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重难点专题02 平方根与立方根
模块一、算术平方根
重难点一、求一个数的算术平方根
算术平方根结果为非负数。先思考哪个非负数的平方等于原数，正数算术平
方根仅有一个，0 的算术平方根是 0。注意区分平方根与算术平方根，题目带√符号，直
接求算术平方根，不要额外添加负号，计算前优先化简原数。
1．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）对于实数a 、b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，则关于4 6
※
的结果，下列说法正确的是（ ）
A．平方根是2
B．算术平方根是2
C．立方根是2
D．立方根是2
−
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
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【分析】先根据新定义运算求出4 6
※ 的结果，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断各选项即
可．
【详解】解：∵
2
a
b
a
ab
=
−
※
，
∴
2
4
6
4
4 6
16
24
8
=
−
=
−
= −
※
．
∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B 选项，
又∵3
8
2
−= −，
∴4 6
※ 结果的立方根是2
−，D 正确．
2．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的
数据：
①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为22
7
②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为9 万千米
③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为
3
−
个标准大气压
④火箭发动机某部件体积恰好为3 6 立方米．
老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】根据有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，逐个分析．
【详解】解：22
7 是分数，属于有理数；
9
3
=
，是整数，属于有理数；
3
−
，是无限不循环小数，因此
3
−
是无理数；
3 6 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
综上，无理数共2 个．
3．（21-22 七年级下·江苏南通·阶段检测）
2
( 2)
−
= _________．
【答案】2
【难度】0.95
【知识点】求一个数的算术平方根
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【详解】解：(
)
2
2
2
2
−
= −
=
．
4．（25-26 七年级下·湖南永州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，
若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例
如：2
−，8
−，18
−
这三个数，(
) (
)
2
8
4
−
−
=
，(
) (
)
2
18
6
−
−
=
，(
) (
)
8
18
12
−
−
=
，其结果4 ，6 ，
12都是整数，所以2
−，8
−，18
−
这三个数是“完全数组”，而4 ，6 ，12称为“完全子集”．
(1) 9
−，1
−，4
−这三个数是“完全数组”吗？请说明理由．
(2)若4
−，a ，16
−
这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12，求a 的值．
【答案】(1)解：是，理由如下：
(
) (
)
9
1
3
−
−
=
，
(
) (
)
9
4
6
−
−
=
，
(
) (
)
1
4
2
−
−
=
，
∵其结果3、6 、2 都为整数，
9
−，1
−，4
−这三个数是“完全数组”
(2) a 的值为36
−
或9
−
【难度】0.65
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可；
（2）根据题意可分当
4
12
a
−
=
和
16
12
a
−
=
，进而分类进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵“完全子集”中有一个数为12，
∴当
4
12
a
−
=
，
解得
36
a = −
，
当
16
12
a
−
=
，
解得
9
a = −，
经检验，
36
a = −
或9
−时均符合题意，
综上，a 的值为36
−
或9
−．
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重难点二、利用算术平方根的非负性解题
算术平方根≥0，常见题型搭配绝对值、平方，多个非负数相加等于 0 时，
则每一项均为 0。据此列出方程求出未知数的值，再代入代数式求值。解题关键准确识别
非负式子，牢记几个常见非负形式，规避符号易错点。
1．（25-26 七年级下·广西崇左·期中）若(
)
2
4
2
0
a
b
+
+
−
=
，则（ ）
A．
4,
2
a
b
= −
= −
B．
4,
2
a
b
=
=
C．
4,
2
a
b
= −
=
D．满足这个式子的数a
b
、不存在
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、有理数的乘方运算
【分析】根据平方和算术平方根的非负性即可解答．
【详解】解：∵(
)
2
4
2
0
a
b
+
+
−
=
，
∴
4
0
a+
=
，2
0
b
−
=
，
∴
4
a = −，
2
b = ．
2．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）如果(
)
2
x
y
−
的算术平方根是x
y
−
，则下列式子中成立的是
（ ）
A．x
y
B．x
y
C．x
y
D．x
y
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】利用算术平方根的非负性即可推导出x 与y 的大小关系．
【详解】解：∵(
)
2
x
y
−
的算术平方根是x
y
−
，
∴
0
x
y
−
．
∴x
y
．
3．（25-26 七年级下·山东济南·期末）某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换
数对”功能．
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定义：对于输入的数对(
)
,a b ，其中
0
b
．计算器会先将a 进行开立方运算得到m ，即
3
m
a
=
，再将b 的
算术平方根取相反数得到n ，即n
b
= −
，最后输出两个结果(
)
,
m n 和(
)
,n m ，将这两个输出结果称为数对
(
)
,a b 的“变换数对”．
例如：数对(
)
8,49 的“变换数对”为(
)
2, 7
−
和(
)
7,2
−
．
(1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________；
A．(
)
3, 5
−
B．(
)
2,6 C．(
)
0,7 D．(
)
1, 9
−
−
(2)若输入数对(
)
64,9 ，则输出的“变换数对”结果为________；
(3)社团成员小明输入某个数对(
)
,p q 后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是(
)
2,5
−
，求p 和q 的值．
【答案】(1)B
(2)
(
)
4, 3
−
和(
)
3,4
−
(3)
125,
4
p
q
=
=
【难度】0.56
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、
求一个数的立方根
【分析】（1）根据n 的取值范围判断选项即可；
（2）按定义计算出m 和n ，即可写出变换数对；
（3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到p 和q 的值．
【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对( , )
a b ，
,
0
n
b b
= −
，因此
0
n
，
任意输出的变换数对为( , )
m n 或( ,
)
n m ，因此任意变换数对中必有一个数不大于0，
选项A、(3, 5)
−
，5
0
−
，可能；
选项B、(2,6)，两个数都大于0，不可能；
选项C、(0,7) ，可能；
选项D、( 1, 9)
−
−
，两个数都不大于0，可能；
（2）解：输入数对(64,9) ，则
64,
9
a
b
=
=
，
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∴
3 64
4
m =
=
，
9
3
n = −
= −，
∴输出的变换数对为(4, 3)
−
和( 3,4)
−
；
（3）解：已知其中一个输出结果是( 2,5)
−
，
分两种情况讨论：
若
2,
5
m
n
= −
=
，则
5
n = 与
0
n
q
= −
矛盾，此情况舍去；
若
5,
2
m
n
=
= −，
由
3
5
m
p
=
=
，得
35
125
p =
=
，
由
2
n
q
= −
= −，得
2
q =
，两边平方得
4
q =
，满足
0
q
，
因此
125,
4
p
q
=
=
．
4．（25-26 七年级下·河南濮阳·期末）如图，正方形ABCD的四个顶点均在边长为1的正方形网格的格点
上，且点C 在数轴上表示1
−．以点C 为圆心，以CD的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E ．小明
利用割补法求出了正方形ABCD的面积是13，请你解决下面问题．
(1)正方形ABCD的边长是__________；
(2)点E 表示的实数是__________；
(3)能否将正方形ABCD纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2 ，长比
宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由；
(4)将正方形ABCD纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留π ）．
【答案】(1) 13
(2) 13
1
−
(3)不能，理由如下：
设长方形纸片的长为3x，宽为2x ，
根据题意，得3
2
2
x
x
−
=
，
解得：
2
x =
，
3
6
x =
，2
4
x =
，
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正方形纸片的边长为13 ，13
4
，
裁不出满足上述条件的纸片
(4) 13
【难度】0.57
【知识点】实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用)、求一个数的算术平方根
【分析】（1）根据正方形的面积为13，正方形的面积等于边长的平方即可得出正方形的边长；
（2）由同圆半径相等得CE 等于正方形边长，结合点C 在数轴上表示的数，向右平移对应长度，即可计
算得出点E 表示的实数；
（3）按长宽的比例设未知数，根据长比宽多2 列方程求出长与宽，再将宽与正方形边长比较，即可判断
能否裁出符合条件的长方形；
（4）明确正方形内最大圆为内切圆，其直径等于正方形边长，代入圆的周长公式计算即可得出圆形纸片
的最大周长．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积是13，
∴正方形ABCD的边长是13 ；
（2）解：点C 表示1
−，
13
CE
CD
=
=
且E 在正半轴，
∴E 表示的实数为13 1
−；
（3）略
（4）解：正方形内最大圆直径等于正方形边长13 ，
∴圆形纸片周长的最大值是13．
5．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数x 的平方等于a ，即
2x
a
=
，那么这个非负数x 叫作a 的算术平方根，记为
a ．0 的算术平方根是0，即
0
0
=
，所以被开方数a 为非负数．
【探究新知】
(1)若(
)
2
a
a
=
，则a 的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若2
1
2
2
0
a
b
a
b
−+ +
−
+
=
，求(
)
2025
a
b
−
的值．
【拓展应用】
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(3)若2025
2026
a
a
a
−
+
−
=
，求
2
2025
a −
的值．
【答案】(1)
0
a
(2) 1
−
(3)2026
【难度】0.65
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a 的取值范围；
（2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可；
（3）先根据被开方数的非负性确定a 的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果．
【详解】（1）解：对于a ，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数，
因此a 的取值范围是
0
a
；
（2）解：| 2
1| 0
a
b
−
+
，
2
2
0
a
b
−
+
，且2
1
2
2
0
a
b
a
b
−+ +
−
+
=
，
2
1
0
2
2
0
a
b
a
b
−
+ =
−
+
=
，
解得
0
1
a
b
=
=
，
2025
2025
2025
(
)
(0 1)
( 1)
1
a
b
−
=
−
= −
= −；
（3）解：
2025
2026
a
a
a
−
+
−
=
，
2026
0
a
−
，即
2026
a
，
2025
0
a
−
，
原方程可化为
2025
2026
a
a
a
−
+
−
=
，
整理得
2026
2025
a −
=
，
两边平方得
2
2026
2025
a −
=
，
2
2025
2026
a
−
=
．
6．（25-26 八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列
素材，完成各题．
[素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C 表
示的数为c．已知a、b、c 满足
2
|
3 | (6
)
7
a
c
b
+
+
+
= −
−
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(1)在“灵动数轴”中，a =________，b = ________，c = ________．
(2)折叠“灵动数轴”，使点B 与点C 重合，求此时与点A 重合的点所表示的数．
【答案】(1)
3;7; 6
−
−
(2)1
3
+
【难度】0.65
【知识点】实数与数轴、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、数轴上的翻折
【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键．
（1）利用非负数的性质解答即可；
（2）利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点A 对应的数与点A重合的点距离0.5的长度相等解
答即可；
【详解】（1）解：∵
2
|
3 | (6
)
7
a
c
b
+
+
+
= −
−
，
2
|
3 |
(6
)
7
0
a
c
b
+
+
+
+
−
=
，
3
0,6
0,
7
0
a
c
b
+
=
+
=
−
=
，
3,
7,
6
a
b
c
= −
=
= −，
故答案为：
3;7; 6
−
−；
（2）解：∵点B 与点C 重合，
∴折痕处对应的数为6
7
0.5
2
−+
=
，
∴与点A重合的点所表示的数为0.5 2
3
1
3
+
= +
．
7．（25-26 八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在ABC
中，
90
C
=
，BC 长为cm
a
，AC 长为cm
b
，AB 长
为15cm，并且
9
12
0
a
b
−
+
−
=
．请回答以下问题：
(1)a = ，b = ；
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(2)如图，在DEF
中，
90
E
=
，
3cm
EF =
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．在ABC
中，动点P
从点A 出发，沿AC 运动，到点C 停止，速度为3cm / s，若另外有一个动点Q 与点P 同时出发，动点Q
从点B 出发，沿BA运动，到点A 停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q 为顶点的三角
形与DEF
全等，求出点Q 的运动速度；
(3)若在ABC
中，动点P 仍从点A 出发，运动轨迹变为沿AC
CB
→
运动，到点B 停止，速度仍为
3cm / s．动点Q 运动轨迹不变，仍与点P 同时出发，从点B 出发沿着BA运动，到点A 停止．在两点运
动过程中的某时刻，仍有以X ，P，Q 为顶点的三角形与DEF
全等( X 为A 或B)，此时点Q 的运动速度
还可以为 cm/s ．
【答案】(1)9，12
(2)点Q 的运动速度为15
2 cm / s 或33
5 cm / s；
(3) 5 cm / s
6
或9
16 cm / s
【难度】0.4
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程．
（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得
3
AP
t
=
，
15
AQ
vt
=
−
，分两种情况讨论，①
4
AP
DE
=
=
，
5
AQ
DF
=
=
；②
5
AP
DF
=
=
，
4
AQ
DE
=
=
，分别列式计算即可求解；
（3）由题意得
21 3
BP
t
=
−
，BQ
vt
=
，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵
9
12
0
a
b
−
+
−
=
，
9
0
a −
，
12
0
b −
，
∴
9
0
a −
=
，
12
0
b−
=
，
解得
9
a =
，
12
b =
，
故答案为：9，12；
（2）解：∵
9
a =
，
12
b =
，
∴
9cm
BC =
，
12cm
AC =
，
设运动时间为st ，动点Q 速度为cm / s
v
，
由题意得
3
AP
t
=
，
15
AQ
vt
=
−
，
要使APQ
与DEF
全等，且
A
D
=
，
①
4
AP
DE
=
=
，
5
AQ
DF
=
=
，
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∴3
4
t =
，解得
4
3
t =
；
15
5
vt
−
= ，即
4
15
5
3 v
−
=
，
解得
15
2
v =
；
②
5
AP
DF
=
=
，
4
AQ
DE
=
=
，
∴3
5
t = ，解得
5
3
t =
；
15
4
vt
−
=
，即
5
15
4
3v
−
=
，
解得
33
5
v =
；
综上，点Q 的运动速度为15
2 cm / s 或33
5 cm / s ；
（3）解：设运动时间为st ，动点Q 速度为cm / s
v
，
以B ，P，Q 为顶点的三角形与DEF
全等，此时点P 在BC 上，
由题意得
21 3
BP
t
=
−
，BQ
vt
=
，
①
3
BP
EF
=
=
，
5
BQ
DF
=
=
，
∴21 3
3
t
−
=
，解得
6
t =
；
5
vt = ，即6
5
v =
，
解得
5
6
v =
；
②
5
BP
DF
=
= ，
3
BQ
EF
=
= ，
∴21 3
5
t
−
=
，解得
16
3
t =
；
3
vt = ，即16
3
3 v = ，
解得
9
16
v =
；
综上，点Q 的运动速度为5 cm / s
6
或9
16 cm / s ；
故答案为：5 cm / s
6
或9
16 cm / s ．
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重难点三、估计算术平方根的取值范围
