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专题五 统计概率（解答题10 种考向）
1
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2
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3
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考向一 超几何分布、二项分布、独立事件与正态分布
【例1-1】（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．
商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1 元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出
3 款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为
．
(1)若某顾客一次性购买了3 个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；
(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲
盒，若连续4 次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．
4
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【例1-2】（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为
五个层级，分别对应如下五组质量指标值：
、
、
、
、
．根据长期检测结
果，发现芯片的质量指标值
服从正态分布
，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取
件作为样本，
统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为
，用样本平均数
作为
的近似值，用样本
标准差作为
的估计值，可得到X 服从的正态分布
．求
和
的值；
(2)从样本中质量指标值在
和
的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在
的芯片件数为
，
求
的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于
的芯片称为
等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为
等品
的概率为
，用第（1）问结果试估计
的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．）
5
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【例1-3】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的
设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和
裁布三个环节，简记为工序A，工序
，工序
.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为
，
，
.
现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30 元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200 元，为了更好地
激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，
可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100 元，制作完成后
没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【例1-4】（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球
个，黑球个，小球
除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记
分，摸到黑球记
分.抽奖人摸个球为一次抽奖，
总分记为
，若
，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
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(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求
的分布列和数学期望.
【例1-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，
D，E 处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A 处的灯亮起，程序运行次数的上限为
（
，
），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1 次是与A 相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n
次是与第
次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A 处的灯再次亮起，则游戏结束，否
则运行n 次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A 处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购
物抽奖活动.
(1)求程序运行2 次小明获奖的概率；
(2)若
，求小明获奖的概率；
(3)若
，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X 的分布列与期望.
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考向二 统计案例
【例2-1】（2024·贵州毕节）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法
得到电动汽车销量
（单位：万台）关于
（年份）的线性回归方程
，且销量
的方差为
，年份
的方差为
．
(1)求
与
的相关系数，并据此判断电动汽车销量
与年份
的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽
车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值
的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7 人，再从这7 人中随机抽取3 人，记这3 人中男性的
人数为
，求
的分布列和数学期望．
①参考数据：
．
②参考公式：线性回归方程为
，其中
；
8
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相关系数
，若
，则可判断
与
线性相关较强；
，其中
．附表：
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【例2-2】（2025·宁夏银川·一模）数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查
了
名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为
.
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值
的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
感兴趣
不感兴趣
合计
成年男性
成年女性
合计
(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得元，每一
局赌徒赌输的概率为
，且赌输就要输掉元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：
一种是手中赌金为
元，即赌徒输光：一种是赌金达到预期的
元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为
，当赌徒手中有
元
时，最终输光的概率为
，请回答下列问题：
①请直接写出
与
的数值.
②证明
是一个等差数列，当
时，分别计算
时，
的数值，并结合实际，解
释当
时，
的统计含义.
9
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附：
.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【例2-3】（24-25 黑龙江哈尔滨·期末）2024 年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大
批游客前来旅游.2024 年底，第26 届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客
共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用
爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道
数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下：
滑道数量
11
12
13
14
15
平均等待时间
（分
钟）
88
81
75
70
66
(1)通过回归分析，可以利用模型
对
与
的关系进行拟合.利用表中数据，求出
关于
的回归方程，
并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40 分钟，至少应开放多少条滑道？
(2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2 个项目每个项目的平均排队时间为60 分钟，冰雪世界等4 个
体验项目
每个项目的平均排队时间为40 分钟，梦想大舞台等3 个演出活动每个项目的平均排队时间为30 分钟.由于天气
原因，小红决定选择其中的3 个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120 分钟的概率；
(3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择：
方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%；
方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会
增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？
10
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附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
参考数据：设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【例2-4】（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试
成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3 名负责人，乙部门有4 名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3 名负责人做测
试分析，记负责人来自甲部门的人数为
，求
的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩
（满分100 分）与绩效等级优秀率
，如下表所示：
32
41
54
68
74
80
92
0.2
8
0.3
4
0.4
4
0.5
8
0.6
6
0.7
4
0.9
4
根据数据绘制散点图，初步判断，选用
作为回归方程．令
，经计算得
，
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（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60 分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样
本方差
．经计算
，求某个部门绩效等级优秀率不低于
的概率．
参考公式与数据：①
取
．
②线性回归方程
中，
，
．
③若随机变量
，则
，
，
．
考向三 条件概率与全概率
【例3-1】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分
学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占
，女生中有
的人日均运动时间大于小时，男生中有
的人日均运动时间大于小时.
