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数学
九年级上册
数学
九年级上册
第1 章
二次函数
第1 章
二次函数
有一个窗户形状如图，上部是半圆，下部是矩形援如果制作窗框的
材料总长为远皂，那么如何设计这个窗户，使透光面积最大？
运动员投篮后，篮球运动的路线是怎样一
条曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
上述问题可以通过二次函数的数学模型
来解决援本章我们将学习二次函数的概念，二
次函数的图象，并通过图象探索二次函数的性
质，以及二次函数的一些简单的实际应用援
数学
九年级上册
图1-1
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量赠与曾之间的关系援
（1）圆的面积赠（糟皂2）与圆的半径曾（糟皂）.
（2）王师傅存入银行2 万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存
为又一个一年定期援设年利率均为曾，
两年后王师傅共得本息赠元.
（3）一个温室连同外围通道的矩
形平面图如图1-1援这个矩形的周长为
120 皂，设一条边长为曾（皂），种植用地
面积为赠（皂2）援
上述三个问题中，函数表达式具
有哪些共同的特征？
一个长方形温室的占地面积为y（m2），周长为120 m，
一边长为x（m）. 你能得出y关于x的函数关系吗？
1·1 二次函数
1
通道
１
1
3
种植用地
曾
单位：皂
上述三个函数表达式均可化简为赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬，遭，糟是常数，葬≠0）
的形式援
我们把形如赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（其中葬，遭，糟是常数，葬≠0）的函数叫做二次
函数（择怎葬凿则葬贼蚤糟枣怎灶糟贼蚤燥灶），称葬为二次项系数，遭为一次项系数，糟为常数项援
例如，二次函数赠＝－曾2＋58曾－112 的二次项系数葬＝－1，一次项系数
遭＝58，常数项糟＝－112；二次函数赠＝仔曾2 的二次项系数葬＝仔，一次项系数
遭＝0，常数项糟＝0援
4
第1 章
二次函数
例2
已知二次函数赠＝曾2＋b曾＋c，当曾＝1 时，函数值是4；当曾＝2 时，
函数值是－5. 求这个二次函数的表达式援
员援下列函数中，哪些是二次函数？
（1）赠＝曾2.
（2）赠＝－1
曾2 .
（3）赠＝2曾2－曾－1.
（4）赠＝曾（1－曾）.
（5）赠＝（曾－1）2－（曾＋1）（曾－1）援
圆援分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）赠＝曾2＋1. （2）赠＝－3曾2＋7曾－12. （3）赠＝2曾（1－曾）援
月
图1-2
粤
云
耘
悦
阅
郧
匀
例1
如图1-2，一张正方形纸板的边长为2糟皂，将它剪去4 个全等的
直角三角形（图中阴影部分）援设粤耘＝月云＝悦郧＝阅匀＝曾（糟皂），四边形
耘云郧匀的面积为赠（糟皂2）.
（1）求赠关于曾的函数表达式和自变量曾的取值范围.
（2）当曾分别为0援25，0援5，1，1援5，1援75 时，求对应的四边形耘云郧匀的面
积，并列表表示援
解（员）由题意，0＜曾＜2，
赠＝22－4× 1
2 ×曾（2－曾）＝2曾2－4曾＋4援
即所求函数表达式为赠＝2曾2－4曾＋4，
曾的取值范围为0 ＜曾＜2援
（2）当曾＝0援25 糟皂时，
赠＝2×0援252－4×0援25＋4＝3援125（糟皂2）援
依次计算可得，
当曾＝0援5 糟皂时，赠＝2援5（糟皂2）；当曾＝1 糟皂时，赠＝2（糟皂2）；
当曾＝1援5 糟皂时，赠＝2援5（糟皂2）；当曾＝1援75 糟皂时，赠＝3援125（糟皂2）援
列表如下：
曾（糟皂）
0援25
0援5
1
1援5
1援75
赠（糟皂2）
3援125
2援5
2
2援5
3援125
表1-1
5
数学
九年级上册
解
把曾＝1，赠＝4；曾＝2，赠＝－5 分别代入函数式赠＝曾2＋b曾＋c，得方
程组1＋b＋c＝4，
4＋2b＋c＝－5，
嗓
解这个方程组，得b＝－12，
c＝15援
嗓
所以所求二次函数的表达式是赠＝曾2－12曾＋15援
曾（糟皂）
0援5
1
1援5
2
3
3援5
赠（糟皂2）
15仔
员援说出二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬，遭，糟为常数，葬≠0）的自变量曾的
取值范围援
2援已知二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋c，当曾＝2 时，函数值是3；当曾＝－2 时，
函数值是2；当曾＝4 时，函数值也是2. 求这个二次函数的表达式援
员援下列函数中，哪些是二次函数？
（1）赠＝曾2－2.
（2）赠＝2曾－3.
（3）赠＝曾2－
2
姨
曾＋1.
（4）赠＝（曾－5）2－曾2.
（5）赠＝（曾－1）（曾＋3）援
圆援写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项援
猿援从半径为4 糟皂的圆中挖去一个半径为曾（糟皂）的同心圆，剩下的圆
环的面积为赠（糟皂2）援求赠关于曾的函数表达式和自变量曾的取值范
围，并填写下表援
二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
赠＝曾2＋2曾－1
赠＝曾2
赠＝－3曾2＋2
赠＝１
3（曾－5）
2－4
6
第1 章
二次函数
铅球推出后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表
达式来描述这条曲线吗？
源援已知二次函数赠＝葬曾2＋4曾＋糟，当曾＝－2 时，函数值是－1；当曾＝1
时，函数值是5援求这个二次函数的表达式援
缘援某工厂1 月份的产值为200 万元，平均每月产值的增长率为曾援求该
工厂第一季度的产值赠关于曾的函数表达式援
6援已知一隧道的截面如图所示，它的上部是
一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一
条边长为2援5皂援求：
（1）隧道截面的面积杂（皂2）与截面上部
半圆的半径则（皂）之间的函数表达式.
（2）当则＝2 皂时，隧道截面的面积（精确
到0援1 皂2）援
7援已知二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟，当曾＝1 时，赠＝2；当曾＝－2 时，
赠＝－7；当曾＝－1 时，赠＝0援求这个二次函数的表达式援
2援5
（第6 题）
单位：皂
则
按下列步骤用描点法画二次函数赠＝曾2的图象援
1援完成自变量与函数的对应值表援
1·2 二次函数的图象
曾
…
－3援5
－3
－2
－1
0
1
2
3
3援5
…
赠
…
0
1
…
表1-2
7
数学
九年级上册
2援建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在
直角坐标系中描出相应的点援
3援用光滑曲线顺次连结各点援你得到类似图1-3 的图象了吗？
回顾上述过程，总结在取对应值、描点等方面有哪些有用的经验和体会援
观察所画的图象，可以看到，二次函数赠=曾2 的图象是一条关于赠轴
对称、过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线（责葬则葬遭燥造葬）援
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点援例如，抛物线赠＝曾2 的顶点
是坐标原点援
对于二次函数赠＝葬曾2（葬≠0），是否都有类似的图象呢？下面我们在同一
直角坐标系中画二次函数赠＝2曾2 与赠＝－2曾2 的图象援
1援列自变量曾与函数赠的对应值表援
2援描点，并用光滑曲线顺次连结各点，即可得到函数赠＝2曾2 与赠＝－2曾2 的
图象（图1-4）援
曾
…
－1援5
－1
－0援5
0
0援5
1
1援5
…
赠＝2曾2
…
4援5
2
0援5
0
0援5
2
4援5
…
赠＝－2曾2
…
－4援5
－2
－0援5
0
－0援5
－2
－4援5
…
表1-3
图1-3
2
１
3 4 5
－4
－5
－3－2－1
2
4
6
8
10
12
14
16
韵
曾
赠
8
第1 章
二次函数
一般地，二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象具有以下特征：
二次函数赠
ax （a
）的图象是一条抛物线，它关于赠轴对称，顶
点是坐标原点.当a
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a
时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
例1
已知二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象经过点（－2，－3）援
（1）求葬的值，并写出这个二次函数的表达式.
（2）说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的
位置援
解（1）把点（－2，－3）的坐标代入赠＝葬曾2，得－3＝葬（－2）2，
解得葬＝－3
4 援
所以这个二次函数的表达式是赠＝－3
4 曾2援
（2）顶点为（0，0），对称轴为赠轴援
因为葬＝－3
4 ＜0，所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上
的最高点，图象在曾轴的下方（除顶点外）援
-8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
韵
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8 赠
曾
赠＝-2曾2
赠＝2曾2
－1
－2
－3
－4
－5
图1-4
二次函数赠＝2曾2
的图象与赠＝－2曾2 的
图象关于什么对称？如
果已知赠＝葬曾2（葬≠0）
的图象，你认为可怎
样更方便地得到赠＝
－葬曾2 的图象？
9
数学
九年级上册
－1
－1
1
1
曾
韵
（第4 题）
员援在同一坐标系中画出下列二次函数的图象.
（1）赠＝1
2 曾2.
（2）赠＝－1
2 曾2援
圆援若抛物线赠＝葬曾2（葬≠0）过点（－1，3），则葬的值是
，对称
轴是
，开口
，顶点坐标是
，顶点是抛
物线上的
，抛物线在曾轴的
方（除顶点外）援
员援在同一坐标系中，用描点法画出下列函数的图象.
（1）赠＝5
4 曾2.
（2）赠＝－5
4 曾2援
圆援已知二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象过点（－2，6），有下列点：
1，3
2
蓸
蔀，－1，3
2
蓸
蔀，1，－3
2
蓸
蔀，（2，8），（
2
姨
，3）.
其中哪些点在图象上，哪些点不在图象上？请说明理由援
猿援已知二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象经过点（－3，6）援
（1）求葬的值，并写出这个二次函数的表达式.
（2）说出这个二次函数的顶点坐标、对称
轴、开口方向和图象的位置援
源援已知二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象的一部
分（如图），利用轴对称，将赠＝葬曾2（葬≠0）的
图象补画完整援
缘援已知函数赠＝葬曾2（葬≠0）与赠＝－2
曾的图象交点的横坐标大于零，则
葬是大于零还是小于零？
远援跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程泽（米）与所经过的时
间贼（秒）之间的关系为泽＝葬贼2援
贼（秒）
0
1
2
3
4
…
s（米）
0
20
…
赠
10
第1 章
二次函数
（1）根据表中的数据，写出泽关于贼的函数表达式.
（2）完成上面自变量贼与函数泽的对应值表.
（3）画出泽关于贼的函数图象.
（4）如果跳伞运动员从4 600 米的高空跳伞，为确保安全，必须在
离地面600 米之前打开降落伞援问：运动员在空中不打开降
落伞的时间至多有几秒（精确到1 秒）？
1援在同一直角坐标系中画出函
数赠＝1
2 曾2，赠＝1
2（曾＋2）2，赠＝1
2（曾－2）2
的图象（用描点法，或应用绘图软件）.
2援比较所画三个函数的图象
（图1-5），它们有什么共同的特征？
顶点坐标和对称轴有什么关系？图
象之间的位置有什么关系？由此，你
发现了什么？
当一个物体自由地沿着斜面作直线运
动时，路程泽与时间贼有怎样的关系？请设计
一个实验探讨这一问题，并写一份实验报
告，介绍实验的过程和所获得的结果援
图1-5
2
4
6
－6
－4
－2
2
4
6
8
1
3
5
7
－1
韵
赠＝1
2（曾＋2）2
赠
赠＝1
2 曾2
赠＝1
2（曾－2）2
曾
11
数学
九年级上册
例2
对于二次函数赠＝－1
3（曾－4）2，请回答下列问题：
（1）怎样平移函数赠＝－1
3 曾2的图象，就能得到函数赠＝－1
3（曾－4）2
的图象？
（2）说出函数赠＝－1
3（曾－4）2 的图象的顶点坐标和对称轴援
解
（1）函数赠＝－1
3 曾2 的图象向右平移4 个单位，就得到函数
赠＝－1
3（曾－4）2 的图象（图1-6）援
（2）函数赠＝－1
3（曾－4）2 的图象的顶点坐标是（4，0），对称轴是直线
曾＝4援
一般地，函数赠＝葬（曾－皂）2（葬≠0）的图象与函数赠＝葬曾2 的图象只是
位置不同，它可由赠＝葬曾2 的图象向右（当皂＞0）或向左（当皂＜0）平移渣皂渣
个单位得到援函数赠＝葬（曾－皂）2 的图象的顶点坐标是（皂，0），对称轴是直
线曾＝皂援
现在我们在同一直角坐标系中画出函数赠＝1
2 曾2，赠＝1
2（曾＋2）2，赠＝
1
2（曾＋2）2＋3 的图象，如图1-7援
图1-6
2
－2
－4
－4
4
曾
赠
赠＝－1
3（曾－4）2
赠＝－1
3 曾2
－2
2
6
韵
8
12
第1 章
二次函数
从图1-7 中可以看出，只要把函数赠＝1
2（曾＋2）2 的图象向上平移3 个
单位，就得到函数赠＝1
2（曾＋2）2＋3 的图象援因此，只要把函数赠＝1
2 曾2 的图
象先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位，就得到函数赠＝1
2（曾＋2）2＋3
的图象援
图1-7
4
韵
－2
2
4
6
8
10
赠＝1
2 曾2
赠＝1
2（曾＋2）2
赠＝1
2（曾＋2）2＋3
曾
赠
－4
2
－6
6
填写下表：
二
次
函
数
图
象
的
对
称
轴
图
象
的
顶
点
坐
标
赠＝１
2 曾2
直线曾＝0，即赠轴
（0，0）
赠＝１
2（曾＋2）2
赠＝１
2（曾＋2）2＋3
一般地，函数赠＝葬（曾－皂）2＋噪（葬≠0）的图象，可以由函数赠＝葬曾2 的图
象先向右（当皂＞0）或向左（当皂＜0）平移渣皂渣个单位，再向上（当噪＞0）或向
下（当噪＜0）平移渣噪渣个单位得到，顶点是（皂，噪），对称轴是直线曾＝皂援
平移函数图象会
改变其形状吗？
13
数学
九年级上册
员援填空：
（1）函数赠＝2（曾＋1）2 的图象，可以由抛物线
向
平
移1 个单位得到.
（2）函数赠＝－2
3（曾－7）2 的图象，可以由抛物线
向右
平移
个单位得到.
（3）抛物线赠＝3（曾－2）2＋1
2 可以由抛物线
先向右平移
2 个单位，再向
平移1
2 个单位得到援
圆援说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）赠＝5（曾＋2）2－3.
（2）赠＝－2 曾－1
2
蓸
蔀
2＋7.
（3）赠＝3曾2－6.
（4）赠＝2－（曾＋2）2援
员援在同一坐标系中画出函数赠＝曾2，赠＝（曾＋3）2，赠＝（曾－3）2 的图象，并
回答下列问题（填空）.
（1）函数赠＝（曾＋3）2 的图象，可以由函数赠＝曾2 的图象向
平移
个单位得到.
（2）函数赠＝曾2 的图象，可以由函数赠＝（曾－3）2 的图象向
平移
个单位得到援
（3）函数赠＝（曾－3）2 的图象，可以由函数赠＝（曾＋3）2 的图象向
平移
个单位得到.
圆援下列函数的图象可由怎样的抛物线赠＝葬曾2（葬≠0）经过怎样的平移
得到？
（1）赠＝4（曾＋1）2.
（2）赠＝－3（曾－
2
姨
）2＋1.