使用夹逼法，找到两个相邻整数，使整数平方分别小于、大于被开方数，确
定算术平方根介于两整数之间。估算后可以进一步确定小数范围，常用于比较实数大小。
估算时尽量熟记常见完全平方数，提升做题速度与准确度。
1．（25-26 七年级下·河南许昌·期中）如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时
候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为
26
1
−．请估计这个比值在（ ）
A．3 和4 之间
B．4 和5 之间
C．5 和6 之间
D．6 和7 之间
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围
【详解】解：
25
26
36
，
25
26
36
，
即5
26
6
，
5 1
26
1
6 1
−
−
−，
即4
26
1
5
−
该比值在4 和5 之间．
2．（25-26 七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数7 的大小在（ ）
2
2.61
2
2.62
2
2.63
2
2.64
2
2.65
2
2.66
2
2.67
6.8121
6.8644
6.9169
6.9696
7.0225
7.0756
7.1289
A．2.61与2.64 之间
B．2.64 与2.65 之间
C．2.65与2.66 之间
D．2.65 与2.67 之间
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围
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【分析】从表格中找到7 在哪两个数的平方之间，即可确定7 的范围．
【详解】解：∵
2
2.64
6.9696
=
，
2
2.65
7.0225
=
，且 6.9696
7
7.0225
，
∴
2
2
2.64
7
2.65
，
∴ 2.64
7
2.65
，
即7 的大小在2.64 与2.65 之间．
3．（25-26 七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算10 大小的计算过程如图所示，用这种方法估算19
的大小，则19 的大小约为______．（精确到0.01）
因为3
10
4
，所以10 的整数部分是3．
因为10 9
1
−
= ，16 9
7
−=
，
所以10 的小数部分约为1
7 ，
所以
1
10
3
3.14
7
．
【答案】4.33
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算10
的方法，先确定19 的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到0.01，
即可得解．
【详解】解：因为4
19
5
，所以19 的整数部分是4．
因为19 16
3
−
=
，25 16
9
−
=
，
所以19 的小数部分约为3
1
9
3
=
，
所以
1
19
4
4.33
3
，
故答案为：4.33．
4．（25-26 七年级下·江西南昌·期中）江西省非物质文化遗产保护项目——宣纸刺绣，源于明代天启年间
的顾氏家族“纸绣”，被誉为“叶尖上的水墨丹青”．小南作为宣纸刺绣传承人设计了一幅新作品（惊蛰春
晖），需要在长方形的宣纸上构图．他遇到了两个与数学有关的问题．
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(1)【问题1】寻找“无理数”的长和宽．
小南有一张面积为
2
105dm 的长方形宣纸纸，长与宽的比为5 3
∶．求长方形宣纸的长和宽；
(2)【问题2 】比大小——构图中的抉择．
小南需要在宣纸上设计一个正方形区域用来绣主图案，他设计了两种方案：
方案A：正方形区域的边长为52dm；
方案B ：正方形区域的边长是7.2dm ．
请比较52 和7.2 的大小；
(3)若小南选择了方案A，则正方形区域的边长在哪两个连续整数之间？请说明理由．
【答案】(1)长方形的长为5 7dm ，宽为3 7dm
(2) 52
7.2
(3)它的边长在7 和8之间
【难度】0.73
【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围、算术平方根的实际应用
【分析】（1）根据长与宽的比设未知数，利用长方形面积公式列方程求解；
（2 ）对两个正数分别平方，平方越大，原数越大；
（3）根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，找相邻的完全平方数判断即可．
【详解】（1）解：设这张长方形宣纸的宽为3xdm ，则长为5xdm．
2
3 ?5
15
x x
x
=
2
15
105
x =
，
由边长的实际意义，得
7
x =
，
∴长为5 7dm ，宽为3 7dm ．
答：长方形的长为5 7dm ，宽为3 7dm．
（2）解：(
)
2
2
52
52,7.2
51.84
=
=
，
∵52
51.84
，
∴52
7.2
．
（3）∵
2
2
7
52
8
，
∴7
52
8
．
∴它的边长在7 和8之间．
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5．（25-26 七年级下·福建福州·期中）在学习了如何估计2 近似值的方法后，小明同学对求
N （N 为
正整数）的近似值进行拓展性思考，探究过程如下：
当
2
N =
时，
∵面积为2 的正方形边长为2 ，且
2
2
1
2
2
．
∴1
2
2
∴
2 的整数部分为1
设2
1 x
= + （其中0
1
x
）
则
(
)
2
2
1
x
=
+
，画出示意图1：
根据图示，可得
(
)
2
2
2
1
1
1 2
2
S
x
x
x
x
x
x
=
+
= +
+
+
= +
+
=
正方形
．
由于0
1
x
，
2
x 较小，忽略．
∴1 2
2
x
+
=
，解得
0.5
x =
．
得到第一次的近似值2
1.5
．
他发现这样计算的结果与课本上的近似值有差距，思考后继续探究：
设1.5与2 之间的差距值为d，则
2
1.5
d
=
+
，
得
(
)
2
2
2
2
1.5
1.5
2 1.5
d
d
d
=
+
=
+
+
，由于
2
d 很小，忽略，
得到
2
2
1.5
2 1.5d
=
+
，
解得
0.0833
d = −
，
得到第一次修正值2
1.4167
，
若再次重复刚才的过程进行第二次修正，得到2
1.4143
，继续这个过程得到下表：
真实值
第一次近
似
第一次修正
第二次修正
第三次修正
…
1.41421356
1.5
1.4167
1.4143
1.4142
…
可以看出，每一次修正都让结果更接近真实值．阅读上述的探究过程解答下列问题：
(1) 3 的整数部分为 ；
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(2)求12 第一次修正后的值（无需画图，精确到0.001）；
(3)求50 以内第一次近似求解中
0.5
x =
的所有N 的值．
【答案】(1)1
(2)3.464
(3)2，6，12，20，30，42
【难度】0.51
【知识点】无理数整数部分的有关计算、估计算术平方根的取值范围、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）估算出3
12
4
，则可设
(
)
12
3
0
1
x
x
= +
，仿照题意求出
0.5
x =
，得到12
3.5
，设
12
3.5
d
=
+
，仿照题意求出d 的值即可得到答案；
（3）当
N 的整数部分为t 时，可设
(
)(
)
0
1
N
t
x
x
=
+
，则
(
)
2
2
2
2
N
t
x
t
tx
x
=
+
=
+
+
，再忽略
2
x 的值
后，可得
2
2
N
t
tx
=
+
，结合
0.5
x =
，以及N 是50 以内的数进行求解即可．
【详解】（1）解：∵1
3
4
，
∴1
3
2
，
∴3 的整数部分为1；
（2）解：∵9
12
16
，
∴3
12
4
，
∴12 的整数部分为3，
设
(
)
12
3
0
1
x
x
= +
，
∴(
)
(
)
2
2
12
3
x
=
+
，
∴
2
12
6
9
x
x
=
+
+
，
由于0
1
x
，
2
x 较小，忽略，
∴6
9
12
x +
=
，
解得
0.5
x =
，
∴12
3.5
，
设12
3.5
d
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
12
3.5
d
=
+
，
∴
2
12
12.25
7d
d
=
+
+
，
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由于
2
d 很小，忽略，
∴12
12.25
7d
=
+
，
∴
0.036
d −
，
∴第一次修正值
(
)
12
3.5
0.036
3.464
+ −
=
；
（3）解：(
)
2
2
1
2
1
x
x
x
+
=
+
+ ，
(
)
2
2
2
4
4
x
x
x
+
=
+
+
，
(
)
2
2
3
6
9
x
x
x
+
=
+
+
，
(
)
2
2
4
8
16
x
x
x
+
=
+
+
，
(
)
2
2
5
10
25
x
x
x
+
=
+
+
，
(
)
2
2
6
12
36
x
x
x
+
=
+
+
(
)
2
2
7
14
49
x
x
x
+
=
+
+
，
当忽略
2
x ，且
0.5
x =
时，则2
1
2
x+ =
，4
4
6
x +
=
，6
9
12
x +
=
，8
16
20
x +
=
，10
25
30
x+
=
，
12
36
42
x+
=
，14
49
56
x+
=
，
∴50 以内第一次近似求解中
0.5
x =
的所有N 的值为2，6，12，20，30，42．
重难点四、无理数整数部分的有关计算
先用夹逼法估算算术平方根范围，得到整数部分；小数部分 = 原无理数−
整数部分。遇到含根号代数式，先拆分整数、小数部分，再代入进行化简计算。注意负数
算术平方根不存在，审题先判断被开方数是否具备意义。
1．（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为44 ，它的整数
部分是__________．
【答案】6
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【难度】0.85
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】找到与44相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定44 的取值范围，即可得到它的
整数部分．
【详解】解：
36
44
49
，
36
44
49
，
即6
44
7
，
因此
44 的整数部分是6 ．
2．（25-26 八年级上·山东济南·阶段检测）30 的小数部分是______．
【答案】30
5
−
【难度】0.65
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出30 的取值范围是解题的关键；
直接根据30 的取值范围得到整数部分为5，进而求得小数部分．
【详解】解：∵
25
30
36
，
∴5
30
6
，
∴
30 的整数部分是5，
∴
30 的小数部分是30
5
−，
故答案为：30
5
−．
3．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上点A是表示实数10 的点．
(1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点A（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 10 的整数部分为______，10 的小数部分为______．
【答案】(1)
如图：点A即为所求；
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(2)3；10
3
−．
【难度】0.65
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、作已知线段的垂直平分线、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了实数与数轴的对应关系和勾股定理在几何作图中的应用，以及作垂直平分线．
（1）根据勾股定理可知
2
2
3
1
10
+
=
，在数轴上表示无理数，先在数轴中找到对应的长度3，再以3为
圆心，一个单位长度为半径画弧，连接即可；
（2）根据（1）中可知3
10
4
，即可知道10 的整数部分和小数部分．
【详解】（1）解：确定数轴上3代表B 点，2 代表D 点，4 代表C 点，0 代表F 点；
第一步，以B 为圆心，BD长为半径画弧；
第二步，用圆规作DC 的垂直平分线，与第一步画的弧线交于点E ，可知
1
BE = ，
90
DBE
=
，且知
3
BF = ，根据勾股定理可知
2
2
2
2
3
1
10
EF
BF
BE
=
+
=
+
=
；
第三步：以F 为圆心，EF 为半径画弧，交数轴于点A.
综上所述，点A即为所求．
（2）解：根据无理数10 在数轴中表示的位置，可知3
10
4
，由此其整数部分为3，小数部分为
10
3
−．
故答案为3；10
3
−．
4．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）如图，三张边长分别为OA，OB ，OC 大小不同的正方形纸片叠放
在一起，OB 为边的正方形纸片的面积为
2
20cm ,
1cm
AB
BC
=
=
．（点O，A，B，C 在同一直线上）
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(1)求OB 的长．
(2)若
,
OA
m OC
n
=
=
，则：
①mn = ；
②m 的整数部分为 ，n 的小数部分为 ．
【答案】(1)OB 的长为2 5cm
(2)①19；②3，2 5
4
−
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、根据正方形的性质求线段长、无理数整数部分的有关计算、算术平方根
的实际应用
【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式以及无理数的估算，解题的关键是利用正方形面积
与边长的关系，结合线段长度关系和完全平方公式求解．
（1）根据正方形面积等于边长的平方，得出
2
OB 的值，再通过二次根式化简求出OB 的长；
（2）①由线段和差关系用OB 表示m 和n ，利用平方差公式
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
−
+
=
−
简化计算mn ；②先估
算2 5 的取值范围，再通过不等式变形确定m 的整数部分，用n 减去其整数部分得到n 的小数部分．
【详解】（1）解：∵以OB 为边的正方形面积为
2
20cm ，
∴
2
20
OB =
，
∴
20
2 5
OB =
=
（cm）．
答：OB 的长为2 5cm
（2）①解：∵OA
m
=
，OC
n
=
，
1
AB
BC
=
= ，
∴
1
2 5 1
m
OB
=
−=
−，
1
2 5
1
n
OB
=
+ =
+ ，
∴
2
2
(2 5
1)(2 5
1)
(2 5)
1
20 1 19
mn =
−
+
=
−
=
−=
故答案为：19．
②解：∵16
20
25
，即4
2 5
5
，
∴4 1
2 5 1
5 1
−
−
−，即3
4
m
，m 的整数部分为3；4 1
2 5
1
5 1
+
+ + ，即5
6
n
，
∴n 的小数部分为
5
2 5
1 5
2 5
4
n−
=
+ −
=
−
故答案为：3；2 5
4
−
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重难点五、与算术平方根有关的规律探索题
先计算几组式子结果，横向、纵向对比被开方数与算术平方根的变化规律。
重点观察被开方数扩大或缩小倍数，对应算术平方根的变化倍数，总结通用规律，再利用
规律直接求解。计算时做好标记，防止看错数字。
1．（25-26 七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知4
2
=
，
400
20
=
，
40000
200
=
，…，则
400000000 = （ ）
A．2000
B．20000
C．200000
D．2000000
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积
的算术平方根性质直接计算．
【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中4 后每增加2 个0 ，结果中2 后就增加1个0 ．
所求
400000000 中，被开方数4 后共有8个0 ，
结果中2 后应有8
4
2 =
个0 ，即400000000
20000
=
．
2．（25-26 七年级下·福建龙岩·期末）某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密
码．例如：数9对应的密码是9
3
=
，数900对应的密码是900
30
=
．已知数2026对应的密码约为
45.01，数202.6 对应的密码约为14.23，则数20.26 对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的1
100 ，它的算术平方根缩小为原来的1
10 ，利用
该性质结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码，
∴数20.26 对应的密码为
20.26 ，
∵数2026对应的密码约为45.01，
∴
2026
45.01
，
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∴
20.26
4.501
．
3．（25-26 七年级下·广东广州·期中）已知2.6
1.612
，则
260 ______．
【答案】16.12
【难度】0.85
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】根据算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2m 位，它的算术平方根的小
数点就相应地向右（或向左）移动m 位，即可求解．
【详解】解：∵260 是2.6 将小数点向右移动2 位，
∴
260 16.12．
4．（23-24 八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n
（n 是整数，且
4
n
）行从左向右数第(
3)
n −
个数是______．
（用含n 的代数式表示）
【答案】
2
3
n −
/
2
3
n
−+
【难度】0.6
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索
【分析】先分析数阵规律，得出第n 行有2n 个数、前n 行总个数为(
)
1
n n +
，再算出前(
)
1
n −
行最后一个
数的被开方数，进而推求出第n 行从左数第(
)
3
n −
个数的被开方数，最终得到该数．
【详解】解：观察数阵可得：第1行开始连续正整数的算术平方根，第n 行共有2n 个数；
前n 行的数的总个数为：
(
)
2
4
6
2
1
n
n n
+
+
+
+
=
+
，
前( n
)
1
−
行共有(
1)
n
n
−
个数，
∴前( n
)
1
−
行最后一个数的被开方数就是(
1)
n n −
，
第n 行从左数第(
3)
n −
个数的被开方数为：
2
2
(
1)
(
3)
3
3
n n
n
n
n
n
n
−
+
−
=
−+
−=
−，
∴这个数就是
2
3
n −
．
5．（25-26 七年级下·湖南湘西·阶段检测）先观察表格，再回答下列问题．
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a
…
0.000001
0.01
1
100
10000
1000000
a
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它
的移动规律．
(2)利用你在（1）中发现的规律，已知
3
1.732
：
，求出0.03 的值．
(3)已知
1800,
3.24
1.8
a
−
−
＝
＝
，你能求出a 的值吗？
【答案】(1)
有规律，规律为：被开方数a 的小数点向左（或向右）每移动2 位，它的算术平方根a 的小数点就向左
（或向右）移动1位．
(2)
0.03
0.1732
(3)
3240000
a =
【难度】0.76
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】（1）观察表格中被开方数与算术平方根的小数点移动关系，总结出规律：被开方数的小数点每
左/ 右移动2 位，算术平方根的小数点相应左/ 右移动1位；
