司如何安排购进
,
A B 两种型号教学设
备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
【答案】(1)(
)
20
x
−
；(
)
2
60
x
−
+
(2)购进A型号设备10 台，B 型号设备10 台时获利最大，最大利润为40 万元
【难度】0.85
【知识点】列代数式、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．
（1）销售A 种品牌设备x 台，B 种品牌设备(
)
20
x
−
台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即
可求出总利润；
（2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性
质得出答案即可．
【详解】（1）解：∵每月销售
,
A B 两种型号的教学设备共20 台，该公司每月销售A型号设备x 台，
∴每月销售B 型号设备为(
)
20
x
−
台，
∴每月共获得利润为(
)
(
)(
)
4
3
8
5
20
x
x
−
+
−
−
，
即(
)
2
60
x
−
+
万元，
故答案为：(
)
20
x
−
；(
)
2
60
x
−
+
．
（2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元，
∴
(
)
3
5 20
80
x
x
+
−
，
解得
10
x
，
∵2
0
−
，
∴利润随x 的增大而减小，
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∴当
10
x =
时，获得利润最大，最大利润为2 10
60
40
−
+
=
（万元），
∴20
10
x
−
=
，
∴此时，应购进A型号设备10 台，B 型号设备10 台．
3．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文
创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种
手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”
手办贵5 元．
(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批
手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原
来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低40%，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进a 套“太
乙真人”手办，b 套“哪吒”手办．
①试推算a 与b 应满足的数量关系；
②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130 套时，直接
．．写出销售完第二批手办可获
得利润的最大值．
【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15 元，每套“敖丙”手办的进价为20 元
(2)①5
6
2700
a
b
+
=
；②10860 元
【难度】0.85
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关
键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a 和b 应满足的数量关
系，再根据各数量关系找出w 关于a 的函数关系式．
（1）设每套“哪吒”手办的进价为x 元，每套“敖丙”手办的进价为y 元，利用进货总价= 进货单价进购数
量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5 元，可列出二元一次方程组，解之即可得
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出结论；
（2）①利用进货总价= 进货单价进购数量，可列出关于a，b 的二元一次方程，整理后，可得出a 与b
应满足的关系；
②设销售完第二批手办可获得的利润为w 元，利用总利润= 每套利润购进数量，可找出w 关于a 的函
数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x 元，每套“敖丙”手办的进价为y 元，
根据题意得：
260
200
7900
5
x
y
y
x
ì
+
=
ïí
-
=
ïî
，
解得
15
20
x
y
=
=
，
答：每套“哪吒”手办的进价为15 元，每套“敖丙”手办的进价为20 元；
（2）解：①第一批手办的销售额为25 260 35 200
13500
+
=
元，
第二批每套“哪吒”手办的进价为
(
)
15
1 20%
18
?
=
元，
第二批每套“敖丙”手办的进价为
(
)
20
1 40%
12
?
=
元，
根据题意得：25
18
12
13500
a
b
b
+
+
=
，
整理可得：5
6
2700
a
b
+
=
；
②设销售完第二批手办可获得的利润为w 元，
则
(
)
(
)
(
)
30
25
25 18
35 12
5
30
w
a
b
b
a
b
=
-
+
-
+
-
=
+
，
∵25
18
12
13500
a
b
b
+
+
=
，
∴30
13500 25
b
a
=
-
，
∴
5
30
5
13500 25
20
13500
w
a
b
a
a
a
=
+
=
+
-
=-
+
，
∵20
0
−
，
∴w 随a 的增大而减小，
∵a 与b 均为正整数，5
6
2700
a
b
+
=
，且
130
a
，
∴a 的最小值为132，
∴当
132
a =
时，w 取得最大值，最大值为20 132 13500
10860
-
?
=
元，
∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860 元．
4．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质
乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销
售A 、B两款牛奶贝，结合材料解决问题
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内容
材
料
一
某特产店购进A ，B两款牛奶贝进行销售，A 、B两款牛奶贝的售价分别为32 元
/袋和25 元/袋，A 款牛奶贝的进价为22 元/袋，B款牛奶贝的进货总金额y（单
位：元）与B款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
材
料
二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000 袋，其中B款
牛奶贝的进货量不低于300 袋，且不高于600 袋．
任务：
(1)求y 关于x 的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完A 、B两款牛奶贝获总利润为w （单位：元），请求出w
关于x 的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
【答案】(1)
20
y
x
=
(2)
(
)
5
10000 300
600
w
x
x
= −
+
，进B款牛奶贝300 袋，A 款牛奶贝700 袋，该特产店能获得最大利润
【难度】0.57
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据题意得A 款牛奶贝的进货量为(
)
1000
x
−
袋，根据题意列出w 与x 之间的函数关系式，根据一
次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：设函数解析式为y
kx
=
，
由图可知直线穿过原点，当
700
x =
时，
14000
y =
，
可得14000
700
k
=
，
解得
20
k =
，
所以y 关于x 的函数解析式为
20
y
x
=
；
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（2）解：由材料2 可得300
600
x
，
(
)(
)
1000
32
22
25
20
w
x
x
x
=
−
−
+
−
，
化简得
(
)
5
10000 300
600
w
x
x
= −
+
，
∵5
0
−
，
∴w随x 增大而减小，
∴当
300
x =
时，w 有最大值为8500，
答：进B款牛奶贝300 袋，A 款牛奶贝700 袋，该特产店能获得最大利润．
5．（25-26 八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100 本，这两种笔记本的进
价、售价如表：
类型
进价/（元/本）
售价/（元/本）
甲种
3
4.5
乙种
5
7
受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2 倍，设文具店购进甲种笔记本x
本，销售完这批笔记本的总利润为y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式．
(2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)
0.5
200
y
x
= −
+
(2)购进甲种笔记本34 本，乙种笔记本66 本时利润最大，最大利润为183 元
【难度】0.62
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y 与x 的函数关系式；
（2）根据乙的进货量限制求出x 的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本x 本，则购进乙种笔记本(100
)
x
−
本，
甲每本利润为4.5 3 1.5
−=
元，乙每本利润为7
5
2
−
=
元，
总利润
1.5
2(100
)
0.5
200
y
x
x
x
=
+
−
= −
+
，
因此y 与x 的函数关系式为
0.5
200
y
x
= −
+
，
（2）解：由函数
0.5
200
y
x
= −
+
可知，系数0.5
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
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∴当x 取最小值时，y 可取得最大值，
根据题意列不等式组：
100
2
0
100
x
x
x
−
，
解得100
100
3
x
，且x 为正整数，
100
33.33
3
，x 为正整数，
x
的最小取值为34，此时100
66
x
−
=
，
将
34
x =
代入函数得最大利润：
0.5 34
200
183
y = −
+
=
（元）
答：购进甲种笔记本34 本，乙种笔记本66 本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183 元．
6．（20-21 八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70 台农机，其中在A城有30 台，在B 城有40
台，近期要将其全部运往C
D
，
两乡进行耕作，C 乡需要34 台，D 乡需要36 台，由A B
，两城运往
C
D
，
两乡的运费如下表：
C 乡
D 乡
A城
250 元/台
200 元/台
B 城
150 元/台
240 元/台
设A城运往C 乡x 台，运送全部农机的总运费为W 元．
(1)求W 关于x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)如何安排运送方案，使总运费W 最小？
(3)据悉某部门将对由A城运农机到C 乡的合作社给予补贴，标准为a 元/台，目前只知a 不超过200
a
，的
具体值在研究后公布，该合作社将如何根据a 的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费= 总运费-补
贴）
【答案】(1)
140
12540(0
30)
W
x
x
=
+
(2)从A 城运往C 乡0 台，运往D 乡30 台，从B 城运往C 乡34 台，运往D 乡6 台
(3)①当0
140
a
时，从A 城运往C 乡0 台，运往D 乡30台，从B 城运往C 乡34台，运往D 乡6 台；
②当=140
a
时，各种方案费用一样多；③当140
200
a
时，从A 城运往C 乡30台，运往D 乡0 台，
从B 城运往C 乡4 台，运往D 乡36台．
【难度】0.4
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
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【分析】本题考查了一次函数的应用， 解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质．
（1）根据总费用= A城运往C 乡的费用+ A城运往D 乡的费用+ B 城运往C 乡的费用+ B 城运往D 乡的费
用，即可求解；
（2）根据一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意求出
(140
)
12540
W
a x
=
−
+
，分情况讨论：①当0
140
a
时，根据一次函数的性质求
解即可；②当=140
a
时，
=12540
W
元，各种方案费用一样多，③当140
200
a
时，根据一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设A城运往C 乡x 台，则A城运往D 乡(
)
30
x
−
台，B 城运往C 乡(
)
34
x
−
台，B 城运
往D乡
(
)
(
)
36
30
6
x
x
−
−
=
+
台，
∴
250
200(30
) 150(34
)
240(6
)
W
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
+
=140
12540(0
30)
x
x
+
；
（2）解：∵
140
12540(0
30)
W
x
x
=
+
中140
0
，
∴W 随x 的增大而增大，
又0
30
x
，
∴当
0
x =
时，W 取最小值，
此时从A 城运往C 乡0 台，运往D 乡30 台，从B 城运往C 乡34 台，运往D 乡6 台．
（3）解：
(250
)
200(30
) 150(34
)
240(6+ )
W
a x
x
x
x
=
−
+
−
+
−
+
=(140
)
12540
a x
−
+
，
①当0
140
a
时，140
0
a
−
，
∴W 随x 的增大而增大，
又0
30
x
，
当=0
x
时，W 取最小值，即总费用最小，
此时，从A 城运往C 乡0 台，运往D 乡30台，从B 城运往C 乡34台，运往D乡6 台；
②当=140
a
时，
=12540
W
元，
∴各种方案费用一样多，
③当140
200
a
时，140
0
a
−
，
∴W 随x 的增大而减小，
又0
30
x
，
∴ 当x=30时，W 取最小值，即总费用最小，
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此时从A 城运往C 乡30台，运往D 乡0 台，从B 城运往C 乡4 台，运往D 乡36台．
重难点三、行程问题
梳理路程、速度、时间三者关系，分段分析匀速、停留、折返等运动状态，
分阶段列出一次函数。图像题型先读懂横纵坐标代表含义，拐点对应行程状态变化；利用
解析式计算相遇时间、相距距离，计算时区分相向、同向行驶，避免路程关系混淆。
1．（25-26 八年级下·重庆·期中）问界M6 纯电版汽车于2026 年4 月22 日正式发售，其中续航600km版
本的CLTC 综合续航里程约为665km．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于130km（对应
电量约20%）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速100km/ h 匀速行驶时，剩余续
航里程y（km）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为665km．
(1)求y 与x 之间的函数解析式；
(2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（130km）
【答案】(1)
(
)
100
665 0
6.65
y
x
x
= −
+
(2)行驶5.35小时后，剩余续航达到充电提醒标准．
【难度】0.85
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【详解】（1）解：设函数解析式为：y
kx
b
=
+
，
当
0
x =
时，
665
y =
，代入得
665
b =
，
∵汽车以平均时速100km/ h 匀速行驶，x 小时行驶的路程为100 km
x
，
∴函数解析式为：
(
)
100
665 0
6.65
y
x
x
= −
+
；
（2）解：令
130
y =
，代入解析式：130
100
665
x
= −
+
，
解得：
5.35
x =
，
所以行驶5.35小时后，剩余续航达到充电提醒标准．
2．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加
2m / s ．
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(1)写出滚动的时间( )
t s 和小球的速度(
)
/
v m s 之间的函数关系式；
(2)当小球滚动了3.5s 时，其速度是多少？
【答案】(1)
2
v
t
=
(2) 7m/s
【难度】0.95
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2 ）把
3.5
t =
代入（1）所得函数关系式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加2m/s，
∴
0
2
2
v
t
t
=
+
=
，
即
2
v
t
=
；
（2）解：当
3.5
t =
时，代入
2
v
t
=
，得
2 3.5
7
v =
=
，
答：当小球滚动了3.5s 时，其速度是7m/s．
3．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放
在A点和B 点，然后让它们同时出发，沿BA方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离
( )
s m 与它们行走的时间( )
t s 之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的( )
s m 与( )
t s 的部分数据：
行走的时间
( )s
t
0
1
2
3
…
甲、乙两个机
器人的距离
( )
s m
2
3
4
5
…
(1)求两个机器人的距离( )
s m 与它们行走的时间( )
t s 之间的函数表达式；
(2)已知两个机器人已行走3s ，要使它们的距离再增加10m，则两个机器人还应继续向前走多久？
【答案】(1)
2
s
t
= +
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(2)两个机器人还应继续向前走10s ．
【难度】0.89
【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设函数解析式为：
(
)
0
s
kt
b k
=
+
，根据待定系数法，即可；
（2）由表格可得，走了3s 的距离为5m ，要使它们的距离再增加10m，得到两个机器人的距离，求出总
的时间，用总时间减去3s ，即可．
【详解】（1）解：设两个机器人的距离( )
s m 与它们行走的时间( )
t s 之间的函数表达式为：
(
)
0
s
kt
b k
=
+
把
0
t =
，
2
s =
；
1
t = ，
3
s = 代入
(
)
0
s
kt
b k
=
+
，
∴
2
3
b
k
b
=
=
+
，
解得：
2
1
b
k
=
=
，
∴函数表达式为：
2
s
t
= + ．
（2）解：由表格可得，当
3
t =
时，两个机器人的距离为：
5
s = ，要使它们的距离再增加10m，
∴两个机器人的距离为：
(
)
10
5
15 m
+
=
；
∴当
15
s =
时，15
2
t
= +
，
解得：
( )
13 s
t =
，
∴还应继续向前走：
( )
13
3
10 s
−
=
．
答：两个机器人还应继续向前走10s ．
4．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”
活动．他早上9:00从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y 与时间x 的关系，他9:00离开家，
14:40回到家，请你根据这个折线图回答下列问题：
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(1)刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？
(2)刘伟在9:00 9:30
−
和10:00 10:30
−
的平均速度各是多少？
(3)回家路上，何时刘伟距家2km？
【答案】(1)18千米
(2)20 （千米/小时），16（千米/小时）
(3)14:30
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）观察图象，折线的最高点的纵坐标即是刘伟家到北龙湖湿地公园的距离；
（2）分别求出刘伟在9:00 9:30
−
和10:00 10:30
−
的路程和时间，利用平均速度公式即可求解；
（3）观察图象，回家路上，14:00刘伟离家的距离为8千米，则14:00 14:40
−
内某个时间点，刘伟距家
2km，计算出14:00 14:40
−
的平均速度及行驶2km所需时间，由14:40 向前推算出刘伟距家2km的时
间．
【详解】（1）解：由图象可知，折线的最高点对应的纵坐标为18，则刘伟家距离北龙湖湿地公园有18千
米，
答：刘伟家距离北龙湖湿地公园有18千米；
（2）解：9:00 9:30
−
时间段的平均速度(
)
30
10
0
20
60
=
−
=
（千米/小时），
10:00 10:30
−
时间段的平均速度(
)
30
18 10
16
60
=
−
=
（千米/小时），
答：刘伟在9:00 9:30
−
的平均速度为20 （千米/小时），10:00 10:30
−
的平均速度为16（千米/小时）；