（3）赠＝2（曾＋5）2＋2
3
姨
援
猿援说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
（1）赠＝1－3曾2.
（2）赠＝2（曾－1）2－7.
（3）泽＝3（贼+6）2＋5.
（4）赠＝
1
2 －曾
蓸
蔀
2＋3援
14
第1 章
二次函数
二次函数赠
ax
bx
c（a
）的图象是一条抛物线，它的对称轴
是直线x
b
a ，顶点坐标是
b
a ，a糟原b
a
蓸
蔀援当a
时，抛物线的
开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a
时，抛物线的开口向下，顶
点是抛物线上的最高点援
一般地，函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬≠0）的图象有以下性质：
源援已知点（2，7）在函数赠＝葬曾2＋遭的图象上，且当曾＝－
3
姨
时，赠＝5援
（1）求葬，遭的值.
（2）如果点
1
2 ，皂
蓸
蔀，
（灶，17）也在这个函数的图象上，求皂与灶的值援
缘援已知一个二次函数图象的形状与抛物线赠＝4曾2 相同，它的顶点坐
标是（2，4），求该二次函数的表达式援
例3
求抛物线赠＝－1
2 曾2＋3曾－5
2 的对称轴和顶点坐标援
解
疫
葬＝－1
2 ，遭＝3，糟＝－5
2 ，
亦
－遭
2葬＝－
3
2× －1
2
蓸
蔀
＝3，4葬糟－遭2
4葬
＝
4× －1
2
蓸
蔀× －5
2
蓸
蔀－32
4× －1
2
蓸
蔀
＝2援
因此，抛物线赠＝－1
2 曾2＋3曾－5
2 的对称轴是直线曾＝3，顶点坐标是
（3，2）援
对于二次函数的一般形式赠=葬曾2＋遭曾＋糟（葬≠0），我们通过变形，可以将
其转化为赠＝葬曾＋遭
2葬
蓸
蔀
2＋4葬糟－遭2
4葬
（葬≠0）援由此可见，函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟
的图象与函数赠＝葬曾2 的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以
通过平移赠＝葬曾2 的图象得到援
（
）
15
数学
九年级上册
员援求下列函数图象的对称轴和顶点坐标.
（1）赠＝2（曾－1）（曾＋2）.
（2）赠＝2曾
1
2 －曾
蓸
蔀＋3援
圆援说出下列函数的图象可由怎样的抛物线赠＝葬曾2（葬≠0）经过怎样
例4
已知函数赠＝－1
2 曾2＋4曾－3，回答下列问题：
（1）函数赠＝－1
2 曾2＋4曾－3 的图象能否由函数赠＝－1
2 曾2 的图象通过
平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图.
（2）说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标援
解
原函数可以化为赠＝－1
2（曾－4）2＋5援
（1）函数赠＝－1
2 曾2＋4曾－3的图象可由函数赠＝－1
2 曾2 的图象先向右
平移4 个单位，再向上平移5 个单位得到援示意图如图1-8援
（2）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线曾＝4，顶点坐标是（4，5）援
说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
（1）赠＝－5
4 曾2－5
2 曾＋3
4 .
（2）赠＝2曾2－2
2
姨
曾－3援
赠＝－1
2（曾－4）2＋5
赠＝－1
2（曾－4）2
赠＝－1
2 曾2
2
4
6
8
－2
－4
韵
2
4
－2
－4
图1-8
赠
曾
6
16
第1 章
二次函数
员援求下列函数图象的对称轴和顶点坐标.
（1）赠＝－曾2－2曾＋3.
（2）赠＝－2
3 曾2＋1
2 曾＋3
4 .
（3）赠＝0援6曾2＋0援3曾－1援
圆援下列函数的图象可由怎样的抛物线赠=葬曾2（葬屹园）经过怎样的平移
后得到？
（1）赠＝3（曾－2）2.
（2）赠＝－（曾＋2）2＋6.
（3）赠＝－3曾2－12曾＋5.
（4）赠＝2曾2＋
5
姨
曾－3援
的平移后得到？
（1）赠＝4（曾＋1）2.
（2）赠＝－3（曾－
2
姨
）2＋1.
（3）赠＝－2曾2－10曾＋3.
（4）赠＝－2曾2＋2
3
姨
曾援
猿援写出如图所示抛物线的函数表达式援
（第3 题）
图1-9
如图1-9 为一座拱桥的示意图，当水面宽为12 皂时，桥洞顶部离水面4 皂援
已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数表达式，你认为首先要做的工
作是什么？以水平方向为曾轴，取以下三个不同的点为坐标原点建立直角坐标系.
（1）点粤. （2）点月. （3）抛物线的顶点悦援
所得的函数表达式相同吗？请试一试援哪一种取法求得的函数表达式最
简单？
粤
月
12皂
4 皂
悦
赠
曾
韵
（0，1）
（2，4）
17
数学
九年级上册
猿援已知二次函数赠＝曾2＋遭曾＋糟的图象经过点粤（－1，12），月（2，－3）援
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴.
（3）画出这个函数的图象援
源援已知抛物线赠＝－2曾2＋遭曾＋糟的顶点坐标为（1，2）. 求遭，糟的值，并
写出这个抛物线的函数表达式援
缘援一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线援
（1）求铅球所经过路线的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）铅球的落地点离运动员有多远（精确到0援01 皂）？
曾（皂）
（4，3）
赠（皂）
（0，1援5）
韵
（第5 题）
探索函数y=ax2+bx+c的系数
a，b，c与图象的关系
很多数学软件都具有绘图功能，可以方便地绘制动态函数y＝ax2＋bx＋c的
图象，并通过改变系数a，b，c的值来探索二次函数系数a，b，c与图象的关系.
（一）绘制动态二次函数的图象.
1. 用“绘图（G）”菜单中的“定义坐标系（D）”功能建立直角坐标系，在x轴的
正半轴上取可以任意移动的三点A，B，C，并用“度量（M）”中的“横坐标（x）”功
18
第1 章
二次函数
能分别测出A，B，C三点的横坐标xA，xB，xC（如
图1-10），将它们分别作为二次函数y＝ax2＋
bx＋c的系数a，b，c.
2.在“绘图（G）”菜单中选择“绘制新函数
（F）”，然后在弹出对话框“新建函数”中输入“xA元
x^2＋xB元x＋xC”
（图1-11），点击“确定”，屏幕上
便自动生成函数f（x）＝xA·x2＋xB·x＋xC，即y＝
ax2＋bx＋c（其中y＝f（x），a＝xA，b＝xB，c＝xC）
的图象，如图1-12援
（二）探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系.
1.系数a与抛物线开口方向及开口大小的关系.
拖动点A，使点A在x轴上左右移动，观察点A的横坐标xA值的变化及相应函
数f（x）＝xA·x2＋xB·x＋xC图象的变化，你有什么发现？总结你发现的规律.
2.系数c与抛物线和y轴交点的位置关系.
拖动点C，观察点C的横坐标xC 值的变化及相应函数f（x）＝xA·x2＋xB·x＋xC
图象与y轴交点的位置变化，你有什么发现？
3. 尝试自己提一个问题，如系数a，b与抛物线对称轴的位置关系，b2－4ac
的符号与抛物线和x轴的位置关系等，并加以研究.
图1-10
图1-11
图1-12
19
数学
九年级上册
观察图1-13，图1-14 中二次函数的图象，回答下列问题：
（1）当自变量增大时，函数的值将怎样变化？顶点是图象的最高点
还是最低点？
（2）判别这些函数有没有最大值或最小值髴，是由表达式中哪一个系数
决定的？
（可与你的同伴交流）
1·3 二次函数的性质
运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算
篮球达到最高点时的高度？
髴在自变量的取值范围内，函数值满足赠≤酝（或赠≥酝），且等号能成立，我们就说函数有最大值酝（或最小值酝）援
图1-14
月
粤
阅
悦
赠＝－1
2 曾2＋2曾－3
2
韵
曾
赠
2
4
－2
6
－2
－4
－6
－8
2
赠＝－4
9 曾2＋8
3 曾－6
图1-13
赠＝2曾2＋4曾－6
2
4
－4
－2
－6
－8
韵
月
粤
阅
悦
曾
赠
2
4
－2
－4
赠＝3
4 曾2－3曾
20
第1 章
二次函数
一般地，二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬≠0）有以下性质：
在实际应用时，我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象（包
括确定顶点、对称轴、与曾轴的交点），就能得到这个二次函数的有关性质援
表1-4
条件
图象
增减性
最大（小）值
葬＞0
当曾≤－遭
2葬
时，赠随曾的增
大而减小；
当曾≥－遭
2葬
时，赠随曾的增
大而增大.
当曾＝－遭
2葬时，
赠达到最小值：
赠＝4葬糟－遭2
4葬
；
无最大值援
葬＜0
当曾臆－遭
2葬
时，赠随曾的增
大而增大；
当曾≥－遭
2葬
时，赠随曾的增
大而减小.
当曾＝－遭
2葬时，
赠达到最大值：
赠＝4葬糟－遭2
4葬
；
无最小值援
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
y
x1
x2 x
x
x1＝x2
x1
O
x2 x
y
x1＝x2
x
y
x
y
x
例
已知函数赠＝－1
2 曾2－7曾＋15
2 援
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，
并画出函数的大致图象.
（2）自变量曾在什么范围内时，赠随曾的增大而增大？何时赠随曾的增
大而减小？并求出函数的最大值或最小值援
解（1）疫
葬＝－1
2 ，遭＝－7，糟＝15
2 ，
亦
－遭
2葬＝－7，4葬糟－遭2
4葬
＝32援
所以函数的顶点坐标是（－7，32），对称轴是直线曾＝－7援
O
O
O
O
O
y
y
21
数学
九年级上册
由曾＝0，得赠＝15
2 ，所以图象与赠轴的交点
是0，15
2
蓸
蔀援
由赠＝0，得－1
2 曾2－7曾＋15
2 ＝0，
解得曾员＝－15，曾2＝1援
所以图象与曾轴的交点是（－15，0），
（1，0）援
函数赠＝－1
2 曾2－7曾＋15
2 的大致图象如图
1-15援
（2）由图1-15 可知，当曾臆－7 时，赠随曾的增大而增大；当曾逸－7
时，赠随曾的增大而减小援当曾＝－7 时，函数赠有最大值32援
想一想，方程葬曾2＋b曾＋c＝0（葬≠0）与函数y＝葬曾2＋b 曾＋c（葬≠0）有什
么关系？
员援已知二次函数赠＝－2曾2＋4曾＋6援
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画
出函数的大致图象.
（2）自变量曾在什么范围内时，赠随曾的增大而增大？何时赠随曾的
增大而减小？并求函数的最大值或最小值援
员援已知函数赠＝曾2－3曾－4援
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画
出函数的大致图象.
（2）记当曾1＝1援5，曾2＝－
2
姨
，曾3＝
2
姨
时对应的函数值分别为赠1，
赠2，赠3，试比较赠1，赠2，赠3 的大小援
圆援求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值.
（1）赠＝2曾2－8曾＋1.
（2）赠＝－3曾2－5曾＋1援
（－7，32）
（－15，0）
（1，0）
韵
曾＝－7
10
－10
20
30
图1-15
曾
赠
10
－10
－20
0，15
2
蓸
蔀
22
第1 章
二次函数
在日常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用援
圆援求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值.
（1）赠＝曾2－4曾＋5.
（2）赠＝－3
2 曾2－1
4 曾＋2援
猿援已知（－1，赠1），
（－2，赠2），
（－4，赠3）是抛物线赠＝－2曾2－8曾＋皂上的
点，则（
）
（粤）赠1＜赠2＜赠3 援
（月）赠3＜赠2＜赠1 援
（悦）赠2＞赠1＞赠3 援
（阅）赠2＞赠3＞赠1 援
源援求下列二次函数的图象与曾轴交点的坐标.
（1）赠＝2
3 曾2－6曾.
（2）赠＝－2曾2－3曾＋2援
缘援根据下列条件，分别求二次函数的表达式.
（1）已知图象的顶点坐标为（－1，－8），且过点（0，－6）.
（2）已知图象经过点（3，0），
（2，－3），并以直线曾＝0 为对称轴援
远援篮球运动员投篮后，球运动的路线为
抛物线的一部分（如图），抛物线的对
称轴为直线曾＝2援5援求：
（1）球运动路线的函数表达式和自变
量的取值范围.
（2）球在运动中离地面的最大高度援
2援25皂
4皂
3援05皂
（第6 题）
赠
曾
韵
用长为8 米的铝合金制成如图窗框，窗框的宽和高各为多
少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
1·4 二次函数的应用
23
数学
九年级上册
例1
图1-16 中窗户边框的上部分是由4 个全等扇形组成的半圆，下
部分是矩形（图1-17）. 如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6 皂，那
么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大（结果精确到0援01 皂）？
解
如图1-17，设半圆的半径为曾（皂），窗框矩形部分的另一边长
为赠（皂），根据题意，有5曾＋仔曾＋2曾＋2赠＝6，即赠＝3－1
2（仔＋7）曾援
疫
赠＞0，
亦
3－1
2（仔＋7）曾＞0，
解得0＜曾＜
6
仔＋7 援
亦
杂＝仔
2 曾2＋2曾赠
＝仔
2 曾2＋2曾3－1
2（仔＋7）曾
蓘
蓡
＝－π
2 －7
蓸
蔀曾2＋6曾
0＜曾＜
6
仔＋7
蓸
蔀援
疫
葬＝－π
2 －7
蓸
蔀＜0，遭＝6，糟＝0，
又疫
曾＝－遭
2葬＝
6
仔＋14 ，且
6
仔＋14 在0＜曾＜
6
仔＋7 的范围内，
亦
当曾＝
6
仔＋14 ≈0援35 时，杂最大值＝4葬糟－遭2
4葬
≈1援05援此时，赠≈1援23援
答：当窗户半圆的半径约为0援35 皂，窗框矩形部分的另一边长约为
1援23 皂时，窗户的透光面积最大，最大值约为1援05 皂2援
图1-17
单位：皂
赠
图1-16
24
第1 章
二次函数
－2
曾
1
2
－1
1
1援5
－1
－2
（第2 题）
3
1+2
2
摇姨
韵
赠
2
员援求下列二次函数的最大值或最小值：
（1）赠＝曾2－4曾＋7.