（2 ）利用（1）的规律，因被开方数3到0.03小数点左移2 位，故将3
1.732
的小数点左移1位，得到
0.03
0.1732
；
（3）
3.24
1.8
−
= −
得3.24
1.8
=
，对比1.8与1800，算术平方根小数点右移3位，按规律将被开方数
3.24的小数点右移6 位，算出
3240000
a =
．
【详解】（1）解：规律总结：观察表格可得出规律：
当被开方数a 的小数点向左（或向右）每移动2 位，
它的算术平方根a 的小数点，就相应地向左（或向右）移动1位；
（2）解：计算0.03 ：从3到0.03，被开方数的小数点向左移动了2 位，
根据规律，3 的小数点向左移动1位即可得到0.03 ，
∵3
1.732
，
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∴0.03
0.1732
．
（3）解：∵
3.24
1.8
−
= −
，
∴3.24
1.8
=
，
对比1.8和1800，1.8的小数点向右移动了3位得到1800，
根据规律，被开方数的小数点需要向右移动3 2
6
=
位，将3.24的小数点右移6 位，得到
3240000
a =
．
6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化
规律．
已知1
1
= ，则100
10
=
，10000
100
=
；已知9
3
=
，则900
30
=
，90000
300
=
；
已知3 1
1
= ，则3 1000
10
=
，3 1000000
100
=
；已知3 8
2
=
，则3 8000
20
=
，3 8000000
200
=
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a =
，那么100a = ；若3
1.2
b = −
，那么3 1000000b = ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
+
−
=
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的
值．
【答案】(1)25；120
−
(2)①144；②120
【难度】0.62
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方
根、与立方根有关的规律探索
【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移
动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答
案；
（2）①根据立方根的定义可得
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，求出x
y
+
的值即可得到答案；②根据（2）①所求
可得C的值，求出C 的算术平方根，即可求出C的算术平方根．
【详解】（1）解：由题意得，若
2.5
a =
，那么100
25
a =
；
若3
1.2
b = −
，那么3 1000000
120
b = −
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
+
−
=
，
∴
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，
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∴
72
x
y
+
=
，
∴(
)
2
144
x
y
+
=
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C=
，
∵
144
12
C =
=
，
∴
14400
120
C =
=
．
重难点六、算术平方根的实际应用
常见正方形面积求边长问题，正方形边长等于面积的算术平方根。列出面积
等式后，开方只选取正数解，边长不能为负数。读懂题干几何情景，建立面积与算术平方
根模型，舍去不符合现实意义的负根，最后作答。
1．（2026·安徽合肥·二模）物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动
（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度h （单
位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式
2h
t
g
=
，其中
2
10 m/s
g
，若物体从100 m 的高处自由下落，
则下落的时间t 介于（ ）
A．2 和3之间
B．3和4 之间
C．4 和5之间
D．5和6 之间
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用
【分析】将已知的下落高度h 和重力加速度g 代入公式，计算得到t 的表达式，再通过比较被开方数大小
估算无理数t 的范围，即可得到结果．
【详解】解：∵
100
h
m
=
，
2
10
/
g
m s
，代入公式
2h
t
g
=
得，
2 100
20
10
t
=
，
又∵
16
20
25
，即 4
20
5
，
∴ 下落时间t 介于4 和5之间．
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2．（2026·安徽马鞍山·二模）欧拉发现的一个有关三角形的定理：在ABC
中，R 和r 分别是ABC
外接
圆和内切圆的半径，O 和I 分别是ABC
外接圆和内切圆的圆心，则
2
2
OI
R
Rr
=
−
．若
5
R =
，
1
r = ，
则OI ______4．（填“”“”或“ = ”）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、算术平方根的实际应用
【详解】解：∵
5
R = ，
1
r = ，
∴
2
2
5
5
2
2 5 1
1
OI
R
Rr
=
−
=
−=
∵15
16
∴15
16
4
=
∴
4
OI
．
3．（25-26 七年级下·黑龙江牡丹江·期中）江滨公园喜迎春季花卉展，要将原来
2
400m 的正方形花坛，欲
建成
2
300m 的长宽比为5:3的长方形花坛，或改建成面积为
2
300m 的圆形花坛，如果把原来的正方形场地
的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的围墙，利用旧栅栏的费用（包括安装、粉刷）每米10 元，问两个
改建方案是否都可行?并计算预计费用．（参考数据20
4.47
，π
3
，费用精确到元）
【答案】两个改建方案都可行，长方形改建预计费用为715元，圆形花坛改建预计费用为600元
【难度】0.65
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】先求出原正方形花坛周长，再分别计算出长方形花坛和圆形花坛的周长，再根据周长判断旧栅
栏是否够用，最后根据费用标准计算出预计费用．
【详解】解：原正方形花坛的边长为
( )
400
20 m
=
，
所以原正方形花坛周长为
(
)
20 4
80 m
=
．
设长方形花坛的长为5 m
x
，宽为3 m
x
，
由题意可知5
3
300
x
x
=
，
解得：
20
x =
（负值不符合题意，舍去）．
长方形花坛周长(
)
5 20
3 20
2
16 20m
80m
=
+
=
，此方案可行，
矩形费用16 20 10
160 4.47
715.2
=
=
元
715
元；
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设圆形花坛半径为m
r
，
由题意可知
2
π
300
r =
，
解得
10
r =
（负值不符合题意，舍去）．
∴圆形花坛的周长为
(
)
2 3 10
60 m
80m
=
，
∴所需费用为：60 10
600
=
（元）；
综上所述，两个改建方案都可行，长方形改建预计费用为715元，圆形花坛改建预计费用为600元．
4．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·期中）据以下操作，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
母亲节将至，小颖自己制作了一块圆柱形蛋糕
准备送给妈妈，来表达自己的爱意．已知这块
蛋糕的底面积为
2
36 cm
，高为10cm．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个底面
积为
2
200cm ，高为12cm的长方体礼品盒来装
这块蛋糕，已知这个长方体礼品盒底面的长与
宽之比为5: 4（礼品盒的厚度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1 可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________cm；
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个长方体礼品盒的长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？说明理由．
【答案】(1)6
(2)长方体礼品盒的长为5 10cm
(3)能，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】实数的大小比较、算术平方根的实际应用
【分析】（1）根据圆柱的底面积公式求解即可；
（2）设长方体礼品盒的长为5 cm
x
，宽为4 cm
x
，由题意得，5
4
200
x
x
=
，求解即可；
（3）由（1）知该圆柱形蛋糕的底面半径为6cm，长方体礼品盒的宽为4 10cm ，则蛋糕的底面直径为
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12cm，比较即可；
【详解】（1）解：∵圆柱底面积公式为
2
S
r
=
，蛋糕底面积为
2
36 cm
，代入得：
2
36
r
=
，化简得
2
36
r =
，半径为正数，
∴
6cm
r =
，
∴这块圆柱形蛋糕的半径为6cm ；
（2）解：设长方体礼品盒的长为5 cm
x
，宽为4 cm
x
，
由题意得，5
4
200
x
x
=
，
由边长的实际意义，解得
10
x =
，
则5
5 10
x =
，
所以长方体礼品盒的长为5 10cm；
（3）解：能，
理由：由（1）知该圆柱形蛋糕的底面直径为6 2
12cm
=
，高为10cm，长方体礼品盒的宽为4 10cm ，高
为12cm，
10
3
，
4 10
12
，即礼品盒的宽大于蛋糕直径，且长5 10
4 10
12
，底面长、宽都满足要求； 同时蛋糕
高10cm 12cm
（礼品盒高），高度也满足要求，
答：这个长方体礼品盒能装下这块圆柱形蛋糕．
5．（25-26 七年级下·福建厦门·期中）探究不同情境，回答下面问题：
表4
A 型
长宽（单位：mm ）
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5
A
210 148
4
A
297 210
3
A
420 297
2
A
594 420
1
A
841 594
(1)如图1，把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，所得的4 个直角三角形拼成一个面积为2 的大正方
形，则大正方形的边长为 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比值是 ．
(2)如图2，按照国际标准，A 系列纸为长方形，将
0
A 纸沿长边对折、裁开，便成两张
1
A 纸；将
1
A 纸沿长
边对折、裁开，便成两张
2
A 纸；将
2
A 纸沿长边对折、裁开，便成两张
3
A 纸；将
3
A 纸沿长边对折、裁
开，便成两张
4
A 纸．所得的每张A 系列纸长和宽的比值相同（形状相同），将一张A 系列纸按如图3 所
示的方式进行两次折叠（折痕分别是直线AE 和
)
AP ，线段AB 落在线段AD上，点B 的对应点是点B，
第一次折叠展开所得四边形ABEB是正方形，第二次折叠线段AE 落在射线AD上，点E 的对应点是点
E，点C 的对应点是点C．
①判断点E是否与点D 重合，如果是，请说明理由；如果不是，直接回答点E在点D 的左侧或右侧？
②若
168mm
DC=
，2 取近似数1.4，判断这张A 系列纸最接近图4 中的哪种型号？并说明理由．（温
馨提示：（1）中的一般结论可直接用）
【答案】(1)
2 ；
2
(2)① 点E与点D重合，理由见解析；② 最接近
2
A 型，理由见解析
【难度】0.48
【知识点】用勾股定理解三角形、算术平方根的实际应用、折叠问题
【分析】（1）由算术平方根的定义可得出正方形的边长，再由勾股定理求出对角线长，即可得出结果；
（2）①设A 系列纸的宽
mm
AB
a
=
，由题可知A 系列纸长和宽的比值为2 ，因此长
2 mm
AD
a
=
，第
一次折叠后，由（1）的结论得
2
2 mm
AE
AB
a
=
=
，则AE
AD
=
，再结合折叠的性质判断即可；②由
折叠的性质可得，DC
EC
=
，再表示出
(
)
2
mm
EC
a
a
=
−
，得出(
)
1.4 1
168
a
−
=
，解得
420mm
a =
，
即宽为420mm ，求出长为2
1.4 420
588mm
a
=
，对照表格，即可得出结果．
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【详解】（1）解：设大正方形边长为a ，已知面积为2 ，则
2
2
a =
，
解得
2
a =
（负值不符合题意，舍去），
即大正方形边长为2 ，
由勾股定理得对角线长为
2
2
a
a
2a
+
=
，
因此对角线与边长的比值为
2
2
a
a
=
；
（2）解：①设A 系列纸的宽
mm
AB
a
=
，由题可知A 系列纸长和宽的比值为2 ，因此长
2 mm
AD
a
=
，
第一次折叠后，四边形ABEB是正方形，AE 是正方形的对角线，
由（1）的结论得
2
2 mm
AE
AB
a
=
=
，
因此AE
AD
=
，
第二次折叠后，
2 mm
AE
AE
a
AD
=
=
=
，因此E与点D 重合；
②由折叠的性质可得，DC
EC
=
，
又
(
)
2
mm
EC
BC
BE
AD
AB
a
a
=
−
=
−
=
−
，
∵
168mm
DC=
，2
1.4
，
∴代入得：(
)
1.4 1
168
a
−
=
，
解得：
420mm
a =
，
即宽为420mm ，长为2
1.4 420
588mm
a
=
，
对照表格，尺寸为594 420
的是
2
A 型纸，
因此这张纸最接近
2
A 型．
6．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
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一、教材理解：
(1)如图1，把两个边长均为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就可以
得到如图2 一个面积为2 的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的
方法：如图3 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正
半轴交点A表示的数为________；
二、深入思考：
如图4，怎样把由5 个边长为1 的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位
长度是1）中得到如图5 剪拼方式；
(2)如图6，小红根据图5 剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，
则与正半轴交点M 表示的数是_________；
三、动手操作：
(3)如图7，现有13 个边长均为1 的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7 中用虚线画出
．．．．剪
裁方案，同时在图8 网格中画出
．．拼接完成后的大正方形；
(4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数
轴负半轴交点Q 所表示的数为_______，并请你在图9 中画出
．．找到点Q 过程中使用的那条半径
．．．．．
【答案】(1)
2 ；
2
(2)点H ；HP；1
5
+
(3)
，
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(4)
13
−
；
【难度】0.45
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可；
（2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6 的信息解答即可：
（3）在拼接的过程中，需要用到4 个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可；
（4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可．
【详解】（1）解：∵图2 大正方形的面积为：2 ，
∴图2 大正方形的边长为：2 ；
∵图3 以单位长度为边长画一个正方形，
∴图3 正方形面积1 1 1
= =
利用两个图3 正方形进行如图所示拼接：
则此时图形的面积为图3 正方形面积的两倍：1 2
2
=
，
此时图形的边长为：2 ，
即图3 正方形的对角线长度为：2 ；
（2）解：∵图4 中一共有5个正方形，
∴图5正方形面积为：1 1 5
5
=
，
∴图5正方形的边长为：5 ，
∴小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以H 为圆心，以HP为半径画弧，则与正半轴交点M 表示
的数是1
5
+
；
（3）∵在拼接的过程中，需要用到4 个一样的直角三角形，
∴如图所示裁剪即可：
拼接完成后的大正方形：
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（4）解：∵图7 中一共有13个正方形，
∴图8正方形面积为：1 1 13 13
=
∴图8正方形的边长为：13
∴由题意作图可得：
∴圆弧与数轴负半轴交点Q 所表示的数为：
13
−
．
模块二、平方根
重难点一、平方根概念理解
若x
2=a，x 叫做a 的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0 平方根是
0，负数没有平方根。区分概念：算术平方根是平方根中非负的那一个。审题看清提问是
求平方根还是算术平方根，二者结果形式不同。
1．（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数5.7 万精确到十分位
B．16 的平方根是4
C．单项式2
3
ab 的系数是2
D．同角的补角相等
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求近似数的精确度、单项式的系数、次数、平方根概念理解
【分析】本题需根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数的定义、补角的性质，逐一判断各选
项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、近似数5.7 万
57000
=
，数字7 在千位，故精确到千位，原说法错误，不符合题意；
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B、16 的平方根是4
，原说法错误，不符合题意；
C、单项式2
3
ab 的系数是2
3 ，原说法错误，不符合题意；
D、同角的补角相等，原说法正确，符合题意；
故选：D．
2．（25-26 八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（ ）
A．
5
−
是5 的一个平方根
B．400 万有7 个有效数字
C．近似数12.8 和12.80 表示的意义是相同的
D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】立方根概念理解、求近似数的精确度、平方根概念理解
【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：5 的平方根是
5
，故
5
−
是5 的一个平方根，故A 正确；
B：400 万有3 个有效数字，故B 错误；
C：近似数12.8 和12.80 表示的意义是不同的，12.8 精确到十分位，12.80 精确到百分位，故C 错误；
D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D 错误．
故选：A．
3．（25-26 八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；②若y 是x 的函数，则当y 取一个值时，一定有唯一的x 与它对应；③