（3）解：由图象可知，回家路上，14:00刘伟离家的距离为8千米，则14:00 14:40
−
内某个时间点，刘
伟距家2km，
14:00 14:40
−
时间段的平均速度(
)
40
8
0
12
60
=
−
=
（千米/小时），
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行驶最后2km所需时间
(
)
(
)
1
2 12
10
6
=
=
=
小时
分钟，
∴回家路上，14:30刘伟距家2km．
5．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）图象（折线ABCDE ）描述了一辆汽车在某一笔直公路上的一次
往返行驶过程，如图是汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t （小时）之间的关系图象，请根据图
象解答下列问题：
(1)从图象上看，这辆汽车是从A、B 、C 、D 、E 中的哪个位置出发的？
(2)在这个问题中，自变量和因变量分别是什么？
(3)出发地与目的地之间的距离为 千米；
(4)在去往目的地的过程中，因故停留了多长时间？
(5)求汽车返回时的速度．
【答案】(1)从图象看，这辆汽车是从A出发的．
(2)自变量是行驶的时间，因变量是离开出发地的距离．
(3)出发地与目的地之间的距离是120千米．
(4)在去往目的地的过程中，因故停留了0.5小时．
(5)汽车返回时的平均速度是80千米/小时．
【难度】0.62
【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】利用函数图象（s
t
−折线图）解决实际问题，理解图象中的点的坐标具体含义，横坐标代表时
间，纵坐标代表离出发地的距离，
（1）A离出发地的距离
0
s =
（千米），行驶时间
0
t =
（小时），由此可知汽车是从A出发；
（2）在函数图象（s
t
−折线图）中，随着t 的变化，s发生了变化，t 是自变量，s 是因变量；
（3）汽车到达D 时，汽车离出发地的距离达到最大值，此时离出发点A的距离为120千米，即为出发地
与目的地之间的距离；
（4）当1.5
2
t
时，折线BC 段，汽车离出发地的距离保持不变，因故停留，计算出停留时间即可求
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解；
（5）折线DE 段，汽车离出发地的距离由最大值开始减小至0 ，平均速度=总路程÷总时间，即可求解．
【详解】（1）解：由图象可知，A离出发地的距离
0
s =
（千米），行驶时间
0
t =
（小时）
∴这辆汽车是从A出发的．
（2）解：由图象可知，自变量是行驶时间，因变量是汽车离出发地的距离．
（3）解：由图象可知，当汽车到达D 时，汽车离出发地的距离达到最大值，此时离出发点A的距离为
120千米，即出发地与目的地之间的距离是120千米．
（4）解：由图象可知，当1.5
2
t
时，折线BC 段，汽车离出发地的距离保持不变，因故停留了
2 1.5
0.5
−
=
（小时）．
（5）解：当3
4.5
t
时，折线DE 段，汽车离出发地的距离由最大值开始减小至0 ，此段汽车由目的地
返回出发地，
返回所用时间
4.5 3
1.5
t =
−=
（小时），
返回的路程
120
0
120
s =
−
=
（千米），
返回的平均速度
120
80
1.5
s
v
t
=
=
=
（千米/小时）
答：汽车返回时的平均速度是80千米/小时．
6．（25-26 七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约500千米．小张乘车从成都出发，先以
75km/h 行驶2 小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用9小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发
0.5小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息1小时后按原速原路
返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离(
)
km
s
随行驶时间( )
t h 变化的图象，请回答下列问题：
(1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米/ 时；小李的速度为________千米/ 时；
(2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？
(3)已知小张和小李的汽车均装载AI 智能通讯设备，设备最大通讯距离为10千米．试求小张从出发到停止
行驶期间，两人能保持通讯的总时间．
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【答案】(1)50，100；
(2)10
3 ；
(3)11
15 ．
【难度】0.42
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数
的实际应用)
【分析】( )
1 先求出2 小时行驶路程为150km，再通过“速度= 路程时间”即可求解；
( )
2 根据题意得当2
4
t
时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可；
( )
3 分①当0
0.5
t
，0
2
t
时，②当2
4
t
时，③当4
5
t
时，④当5
8.5
t
时，⑤当
8.5
9
t
时，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵小张乘车从成都出发，先以75km/h 行驶2 小时，
∴2 小时行驶路程为
(
)
75 2
150 km
=
，
∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为500 150
350
50
9
2
7
−
=
=
−
（千米/ 时）；
小李的速度为500 150
350
100
4
0.5
3.5
−
=
=
−
（千米/ 时）；
（2）解：如图，当2
4
t
时，小张第一次与小李相遇，
设AB 解析式为
1
1
1
s
k t
b
=
+
，把(
)
0.5,500 ，(
)
4,150 代入得，
1
1
1
1
0.5
500
4
150
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
1
1
100
550
k
b
= −
=
，
∴AB 解析式为
1
100
550
s
t
= −
+
，
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设CD解析式为
2
2
2
s
k t
b
=
+
，把(
)
9,500 ，(
)
2,150 代入得，
2
2
2
2
9
500
2
150
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
2
2
50
50
k
b
=
=
，
∴CD解析式为
2
50
50
s
t
=
+
，
∴小张第一次与小李相遇时100
550
50
50
t
t
−
+
=
+
，
解得
10
3
t =
，
答：小张出发10
3 小时后，第一次与小李相遇；
（3）解：如图，
当5
8.5
x
时，设小李行驶过程中与成都的距离
(
)
1 km
s
与行驶时间( )
t h 的关系式为
2
3
3
s
k t
b
=
+
，
∴
3
3
3
3
5
150
8.5
500
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
3
3
100
350
k
b
=
= −
，
∴当5
8.5
x
时，小李行驶过程中与成都的距离
(
)
1 km
s
与行驶时间( )
t h 的关系式为
2
100
350
s
t
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
500 0
0.5
550 100
0.5
4
150 4
5
100
350 5
8.5
500 8.5
9
t
t
t
s
t
t
t
t
−
=
−
，
当0
2
x
时，设小张行驶过程中与成都的距离
(
)
2 km
s
与行驶时间( )
t h 的关系式为
2
4
s
k t
=
，
∴
4
150
2k
=
，解得
4
75
k =
，
∴小张行驶过程中与成都的距离
(
)
2 km
s
与行驶时间( )
t h 的关系式为
2
75
s
t
=
，
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∴
(
)
(
)
2
75 0
2
50
50 2
9
t
t
s
t
t
=
+
，
∵设备最大通讯距离为10千米，
∴
1
2
10
s
s
−
=
，
∴①当0
0.5
t
，0
2
t
时，
500
75
10
t
−
=
，
∴500 75
10
t
−
=
或500 75
10
t
−
= −
，
解得
98
15
t =
（舍去）或
17
5
t =
（舍去）；
②当2
4
t
时，
(
)
50
50
550 100
10
t
t
+
−
−
=
，
∴150
500
10
t −
=
或150
500
10
t −
= −
，
解得
17
5
t =
或
49
15
t =
，
∴通讯时间为17
49
2
5
15
15
−
=
（小时）；
③当4
5
t
时，
(
)
150
50
50
10
t
−
+
=
，
100
50
10
t
−
=
，
100 50
10
t
−
=
或100 50
10
t
−
= −
，
解得
9
5
t =
（舍去）或
11
5
t =
（舍去）；
④当5
8.5
t
时，
(
)
50
50
100
350
10
t
t
+
−
−
=
，
∴50
400
10
t −
=
或50
400
10
t −
= −
，
解得
39
5
t =
或
41
5
t =
，
∴通讯时间为41
39
2
5
5
5
−
=
（小时）；
⑤当8.5
9
t
时，
50
50
500
10
t +
−
=
，
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∴50
450
10
t −
=
或50
450
10
t −
= −
，
解得
46
5
t =
或
44
5
t =
，
∵
44
46
8.5
9
5
5
，
∴
46
5
t =
舍去，
∴通讯时间为
44
1
9
5
5
−
=
（小时）；
∴通讯总时间为2
2
1
11
15
5
5
15
+
+
=
（小时）；
答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为11
15 小时．
重难点四、梯度计价问题
按照收费标准划分自变量区间，每个区间单独建立一次函数。分清起步价、
分段单价，不可直接套用单一解析式。解题先判断数值落在哪一段区间，选用对应式子计
算，作答标注区间适用范围，防止跨段计算失误。
1．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋
的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段
（19:00:00
23:00:00
−
），3 公里以内（含3 公里）的起步价为8.6元；超过3 公里的部分，按1.2元/公
里的标准收取里程费．
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(1)当行程超过3 公里时，判断实际打车费用y 元是否是里程x 公里的函数，并用含x 的代数式表示y；
(2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为4.2 公里，那么打车费用是多少元？
【答案】(1)y 是x 的函数，
1.2
5
y
x
=
+
(2)10.04元
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值、梯度计价问题
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意，得
(
)
1.2
3
8.6
y
x
=
−
+
，化简为
1.2
5
y
x
=
+
即可求解；
（2）根据题意，当
4.2
x =
时，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：由题可得，当里程x 超过3 公里时，其中3 公里以内（含3 公里）的起步价为8.6
元；超过3 公里的部分里程为(
)
3
x−
公里，费用为
(
)
1.2
3
x −
元，
则实际打车费用
(
)
1.2
3
8.6
y
x
=
−
+
，即
1.2
5
y
x
=
+
，
对于每一个超过3 公里的x 值，都有唯一的y 值与之对应，
y 是x 的函数，
1.2
5
y
x
=
+
；
（2）当
4.2
x =
时，
1.2 4.2
5
10.04
y =
+
=
，
则打车费用是10.04元．
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2．（25-26 八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过3km 时，均按起步价m 元
收费；当里程超过3km 时，超过部分按n 元/km 收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与
行驶里程之间的关系如下表：
行驶里程(
)
km
x
3
5
7
车费y （元）
11
17
23
设行驶里程为
(
)
km
3
x
x
，出租车的车费为y 元，y 是x 的一次函数．
(1)m = ________，n =________；
(2)求y 与x 之间的函数表达式；
(3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为16km，求这位乘客需付的车费．
【答案】(1)11，3
(2)
3
2
y
x
=
+
(3)乘客需付车费50 元
【难度】0.85
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键：
（1）根据题意结合表格信息，得到
11
m =
，
(
)
11
5
3
17
n
+
−
=
，即可得出结果；
（2）根据收费方式得到
(
)
3
y
n x
m
=
−
+
，把（1）中
,
m n的数值代入即可；
（3）求出
16
x =
时的函数值即可．
【详解】（1）解：由题意，
3
x = 时，
11
m =
；
当
5
x = 时，
(
)
11
5
3
17
y
n
=
+
−
=
，解得
3
n = ；
故答案为：11，3；
（2）解：由（1）可知：
(
)
11 3
3
3
2
y
x
x
=
+
−
=
+
；
（3）解：∵
3
2
y
x
=
+
，
∴当
16
x =
时，
3 16
2
50
y =
+
=
．
答：当行驶里程为16km时，该乘客需付车费50 元．
3．（25-26 八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行
阶梯收费．具体情况如表：
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每月用水量
单价
不超过15 立方米
每立方米2.4 元
超过15 立方米不超过30 立方米部分
每立方米3.4 元
超出30 立方米部分
每立方米7.2 元
(1)若设居民每月的用水量为x 立方米，每月所需的水费为y 元．请写出超过15 立方米不超过30 立方米部
分、超出30 立方米部分y 与x 的函数关系式；
(2)若小丽家6 月份水费70 元，那么小丽家用水多少立方米？
【答案】(1)超过15 立方米不超过30 立方米部分，
3.4
15
y
x
=
−
；超出30 立方米部分，
7.2
129
y
x
=
−
(2)小丽家用水25 立方米
【难度】0.85
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据（1）可把
70
y =
代入
3.4
15
y
x
=
−
进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
超过15 立方米不超过30 立方米部分：
(
)
2.4 15
3.4
15
3.4
15
y
x
x
=
+
−
=
−
；
超出30 立方米部分：
(
)
2.4 15
3.4 15
7.2
30
7.2
129
y
x
x
=
+
+
−
=
−
；
（2）解：由（1）可知：
把
70
y =
代入
3.4
15
y
x
=
−
得：3.4
15
70
x−
=
，
解得：
25
x =
；
答：小丽家用水25 立方米．
4．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下
表是根据户年用水量进行分档计费的标准：
户年用水量（
3
m ）
水费单价（元/
3
m ）
不超过
3
150 m 的部分
k
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超过
3
150 m 的部分
6
已知A 户去年的户年用水量为
3
90 m ，去年整年的水费是360元，设户年用水量为x （
3
m ），整年的水费
为y （元）．
(1) k 的值为________；
(2)求y 关于x 的函数解析式；
(3)已知B 户去年整年的水费是660 元，求B 户去年的户年用水量．
【答案】(1)4
(2)
(
)
(
)
4
0
150
6
300
150
x
x
y
x
x
=
−
(3)
3
160 m
【难度】0.62
【知识点】梯度计价问题
【分析】（1）根据A 户去年的户年用水量为
3
90 m 小于
3
150 m 进行计算即可；
（2）分情况讨论进行求解即可；
（3）先算出B 户去年的户年用水量大于
3
150 m ，据此计算即可．
【详解】（1）解：∵A 户去年的户年用水量为
3
3
90 m
150 m
，
∴90
360
k =
，解得
4
k =
；
（2）解：当0
150
x
时，
y 关于x 的函数解析式为
4
y
x
=
，
当
150
x
时，y 关于x 的函数解析式为
(
)
150 4
6
150
6
300
y
x
x
=
+
−
=
−
，
y
关于x 的函数解析式为
(
)
(
)
4
0
150
6
300
150
x
x
y
x
x
=
−
；
（3）解：当
150
x =
时，
4 150
600
660
y =
=
，
B
户去年的户年用水量大于
3
150 m ，
将
660
y =
代入
6
300
y
x
=
−
，得660
6
300
x
=
−
，
解得
160
x =
．
答：B 户去年的户年用水量为
3
160 m ．
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5．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费
标准：
计费档
户月用电量x/
（kW·h）
单价/[元/（kW·h）]
第一档
0
170
x
0.5
第二档
170
260
x
0.6
第三档
260
x
0.8
(1)当170
260
x
时，写出电费y（单位：元）与用电量x 之间的表达式；
(2)某户12 月的电费是127 元，求该户12 月的用电量．
【答案】(1)
0.6
17
y
x
=
−
(2)某户12 月的电费是127 元，该户12 月的用电量为240kW·h．
【难度】0.62
【知识点】梯度计价问题
【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170 千瓦时按单价0.5 元计算，超出170 千瓦时的部分
(
)
170
x −
按单价0.6 元计算，总电费为两部分电费相加；
（2）先算出各档位电费区间，判断127 元落在第几档，再代入对应解析式解方程．
【详解】（1）解：由题意得，当170
260
x
时，
(
)
0.5 170
0.6
170
0.6
17
y
x
x
=
+
−
=
−
．
（2）解：
(
)
170 0.5
85 127,170 0.5
0.6
260 170
85
54
139 127
=
+
−
=
+
=
，
170
260
x
，
设用电量为xkW·h，
由题意得，
(
)
170 0.5
0.6
170
127
x
+
−
=
，
解得
240
x =
，
则该户12 月的用电量为240kW·h．
6．（25-26 八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C 三
种年卡套餐的收费标准（如下表）．
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套餐
年卡费用/元
套餐内游泳次数/次
套餐外单次收费/元
A
600
20
a
B
1200
50
40
C
1800
不限次
设年游泳次数为x （单位：次），
0
x
，根据表格回答：
(1)请写出B 种年卡套餐的费用y （单位：元）关于游泳次数x （单位：次）的函数解析式；
(2)若
40
a =
，请给出游泳费用最省方案；
(3)当游泳次数为m 时，A 种年卡套餐和B 种年卡套餐的费用相同，若m 的值存在两个，请直接写出a 的
取值范围_______．
【答案】(1)
(
)
(
)
1200 0
50
40
800
50
x
y
x
x
−
=
，
(2)当0
35
x
时，选A套餐最省钱；当
35
x =
时，选A套餐和B 套餐费用相同，一样省钱；当35
65
x
时，选B 套餐最省钱；当
65
x =
时，选B 套餐和C 套餐费用相同，一样省钱；当
65
x
时，选C 套餐最省
钱
(3)20
40
a
【难度】0.36
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、梯度计价问题
【分析】（1）根据B 种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可；
（2）利用A、B、C 种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可．
（3）当游泳次数为m 时，A 种年卡套餐和B 种年卡套餐的费用相同， m 的值存在两个，可得两个函数
图象有两个交点，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：B 种年卡套餐的费用y （单位：元）关于游泳次数x （单位：次）的函数解析式为：
当0
50
x
时，
1200
y =
，
1200
40
50
40
800
50
y
x
x
x
．
（2）解：当
40
a =
时，
A 种年卡套餐的费用y （单位：元）关于游泳次数x （单位：次）的函数解析式为：
当0
20
x
时，
600
y =
，
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600