（2）赠＝－5曾2＋8曾－1援
圆援已知二次函数的图象（0臆曾臆1+2
2
摇姨
）
如图援关于该函数在所给自变量的取
值范围内，下列说法正确的是（
）
（粤）有最大值2，无最小值援
（月）有最大值2，有最小值1援5援
（悦）有最大值2，有最小值－2援
（阅）有最大值1援5，有最小值－2援
猿援把一根长1 皂的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样
折？最大面积是多少？
源援如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，
周长为16皂援求截面积杂（皂2）关于底部宽曾（皂）
的函数表达式援当底部宽为多少时，隧道的截面
积最大（结果精确到0援01 皂）？
缘援有一张边长为10 糟皂的正三角形纸板，若要从
中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最
大面积为多少？
（第4 题）
曾
员援请解答本节节前语中的问题援
圆援已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，
以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长援
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表
达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或
最小值援值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须
在自变量的取值范围内援
25
数学
九年级上册
例2
如图1-18，月船位于粤船正东26 噪皂处援现在粤，月两船同时出
发，粤船以12噪皂/澡的速度朝正北方向行驶，月船以5噪皂/澡的速度朝正西方
向行驶援何时两船相距最近？最近距离是多少？
分析
设经过贼（澡）后，粤，月两船分别到达粤忆，月忆处（图1-18），则两船
之间的距离为
粤忆月忆＝
粤月忆2＋粤粤忆2
姨
＝（26－5贼）2＋（12贼）
姨
2
＝
169贼2－260贼＋676
姨
援
由此，本题可化归为求169贼2－260贼
＋676 的最小值援
解
设经过贼（澡）后，粤，月两船分别到达粤忆，月忆处，则
粤忆月忆＝
粤月忆2＋粤粤忆2
姨
＝（26－5贼）2＋（12贼）2
姨
＝
169贼2－260贼＋676
姨
＝（13贼－10）2＋576
姨
（贼＞0）援
当13贼－10＝0，即贼＝10
13时，
（13贼－10）2＋576 有最小值576，
所以当贼＝10
13 澡时，粤忆月忆＝
576
姨
＝24（噪皂）援
答：经过10
13 澡，两船之间的距离最近，最近距离为24 噪皂援
例3
某超市销售一种饮料，每瓶进价为9 元援经市场调查表明，当售
价在10 元到14 元之间（含10 元，14 元）浮动时，每瓶售价每增加0.5 元，
日均销售量减少40 瓶；当售价为每瓶12 元时，日均销售量为400 瓶. 问：
销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价－
每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？
分析
如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的函数关系，那
么就可以根据函数的性质来确定售价定为多少时日均毛利润达到最大，这
图1-18
粤
粤忆
月忆
月
北
下面我们再看几个运用有关二次函数知识解决实际问题的例子.
26
第1 章
二次函数
个最大值是多少. 如果设这种饮料的售价为每瓶曾元，日均毛利润为y 元，
根据题意，知日均销售量为
400－40［（曾－12）÷0.5］＝1360－80曾，
亦
y＝（曾－9）（1360－80曾）.
这样，问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值，最大值是多少
的问题.
解
设售价为每瓶曾元时，日均毛利润为赠元. 由题意，得
赠＝（曾－9）
（1360－80曾）
＝－80曾2＋2 080曾－12240（10≤曾≤14）援
－b
2a ＝－
2 080
2×（－80）＝13，在10≤曾≤14 的范围内援
所以当曾＝13 时，
赠最大值＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280（元）.
答：售价定为每瓶13 元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为
1 280 元援
某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位
面积种植的株数构成一种函数关系援每平方米种植4 株时，平均单
株产量为2 噪早；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1 株，
单株产量减少1
4 噪早援问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？
最大产量为多少？
员援一个斜抛物体的水平运动距离记为曾（皂），对应的高度记为澡（皂），
澡是关于曾的二次函数援已知当曾＝0 时，澡＝2；当曾＝30 时，澡＝0；当
曾＝10 时，澡＝22援
（1）求澡关于曾的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离（精确
到1 皂）援
27
数学
九年级上册
圆援汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距
离”援刹车距离赠（m）与刹车时的车速曾（噪皂/澡）有以下关系式：
赠=葬曾2＋遭曾（葬，遭为常数，且葬≠0）援对某辆车测试结果如下：当车速
为100 噪皂/澡时，刹车距离赠为21皂；当车速为150 噪皂/澡时，刹车
距离赠为46援5 皂援该车在限速120 噪皂/澡的高速公路上行驶时出了
事故，事后测得它的刹车距离为40援6 皂援问：该车在发生事故时是
否超速行驶？
猿援已知曾＝2t－5，y＝10－t，S＝xy援求S 的最大值或最小值，以及相应
t 的值.
源援上午8：00，某台风中心在粤城正南方向的200 噪皂处，以25 噪皂/澡的
速度向粤城移动.此时有一辆卡车从粤城以100 噪皂/澡的速度向正
西方向行驶.问：何时这辆卡车与台风中心的距离最近？当距离最
近时台风中心与这辆卡车分别位于何处？
缘援一次足球训练中，一球员从球门正前方10 皂处将球射向球门，球射
向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 皂时，球达到最
高点，此时球离地面3皂援已知球门高是2援44皂，问：球能否射入球门？
例4
一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 皂/泽，经过贼（泽）时球
的高度为澡（皂）援已知物体竖直上抛运动中，澡＝增0贼－1
2 早贼2（增0 表示物体运
动上弹开始时的速度，早表示重力系数，取早＝10 皂/泽2）援问：球从弹起至回
到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3援75 皂？
分析根据已知条件，我们容易写出澡（皂）关于贼（泽）的二次函数表达式
澡＝10贼－5贼2，并画出函数的大致图象（图1-19）援从图象我们可以看到，图象
与横轴的两个交点分别为（0，0），
（2，0），它们的横坐标分别为0 与2，就是球
从地面弹起和回到地面的时刻，此时澡＝0，所以这两个时刻也就是一元二
次方程10贼－5贼2＝0 的两个根援这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到
地面所需的时间援
同样，我们只要取澡＝3援75皂（图1-19），得一元二次方程10贼－5贼2＝3援75，
28
第1 章
二次函数
求出它的根，就得到球达到3援75 皂高度时所经过的时间援
解
由题意，得澡（皂）关于贼（泽）的二次函数表达式为澡＝10贼－5贼2援
取澡＝0，得一元二次方程10贼－5贼2＝0，
解这个方程，得贼1＝0，贼2＝2援
所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为
贼2－贼1＝2（泽）援
取澡＝3援75，得一元二次方程10贼－5贼2＝3援75，
解这个方程，得贼1＝0援5，贼2＝1援5援
答：球从弹起至回到地面需2 泽，经过0援5 泽或
1援5 泽球的高度达到3援75 皂援
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴
（或平行于横轴的直线）的交点坐标援反过来，也可以利用二次函数的图象求
一元二次方程的解援
例5
利用二次函数的图象求方程曾2＋曾－1＝0 的解（或近似解）援
解
设赠＝曾2＋曾－1，则方程曾2＋曾－1＝0 的解就是该函数图象与曾轴
交点的横坐标援在直角坐标系中画出函数赠＝曾2＋曾－1 的图象（图1-20），
得到与曾轴的交点为粤，月，则点粤，月的横坐标曾1，曾2 就是方程的解援观
察图1-20，得到点粤的横坐标曾1≈0援6，点月的横坐标曾2≈－1援6援所以方程
曾2＋曾－1＝0 的近似解为曾1≈0援6，曾2≈－1援6援
将曾1 ＝0.6 和
曾2＝－1.6 代入曾2＋
曾－1，其值分别是多
少？
图1-20
韵
粤
月
1
－1
－2
2
曾
赠
－1
－2
1
2
－3
澡（皂）
5
3援75
韵
图1-19
2
贼（泽）
1
3
2
1
29
数学
九年级上册
员援一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图援当球离抛出地的水平距
离为30 皂时，达到最大高度10 皂援
（1）求球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）球被抛出多远？
（3）当球的高度为5 皂时，球离抛出地的水平距离是多少（结果精确
到0.1 皂）？
圆援用求根公式求出方程曾2＋曾－1＝0 的近似解，并由此检验例5 所给
图象解法的精确度援
猿援利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解援若有解，求出它的
解（精确到0援1）援
（1）2曾2－曾＋1＝0.
（2）2曾2－4曾－1＝0援
（第1 题）
赠（皂）
韵
10
30
曾（皂）
员援利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解援若有解，求出它
的解（精确到0援1）援
（1）1
2 曾2－曾＋1＝0.
（2）曾2－3曾＋1＝0援
圆援用两种不同的图解法求方程曾2－2曾－5＝0 的解（精确到0援1）援
猿援某拱形门建筑的形状是抛物线援若取拱形门地面上两点的连线
为曾轴，它可以近似地用函数赠＝－2
97（曾－97）2＋194 表示（单位：
皂）援问：拱形门底部大约有多宽？有多高？
30
第1 章
二次函数
源援某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞
50 皂），中间用一道墙隔开（如图）援已知计划中的建筑材料可建围墙
的总长为50皂，设两间饲养室合计长曾（皂），总占地面积为赠（皂2）援
（1）求赠关于曾的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）画出函数的图象.
（3）利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200 皂2，则
各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210 皂2 吗？
缘援已知一个二次函数的图象与曾轴的交点为（－2，0），
（4，0），且顶
点在函数y＝2x 的图象上援求这个二次函数的表达式.
曾
（第4 题）
由例5可知，求方程x2＋x－1＝0的解，就是求二次函数y＝x2＋x－1的图象与x轴
交点的横坐标，如图1-20. 若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1·y2＜0，
则抛物线y＝x2＋x－1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方
程x2＋x－1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2＋x－1＝0的解.
（1）完成表1-5，判断方程x2＋x－1＝0的解在哪两个相邻的x值之间.
（2）完成表1-6，估计方程x2＋x－1＝0的解，并说出所得解的精确度.
（3）若要取得更精确的解，你将如何操作？
曾的值
－2
－1
0
1
x2＋x－1的值
表1-5
曾的值
－2
－1援5
－1
x2＋x－1的值
－0援5
0
0援5
1
表1-6
31
数学
九年级上册
填空．
1援形如赠＝
（其中葬，遭，糟
是常数，葬≠0）的函数叫做二次函数，自变
量的取值范围是
援
2援二次函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象是
，它关于
对称，顶点
是
援当葬＞0 时，抛物线的
向
上，顶点是抛物线上的
；当葬＜0
时，抛物线的开口
，顶点是抛物线
上的
援
函数赠＝葬（曾－皂）2（葬≠0）的图象可由
函数赠＝葬曾2（葬≠0）的图象向
（当皂
＞0）或向
（当皂＜0）平移
个
单位得到援
函数赠＝葬（曾－皂）2＋噪（葬≠0）的图象
可由函数赠＝葬曾2 的图象先向右（当皂＞
0）或向左（当皂＜0）平移
个单位，
再向上（当噪＞0）或向下（当噪＜0）平移
个单位得到，顶点是
，对
称轴是直线
援
3援二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬≠0）的
图象是一条
，它的对称轴是直
线
，顶点坐标是
援当
葬＞0 时，抛物线的开口
，顶点是抛
物线上的
；当葬＜0 时，抛物线的开
口
，顶点是抛物线上的
援
对于二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋糟（葬≠0），
若葬＞0，则当曾≥
时，赠随曾的增大
而增大，当曾≤
时，赠随曾的增大
而
，当曾=
时，赠最小值＝
；若葬＜0，则当曾≤
时，
赠随曾的增大而
，当曾逸
时，赠随曾的增大而减小，当曾＝－遭
2葬时，
赠最大值＝
援
填表.
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
用描点法画二次
函数的图象
运用二次函数解
决简单的实际问
题
利用图象求一元
二次方程的解
求二次函数的最
大值或最小值
32
第1 章
二次函数
荫通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，并体会二次
函数的意义援
员援判断下列函数是不是二次函数援如果是二次函数，请说出它的二次
项系数、一次项系数和常数项援
（1）赠＝2曾2－3.
（2）赠＝3曾－1.
（3）赠＝（2曾－1）（1－曾）.
（4）赠＝1
曾2 ＋1援
圆援已知二次函数赠＝葬曾2＋遭曾＋c，当曾＝1 时，赠＝3；当曾＝－2 时，赠＝7；
当x＝3 时，y＝－3.求葬，遭，c 的值，并写出该二次函数的表达式援
猿援一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程赠（皂）与时间曾（泽）的平
方成正比例援当乒乓球滚下4 皂时，经过的时间为1援5 泽援求：
（1）赠关于曾的函数表达式.
（2）当曾＝0援8 泽时，乒乓球所经过的路程（精确到0援01 皂）援
源援如图，矩形粤月悦阅的四个顶点在正三角形耘云郧的边上援已知吟耘云郧
的边长为2，记矩形粤月悦阅的面积为杂，边长粤月为曾援求：
（1）杂关于曾的函数表达式和自变量曾的取值范围.
（2）当曾＝1援5 时，杂的值.
（3）当杂＝
3
姨
2
时，曾的值援
荫会用描点法画出二次函数的图象援
荫了解赠＝葬曾2，赠＝葬（曾－皂）2，赠＝葬（曾－皂）2＋噪三种二次函数的图象
之间的关系援
荫了解二次函数图象的特点，会确定图象的开口方向，会利用公式求
顶点坐标和对称轴援
缘援用描点法画下列二次函数的图象：
（1）赠＝4
5 曾2.
（2）赠＝4
5（曾－1）2援
（第4 题）
云
耘
粤
郧
月
阅
悦
1援1 节
1.2 节
（第3 题）
33
数学
九年级上册
1援3 节1援4 节
（第6 题）
韵
曾
1
1
2
2
赠
3
远援已知赠＝葬曾2（葬≠0）的图象的一部分如
图所示，利用图形的轴对称，将赠＝葬曾2
（葬≠0）的图象补画完整，并画出赠＝－葬曾2
的图象援
苑援说出二次函数赠＝－3曾2＋6曾的图象可
由怎样的二次函数的图象经过如何平移
得到援
愿援将赠＝4曾2 的图象先向左平移3
2 个单位，再向下平移3
4 个单位，求
最终所得图象的函数表达式，并说出它的二次项系数、一次项系数
和常数项援
怨援求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴援
（1）赠＝7曾2－14曾＋1.
（2）赠＝－1
2 曾2＋2
3 曾－5
6 援
员园援已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（－4，18）.
求这个二次函数的表达式，以及图象与曾轴交点的坐标援
荫能从图象上认识二次函数的性质援
荫会利用二次函数的图象求一元二次方程的解援
员员援求下列二次函数的最大值或最小值，以及对应自变量的值援
（1）赠＝－1
2 曾2－2曾＋3.
（2）赠＝2
3 曾2－
2
姨
3
曾＋1援
员圆援已知二次函数赠＝－2曾2＋6曾－1援当曾在什么范围内时，赠随曾的增
大而增大？当曾在什么范围内时，赠随曾的增大而减小？
员猿援在1968 年墨西哥城举办的奥运会跳远比赛中，比蒙（月藻葬皂燥灶）表
演了令人惊叹的一跳，以8援90 皂的成绩刷新了世界纪录援若记起
跳后时间为贼（泽），比蒙所处的高度为澡（皂），则可以用函数澡＝4援6 贼－
4援9贼2 来描述他起跳后高度的变化援
（1）画出函数的图象.
（2）他起跳后的最大高度是多少（精确到0援01 皂）？
（3）分别记当贼＝0援4，0援5，0援8 时，他所处的高度为澡1，澡2，澡3，试比
较澡1，澡2，澡3 的大小援
员源援利用图象求下列一元二次方程的解.
（1）2曾2－7＝0.