平方根是它本身的数是0 和1；④平行于x 轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系
一定满足
2
2
2
a
b
c
+
=
；⑥若
2
(
3)
3
a
a
−
=
−
，则
3
a
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、函数的概念、用勾股定理解三角形、平方根概念理解
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x 轴的点的特征，直角三角形性
质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可．
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【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意；
②根据函数的定义，若y 是x 的函数，则当x 取一个值时，一定有唯一的y 与它对应；故原说法错误，
不符合题意；
③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意；
④平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意；
⑤在直角三角形中，当a，b 为直角边，c 为斜边时，则三边关系一定满足
2
2
2
a
b
c
+
=
；故原说法错误，
不符合题意；
⑥若
2
(
3)
3
a
a
−
=
−
，则3
0
a
−
，故
3
a ；故原说法错误，不符合题意；
故正确的个数有1 个；
故选：A．
4．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段检测）下列说法中，正确的是_______（填序号）
①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有1，0 ；④无理数
都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根；
【答案】②④
【难度】0.83
【知识点】无理数、实数的分类、立方根概念理解、平方根概念理解
【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作
答．
【详解】解：①两个无理数的和是无理数：反例
(
)
π
π
0
−
+
=
（有理数），故该说法是不正确的．
②每个正数都有两个平方根，故该说法是正确的．
③1的平方根是1
，不是它本身，只有0 的平方根是0 ，是它本身，故该说法是不正确的．
④无理数都是无限不循环小数，故该说法是正确的．
⑤没有平方根的数也没有立方根：负数没有平方根，但有立方根（如8
−的立方根是2
−）故该说法是不
正确的．
∴正确的是②④．
5．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒
子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知2
1
a−的算术平方根为
3，b 是8 的立方根，c 是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______．
【答案】520
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【难度】0.7
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、平方根概念理解
【详解】解：∵已知2
1
a−的算术平方根为3，b 是8 的立方根，c 是平方根等于本身的数
∴
2
3
2
1
3
9,
8
2,
0
a
b
c
−=
=
=
=
=
∴
5
a =
，
∴这个三位数密码是520．
重难点二、求一个数的平方根
寻找满足平方等于原数的所有数，正数平方根写成±√a 形式。计算前先化
简原数，比如带分数先化为假分数。不要混淆书写格式，求平方根必须带上正负号；负数
不存在平方根，遇到负数直接判定无实数解。
1．（25-26 七年级下·广西玉林·期中）4 的平方根是（ ）．
A．4
B．3
C．2
D．2
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】求一个数的平方根
【详解】∵(
)
2
2
4
=
，
∴4 的平方根是2
．
2．（25-26 八年级上·河南周口·期末）
1
2 4 的平方根是（ ）
A．1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足
2
a
b
=
，那么a 就叫做b 的平
方根，据此可得答案．
【详解】解：∵
1
9
2 4
4
=
，
2
3
9
2
4
=
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∴
1
2 4 的平方根是
3
2
，
故选：D．
3．（25-26 八年级上·重庆万州·期中）下列说法：（1）
2
a 的算术平方根是a ；（2）
4 的平方根是2
；
（3）实数和数轴上的点是一一对应的；（4）三条边对应相等的两个三角形全等；（5）全等三角形对应
边上的中线相等．其中正确的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】实数与数轴、用SSS 证明三角形全等（SSS）、求一个数的平方根、全等三角形的性质
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，实数与数轴，全等三角形的判定与性质，据此相关性质内容
进行逐项判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数，即可作答．
【详解】解：
2
a 的算术平方根是a ，故（1）的说法不正确；
4
2
=
，2 的平方根是
2
，故（2）的说法不正确；
实数和数轴上的点是一一对应的，故（3）的说法正确；
三条边对应相等的两个三角形全等，故（4）的说法正确；
全等三角形对应边上的中线相等，故（5）的说法正确；
∴正确说法有（3）、（4）、（5），共3 个，
故选：B
4．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4 有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为
2，则另一个平方根为_____．
【答案】2
−
【难度】0.95
【知识点】相反数的定义、求一个数的平方根
【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可求解．
【详解】解：∵正数4 的其中一个平方根为2，且2 的相反数为2
−，
∴另一个平方根为2
−．
5．（25-26 七年级下·安徽六安·期末）我们规定：a
b
时，a
b
a
b
=
+
★
；当a
b
时，
2
2
a
b
a
b
=
+
★
．已
知
3
25
x
=
★
，则x =________．
【答案】22 或4
−
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【难度】0.63
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一个数的平方根
【分析】先理解题意，再进行分类讨论，根据a
b
时，a
b
a
b
=
+
★
；当a
b
时，
2
2
a
b
a
b
=
+
★
列式计
算，即可作答．
【详解】解：当
3
x
时，则
3
3
25
x
x
=
+
=
★
，
解得
22
x =
；
当
3
x
时，则
2
2
3
3
25
x
x
=
+
=
★
，
解得
2
16
x =
∴
4
x = 或
4
x = −
∵
3
x
∴
4
x = −．
综上：
22
x =
或4
−．
6．（25-26 八年级上·全国·课后作业）回答下列问题：
(1)12 是144 的平方根吗？
(2)169 的负的平方根是哪个数？
(3) 0.3
是0.9 的平方根吗？
(4)哪个数的平方根只有一个？
【答案】(1)是
(2) 13
−
(3)不是
(4)0
【难度】0.85
【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解
【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）根据平方根的定义和性质解答即可；
（2）根据平方根的定义和性质解答即可；
（3）根据平方根的定义和性质解答即可；
（4）根据平方根的定义和性质解答即可．
【详解】（1）解：因为144 的平方根是12
，
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所以12 是144 的平方根；
（2）解：因为169 的平方根是13
，
所以169 的负的平方根是13
−
；
（3）解：因为0.09 的平方根是0.3
，
所以0.3
不是0.9 的平方根；
（4）解：因为0 的平方根是0，
所以0 的平方根只有一个是0．
7．（25-26 七年级下·四川成都·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观
性，可以帮助理解数学问题．现有边长为a ，b 的正方形及以此为邻边的长方形卡片若干．
(1)①小明用五张卡片拼成图1 的正方形，用不同方式表示图1 中阴影部分的面积，得到等量关系：
_______________________；
②运用公式解决问题：若
9
8
mn =
，
2
4
m
n
−
= −，求
2
m
n
+
的值；
(2)①小明再用四张卡片拼成如图2 的大正方形，请用不同方式表示图2 中阴影部分的面积，得到等量关
系：________________________；
②运用公式解决问题：若(
)(
)
5
2 10
5
6
x
x
−
−
=
，求(
)
(
)
2
2
5
2
10
5
x
x
−
+
−
的值．
【答案】(1)①(
)
(
)
2
2
4
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
；②
2
5
m
n
+
=
或
2
5
m
n
+
= −；
(2)①
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
；②52．
【难度】0.65
【知识点】求一个数的平方根、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】（1）①根据图1 用两种情况表示阴影部分的面积，进而建立等式即可；
②根据①中等式计算即可；
（2）①根据图2 用两种情况表示阴影部分的面积，进而建立等式即可；
②根据①中等式计算即可；
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【详解】（1）解：①图1 中，由图可知
(
)
(
)
2
2
4
S
a
b
S
a
b
S
ab
=
+
=
−
=
小正方形
大正方形
四个长方形
，
，
，
由题图可知，
(
)
2
4
S
S
S
a
b
ab
=
−
=
+
−
小正方形
大正方形
四个长方形
，
即(
)
(
)
2
2
4
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
；
②∵(
)
(
)
2
2
4
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
8
m
n
m
n
m
n
m
n
mn
−
=
+
−
=
+
−
，
∵
9
8
mn =
，
2
4
m
n
−
= −，
∴(
)
(
)
2
2
9
4
2
8 8
m
n
−
=
+
−
，
即(
)
2
2
25
m
n
+
=
，
解得：
2
5
m
n
+
=
或
2
5
m
n
+
= −；
（2）解：①图2 中，由图可知
2
2
S
a
b
=
+
阴影面积之和
，且
(
)
2
2
S
a
b
ab
=
+
−
阴影面积之和
，
∴
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
；
②将5
2
x −，10 5x
−
看作整体，
∵
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
，
∴(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
5
2
10
5
5
2 10
5
2 5
2 10
5
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
2
8
2 6
=
−
64 12
=
−
52
=
．
8．（25-26 七年级下·江苏无锡·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问
题．例如：若对于正整数a ，b ，有
n
a
b
=
，那么称b 为n 的劳格数，记为
(
)
,
n
L a b
=
（a ，b 为正整
数）．例如：
23
9
=
，则
(
)
2
3,9
L
=
．根据他们的研究结果，完成下列各题：
(1)填空：(
)
2,16
L
=______，(
)
4,64
L
= ______；
(2)计算：(
)
(
)
3,27
6,36
L
L
+
= ______；
(3)若(
)
2,
2
L
m =
，(
)
,16
2
L n
=
，求(
)
,
L m n 的值．
【答案】(1) 4 ；3
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(2)5
(3)1
【难度】0.65
【知识点】求一个数的平方根、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）根据定义即可求得答案；
（2）根据定义列式计算即可；
（3）根据定义求得m ，n 的值，然后求得L（m，n）的值即可．
【详解】（1）解：∵
4
2
16
=
，
34
64
=
，
∴(
)
2,16
4
L
=
，(
)
4,64
3
L
=
；
（2）解：∵
33
27
=
，
2
6
36
=
，
∴(
)
3,27
3
L
=
，(
)
6,36
2
L
=
，
∴(
)
(
)
3,27
6,36
3
2
5
L
L
+
=
+
=
；
（3）解：∵(
)
2,
2
L
m =
，
∴
2
2
4
m =
=
，
∵(
)
,16
2
L n
=
，
∴
2
16
n =
，
∴
4
n = ，
∵n 为正整数，
∴
4
n =
，
∴(
)
(
)
,
4 4
1
L m n
L
=
=
,
．
重难点三、求代数式的平方根
先求出代数式的值，再求该数值的平方根。注意代数式取值范围，若代数式
结果为负数，则不存在平方根。若题目带有隐含条件，先利用条件算出代数式最终数值，
再套用平方根定义求解，不要直接对式子开方。
1．（24-25 八年级上·福建莆田·期末）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同
学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下：
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设母亲的年龄为x ，女儿的年龄为y ，母女年龄之和为2m ，则：
2
x
y
m
+
=
，
两边同乘(
)
x
y
−
，得
2
2
2
2
x
y
mx
my
−
=
−
，①
移项，得
2
2
2
2
x
mx
y
my
−
=
−
，
两边加上
2
m ，得
2
2
2
2
2
2
x
mx
m
y
my
m
−
+
=
−
+
，②
即(
)
(
)
2
2
x
m
y
m
−
=
−
，③
两边开方，得x
m
y
m
−
=
−
，④
即x
y
=
，母女年龄相同，
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求代数式的平方根、等式的性质2、等式的性质1、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数
是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案．
【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为x
m
y
m
−
=
−
或
(
)
x
m
y
m
−
= −
−
，
即x
y
=
或
2
x
y
m
+
=
，
故选：D．
2．（专题10 同底数幂的除法-2022 年【寒假分层作业】七年级数学（北师大版））若
2
13
64
x =
,则
13 x
−= （ ）
A．
1
8
−
B．1
8
C．1
80
D．1
512
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求代数式的平方根、负整数指数幂
【分析】先利用
2
13 x 的值，求出13x ，再利用负整数指数幂的运算法则，得到13−x 的值．
【详解】解：
2
13
64
x =
，
13
8
=
x
或13
8
x = −（舍去），
1
13
13
1
8
x
x
−
=
=
，
故选：B．
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【点睛】本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法
则：
1
x
x
a
a
−=
，是解决本题的关键．
3．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段检测）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4 个全等的长
方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题：
(1)请写出下列三个代数式(
)
2
b
a
+
，(
)
2
b
a
−
，ab 之间的等量关系：________．
(2)根据（1）中的等量关系，若
1
xy = ，
3
x
y
+
=
，求
2
2
x
y
−
的值．
【答案】(1)(
)
(
)
2
2
4
b
a
b
a
ab
+
=
−
+
(2) 3 5
【难度】0.65
【知识点】求代数式的平方根、运用平方差公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，平方根：
（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出(
)
2
b
a
+
，(
)
2
b
a
−
，ab 之间的等量关系；
（2）由（1）的等量关系求出x
y
−
，再利用平方差公式即可解答．
【详解】（1）解：大正方形的面积为：(
)
2
b
a
+
，中间小正方形的面积为：(
)
2
b
a
−
，四个小长方形的面积
为：ab ，
因此有(
)
2
b
a
+
(
)
2
4
b
a
ab
=
−
+
，
故答案为：(
)
2
b
a
+
(
)
2
4
b
a
ab
=
−
+
；
（2）解：由（1）得(
)
(
)
2
2
2
4
3
4 1
5
x
y
x
y
xy
−
=
+
−
=
−= ，
5
x
y
−
=
，
(
)(
)
2
2
5 3
3 5
x
y
x
y
x
y
−
=
−
+
=
=
．
4．（21-22 七年级下·山东德州·期末）已知实数7
2x
−
与2
7
x −
互为相反数，y 的算术平方根是14，z
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的绝对值为2 ，且m 和n 互为倒数，求
2
2mn
x
y
z
+
−
的平方根．
【答案】7
【难度】0.65
【知识点】求代数式的平方根、绝对值的几何意义、倒数、相反数的应用
【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性
质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入
2
2mn
x
y
z
+
−
计算出结果即可．
【详解】∵7
2x
−
与2
7
x −
互为相反数，
∴7
2
2
7
0
x
x
−
+
−
=
，
∵
7
2
0
2
7
0
x
x
−
−
，
∴2
7
0
x −
= ，
∴
3.5
x =
，
∵y 的算术平方根为14，
∴
14
y =
，
∵z 的绝对值为2 ，
∴
2
z =
，
∴
2
2
z =
，
∵m，n 互为倒数，
∴
1
mn = ，
∴原式
2 3.5 14 2
3.5 14
49
=
+
−
=
=
，
∴
49
7
= ．
∴
2
2mn
x
y
z
+
−
的平方根是7
．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性
质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做