40
20
40
200
20
y
x
x
x
，
∵B 种年卡套餐的费用为
(
)
(
)
1200 0
50
40
800
50
x
y
x
x
−
=
，
C 种年卡套餐的费用为
1800
y =
，
∴当0
20
x
时，此时A 种年卡套餐的费用最低，
当40
200
1200
x
，解得：
35
x =
，
∴当0
35
x
时，此时A 种年卡套餐的费用最低，
当
35
x =
时，选A套餐和B 套餐费用相同，一样省钱；
当40
800
1800
x
，解得：
65
x =
，
∴当35
65
x
时，选B 套餐最省钱；
当
65
x =
时，选B 套餐和C 套餐费用相同，一样省钱；
当
65
x
时，选C 套餐最省钱．
（3）解：∵A 种年卡套餐的费用y （单位：元）为：
当0
20
x
时，
600
y =
，
600
20
600
20
20
y
a x
ax
a x
，
B 种年卡套餐的费用为
(
)
(
)
1200 0
50
40
800
50
x
y
x
x
−
=
，
当游泳次数为m 时，A 种年卡套餐和B 种年卡套餐的费用相同， m 的值存在两个，
∴两个函数图象有两个交点，
∴当函数
600
20
20
y
ax
a x
的图象与函数
(
)
(
)
1200 0
50
40
800
50
x
y
x
x
−
=
中的
40
800
50
y
x
x
图象平
行时只有一个交点，
此时
40
a =
，
当函数
600
20
20
y
ax
a x
的图象过
50,1200 时，两函数图象只有一个交点，
此时50
600
20
1200
a
a
，
解得：
20
a =
，
∴游泳次数为m 时，A 种年卡套餐和B 种年卡套餐的费用相同，m 的值存在两个，a 的取值范围为：
20
40
a
．
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重难点五、其他问题
包含水费、话费、工程施工等分段计费题型，分区间列出对应一次函数。先
划分自变量分界区间，分别写出每段解析式，标注各段取值范围；读取图像关键点坐标，
代入解析式求解收费标准，计算总费用时找准自变量所属区间，避免套用错函数式。
1．（2026·山西长治·三模）数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落
总数(
)
/
y CFU ml 与实验时间x （天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则y 与x 之间的
函数关系式为（ ）
实验时间x /天
．．．
2
3
4
．．．
菌落总数
(
)
/
y CFU ml
．．．
18
21
24
．．．
A．
3
12
y
x
=
+
B．
3
12
y
x
= −
+
C．
3
18
y
x
=
+
D．
5
12
y
x
=
+
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题已知y 与x 为一次函数关系，利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标代入即可求出函数
解析式．
【详解】解：设y 与x 的函数关系式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，把点(
)
2,18 和(
)
3,21 代入得到，
2
18
3
21
k
b
k
b
+
=
+
=
解得
3
12
k
b
=
=
y
与x 之间的函数关系式为
3
12
y
x
=
+
．
2．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温
度为20 C
时，100g 水中溶解31.6g 的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量y
（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______．
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【答案】
0.316
y
x
=
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据题意可知溶质质量y 与溶剂质量x 成正比例关系，因此设正比例函数解析式，代入已知对应
值求解系数即可得到函数关系式．
【详解】解：溶质质量y 与溶剂质量x 成正比例关系，
设函数解析式为
(
)
0
y
kx k
=
，
将
100
x =
，
31.6
y =
代入解析式得：
31.6
100k
=
，
解得，
0.316
k =
，
函数关系式为
0.316
y
x
=
．
3．（25-26 八年级下·山西吕梁·期末）如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽
A 下面垫了一块厚度为h 的木板（木板放在地面上），水槽B 直接放在地面上．初始时，水槽A 内水深
12cm（从槽底算起），水槽B 内无水．两个水槽底部用一根U 型管连通，水会从水槽A 流向水槽B，直
到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用
1y 表示t 时刻水槽A 中从槽底算起的水深（单位：
cm ），
2y 表示水槽B 中从槽底算起的水深（单位：cm ）．
1y 与
2y 随时间t （单位：s）的变化关系如图
所示．已知在
2.5s
t =
时，水流刚好停止，则木板的高度为___________cm ．
【答案】3
【难度】0.4
【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据题意，设
1
1
y
k t
b
=
+ ，
2
2y
k t
=
，根据题意可得，将点(
)
0,12 代入
1
1
y
k t
b
=
+ 可得，
12
b =
，
即
1
1
12
y
k t
=
+
，由题意可得，当
2s
t =
时，
1
2
y
y
=
，即
1
2
2
12
2
k
k
+
=
，化简可得
2
1
6
k
k
−
=
，设木板高度为
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cm
d
，由题意可得，当
2.5s
t =
时，
1
2
y
d
y
+
=
，即
1
2
2.5
12
2.5
k
d
k
+
+
=
，化简求解即可．
【详解】解：根据函数图像，可设
1
1
y
k t
b
=
+ ，
2
2y
k t
=
，
根据题意可得，将点(
)
0,12 代入
1
1
y
k t
b
=
+ 可得，
12
b =
，即
1
1
12
y
k t
=
+
，
由题意可得，当
2s
t =
时，
1
2
y
y
=
，可得
1
2
2
12
2
k
k
+
=
，
化简可得
2
1
6
k
k
−
=
，
设木板高度为cm
d
，
根据“在
2.5s
t =
时，水流刚好停止”可得，当
2.5s
t =
时，
1
2
y
d
y
+
=
，得到
1
2
2.5
12
2.5
k
d
k
+
+
=
，
从而得到，
(
)
2
1
2
1
2.5
2.5
12
2.5
12
d
k
k
k
k
=
−
−
=
−
−
①，
将
2
1
6
k
k
−
=
代入①式可得，
(
)
2.5 6 12
3 cm
d =
−
=
，
即木板高度为3cm ．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从图像中获取信息，表示出
2
1
k
k
，的关系式．
4．（25-26 八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13 元的价格购进某商品100 件，售出部分商品后进
行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66 件时，销售
金额为多少？
【答案】1125 元
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【详解】解：由图象，当
40
x
时，设函数解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
把点(
)
40,800 和点(
)
80,1300 代入可得：
800
40
1300
80
k
b
k
b
=
+
=
+
，解得
25
2
300
k
b
=
=
，
25
300
2
y
x
=
+
，
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∴当
66
x =
时，
25 66
300
1125
2
y =
+
=
．
答：当销售量为66 件时，销售金额为1125 元.
5．（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放
共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩
余电量y （单位：% ）是奔跑时间x （单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围）
(2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为60% 时，它此时奔跑了多少分钟？
【答案】(1)
5
100
4
y
x
= −
+
(2)当该台机器人剩余电量为60% 时，它此时奔跑了32 分钟．
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，再利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）求出当
60
y =
时x 的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
∵点(
)
0,100 ，(
)
40,50 在该函数图象上，
∴
40
50
100
k
b
b
+
=
=
，
解得
5
4
100
k
b
−
=
=
，
∴y 与x 之间的函数关系式为
5
100
4
y
x
= −
+
；
（2）解：当
60
y =
时，
5
60
100
4 x
= −
+
，
解得
32
x =
．
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答：当该台机器人剩余电量为60% 时，它此时奔跑了32 分钟．
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始
4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的
进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所
示．
(1)当0
4
x
时，求y 关于x 的函数解析式；
(2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？
(3)多少分钟时该容器内的水恰好为10 升．
【答案】(1)
5
y
x
=
(2)进水管每分钟的进水量为5L ，出水管每分钟的出水量为15 L
4
；
(3)2 分钟或52
3 分钟时该容器内的水恰好为10 升．
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y
kx
=
，将(
)
4,20 代入计算即可；
（2）根据函数图象即可求出进水管每分钟的进水量，设出水管每分钟的出水量为L
a ，由函数图象列方
程求解即可；
（3）结合（2）可知水管放完水的时间为8分钟，分两种情况作答即可．
【详解】（1）解：设y 关于x 的函数解析式为y
kx
=
，
将(
)
4,20 代入得20
4k
=
，
解得：
5
k =
，
∴y 关于x 的函数解析式为
5
y
x
=
；
（2）解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：
( )
20
4
5 L
=
，
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设出水管每分钟的出水量为L
a ，由函数图象得，
(
)
20
8 5
30
a
+
−
=
，
解得：
15
4
a =
；
（3）解：∵出水管每分钟的出水量为15 L
4
，
关闭进水管后出水管放完水的时间为：
15
30
8
4
= （分钟），
当该容器内的水恰好为10L时：
情况一：进水时：
5
10
y
x
=
=
解得：
2
x =
（分钟）；
情况二：关闭进水管后：
(
) 15
52
12
30 10
4
3
+
−
=
（分钟）；
综上所述，2 分钟或52
3 分钟时该容器内的水恰好为10 升．
7．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，
若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x 天累计生产服装的数量为y 件，y 与x 之间的关
系如图所示．
(1)这批服装一共有________件；
(2)求增加工人后y 与x 的函数表达式；
(3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70 元，从
第6 天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去
成本）
【答案】(1)800
(2)
(
)
60
100 5
15
y
x
x
=
−
(3)前10 天
【难度】0.52
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【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800 件；
（2）设增加工人后y 与x 的函数表达式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，把
(
)
5,200
A
、(
)
15,800
B
代入解析式得到二
元一次方程组，解方程组即可；
（3）设前x 天的总利润恰好为13500 元，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据图象可知，这批服装一共有800 件；
（2）解：设增加工人后y 与x 的函数表达式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
将
(
)
5,200
A
、(
)
15,800
B
代入，得
5
200
15
800
m
n
m
n
+
=
+
=
，
解得
60
100
m
n
=
= −
，
∴
(
)
60
100 5
15
y
x
x
=
−
；
（3）解：设前x 天的总利润恰好为13500 元．
当
5
x
时，(
)
200
100
70
6000
13500
5 x
−
，不符合题意；
当
5
x 时，
(
)(
)
6000
60
100
200 100
70
5
13500
x
+
−
−
−
−
=
，
解得
10
x =
，
答：前10 天的总利润恰好为13500 元．
8．（25-26 八年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】
为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地ABCD，如图，
90
ABC
=
，
45
BCD
=
，
4m
AB =
，
6m
BC =
，
2m
AD =
，AD
BC
．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由
班长手持标杆从点A 出发，沿着折线A
B
C
→
→
行走，到达点C 后停止．标杆的位置记为点P，PCD
即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：
2
m ）．
(1)当班长走到B 点时，划定的作业分区面积y 是多少?
【深入研究】
(2)求班长在行走过程中，作业分区面积y 与行走路程x 的函数关系式；
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【问题解决】
(3)若老师要求作业分区面积恰好为
2
8m ，求班长的行走路程x．
【答案】(1)12
(2)
2
4(0
4)
y
x
x
=
+
或
2
20(4
10)
y
x
x
= −
+
；
(3)
2
x =
或
6
x =
【难度】0.66
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据三角形面积公式即可；
（2）分两种情况，根据割补法和三角形面积公式求解即可；
（3）把
8
y =
代入函数表达式求解即可．
【详解】（1）解：当班长行走到点B 时，
1
1
6 4
12
2
2
PCD
y
S
BC
AB
=
=
=
=
．
（2）解：①当班长在AB 边上行走时，路程为x，则AP
x
=
，
4
BP
x
=
−
，0
4
x
．
∴
PCD
APD
PBC
ABCD
y
S
S
S
S
=
=
−
−
梯形
1
1
1
(2
6) 4
2
6 (4
)
2
2
2
x
x
=
+
−
−
−
16
12
3
x
x
=
−−
+
2
4
x
=
+
函数关系式：
2
4(0
4)
y
x
x
=
+
②当班长在BC 边上行走时，
路程
4
x
BP
=
+
，即
4
BP
x
=
−
，
∴
6
(
4)
10
,4
10
PC
x
x
x
=
−
−
=
−
，
∴
1
1 (10
) 4
2
20
2
2
y
PC
AB
x
x
=
=
−
= −
+
∴函数关系式：
2
20(4
10)
y
x
x
= −
+
（3）解：当0
4
x
时，2
4
8
x +
= ，解得
2
x =
，
当4
10
x
时，2
20
8
x
−
+
=
，解得
6
x =
，
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均符合题意，
综上：
2
x =
或
6
x =
．
9．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）净光合速率P 越大，植物积累的有机物越多，生长越旺盛，在温室
大棚中，可以通过调节温度T 和二氧化碳浓度C 来促进农作物生长．技术人员对某农作物进行了研究，
在标准大气二氧化碳浓度下，净光合速率受温度影响，且在30 C
时达到最大，实验数据如表：
温度T
（C
）
20
22
24
26
28
30
32
34
36
净光合速
率P
13.00
14.00
15.13
16.00
17.00
18.00
16.50
15.00
13.50
(1)当20
30
T
时，根据表格，求出一个P 关于T 的函数解析式；
(2)为使该作物净光合速率达到中等水平（
16
P
），试求温度T 的调节范围；
(3)研究发现，适度施“气肥”提高二氧化碳浓度，能改变净光合速率对温度的响应．在温度T
m
=
时
（20
30
m
，此时净光合速率为
m
P ）开始施“气肥”，有如下规律：
①施气肥后，最大净光合速率提高至24 ；
②在到达最大净光合速率前，净光合速率'P 随温度T 的增大而增大，且变得更加“敏感”，可近似描述为
(
)
m
P
k T
m
P
=
−
+
，其中敏感因子
1.5
k =
；
③在到达最大净光合速率后，可以认为P随T 的增大而均匀减小，且受作物自身特性限制，当
38 C
T =
时，净光合速率为20 ．
某日温室大棚24小时温度预报如图所示，请你依据上述规律估计：最晚几时施“气肥”，能使该作物净光
合速率处于较高水平（
22
P
）的时间不少于6 小时？
【答案】(1)
(
)
1
3 20
30
2
P
T
T
=
+
(2)
98
26
3
T
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(3)最晚8 时施加“气肥”
【难度】0.42
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）观察表格数据，P 近似满足一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分2 段，求出30
36
T
时的函数解析式，进而求出
16
P
时的T 的范围即可；
（3）分2 段，求出P关于T 的函数关系式，求出
22
P
时，38
2
78
3
3
m
m
T
+
+
，根据图象进行分析作
答即可.
【详解】（1）解：观察表格数据，T 从20 到30变化时，P 近似满足一次函数关系，
设P
kT
b
=
+
，代入(20,13) 和(30,18) 得
20
13
{30
18
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
0.5,
3
k
b
=
=
∴
(
)
1
3 20
30
2
P
T
T
=
+
；
（2）解：当20
30
T
，由
16
P
可得，1
3
16
2T +
，解得
26
T
，
当30
36
T
时，由表格数据得P 是一次函数，
同（1）法可得
3
81
4
2
P
T
= −
+
，
由
16
P
，得
3
81
16
4
2
T
−
+
，解得
98
3
T
，
综上：温度T 的调节范围为
98
26
3
T
；
（3）解：由（1）可知，
(
)
1
3 20
30
2
P
T
T
=
+
；
∴当T
m
=
时，
(
)
1
3 20
30
2
m
P
m
T
=
+
；
∵
(
)
m
P
k T
m
P
=
−
+
，其中敏感因子
1.5
k =
，
∴
(
)
1
1.5
3
1.5
3
2
P
T
m
m
T
m
=
−
+
+ =
−
+
；
当
1.5
3
22
P
T
m
=
−
+ =
时：
38
2
3
m
T
+
=
，当
1.5
3
24
P
T
m
=
−
+ =
时：
42
2
3
m
T
+
=
；
∵在到达最大净光合速率后，P随T 的增大而均匀减小，且当
38 C
T =
时，净光合速率为20 ，
故达最大净光合速率后，P仍是关于T 的一次函数，且过点42
2
,24
3
m
+
和(
)
38,20 ，
同（1）法可得
6
228
20
36
36
P
T
m
m
=
−
+
−
−
，
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当
6
228
20
22
36
36
P
T
m
m
=
+
−
−
=
−
时，
78
3
m
T
+
=
，
∴当
22
P
时，38
2
78
3
3
m
m
T
+
+
，
由图象可知，8 时对应的
27
m =
，此时38
2 27
78
27
3
3
T
+
+
，即92
35
3
T
，
对应的时间为10 时到16 时，恰好满足题意；
若施肥时间晚于8时，
27
m
，满足条件的温度区间起点更高，总时长小于6小时，不满足要求；
故最晚8 时施加“气肥”.