（2）2曾2－4曾＋1＝0援
34
第1 章
二次函数
荫会运用二次函数解决简单实际问题援
员缘援如图，正方形粤月悦阅的边长为葬，点孕，匝，
砸，杂分别在粤月，月悦，悦阅，阅粤上，且月匝＝
2粤孕，悦砸＝3粤孕，阅杂＝4粤孕援问：粤孕长为多少
时，四边形孕匝砸杂的面积有最小值？最小值
是多少？
员远援某宾馆有120 间标准房，当标准房价格为
100 元时，每天都客满援市场调查表明单间
房价在100～150 元之间（含100 元，150 元）浮动时，每提高10 元，日
均入住数减少6 间. 如果不考虑其他因素，宾馆将标准房价格提高
到多少元时，客房的日营业收入最大？
员苑援某游乐园要建造一个直径为20 皂的圆形喷水池，计划在喷水池的
周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心源皂处达到最高，高
度为6皂援如图，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐
标系.若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱
在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？
员愿援上午7：00，一动车组列车在粤城的正北400 噪皂处，以240 噪皂/澡
的速度驶向粤城援同时，一辆汽车在粤城的正东80噪皂处，以80噪皂/澡
的速度向正西方向行驶援假设动车组列车和汽车的行驶方向和速
度都保持不变，问：何时动车组列车与汽车之间的距离最近？最近
距离是多少千米（精确到0援1 噪皂）？当动车组列车与汽车的距离最
近时，汽车是否已过铁路与公路的立交处？
粤
孕
月
阅
悦
杂
匝
砸
（第15 题）
（第17 题）
6
－4
4
10
－10
曾
赠
韵
1援4 节
35
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
一个农场里出生了一头白色奶牛援据统计，平均出生员千万头牛
才会有员头是白色的援你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？
你玩过飞行棋吗？按飞行棋的规则，抛掷一枚骰子，朝上面的点
数是“6”时，你的飞机才能起飞. 你抛掷一次骰子，得到点数6 的概
率是多少？
上述问题都需要我们学习概率的知识来解决援本章我们将学习概
率的意义、简单事件概率的计算、用频率估计概率和概率的实际应用援
数学
九年级上册
数学
九年级上册
我们知道，在现实生活中，有些事件是一定会发生的，如5月1日的前一
天是4月30日；有些事件是一定不会发生的，如太阳从西边升起；而有些事件
可能发生，也可能不发生，如明年元旦是晴天援
转盘自由转动一次，指针落在黄色区域和落在绿色区域的可能性
哪一个较大？橘黄色区域和灰色区域呢？
2·1 事件的可能性
在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件
（糟藻则贼葬蚤灶藻增藻灶贼）；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件
（蚤皂责燥泽泽蚤遭造藻藻增藻灶贼）；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定
事件（怎灶糟藻则贼葬蚤灶藻增藻灶贼）或随机事件（random 藻增藻灶贼）援
判断下列事件哪些必然会发生，哪些必然不会发生，哪些可能发生，
也可能不发生？
（1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下.
（2）有一匹马奔跑的速度是70 米/ 秒.
（3）杭州明年五一节当天的最高气温是35益.
（4）射击运动员射击一次，命中10 环援
38
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
例1
在一个箱子里放有1 个白球和2 个红球，它们除颜色外其余都
相同援
（1）从箱子里摸出1 个球，是黑球援这属于哪一类事件？摸出1 个球，
是白球或者是红球援这属于哪一类事件？
（2）从箱子里摸出1 个球，有几种不同的可能（摸到
不同的球就表示不同的可能）？它们属于哪一类事件？
（3）从箱子里摸出1 个球，放回，摇均匀后再摸出
1 个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能？
解（1）因为箱子里没有黑球，所以摸出1 个球，是
黑球这一事件是不可能事件援因为箱子里只有白球和红球，所以摸出
1 个球，是白球或者是红球这一事件是必然事件援
（2）因为箱子里放有3 个球，所以从箱子里摸出1 个球有3 种不同的
可能. 摸出1 个白球，或摸出1 个红球，都属于不确定事件援
（3）箱子里的1 个白球和2 个红球分别记为白，红玉，红域. 先摸出
1个球，放回，摇均匀后再摸出1 个球，其结果可列表（如表2-1）或画成树状
图（如图2-1）表示援
图2-1
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
白，白
白，红玉
白，红域
红玉
红玉，白
红玉，红玉红玉，红域
红域
红域，白
红域，红玉红域，红域
第一次
第二次
表2-1
思考下面的例子，回答有关问题援你能举出类似的例子吗？
（1）小红看到蚂蚁在搬家，判断说：
“天就要下雨了”援在小红看来，
“天
就要下雨”是什么事件？
（2）小聪的弟弟还没有学过三角形的有关知识，他想用长度为10 糟皂，
20 糟皂，40糟皂的小木条作为三条边做一个三角形援小聪认为这是不
可能的援在小聪看来，用长度为10 糟皂，20 糟皂，40糟皂的小木条作为
三条边做一个三角形是什么事件？
39
数学
九年级上册
数学
九年级上册
员援下列哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是不
确定事件？
（1）在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球.
（2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地.
（3）在标准大气压下，气温为2益时，冰能熔化为水.
（4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交援
圆援任意抛掷一枚均匀的骰子援骰子停止转动后，朝上的点数有哪些
可能？
猿援任意抛掷一枚硬币2 次，朝上的一面共有多少种可能？
（第2 题）
员援下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是不确定
事件？
（1）葬是实数，|葬|逸0.
（2）某运动员跳高的最好成绩是10.1 皂.
（3）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品援
圆援如图，下列说法对吗？为什么？
（1）转动转盘，转盘停止时，指针一定落在红
色区域.
（2）转动转盘，转盘停止时，指针可能落在黄
色区域.
（3）转动转盘，转盘停止时，指针不可能落在
紫色区域.
（4）转动转盘，转盘停止时，指针可能落在绿
色区域或黄色区域援
（第2 题）
由表2-1 或图2-1 可知，从箱子里摸出1 个球，放回，摇均匀后再摸
出1 个球，共有9 种可能：白，白；白，红玉；白，红域；红玉，白；红玉，红玉；
红玉，红域；红域，白；红域，红玉；红域，红域.
列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用
方法援它可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明援
40
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
猿援任意转动一次第2 题中的转盘，转盘停止时，指针所在区域的结果
有多少种不同的可能？它们都是什么事件？
源援从2 种不同款式的衬衣和2 种不同款式的裙子中分别取一件衬衣
和一条裙子搭配，有多少种搭配的可能？
缘援笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的
主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子
所有的门都打开援松鼠要先经过第一道
门（粤，月，或悦），再经过第二道门（阅或
耘）才能出去援问：松鼠走出笼子的路线
（经过的两道门）有多少种不同的可能？
粤
月
悦
阅
耘
（第5 题）
思考下面的问题：
（1）如果你和象棋职业棋手下一盘象棋，谁赢的可能性大？
（2）有一批成品西装，经质量检验，正品率达到98％援从这批西装中
任意抽出1件，是正品的可能性大，还是次品的可能性大？
（3）一个游戏转盘如图2-2，红、黄、蓝、绿四个扇形的圆心角度数分
别是90毅，60毅，90毅，120毅援让转盘自由转动，当转盘停止转动后，指针落在哪
个区域的可能性最大？落在哪个区域的可能性最小？
有可能性相等的情况吗？为什么？
（4）任意抛一枚均匀的硬币，出现正面朝上、反面
朝上的可能性相等吗？
上述这些问题的结论，你是根据什么得出的？
事件发生的可能性大小往往是由发生事件的条件来决定的，因此我们
可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较事件发生的
可能性大小援
图2-2
41
数学
九年级上册
数学
九年级上册
例2
某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，
绿灯60秒，黄灯4秒援当人或车随意经过该路口时，遇
到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最
小？为什么？
解
因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间
最短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的
可能性最小援
员援从放有9 个红球和1 个黑球的口袋中任意摸出1 个球（这些球
除颜色外都相同），哪一种颜色的球被摸到的可能性较大？请说明
理由援
圆援有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同援现将它们背面朝上（如
图），从中任意摸出一张援
（1）摸到几号卡片的可能性最大？摸到几号卡片的可能性最小？
（2）摸到的号码是奇数，和摸到的号码是偶数，哪个的可能性大？
（第2 题）
例3
某旅游区的游览路线图如图2-3所示援小明通过入口后，每逢路口
都任选一条道路援他进入粤景区或月景区的可能性哪个较大？请说明
理由援
图2-3
粤
月
42
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
表2-2
左
月
月
中
粤
月
右
粤
月
员援从你班中任选一名同学去参加一项问卷调查，抽到男同学的可能
性大，还是抽到女同学的可能性大？
圆援一个布袋里装有7 个红球、2 个黑球、1 个白球，它们除颜色外都相
同援从中任意摸出1 个球，并用字母粤，月，悦，阅，耘表示以下各事件：
粤：摸出1 个球，是红球，或白球，或黑球；
月：摸出1 个球，是红球；
悦：摸出1 个球，是黑球；
阅：摸出1 个球，是白球；
耘：摸出1 个球，是绿球援
（1）比较粤，月，悦，阅，耘五个事件发生的可能性大小，并按可能性
从小到大的顺序把它们排列起来.
（2）用“必然”
“很可能”
“不大可能”
“不可能”等语句描述上述事件
发生的可能性大小.
员援根据你的经历或所闻，用恰当的语句描述下列事件发生的可能性
大小.
（1）你出门时忘了带钥匙.
（2）雨后天晴，忘了把伞带回家.
（3）考试时遇到与复习题一模一样的考题.
（4）明天本地空气质量等级是良，主要污染物是可吸入粒状污
染物援
分析
先弄清小明进入旅游区后一共有多少种可能路线，进入粤景区
或月景区各占了多少种，就可知道哪一个可能性较大援
解
小明可能走的路线可列表如表
2-2援由图2-3和表2-2知，小明进入旅游
区后一共有6种不同的可能路线援因为小
明是任选一条道路，所以走各种路线的
可能性可认为是相等的援而其中进入
A 景区有2种可能，进入月景区有4种可
能，所以进入月景区的可能性较大援
43
数学
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数学
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（第3 题）
72毅
108毅
144毅
36毅
2援一个袋中装有6 个红球、2 个黄球、2 个白球、1 个黑球，它们除颜色
外都相同援任意摸出1 个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到
哪种颜色球的可能性最小？摸到哪两种颜色球的可能性相等？
3援一个游戏转盘如图，黄色扇形、红色扇形、绿色扇形、蓝色扇形的圆
心角度数分别为36毅，72毅，108毅，144毅援当转盘自由转动停止后，指针
落在黄色区域、红色区域、绿色区域、蓝色区域的事件发生的可能
性依次记为责，择，则，泽援比较上述各事件发生的可能性大小，并把责，
择，则，泽按可能性从小到大排列，用“<”连接援
4援有的同学认为：抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面只可能
有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面，因此这
三个事件发生的可能性是相等的援你同意这种说法吗？若不同意，
你认为哪一个事件发生的可能性最大？为什么？
缘援请举出两个不确定事件的实际例子，要求其中一个发生的可能性很
小，而另一个发生的可能性较大援
远援小李从标有1 到20 序号的20 张卡片中任意抽取1 张，抽到序号是
2 的倍数与序号是5 的倍数的可能性哪个大？
在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率
（责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠），一般用孕表示援事件粤发生的概率记为孕（粤）援
例如，随意抛掷一枚均匀的硬币，记正面朝上的事件为A，反面朝上的
事件为B. 这两个事件发生的条件相同，因此这两个事件发生的可能性的
任意抛掷一枚均匀的骰子，结果朝上一面的点数为3 的概率是多少？朝
上一面的点数为6 呢？朝上一面的点数为3 的倍数呢？
2·2 简单事件的概率
44
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
例1
一项答题竞猜活动，在6 个式样、大小都相同的箱子中有且只
有一个箱子里藏有礼物. 参与选手将回答5 道题目，每答对一道题，主持
人就从剩下的箱子中去掉一个空箱子；而一旦答错，即取消后面的答题资
格，选手从剩下的箱子中选取一个箱子. 求下列事件发生的概率.
（1）事件A：选手答对了全部5 道题，他选中藏有礼物的箱子.
（2）事件B：选手连续答对了4 道题，他选中藏有礼物的箱子.
（3）事件C：选手连续答对了3 道题，他选中藏有礼物的箱子.
解（1）这个选手答对全部5 道题，则只剩下一个藏有礼物的箱子，
因此他选中藏有礼物的箱子的可能性是百分之百，也就是1. 所以事件A
发生的概率为P（A）＝1.
（2）这个选手连续答对4 道题，则还剩下2 个箱子，其中只有一个箱
子中藏有礼物. 由于选手不知道礼物在哪一个箱子里，每一个箱子被选取
的可能性大小相等，各占1
2 ，所以事件B 发生的概率为P（B）＝1
2 .
（3）这个选手连续答对3 道题，则还剩下3 个箱子，其中只有一个箱
子中藏有礼物. 同样，由于选手不知道礼物在哪一个箱子里，每一个箱子被
选取的可能性大小都相等，各占1
3 ，所以事件C 发生的概率为P（C）＝1
3 .
一般地，必然事件发生的概率为100%，即P（必然事件）＝1；不可能事
件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0.而随机事件发生的概率介于0
与1 之间，即0＜P（随机事件）＜1.
如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，
事件A 包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A 发生的概率为
孕（粤）皂
灶．
大小相等，均为1
2 ，也就是说，A，B 两个事件发生的概率都是1
2 ，即P（A）＝
P（B）＝1
2 .
45
数学
九年级上册
数学
九年级上册
例如，例1 第（3）题中，从三个箱子中任选一个，可能性相等的结果总
数n＝3，事件C 包含其中的结果数m＝1，所以事件C 发生的概率孕（C）＝
皂
灶＝1
3 援
例2
求下列事件发生的概率：
（1）事件A：从一副扑克牌中任抽1 张牌，抽
出的这张牌是红桃A.
（2）事件B：先从一副扑克牌中去掉2 张王
牌，然后任抽1 张牌，抽出的这张牌是红桃.
解（1）一副扑克牌共有54 张牌，从中任抽1 张牌，所有可能性相
等的结果总数n＝54. 抽到红桃A 只有1 种可能，也就是m＝1，所以事件
A 发生的概率P（A）＝m
n ＝1
54.
（2）去掉2 张王牌后，一副扑克牌还剩下52 张牌，从中任抽1 张牌，
所有可能性相等的结果总数n＝52. 因为红桃花色的牌有13 张，所以事
件B 包含其中的结果数m＝13.
所以事件B 发生的概率P（B）＝m
n ＝13
52＝1
4 .
1援小明说“明天百分之百是晴天”. 在小明看来，明天是晴天的概率
是多少？如果小明的判断是正确的，那么明天下雨的概率是多少？
2援有这样一道选择题：
三个选项中有且只有一个正确.如果你不知道熊猫前掌趾的根数，
任选一个选项，那么你答对这道题的概率是多少？如果你知道熊
猫前掌趾的根数呢？
3援请解答节前语中的问题.
（第2 题）
熊猫一只前掌趾的根数是（
）
（A）4 根.
（B）5 根.
（C）6 根.
46
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
（第2 题）
1援任意写出一个偶数和一个奇数. 两数之和是奇数的概率是
，两
数之和是偶数的概率是
.
2援如图，一个转盘由红、黄、蓝三色组成. 自由转
动转盘一次，指针落在红、黄、蓝三个区域的概
率分别记为P1，P2，P3.把0，1
2
，1，P1，P2，P3 这
六个值按从小到大排列，并用“＜”连接.
3援有6 张扑克牌（如图），把它们背面朝上，从中任抽一张援求：
（1）抽到方块8 的概率.
（2）抽到方块的概率.
（3）抽到方块或红桃的概率援
4援20 瓶饮料中有2 瓶已过了保质期援从20 瓶饮料中任取1 瓶，取到
已过保质期的饮料的概率是多少？
5援下列说法对吗？请说明理由援
（1）从分别写有1，2，3，4 的四张卡片中任抽一
张，卡片上的数是质数的概率是1
2 .
（2）自由转动如图三色转盘一次，事件“指针落
在红色区域”的概率为1
3 援
6援一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相
同. 红球、黄球、黑球的个数之比为5∶3∶1. 用P1，P2，P3 分别表示
从布袋里任意摸出1 个球，是红球、黄球、黑球的概率，求P1，P2，
P3，以及它们的和.
