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第4 课时 专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问
题
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2.会用平移圆法、
旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。
考点一 “平移圆”
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法
例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场
方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平
行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射
速度垂直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
1
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解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A 错误；设从某处E 进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点与A 点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距
A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区
域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦
长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间
为tmin＝＝，选项D 正确。
考点二 “旋转圆”
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周
运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这
种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系，
第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B 未知)。坐标原
2
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点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为
m、电荷量为q 的正离子。在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M 点坐标为(0，a)，N
点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N 点，最近到M
点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
答案 (1)或 (2)
解析 (1)由题意可知，沿x 轴正方向出射的离子，经半圆到达N 点，
由此可得r＝a，可知通过M 点的离子有两个出射方向，如图甲，
一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子
做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝，
解得t1＝，t2＝
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x 轴正
方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数
的比例为＝。
例3 如图所示，在绝缘板MN 上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。
距离绝缘板d 处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量
为m、速率为v 的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动
的半径也恰好为d，则( )
3
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A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
答案 B
解析 粒子受到的洛伦兹力充当向心力，粒子运动的轨迹半径R＝d，粒子运动到绝缘板的
两种临界情况如图甲所示，由几何关系可知，左侧最远处与S 之间的距离恰好是圆的直径，
则左侧最远处A 到C 距离为d，右侧离C 最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区
域长度是(＋1)d，故A 错误；左侧最远处与S 之间的距离恰好是圆的直径，所以从S 到A 的
时间恰好是半个周期，则t1＝＝＝，故B 正确；打在板上的粒子中，在磁场中运动时间最长
和最短的粒子运动轨迹示意图如图乙所示，粒子做整个圆周运动的周期T＝，
由几何关系可知，最短时间t2＝T＝，
最长时间t1＝T＝，Δt＝t1－t2＝，
故C、D 错误。
考点三 “放缩圆”
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这
些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
4
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例4 (多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的
中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正
方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成
30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
答案 AD
解析 带电粒子以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，
则知带电粒子的运动周期T＝2t0。该粒子从O 点以与Od 成30°角的方向射入磁场，随着粒
子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范
围分别为OG、FE、DC、BA 之间，不可能从四个顶点射出，故A 正确。
由上述分析知粒子运动周期为2t0，由图分析可知，从ab 边射出的粒子所用时间不可能为
t0，从bc 边射出的粒子所用时间不超过T＝，所有从cd 边射出的粒子转过的圆心角都是
300°，所用时间为＝，故B、C 错误，D 正确。
例5 (多选)(2023·山西太原市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向
里，其边界如图中虚线所示，ab 为半圆的直径，ac、bd 与直径ab 共线，a、c 间的距离等于
半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q 的带负电的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac
以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为
B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为
C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为
D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为
5
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答案 BD
解析 由R＝可知，粒子速度越大，运动半径越大。如图，
在能到达半圆形边界的粒子中，经过a 点的粒子运动半径最小，速度最小，其轨迹如图中轨
迹1 所示，由＝，解得vmin＝，故A 错误；经过b 点的粒子运动半径最大，速度最大，其轨
迹如图中轨迹2 所示，由＝，解得vmax＝，故B 正确；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与
ab 半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3 所示，圆心恰好
位于a 点，由R＝，解得v＝；其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故C 错误，D 正确。
课时精练
1.如图所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大
小为B。在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q 的正
离子，速率都为v。对那些在xOy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及
y 轴最远距离分别为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y 轴
最远为|x|＝2r＝，离x 轴最远为y＝2r＝，所以A 项正确。
2．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径
为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v 从圆心O 沿OC 方
向射入磁场，恰好由A 点射出。弧AD 对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD 之间射出(不
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包括A、D 两点)，电子从O 点射入的初速度可能是(不计电子的重力)( )
A. B. C．2v D．3v
答案 B
解析 根据题意，速度为v 时，恰好由A 点射出，如图中轨迹Ⅰ，
由几何关系可得r＝，由牛顿第二定律有qvB＝m，联立可得R＝，要使电子恰好从D 点射
出，如图中轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r′＝R，则有R＝，解得v′＝2v，要使电子从弧
AD 之间射出，电子从O 点射入的初速度应大于v，小于2v。故选B。
3.(2023·北京市一模)如图所示，边长为L 的正方形区域abcd 中充满匀强磁场，磁场方向垂
直于纸面向里。一带电粒子从ad 边的中点M 垂直于ad 边、以一定速率射入磁场，仅在洛
伦兹力的作用下，正好从ab 边中点N 射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是(
)
A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子将从b 点射出
B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原
来的2 倍
C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子将从a 点射出
D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来
的2 倍
答案 C
解析 由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，
做匀速圆周运动，如图所示，
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则有，Bqv＝m，r＝，T＝，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，即v′＝2v，则粒子
的半径将增大为原来的2 倍，由图可知，粒子不会从b 点射出，A 错误；粒子在磁场中运动