模块二、一次函数与几何综合
重难点一、一次函数与直线综合
两条直线相交，联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，方程组的
解即为交点坐标。已知平行直线k 值相等，垂直直线k 乘积为 - 1，以此求参数。求直线
解析式多用待定系数法，代入两点坐标构建方程组求解k、b。
1．（25-26 九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P 是直线
2
4
y
x
=
+
上一动点，O 为坐
标原点，则PO的最小值为___________．
【答案】
4 5
5
【难度】0.85
【知识点】一次函数与几何综合、垂线段最短、已知两点坐标求两点距离
【分析】根据垂线段最短可知，原点O到直线上点P 的距离中，垂线段最短，即PO垂直于直线时PO最
小，先求直线与坐标轴的交点，再利用勾股定理和三角形面积公式计算最短距离.
【详解】解：当
0
x =
时，
2 0
4
4
y =
+
=
，
当
0
y =
时，0
2
4
x
=
+
，
解得
2
x = −，
直线
2
4
y
x
=
+
与坐标轴交于
(
)
0,4
A
，
(
)
2,0
B −
，
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4
OA
=
，
2
OB =
，AOB
为直角三角形，
2
2
2
2
4
2
2 5
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
，
当PO
AB
⊥
时，PO长度最小，且
1
1
2
2
AOB
OA OB
AB PO
S
=
=
，
4 2
2 5?PO
=
，
解得
4 5
5
PO =
，
即PO的最小值为4 5
5
．
2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点
(
)
1,3
A
，
(
)
1,
B
m ，若直线
1
y
x
=
+ 与线段AB
有公共点，则m 的范围为_______．
【答案】
2
m
【难度】0.75
【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合
【分析】计算可得点A在直线
1
y
x
=
+ 上方，只要使得点B 在直线
1
y
x
=
+ 上或者下方即可．
【详解】解：当
1
x = 时，
3
1 1
2
A
y =
+ =
，
1 1
2
B
y
m
=
+ =
∴要使得直线
1
y
x
=
+ 与线段AB 有公共点，则
2
m
．
3．（25-26 八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
2
4
3
y
x
= −
+
的图象分别与
x 轴、y 轴交于点A、点B ，点C 是线段OA上的一个动点(不与点O和点A重合)，过C 作CD
y
∥轴交线
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段AB 于点E ，使
2
CD
OC
=
，设点C 的横坐标为m ．
(1)求点A、点B 的坐标；
(2)如图2，当DE
CE
=
时，求m 的值；
(3)如图3，连接AD，BD，在点C 运动的过程中，当
AOB
ADB
S
S
=
时，m 的值为___________．
【答案】(1)
(
)
6,0
A
，
(
)
0,4
B
(2)12
5
(3)3
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
（1）分别令
0
x =
、
0
y =
代入一次函数
2
4
3
y
x
= −
+
中计算求解即可；
（2）根据题意得出
2
4
3
CE
m
= −
+
，进而得到
8
4
3
DE
m
=
−
，根据DE
CE
=
列方程计算求解即可；
（3）过点B 作BF
DE
⊥
于点F ，结合图象表示出
ABD
ADE
BDE
S
S
S
=
+
△
△
△
，根据直角三角形面积公式，列
出方程计算求解即可．
【详解】（1）解：一次函数
2
4
3
y
x
= −
+
的图象分别与x 轴、y 轴交于点A、点B ，
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令
0
y =
得，
2
4
0
3 x
−
+
=
，解得
6
x =
，则点A的坐标为(
)
6,0
A
，
令
0
x =
得，
4
y =
，则点B 的坐标为
(
)
0,4
B
，
答：点A、点B 的坐标为
(
)
6,0
A
，
(
)
0,4
B
；
（2）解：根据题意得，点C 的横坐标为m ，则OC
m
=
当x
m
=
时，
2
4
3
y
m
= −
+
则
2
4
3
CE
m
= −
+
、
2
2
CD
OC
m
=
=
因此
2
8
2
4
4
3
3
DE
CD
CE
m
m
m
=
−
=
−−
+
=
−
由DE
CE
=
得：8
2
4
4
3
3
m
m
−
= −
+
解得
12
5
m =
，
答：m 的值为12
5 ；
（3）解：过点B 作BF
DE
⊥
于点F ，如图：
则
ABD
ADE
BDE
S
S
S
=
+
△
△
△
1
1
2
2
DE AC
DE OC
=
+
1
2 DE OA
=
由于
1
2
AOB
S
OB OA
=
则DE
OB
=
即8
4
4
3m−
=
解得：
3
m =
故答案为：3．
4．（23-24 七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点
(
)
,0
A a
，
(
)
,2
B b
，
(
)
0,4
C
，且
0
a
．
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(1)若(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
+
=
，求点A和点B 的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点B 作BD
x
∥轴，交AC 于点D ，求点D 的坐标；
(3)若
4
ABC
S
=
，且
4
0
a
b
+ +
=
，求b 的值．
【答案】(1)
(
)
(
)
2,0 ,
4,2
A
B
−
−
(2)(
)
1,2
−
(3)
0
b =
或
8
3
b = −
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数与几何问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）由题意得
2
0,
4
0
a
b
+
=
+
=
，推出
2,
4
a
b
= −
= −，即可求解；
（2）由
(
)
2,0
A −
，
(
)
0,4
C
设直线AC 的解析式为：
4
y
kx
=
+
，将(
)
2,0
A −
代入求得直线AC 的解析式
为：
2
4
y
x
=
+
；根据BD
x
∥轴，得
2
D
y =
，推出2
2
4
D
x
=
+ ，即可求解；
（3）根据（2）可得直线AC 的解析式为：
4
4
y
x
a
= −
+
；推出
,2
2
a
D
；根据
1
4
2
2
2
2
ABC
ABD
BCD
a
a
S
S
S
b
b
=
+
=
−
=
−
，推出
2
2
a
b
−
=
；结合
4
0
a
b
+ +
=
，得
4
2
2
b
b
−−
−
=
，解
得：
0
b =
或
8
3
b = −
；根据
4
0
a
b
= −−
，作出取舍即可
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
+
=
，
∴
2
0,
4
0
a
b
+
=
+
=
，
∴
2,
4
a
b
= −
= −；
∴
(
)
(
)
2,0 ,
4,2
A
B
−
−
；
（2）解：由
(
)
2,0
A −
，
(
)
0,4
C
设直线AC 的解析式为：
4
y
kx
=
+
，
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将
(
)
2,0
A −
代入可得：0
2
4
k
= −
+
解得：
2
k =
，
∴直线AC 的解析式为：
2
4
y
x
=
+
；
∵BD
x
∥轴，
∴
2
D
y =
，
∴2
2
4
D
x
=
+ ，解得：
1
D
x = −，
∴
(
)
1,2
D −
；
（3）解：由
(
)
,0
A a
，
(
)
0,4
C
设直线AC 的解析式为：
4
y
k x
= +
，
将
(
)
,0
A a
代入可得：0
4
ak
=
+
解得：
4
k
a
= −
，
∴直线AC 的解析式为：
4
4
y
x
a
= −
+
；
依然作BD
x
∥轴，则
2
D
y =
，
∴
4
2
4
D
x
a
= −
+
，解得：
2
D
a
x =
，
∴
,2
2
a
D
；
∴
1
4
2
2
2
2
ABC
ABD
BCD
a
a
S
S
S
b
b
=
+
=
−
=
−
，
∴2
4
2
a
b
−
=
，
∴
2
2
a
b
−
=
；
∵
4
0
a
b
+ +
=
，
∴
4
a
b
= −−，
∴
4
2
2
b
b
−−
−
=
，
解得：
0
b =
或
8
3
b = −
；
∵
4
0
a
b
= −−
，
∴
4
b −，
∴
0
b =
或
8
3
b = −
；
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5．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数
4
4
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于点A，B，
点C 的坐标为(
)
2, 3
−
．
(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________；
(2)过点C 作直线
(
)
:
0
l y
kx
b k
=
+
．
①用含k 的代数式表示b；
②若直线l 与ABO
有交点，求k 的取值范围．
【答案】(1)(
)
1,0
−
，(
)
0,4 ；
(2)①
3
2
b
k
= −−
；②
7
1
2
k
−
−．
【难度】0.55
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】（1）分别将
0
y =
、
0
x =
代入
4
4
y
x
=
+
计算即可；
（2）①将点(
)
2, 3
−
代入y
kx
b
=
+
中求解即可；
②由①得
3
2
y
kx
k
=
−−
，取极限值计算即可．
【详解】（1）解：当
4
4
0
y
x
=
+
=
时，解得
1
x = −，则
(
)
1,0
A −
；
当
0
x =
时，解得
4 0
4
4
y =
+
=
，则
(
)
0,4
B
；
（2）解：①将点(
)
2, 3
−
代入y
kx
b
=
+
中，得3
2k
b
−=
+
，
即
3
2
b
k
= −−
；
②由①得
3
2
y
kx
k
=
−−
，
当直线l 经过点
(
)
1,0
A −
时，0
3 2
k
k
= −−−
，
解得
1
k = −；
当直线l 经过点
(
)
0,4
B
时，4
3 2k
= −−
，
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解得
7
2
k
−
=
；
∵直线l 与ABO
有交点，
∴k 的取值范围为
7
1
2
k
−
−．
6．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数
2
1
y
x
=
−
−的图象与性质，甲同学根据学习一次函数
的经验，借助函数
2
1
y
x
=
−
−的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：
第一步：
2
1
y
x
=
−
−的自变量x 的取值范围是全体实数；
第二步：x 与y 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
3
2
1
0
0
2
…
第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(2)观察
2
1
y
x
=
−
−的函数图象，完成以下问题：
①当x =___________时，函数有最小值为___________；当x ___________时，y 随x 的增大而增大．
②写出自变量x 的取值范围和因变量y 的取值范围．
③若直线
3
y
kx
=
+ 与
2
1
y
x
=
−
−的图象有且只有一个交点，求k 的取值范围．
【答案】(1)解：补全表格如下：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
4
5
…
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y
…
5
4
3
2
1
0
1
−
0
1
2
…
描点画图如下：
(2)①2 ；1
−；
2
；②自变量x 的取值范围为任意实数，因变量y 的取值范围为
1
y −.③
1
k −或
1
k ．
【难度】0.57
【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合
【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可；
（2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由
3
y
kx
=
+ 过定点(
)
0,3 ，再结合图象求解即可.
【详解】（1）解：当
3
x
−
=
时，
3
2
1
4
y = −−
−=
；
当
2
x =
时，
2
2
1
1
y =
−
−= −，
当
4
x = 时，
4
2
1
1
y =
−
−= ；
画图略
（2）解：①当
2
x =
时，函数有最小值为1
−；当
2
x
时，y 随x 的增大而增大．
②由图象可得自变量x 的取值范围为任意实数，因变量y 的取值范围为
1
y −.