算术平方根．掌握以上知识是解题的关键．
重难点四、已知一个数的平方根，求这个数
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正数两个平方根互为相反数，将两个平方根相加等于 0，列方程求出未知
数；再把未知数代回任意一个平方根式子，平方后得到原数。注意检验结果，确保求出的
数是正数，0 只有一个平方根，题型需要分类讨论。
1．（25-26 七年级上·浙江金华·期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江
的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a 和
8
a −，那么这段婺江的宽度是（ ）
A．4 米
B．16 米
C．25 米
D．36 米
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a 的方程，求出a 后再计算这个正数（即婺江的宽度）．
【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以
(
8)
0
a
a
+
−
=
，
解方程可得：2
8
0 2
8
4
a
a
a
−=
=
=
，
，
，
那么这个正数（婺江的宽度）为
2
2
4
16
a =
=
．
故选：B．
2．（25-26 七年级下·安徽亳州·期中）2026 年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知
该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是6
2
m+ ，则m 的值为______．
【答案】338
−
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】根据平方根定义，得出6
2
2026
m+
= −
，求出m 的值即可．
【详解】解：∵该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是6
2
m+ ，
∴6
2
2026
m+
= −
，
解得：
338
m = −
．
3．（25-26 七年级下·江西南昌·期中）已知实数b 是4
a
−的平方根，当a 为非负整数时，满足3b 是有理
数，则b 的值可以是______．
【答案】0 或3 或
3
−
【难度】0.65
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【知识点】无理数、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】先由条件可得
2
0
4
b
，且
2
b 为整数，则
2
0,1,2,3,4
b =
，再分别讨论即可求解．
【详解】解：∵实数b 是4
a
−的平方根，
∴
2
4
b
a
=
−
，4
0
a
−
，
∴
2
4
a
b
=
−
，
4
a
，
∴当a 为非负整数时，
2
0
4
4
a
b
=
−
，
∴
2
0
4
b
，且
2
b 为整数，
∴
2
0,1,2,3,4
b =
，
当
2
0
b =
，即
0
b =
时，3
0
b =
，是有理数，符合题意；
当
2
1
b = ，即
1
b = 时，3
3
b =
，是无理数，不符合题意；
当
2
2
b =
，即
2
b =
时，
(
)
3
3
2
b =
，是无理数，不符合题意；
当
2
3
b =
，即
3
b =
时，
(
)
3
3
3
3
b =
= ，是有理数，符合题意；
当
2
4
b =
，即
2
b = 时，3
2 3
b =
，是无理数，不符合题意；
综上所述，b 的值可以是0 或3 或
3
−
．
4．（25-26 八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的
算术平方根为5
1
m+ ，平方根为(
)
3
m
−
，求这个数．
以下是乐乐的解题过程：
解：因为一个数的算术平方根为5
1
m+ ，平方根为(
)
3
m
−
．
所以5
1
3
m
m
+ =
−
或
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
．
①当5
1
3
m
m
+ =
−
时，解得
1
m = −，
所以5
1
4
m+ = −，所以这个数为16；
②当
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
时，解得
1
3
m =
，
所以
8
5
1
3
m + =
，所以这个数为64
9 ．
综上所述，这个数为16 或64
9 ．
李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程．
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【答案】乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当
1
m = −时，这个数的算术平方根为
5
1
4
0
m+ = −
，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确过程见解析
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一个数的
算术平方根、平方根概念理解
【分析】本题考查了算术平方根及平方根，一元一次方程，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，
根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解．
【详解】解：乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当
1
m = −时，这个数的算术平方根为
5
1
4
0
m+ = −
，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确的解题过程如下：
因为一个数的算术平方根为5
1
m+ ，平方根为(
)
3
m
−
，
所以5
1
3
m
m
+ =
−
或
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
．
①当5
1
3
m
m
+ =
−
时，解得
1
m = −，
所以5
1
4
0
m+ = −
，不符合题意，舍去；
②当
(
)
5
1
3
m
m
+ = −
−
时，解得
1
3
m =
，
所以
8
5
1
3
m + =
，所以这个数为64
9 ．
综上所述，这个数为64
9 ．
5．（24-25 七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是3
4
b-
和2
6
b −，解出b 才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125 的立方根a 组成．进入密室后，需
解出关于x 的方程2
3
11
x
a
+
=
，才能兑换奖励．
(1)求a， b， x 的值；
(2)将奖励存入边长为a
b
−
的正方体盒子，若盒子体积比
3x 大k，求
1
k + 的算术平方根．
【答案】(1)
5
a =
，
2
b = ，
2
x = −
(2)6
【难度】0.65
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根、立方根的应用等知识，解题的关键是：
（1）根据平方根的定义求出b，根据立方根的定义求出a，然后把a 代入方程，最后解方程求出x 即可；
（2）先求出k 的值，然后根据算术平方根的定义求解即可．
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【详解】（1）解：∵正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是3
4
b-
和2
6
b−，
∴3
4
2
6
0
b
b
−+
−=
，
∴
2
b = ，
∵a 是125 的立方根，
∴
3 125
5
a =
= ，
∴方程2
3
11
x
a
+
=
变形为2
15 11
x+
=
，
解得
2
x = −；
（2）解：根据题意，得
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
5
2
2
35
k
a
b
x
=
−
−
=
−
−−
=
，
∴
1
k + 的算术平方根为
35
1
6
+
=
．
6．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的
数称为“三角形数”，而把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n 个三角形数可以用
(
) (
)
1
1
2
n n
n
+
表示．
发现：①
2
1 3
4
2
+
=
=
，②
2
3
6
9
3
+
=
=
，③
2
6
10
16
4
+
=
=
，……
结论：一个大于1 的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和．
(1)请你写出第④个等式：______；
(2)请你结合材料，用含(
)
1
n n
的等式表示出上述结论，并加以证明；
(3)我们知道
2
2025
45
=
，因此2025 是正方形数．请直接写出2025 可以看作哪两个相邻“三角形数”之和．
【答案】(1)
2
10 15
25
5
+
=
=
(2)
解：(
)
(
)(
)
(
)
2
1
1
2
1
2
2
n n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
，证明如下：
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∵左边
(
)
(
)(
)
1
1
2
2
2
n n
n
n
+
+
+
=
+
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
= n
n
n
n
n
2
2
1
n
n
=
+
+
(
)
2
1
n
=
+
=右边；
∴(
)
(
)(
)
(
)
2
1
1
2
1
2
2
n n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
．
(3)2025 可以看作990 和1035 这两个相邻“三角数”之和
【难度】0.65
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、整式的混合运算、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查规律题的探究，找到规律是解题的关键．
（1）根据等式规律，即可解答；
（2）根据题意，分别进行化简，最后判定是否相等，即可解答．
（3）根据题意列出方程
2
(
1)
2025
n+
=
，求出n 的值，再代入三角形数公式，即可解答．
【详解】（1）解：根据规律，可得
第④个等式为：
2
10 15
25
5
+
=
=
（2）略
（3）由（2）得
2
(
1)
2025
n+
=
解得
1
2
44,
46
n
n
=
= −
（不合题意，舍去）
∴(
)
(
)
1
1 (
2)
44 45
45 46
990,
1035
2
2
2
2
n n
n
n
+
+
+
=
=
=
=
．
∴2025 可以看作990 和1035 这两个相邻“三角数”之和．
重难点五、利用平方根解方程
整理方程，把含未知数项放在一侧，常数移到另一侧，化为x
2=a 形式。当
a>0，解为x=±√a；a=0，x=0；a<0，方程无实数解。移项留意符号变化，不要漏写负
根，这是最容易失分的地方。
1．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）若(
)
2
1
1
x −
= ，则x =_____．
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【答案】2 或0
【难度】0.85
【知识点】利用平方根解方程
【分析】根据平方根的定义，得出
1 1
x −= 或
1
1
x−= −，即可解答。
【详解】解：(
)
2
1
1
x −
= ，
1 1
x −= 或
1
1
x−= −，
2
x =
或
0
x =
2．（20-21 七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如
2x
a
=
（a 为常数）的这类方程．
(1)小天先尝试解了下面两个方程：
①
2
1
x = ，解得
1
x = 或
1
x = −；②
2
1
x = −，此方程无实数解．
方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；
方程②无实数解的依据是：___________；
(2)小天进一步探究了解方程③和④：
③
2
3
21
x =
解：
2
7
x =
．
7
x =
或
7
x = −
．
④(
)
2
2
9
x +
=
．
解：
2
3
x +
=
或
2
3
x +
= -
．
1
x = 或
5
x = −．
请你参考小天的方法，解下列两个方程：
⑤
2
2
72
0
x −
=
；
⑥(
)
2
1
5
x −
=
．
【答案】(1)负数没有平方根
(2)⑤
6
x =
或
6
x = −；⑥
1
5
x = +
或
1
5
x = −
【难度】0.65
【知识点】利用平方根解方程
【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键．
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（1）根据平方根的性质即可得到答案；
（2）仿照③、④，利用平方根解方程即可．
【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根，
故答案为：负数没有平方根；
（2）⑤解：
2
2
72
0
x −
=
．
2
36
x =
．
6
x =
或
6.
x = −
⑥解：(
)
2
1
5
x −
=
．
1
5
x−=
或
1
5
x −= −
．
1
5
x = +
或
1
5
x = −
．
3．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）(
)
2
1
2
7
x −
−
=
【答案】
1
4
x =
，
2
2
x = −
【难度】0.85
【知识点】利用平方根解方程
【详解】解：(
)
2
1
2
7
x −
−
=
(
)
2
1
7
2
x −
=
+
，
(
)
2
1
9
x −
=
，
开平方得
1
3
x−= ，
即
1
3
x−= 或
1
3
x−= −，
解得
1
4
x =
，
2
2
x = −．
4．（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）如图，在5 5
的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分
也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A 表示的数为1．
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(1)图中正方形ABCD的面积为___________，边长为___________．
(2)若正方形ABCD从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B 第一次落在数轴上时，与点B 重合的点P
表示的数为___________；若正方形ABCD从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D 第一次落在数轴上
时，与点D 重合的点Q 表示的数为___________．
(3)能否用一块面积为
2
400cm 的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为
2
300cm 的长方形纸
片，使它的长与宽的比为3:2？请通过计算说明是否可行．
【答案】(1)13，13
(2)1
13
+
，1
13
−
(3)不能，理由见解析
【难度】0.64
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、利用平方根解方程、算术平方根的实际应用
【分析】（1）根据割补法求出正方形的面积，即可解答；
（2）先推导出
1,
13
OA
AP
AQ
AB
=
=
=
=
，得到
1
13
OP
OA
AP
=
+
= +
，
13 1
OQ
AQ
AO
=
−
=
−，即
可解答；
（3）设长方形纸片的长为3 cm
x
，宽为2 cm
x
，依题意得到3
2
300
x
x
=
，求出
50
x =
，得到长方形纸片
的长为3 50cm ，根据20
21
，得到不能裁出一块面积为
2
300cm 的长方形纸片，即可解答．
【详解】（1）解：由图，可知正方形ABCD的面积为
1
5 5
4
2 3
13
2
−
=
，
∴正方形ABCD的面积为13，边长为13 ．
（2）解：由图及题意，得
1,
13
OA
AP
AQ
AB
=
=
=
=
，
∴
1
13
OP
OA
AP
=
+
= +
，
13 1
OQ
AQ
AO
=
−
=
−，
∴点P 表示的数为1
13
+
，点Q 表示的数为(
)
13 1
1
13
−
−
= −
；
（3）解：不能，理由如下：
设长方形纸片的长为3 cm
x
，宽为2 cm
x
，依题意，得
3
2
300
x
x
=
，
2
50
x =
由边长的实际意义，得
50
x =
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因此，长方形纸片的长为3 50cm ，
∵50
49
∴50
7
∴3 50
21
又∵
400
20
=
，20
21
，
∴不能裁出一块面积为
2
300cm 的长方形纸片．
5．（25-26 七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261 年写下了
《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了(
) (
)
1,2,3,
n
a
b
n
+
=
展开式的系数规律．
第2 行
1
n =
(
)
1
a
b
a
b
+
=
+
第3 行
2
n =
(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
第4 行
3
n =
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
第5 行
4
n =
(
)
4
a
b
+
=
【应用体验】
(1)(
)
4
a
b
+
的展开式为 ；
(2)利用上面的规律计算：
①
6
5
4
3
2
2
6 2
15 2
20 2
15 2
6 2 1
+
+
+
+
+
+ = ；
②
5
4
3
2
3
5 3
10 3
10 3
5 3 1
−
+
−
+ −= ；
(3)若(
)
7
2
7
0
1
2
7
1
x
a
a x
a x
a x
+
=
+
+
+
+
，
①求
0a 的值．
②求
1
3
5
7
a
a
a
a
+
+
+
的值．
(4)当代数式
4
3
2
8
24
32
16
a
a
a
a
−
+
−
+
的值为1 时，求a 的值．
【答案】(1)(
)
4
4
3
2
2
3
4
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
+
=
+
+
+
+
(2)①
63 ；②32
(3)①1；②
6
2
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(4)
3
a = 或1
【难度】0.5
【知识点】利用平方根解方程、多项式乘法中的规律性问题
【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可；
（2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到(
)
6
2 1
+
，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律
变形后得到(
)
5
3 1
−
，即可求出答案；
（3）①令
0
x =
即可求出答案；②分别令
1
x = 和
1
x = −列出式子，两式相减即可求出答案；
（4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到(
)
4
2
a −
，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，(
)
4
4
3
2
2
3
4
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