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(1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取
人，求日均运动时间大于小时的人数
的期望和方差.
【例3-2】（2025·湖北武汉·二模）有
，
，
，
，
，
，
，
八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采
用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，
已知
这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为
，
运动员与其它运动员对决时，
获胜的概率
为
，每场对决没有平局，且结果相互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
(2)求
与
对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求
与
对决过且最后获得冠军的概率．
【例3-3】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，
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奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32 金27 银26 铜，总计85 枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖
牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国
冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中
甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上
场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
38
45
未上场
3
合计
40
(1)完成
列联表，并判断根据小概率值
的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关
联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后
卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附：
．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.741
5.024
6.635
10.728
【例3-4】（2024 福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞
､
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技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活
动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局
胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比
赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入
最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手
对乙队每名队员的胜率均为
，甲队其余
名队员对
乙队每名队员的胜率均为
.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终
获胜且种子选手
上场的概率；
(2)已知甲队
获得最终胜利，求种子选手
上场的概率.
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【例3-5】（2025 浙江）北京时间4 月30 日晩，2023 年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，
来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象
棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以
报送一支5 人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4 名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每
轮比赛结束，得胜班级得1 分，反之0 分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，
积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2 分及以上的班级晋级，
反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.
(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E 五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A 参加了比赛，请列举出该班级所
有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8 支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的
概率为多少?
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4 名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5 名自
荐选手，分别为五级棋士2 名、六级棋士2 名和七级棋士1 名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，
0.6，0.5，最后一名选手会在这5 名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用
表示
选出的该同学的级别，求X 的分布列.
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考向四 统计概率与导数
【例4-1】（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4 道题，若答对3
道或4 道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮
的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率
均为
.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知
.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1 道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为
，求
的最大值.
【例4-2】（2025·江西上饶·一模）2024 年7 月26 日至8 月11 日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运
知识，
大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6 道题中任选2 题作答，2 题均答对则进入决赛．已知这6 道题中小王能答对其中4 道题，求小王在已
经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)
大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：
对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3 次，中奖1 次奖励120 元，中奖2 次奖励180 元，中奖3 次奖励360
元，若3 次均未中奖，则只奖励60 元，假定每次中奖的概率均为
，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1 次的概率为
，求
的极大值；
（Ⅱ）
大学数学系共有9 名大学生进入了决赛，若这9 名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120 元，试
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求此时
的取值范围．
【例4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）现市场上治疗某种疾病的药品有
两种，其治愈率与患者占比如表
所示，为试验一种新药
，在有关部门批准后，某医院把此药给100 个病人服用．设药
的治愈率为
，且每位病人是否被治愈相互独立．
A
B
C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100 个病人中恰有80 人被治愈的概率为
，求
的最大值点
；
(2)设用新药
的患者占比为
（药品
减少的患者占比，均为新药
增加占比的一半，
，以
（1）问中确定的
作为
的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用
表
示）
(3)按照市场预测，使用新药
的患者占比
能达到
以上，不足
的概率为
，不低于
且不超过
的概率为
，超过
的概率为
，某药企计划引入药品
的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的
影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条
数
1
2
3
若某条生产线运行，年利润为1000 万，若某条生产线未运行，年亏损300 万，欲使该药企生产药品
的年总利
润均值最大，应引入几条生产线？
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【例4-4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，
年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛
事共有
个大项，
个分项，
个小项，有来自
个国家和地区，
多名运动员参赛，是一场令人回味无
穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参
加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加
比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为
，
①设
，记小明答完前三道题得分为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得分的概率为
，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为
，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累
计得分为
，记小明答题累计得分为
的概率为
，求数列
的通项公式.