③如图，当
3
y
kx
=
+ 过(
)
3,0 时，
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∴3
3
0
k + =
，
解得：
1
k = −，
当
2
x
时，
2
1
1
y
x
x
=
−
−= −+ ，此时两函数图象平行，
∴
1
k −时，直线
3
y
kx
=
+ 与
2
1
y
x
=
−
−的图象有且只有一个交点；
如图，当
3
y
kx
=
+ 过(
)
3,0
−
时，
∴3
3
0
k
−
+ =
，
解得：
1
k = ，
∵当
2
x
时，
2
1
3
y
x
x
=
−
−=
−，此时两函数图象平行，
∴
1
k 时，直线
3
y
kx
=
+ 与
2
1
y
x
=
−
−的图象有且只有一个交点；
综上：直线
3
y
kx
=
+ 与
2
1
y
x
=
−
−的图象有且只有一个交点，k 的取值范围为
1
k −或
1
k
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重难点二、一次函数与三角形综合
先求出一次函数与坐标轴交点、直线间交点，得到三角形顶点坐标。利用坐
标差值计算底、高长度，借助绝对值求线段距离，再用三角形面积公式计算面积。动点题
型设动点坐标，用含参数的式子表示底和高，结合取值范围求解面积最值。
1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数
2
5
3
3
y
x
=
+
的图象经过点(
)
2,
A
m ，
(
)
, 1
−
B n
，则ABO
的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】先根据函数解析式求出点A，B 的坐标，再求出一次函数与x 轴交点C 的坐标，过点A作
AE
x
⊥
轴，过点B 作BD
x
⊥
轴，最后根据
1
1
2
2
ABO
S
OC
BD
OC
AE
=
+
△
即可求出结果．
【详解】解：当
2
x =
时，
2
5
2
3
3
3
y =
+
= ，
∴
(
)
2,3
A
，
当
1
y
−
=
时，2
5
1
3
3
x +
= −，解得：
4
x = −，
∴
(
)
4, 1
B −
−
，
当
0
y =
时，2
5
0
3
3
x +
=
，解得：
5
2
x
−
=
，
∴一次函数与x 轴交点
5 ,0
2
C
−
，如图所示：
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过点A作AE
x
⊥
轴，过点B 作BD
x
⊥
轴，
∴
1
BD = ，
3
AE = ，
5
2
OC =
，
∴
1
1
1
5
1
5
1
3
5
2
2
2
2
2
2
ABO
S
OC
BD
OC
AE
=
+
=
+
=
△
．
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
2,4
A
在正比例函数
2
y
x
=
的图像
上，点
(
)
1,0
B
和点C 都在x 轴上，当ABC
的面积是6 时，点C 的坐标是______________．
【答案】(
)
4,0 或(
)
2,0
−
【难度】0.85
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合
【分析】设出点C 的坐标，得到BC 的长度，根据三角形面积计算即可．
【详解】解：点C 在x 轴上，设点
(
)
,0
C m
，
∴
1
BC
m
=
−，
∵ABC
的面积是6，
∴
1
6
2
ABC
A
S
BC
y
=
=
，
∴1
1
4
6
2
m
−
=
，可得
1
3
m −
=
，
则有
1
3
m−= 或
1
3
m−= −，
解得
4
m =
或
2
m = −，
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∴点
(
)
4,0
C
或(
)
2,0
−
．
3．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数
4
8
y
x
= −
+
的图像与x 轴、y 轴分别交于A、B 两
点，坐标原点为O，则
ABO
S△
为__________．
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】先根据一次函数解析式求出点A和点B 的坐标，得到直角三角形ABO两条直角边OA和OB 的长
度，再利用三角形面积公式计算面积．
【详解】解：对于一次函数
4
8
y
x
= −
+
，
当
0
y =
时，可得0
4
8
x
= −
+ ，解得
2
x =
，即
(
)
2,0
A
，
当
0
x =
时，可得
4
0
8
8
y = −
+
= ，即(
)
0,8
B
，
∴
2
OA =
，
8
OB =
∵点A在x 轴上，点B 在y 轴上，O为坐标原点，所以
90
AOB
=
，
∴
1
1
2 8
8
2
2
ABO
S
OA OB
=
=
=
．
4．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图①，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，
90
ADC
=
，点P 从A
点出发，以每秒2 个单位长度的速度按A
B
C
D
→
→
→
的顺序在边上匀速运动，设点P 的运动时间为t
秒，PAD
的面积为S，S关于t 的函数图象如图②所示，（1）CD的长为_______．（2）当点P 运动到
BC 中点时，PAD
的面积为_______．
【答案】 8 20
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、一次函数与几何综合
【分析】（1）由图象可知，
12
AB
BC
+
=
，
20
AB
BC
CD
+
+
=
，即可求出CD的长；（2）先根据图象求
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出
8
AD = ，
2
AB =
，进而得出点P 运动到BC 中点时t 的值，利用待定系数法求出，当1
6
t
时，
24
16
5
5
S
t
=
+
，再将
7
2
t =
代入计算即可．
【详解】解：（1）由图象可知，
6 2
12
AB
BC
+
= =
，
10 2
20
AB
BC
CD
+
+
=
=
，
8
CD
= ；
（2）当
6
t =
时，点P 运动到点C 时，此时
32
PAD
S
=
，
1
32
2
PAD
S
AD CD
=
=
，
8
AD
=
，
AB
CD
∥
，
90
ADC
=
，
90
BAD
=
，
由图象可知，当点P 运动到点B 时，
8
PAD
S
=
；
1
8
2
PAD
S
AD AB
=
=
，
2
AB
=
，此时
1
t = ，
10
BC
=
，
点P 运动到BC 中点，
5
BP
CP
=
= ，此时
5
7
1
2
2
t = +
=
，
当1
6
t
时，设
=
+
S
kt
b ，
将点(
)
1,8 和(
)
6,32 代入得
8
6
32
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
24
5
16
5
k
b
=
=
，
24
16
5
5
S
t
=
+
，
当
7
2
t =
时，
24
7
16
20
5
2
5
S =
+
=
，
即当点P 运动到BC 中点时，PAD
的面积为20．
5．（21-22 八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知ABC
中，
3
AC =
，
4
BC =
，直线AB 的函数解析
式是
4
4
3
y
x
= −
+
．
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(1)求证：ABC
BAO
≌
；
(2)求ABC
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【难度】0.84
【知识点】一次函数与几何综合、用SSS 证明三角形全等（SSS）
【分析】( )
1 求出
3
AC = ，
4
BC =
，根据全等三角形的判定定理SSS可证明ABC
≌BAO
；
( )
2 由全等三角形的性质得出
90
ACB
AOB
=
=
，根据三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：令
4
4
0
3 x
−
+
=
，
3
x
=
，
3
OB
= ，
令
0
x =
，
4
y =
，
4
OA
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
AC
OB
=
∴
，BC
OA
=
，
在ABC
和BAO
中，
AB
BA
AC
OB
BC
OA
=
=
=
，
(
)
SSS
ABC
BAO
≌
；
（2）解：
ABC
BAO
≌
，
90
ACB
AOB
=
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
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1
1
3 4
6
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
．
6．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数
2
4
y
x
= −
−
．
(1)画出函数的图象；
(2)若图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，O 为坐标原点，求AOB
的面积．
【答案】(1)
函数图象如下所示：
(2)4
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、一次函数与几何综合
【分析】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可；
（2）根据（1）可得点A 和点B 的坐标，进而得到OA
OB
，
的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x
…
2
−
0
…
2
4
y
x
= −
−
…
0
4
−
…
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（2）解：由（1）可知点A 的坐标为(
)
2,0
−
，点B 的坐标为(
)
0, 4
−
，
∴
2
4
OA
OB
=
=
，
，
∴
1
1
2 4
4
2
2
AOB
S
OA OB
=
=
=
．
7．（23-24 八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线
1
2
2
l
y
x
= −
+
：
与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，在y
轴上有一点
(0,4)
C
，动点M 从A 点以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左移动．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)求
COM
△
的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；
(3)在M 运动过程中，当
COM
AOB
△
≌△
时，直接写出此时M 点的坐标．
【答案】(1)
(4,0),
(0,2)
A
B
；
(2)
(
)
(
)
8
2
0
4
2
8
4
OCM
t
t
S
t
t
−
=
−
＜
＞
；
(3)当
COM
AOB
△
≌△
时，此时M 点的坐标为(2,0) 或( 2,0)
−
．
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定，
对于（1），由直线l 的函数解析式，令
0
y =
求A 点坐标，
0
x =
求B 点坐标；
对于（2），由面积公式
1
2
S
OM OC
=
求出S 与t 之间的函数关系式；
对于（3），当OM
OB
=
时，可得COM
AOB
≌
，并得到M 点坐标．
【详解】（1）解：对于直线
1
:
2
2
AB y
x
= −
+ ，
当
0
x =
时，
2
y =
；当
0
y =
时，
4
x = ，
则A、B 两点的坐标分别为
(4,0),
(0,2)
A
B
；
（2）解：∵
(0,4), (4,0)
C
A
，
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∴
4
OC
OA
=
=
，
当0
4
t
时，
(
)
1
4
,
4 4
8
2
2
OCM
OM
OA
AM
t S
t
t
=
−
=
−
=
−
= −
；
当
4
t
时，
1
4,
4 (
4)
2
8
2
OCM
OM
AM
OA
t
S
t
t
=
−
= −
=
−
=
−
，
综上，
OCM
S
(
)
(
)
8
2 0
4
2
8
4
t
t
t
t
−
=
−
＜
＞
；
（3）解：M 点的坐标为(2,0) 或( 2,0)
−
；
理由如下：
∵
90
OC
OA
AOB
COM
=
=
=
，
，
∴只需OB
OM
=
，则
COM
AOB
△
≌△
，
即
2
OM =
，
此时，若M 在x 轴的正半轴时，M 点的坐标为(2,0) ；
M 在x 轴的负半轴，则M 点的坐标为( 2,0)
−
，
综上，当
COM
AOB
△
≌△
时，此时M 点的坐标为(2,0) 或( 2,0)
−
．
8．（25-26 八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线1 :
2
4
l
y
x
=
−
与x 轴、y 轴分
别交于点B、D，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，若直线2l 经过点(
)
1,
A
a ，且交y 轴于点C，连接AD交x
轴于点E．
(1)求直线2l 的函数表达式和a 的值；
(2)在坐标轴上是否存在点P，使得
2
PBD
ABD
S
S
=
△
△
？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)直线2l 的函数表达式为
2
4
y
x
−
=
+
，
2
a =
(2)在坐标轴上存在点P ，使得
2
PBD
ABD
S
S
=
△
△
，点P 的坐标为(
)
6,0 或(
)
2,0
−
或(
)
0,4 或(
)
0, 12
−
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【难度】0.52
【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）先求出
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
B
D
−
，根据轴对称的性质求出
(
)
0,4
C
，设直线2l 的解析式为
y
mx
n
=
+
，求出直线2l 的函数表达式为
2
4
y
x
−
=
+
，将
(
)
1,
A
a 代入直线2l 求解即可；
（2）设A D
、
所在直线的函数表达式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，求出A D
、
所在直线的函数表达式为
6
4
y
x
=
−
，进而求出
2 ,0
3
E
，根据三角形面积公式得到
4
ABD
S
=
，进而得到
8
PBD
S
=
△
，分点P 在x 轴
上时，点P 在y 轴上时两种情况作答即可．
【详解】（1）解：直线1 :
2
4
l
y
x
=
−
与x 轴、y 轴分别交于点B
D
、
，
当
0
x =
时，
2 0
4
4
y =
−
= −，当
2
4
0
y
x
=
−
=
时，解得
2
x =
，
∴
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
B
D
−
，
∵直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，且交y 轴于点C，
∴
(
)
0,4
C
，
设直线2l 的解析式为y
mx
n
=
+
，
∴
0
2
4
m
n
n
=
+
=
，
解得：
2
4
m
n
−
=
=
，
直线2l 的函数表达式为
2
4
y
x
−
=
+
．
点
(
)
1,
A
a 在直线2l 上，
2 1 4
a
−+
=
，
解得
2
a =
；
（2）解：设A D
、
所在直线的函数表达式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
．
将点
(
)
1,2
A
，
(
)
0, 4
D
−
代入，得
2
4
k
b
b
+
=
= −
，
解得
6
4
k
b
−
=
=
，
A
D
、
所在直线的函数表达式为
6
4
y
x
=
−
．
在
6
4
y
x
=
−中，令
0
y =
，得
2
3
x =
，
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2 ,0
3
E
，
2
4
2
3
3
BE
=
−
=
，
(
)
(
)
1
1
4
2
4
4
2
2
3
ABD
A
D
S
BE
y
y
=
−
=
−−
=
，
2
8
PBD
ABD
S
S
=
=
△
△
．
当点P 在x 轴上时，
1
4
8
2
PBD
S
BP
=
=
△
，
解得
4
BP =
．
(
)
2,0
B
，
此时点P 的坐标为(
)
6,0 或(
)
2,0
−
；
当点P 在y 轴上时，
1
2
8
2
PBD
S
DP
=
=
△
，
解得
8
DP =
．
(
)
0, 4
D
−
，
此时点P 的坐标为(
)
0,4 或(
)
0, 12
−
；
综上可知，在坐标轴上存在点P ，使得
2
PBD
ABD
S
S
=
△
△
，点P 的坐标为(
)
6,0 或(
)
2,0
−
或(
)
0,4 或(
)
0, 12
−
．
9．（25-26 八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线
3
y
kx
=
+ 分别交x 轴，y
轴于点A，点B，且
4
3
OA
OB =
．
(1)求k 的值；
(2)若点C 为线段OB 上一点，连接AC ，将ABC
沿着AC 折叠，使点B 落在x 轴的点B处，求点C 的坐
标；
(3)如图2，作OD
AB
⊥
，点E 为直线AB 上一动点，点F 为y 轴上一动点，是否存在以O，E，F 为顶点
的三角形与ODE
全等？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
3
4
−
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(2)点C 的坐标为
4
0, 3
(3)点E 的坐标为
12 24
,
5
5
−
或12 6
,
5 5
或36
12
,
5
5
−
或4 12
,
5
5
【难度】0.27
【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】（1）先根据
3
y
kx
=
+ 求出点B 的坐标，结合
4
3
OA
OB =
求出点A 的坐标，代入
3
y
kx
=
+ 即可求出
k 的值；
（2）先用勾股定理求出AB 长度，设点C 的坐标为(
)
0,c ，则OC
c
=
，
3
BC
c
= −，由折叠的性质得
B C
BC
=
，AB
AB
=
，最后由勾股定理解Rt
OBC
△
即可；
（3）先用等面积法得出OD ，再得出以O，E，F 为顶点的三角形与ODE
全等时，斜边OE 为对应边，
90
OFE
=
，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：对于
3
y
kx
=
+ ，
当
0
x =
时，
3
y =
，
点B 的坐标为(
)
0,3 ，
3
OB =
，
4
3
OA
OB =
，
4
3
4
3
OA =
=
，
点A 在x 轴的正半轴上，
点A 的坐标为(
)
4,0 ，
将
(
)
4,0
A
代入
3
y
kx
=
+ ，得：0
4
3
=
+
k
，
解得
3
4
k = −
；
（2）解：
3
OB =
，
4
OA =
，
2
2
2
2
4
3
5
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
，
设点C 的坐标为(
)
0,c ，
则OC
c
= ，
3
BC
OB OC
c
=
−
= −，
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由折叠得
3
B C
BC
c
=
= −，
5
AB
AB
=
=
，
5 4
1
OB
AB
OA
=
−
= −
= ，
在Rt
OBC
△
中，
2
2
2
OB
OC
B C
+
=
，
(
)
2
2
2
1
3
c
c
+
=
−
，
解得
4
3
c =
，
点C 的坐标为
4
0, 3
；
（3）解：OD
AB
⊥
，
1
1
2
2
OAB
S
OA OB
AB OD
=
=
，
4 3
12
5
5
OA OB
OD
AB
=
=
=
，
当以O，E，F 为顶点的三角形与ODE
全等时，斜边OE 为对应边，
90
OFE
=
，
分两种情况：
当ODE
EFO
≌
时，
12
5
EF
OD
=
=
，
如图：
点E 的横坐标为
12
5
−
或12
5 ，
点E 的纵坐标为
3
12
24
3
4
5
5
y
= −
−
+
=
或
3 12
6
3
4
5
5
y = −
+ =
，
点E 的坐标为
12 24
,
5
5
−
或12 6
,
5
5
；
当
ODE
OFE
△
≌△
时，
12
5
OF
OD
=
=
，
如图：
点F 的纵坐标为
12
5
−
或12
5 ，
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点E 的纵坐标为
12
5
−
或12
5 ，
即
3
12
3
4
5
x
−
+ = −
或
3
12
3
4
5
x
−
+
=
，
解得
36
5
x =
或
4
5
x =
，
点E 的坐标为36
12
,
5
5
−
或4 12
,
5
5
，
综上可得，点E 的坐标为
12 24
,
5
5
−
或12 6
,
5
5
或36
12
,
5
5
−
或4 12
,
5
5
．
10．（24-25 八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
(
)
:
3
0
AB y
kx
k k
=
+
交y 轴于点
(
)
0,9
A
，交x 轴于点B．
(1)k＝______，B 点坐标为______；
(2)点C 为x 轴正半轴上一点，
1
2
BAO
ACO
=
，请你猜想AC 与BC 的数量关系，并加以证明，再求出
点C 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M 为线段AC 上一动点（M 不与A、C 重合），设M 的横坐标为a，请用含a 的
代数式表示点M 到x 轴的距离______；
(4)在（3）的条件下，过点M 作MN∥AB 交x 轴于点N，连接BM、AN，当ABM
为等腰三角形时，求出
此时AMN
的面积．
【答案】(1)3，(
)
3,0
−
(2)CA
CB
=
，证明见解析，
(
)
12,0
C
(3)
3
9
4 a
−
+
(4) 81
5 或27 10
54
2
−
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合
【分析】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知
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识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题
（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）如图1 中，过点C 作
ACB
的角平分线交AB 于H，利用全等三角形的性质证明CA
CB
=
，由此构建
方程求解即可．
（3）根据(
)
0,9
A
，
(
)
12,0
C
，求得直线AC 的解析式为
3
9
4
y
x
−
=
+ ，把M 的横坐标为(
)
0
a a
代入即可
得到结论；
（4）在(3)的条件下，AC
BC
=
，因为MN
AB
∥
，推出AM
BN
=
，
AMN
BMN
S
S
=
△
△
，分两种情形∶当
AB
BM
=
时，过点B 作BG
AC
⊥
于G；②当AB
AM
=
时，分别求出直线MN 的解析式构建方程组即可
解决问题．
【详解】（1）解：由题意，直线
(
)
:
3
0
AB y
kx
k k
=
+
交y 轴于点(
)
0,9
A
，
∴3
9
k =
，
∴
3
k = ，
∴直线
:
3
9
AB y
x
=
+ ，
∵直线
:
3
9
AB y
x
=
+ 交x 轴于点B，
令
0
y =
，则3
9
0
x+ =
，
解得
3
x
−
=
，
∴
(
)
3,0
B −
)；
故答案为：3，(
)
3,0
−
；
（2）CA
CB
=
，
证明∶如图中，过点C 作
ACB
的角平分线交AB 于H
∴
1
2
BCH
ACB
=
，
∵
BAO
ACO
=
，
∴
BCH
BAO
=
，
∵
90
BAO
ABC
+
=
，
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∴
90
BCH
ABO
=
+
，
∴
90
CHB
CHA
=
=
，
∵CH
CH
=
，
HCB
HCA
=
，
∴
(
)
ASA
ACH
BCH
≌
，
∴CA
CB
=
；
设
(
)
,0
C m
，则
3
BC
m
=
+ ，
2
9
AC
m
=
−
，
∴
2
2
3
9
m
m
=
+
+
，
∴
12
m =
，
∴
(
)
12,0
C
；
故答案为：
(
)
12,0
C
；
（3）∵
(
)
0,9
A
，
(
)
12,0
C
，
∴直线AC 的解析式为
3
9
4
y
x
−
=
+ ，
∵M 的横坐标为(
)
0
a a
)，点M 纵坐标为d，
∴
3
9
4
d
a
= −
+ ，
∴用含a 的代数式表示点M 到x 轴的距离为
3
9
4 a
−
+ ，
故答案为：
3
9
4 a
−
+ ；
（4）解：在(3)的条件下，AC
BC
=
∶
∵MN
AB
∥
，
∴AM
BN
=
，
AMN
BMN
S
S
=
△
△
，
①当AB
BM
=
时，过点B 作BG
AC
⊥
于G，
∴AG
MG
=
，
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∵
AOB
BGA
ABC
BAC
AB
BA
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABO
BAG
≌
∴
3
BO
AG
=
= ，
∴
2
6
BN
AM
AG
=
=
= ，
∴
(
)
3,0
N
，
∵MN
AB
∥
，
∵直线
:
3
MN y
x
b
=
+
过点
(
)
3,0
N
，
∴
9
b = −，
∴直线MN 的表达式为
3
9
y
x−
=
，
3
9
4
3
9
y
x
y
x
= −
+
=
−
解得
24
5
27
5
x
y
=
=
，
24 27
,
5
5
M
，
1
1
27
81
6
2
2
5
5
AMN
BMN
M
S
S
BN y
=
=
=
=
△
△
，
②当AB
AM
=
时，(
)
3 3 10,0
N −+
，
直线MN 的表达式为
3
9
9 10
y
x
=
+
−
，
由
3
9
4
3
9
9 10
y
x
y
x
= −
+
=
+ −
，
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解得：
12 10
5
45
9 10 .