+
=
+
+
+
+
（2）解：①
6
5
4
2
3
2
6
2
15 2
20
2
15 2
6
2
1
+
+
+
+
+
+
2
3
6
5
4
3
6
4
2
5
2
6 2
15 2
20 2
2
1
1
1
1
6 2 1
15
1
=
+
+
+
+
+
+
(
)
6
2 1
=
+
63
=
；
②
5
4
3
2
3
5 3
10 3
10 3
5 3 1
−
+
−
+ −
5
4
3
2
5
2
3
4
3
0
1
1
5 3
1
3
10 3
5
1
1
1
3
=
−
+
−
+
−
(
)
5
3 1
=
−
32
=
（3）解：①当
0
x =
时，
(
)
(
)
7
7
0
1
1 0
1
x
a
+
=
+
=
= ，
②当
1
x = 时，
(
)
7
7
0
1
2
7
1 1
2
a
a
a
a
+
=
=
+
+
+
+
①，
当
1
x = −时，
(
)
7
7
0
1
2
7
1 1
0
a
a
a
a
−
=
=
−
+
+
−
②，
①-②得到，
(
)
7
1
3
5
7
2
2 a
a
a
a
=
+
+
+
∴
6
1
3
5
7
2
a
a
a
a
+
+
+
=
（4）
4
3
2
8
24
32
16
a
a
a
a
−
+
−
+
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4
3
2
2
3
4
4
2
6
2
4
2
2
a
a
a
a
=
−
+
−
+
(
)
4
2
a
=
−
当代数式
4
3
2
8
24
32
16
a
a
a
a
−
+
−
+
的值为1 时，则(
)
4
2
1
a −
= ，
∴(
)
2
2
1
a −
= ，
∴
2
1
a−
= 或
2
1
a −
= −，
解得
3
a = 或1
6．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）设多项式
( )
2
P x
x
ax
b
=
+
+
，
( )
2
Q x
x
cx
d
=
+
+
，其中a ，b ，c ，
d 为常数，
( )
P x 和
( )
Q x 表示x 取某数时对应多项式的值，如：
( )
1
1
P
a
b
= +
+
．已知两个多项式恒满
足：
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
P
Q
P
Q
=
，则称(
)
,
P Q 为对称积对．
(1)根据对称积对定义，写出a ，b ，c ，d 之间的关系式________．
(2)已知(
)
,
P Q 为对称积对，a ，b ，c ，d 为整数．
①若
0
a
c
=
，证明：b
d
=
．
②当
( )
1
5
P
=
，
( )
( )
2
2
9
P
Q
=
=
，求a
b
c
d
+ + +
的值．
③若
0
a
c
，当
( )
( )
2
2
P
Q
=
，
2
2
(
)
(
)
5
a
c
b
d
−
+
−
=
时，求b
d
+
的最小值．
【答案】(1) (
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
(2)①证明：由（1）可得(
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
当a
c
=
时，
(
)
(
)
1
1
b a
d a
+
=
+
∵
0
a
，则
1
0
a +
∴b
d
=
；
②8；
③2
【难度】0.42
【知识点】计算多项式乘多项式、整式的加减运算、利用平方根解方程、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）分别计算
( )
0
P
，
( )
1
Q
，
( )
1
P
，
( )
0
Q
的值，代入条件
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
P
Q
P
Q
=
，即可求
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解；
（2）①，将a
c
=
代入第一问得到的关系式，因为
0
a
，所以可以对等式进行变形推导，得到b 和d 的
关系。
②，先利用
( )
1
5
P
=
和
( )
2
9
P
=
联立方程求解,a b 的值，再利用
( )
2
9
Q
=
得到,c d 的关系式，结合第一问
的参数关系式，联立求解,c d ，最后计算a
b
c
d
+ + +
；
对于③，先由
( )
( )
2
2
P
Q
=
得到, , ,
a b c d 的一个等式，结合第一问的关系式，推导b
d
−
与a
c
−的关系，再
代入(
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
，得出
2
2
b
a
= −
−，
2
2
2
2
4
d
a
a
= −
−−
= −
−，进而求得b
d
+
关于a 的代数式，根据
4
6
a
−
−随a 的增大而减小，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
( )
2
0
0
0
P
a
b
b
=
+
+
=
，
( )
2
1
1
1
1
Q
c
d
c
d
=
+ +
= +
+
( )
2
1
1
1
1
P
a
b
a
b
=
+
+
= +
+
，
( )
2
0
0
0
Q
c
d
d
=
+ +
=
∵
( )
( )
( )
( )
0
1
1
0
P
Q
P
Q
=
∴(
)
(
)
1
1
b
c
d
d
a
b
+
+
=
+
+
∴b
bc
bd
d
ad
bd
+
+
=
+
+
即b
bc
d
ad
+
=
+
，
∴(
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
；
（2）①略；
②由
( )
1
5
P
=
，得：1
5
a
b
+
+
= ，则
4
a
b
+
=
由
( )
2
9
P
=
，得4
2
9
a
b
+
+
=
，则2
5
a
b
+
=
联立
4
2
5
a
b
a
b
+
=
+
=
，解得：
1
3
a
b
=
=
由
( )
2
9
Q
=
，得4
2
9
c
d
+
+
=
∴
5
2
= −
d
c
代入(
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
得，(
)
(
)
3
1
2 5
2
c
c
+
=
−
解得：
1
c =
∴
3
d =
∴
1 3 1 3
8
a
b
c
d
+ + +
= + + + =
；
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③∵
( )
( )
2
2
P
Q
=
∴4
2
4
2
a
b
c
d
+
+
=
+
+
∴
(
)
2
b
d
c
a
−
=
−
设
,
m
a
c n
b
d
=
−
=
−
，则
2
n
m
= −
∵
2
2
(
)
(
)
5
a
c
b
d
−
+
−
=
∴
2
2
5
m
n
+
=
，
代入
2
n
m
= −
得，
(
)
2
2
2
5
m
m
+ −
=
∴
2
1
m =
∵
0
a
c
，即
0
a
c
−
，即
0
m
∴
1
m = −
∴
2
2
n
m
= −
=
∴
1,
2
a
c
b
d
−
= −
−
=
∴
1
c
a
=
+ ，
2
d
b
= −
代入(
)
(
)
1
1
b c
d a
+
=
+
得
(
)
(
)(
)
1 1
2
1
b a
b
a
+ +
=
−
+
∴
2
2
2
ab
b
ab
b
a
+
=
+ −
−
即
2
2
b
a
= −
−
∴
2
2
2
2
4
d
a
a
= −
−−
= −
−
∵
1
0
c
a
=
+
，
∴
1
a
−
，
又∵a 为整数，则
2
a −
∵
(
)
2
2
2
4
4
6
b
d
a
a
a
+
= −
−
+ −
−
= −
−
∵
2
a −
∴4
6
a
−
−随a 的增大而减小，
∴当
2
a = −时，b
d
+
取得最小值，最小值为
(
)
4
2
6
2
−−
−
=
模块三、立方根
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重难点一、立方根概念理解
若x
3=a，x 是a 的立方根。正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根
是 0。任意实数都存在立方根，区别于平方根。牢记性质，可以把负号移到根号外，简化
负数立方根运算。
1．（25-26 八年级上·河北邢台·阶段检测）式子3
8
2
−= −表示的意义是（ ）
A．8
−的平方根是2
−
B．2
−的立方根是8
−
C．8
−的立方根是2
−
D．2
−的平方根是8
−
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】立方根概念理解
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义判断即可．
【详解】∵3 a 表示a 的立方根，
∴3
8
2
−= −表示8
−的立方根是2
−，
故选：C．
2．（25-26 七年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，（1）
2
a 的值总是正的；（2）若ac
bc
=
，则a
b
=
；
（3）单项式
3
3
xy
的次数是7；（4）1 的算术平方根与立方根相同；正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】立方根概念理解、等式的性质2、求一个数的算术平方根、单项式的系数、次数
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，单项式的次数，整式的性质．逐个判断各语句的正误即可．
【详解】解：（1）当
0
a =
时，
2
0
a =
不是正数，故原结论错误；
（2）若ac
bc
=
，当
0
c =
时，a
b
=
不一定成立，故原结论错误；
（3）单项式
3
3
xy
的次数是1 3
4
+ =
，故原结论错误；；
（4）1 的算术平方根与立方根都是1，故原结论正确；
综上所述，正确的个数有1 个，
故选：A．
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3．（24-25 八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实
际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了n 次方根，下面是他
们写的“ n 次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整．
n 次方根的学习档案
定义：如果一个数x 的n 次方等于a （n 是大于1 的整数），即
nx
a
=
，那么这个数x 就
叫做a 的n 次方根．例如2 是16 的 ．
求一个数a 的n 次方根的运算叫做 ，a 叫做 ．
特征：根据n 次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0 和负数的n
次方根的特征如下：
正数的n 次方根是正数；
0 的n 次方根是 ；
负数 ．
【答案】四次方根；开n 次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数
【难度】0.85
【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解
【分析】本题主要考查平方根、立方根及n 次方根的意义，解题的关键是类比平方根和立方根的定义及性
质．
类比平方根和立方根的定义及性质解答即可．
【详解】解∶
4
2
16
=
，2 是16 的四次方根；
如果一个数x 的n(n 是大于|的整数)次方等于a，即
nx
a
=
，那么这个数x 就叫做a 的n 次方根，求一个数
a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数；正数的n 次方根是正的；0 的n 次方
根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数，
故答案为：四次方根；开n 次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数．
4．（25-26 七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么
2 不是有理数”的内容
后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务．
关于“无理数的衍生探究”的研究报告
教材部分内容：事实上，2 不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法．
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假设2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p ，q ，使得
2
p
q =
，于是
2
p
q
=
，
两边平方，得
2
2
2
p
q
=
，
由
2
2q 是偶数，得
2
p 是偶数，所以p 也是偶数．
因此可设
2
p
r
=
（r 是正整数），代入上式，得
2
2
4
2
r
q
=
，即
2
2
2
q
r
=
，
所以q 也是偶数，这样p
q
，都是偶数，与假设p
q
，互质矛盾，
即
2 不是有理数．
方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对3 2 是否为有理数展开了以下论证．
假设3 2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p ，q ，使得
3 2
p
q =
，于是
3 2
p
q
=
，
两边立方，得
3
3
2
p
q
=
任务：
(1) 3 是___________．（填“无理数”或“有理数”）
(2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(3)若3 2
m
+
是无理数，且与3 2 互为相反数，直接写出m 的值．
【答案】(1)无理数
(2)
解：∵
3
2q 是偶数，
∴
3
p 是偶数，
∴p 是偶数，
设
2
p
r
=
（r 是正整数），
∴(
)
3
3
2
2
r
q
=
，即
3
3
4
q
r
=
，
∵
3
4r 是偶数，
∴
3
q 是偶数，
∴q 是偶数，
∴p ，q 都是偶数，与假设矛盾，
即3 2 不是有理数；
(3) 4
−
【难度】0.65
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【知识点】无理数、立方根概念理解、实数概念理解
【分析】（1）根据无理数的意义进行判断；
（2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可；
（3）根据相反数的意义得
3
3 2
2
0
m
+
+
=
，再根据立方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：3 是无理数；
（2）略
（3）解：∵3 2
m
+
是无理数，且与3 2 互为相反数，
∴
3
3 2
2
0
m
+
+
=
，
∴
3
3
3 2
2
2
m
+
= −
=
−，
∴2
2
m
+
= −，
∴
4
m = −．
5．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）我们知道64
−
的立方根是4
−，可以表示为
3
64
4,
−
= −
反之
(
)
3
4
64,
−
= −
16 的平方根是4
，可以表示为
16
4,
=
反之 (
)
2
4
16
=
．根据立方根和平方根的含义，完
成下面问题：
(1) 3 125 表示的含义是什么？
3 7
1
a + 表示的含义是什么？
(2) 8
2
a
b
+ −
表示的含义是什么？
(3)若
3
1
7
1
, 8
2
2,
2
a
a
b
+ =
+ −
=
求a
b
+
的值和8
3
3
a
b
−
+
+ 的平方根．
【答案】(1) 3 125 表示125 的立方根，3 7
1
a + 表示7
1
a + 的立方根
(2) 8
2
a
b
+ −
表示8
2
a
b
+ −
的算术平方根
(3)
55
8
a
b
+
=
；8
3
3
a
b
−
+
+ 的平方根为5
【难度】0.65
【知识点】立方根概念理解、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平
方根
【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是
解决本题的关键．
（1）根据立方根的概念解答即可；
（2）根据算术平方根的概念解答即可；
（3）先根据立方根，算术平方根的概念求出
1,
7
8
a
b
= −
=
，然后代入a
b
+
和8
3
3
a
b
−
+
+ 求解即可．
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【详解】（1）3 125 表示125 的立方根，3 7
1
a + 表示7
1
a + 的立方根．
（2）8
2
a
b
+ −
表示8
2
a
b
+ −
的算术平方根．
（3）因为3
1
7
1
,
8
2
2
2
a
a
b
+ =
+ −
=
，
所以
1
7
1
, 8
2
4
8
a
a
b
+ =
+ −
=
，
所以
1,
7
8
a
b
= −
=
，
所以
1
55
7
8
8
a
b
+
= −
+
=
，
1
8
3
3
8
3 7
3
25
8
a
b
−
+
+
= −−
+ +
=
，
所以
8
3
3
25
5
a
b
−
+
+
=
= ．
重难点二、求一个数的立方根
寻找立方后等于原数的数，正负号和原数保持一致。遇到带分数先转化为假
分数再开立方。熟记常见整数立方值快速口算。负数直接提取负号，先求正数立方根，再
添加负号，降低计算失误概率。
1．（25-26 七年级下·贵州遵义·期中）平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的
定义，8 的立方根是（ ）
A．8
B．
8
−
C．2
D．2
−
【答案】C
【难度】0.88
【知识点】求一个数的立方根
【详解】解：∵
3
2
8
=
∴ 8 的立方根是2.
2．（25-26 七年级下·福建莆田·期中）填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2）3
1
27
−
= ___________________ ；(
)
3
3 8
= _____ ．
（3）3 64 的平方根是 _______ ；
64 的立方根是 _____ ．
【答案】 0 或1
1
3
−
8
2
2
【难度】0.85
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【知识点】立方根概念理解、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】（1）结合立方根的性质，得出0 或1
都满足自身的立方根等于它本身，即可作答．
（2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答．
（3）先开立方根再算平方根得出3 64 的平方根是2
；先求出64 的算术平方根，再求出其立方根，即可
作答．
【详解】解：（1）0 的立方根等于0，1的立方根等于1，1
−的立方根等于1
−
即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0 或1
；
（2）3
1
1
27
3
−
= −
，(
)
3
3
3 8
2
8
=
=
（3）先化简得3 64
4
=
，4 的平方根为
4
2
= ；
化简64
8
=
，8的立方根为2 ．
3．（24-25 八年级下·上海静安·期末）方程
3x
2
=
的根是______．
【答案】3 2
【难度】0.85
【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键．
【详解】解：∵
3x
2
=
，
∴
3
x
2
=
，
故答案为：3 2 ．
4．（2026·河南周口·二模）计算(
)
(
)
0
3
8
π 1
−
+
−
= __________．
【答案】1
−
【难度】0.85
【知识点】求一个数的立方根、零指数幂
【详解】解：(
)
(
)
0
3
8
π 1
2 1
1
−
+
−
= −+ = −．
5．（25-26 八年级下·云南昭通·期中）求x 的值：(
)
3
2
63
1
x −
−
= ．
【答案】
6.
x =
【难度】0.85
【知识点】求一个数的立方根
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【详解】解：(
)
3
2
64
x −
=
，
2
4,
x −
=
6.