（第5（2）题）
（第3 题）
47
数学
九年级上册
数学
九年级上册
运用公式孕（粤）＝皂
灶求简单事件发生的概率时，首先应确定所有结果
的可能性都相等，然后确定所有可能的结果总数灶和事件粤包含其中的结
果数皂援
例3
一个布袋里装有4 个只有颜色不同
的球，其中3 个红球，1 个白球援从布袋里摸出
1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1 个球援求
下列事件发生的概率：
（1）事件粤：摸出1 个红球，1 个白球.
（2）事件月：摸出2 个红球援
解
为方便起见，我们将3 个红球编号为红1，红2，红3援根据题意，第一次
和第二次摸球的过程中，摸到4 个球中任意一个球的可能性都是相同的援
两次摸球的所有可能的结果可列表表示，如表2-3.
表2-3
白
红
1
红
2
红
3
白
白
袁白
白
袁红
1
白
袁红
2
白
袁红
3
红
1
红
1袁白
红
1袁红
1
红
1袁红
2
红
1袁红
3
红
2
红
2袁白
红
2袁红
1
红
2袁红
2
红
2袁红
3
红
3
红
3袁白
红
3袁红
1
红
3袁红
2
红
3袁红
3
第
二
次
第
一
次
怎样用树状图表
示本题中事件发生的
不同结果？
由表2-3 知，灶＝4×4＝16援
（1）事件粤包含其中的结果数皂＝6（如表2-3 中绿色部分），
亦
孕（粤）＝皂
灶＝6
16＝3
8 援
（2）事件月包含其中的结果数皂＝9（如表2-3 中紫色部分），
亦
孕（月）＝皂
灶＝9
16援
48
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
甲
乙
丙
甲
甲
，甲
甲
，乙
甲
，丙
乙
乙
，甲
乙
，乙
乙
，丙
丙
丙
，甲
丙
，乙
丙
，丙
例4
学校组织春游，安排给九年级三辆车，
小明与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭
乘援小明与小慧同车的概率有多大？
解
记这三辆车分别为甲、乙、丙，小明与小
慧乘车的所有可能的结果可以列成表2-4，各
种结果发生的可能性相同援
由表2-4知，灶＝9，小明与小慧同车包含其中的结果数皂＝3，
亦
孕＝皂
n ＝3
9 ＝1
3 援
答：小明和小慧同车的概率是1
3 援
图2-4
120毅
240毅
例5
如图2-4，转盘的白色扇形和红色扇形的圆
心角分别为120毅和240毅援让转盘自由转动2 次，求指针
一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率援
分析
很明显，由于两个扇形的圆心角不相等，转
盘自由转动1 次，指针落在白色区域、红色区域的可能
性不相同援如果我们把红色的扇形划分成两个圆心角
都是120毅的扇形，那么转盘自由转动1 次，指针落在各个扇形区域的可能
性都应当相同，这样就可以用列举法来求出指针一次落在白色区域，另一
次落在红色区域的概率援
解
把红色扇形划分成两个圆心角都是120毅的扇形（图2-5），分别记
为红玉，红域援让转盘自由转动2 次，所有可能的结果如图2-6 所示，且各种
结果发生的可能性相同援
小
慧
选
的
车
小
明
选
的
车
表2-4
49
数学
九年级上册
数学
九年级上册
所以灶＝3×3＝9，事件“指针一次落在白色区域，另一次落在红色区
域”包含其中的结果数皂＝4援
亦
孕＝4
9 援
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
红玉
红域
白
红玉
红域
图2-6
图2-5
120毅
120毅
120毅
玉
域
员援设有5 个型号相同的杯子，其中一等品4 个，二等品1 个援从中任
意取1 个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1 个杯子援求：
（1）两次取出都是一等品杯子的概率.
（2）两次取出至少有一次是二等品杯子的概率援
圆援有两辆车按1，2 编号，李、张两位老师可任意选坐一辆车援求两位
老师同坐1 号车的概率援
两人做“锤子、剪刀、布”的游戏援游戏规则是：若一人出
“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，
另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出
“锤子”，则出“布”者胜援若两人出相同的手势，则认为此次游
戏无效，重新开始游戏援
先写出这个游戏中所有可能出现的有效结果援在游戏
中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是
多少？对方呢？这个游戏对双方是否公平？
50
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
1援衣橱中挂着3 套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜
色相同，如图援若从衣橱里各任取一件上装和一条裤子，它们取自
同一套的概率是多少？
2援如图，转盘中黄色扇形的圆心角为90毅，绿色扇形的圆心角为
270毅援让转盘自由转动两次，求两次指针都落在绿色区域的概率.
3援有两道门，各配有2 把钥匙援这4 把钥匙分放在2 个抽屉里，使每个
抽屉里恰好有每一道门的1 把钥匙援若从每个抽屉里任取1 把钥
匙，则能打开两道门的概率是多少？
4. 把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，求两次朝上面的点数和为5 的
概率援
5援华东地区晕市和杂市之间每天有往返飞机航班各2 趟援业务员小
赵和小黄同一天从晕市飞往杂市，第二天又从杂市飞回晕市援如
果他们可选择任一航班往返，则选择同一航班从晕市飞往杂市的
概率是多少？选择相同航班往返两地的概率是多少？
6援如图是一个红、蓝两色各占一半的转盘. 小李与
小明做“配紫色”的游戏，规则是：两人各让转
盘自由转动一次，当转盘停止转动时，如果指
针所在区域的颜色分别是一红一蓝，就说“配
成紫色”，小明胜；如果指针所在区域的颜色配
不成紫色，小李胜援在这个游戏中，小李与小明
获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公
平吗？
（第2 题）
（第1 题）
（第6 题）
51
数学
九年级上册
数学
九年级上册
让我们先看一个简单的游戏.
小明和小聪一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：
若骰子朝上一面的数字是6，则小聪得10 分；若骰子朝上一面的数字不是
6，则小明得10 分.谁先得到100 分，谁就获胜.
这个游戏规则公平吗？
从表面上看，小聪和小明掷一次都有可能得10 分，好像公平，但实质上小
明得分的机会要比小聪大得多，显然游戏规则对小聪并不公平.
一般地，如果在客观条件下使参加的各方获胜的概率
相等（也称机会均等），那么比赛或者游戏是公平的. 例如，
一个转盘如图2-7，转盘上红、黄两色各占1
2 . 让转盘自由
转动一次，若指针落在红色区域，则小聪得10 分；若指针
落在黄色区域，则小明得10 分. 谁先得到100 分，谁就获
胜. 因为转盘上红、黄两色各占一半，转盘自由转动一次，
指针落在红色、黄色区域的机会均等，所以这个游戏是公平的.
下面让我们再看一个游戏.
这个游戏的规则是：有22 颗小石子，游戏双方轮流拿石子，各方每次只准
拿1 颗或2 颗. 规定其中一方先拿，拿到最后一颗石子者输. 你认为它公平吗？
如果你认为游戏不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.
请与你的同学一起玩一玩这个游戏. 想一想，有没有必胜的策略，使后拿者
一定取胜？
图2-7
机会均等
52
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
提高运动员的罚球命中率是篮球教练需考虑的问题之一援你认为可以
如何估计一位篮球运动员的罚球命中率？
2·3 用频率估计概率
我们知道，任意抛一枚均匀的硬币，
“正面朝上”的概率是1
2 援科学家曾
做过成千上万次抛硬币的试验，其中部分结果如表2-5.
把表2-5 中抛掷次数灶与“正面朝上”的频率m
n 用统计图表示，如图2-8.
观察表2-5 和图2-8，你获得什么启示？
1
2
0
m
n
0.518 0.506 9
0.497 9
0.501 6
0.500 5
2 048 4 040
10 000 12 000
24 000
抛
掷
次
数
n
图2-8
试验者
抛掷次数灶
“正面朝上”的次数皂
频率皂
灶
棣莫弗
布丰
费勒
皮尔逊
皮尔逊
2 048
4 040
10 000
12 000
24 000
1 061
2 048
4 979
6 019
12 012
0．518 1
0．506 9
0．497 9
0．501 6
0．500 5
表2-5
频
率
2·3 用频率估计概率
53
数学
九年级上册
数学
九年级上册
2.将每个小组同学的试验结果进行累计，填入表2-7.
3.将其中两组同学的试验结果进行累计，填入表2-8.
4.将其中四组同学的试验结果进行累计，填入类似统计表.
5.统计全班同学的试验结果，填入类似统计表. 根据上述统计表画出
抛掷两枚硬币试验，结果为“一正一反”的频率统计图.
议一议：频率与概率有什么区别和联系？随着重复试验次数的增加，
频率的变化趋势如何？
组号
试验总次数
一正一反的总次数
频率
组号
试验总次数
一正一反的总次数
频率
让我们来做抛掷两枚硬币的试验. 观察它们落地时出现“一正一反”
的次数.
1. 全班每人各取两枚同样的硬币，做10 次掷硬币的试验，填入表
2-6.
学号
试验次数
一正一反的次数
频率
各小组试验的结
果一样吗？
从上面的试验可以看到：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，
事件发生的频率就稳定在相应的概率附近援因此，我们可以通过大量重复试
验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率援
表2-6
表2-7
表2-8
54
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
员援某运动员投篮5 次，投中4 次援能否说该运动员投1 次篮，投中的概
率为4
5 ？为什么？
圆援一个农场里出生了一头白色的小奶牛援据
统计，平均出生1000 万头牛才会有1 头
是白色的援由此估计出生1 头白色奶牛的
概率是多少？
例
在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，
获得如下频数表援
（1）计算表2-9 中的各个频率.
（2）估计该麦种的发芽概率.
（3）如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4 181 818 棵，种子发芽
后的成秧率为87％，该麦种的千粒质量为35 早，那么播种3 公顷该种小麦，
估计约需麦种多少千克（精确到1 噪早）？
解（1）当灶＝5 时，皂＝4，则发芽的频率皂
灶＝4
5 ＝0郾80援依次算得各
个频率为0郾90，0郾92，0郾94，0郾952，0援951，0郾95，0郾95援
（2）由第（员）题可知，该麦种的发芽概率约为0郾95援
（3）设需麦种曾（噪早），则粒数为曾×1 000× 1 000
35
援
由题意，得曾×1 000× 1 000
35
×0郾95×87％＝3×4 181 818，
解得曾≈531（噪早）援
答：播种3 公顷该种小麦，估计约需麦种531 噪早援
试验种子数n（粒）
1
5
50
100
200
500
1 000
2 000
3 000
发芽频数皂
0
4
45
92
188
476
951
1 900
2 850
发芽频率皂
灶
0
表2-9
55
数学
九年级上册
数学
九年级上册
员援若用上例这种小麦种子350g 播种，大约能得到多少棵麦苗？
2援任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为1 的概率为1
6 援下列说
法正确吗？为什么？
（1）任意抛掷一枚均匀的骰子12 次，朝上面的点数为1 的次数为
2 次援
（2）任意抛掷一枚均匀的骰子1 200 次，朝上面的点数为1 的次数
大约为200 次援
员援对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数
表如下：
抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1 000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901
合格频率
（1）根据表中数据求出各个频率，并填入表中.
（2）估计任抽一件衬衣是合格品的概率.
（3）估计出售1 200 件衬衣，其中次品大约有几件援
圆援取5 张扑克牌，其中2 张“方块”，1 张
“梅花”，2 张“红桃”援
（1）求从中任抽1 张，是“方块”或“红
桃”的概率.
（2）利用重复试验的方法验证第（1）
题的结果，介绍你的验证过程和
结果援
猿援从第2 题的5 张扑克牌中任意抽取1 张，记下花色后放回，再任意
抽取员张援
（1）求抽取的2 张扑克牌中，一张为“方块”，另一张为“红桃”的
概率.
（2）用重复试验的方法验证第（1）题的结果，并介绍你的试验过程
和结果（要求列出频数表）援
（第2 题）
56
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
例1 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同援以每
10 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1 个，一等奖10 个，二等奖100 个援
问：1 张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
解
因为10 000 张奖券中能中一等奖的张数是10 张，所以1 张奖券
中一等奖的概率孕＝
10
10 000 ＝
1
1 000 援
又因为10 000 张奖券中能中奖的奖券总数是1＋10＋100＝111（张），
所以1 张奖券中奖的概率孕＝
111
10 000 .
答：1 张奖券中一等奖的概率是
1
1 000 ，中奖的概率是
111
10 000 援
人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性
有多大援例如，买彩票时希望知道中奖的概率有多大；出门旅游时希望知道
天气是否晴朗等援概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出
判断和决策，因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用援
2·4 概率的简单应用
买彩票的人一定希望知道自己中奖的概率有多大. 怎样估计彩票中
奖的概率呢？
髴生命表又称死亡率表，是人寿保险费率计算的主要依据.表中生存人数造曾，死亡人数凿曾的含义举例说明如下：
对于出生的每1 000 000 名男性，活到30 岁的人数造30＝984 635 人（曾＝30），这一年龄死亡的人数凿30＝867 人援
例2
表2-10 是中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表髴
（2000～2003 年）男性表的部分摘录援根据表2-10 估算下列概率（结果精
确到0.000 1）.
（1）某男性今年61 岁，他当年死亡的概率.
（2）某男性今年31 岁，他活到62 岁的概率援
57
数学
九年级上册
数学
九年级上册
解（1）根据表2-10，61 岁男性的生存人数造61＝891 725，61 岁男性的
死亡人数凿61＝9 354，
所以所求概率孕＝凿61
造61 ＝9 354
891 725 ≈0援010 5援
答：他当年死亡的概率约为0郾010 5援
（2）根据生命表2-10，造31＝983 767，造62＝882 371，
所以所求概率孕＝造62
造31 ＝882 371
983 767 ≈0援896 9援
答：他活到62 岁的概率约为0郾896 9援
年
龄
曾
生
存
人
数
造曾
死
亡
人
数
凿曾
0
1
1 000 000
999 278
722
603
30
31
984 635
983 767
867
917
61
62
63
64
891 725
882 371
872 005
860 590
9 354
10 365
11 415
12 515
79
80
81
82
516 367
480 804
444 173
406 763
35 563
36 631
37 410
37 858
表2-10
员援根据表2-10，回答下列各题：
（1）一名80 岁的男性在当年死亡的概率是多少？
（2）如果有10 000 名80 岁的男性参加寿险投保，当年死亡的人均
赔偿金为葬元，那么估计保险公司需支付当年死亡的人的赔
偿金为多少元？
圆援九年级三班同学作了关于私家车乘坐人数的统计，在100 辆私家
车中，统计结果如下表：
根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过2 名乘客
的概率援
每辆私家车乘客的数目
1
2
3
4
5
私家车的数目
58
27
8
4
3
58
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
员援据有关部门2019 年2 月全国法定传染病疫情统计，我国715 176 个
传染病例中，有307 892 人患的是流行性感冒. 从715 176 个传染
病例中任意抽查一名传染病患者，结果患的是流行性感冒的概率
约是多少？
圆援下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表（2000～2003
年）女性表的部分摘录. 根据下表估算下列概率（结果精确到0.0001）.
（1）一名女性79 岁当年死亡的概率.