5
x
y
=
−
=
，
12 10 45
9 10
,
5
5
M
−
，
∴
1
1
45
9 10
27 10
54
3 10
2
2
5
2
AMN
BMN
S
S
BN yM
−
−
=
=
=
=
．
重难点三、一次函数的新定义
解题第一步读懂题干自定义运算法则、新型函数规则，把陌生定义转化为常
规一次函数。根据定义列出对应解析式，再结合增减性、交点、取值范围等常规知识点求
解。计算完成后代回自定义规则验证，防止混淆新定义运算顺序。
1．（25-26 八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点A到x 轴、y 轴的距离和为1，
则称点A为“励志点”．例如：点
(
)
0.2,0.8
B −
到x 轴、y 轴距离和为1，则点B 是“励志点”，点
(
)
0,1
C
，
(
)
0.5, 0.5
D −
−
也是“励志点”．一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象l 经过点
(
)
2, 2
E
−
，且图象l 上存在“励志
点”，则k 的取值范围为（ ）
A．
1
2
2
k
−
−
B．
3
2
2
k
−
−
C．
1
2
2
k
−
D．
1
2
2
3
k
−
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
根据“励志点”的定义，点满足
1
+
=
x
y
，构成一个正方形，一次函数y
kx
b
=
+
经过点
(2, 2)
E
−
，且与正
方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k 值，确定k 的取值范围．
【详解】解：∵点
(2, 2)
E
−
在直线y
kx
b
=
+
上，
∴2
2k
b
−=
+ ，
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即
2
2
b
k
= −−
．
∴直线方程为
2
2
y
kx
k
=
−
−
．
当直线经过点(1,0) 时，
代入得0
2
2
k
k
=
−−
，
解得
2
k
−
=
；
当直线经过点(0, 1)
−
时，
代入得
1
0
2
2k
−=
−−
，
解得
1
2
k
−
=
，
∴当
1
2
2
k
−
−
时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”．
故选：A．
2．（17-18 九年级上·山东济南·期中）定义：点
(
)
,
A x y 为平面直角坐标系内的点，若满足x
y
=
，则把点
A叫做“平衡点”．例如：
(
)
(
)
1,1 ,
2, 2
M
N −
−
都是“平衡点”．当1
3
x
−
时，直线
2
y
x
m
=
+
上有“平衡
点”，则m 的取值范围是（ ）
A．0
1
m
B．3
1
m
−
C．3
3
m
−
D．1
0
m
−
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数与几何综合
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m 的不等式是解答此题的关
键．
根据
, 1
3
x
y
x
=
−
可得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．
【详解】解：
x
y
=
，
2
x
x
m
=
+
，即x
m
= −
，
1
3
−
x
，
1
3
m
−−
，
3
1
m
−
，
故选：B．
3．（2026·湖南益阳·二模）在平面直角坐标系中，若存在实数t ，使得(
)
2
0
t a
b
+
−
=
，则t 称为点(
)
,a b
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的“特定点值”．如图，矩形ABCD三个顶点的坐标分别为(
)
(
)
(
)
2,1 ,
6,1 ,
2,3
A
B
D
．
（1）则点A的“特定点值”t 等于__________．
（2）若点(
)
,a b 是矩形ABCD边上的动点，则下列关于点(
)
,a b 的“特定点值”t 的结论正确的是
__________．（填写序号）
①当点(
)
,a b 在边AD上时，t 随着b 的增大而增大；
②当点(
)
,a b 在边BC 上时，则1
3
8
8
t
；
③在矩形ABCD边上有且只有一个点的“特定点值”为1
5 ．
【答案】 1
4 ①②
【难度】0.66
【知识点】正比例函数的性质、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合
【分析】（1）根据新定义，代入
(
)
2,1
A
，求得t 的值，即可求解；
（2）将
2
a =
代入
2
b
t
a
=
+
，根据正比例函数的性质即可判断①；②将
6
a =
，1
3
b
代入
2
b
t
a
=
+
，即
可判断②；根据题意得出
1
2
5
5
b
a
=
+
，进而画出图形，得出存在两个点的“特定点值”为1
5 ，即可判断
③．
【详解】解：（1）∵
(
)
2,1
A
，(
)
2
0
t a
b
+
−
=
∴(
)
2
2
1
0
t
+
−=
解得：
1
4
t =
即点A的“特定点值”t 等于1
4 ；
（2）∵(
)
2
0
t a
b
+
−
=
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∴
2
b
t
a
=
+
①当点(
)
,a b 在边AD上时，
2
a =
，即
4
b
t =
，则t 随着b 的增大而增大，故①正确
②当点(
)
,a b 在边BC 上时，
6
a =
，1
3
b
，则1
3
8
8
t
，故②正确；
③当
1
5
t =
，即
1
2
5
b
a
=
+
∴
1
2
5
5
b
a
=
+
如图，
当
1
b = 时，
1
2
1
5
5
a
=
+
解得，
3
a = ，此时(
)
3,1 在AB 边上，
当
6
a =
，
1
2
8
6
5
5
5
b =
+
=
此时
8
6, 5
在BC 边上，
在矩形ABCD边上有2 个点的“特定点值”为1
5 ，故③不正确．
4．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数a ，b ，我们用max{ , }
a b 表示这两个数中最
大的数，即
(
)
max
,
(
)
a a
b
a b
b a
b
=
，对于函数
1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
：
（1）当
3
x
−
=
时，y =_______；
（2）若过定点的直线
1
y
kx
k
−
=
+ 与函数
1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
的图象有两个交点，则k 的取值范围是
_______．
【答案】 3
1
1
3
k
−
−
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合
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【分析】（1）先求出当
3
x
−
=
时，
x
−和1
3
2 x + 的值，比较即可得出结果；
（2）先求出直线
1
y
kx
k
−
=
+ 过定点(
)
1,1 ，令
1
3
2
x
x
−=
+ ，解得
2
x = −，求出当
2
x
−
时，
1
max
,
3
2
y
x
x
x
=
−
+
= −
，当
2
x −时，
1
1
max
,
3
3
2
2
y
x
x
x
=
−
+
=
+
，画出函数图象，结合图象分析即
可得出结果．
【详解】解：（1）当
3
x
−
=
时，
(
)
3
3
x
−= −−
=
，
(
)
1
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
x +
=
−
+
= −
+
=
，
∵
3
3
2
，
∴当
3
x
−
=
时，
3
y =
；
（2）∵
(
)
1
1
1
y
kx
k
x
k
=
−
+ =
−
+ ，
∴直线
1
y
kx
k
−
=
+ 过定点(
)
1,1 ，
令
1
3
2
x
x
−=
+ ，
解得
2
x = −，
当
2
x
−
时，
1
3
2
x
x
−
+ ，此时
1
max
,
3
2
y
x
x
x
=
−
+
= −
，
当
2
x −时，
1
3
2
x
x
−
+ ，此时
1
1
max
,
3
3
2
2
y
x
x
x
=
−
+
=
+
，
∵过定点的直线
1
y
kx
k
−
=
+ 与函数
1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
的图象有两个交点，
∴结合图形可得
1
k −，
当
1
y
kx
k
−
=
+ 经过(
)
2,2
−
时，2
1
2
k
k
−
−+ =
，解得
1
3
k = −
，此时直线
1
y
kx
k
−
=
+ 与函数
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1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
的图象只有1个交点，
∴k 的取值范围是
1
1
3
k
−
−
．
5．（25-26 八年级下·山东日照·期末）定义：直线y
kx
b
=
+
与直线y
kx
b
=
−
组成一对“b 值线组”．如图，
已知矩形ABCD顶点坐标
(
)
1,0
A
，
(
)
1,2
B
，
(
)
2,2
C −
，
(
)
2,0
D −
．当
3
b =
时，“b 值线组”与矩形ABCD恰
有4 个交点，则k 的取值范围为________．
【答案】
3
k 或
1.5
k −
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合
【分析】根据“b 值线组”的定义得出两条直线的解析式，结合矩形ABCD的顶点坐标，分析直线与矩形恰
有4 个交点时，每条直线需与矩形有两个交点，通过计算直线经过矩形顶点时的斜率临界值，确定k 的取
值范围．
【详解】解：由题意得，当
3
b =
时，“b 值线组”对应的两条直线分别为
3
y
kx
=
+ 和
3
y
kx
=
−，
记1 :
3
l
y
kx
=
+ 和2
3
:
l
y
kx
=
−，
当
0
x =
时，1 :
3
l
y = ，2 :
3
l
y = −，
∴直线1l 恒过定点(0,3) ，直线2l 恒过定点(0, 3)
−
，
若“b 值线组”与矩形ABCD恰有4 个交点，则直线1l 与矩形有2 个交点，直线2l 与矩形有2 个交点，
当
0
k 时，直线1l 从左下向右上延伸，直线2l 从左下向右上延伸，
直线1l 经过点
( 2,2)
C −
时，2
2
3
k
= −
+ ，解得
0.5
k =
，
当
0.5
k
时，1l 与矩形有两个交点，
直线2l 经过点
(1,0)
A
时，0
3
k
=
−，解得
3
k = ，
当
3
k 时，2l 与矩形有两个交点，
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所以当
3
k 时，满足条件；
当
0
k
时，直线1l 从左上向右下延伸，直线2l 从左上向右下延伸，
直线1l 经过点
(1,2)
B
时，2
3
k
=
+ ，解得
1
k = −，
当
1
k −时，1l 与矩形有两个交点，
直线2l 经过点
( 2,0)
D −
时，0
2
3
k
= −
−，解得
1.5
k = −
，
当
1.5
k −
时，2l 与矩形有两个交点，
所以当
1.5
k −
时，满足条件；
综上所述，k 的取值范围为
3
k 或
1.5
k −
．
6．（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于
任意两点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
和
称
1
2
1
2
x
x
y
y
−
+
−
为P、Q 两点间的“折线距离”，记作( ,
)
d P Q ．
(1)已知点
(
)
(
)
2,3 ,
4, 1
A
B
−
−
，则(
)
,
d A B = ；
(2)已知点
(
)
1,0
C
，若点D 在直线
2
3
y
x−
=
上，且(
)
,
5
d C D =
，求点D 的坐标；
(3)已知点
(
)
0,2
M
，点
(
)
5,0
N
，若点P 是线段MN 上的一个动点，求
(
)
,
d O P （O 为坐标原点）的最小值
及此时点P 的坐标．
【答案】(1)10
(2)
1
11
,
3
3
D
−
−
或(
)
3,3
(3) (
)
,
d O P 最小为2 ，此时
(
)
0,2
P
【难度】0.55
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、新定义下的实数运算、一次函数与几何综合
【分析】（1）充分理解题意，进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，先设
(
)
,2
3
D x
x −
，再得出(
)
,
1
3
2
5
d C D
x
x
=
−
+
−
= ，然后进行分类讨论计算，即可作
答．
（3）先运用待定系数法进行求解线段MN 的解析式：
(
)
2
2 0
5
5
y
x
x
= −
+
，再设
2
,
2
5
P x
x
−
+
，故
(
)
2
,
2
5
d O P
x
x
=
+ −
+
，然后化简绝对值计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)
2,3 ,
4, 1
A
B
−
−
，
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∴(
)
(
)
,
2
4
3
1
6
4
10
d A B = −−
+
−−
=
+
=
；
（2）解：依题意，设
(
)
,2
3
D x
x −
，
∵
(
)
1,0
C
，且(
)
,
5
d C D =
，
∴(
)
(
)
,
1
0
2
3
1
3
2
5
d C D
x
x
x
x
=
−
+
−
−
=
−
+
−
= ，
①当
1
x 时，1
3 2
5
x
x
−
+ −
=
，
解得
1
3
x = -
，
则
1
11
2
3
2
3
3
3
x
−
=
−
−
= −
，
∴
1
11
,
3
3
D
−
−
；
②当
3
1
2
x
时，
1 3 2
5
x
x
−+ −
=
，
解得
3
1
x = −，
此种情况不符合题意，舍去；
③当
3
2
x
时，
1 2
3
5
x
x
−
−
+
=
，
解得
3
x = ，
∴2 3 3
3
−= ，
∴
(
)
3,3
D
；
综上，
1
11
,
3
3
D
−
−
或(
)
3,3 ．
（3）解：依题意，设线段MN 的解析式为
(
)
0,0
5
y
kx
b k
x
=
+
把点
(
)
0,2
M
，点
(
)
5,0
N
分别代入y
kx
b
=
+
，
得
2
0
0
5
k
b
k
b
=
+
=
+
，
解得
2
5
2
k
b
= −
=
，
∴线段MN 的解析式：
(
)
2
2 0
5
5
y
x
x
= −
+
，
设
2
,
2
5
P x
x
−
+
，
则(
)
2
,
2
5
d O P
x
x
=
+ −
+
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∵0
5
x
∴(
)
2
3
,
2
2
5
5
d O P
x
x
x
=
−
+
=
+
，
当
0
x =
时，(
)
,
d O P 最小为2 ，
此时
(
)
0,2
P
．
7．（25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
1
1
,
A x y
和点(
)
2
2
,
B x
y
，对于实数
0
k ，定义：点
1
2
1
2
1
1
1
1
,
2
2
2
2
k
k
k
k
M
x
x
y
y
+
−
+
−
+
+
和
1
2
1
2
1
1
1
1
,
2
2
2
2
k
k
k
k
N
x
x
y
y
−
+
−
+
+
+
是线段AB
的两个“k-加权点”，线段MN （含端点）是线段AB 的“k-加权线段”．
已知点
(
)
2,1
A −
，(
)
2,3
B
．
(1)线段AB 的“ 1
2 -加权点”是________；
(2)若线段PQ 是线段AB 的“k-加权线段”，则当线段PQ 与x 轴有交点时，k 的取值范围是________；
(3)记直线y
x
=
和直线y
x
−
=
组成的图形为X．对于点
(
)
3,4
C −
，
(
)
3,0
D
，线段PQ 和RS 分别是线段AB
和CD的“k-加权线段”，满足以线段PQ 和RS 为对角线的四边形与图形X 恰有3 个不同的交点，则k 的值
是________．
【答案】(1)
3
1, 2
M
−
和
5
1, 2
N
(2)
2
k
(3) 2
3 或10
7
【难度】0.15
【知识点】一次函数与几何综合、坐标系中的动点问题（不含函数）
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【分析】（1）根据题意得到
1
2
x = −，
1
1
y = ，
2
2
x =
，
2
3
y = ，
1
2
k =
，代入点M 和点N 的表达式即可
求出结果；
（2）先求出点P，Q 的表达式，再根据线段PQ 与x 轴有交点，判断出P，Q 两点在x 轴两侧（含落在x
轴上），列出不等式组求解即可；
（3）先求出点R，S 的表达式，令
1
k = ，求出点P，Q，R，S 的坐标，结合图象可得出PQ ，RS 为对角
线的四边形顶点是中心为(
)
0,2 的平行四边形，利用待定系数法分别求出直线PQ ，RS 的解析式，要使以
线段PQ 和RS 为对角线的四边形与图形X 恰有3 个不同的交点，结合图像可得有两种情况，情况一： P
点在y
x
−
=
上，将
(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
代入即可得解；情况二： PS 过O 点，先求出直线AD的表达式，由
PS
AD
且PS 过O 点，可得直线PS 的表达式，再将
(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
代入即可得解．
【详解】（1）解：由题可知，点
(
)
2,1
A −
，(
)
2,3
B
，
1
2
k =
，
∴
1
2
x = −，
1
1
y = ，
2
2
x =
，
2
3
y = ，
∴
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2,
1
3
2
2
2
2
M
+
−
+
−
−
+
+
，
即
3
1, 2
M
−
；
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2,
1
3
2
2
2
2
N
−
+
−
+
−
+
+
，
即
5
1, 2
N
，
∴线段AB 的“ 1
2 -加权点”是
3
1, 2
M
−
和
5
1, 2
N
．
（2）解：由题意知，点
(
)
2,1
A −
，
(
)
2,3
B
的“k-加权点”为(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
，
(
)
2 ,2
Q
k
k
+
，
∵线段PQ 与x 轴有交点，
∴P，Q 两点在x 轴两侧（含落在x 轴上），
∴
2
0
2
0
k
k
−
+
或
2
0
2
0
k
k
−
+
，
解得：
2
k
，
∴k 的取值范围是
2
k
．
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（3）解：由题意知，点