的周期为T＝，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子的半径将增大
为原来的2 倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不变，则粒子在磁场中运动的时
间将减小，B 错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子的运动半径将减小
为原来的，将从a 点射出，C 正确；结合C 选项，由T＝可知，若仅将磁感应强度大小增大
为原来的2 倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝，在磁场中运动时间t＝，与从N 点射出时
的运动时间相同，即时间将不变，D 错误。
4.如图所示，在半径为R 的圆形区域内(圆心为O)有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直
于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P 点在纸平面内沿不同方向
射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法
中正确的是(不计离子的重力和离子间相互作用)( )
A．从Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
B．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等
D．在磁场中运动时间最长的离子可能经过圆心O 点
答案 A
解析 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏转角最大，故应该
是弦长为PQ，由Q 点飞出的离子圆心角最大，所对应的运动时间最长，轨迹不可能经过圆
心O 点，故A 正确，B、D 错误；因洛伦兹力永不做功，故离子在磁场中运动时动能保持不
变，但由于离子的初动能不一定相等，故飞出时的动能不一定相等，故C 错误。
5.如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，线
状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带
正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy 向里。不考虑粒子间的相互作用，
不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(
)
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A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，
解得r＝2R，如图所示，
当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin
α＝，要使圆心角α 最大，FE 最长，经分析可知，当粒子从y 轴上的D′点射入、从x 轴上
的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射
入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C。
6.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边
界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿
PO 方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°。当将该带电粒子
从P 点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则
v1∶v2至少为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r1＝＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛
顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子
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的轨迹半径r2＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv2B＝m，解得v2＝，则
v1∶v2至少为，B 项正确。
7.(多选)如图所示，平行线MN、PQ 间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，MN、PQ 间的距离为L。在MN 上的a 点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向
射入质量为m、电荷量为q 的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场
偏转后，穿过PQ 边界线的最低点为b 点。已知c 是PQ 上的一点，ac 垂直于PQ，c、b 间
的距离为L，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ 边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN 夹角为30°方向射入的粒子恰好从c 点射出磁场
答案 BC
解析 作出一些粒子的运动轨迹如图所示，
从b 点射出的粒子根据几何关系有R2＝(L－R)2＋()2，求得R＝L，A 项错误；由qvB＝m 得
粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B 项正确；设粒子从PQ 射出区域的上端d 点到c 点的
距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，C 项正确；从c 点射出
磁场的粒子，在a 点时速度与MN 的夹角θ 满足2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，
D 项错误。
8．(多选)(2023·河南省联考)如图所示，在圆心为O、半径为R 的半圆形区域内(不含边界)有
磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN 为直径。大量带正电荷的同种粒
子以不同的速率从O 点在纸面内沿与ON 成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m、电荷
量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
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A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O 点正上方的P 点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速率，粒子可能从M 点离开磁场
答案 AC
解析 当粒子的速度较小时，粒子从MN 边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为300°，此时
粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t＝×＝，故A 正确；
如图所示，
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(设切点为Q)，粒子恰好从圆弧边界射出，
根据几何知识可知，粒子的轨道半径r1＝，设粒子的速度大小为v1，有qv1B＝m，解得v1
＝，故B 错误；
设当粒子恰好从P 点离开磁场时，粒子的轨道半径为r2，根据几何关系有r2＝，r2＝R，设
粒子的速度大小为v2，有qv2B＝m，解得v2＝，故C 正确；
当粒子的速度大于时，粒子从Q 点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子不可能从M
点离开磁场，故D 错误。
9.如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁
场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M 点射入
磁场。不计粒子重力。
(1)如果一个带电粒子沿直径MON 方向射入磁场，速度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为
多少？
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，不计粒
子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，v3＝，
求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
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答案 (1) (2) (3)
解析 (1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，
圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝，
可得t1＝＝
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N 点射出时在磁场运动的时间最长，如图所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝＝
(3)由v3＝
可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M 点最远时，轨迹弧为一半圆，如图所示
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。
10.(多选)(2024·江西吉安市三中月考)如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在
磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右
侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q 的同种带电粒子，所
有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，＝＝d，粒子重力及
粒子间的相互作用均不计，则( )
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A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
答案 AC
解析 粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点，可以画出其轨迹1，如图所示
可知SP 为直径，则有(2R)2＝d2＋(d)2，可得R＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，联立
解得v＝，故A 正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝＝，由几何知识可得从O 点射出的粒
子如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝＝，故B 错误；运动时间
最长的粒子为运动轨迹与x 轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，可得t1＝T。运
动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，此时对应的圆心角为60°，可得t2＝T，
所以t1∶t2＝9∶2，故C 正确；沿平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为
四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点的距离为d，故D 错误。
13