（2）一名61 岁的女性活到80 岁的概率援
猿援某公司举办元旦庆祝晚会，每位参加者领1 张奖券参加摇奖活动援
第一次摇奖共分发328 张奖券，其中只有1 张奖券号码能中奖，每
张奖券获奖的机会相同援小王所在的销售部门共有25 人参加晚会援
在第一次摇奖中，小王得奖的概率是多少？小王所在的销售部门有
人得奖的概率是多少？
源援一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0 到9
的自然数援若要使不知道密码的人一次就拨对密
码的概率小于1
999 ，则密码的位数至少需多少位？
年
龄
曾
生
存
人
数
造曾
死
亡
人
数
凿曾
0
1
1 000 000
999 339
661
536
30
31
991 476
991 074
403
428
61
62
63
64
938 005
931 941
925 198
917 709
6 064
6 743
7 489
8 314
79
80
81
82
649 175
616 746
582 347
546 095
32 429
34 398
36 253
37 950
59
数学
九年级上册
数学
九年级上册
填空．
1援在一定条件下必然会发生的事件
叫做
；在一定条件下必然不会发
生的事件叫做
；在一定条件下，
的事件称为不确定
事件（或随机事件）援
2援在数学上，事件发生的可能性的大
小也称为事件发生的
援必然事件发
生的概率为
，不可能事件发生的概
率为
.若用孕（A）表示不确定事件A
发生的概率，则
＜孕（A）＜
援
3援如果事件发生的各种结果的可能
性相同，且互相排斥，结果总数为灶，其中
事件粤包含其中的结果数为皂（皂≤灶），
那么事件粤发生的概率孕（粤）＝
援
4援可以通过大量重复试验，用一个事
件发生的
来估计这一事件发生的
概率援
填表.
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
用列表和画树状
图等枚举方法确
定事件发生的各
种不同可能的结果
用列举法计算简
单事件发生的
概率
用重复试验的方
法估计简单事件
发生的概率
60
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
荫了解必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的概念援
荫会用列表、画树状图等方法，确定简单事件发生的各种可能的结果援
荫了解事件发生的可能性大小的意义援
荫会在简单情况下比较事件发生的可能性的大小援
员援下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？
（1）任意选择某一电视频道，它正播放动画片.
（2）人在月球上所受的重力比在地球上小.
（3）一个三角形三个内角的和小于180毅援
圆援一个箱子里有7 个白球、2 个红球、1 个黑球，它们除颜色外其余均
相同援从箱子里任意摸出一个球，一共有多少种不同的可能（摸到不
同的球就表示不同的可能）？其中是黑球的情况有多少种不同的可
能？不是红球的情况有多少种不同的可能？
猿援某一公园有3 个入口和2 个出口援小明从进入公园到走出公园，一
共有多少种不同出入路线的可能？
源援下列事件的发生，对你来说是很可能、有可能、不大可能、不可能，还
是必然的？
（1）上数学课，忘记带计算器.
（2）外语考试成绩达到优秀.
（3）100 米跑的成绩在13 秒以内.
（4）捡到失物交还失主.
（5）过马路走人行横道线援
（6）上课迟到.
缘援如图是一个游戏转盘援自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别
落在数字1，2，3，4 所示区域内的事件发生的可能性的大小依次记
为则，泽，贼，噪援比较则，泽，贼，噪的大小，并用“＜”连接援
荫在具体情境中了解概率的意义.
荫运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率援
6援袋中装有3 个绿球、3 个黑球和6 个红球，它们除颜色外其余均相同援
从袋中摸出一个球，计算下列事件发生的概率：
（1）摸出绿球. （2）摸出白球. （3）摸出红球.
（4）摸出黑球. （5）摸出黑球或绿球援
7援有8 张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1 到8 的一个自然数援从中
任意抽出一张卡片，计算下列事件发生的概率：
（1）卡片上的数是3 的倍数.
（2）卡片上的数不是3 的倍数援
（第5 题）
2
60毅
45毅
120毅
4
3
1
2.1 节
2.2 节
61
数学
九年级上册
数学
九年级上册
8援一个布袋里装有只有颜色不同的7 个球，其中3 个红球，4 个白球援从
中任意摸出1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1 个球援求：
（1）摸出的2 个球都是白球的概率.
（2）摸出的2 个球中，1 个是白球，1 个是红球的概率援
9援抽屉里放有4 只白袜子和2 只黑袜子援从中任意摸出1 只袜子，记
下颜色后放回，搅匀，再摸出1 只袜子援摸出的两只袜子颜色相同
的概率是多少？若第一次摸出的袜子不放回呢？
10援有两颗相同的均匀的骰子，骰子各个面上的点数为1～6援小明与
小慧做游戏，规定：每人连掷2 次，若掷出两次的点数之和小于7，
则小慧胜，否则小明胜援这个游戏公平吗？请说明理由援
11援有一个转盘如图，让转盘自由转动两次援求：
（1）两次指针都落在黄色区域的概率.
（2）一次落在黄色区域，另一次落在红色区域的概率援
荫知道大量重复试验时熏频率可作为事件发生的概率的估计值援
荫会通过重复试验，估计事件发生的概率援
12援做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
（1）完成上表.
（2）估计任意抛掷一只纸杯，以下事件发生的概率：
①杯口朝上；②杯口朝下；③横卧援
（第11 题）
144毅
抛掷
总次数
杯口朝上
杯口朝下
横卧
频数
频率
频数
频率
频数
频率
10
1
0郾1
2
0郾2
7
0郾7
20
3
0郾15
4
0郾2
13
0郾65
50
10
0郾2
20
0郾4
20
0郾4
100
21
38
41
150
33
57
200
44
80
2.3 节
（第12 题）
杯口朝上
杯口朝下
横卧
2.2 节
62
第2 章
简单事件的概率
第2 章
简单事件的概率
13援某市政府对某项决议进行民意测验援通过对6 个区的市民作问卷
调查，获得如下数据：
（1）完成上表（精确到0援001）.
（2）估计市民赞同、不赞同该政策的概率分别为多少.
（3）该市有150 万选民，估计赞同该政策的选民有多少人，反对
的有多少人.
14援如图，让转盘自由转动一次，指针落在白色或红色区域的概率是多
少？先算出结果，然后用重复试验的方法进行验证援
要求：说明试验过程，求出频数、频率，列出频数表，并说明验证的
结果援
荫会综合运用事件的概率来解决一些简单的实际问题援
15援有粤，月，悦三种款式的帽子，耘，云，郧三种款式的围巾援小慧任意选
一顶帽子和一条围巾，恰好选中她所喜欢的粤款帽子和云款围
巾的概率是多少？
16援某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100 张奖券，设特等奖
1 个，一等奖10 个，二等奖20 个，三等奖30 个援已知每张奖券获奖
的可能性相同援求：
（1）一张奖券中特等奖的概率.
（2）一张奖券中奖的概率.
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率援
17援为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收
的、不可回收的和有害的分类投放援一天，小林把垃圾分装在三个
袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置援你能确定
小林是怎样投放的吗？一个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位
置的概率是多少？
区域
问卷调查
人数（人）
赞同
不赞同
弃权
频数
频率
频数
频率
频数
频率
粤区
4 050
3 564
5
月区
3 610
3 069
10
悦区
4 100
3 772
10
阅区
3 520
3 168
5
耘区
2 730
1 775
30
云区
3 660
3 326
10
合
计
（第14 题）
2.4 节
63
第3 章
圆的基本性质
要把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，且使正方形的面积
达到可能的最大值，圆柱底面的直径与正方形的边长有什么关系？
圆拱石桥是我国桥梁建筑上的一大瑰宝援许多古代圆拱石桥设计
精巧，虽历经沧桑，至今仍保存完好.古代的能工巧匠是怎样设计桥
拱的？
本章我们将学习圆、圆的性质，图形的旋转,正多边形，弧长及扇
形的面积等知识援通过本章的学习，我们就能找到解决上述问题的
方法援
数学
九年级上册
小学里我们已经认识了圆，会用圆规画圆援你知道圆上的点有什么特性
吗？
取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然
后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周（图3-1），这样就画出了一个圆援
显然，圆上任意一点孕（铅笔尖）到定点韵（图钉）的距离都相等（图3-1）援
在同一平面内，线段韵孕绕它固定的一个端点韵旋转一周（图3-2），另
一端点孕所经过的封闭曲线叫做圆（糟蚤则糟造藻），定点韵叫做圆心（糟藻灶贼则藻），线段
韵孕（不论转到什么位置）叫做圆的半径（则葬凿蚤怎泽）援以点韵为圆心的圆，记做
“已韵”，读做“圆韵”援
如图3-3，连结圆上任意两点的线段月悦叫做弦（糟澡燥则凿）援经过圆心的弦
粤月叫做直径（凿蚤葬皂藻贼藻则）援显然，直径等于半径的2 倍援
已知点韵和线段葬（如图）援以韵为圆心，线段葬为半径作一个圆，
并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦援
葬
韵
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（葬则糟）援圆的任意一条直径的两
个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆（semicircle）援小于半圆的弧叫
韵
孕
图3-1
韵
孕
图3-2
图3-3
粤
悦
韵
月
3·1 圆
圆是我们在日常生活中常见的几何图形. 我国东周时期
的典籍《墨经》中记载：
“圆，一中同长也.”你理解这句话的含
义吗？要确定一个圆，需要哪些条件？
66
第3 章
圆的基本性质
一般地，如果用则表示圆的半径，凿表示同一平面内点到圆心的距离，则有
例1
如图3-5，在粤地正北80 皂的月处有一幢民房，正西100 皂的悦
处有一变电设施，在月悦的中点阅处是一古建筑援因施工需要，必须在粤处
进行一次爆破援为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，爆破影响面的
半径应控制在什么范围内？
解
如图3-5，连结粤阅援
疫
∠月粤悦＝砸贼∠，
亦
月悦2＝粤悦2＋粤月2
＝1002＋802＝16 400，
亦
月悦＝
16 400
姨
＝20
41
姨
（皂）.
疫
D 是斜边BC 的中点，
亦
粤阅＝1
2 月悦＝1
2 ×20
41
姨
＝10
41
姨
（皂）援
疫
10
41
姨
＜10×7，AB＝80 皂，AC＝100 皂，
亦
粤阅＜粤月＜粤悦援
答：爆破影响面的半径应小于10
41
姨
皂援
做劣弧（皂蚤灶燥则葬则糟），劣弧用符号“蓻”和弧两端的字母表示，如图3-3 中的劣弧
月悦记做月悦
蓻，读做“弧月悦”；大于半圆的弧叫做优弧（皂葬躁燥则葬则糟），半圆和优弧用
符号“蓻”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图3-3 中以
月，悦为端点的优弧记做月粤悦，
蓻读做“弧月粤悦”援
半径相等的两个圆能够完全重合援我们
把半径相等的两个圆叫做等圆援如图3-4，
已韵1 与已韵2 就是两个等圆援
类似地，我们把能够重合的圆弧称为相等的弧援
你能说出同一平面内点与圆有几种位置关系吗？怎样确定点与圆的位
置关系？请与你的同伴议一议援
凿
r 圳点在圆外；凿
r 圳点在圆上；凿
r 圳点在圆内．
图3-4
则
韵1
则
韵2
月
粤
悦
阅
北
图3-5
67
数学
九年级上册
员援作一个半径为1援5 糟皂的圆，然后画出一条直径，以及一条不等于直
径的弦，再用字母和符号表示弦所对的两条弧援
圆援在直角三角形粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，粤悦＝3 糟皂，粤月＝5 糟皂援若以点悦
为圆心，画一个半径为3 糟皂的圆，试判断点粤，点月与已悦的位置
关系援
员援下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说明理由援
（1）直径相等的两个圆是等圆.
（2）弦是直径.
（3）圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧.
（4）一个圆有且只有一条直径援
圆援作两个等圆，使其中一个圆通过另一个圆的圆心援
猿援如图，在吟粤月悦中，∠月粤悦＝砸贼∠，粤韵是
月悦边上的中线，月悦为已韵的直径援
（1）点粤是否在圆上？请说明理由.
（2）写出圆中所有的劣弧和优弧援
源援已知已韵的面积为25 仔援
（1）若孕韵＝5援5，则点孕在圆
.
（2）若孕韵＝4，则点孕在圆
.
（3）若孕韵＝
，则点孕在圆上援
缘援在吟粤月悦中，已知粤月＝粤悦＝4 糟皂，月悦＝6 糟皂，孕是月悦的中点援以孕
为圆心作一个半径为3 糟皂的圆援试判断点粤，月，悦与已孕的位置关
系，并说明理由援
远援如图，在粤岛附近，半径约250 噪皂
的范围内是一暗礁区，往北300噪皂
有一灯塔月，往西400 噪皂有一灯
塔悦援现有一渔船沿悦月航行，问：
渔船会进入暗礁区吗？
（第3 题）
月
悦
韵
粤
（第6 题）
月
粤
悦
北
阅
68
第3 章
圆的基本性质
例2
已知吟粤月悦（图3-8），用直尺和圆规作出过点粤，月，悦的圆援
作法1援如图3-9，分别作线段粤月，月悦的垂直平分线，相交于点韵援
2援以点韵为圆心，韵粤为半径作已韵援
已韵就是所求作的圆援
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
图3-7
悦
月
韵
粤
图3-8
月
悦
粤
如图3-7，点粤，月，悦不在同一条直线上，则经过点
粤，月的圆的圆心一定在线段粤月的垂直平分线上；经过点
月，悦的圆的圆心在线段月悦的垂直平分线上，并且这两条
垂直平分线一定相交援设交点为韵，则韵粤＝韵月＝韵悦援所
以，以点韵为圆心，线段韵粤为半径作圆，便可得到一个
经过粤，月，悦三点的圆，并且只能作一个圆援
如果确定了圆心和圆的半径，那么这个圆的位置和
大小就被唯一确定了援有没有其他条件，也能唯一地确
定一个圆呢？请按以下步骤探索，并动手作图试一试.
（1）经过一个已知点能作多少个圆？
（2）经过两个已知点粤，月能作多少个圆？过点粤，月
任意作一个圆（图3-6），你认为圆心应该在怎样的一条
直线上？
（3）议一议：经过不在同一条直线上的三个点一定能作出一个圆吗？
如果能，怎样找出这个圆的圆心？经过在同一条直线上的三个点呢？
图3-6
粤
韵
月
粤
图3-9
月
悦
韵
69
数学
九年级上册
员援一个破损的轮子如图援现要重新浇铸一个，需先画
出轮子的轮廓线（圆）援怎样画这个圆呢？试一试，
并作出这个圆援
圆援任意画一个直角三角形，然后以斜边为直径画一
个圆. 这个圆是直角三角形的外接圆吗？为什么？
员援怎样量出一枚1 元硬币的直径？说出你的方法，并量一量援
圆援如图，已知点粤，月和线段葬，葬＞1
2 粤月援用直尺和圆规作已韵，使已韵过
点粤，月，且半径为葬援这样的圆可以作几个？
（第1 题）
粤
月
葬
（第2 题）
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫
做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形援例如，图3-9 中，已韵是
吟粤月悦的外接圆，吟粤月悦是已韵的内接三角形，点韵是吟粤月悦的外心援
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点援
如图3-10 这样的丁字尺可用来找圆心，你知道为什
么吗？如果要用这样的丁字尺来找直径小于粤月的圆的
圆心，你认为这丁字尺应作怎样的改进？
图3-10
月
粤
70
第3 章
圆的基本性质
猿援作出下列三角形的外接圆，并比较这三个三角形的外心的位置援你
得到什么结论？
源援如图，粤，月是已知圆上两点，用直尺和圆规作以
粤月为底边的圆内接等腰三角形援这样的三角形
能作几个？
缘援平面内有4 个点，它们不在一条直线上，但有3
个点在同一条直线上援过其中3 个点作圆，可以
作出几个圆？请说明理由，并作出示意图援
（第4 题）
月
粤
（第3 题）
月
悦
粤
月
悦
粤
粤
月
悦
观察节前图，风车的叶片由A 至B 的运动与钟表的钟摆由C 至D 的运
动. 它们都有一个共同的特点，就是运动物体上各部分都绕同一个固定的
点，按同一个方向，旋转同一个角度.