x =
6．（25-26 七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅
读的杂志上有一道智力题：求24389 的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，
你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求3 24389 ；
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可以确定3 24389 是 位数；
②由24389 的个位上的数字是9，可以确定3 24389 的个位上的数字是 ；
③如果划去24389 后面的三位389得到数24 ，而
3
2
8
=
，
33
27
=
，可以确定3 24389 的十位上的数字
是 ；由此求得3 24389 = ．
(2)已知438976 也是一个整数的立方，用类似的方法可以求3 438976 的值．
【答案】(1)①两；②9；③2，29
(2)76
【难度】0.65
【知识点】求一个数的立方根
【分析】（1）①由1000
24389 1000000
知，
3
10
24389
100
，可知3 24389 是两位数；
②只有数字9 的立方的个位数是9，可知3 24389 个位上的数字是9；
③由8
24
27
知，十位上的数字是2，可知3 24389
29
=
；
（2）仿照（1）计算即可．
【详解】（1）解：∵①1000
24389 1000000
，
3
10
24389
100
，
∴3 24389 是两位数；
②∵24389 的个位上的数字是9，只有数字9 的立方的个位数是9，
3 24389
个位上的数字是9；
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③
3
3
2
8,3
27,8
24
27
=
=
，
3 24389
十位上的数字是2，
3 24389
29
=
；
（2）解：∵1000
438976
1000000
，
3
10
438976
100
，
3 438976
是两位数；
∵438976的个位上的数字是6，只有数字6 的立方的个位数是6，
3 438976
个位上的数字是6；
划去438976 后面的三位976 得到数438，
3
3
7
343,8
512,343
438
512
=
=
，
3 438976
十位上的数字是7，
3 438976
76
=
．
7．（25-26 七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上
有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速
地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试：
(1)因为59319 是一个立方数，即某个整数的立方，
由
3
3
10
59319
100
，所以
3
10
59319
100
，即能确定3 59319 是一个 位数；
又∵59319 的个位上的数是9 ，
∴能确定3 59319 的个位上的数是 ；
划去59319 后面的三位319 得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位，
∵
3
3
3
59.319
4
，∴
3
3
59.319
4
由此能确定3 59319 的十位上的数是 ．所以3 59319 = ．
(2)已知110592是一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明．
【答案】(1)两；9；3；39
(2)110592 的立方根为48，说明见解析
【难度】0.62
【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索
【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可；
（2）仿照题干思路作答即可．
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【详解】（1）解：因为59319 是一个立方数，即某个整数的立方，
由
3
3
10
59319
100
，所以
3
10
59319
100
，即能确定3 59319 是一个两位数；
又∵59319 的个位上的数是9 ，
∴能确定3 59319 的个位上的数是9；
划去59319 后面的三位319 得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位，
∵
3
3
3
59.319
4
，∴
3
3
59.319
4
由此能确定3 59319 的十位上的数是3．所以3 59319
39
=
．
（2）解：因为110592是一个立方数，即某个整数的立方，
由
3
3
10
110592
100
，
所以
3
10
110592
100
，
即能确定3 110592 是一个两位数；
又∵110592的个位上的数是2，
∴能确定3 110592 的个位上的数是8；
划去110592后面的三位592 得到数110，即将被开方数小数点向左移三位，
∵
3
3
4
110.592
5
，
∴
3
4
110.592
5
，
由此能确定3 110592 的十位上的数是4．
所以3 110592
48
=
．
重难点三、已知一个数的立方根，求这个数
根据立方根定义，将已知立方根进行立方运算，就能得到原数。立方运算不
改变符号，无需分类讨论。若立方根含有未知数，先解方程算出立方根数值，再立方求出
原数。题型不存在无解情况，实数均有立方根。
1．（24-25 七年级下·贵州铜仁·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和
立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知2
7
a −
的算
术平方根是3
9
b−
，
的立方根为2
−．
(1)求a
b
，的值．
(2)求3a
b
+ 的平方根．
【答案】(1)
8,
1
a
b
=
=
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(2) 5
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的
关键．
（1）根据算术平方根和立方根的定义即可求出a
b
、的值；
（2 ）根据（1）中的结果求出3a
b
+ 的值，再根据平方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据题意：2
7
9,
9
8
a
b
−
=
−
= −，
则
8,
1
a
b
=
= ；
（2）解：由（1）知
8,
1
a
b
=
= ，
则3
25
a
b
+
=
，
∵
25
5
= ，
∴3a
b
+ 的平方根为5
．
2．（24-25 七年级下·河南洛阳·期中）（1）一个长方体的体积为
3
1296cm .它的长、宽、高之比为3:2:1.
求这个长方体的表面积；
（2）已知一个正数的平方根分别是
2
a+
和2
5
a −，
3
b −的立方根为1
−，求4a
b
−
的平方根.
【答案】（1）
2
792cm ；（2）
2
【难度】0.65
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、立方根的实际应用
【分析】（1）设这个长方体的长、宽、高分别为3 cm
x
，2 cm
x
，
cm
x
，根据这个长方体的体积为
3
1296cm 列方程得3
2
1296
x
x x
=
，求得
6
x =
，则可得这个长方体的长、宽、高分别为18cm，12cm，
6cm ，进而可求出这个长方体的表面积；
（2）根据平方根的性质可得(
) (
)
2
2
5
0
a
a
+
+
−
=
，求得
1
a = ．根据立方根的定义可得
3= 1
b−
−，求得
2
b = ，再代入4a
b
−
中，求得4
2
a
b
−
=
，再根据平方根的定义即可得解．
本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
【详解】(1)解：设这个长方体的长、宽、高分别为3 cm
x
，2 cm
x
，
cm
x
，
则3
2
1296
x
x x
=
，
3
6
1296
x =
，
3
216
x =
，
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6
x =
，
∴3
18
x =
，2
12
x =
，
∴这个长方体的长、宽、高分别为18cm，12cm，6cm ，
∴这个长方体的表面积为
2
2 18 12
2 18 6
2 12 6
792 cm
(
)
+
+
=
．
（2）解：∵一个正数的平方根分别是
2
a+
和2
5
a −，
∴(
) (
)
2
2
5
0
a
a
+
+
−
=
，
解得
1
a = ．
∵
3
b −的立方根为1
−，
3
1
b
−= −，
解得
2
b = ，
4
4 1 2
2
a
b
−
= −
=
，
2 的平方根为
2
，
∴4a
b
−
的平方根为
2
．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出a ，b ，c
及x 的值．
【答案】
3
a = −，
5
b =
，
3
c = ，
16
x =
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，先分别根据对话内容，列式
7
3
5
0
a
a
+ +
+
=
，求出
3
a = −；故
7
4
a+
=
，3
5
4
a+ = −，所以
16
x =
，然后得出
9
25
x +
=
，且25
5
=
，得
5
b =
，因为c 为
24
a
−
的立方根，故
3
c = ，即可作答．
【详解】解：一个正数x 的两个平方根分别是
7
a +
和3
5
a + ，
7
3
5
0
a
a
+ +
+ =
，
解得
3
a = −，
7
4
a
+
=
，3
5
4
a+ = −，
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16
x
=
，
9
25
x
+ =
，且25
5
=
，
5
b
=
；
c
为24
a
−
的立方根，24
27
a
−
=
，
3 27
3
=
，
即
3
c = ．
4．（24-25 八年级上·四川资阳·期末）已知2
2
m+ 的算术平方根是2，2
8
m
n
+ −的立方根是2
−．
(1)求5
10
m
n
−
的平方根；
(2)若代数式(
)(
)
2
nx
a
mx
x
b
+
+
+
中不含
2
x 项和x 项，且
16
y
b
a =
，求y 的值．
【答案】(1) 5
(2)
4
y =
【难度】0.65
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方
根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】本题考查了算术平方根与平方根、立方根、多项式乘以多项式等知识，熟练掌握平方根与立方
根的性质是解题关键．
（1）先根据算术平方根和立方根可求出
,
m n的值，再根据平方根的性质求解即可得；
（2）先将
1
m = ，
2
n = −代入计算多项式乘以多项式，再根据不含
2
x 项和x 项可得含
2
x 项和x 项的系数等
于0，据此求出,a b 的值，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵2
2
m+ 的算术平方根是2，
∴
2
2
2
2
m +
=
，
∴
1
m = ，
∵2
8
m
n
+ −的立方根是2
−，
∴
(
)
3
2
8
2
m
n
+
−
= −
，即2 1
8
8
n
+ −= −，
∴
2
n = −，
∴
(
)
5
10
5 1 10
2
25
m
n
−
= −
−
=
，
∴5
10
m
n
−
的平方根为
25
5
= ．
（2）解：由（1）已得：
1
m = ，
2
n = −，
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∴(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
nx
a
mx
x
b
x
a
x
x
b
+
+
+
= −
+
+
+
3
2
2
2
2
2
x
x
b
ax
b
x
a
ax
= −
+
−
+
−
+
(
)
(
)
3
2
2
2
2
x
a
x
a
b x
ab
= −
+
−
+
−
+
，
∵代数式(
)(
)
2
nx
a
mx
x
b
+
+
+
中不含
2
x 项和x 项，
∴
2
0
a−
=
，
2
0
a
b
−
=
，
∴
2,
1
a
b
=
= ，
∵
16
y
b
a =
，
∴
1
4
2
16
2
y =
=
，
∴
4
y =
．
重难点四、与立方根有关的规律探索
观察被开方数小数点移动方向与位数，总结立方根小数点变化规律：被开方
数小数点每移动三位，立方根同向移动一位。多列举几组数值验证猜想，归纳通用规律，
直接运用规律快速计算大数的立方根。
1．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解 我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心
算3 59319 的思路如下：
①先判断位数：由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，确定3 59319 是一个两位数；
②再确定个位：由59319 的个位上的数是9，确定3 59319 的个位上的数是9；
③最后确定十位：划去59319 后面的三位319 得到数59，而
33
27
=
，
34
64
=
，由此确定3 59319 的十位
上的数是3；
综上，得3 59319
39
=
．
迁移应用
0
9
～的立方数如下表：
底数
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
立方
数
3x
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
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观察上表规律可知：底数的个位上的数是3 时，立方数的个位上的数是7
(1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数
的个位上的数是6；
(2)用上述方法求3 373248 ，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以3 373248 =
______；
(3)直接写出3 571787000 与3
0.017576
−
的值．
【答案】(1)5，6
(2)两，2，7，72
(3) 3 571787000
830
=
；3
0.017576
0.26
−
= −
．
【难度】0.64
【知识点】与立方根有关的规律探索
【分析】（1）根据表格数据即可解答；
（2）仿照题干中方法求解即可；
（3）根据3
3
3
571787000
571787
1000
=
，3
3
3
0.017576
17576
0.000001
−
= −
，再仿照题干中方法求解
3 571787 和3 17576 即可．
【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是5，当底数的个位
上的数是6 时，立方数的个位上的数是6；
（2）解：∵
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，
∴3 373248 是一个两位数；
∵373248 的个位上的数是8，
∴3 373248 的个位上的数是2；
∵划去373248后面的三位248 得到373，而
3
3
7
343,8
512
=
=
，且343
373
512
，
∴3 373248 的十位上的数是7，
∴3 373248
72
=
；
（3）解：∵3
3
3
571787000
571787
1000
=
，
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，且1000
571787
1000000
，
∴3 571787 是一个两位数；
∵571787 的个位上的数是7，
∴3 571787 的个位上的数是3；
∵划去571787 后面的三位787 得到571，而
3
3
8
512,9
729
=
=
，且512
571
729
，
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∴3 571787 的十位上的数是8，
∴3 571787
83
=
，
∵3 1000
10
=
，
∴3
3
3
571787000
571787
1000
83 10
830
=
=
=
；
∵3
3
3
3
0.017576
0.017576
17576
0.000001
−
= −
= −
，
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，且
1000
17576
1000000
，
∴3 17576 是一个两位数，
∵17576的末位上的数是6，
∴3 17576 的个位上的数是6，
∵划去17576后面的三位576得到17 ，而
3
3
2
8,3
27
=
=
，且8 17
27
，
∴3 17576 的十位上的数是2，
∴3 17576
26
=
，
∵3 0.000001
0.01
=
，
∴3
3
3
0.017576
17576
0.000001
26 0.01
0.26
−
= −
= −
= −
．
2．（25-26 七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力
题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算
的奥秘．
(1)请按照下面的分析试一试：
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可知3 59319 是______位数；
②由59319 的个位上的数是9，可知3 59319 的个位上的数是______；
③如果划去59319 后面的三位319 得到59，而
33
27
=
，
34
64
=
，由此确定3 59319 的十位上的数是
______；
④因此，3 59319 = ______．
(2)求3 50653 的值．
【答案】(1)①两；②9；③3；④39
(2)37
【难度】0.65
【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索
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【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数
字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关
系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律．
（1）①通过对比
3
10 （1000）和
3
100 （1000000）与59319 的大小，确定3 59319 的位数；②根据“只有
个位为9 的数，其立方个位为9”确定3 59319 的个位数字；③划去59319 后三位得59，对比
33 （27）和
3
4 （64）的范围，确定3 59319 的十位数字；④综合个位与十位数字得3 59319 的结果；
（2）求3 50653 时，同理先判位数（对比
3
10 与
3
100 ），再根据“个位为3 的立方数对应底数个位为7”定
个位，划去后三位得50，对比
33 与
3
4 定十位，最终得结果．
【详解】（1））①解：∵
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，且1000
59319
1000000
，
∴3 59319 是两位数；
故答案为：两．
②解：∵只有个位数字为9 的数，其立方的个位数字为9（
39
729
=
），且59319 的个位为9，
∴3 59319 的个位为9；
故答案为：9．
③解：划去59319 后面三位319 得59，
∵
33
27
=
，
34
64
=
，且27
59
64
，
∴3 59319 的十位为3；
故答案为：3．
④解：由①知3 59319 是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3，
∴3 59319
39
=
；故答案为：39．
（2）解：∵
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，且1000
50653 1000000
，
∴
3
10
50653
100
，
∴3 50653 是两位数；
∵只有个位数字为7 的数，其立方的个位数字为3（
3
7
343
=
），且50653 的个位为3，
∴3 50653 的个位为7；划去50653 后面三位653 得50，
∵
33
27
=
，
34
64
=
，且27
50
64
，
∴3 50653 的十位为3；
综合得3 50653
37
=
．
3．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出
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50653的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面
的探究：
①首先进行估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
50653 1000000
，所以
3
10
50653
100
，所
以能确定3 50653 是两位数．
②其次观察立方数：31
1
= ，
3
2
8
=
，
33
27
=
，
34
64
=
，
35
125
=
，
3
6
216
=
，
3
7
343
=
，
38
512
=
，
39
729
=
．由50653的个位上的数是3，
3
7
343
=
，确定3 50653 的个位上的数是7 ．
③接着划去50653后面的三位653得到数50，而
33
27
=
，
34
64
=
，27
50
64
，所以
27000
50653
64000
，所以
3
0
5065
4
3
30
，所以3 50653 的十位上的数是3，于是得到3 50653
37
=
，
即50653的立方根是37 ．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：1331的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算79507 的立方根，并书写详细过程．
【答案】(1)两，1
(2)解：3 79507
43
=
．
详细过程如下：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
79507
1000000
，
3
10
79507
100
，
79507
的立方根是一个两位数，
由79507 的个位上的数是7 ，
33
27
=
，可得3 79507 的个位数为3，
接着划去79507 后面的三位507 得到数79 ，而
3
4
64
=
，
35
125
=
，则64
79 125
，
3
3
4
79
5
，
3
3
40
79507
50
，
3
40
79507
50
，
3 79507
的十位上的数是4 ，结合其个位上的数是3，于是得到3 79507
43
=
，
即79507 的立方根是43．
【难度】0.61
【知识点】与立方根有关的规律探索
【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可；
（2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可．
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【详解】（1）解：
3
10
1000
=
，
3
20
8000
=
，1000
