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2024 年高考押题预测模拟测试卷 04（新高考冲刺卷 02）
（满分150分，考试用时120分钟）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ， ，且全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 在直角三角形ABC中， ，若 ，则 （ ）
A．－18 B．－6
C．18 D．6
4．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量 ，则当 且
时， 可以由服从正态分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的均值与方差近
似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若： ，则 ， ，
．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
6．已知圆 的面积被直线 平分，圆 ，
则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
7．已知数列 的各项均为正数，记 ， ，
， ，设甲： 是公比为 的等比数列；乙：对任意 ， ， ，
三个数是公比为 的等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件
8．已知函数 ， 满足 ， ，若 恰
有 个零点，则这 个零点之和为（ ）
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本
相关系数为B．已知随机变量 ，若 ，则
C．在 列联表中，若每个数据 均变成原来的2倍，则 也变成原来的2倍（
，其中 ）
D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， “2枚骰子
正面向上的点数相同”，则 互为独立事件
10．已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点
D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
11．已知抛物线E： 的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B
两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为 的中线，则
B．若BF为 的角平分线，则
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知空间中三点 ，则点A到直线 的距离为 ．13．已知函数 在 上恰好有三个零点，请写出符合条件的一个 的值：
.
14．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草
坪，周围的圆环分为 等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.
如图①，圆环分成的 等份分别为 ， ， ，有 种不同的种植方法.
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 ， ， ， ，有 种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的 等份分别为 ， ， ， ， 有 种不同的种植方法.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ，求 .
16．如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
17．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，
软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，
对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构
统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
楷 隶
书体 行书 草书 篆书
书 书
人数 24 16 10 20 10
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中 .
认真完
不认真完成 总计
成
男生
女生
总计 60
若根据小概率值 的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学
习软笔书法的女生的人数.
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
参考公式及数据： .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线
K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q点．求
的值；
(3)若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．19．给出下列两个定义：
I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.