一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有
点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫
做图形的旋转（rotation）.这个固定的点叫做旋转中心（center of rotation）.
你能举出在现实生活中图形旋转的例子吗？
粤
月
阅
悦
风车叶片和钟表的指针、钟摆在转动过程中，哪些改变了？哪些保
持不变？
3·2 图形的旋转
71
数学
九年级上册
当图形旋转的角度为180毅时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中
心对称.
图3-11
粤
悦
月
韵
月忆
粤忆
悦忆
员援如图，射线韵孕经过怎样的旋转，得到射线韵匝？
圆援如图所示是一双手的图片援你认为能否经过旋转，使左手的图形与右
手的图形重合？经过轴对称呢？用你的左、右手试一试援
（第2 题）
（第1 题）
Q
O
P
例1
如图3-11，韵是吟粤月悦外一点援以点韵
为旋转中心，将吟粤月悦按逆时针方向旋转80毅，
作出经旋转后的图形援
解
如图3-11援
1援以点韵为旋转中心，分别把点粤，月，悦按
逆时针方向旋转80毅，得点粤忆，月忆，悦忆援
2援连结粤忆月忆，月忆悦忆，悦忆粤忆援
吟粤忆月忆悦忆就是所求作的经旋转后的图形援
一般地，图形的旋转有下面的性质：
图形经过旋转所得的图形和原图形全等援
对应点到旋转中心的距离相等援任何一对对应点与旋转中心连线所
成的角度等于旋转的角度援
要描述一个旋
转，必须指出：旋转
中心，旋转的方向
（顺时针或逆时针）
和旋转的角度.
例2
已知：如图3-12，矩形AB忆C忆D忆是矩形ABCD 以点A 为旋转中
心，按逆时针方向旋转90毅所得的图形.
求证：对角线BD 与对角线B忆D忆所在的直线互相垂直.
72
第3 章
圆的基本性质
B忆
D
D忆
C
E
B
A
C忆
图3-12
员援如图，以点韵为旋转中心，将线段粤月按顺
时针方向旋转60毅，作出经旋转所得的线段
粤忆月忆，并求直线粤忆月忆与直线粤月所成的锐角
的度数援
圆援下列各图中，正确表示将正方形载绕点韵按顺时针方向旋转
60毅的是（
）
（第1 题）
（粤）
载
载忆
韵
（月）
载
载忆
韵
证明
如图3-12，线段D忆B忆由对角线DB 经
旋转得到.延长D忆B忆，交DB 于点E.
在矩形ABCD 中，∠BAD＝90毅，
又疫
∠D忆AD＝90毅（一对对应点与旋转中
心连线所成的角度等于旋转的角度），
亦
点D忆，A，B 在同一条直线上.
疫
Rt△D忆AB忆≌Rt△DAB（图形经过旋转所得的图形和原图形全等），
亦
∠AD忆B忆＝∠ADB，
亦
∠AD忆B忆＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90毅，
亦
∠D忆EB＝180毅－（∠AD忆B忆＋∠ABD）＝180毅－90毅＝90毅，
即BD⊥B忆D忆.
（悦）
载
载忆
韵
（阅）
载
载忆
韵
O
A
B
73
数学
九年级上册
（第3 题）
（遭）
（糟）
（葬）
猿援如图援
（1）描述由（葬）到（遭）的图形变化.
（2）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图（糟）所示. 观察由
（葬）到（糟）的变化过程援若以（葬）为基础，要得到一个紫荆花图
案，需经过几次旋转？每次旋转的角度分别是多少度？
如图3-13，能通过图形的旋转，使图形粤与图形月重
合吗？如果用两种图形的运动呢？比如旋转和轴对称，旋转
和平移等援用扑克牌试一试，说出一种方法援
图3-13
月
粤
员援在下面横线上填写各图案从左到右的运动是平移、旋转还是轴对称.
（1）
（2）
（3）
74
第3 章
圆的基本性质
圆援分别按下列要求作出经旋转后的图形援
（1）如图，韵是线段粤月上一点援以点韵为旋转中心，将线段粤月按
逆时针方向旋转100毅.
（2）如图，以点韵为旋转中心，将扇形孕按顺时针方向旋转90毅援
猿援如图，以点韵为旋转中心，将吟粤月悦按
顺时针方向旋转60毅，作出经旋转所得
的图形援
源援描述从3：15 到4：00 时针和分针所作
的图形运动援
缘援如图，E 是正方形ABCD 的BC 边上一
点，延长BA 至点F，使AF＝CE，连结
DE，DF.能通过旋转吟DEC 得到吟DFA
吗？请说明理由.
（第2 题）
（1）
O
A
B
（2）
P
O
（第3 题）
C
A
B
O
（第5 题）
A
B
F
D
C
E
下面这两幅图案的设计思路都是先画出一个基础图形，再将这个基础图形进行
旋转、轴对称、平移，并通过多次运用，形成一幅美丽的图案.
（1）图3-14 选用怎样的基础图形，运用哪几种图形的运动形成的？
图3-15 呢？
（2）运用旋转、轴对称、平移设计一幅图案，并简单介绍你的设计思路.
图3-14
图3-15
75
数学
九年级上册
一般地，圆有下面的性质：
髴如图3-17，CD 是已O 的直径，AB⊥CD 于点E，连结粤O，BO，则粤O＝BO.
在等腰三角形OAB 中，OC⊥AB，得粤E＝BE（为什
么？）. 所以把图3-17 沿直径CD 对折时，因为蚁AEO＝
蚁BEO＝Rt蚁，所以射线EA 与射线EB 重合，可知点A
与点B 重合，则粤悦
蓻与B悦
蓻，粤D
蓻与BD
蓻分别重合，所以粤悦
蓻与
B悦
蓻，AD
蓻与BD
蓻分别相等，记做粤悦
蓻＝B悦
蓻，AD
蓻＝BD
蓻. 这样便
证明了垂径定理.
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 例如图3-17 中，C
是粤月
蓻的中点，D 是粤D月
蓻的中点.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
粤
图3-17
C
D
B
O
E
在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦
AB，再作一条和弦AB 垂直的直径CD，悦阅与粤月相交
于点耘（图3-16）援然后沿着直径悦阅所在的直线把纸
折叠，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？你能将你
的发现归纳成一般的结论吗？
图3-16
悦
韵
阅
月
粤
耘
我国历史上著名的赵州桥建于隋大业（公元605～
618）年间，桥长64援40 皂，是现存世界上跨径最大、建造最早
的单孔敞肩型石拱桥援你知道怎样确定桥拱圆弧的半
径吗？
3·3 垂径定理
我们知道，圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴.
髴垂径定理的证明为选学内容.
76
第3 章
圆的基本性质
例2
一根排水管的截面如图3-20 所示援已知
排水管的半径韵月＝10，水面宽粤月＝16. 求截面圆
圆心韵到水面的距离韵悦援
解
由题意，韵悦⊥粤月，
亦
粤悦＝月悦＝1
2 粤月＝1
2 ×16＝8援
由勾股定理，得
韵悦＝
韵月2－月悦2
姨
＝
102－82
姨
＝6援
答：截面圆圆心韵到水面的距离为6援
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距援例如，图
3-20 中，韵悦的长就是弦粤月的弦心距援
例1
已知粤月
蓻（图3-18），用直尺和圆规作这条弧
的中点援
分析要平分粤月
蓻，只要画垂直于弦粤月的直径，而
这条直径应在弦粤月的垂直平分线上援因此，画弦粤月
的垂直平分线就能把粤月
蓻平分援
作法如图3-19援
1援连结粤月援
2援作粤月的垂直平分线悦阅，交粤月
蓻于点耘援
点耘就是所求作的粤月
蓻的中点援
粤
月
图3-18
图3-20
粤
月
韵
悦
员援已知：如图，在已韵中，AB 是已韵的直径，
韵粤⊥悦阅于点孕援
求证：B悦
蓻＝BD
蓻援
圆援已知已韵的半径为13 糟皂，一条弦的弦心距为
5 糟皂. 求这条弦的长援
（第1 题）
粤
韵
悦
阅
孕
月
粤
月
悦
耘
阅
图3-19
77
数学
九年级上册
员援已韵的弦粤月的长为8 糟皂，弦粤月的弦心距为3 糟皂，则已韵的半径
为（
）
（粤）4 糟皂援
（月）5 糟皂援
（悦）8 糟皂援
（阅）10 糟皂援
圆援如图，在已韵中，半径韵悦⊥粤月于点阅援已知已韵的半径为2，粤月＝
3. 求阅悦的长（精确到0援01）援
猿援过已知已韵内一点粤作弦，使粤是该弦的中点，然后作出弦所对的
两条弧的中点援
源援如图，在已韵中，弦粤月垂直平分半径韵悦援
（1）求∠悦的度数.
（2）若已韵的半径为则，求弦粤月的长援
缘援一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 糟皂，瓶内液体的最大深度
悦阅＝2 糟皂（如图）援求截面圆中弦粤月的长援
远援已知：如图，在已韵中，弦粤月椅悦阅援求证：粤悦
蓻＝月阅
蓻援
苑援点粤在已韵内，过点粤作一条弦月悦，使月悦是所有过点粤的弦中最
短的弦援
（第2 题）
韵
粤
月
阅
悦
（第3 题）
韵
粤
（第4 题）
悦
韵
粤
月
阅
（第6 题）
粤
月
悦
阅
韵
（第5 题）
粤
月
韵
阅
悦
78
第3 章
圆的基本性质
下面我们先给出定理1 的证明援
已知：如图3-21，已韵的直径悦阅交弦粤月（不是直径）于点孕，粤孕＝月孕援
求证：悦阅⊥粤月，粤悦
蓻＝月悦
蓻.
证明
连结韵粤，韵月，则粤韵＝月韵，
亦
吟粤韵月是等腰三角形援
疫
粤孕＝月孕，
亦
悦阅⊥粤月，
亦
粤悦
蓻＝BC
蓻（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）援
如图3-21，当AC
蓻＝BC
蓻时，将图形沿直径悦阅所在的直线对折，则AC
蓻与
BC
蓻重合. 所以点粤与点月重合，即粤，月关于直线悦阅对称，所以悦阅垂直平
分弦粤月，这就证明了定理2.
粤
月
悦
韵
孕
阅
图3-21
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
前面我们学过，垂直于弦的直径平分这条弦援反过来，平分弦的直径一
定垂直于这条弦吗？平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试援
我们有下面的定理：
图3-22
砸
粤
月
悦
7援23
37援02
韵
阅
单位：皂
例3
已知赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为37援02 皂，拱高
（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为7援23 皂援求赵州桥的桥拱圆弧的半径（精确
到0援1 皂）援
解
如图3-22，用粤月
蓻表示桥拱圆弧，设粤月
蓻
所在圆的圆心为韵，半径为砸（皂）援悦为粤月
蓻的中
点，连结韵悦，交粤月于点阅，就有韵悦垂直平分
粤月援所以悦阅就是拱高援由题意，得
粤月＝37援02皂，悦阅＝7援23皂，
亦
粤阅＝1
2 粤月＝1
2 ×37援02＝18援51（皂），
79
数学
九年级上册
员援已知：如图，已韵的直径孕匝分别交弦粤月，悦阅于点酝，晕，粤酝＝
月酝，粤月椅悦阅援求证：阅晕＝悦晕援
圆援如图，在直径为130 皂皂的圆形铁片上切
下一块高为32 皂皂的弓形髴铁片，求弓形
的弦粤月的长援
（第2 题）
32皂皂
粤
月
韵
（第1 题）
粤
月
孕
悦
酝
匝
阅
晕
韵
某一公路隧道的形状如图3-23 所示，半圆拱的圆心距离地面2 皂，半径为
1援5 皂援一辆高3 皂，宽2援3 皂的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高
度不超过4 皂，宽为2援3 皂的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到
地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？
韵阅＝韵悦－阅悦＝（砸－7援23）（皂）援
在Rt△OAD 中，韵粤2＝粤阅2＋韵阅2，
亦
砸2＝18援512＋（砸－7援23）2，
解这个方程，得砸≈27援3援
答：赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27援3 皂援
髴弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高是指弧的中点到弦的距离援
图3-23
1援5
2
单位：皂
80
第3 章
圆的基本性质
员援已知：如图，在以点韵为圆心的两个圆中，大圆的弦粤月和小圆交于
点悦，阅援求证：粤悦＝月阅援
圆援如图，破残的轮子上，弓形的弦粤月为4 糟皂，高悦阅为1糟皂援求这个轮
子的直径长援
猿援要在直径为120 皂皂的轴上铣出宽为30 皂皂的一块平面（如图），吃
刀深度澡为多少（精确到0援1 皂皂）？
源援如图，一圆弧形钢梁的拱高为8 皂，跨径为40 皂援求这钢梁圆弧的
半径长援
缘援如图，已韵的直径悦阅垂直弦粤月于点耘，且
悦耘＝3 糟皂，阅耘＝7 糟皂援求粤月的长援
远援已知已韵的半径为5 糟皂，弦粤月椅悦阅，粤月＝
6 糟皂，悦阅＝8 糟皂. 求粤月与悦阅之间的距离援
（第1 题）
粤
悦
阅
月
韵
（第2 题）
粤
月
悦
韵
阅
（第3 题）
30
澡
（第5 题）
韵
粤
月
悦
阅
耘
（第4 题）
8
40
A
B
单位：m
81
数学
九年级上册
把圆绕圆心旋转180毅，所得的图形与原图形重合，
所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 不仅
如此，由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，因此把
圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形
重合援
顶点在圆心的角叫做圆心角（糟藻灶贼则葬造葬灶早造藻）援例如，
图3-24 中，∠晕韵晕忆就是一个圆心角援
图3-24
韵
晕
晕忆
墙上的图案用圆弧设计而成. 怎样画这个图案？
已知：如图3-25，在已韵中，∠粤韵月＝∠悦韵阅.
求证：AB
蓻＝悦阅
蓻，粤月＝悦阅.
证明
设∠A韵悦＝.
疫
∠粤韵月＝∠悦韵阅，
图3-25
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等．
如图3-25，在已韵中，已知圆心角∠粤韵月和圆心角
∠悦韵阅相等援
设计一个实验，探索两个相等的圆心角所对的两
段弧、两条弦之间有什么关系援
3·4 圆心角
82
第3 章
圆的基本性质
亦
∠B韵阅＝∠B韵C＋∠C韵D＝∠B韵C＋∠A韵B＝.
将扇形粤韵月按顺时针方向旋转
角后，点A 与点C 重合，点B 与点阅
重合. 根据圆的旋转的性质，AB
蓻与悦阅
蓻重合，弦粤月也与弦悦阅重合. 所以AB
蓻
＝悦阅
蓻，粤月＝悦阅.
如果以⊙O 的圆心O 为端点作360 条射线，把以
O 为顶点的周角360 等分，那么根据圆心角定理，这
些射线也把圆360 等分.每相邻两条射线所成的圆心
角是1毅的角，我们把1毅圆心角所对的弧叫做1毅的弧.
这样，n毅的圆心角所对的弧就是n毅的弧（图3-26）.