【例4-5】（2025·重庆·一模）
年
月
日国家市场监督管理总局第
次局务会议审议通过《食品安全抽
样检验管理办法》，自
年
月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物
含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于
为优级品，固形物含量低于
且不低于
为一级品，固形物含量低于
为二级品或不合格品．
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(1)现有
瓶水果罐头，已知其中
瓶为优级品，
瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第
次抽到一级品的概
率；
（ⅱ）对这
瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出
瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数
为
，求随机变量
的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为
，且各件产品是否为优级品相互独立，若在
次独立
重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于
（约为
），求
的最小值．
考向五 统计概率与数列
【例5-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为
，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1 分，直到有一方得分超过对方2 分时即
可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的
概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为
，其中
，设甲在接下来第
球
比赛中获胜的概率为
.
(1)若
，求甲以
获胜的概率；
(2)求
与
的关系；
(3)证明：
.
【例5-2】（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，
三个小组进行了一种算法模型的优
20
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化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A 小组中人数较多，故当模型在A 小组时，优化一次
后，有
的概率在本小组互传，
的概率传给B 小组；当模型在B 小组时，优化一次后，有
的概率传给A 小
组，
的概率传给C 小组；当模型在C 小组时，优化一次后，传给
小组的概率均为
．假设每次传递都是
独立事件，且项目开始时，模型在A 小组．
(1)求两次传递后模型在B 小组的概率，以及三次传递后模型在C 小组的概率；
(2)记
次传递后，模型在A 小组的概率为
，在B 小组的概率为
．
（i）证明：数列
是等比数列．
（ii）求
．
【例5-3】（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为
，标
准差为
．经分析，X 近似服从正态分布
，用奖金的平均值
作为
的近似值，用奖金的标准差s
作为
的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在
的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40 名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者
掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2 分，否则，得1 分．连续投掷累计得分达到9 或10 时，
游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n 分的概率为
，求
；
②得9 分的员工，获得二等奖，奖金1000 元，得10 分的员工，获得一等奖，奖金2000 元，估计该企业作为游
戏奖励的预算资金（精确到1 元）．
（参考数据：
，
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．
【例5-4】（2025·云南·模拟预测）有
个编号分别是
的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.
第1 个罐子中装有3 颗红色糖果和2 颗绿色糖果，其余罐子中都装有2 颗红色糖果和2 颗绿色糖果.现先从第1
个罐子中随机取出一颗糖果放入第2 个罐子，再从第2 个罐子中随机取出一颗糖果放入第3 个罐子，依此类推，
直至从第
个罐子中随机取出一颗糖果.设事件
表示从第
个罐子中取出红色糖果，记事件
发生
的概率为
.
(1)求
的值；
(2)求
的值，并证明：当
时，
；
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(3)求
（用含
的式子表达）.
考向六 统计概率与空间几何
【例6-1】（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）如图，已知正四棱锥
的体积为
，高为
.
(1)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从
点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1 个单位，求2 秒后该蚂蚁与
点
的距离
的分布列及期望.
【例6-2】（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥
的体积为
，高为
.