(
)
3,4
C −
，
(
)
3,0
D
的“k-加权点”为(
)
3 ,2
2
R
k
k
−
+
，(
)
3 ,2
2
S
k
k
−
，
由（2）知，
(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
，
(
)
2 ,2
Q
k
k
+
，
令
1
k = ，则(
)
3 1,2
2 1
R −
+
，(
)
3 1,2
2 1
S
−
，
(
)
2 1,2 1
P −
−
，
(
)
2 1,2 1
Q
+
∴
(
)
3,4
R −
，(
)
3,0
S
，
(
)
2,1
P −
，
(
)
2,3
Q
，
由图可知，点C 与点R 重合，点D 与点S 重合，点P 与点A 重合，点Q 与点B 重合，
∴PQ ，RS 为对角线的四边形顶点是中心为(
)
0,2 的平行四边形，
设直线PQ 的解析式为
1
2
y
k x
=
+
，
将点P 代入得：
1
1
2
k =
，
∴直线PQ 的解析式为
1
2
2
y
x
=
+
，
设直线RS 的解析式为
2
2
y
k x
=
+
，
将点R 代入得：
2
2
3
k = −
，
∴直线RS 的解析式为
2
2
3
y
x
−
=
+ ，
要使以线段PQ 和RS 为对角线的四边形与图形X 恰有3 个不同的交点，
情况一：如图，P 点在y
x
−
=
上，
把
(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
代入得
(
)
2
2
k
k
−
= −−
，
解得
2
3
k =
．
情况二：如图，PS 过O 点．
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设直线AD的表达式为y
mx
n
=
+
，
则
2
1
3
0
m
n
m
n
−
+
=
+
=
，
解得
1
5
3
5
m
n
= −
=
，
∴直线AD的表达式为
1
3
5
5
y
x
= −
+
，
∵PS
AD
，且PS 过O 点，
∴直线PS 的表达式为
1
5
y
x
= −
，
把
(
)
2 ,2
P
k
k
−
−
代入得
(
)
1
2
2
5
k
k
−
= −
−
，
解得
10
7
k =
．
综上k 的值是2
3 或10
7 ．
模块三、一次函数与方程综合
重难点一、已知直线与坐标轴交点求方程的解
直线y=kx+b 与 x 轴交点横坐标，就是方程kx+b=0 的解；与 y 轴交点纵坐
标，是x=0 时方程y=b 的解。已知交点坐标可直接写出对应一元一次方程的解，也可反向
代入解求出直线解析式，二者相互转化，紧扣函数与方程的对应关系解题。
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1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）直线y
ax
b
=
+
经过点(
)
0,5
A
和点(
)
2,0
B −
，则方程
0
ax
b
+
=
的解
是（ ）
A．
2
x =
B．
2
x = −
C．
5
x =
D．
5
x = −
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】一元一次方程
0
ax
b
+
=
的解是一次函数y
ax
b
=
+
的图象与x 轴交点的横坐标，即当
0
y =
时对应
的自变量x 的值．
【详解】解：直线y
ax
b
=
+
经过点(
)
2,0
B −
，
当
0
y =
时，
2
x = −，
方程
0
ax
b
+
=
的解是
2
x = −．
2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）如图，直线y
ax
b
=
+
过点
(
)
0,3
A
和(
)
4,0
B −
，则方程
0
ax
b
+
=
的
解是（ ）．
A．
0
x =
B．
3
x =
C．
4
x = −
D．
5
x =
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】一次函数y
ax
b
=
+
的图像与x 轴交点的横坐标即为
0
ax
b
+
=
的解．
【详解】解：∵y
ax
b
=
+
过点(
)
4,0
B −
，
∴方程
0
ax
b
+
=
的解是
4
x = −．
3．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）如图，正比例函数
2
y
x
−
=
的图象向上平移4 个单位，恰好与一次
函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象重合，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解是（ ）
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A．
1
x =
B．
2
x =
C．
1
x = −
D．
2
x = −
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】一次函数图象平移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的解析式为
2
4
y
x
−
=
+
，令
0
y =
，则
2
4
0
x
−
+
=
，求解即可．
【详解】解：∵正比例函数
2
y
x
−
=
的图象向上平移4 个单位，恰好与一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象重
合，
∴一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的解析式为
2
4
y
x
−
=
+
，
令
0
y =
，则2
4
0
x
−
+
=
，
解得
2
x =
，
∴关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解是
2
x =
．
4．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一面朝右的平面镜贴在y 轴上，一束光线
从点
(4,3)
B
处射出，射到平面镜上的点
(0,1)
A
处，被平面镜反射后射到x 轴上的点C 处，则点C 的坐标
为（ ）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3 0)
,
D．(4,0)
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、轴对称中的光线反射问题
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【分析】在AC 延长线上取点B，使得点B与点B 关于直线
1
y = 对称，求出点
(
)
4, 1
B
−
，利用待定系数
法求出直线AC 的解析式，即可求出点C 的坐标．
【详解】解：根据题意得，直线AB 与直线AC 关于直线
1
y = 对称，
在AC 延长线上取点B，使得点B与点B 关于直线
1
y = 对称，
∵
(
)
4,3
B
，
∴
(
)
4, 1
B
−
，
设直线AC 的解析式为
1
y
kx
=
+ ，则1
4
1
k
−=
+ ，
解得
1
2
k = −
，
∴直线AC 的解析式为
1
1
2
y
x
= −
+ ，
令
1
1
0
2
y
x
= −
+ =
，解得
2
x =
，
∴点C 的坐标为(
)
2,0 ．
5．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）若一次函数y
x
b
=
+
的图象经过点(1,2) ，则方程
2
x
b
+
=
的解是x =
________．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【详解】解：一次函数y
x
b
=
+
的图象经过点(
)
1,2
当
1
x = 时，
2
y
x
b
=
+
=
方程
2
x
b
+
=
的解是
1
x = ．
6．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数y
kx
b
=
+
的图象，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为
x =__________．
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【答案】3
−
【难度】0.85
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】一次函数y
kx
b
=
+
的图象与x 轴交点横坐标的值即为方程
0
kx
b
+
=
的解．
【详解】解：∵一次函数y
kx
b
=
+
的图象与x 轴相交于点(
)
3,0
−
，
∴关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解是
3
x
−
=
．
7．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）如图，直线
2
8
y
x
=
+ 分别与x 轴、y 轴交于点A、B ，C 是线段
OB 上一点，连接AC ，将ABC
沿着AC 翻折得AB C
，若点B落在第四象限，且
4 2
OB=
，则点C
的坐标为______．
【答案】
4
0 3
，
/
1
013
，
【难度】0.4
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、折叠问题
【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾
股定理建立方程是本题的关键．
先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到AB
AB
=
，
BC
B C
=
，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出B C
长度表达式，利用BC
B C
=
，最终
通过建立方程求解得出点C 的坐标．
【详解】解：过点B作
M
B
x
⊥
轴，垂足为点M ．
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令
0
y =
，则2
8
0
x + =
，
解得：
4
x = −．
(
)
4,0
A
−
．
令
0
x =
，则
8
y =
．
(
)
0,8
B
．
4
OA
=
，
8
OB =
．
由勾股定理可得：
2
2
2
2
4
8
4 5
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
．
ABC
沿着AC 翻折得AB C
．
4 5
AB
AB
=
=
．
设OM
a
=
．
在Rt
OB M
△
中，
2
2
2
MB
OB
OM
=
−
，即
(
)
2
2
2
4 2
MB
a
=
−
．
在Rt
AB M
△
中，
2
2
2
MB
AB
AM
=
−
，即
(
)
(
)
2
2
2
4 5
4
MB
a
=
−
+
．
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4 2
4 5
4
a
a
−
=
−
+
，
解得：
4
a =
．
(
)
2
2
4 2
4
4
MB
=
−
=
．
(
)
4, 4
B
−
．
设
(
)
0,
C
c ，则
8
BC
c
=
−
．
由勾股定理得：
(
)
2
2
2
4
4
B C
c
=
+
+
．
BC
B C
=
即
2
2
BC
B C
=
．
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(
)
2
8
c
−
(
)
2
2
4
4
c
=
+
+
，
解得：
4
3
c =
．
4
0, 3
C
．
故答案为：
4
0, 3
．
8．（25-26 八年级上·全国·课前预习）已知一次函数y
ax
b
=
+
的图象如图所示．
(1)关于x 的方程
0
ax
b
+
=
的解是________；
(2)关于x 的方程
2
ax
b
+
=
的解是________；
(3)关于x 的方程
1
0
ax
b
+ + =
的解是________．
【答案】(1)
4
x = −
(2)
0
x =
(3)
6
x = −
【难度】0.65
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
（1）一次函数y
ax
b
=
+
的图象与x 轴交点横坐标的值即为方程
0
ax
b
+
=
的解；
（2）根据一次函数图象可得一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过(0,2) 点，进而得到方程的解；
（3）根据一次函数图象可得一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过( 6, 1)
−
−
点，进而得到方程的解．
【详解】（1）解： 一次函数y
ax
b
=
+
的图象与x 轴相交于点( 4,0)
−
，
关于x 的方程
0
ax
b
+
=
的解是
4
x = −．
故答案为：
4
x = −；
（2）解：根据图象可得，一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过(0,2) 点，
因此关于x 的方程
2
ax
b
+
=
的解
0
x =
，
故答案为：
0
x =
；
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（3）解：根据图象可得，一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过( 6, 1)
−
−
点，
因此关于x 的方程
1
0
ax
b
+ + =
的解
6
x = −，
故答案为：
6
x = −．
重难点二、由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
一元一次方程kx+b=0 的解x=m，对应直线y=kx+b 与 x 轴交点(m,0)。解题
先求解一元一次方程，得到x 数值，直接写出交点坐标；若给出交点，可快速写出对应方
程的解，利用函数图像与方程的内在转化关系，简化选择、填空题型作答步骤。
1．（25-26 八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于x 的方程3
0
x
b
+
=
的解是
3
x
−
=
，则直线
3
y
x
b
=
+
一定
经过点（ ）
A．(
)
3,0
−
B．(
)
3,0
C．(
)
0, 3
−
D．(
)
0,3
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程3
0
x
b
+
=
的解，对应直线
3
y
x
b
=
+
中
0
y =
时的x 值，据此可确定直线经过的点．
【详解】解：方程3
0
x
b
+
=
的解是
3
x
−
=
，
当
3
x
−
=
时，
3
0
y
x
b
=
+
= ，
直线
3
y
x
b
=
+
一定经过点(
)
3,0
−
．
2．（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）若
2
x =
是关于x 的方程
(
)
0
0
mx
n
m
+
=
的解，则一次函数
y
mx
n
= −
−
的图象与x 轴的交点坐标是( )
A．(
)
3,0
B．(
)
0,3
C．(
)
0,2
D．(
)
2,0
【答案】D
【难度】0.85
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【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为
0
ax
b
+
=
(a，b 为常数，
0)
a
的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0 时，求相应的
自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y
ax
b
=
+
确定它与x 轴的交点的横坐标的值．
由方程的解可得n 与m 的关系，再令一次函数
0
y =
求解x ，即可得交点坐标．
【详解】解：∵
2
x =
是方程
0
mx
n
+
=
的解，
∴2
0
m
n
+
=
，即
2
n
m
= −
．
令
0
y =
，即
0
mx
n
−
−
=
，
代入
2
n
m
= −
，得
(
)
2
0
mx
m
−
−−
=
，
∴
(
)
2
0
m
x
−+
=
，
∵
0
m
，
∴
2
0
x
−+
=
，解得
2
x =
．
∴交点坐标为(
)
2,0 ．
故选：D．
3．（25-26 八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数
2
y
x
b
= −
+
的判断，正确的是（ ）
A．当
0
b
时，该函数图象经过一、三、四象限
B．若关于x 的方程2
0
x
b
−
=
的解是x
m
=
，则
2
y
x
b
= −
+
的图象恒过点(
)
,0
m
C．若该函数的图象向右平移2 个单位后经过原点，则
2
b = −
D．点
(
)
1
1
,
A x y
，点
(
)
2
2
,
B x
y
在该函数的图象上，若
1
2
0
x
x
，则
1
2
0
y
y
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、
由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关
键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项．
【详解】解：对于一次函数
2
y
x
b
= −
+
，其中
2
0
k = −
．
选项A：当
0
b
时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A 错误；
选项B：∵方程2
0
x
b
−
=
的解是x
m
=
，
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∴2
0
m b
−=
，即
2
b
m
=
．
将x
m
=
代入
2
y
x
b
= −
+
，得
2
2
0
y
m
m
= −
+
=
，
∴函数图象恒过点(
)
,0
m
，故B 正确；
选项C：函数图象向右平移2 个单位后解析式为
(
)
2
2
2
4
y
x
b
x
b
= −
−
+
= −
+
+
，∵图象过原点(
)
0,0 ，代入
得0
4 b
=
+ ，解得
4
b = −，而非
2
b
−
=
，故C 错误；
选项D：y 随x 的增大而减小．若
1
2
0
x
x
，则
1
2
y
y
，但
1y 与
2y 的符号由b 决定，不一定满足
1
2
0
y
y
，故D 错误；
故选：B．
4．（21-22 九年级上·辽宁朝阳·期末）已知一次函数
2
5
5
y
kx
x
=
−
−的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围
是______．
【答案】
0
k =
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数、由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与x 轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定k 的取
值，再验证函数与x 轴是否有交点即可得到结果.