1331 8000
，
3
10
1331
20
，
1331
的立方根是一个两位数，
由1331的个位上的数是1，
31
1
= ，可得3 1331 的个位数为1；
（2）略
重难点五、立方根的实际应用
多用于正方体体积问题，正方体棱长是体积的立方根。根据体积公式建立等
式，对体积开立方得到棱长。体积数值可为正数，不存在舍去负解的情况。读懂立体图形
情境，准确建立体积与立方根之间的数学模型。
1．（25-26 七年级下·陕西榆林·期中）一个正方体容器棱长为3cm，盛满水倒入另一个大正方体容器，连
续8次恰好装满，求大正方体棱长．（容器壁厚度忽略不计）
【答案】
大正方体的棱长为6cm ．
【难度】0.85
【知识点】正方体、长方体的体积与容积、立方根的实际应用
【分析】计算小正方体的容积，可得大正方体的容积，即为大正方体的体积，求立方根，即可得大正方
体的棱长．
【详解】解：
(
)
3
33
8
6 cm
=
，
∴大正方体的棱长为6cm ．
2．（25-26 七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状
相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为1:1:8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多
少cm？
【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为3 cm
2
，3 cm
2
和12cm．
【难度】0.65
【知识点】立方根的实际应用
【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为cm
x
，cm
x
，8 cm
x
．根据“将棱长为6cm的正方体铁块
在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可．
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【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为cm
x
，cm
x
，8 cm
x
．
则
3
8
8
6
x x
x
=
，
∴
3
64
216
x =
，
∴
3
27
8
x
=
，
∴
3 27
3
8
2
x =
=
，
∴
2
3
8
8
1
2
x =
=
．
答：长方体铁块的长、宽、高分别为3 cm
2
，3 cm
2
和12cm．
3．（25-26 七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和
人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是
3
18000cm ，升降阻车桩
的高是底面半径的6 倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式
2
π
v
r h
=
，h 是圆柱的高，
r 是底面半径，π 取3）
【答案】10cm
【难度】0.75
【知识点】立方根的实际应用
【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是cm
x
，则高为6 cm
x
，
由题意可得：
2
3
6
18000
x
x
=
．
解得
10
x =
．
答：这个升降阻车桩的底面半径是10cm．
4．（25-26 七年级下·云南昆明·期中）一个快递包装盒是体积为0.064 立方米的正方体纸箱．快递员送货
时，装快递用的篮子是长方体形状，篮子的长为50 厘米，宽为38 厘米，高为45 厘米．这个正方体纸箱
能否完全放入篮子中？为什么？
【答案】不能，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】立方根的实际应用
【分析】设正方体纸箱的棱长为x 米，利用正方体的体积求出
0.4
x =
，然后比较求解即可．
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【详解】解：不能，理由如下：
设正方体纸箱的棱长为x 米．
则
3
0.064
x =
，
解得，
0.4
x =
．
∴正方体纸箱的棱长为0.4 米，即40 厘米．
∵篮子的最短边长为38 厘米，38
40
，
∴这个正方体纸箱不能完全放入篮子中．
5．（25-26 七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是
3
500π cm
3
，则它能否被装到容积为
3
1331cm 的立方
体容器中？请说明理由．（球的体积公式为
3
4π
3
V
R
=
，其中V 为球的体积，R 为球的半径）
【答案】能，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键；
先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与
立方体棱长的大小．
【详解】解：能．
理由：设铅球的半径为cm
R
，
根据题意，得
3
4π
500π
3
3
R =
，
即
3
125
R =
，
5
R
=
．
设立方体容器从里面测量棱长为cm
x
，
则
3
1331
x =
，
11
x
=
．
5 2
10
11
=
，
铅球能被装到容积为
3
1331cm 的立方体容器中．
6．（25-26 七年级上·青海西宁·期末）综合与实践
阅读：
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我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图
形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，
3
2 既表示2 2 2
，也可对应“棱长为2 的正
方体的体积”；(
)
2
2
−
表示(
) (
)
2
2
−
−
，也能对应“边长为2 的正方形的面积（负号可理解为方向的抽
象）”．
理解：
（1）已知
3
a = −，计算
2
a 和
3
a 的值；并在数轴上分别表示出a、
2
a 、
3
a 对应的点（提示：先确定各数的
符号与绝对值）
（2）观察
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
52
32
=
，…，写出2n （n 为正整数）的末位数字的规律，再
求
2025
2
的末位数字．
应用：
（3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______．
（4）已知
(
)
2
2
1
0
x
y
−
+
+
=
，求
y
x 的值，并说明该值在数轴上的位置特征．
拓展：
（5）当n 为正整数时，探究(
)
(
)
1
1
1
n
n+
−
+ −
的值；并思考：是否存在整数x，使得
(
)
4
3
1
0
x
x
+
+
−
=
？若
存在，求x 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
2
9
a =
，
3
27
a = −
，数轴表示见解析；（2）规律为周期为4 （2 、4 、8、6 循环），末位
数字是2 ；（3）0 或1；0 或1或1
−；（4）
1
2
yx =
；1
2 是正数，在原点右侧，且距离原点1
2 个单位长度
处；（5）(
)
(
)
1
1
1
0
n
n+
−
+ −
=
；不存在，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、绝对值非负性、数字类规律探索、立方根的实际应用
【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关
键．
（1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可；
（2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求
2025
2
的末位数字即可；
（3）设未知数列方程再解即可；
（4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可；
（5）根据n 为正整数时，n 和
1
n + 是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，
判断x 的值是否存在即可．
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【详解】解：（1）
3
a = −
，
2
2
( 3)
9
a
= −
=
，
3
3
( 3)
27
a = −
= −
，
3
0
−
，
3
3
−
=
，
3
−在数轴上原点左侧3 个单位处；
9
0
，9
9
=
，
9
在数轴上原点右侧9 个单位处；
27
0
−
，
27
27
−
=
，
27
−
在原点左侧27 个单位处．
a 用点A、
2
a 用点B、
3
a 用点C 表示．
．
（2）
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
52
32
=
，
6
2
64
=
，
7
2
128
=
，
82
256
=
，，
周期为4 （2、4、8、6 循环），
2025
4
506...1
=
，余数为1，对应周期的第一个数，
故
2025
2
的末位数字是2 ；
（3）设数x 的平方等于它本身，即：
2x
x
=
，
解得：
1
x = 或
0
x =
，
故答案为：0 或1；
设数y 的立方等于它本身，即：
3y
y
=
，
解得：
0
y =
或
1
y = 或
1
y
−
=
，
故答案为：0 或1 或1
−；
（4）
2
2
(
1)
0
x
y
−
+
+
=
，
2
0
x
−
= 且
1
0
y + =
，
小学
初中
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解得：
2
x =
，
1
y
−
=
，
1
1
2
2
yx
−
=
=
，
1
2
是正数，在原点右侧，且距离原点1
2 个单位长度处；
（5）
n
为正整数，
n
和
1
n + 是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数）
当( 1)
1
n
−
= 时，
1
( 1)
1
n+
−
= −，此时
1
( 1)
( 1)
0
n
n+
−
+ −
=
；
当( 1)
1
n
−
= −时，
1
( 1)
1
n+
−
= ，此时
1
( 1)
( 1)
0
n
n+
−
+ −
=
；
综上，当n 为正整数时，
1
( 1)
( 1)
0
n
n+
−
+ −
=
；
不存在整数x，使得
4
3
(
1)
0
x
x
+
+
−
=
，
理由如下：
3
0
x +
，
4
(
1)
0
x −
，
当
4
3
(
1)
0
x
x
+
+
−
=
时，
3
0
x +
=
且
4
(
1)
0
x −
=
，
解得：
3
x
−
=
且
1
x = ，
3
1
，
x
的值不存在．
重难点六、平方根和立方根的综合应用
解题先分清题目要求平方根还是立方根，明确两者性质差异：负数无平方
根，但一定有立方根。审题留意限制条件，先确定字母取值范围，再分别开方、开立方，
计算完成后带回原式检验，避免混淆正负取值。
1．（25-26 七年级上·浙江杭州·期末）已知a 是27 的立方根，b 是1
9 的平方根与
1
8
−
的立方根的和，c 是
6
a
b
+
的平方．
(1)直接写出a ，b 的值，并比较a ，b ，a
b
−
的大小．
(2)求c 的所有可能值．
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【答案】(1)
3
a = ，
1
6
b = −
或
5
6
−
；a
b
a
b
−
；
(2)
4
c =
【难度】0.65
【知识点】实数的大小比较、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根
【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出b 的所有
可能值，再分别计算a
b
−和
6
a
b
+
，从而比较大小和求c 的值．
（1）先根据立方根的定义求出a ，再根据平方根和立方根的定义求出b 的所有可能值，然后计算a
b
−，
最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较a ，b ，a
b
−的大小．
（2）先根据b 的不同取值分别计算
6
a
b
+
的值，再对结果进行平方，得到c 的所有可能值．
【详解】（1）解：∵a 是27 的立方根，
∴
3 27
3
a =
=
．
∵1
9 的平方根是
1
1
9
3
=
，
1
8
−
的立方根是3
1
1
8
2
−
= −
，
∴当取1
3 时，
1
1
1
3
2
6
b
=
+ −
= −
；当取
1
3
−
时，
1
1
5
3
2
6
b
= −
+ −
= −
．
∴
1
6
b = −
或
5
6
−
．
当
1
6
b = −
时，
1
19
3
6
6
a
b
−
=
−−
=
，
∵19
1
3
6
6
−
，
∴a
b
a
b
−
；
当
5
6
b = −
时，
5
23
3
6
6
a
b
−
=
−−
=
，
∵23
5
3
6
6
−
，
∴a
b
a
b
−
；
综上，a
b
a
b
−
；
（2）解：当
1
6
b = −
时，
1
6
3
6
2
6
a
b
+
=
+ −
=
，
∴
2
2
4
c =
=
；
当
5
6
b = −
时，
5
6
3
6
2
6
a
b
+
=
+ −
= −
，
∴
2
( 2)
4
c = −
=
；
故c 只有一个值为4 ．
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2．（20-21 七年级下·北京朝阳·期中）（1）如果3
12
x +
的立方根是3，求2
6
x +
的平方根；
（2）已知一个正数的两个平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，求
2019
a
的值．
【答案】（1）±4；（2）−1．
【难度】0.85
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】（1）根据立方根求出x 的值，再求2x＋6 的值，求出平方根即可解答；
（2）根据正数的平方根和相反数得到：2a−1−a＋2＝0，求出a 的值即可解答．
【详解】解：（1）3x＋12＝33，
3x＋12＝27，
解得：x＝5，
2x＋6＝16，
16 的平方根是±4，
2x＋6 的平方根是±4；
（2）根据题意得：2a−1−a＋2＝0，
解得：a＝−1，
∴
2019
a
＝−1．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．
3．（25-26 八年级上·湖南衡阳·阶段检测）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完
全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64
3
cm ，小明又将铁块从水中提
起，量得烧杯中的水位下降了16
9
cm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【答案】烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm
【难度】0.65
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用
【分析】铁块排出的64
3
cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为16
9
cm 烧杯的体积．
【详解】解：铁块排出的64
3
cm 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为y cm ，可列方程
3
64,
y =
解得
4
y =
设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程
2
16
64
9
x
=
，解得x =6．
答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm ．
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【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，
要结合实际意义进行取舍．本题体现与物理学科的综合．
重难点七、程序设计与实数运算
按照程序框图给出的运算顺序分步计算，分清什么时候开平方、什么时候开
立方。注意开平方时区分算术平方根与平方根，遇到循环运算耐心逐层求解。运算遵循先
开方再乘除后加减的实数运算顺序，规范步骤。
1．（24-25 七年级上·浙江绍兴·期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺
序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的
3
x = ，得到结果6；输入的
2
x = −，得出结果2．据
此判断下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果输入的x 为3
−，输出的结果为0
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x 可能是1012 或
2024
−
D．输出的结果有可能为0
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】程序设计与实数运算、程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键．
根据选项依次输入计算判断即可．
【详解】解：A、输入的x 为3
−时，(
)
3
2
6
0
−
= −
，
∴6
6
0
−+
=
，
∴
2
0
0
=
，正确，不符合题意；
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B、当输入的无理数为：(
)
3
2
−−
时，(
)
3
2
2
6
2 2
0
−−
= −−
，
∴6 2 2
6
2 2
0
−−
+
= −
，
∴(
)
2
2 2
8
−
=
，为有理数，正确，不符合题意；
C、当输入的x 是1012 时，输出1012 2
2024
0
=
，
当输入的x 是
2024
−
时，(
)
2024
2
2 2024
0
−
= −
，
∴2 2024
6
0
−
+
，
∴(
)
2
2 2024
6
2024
−
+
，故选项错误，符合题意；
D、由选项A 得，当x 为3
−，输出的结果为0，正确，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程
序．
按照上述运算程序，当
8
x = 时，y =________．
【答案】1
2 /0.5
【难度】0.65
【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、有理数的乘方运算
【分析】本题考查实数的运算，根据运算程序确定出输出结果即可．掌握相应的运算法则是解题的关
键．
【详解】解：当
8
x = 时，
得：3
2
8
4
=
，
∴
1
1
4
2
y =
=
．
故答案为：1
2 ．
3．（25-26 八年级下·浙江台州·期中）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x 为81 时，
最终输出的数是_______．
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【答案】3
【难度】0.63
【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根
【分析】根据数值转换器原理，输入 x 后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，
直到结果为无理数时输出．
【详解】解：由算术平方根的定义判断可得：
当输入的数x 为81 时，81
9
=
，不是无理数，需要继续计算；
取算术平方根9
3
=
，不是无理数，需要继续计算；
取算术平方根3 ，是无理数，输出3 ．
故答案为：3 ．
4．（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图：
例如：当输入x 的值为1
−时，计算结果3
4
；将输入值变为(
)
1
1 0
−
+ ＝，计算结果为6
4
；再将输入
值变为了0 1 1
+ = ，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果．
请思考下列问题．
(1)当输入x 的值为5，则输出y 的值是多少？请列式计算．
(2)当起始输入x 的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y．
【答案】(1)
21
(2)4 次
【难度】0.85
【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键．
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（1）根据框图中的运算程序计算即可；
（2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4 即输出结果为止．
【详解】（1）当输入x 的值为5 时，
则有
(
)
5
2
7
−−
=
，7 3
21
=
，
且21
4
，
输出y 的值是
21．
（2）当输入x 的值为1 时，
则有
(
)
1
2
3
−−
=
，3 3
9
=
，9
4
，继续计算；
第二次输入x 的值为1 1
2
+ =
时，
则有
(
)
2
2
4
−−
=
，4 3 12
?
，12
4
，继续计算；
第三次输入x 的值为2 1
3
+ = 时，
则有
(
)
3
2
5
−−
=
，5 3
15
=
，15
4
，继续计算；
第四次输入x 的值为3 1
4
+ =
时，
则有
(
)
4
2
6
−−
=
，6 3
18
=
，18
4
，输出y ；
所以经过4 次程序运行后才能输出y．
5．（23-24 七年级上·浙江杭州·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在1
−，2，4，16 中选择3 个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．
(2)若输出y 的值为
3
−
，求输入x 的值．
【答案】(1)当
2
x =
时，
2
y = −
；当
4
x = 时，
2
y = −
；当
16
x =
时，
2
y = −
(2)3 或9
【难度】0.65
【知识点】程序设计与实数运算、相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】（1）将
2
x =
，4，16分别代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当
3
−
是无理数的相反数时，当
3
−
是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即
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可．
【详解】（1）解：当
2
x =
时，其算术平方根为2 ，是无理数，故
2
y = −
；
当
4
x = 时，其算术平方根为2，是有理数，故
2
y = −
；
当
16
x =
时，其算术平方根为4，是有理数，故
4
2
y = −
= −；
（2）解：当
3
−
是无理数的相反数时，则x 的算术平方根是3 ，
∴
3
x = ，
当
3
−
是有理数的负平方根时，则x 的算术平方根的负平方根是
3
−
，
∴
9
x =
，
综上所述，x 的值为3 或9．
【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解
题的关键．