(1)现有一蚂蚁从
点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求
秒后该蚂蚁与点
的距离
的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中
的蚂蚁计划只可能从
点出发，另外
的蚂蚁计划既可能从
点出发，
又可能从
点出发. 若蚂蚁只可能从
点出发，则记分；若既既可能从
点出发，又可能从
点出发，则记
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分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取
只蚂蚁
，记这
只蚂蚁的合计得分恰为
分的概率为
，求
；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为
分的概率为
，随着抽取蚂蚁的无限增加，
是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
考向七 决策问题
【例7-1】（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为
，输
的概率为
，每局比赛的结果是独立的．
(1)当
时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3 分，失败者得
分；方案二：最
终获胜者得1 分，失败者得0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【例7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题
型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6 分．全
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部选对得6 分，有错选或全不选的得0 分．正确答案为两项时，选对1 个得3 分；正确答案为三项时，选对1
个得2 分，选对2 个得4 分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为
，正确答案是三个
选项的概率为
．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个
选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．
(1)若
，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；
(2)以本题得分的数学期望为决策依据，
的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
【例7-3】（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼
券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6 个大小
相同的小正方体，其中有3 个A 类小正方体，4 个面印着奇数，2 个面印着偶数；有2 个B 类小正方体，6 个面
都印着奇数；1 个C 类小正方体，6 个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投
掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，
不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚
小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200 元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩
余的5 个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300 元礼券，不管选择方
案一还是方案二若投掷后向上的面为偶数，则获得
､
100 元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A 类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，
并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
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考向八 证明题
【例8-1】（2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖
和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设
）是第一次
抽奖中奖的概率，此后若前
次抽奖均未中奖，则进行第
次抽奖时中奖的概率
满足
其
中
时一定中奖.设中奖时共抽奖
次.
(1)证明：当
时，
；
(2)证明：当
时，
；
(3)当
时，求
的分布列和期望.
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【例8-2】（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200 名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索
赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔
驾龄
合计
不满10 年
10 年以上
是
10
5
15
否
90
95
185
合计
100
100
200
(1)依据小概率值
的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾
龄有关？
(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为
，投保的老司机索赔的概率均为
．假设
投保司机中新司机的占比为
.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为
，事件
“这名司机是新司机”为
.已知
.
（i）证明：
；
（ii）证明：
，并给出该不等式的直观解释.
附：
，
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【例8-3】（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线
和路线
.公园附近的居民经
常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线
的居民第二天选择路线
和路线
的概率均为
；
前一天选择路线
的居民第二天选择路线
和路线
的概率分别为
和
.已知居民第一天选择路线
的概率为
，选择路线
的概率为
.
(1)若有4 位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线
散步的人数为
，求
的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第
天选择路线
的概率为
.
（i）请写出
与
的递推关系；
（ii）设
，求证：
.
【例8-4】（2025·山西临汾·一模）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由
法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838 年时发表.泊松分布适合于描述单位时间内随机事
件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽
车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA 序列的变异数、放射性原子核的衰变数、
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激光的光子数分布等等.泊松分布的概率函数为：
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求
的最大值；
(3)若
，求证：
.
【例8-5】（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10 名同学的数学成绩
和物理成
绩
如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
116
131
124
126
121
110
106
99
118
117
数学名次
7
1
3
2
4
8
9
10
5
6
物理成绩
80
78
79
81
74
65
63
70
73
84
物理名次
3
5
4
2
6
9
10
8
7
1
(1)从这10 名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120 分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成
绩在78 分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩
，物理成绩
，化学成绩
两两成正相关关系，经计算这10 名同学的数学成绩
和物理成绩
的样本相关系数约为0.8，已知这10 名同学物理成绩
与化学成绩
的样本相关系数约为
，
分析相关系数的向量意义，求
的样本相关系数的最大值.
(3)设
为正整数，变量
和变量
的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同，按照由大到小的顺序，记
在
中排名是
位
在
中的排名是
位
.定义变量
和变量
的斯皮尔曼相关系数（记为
）为变量
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的排名
和变量
的排名
的样本相关系数.记
，其中
，证明：
，并
用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数
）
考向九 最值
【例9-1】（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村
开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬
老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2 个圈圈且均需
用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人
带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为
，张大爷每次套中奖品的概率为
.