【详解】解：函数
2
5
5
y
kx
x
=
−
−是一次函数，
根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为1，
二次项系数
0
k =
，
将
0
k =
代入得函数解析式为
5
5
y
x
= −
−，
令
0
y =
，解得
1
x = −，该函数图象与x 轴有交点，符合题意，
故k 的取值范围是
0
k =
．
5．（25-26 八年级上·宁夏银川·期中）直线
2
y
x
b
=
−上有一点的坐标是(
)
2,3 ，则关于x 的方程2
3
x
b
−
=
的
解是_______．
【答案】
2
x =
【难度】0.85
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，
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熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线
2
y
x
b
=
−上有一点的坐标是(
)
2,3 ，
∴当
2
x =
时，2
3
x
b
−
=
，
∴方程2
3
x
b
−
=
的解是
2
x =
，
故答案为：
2
x =
．
6．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某
数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并
完成下面填空与证明．
【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系
【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究：
如图1，已知点
(
)
0,4
A
，
(
)
6,4
B
，在x 轴上找一点C ，使AC
BC
+
的值最小：
(1)作法：作点A关于x 轴的对称点A（ ），连接A B
与x 轴的交点即为C （__________）；（填写坐
标）
(2)求法：由作法知：AC
CB
A C
CB
A B
+
=
+
=
，A B
的长度是__________；
(3)说理：CA
CA
=
的依据是__________，x 轴上的点到A，B 距离之和的最小值等于A B
的依据是
__________；
【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律．
如图，已知光源位于点
(
)
0,4
A
，将x 轴视为平面镜，在x 轴上确定点D ，使光线经过点D 反射后恰好过
点
(
)
9,8
E
；
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(4)应用：运用活动一的作法，可得D （__________）；（填写坐标）
(5)悟理：如图2，过点D 作DF
x
⊥
轴于点D ，证明：
EDF
ADF
=
．
【答案】(1) 0, 4
- ，3,0
(2)10
(3)轴对称的性质；两点之间，线段最短
(4)3,0
(5)
证明：如图，
∵点A、点A关于x 轴对称，
∴
ADO
A DO
=
，
又
A DO
EDM
=
，
∴
ADO
EDM
=
，
∵DF
x
⊥
轴，
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∴
90
ADO
ADF
EDM
EDF
+
=
+
=
，
∴
EDF
ADF
=
．
【难度】0.53
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点、两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、坐
标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据关于x 轴对称点的坐标特征求出A的坐标，待定系数法求出直线A B
的解析式，然后
令
0
y =
，求出x 的值，即可求解；
（2）连接AB ，根据勾股定理求解即可；
（3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可；
（4）待定系数法求出直线A E
的解析式，然后令
0
y =
，求出x 的值，即可求解；
（5）根据轴对称的性质得出
ADO
ADO
EDM
=
=
，然后根据余角的性质即可得证．
【详解】（1）解：∵
(
)
0,4
A
，A、A关于x 轴对称，
∴
(
)
0, 4
A
−
，
设直线A B
的解析式为y
kx
b
=
+
，
则
6
4
4
k
b
b
+
=
= −
，
∴
4
3
4
k
b
=
= −
，
∴
4
4
3
y
x
=
−
，
当
0
y =
时，4
4
0
3 x−
=
，解得
3
x = ，
∴
(
)
3,0
C
；
（2）解：连接AB ，
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∵
(
)
0,4
A
，
(
)
6,4
B
，
∴
6
AB =
，AB
y
⊥
轴，
∵
(
)
0, 4
A
−
，
∴
8
AA= ，
∴
2
2
2
2
8
6
10
A B
A A
AB
=
+
=
+
=
；
（3）解：∵A、A关于x 轴对称，
∴CA
CA
=
；
由（2）知：AC
CB
A C
CB
+
=
+
，
∴x 轴上的点到A，B 距离之和的最小值等于A B
的依据是两点之间，线段最短；
（4）解：作点A关于x 轴对称的点A，则
(
)
0, 4
A
−
，连接A E
交x 轴于D，
设直线A E
的解析式为
1
1
y
k x
b
=
+
，
则
1
1
1
9
8
4
k
b
b
+
=
= −
，
∴
1
1
4
3
4
k
b
=
= −
，
∴
4
4
3
y
x
=
−
，
当
0
y =
时，4
4
0
3 x−
=
，解得
3
x = ，
∴
(
)
3,0
D
；
（5）略
7．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A、B、C 的坐标分
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别为
(
)
1,1
A
，(
)
4,3
B
,
(
)
3,5
C
．
(1)画出ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)已知点M 在y 轴上，且MA
MC
=
，则点M 的坐标是______；
(3)有一点P 在x 轴上，若要PAC
的周长最小，则点P 的坐标为______．
【答案】(1)
1
1
1
A B C
△
即为所求：
(2)
(
)
0,4
M
(3) 4 ,0
3
【难度】0.65
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点、已知两点坐标求两点距离、画轴对称图形、线
段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，两点间线段最短，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关
键．
（1）作出
, ,
A B C 关于y 轴对称的点
1
1
1
,
,
A B C ，依次连接
1
1
1
,
,
A B C 即可；
（2）设点
(
)
0,
M
m ，由勾股定理及题意得
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
3
5
m
m
+
−
=
+
−
，求解即可得出答案；
（3）作A关于x 轴的对称点A，连接AA，交x 轴于点P ，得到PA
PC
+
的最小值为A C
的长，则此时
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PAC
的周长最小，求出A C
的函数关系式为
3
4
y
x
=
−
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设点
(
)
0,
M
m ，由勾股定理得：
(
)
2
2
21
1
MA
m
=
+
−
，
(
)
2
2
23
5
MC
m
=
+
−
，
∵MA
MC
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
3
5
m
m
+
−
=
+
−
，
解得：
4
m =
，
∴
(
)
0,4
M
，
故答案为：(
)
0,4 ；
（3）解：作A关于x 轴的对称点A，连接AA，交x 轴于点P ，如图：
∵,
A A关于x 轴对称，
(
)
1,1
A
∴
(
)
1, 1
A
−
∴PA
PC
+
的最小值为A C
的长，
∴此时PAC
的周长最小，
设A C
的函数关系式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
1, 1
A
−
，
(
)
3,5
C
∴
1
3
5
k
b
k
b
+
= −
+
=
，
解得：
3
4
k
b
=
= −
，
∴A C
的函数关系式为
3
4
y
x
=
−
，
当
0
y =
时，
4
3
x =
，
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∴点
4 ,0
3
P
，
故答案为：4 ,0
3
．
8．（25-26 八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数,a b 都有
(
)
*
2
a b
a a
b
=
−
+
，等式右
边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：
(
)
2*5
2
2
5
2
6
2
4
=
−
+
= −+
= −．
(1)若
(
)
3*
5
x
y
−
=
，且
(
)
2*
6
x
y
+
=
，求,x y的值；
(2)对于变量,x y，满足
(
)
2* 4
y
x
=
+
，求出y 关于x 的函数关系式，并求出该函数图象上与x 轴距离为2
的点的坐标．
【答案】(1)
1
x = ，
1
y
−
=
(2)
2
2
y
x
= −
−，(
)
2,2
−
或(
)
0, 2
−
【难度】0.4
【知识点】加减消元法、由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新运算可得
2
0
x
y
x
y
−
=
+
=
①
②，然后解二元一次方程组即可；
（2）根据新运算可得y 关于x 的函数关系式，再分别把
2
y =
和
2
y = −代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵
(
)
3*
5
x
y
−
=
，
(
)
2*
6
x
y
+
=
，
∴
(
)
3 3
2
5
x
y
−
−
+
=
，
(
)
2 2
2
6
x
y
−
+
+
=
，
∴
2
x
y
−
=
，
0
x
y
+
=
，
联立方程组
2
0
x
y
x
y
−
=
+
=
①
②，
①＋②得，2
2
x =
，解得
1
x = ，
把
1
x = 代入②得，
1
y
−
=
；
（2）解：
(
)
2* 4
y
x
=
+
(
)
2 2
4
2
x
=
−
−
+
4 8 2
2
x
=
−−
+
2
2
x
= −
−
，
即
2
2
y
x
= −
−；
把
2
y = 代入得，2
2
2
x
= −
−
，解得
2
x = −或0，
该函数图象上与x 轴距离为2 的点的坐标是(
)
2,2
−
或(
)
0, 2
−
．
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重难点三、利用图象法解一元一次方程
图像法解方程核心：方程kx+b=0 的解，是直线y=kx+b 与 x 轴交点的横坐
标。解题步骤：画出一次函数完整图像，找到直线和 x 轴交点，读取交点横坐标数值，
该数值就是一元一次方程的解。画图时精准标记交点，减少读数误差，结合代数计算验证
答案。
1．（25-26 八年级下·山东潍坊·期中）已知点(
)
7,3
−
在直线y
kx
b
=
+
上，则关于x 的方程
3
kx
b
+
= 的解为
（ ）
A．
7
x = −
B．
7
x =
C．
3
x
−
=
D．
3
x =
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直
接得到方程的解．
【详解】解：∵ 点(
)
7,3
−
在直线y
kx
b
=
+
上．
∴ 将
7,
3
x
y
= −
=
代入y
kx
b
=
+
，得
(
)
7
3
k
b
−
+
=
．
又∵ 待求解方程为
3
kx
b
+
= ．
∴ 方程的解为
7
x = −．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，一次函数
(
)
0
y
ax
b a
=
+
的图象经过点(
)
2,4 ，(
)
4,1 ，则关于x 的方程
1
ax
b
+
= 的解是（ ）
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A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】由一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过点(
)
4,1 ，可得当
4
x = 时，
1
ax
b
+
= ，从而得出答案．
【详解】由条件可知当
4
x = 时，
1
ax
b
+
= ，
方程
1
ax
b
+
= 的解是
4
x = ．
3．（25-26 八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数
(
y
mx
b m
=
+
，b 均为常数）与正
比例函数y
nx
=
（n 为常数）的图象如图所示，则关于x 的方程nx
mx
b
−
=
的解为（ ）．
A．
3
x
−
=
B．
3
x =
C．
1
x = −
D．
1
x =
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】先对方程变形，nx
mx
b
−
=
整理得nx
mx
b
=
+ ；方程nx
mx
b
=
+ 的解，就是直线y
nx
=
与直线
y
mx
b
=
+
交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解．
【详解】解：对方程nx
mx
b
−
=
移项变形：
nx
mx
b
=
+ ，
方程nx
mx
b
=
+ 的几何意义：正比例函数y
nx
=
与一次函数y
mx
b
=
+
的函数值相等．
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由图象可知，直线y
nx
=
和y
mx
b
=
+
的交点坐标为(
)
3, 1
−
，交点横坐标为3．
因此方程nx
mx
b
−
=
的解为
3
x = ．
4．（2022 八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x 的方程
2022
x
ax
=
+
有且只有一个正根，则a 的取值范围是
（ ）
A．
1
a
−
B．
1
a
−
C．1
1
a
−
D．
1
a
E．
1
a
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义，将方程转化为函数图象解题是
关键．关于x 的方程
2022
x
ax
=
+
有且只有一个正根可以看作函数y
x
=
与
2022
y
ax
=
+
有且只有一个交
点，再结合函数图象解题即可．
【详解】解：解：关于x 的方程
2022
x
ax
=
+
的解可以看作函数y
x
=
与
2022
y
ax
=
+
的交点，
观察图象可知，
若
1
a = −，则直线
2022
y
ax
=
+
与函数y
x
=
图象的左分支平行，
若
1
a
−
，直线
2022
y
ax
=
+
与y
x
=
图象有且只在右分支有一个交点，则方程
2022
x
ax
=
+
有且只有一个
正根；
小学
初中
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若1
0
a
−
，则直线
2022
y
ax
=
+
与y
x
=
图象有两个交点，则方程
2022
x
ax
=
+
有两个解；
若
0
a =
，则直线
2022
y
ax
=
+
与y
x
=
图象有两个交点，则方程
2022
x
ax
=
+
有两个解；
若
0
a
，则直线
2022
y
ax
=
+
与y
x
=
图象在左分支必有交点，则方程
2022
x
ax
=
+
有负根；
综上所述，当
1
a
−
时，关于x 的方程
2022
x
ax
=
+
有且只有一个正根，
故选：A．
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5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数
1y
ax
b
=
+
（a，b 为常数且
0
a
）与正比例函数
2y
kx
=
（k 为常数且
0
k
）的图象交于点P ，则关于x 的方程ax
b
kx
+
=
的解是_____．
【答案】
4
x = −
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】方程ax
b
kx
+
=
的几何意义：求一次函数
1y
ax
b
=
+
与正比例函数
2y
kx
=
函数值相等时对应的自
变量x ，也就是两条直线交点的横坐标．交点P 的横坐标即为方程的解．
【详解】解：方程ax
b
kx
+
=
等价于求
1
2
y
y
=
时x 的取值，对应两个函数图像的交点横坐标．
由图可知，直线
1y
ax
b
=
+
与
2y
kx
=
的交点P 坐标为(
)
4, 2
−
−
，该点横坐标为4
−．
因此当
4
x = −时，ax
b
kx
+
=
成立，方程ax
b
kx
+
=
的解是
4
x = −．
6．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象分别与,x y轴交于
,
A B
两点．若(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为x =_________．
【答案】4
−
【难度】0.85
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程
【分析】利用函数过(
)
4,0
A −
，则有
4
x = −时函数值为0，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为
4
x = −．
【详解】解：∵一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象与x 轴交于(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，
∴关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为
4
x = −．
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7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数
2
y
kx
=
+ （k 为常数且
0
k
）和
3
1
y
x
=
+ 的图象相交于点A，
根据图象可知关于x 的方程
2
3
1
kx
x
+
=
+ 的解是______．
【答案】
1
x =
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解.
【详解】解：由图象可知，关于x 的方程
2
3
1
kx
x
+
=
+ 的解是
1
x = .
8．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图
象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象和性
质，并解决问题．
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
5
−
m
1
−
1
n
3
−
5
−
…
(1)表中m = ，n = ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
(3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质：
①该函数的最大值为 ；
②若方程2
1
x
k
−
+ =
有两个解，则k 的取值范围是 ；
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③请你再写出一条该函数的性质．
【答案】(1) 3
−；1
−
(2)如图所示．
(3)①1；②
1
k ；③关于y 轴对称．（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程、一次函数图象
与对称问题
【分析】（1）将
2
x = −和
1
x = 代入函数关系式，即可求出m 、n 的值；
（2）描出表中各组对应值为坐标的点，即可画出函数图象；
（3）结合函数图象直接作答即可．
【详解】（1）解：当
2
x = −时，
2
2
1
2 2 1
4 1
3
m = −−
+ = −+ = −+ = −，
当
1
x = 时，
2
1
1
2 1 1
2 1
1
n = −
+ = −+ = −+ = −；
（2）略
（3）解：①由函数图象可知，该函数的最大值为1；
②方程2
1
x
k
−
+ =
有两个解，
函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象与直线y
k
=
有两个交点，
k
的取值范围是
1
k ；
③关于y 轴对称．（答案不唯一）．
9．（25-26 八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数
2
y
x
=
+
展
开探究，过程如下．
(1)根据函数表达式列表如下，则表中m = ___________；
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x
．．．
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
．．．
y
．．．
3
m
1
0
1
2
3
．．．
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(3)方程
1
2
2
3
x
x
+
= −
+
的解为___________
【答案】(1)2
(2)
如图所示：
(3)
0
x =
或
6
x = −
【难度】0.5
【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、利用图象法解一元一次方程
【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的
计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想．
（1）利用函数表达式
2
y
x
=
+
，将
4
x = −代入计算对应的y 值，得到m ；
（2）根据列表中x 与y 的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数
2
y
x
=
+
的图象；
（3）解绝对值方程
1
2
2
3
x
x
+
= −
+
，需分
2
0
x+
和
2
0
x+
两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足
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对应范围，从而确定方程的解．
【详解】（1）解：已知函数为
2
y
x
=
+
，当
4
x = −时，将
4
x = −代入函数表达式：
| 4
2 | | 2 | 2
y = −+
= −
=
，因此
2
m =
；
故答案为：2 ；
（2）略；
（3）解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当
2
0
x+
即
2
x −时，
此时|
2 |
2
x
x
+
=
+
，原方程化为：
1
2
2
3
x
x
+
= −
+
，解得：
0
x =
，
检验：0
2
−，满足该情况的前提条件，因此
0
x =
是方程的一个解；
情况二：当
2
0
x+
即
2
x
−
时，
此时|
2 |
(
2)
2
x
x
x
+
= −
+
= −−
，原方程化为：
1
2
2
3
x
x
−−
= −
+
，解得：
6
x = −，
检验：6
2
−−，满足该情况的前提条件，因此
6
x = −是方程的一个解；
综上，方程
1
2
2
3
x
x
+
= −
+
的解为
0
x =
或
6
x = −．
故答案为：
0
x =
或
6
x = −．