(1)若
，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3 的概率的最大值.
【例9-2】（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共
有40 个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
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，第五组
，第六组
，得到如下频率分布直方图：
(1)估计所有参赛节目评分的第85 百分位数（保留1 位小数）；
(2)若评分结束后只对所有评分在区间
的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其
中每个节目获评为一等奖的概率为
，获评为二等奖的概率为
，每个节目的评奖结果相互独立．
（ⅰ）设参评节目中恰有2 个一等奖的概率为
，求
的极大值点
；
（ⅱ）以（ⅰ）中
作为p 的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500 元，若要使得总
奖金期望不超过1400 元，请估计二等奖奖金的最大值．
【例9-3】（2025·山东聊城·模拟预测）2024 年2 月27 日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳
至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的
科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级
学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩
，单位：分），现从高二年级随机抽取100 名学生的竞赛
成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
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(1)从高二年级竞赛分数在
中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6 人，现从这6 人中随机抽取3 人，
记成绩优秀的学生人数为
，求
的分布列和数学期望
；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1 人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取
人，求
为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8 的概率最大.
【例9-4】（24-25 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会
舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味
着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙
两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是
局
胜制，
例如一场比赛有5 局， 率先胜3 局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是
局
胜制，例如一场比赛有7
局，率先胜4 局一方获胜， 本场比赛结束．
(1)若采用5 局3 胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7 局4 胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率
为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了
场比赛，试自行绘制
列联表，并根据小概率
值
的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
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(2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为
，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采
用5 局3 胜制比赛，记事件
： “甲俱乐部只要取得3 局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件
： “两俱
乐部赛满5 局，甲俱乐部至少取得3 局比赛胜利且甲获胜”，试证明：
;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行
局，赢得局数大于
局的俱乐部获胜．
若甲俱乐部每局比赛获胜的概率
，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.10
0.05
0.02
5
0.01
0
2.70
6
3.84
1
5.02
4
6.63
5
附：
，其中
．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·江西·一模）（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打
卡活动．公司统计了开展活动后近5 个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善
的人数．统计结果如下：
月份
1
2
3
4
5
身体指标明显改善人数
330
260
200
140
90
33
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若身体指标明显改善人数
与月份变量
（月份变量
依次为
）具有线性相关关系，请预测第6 个
月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z 三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，
该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X 组先发起竞赛，挑战Y 组、Z 组的概率均为
，若X 组挑战Y 组，则
下次竞赛发起权在Y 组．若竞赛发起权在Y 组，则挑战X 组、Z 组的概率分别为
和
；若竞赛发起权在Z 组，
则挑战X 组、Y 组的概率分别为
和
；
①经过3 次挑战赛后，求竞赛发起权在Y 组的次数M 的分布列与数学期望；
②定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
（
是一个确定的实数），则称数列
为“聚点数列”，
称为数列
的聚点．经过
次竞赛后，
竞赛发起权在X 组的概率为
，证明数列
为“聚点数列”，并求出聚点
的值．附：回归方程
中
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
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【例10-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知集合
，设S 的所有元素按一定顺序排列得
到数列
和
.若X 和Y 满足
，则称X 和Y 关于S 封闭.
(1)若
，
，写出两个不同的数列Y，使得X 和Y 关于S 封闭；
(2)已知数列
，
和Z 关于S 封闭.
（i）若随机变量
服从
，
，求
；
（ii）证明：存在不同于X 的数列Y，使得Y 和Z 关于S 封闭.
（参考公式：
）
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【例10-3】（2024·重庆）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧
仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692 年-1763 年）在其《割圜密率捷法》最
早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．
卡特兰数是符合以下公式的一个数列：
且
．如果能把公式化成上面这种形式
的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：
在一个无穷网格上，你最开始在
上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，
你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到
，0≤n 有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为
(1)证明
是卡特兰数；
(2)求
的通项公式．
36