图3-26
韵
灶毅
灶毅弧
1毅弧
1毅
例1
用直尺和圆规把已韵（图3-27）四等分援
分析
因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，
只要把以圆心韵为顶点的周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可援
作法
如图3-28援
1援作已韵的一条直径粤月援
2援过点韵作悦阅⊥粤月，交已韵于点悦和点阅援
点粤，月，悦，阅就把已韵四等分援
图3-27
韵
图3-28
韵
粤
月
悦
阅
员援如图，在⊙O 中，∠AOB＝135毅.求AB
蓻，ACB
蓻的度数.
2援任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上
任意取一段90毅的弧.这两段弧的度数相等吗？能
说这两段弧相等吗？为什么？
（第1 题）
韵
B
A
C
83
数学
九年级上册
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图3-29，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦心距，
OF 是弦CD 的弦心距.
求证：OE＝OF.
证明
疫
∠AOB＝∠COD，
亦
AB＝CD（圆心角定理）.
疫
OE⊥AB，
亦
AE＝BE＝1
2 AB（根据什么？）.
同理，由OF⊥DC，得DF＝CF＝1
2 CD.
亦
AE＝DF.
又疫
OA＝OD，
亦
Rt△AOE≌Rt△DOF，
亦
OE＝OF.
粤
E
B
O
D
C
F
图3-29
1援已知：如图，∠1＝∠2援求证：AC
蓻＝月阅
蓻援
2援如图，等边三角形粤月悦内接于已韵援求粤月
蓻，月悦
蓻，粤悦
蓻的度数援
（第1 题）
韵
阅
悦
月
粤
1
2
（第2 题）
韵
粤
月
悦
员援如图，粤月，悦阅是已韵的两条直径援找出图中
各对相等的弧（
半圆和优弧除外），并说明
理由援
（第1 题）
悦
月
粤
阅
韵
84
第3 章
圆的基本性质
如图3-30，
∠粤韵月＝∠悦韵阅
圳粤月＝悦阅
圳韵耘＝韵云
圳粤月
蓻＝悦阅
蓻援
图3-30
韵
阅
粤
云
耘
悦
月
圆援已知：如图，粤，月，悦，阅是已韵上的点，∠1＝∠2援求证：粤悦＝月阅援
猿援如图，已韵的直径粤月垂直于弦悦阅于点耘，∠悦韵阅＝100毅援求月悦
蓻，粤阅
蓻
的度数援
源援解答节前语中的问题，并画出示意图.
5援任意画一个圆，用量角器把它三等分援
6援观察如图的图案，画法中运用了圆的几等分？
请利用圆的等分制作一幅美丽的图案援
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有
一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
我们已经知道，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦及其弦心距也分别相等援反过来，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心
角相等吗？相等的弦或弦心距所对的圆心角相等吗？画出相应图形，并说明你
的结论和理由援
渊可与你的同伴交流冤
（第3 题）
韵
悦
阅
耘
粤
月
（第2 题）
悦
月
粤
阅
韵
2
1
（第6 题）
85
数学
九年级上册
例3
如图3-31，等边三角形粤月悦内接于已韵，连结韵粤，韵月，韵悦，延长
粤韵，分别交月悦于点孕，交月悦
蓻于点阅援连结月阅，悦阅援判断四边形月阅悦韵是哪
一种特殊四边形，并给出证明.
解
四边形月阅悦韵是菱形援证明如下：
疫
粤月＝月悦＝悦粤，
亦
∠粤韵月＝∠月韵悦＝∠悦韵粤＝120毅（根据什么？），
亦
∠月韵阅＝180毅－∠粤韵月＝180毅－120毅＝60毅.
又疫
韵月＝韵阅，
亦
△BOD 是等边三角形.
同理，△COD 是等边三角形.
亦
韵月＝韵悦＝月阅＝悦阅，即四边形月阅悦韵是菱形援
图3-31
粤
月
悦
阅
韵
孕
例4
已知：如图3-32，△ABC 为等边三角形，以AB 为直径的⊙O 分
别交AC，BC 于点D，E.求证：AD
蓻＝DE
蓻＝EB
蓻.
分析
连结OD，OE.这样我们只要证明∠AOD＝∠DOE＝∠BOE，就
能得到AD
蓻＝DE
蓻＝EB
蓻.
证明
如图3-32，连结OD，OE.
在等边三角形ABC 中，∠A＝60毅.
疫
OA＝OD，
亦
△AOD 是等边三角形.
亦
∠AOD＝60毅.
同理，∠BOE＝60毅.
亦
∠DOE＝180毅－∠AOD－∠BOE
＝180毅－60毅－60毅＝60毅，
亦
∠AOD＝∠DOE＝∠BOE，
亦
AD
蓻＝DE
蓻＝EB
蓻（根据什么？）.
B
A
O
E
C
D
图3-32
（第2 题）
韵
粤
悦
阅
月
员援求半径为r 的圆的内接等边三角形的边长.
圆援已知：如图，在已韵中，粤月＝悦阅援
求证：粤阅＝月悦援
86
第3 章
圆的基本性质
员援如图，粤月是已韵的直径，韵悦⊥粤月，交已韵于点悦援判断吟粤月悦是
哪一种特殊的三角形，并说明理由援
圆援如图的齿轮有20 个齿，每两齿之间间隔相等. 相邻两齿间的圆心角
琢为多少度？如果让这样的齿轮旋转1 周，那么在旋转过程中有多
少次和原图形重合？
猿援已知：如图，粤月，阅耘是已韵的直径，悦是已韵上一点，且粤阅
蓻＝悦耘
蓻.
求证：月耘＝悦耘援
源援在一根轴的正中位置打一个正三角形孔（如图），正三角形的边长为
15 糟皂，粤月长为5 糟皂援求这根轴的直径援
缘援如图，在直径为10 糟皂的已韵中，直径粤悦与月阅所成的角∠粤韵月＝
120毅援求四边形粤月悦阅的周长和面积援
远援已知：如图，粤月，粤悦是已韵的两条弦，韵粤平分∠月粤悦援
求证：粤月
蓻＝粤悦
蓻援
（第4 题）
韵
月
粤
（第1 题）
粤
月
韵
悦
（第2 题）
（第3 题）
月
耘
悦
阅
粤
韵
（第6 题）
韵
月
悦
粤
（第5 题）
粤
月
韵
阅
悦
87
数学
九年级上册
图3-33
粤
阅
月
悦
如图3-34，量出圆周角∠月粤悦与它所对弧上的圆
心角∠月韵悦的度数，两者之间有什么关系？当点A 在
月耘悦
蓻髴上移动的过程中，∠月AC 与圆心O 有几种不同的
位置关系？量一量每次变化后∠月粤悦的度数，你发现了
什么？给出你的猜想援
图3-34
悦
月
韵
粤
耘
悦
如图3-33，∠月粤悦的顶点在圆上，它的两边都和圆相
交援像这样的角叫做圆周角（蚤灶泽糟则蚤遭藻凿葬灶早造藻）援图3-33 中
还有哪些圆周角？
悦
杂
灯塔粤
灯塔月
髴在不能确定是劣弧的情况下，一般需用三个字母来表示弧援
已知：∠月韵悦，∠月粤悦分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角援
求证：∠月粤悦＝1
2 ∠月韵悦援
分析
由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情
况，因此需分别对三类不同情况给出证明援
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3·5 圆周角
一个弓形暗礁区的形状如图所示，∠悦＝50毅援船在航行时怎样才
能避开暗礁区？
88
第3 章
圆的基本性质
证明（1）当圆心韵在圆周角∠月粤悦的一边粤月上时（图3-35），
疫
韵粤＝韵悦，
亦
∠月粤悦＝∠悦援
疫
∠月韵悦是吟韵粤悦的外角，
亦
∠月韵悦＝∠悦＋∠月粤悦＝2∠月粤悦，
亦
∠月粤悦＝1
2 ∠月韵悦援
（2）当圆心韵在圆周角∠月粤悦的内部时（图3-36），
连结粤韵并延长，交已韵于点阅援利用（1）的结果，有
∠月粤阅＝1
2 ∠月韵阅，∠阅粤悦＝1
2 ∠阅韵悦，
亦
∠月粤阅＋∠阅粤悦＝1
2（∠月韵阅＋∠阅韵悦），
即
∠月粤悦＝1
2 ∠月韵悦援
（3）当圆心韵在圆周角∠月粤悦的外部时（图3-37），
连结粤韵并延长，交已韵于点阅援利用（1）的结果，有
∠阅粤悦＝1
2 ∠阅韵悦，∠阅粤月＝1
2 ∠阅韵月，
亦
∠阅粤悦－∠阅粤月＝1
2（∠阅韵悦－∠阅韵月），
即
∠月粤悦＝1
2 ∠月韵悦援
如图3-38，若粤月是已韵的直径，则半圆粤阅月
蓻所对的圆心角是平角
∠粤韵月援根据圆周角定理，半圆粤阅月
蓻所对的圆周角∠悦
等于∠粤韵月的一半，即∠悦＝90毅援反过来，若∠悦是直
角，则∠粤韵月＝180毅，所以点粤，韵，月在一条直线上，粤月
是已韵的直径援
由此我们得到圆周角定理的一个推论：
图3-37
阅
月
悦
粤
韵
图3-36
月
韵
粤
阅
悦
韵
粤
月
悦
图3-35
粤
韵
月
悦
图3-38
阅
半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
90毅的圆周角所对的弦是直径.
89
数学
九年级上册
髴符号“
”表示角与弧的度数相等.
m
＝
员援已知一条弧所对的圆周角等于50毅，则这条弧所对的圆心角是多
少度？
圆援已知一条弧的度数为40毅. 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数援
猿援只给你一把三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？试一试援
（第3 题）
例1
如图3-39，等腰三角形ABC 的顶角∠BAC 为50毅，以腰AB 为直
径作半圆，交BC 于点D，交AC 于点E.求BD
蓻，DE
蓻和粤E
蓻的度数.
解
如图3-39，连结BE，AD.
疫
AB 是圆的直径，
亦
∠AEB＝∠ADB＝90毅（直径所对的圆周角是直角）.
疫
∠BAC＝50毅，
亦
∠ABE＝90毅－∠BAC＝90毅－50毅＝40毅.
又疫
△ABC 是等腰三角形，
亦
∠BAD＝∠CAD＝1
2 ∠BAC＝1
2 ×50毅＝25毅.
由圆周角定理，得BD
蓻＝2∠BAD＝2×25毅＝50毅，
DE
蓻＝2∠CAD＝2×25毅＝50毅，AE
蓻＝2∠ABE＝2×40毅＝80毅.
m
m
m髴
D
C
E
A
B
图3-39
90
第3 章
圆的基本性质
我们知道，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所
对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论：
员援一条弧所对的圆心角的度数为95毅援求这条弧的度数和这条弧所对
的圆周角的度数援
圆援如图，∠粤是已韵的圆周角，∠粤＝40毅援求∠韵月悦的度数援
猿援如图，在已韵中，∠粤韵悦＝140毅，∠粤悦月＝50毅援求∠月粤悦的度数援
4援如图，悦是粤月
蓻上一点，∠粤韵月＝灶毅援求∠粤悦月的度数援
5援如图，吟粤月悦是已韵的内接三角形，粤阅是已韵的直径，∠粤月悦＝50毅援
求∠悦粤阅的度数援
6援已知：如图，韵粤是已韵的半径，以韵粤为直径的已悦与已韵的弦粤月
相交于点阅援求证：粤阅＝阅月援
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所
对的弧也相等．
（第2 题）
粤
韵
月
悦
（第3 题）
韵
粤
月
悦
（第4 题）
韵
粤
月
悦
（第5 题）
粤
月
阅
悦
韵
韵
（第6 题）
悦
粤
月
阅
D
91
数学
九年级上册
如图，四边形粤月悦阅的四个顶点在已韵上援
找出图中分别与∠1，∠2，∠3 相等的角援
韵
阅
粤
月
悦
1
2
3
例2
已知：如图3-40，吟粤月悦内接于已O，∠粤CB＝2∠ABC，点D 平
分AB
蓻. 求证：粤C＝BD.
证明
如图3-40，连结CD.
疫
A阅
蓻＝月阅
蓻，
亦
∠粤CD＝∠BCD＝1
2 ∠粤CB（在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等）.
疫
∠粤BC＝1
2 ∠粤CB，
亦
∠粤BC＝∠BCD.
亦
AC
蓻＝月阅
蓻（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
亦
粤C＝BD.
下面我们来考虑节前语中的问题.
例3
如图3-41，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠悦＝
50毅援问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
分析由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎
样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角
（∠粤杂月）去考虑援船与暗礁区的相对位置可以通过
∠粤杂月与∠粤悦月的大小关系来确定援请你自己写
出求解过程援
图3-41
悦
杂
灯塔粤
灯塔月
图3-40
粤
C
B
D
O
员援求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等援
圆援已知：如图，四边形粤月悦阅的顶点都在已O 上，
月阅平分∠粤月悦，且粤月椅悦阅援求证：月悦＝悦阅援
（第2 题）
粤
月
阅
悦
韵
92
第3 章
圆的基本性质
员援如图，吟粤月悦内接于圆，粤月＝粤悦，月悦
蓻的度数为60毅援求∠月，∠悦的度数援
圆援已知：如图，粤月是已韵的直径，弦粤悦与半径韵阅平行援
求证：悦阅
蓻＝月阅
蓻援
猿援已知：如图，CD，AB 是已O 的两条弦，A阅
蓻＝月C
蓻. 求证：CD椅AB.
源援已知：如图，在已韵中，粤月＝悦阅援求证：∠粤月阅＝∠悦阅月援
缘援一个圆形人工湖如图所示，弦粤月是湖上的一座桥援已知粤月长为
员园园皂，圆周角∠悦＝45毅援求这个人工湖的直径援
远援如图，粤月是已韵的直径，
弦悦阅⊥粤月于点耘，郧是粤悦
蓻上任意一点，
连结粤阅，郧阅援找出图中和∠粤阅悦相等的角，并给出证明援
（第3 题）
韵
阅
悦
粤
月
（第4 题）
韵
阅
月
悦
粤
耘
（第5 题）
粤
月
悦
（第6 题）
韵
郧
悦
月
粤
阅
耘
（第2 题）
韵
悦
粤
阅
月
（第1 题）
粤
月
悦
93
数学
九年级上册
人们的生活离不开圆援车轮设计成圆形（图3-42），
这是因为圆周上的点到圆心的距离都相等，车子行
驶起来平稳，并且圆形的车轮滚动时摩擦力小，行驶
起来比较省力援如果把车轮做成三角形、四边形或者
椭圆，那么可以想象汽车在行驶的时候颠上颠下，谁
都难以忍受这种折腾援
数学上可以证明在周长相等的所有封闭曲线中，圆围成的面积最大援因此所
有底面周长相等、高相等的柱体容器中，圆柱形容器的容积最大援根据这个原理，
自来水管、搪瓷杯等一般都做成圆柱形援而把锅盖、碗盖（图3-43）做成圆形，这是
为了使各个方向都容易密合，使用较为方便援
有的拱形门和屋顶做成半圆形（图3-44），是因为圆
形建筑的抗压能力强援
圆还给人以和谐、匀称的观感，是一种很美的图形，
所以常被人们用来绘制各种美丽的图案（图3-45）援
你能自己发现一些圆在现实生活中应用的例子吗？
图3-42
图3-43
图3-44
图3-45
生活离不开圆
94
第3 章
圆的基本性质
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使
截面正方形的面积尽可能地大？
3·6 圆内接四边形
任意画一个圆，在圆上依次取四个点A，B，C，D，连结AB，BC，CD，
DA.用量角器量出四边形ABCD 任意一组对角的度数之和，你发现了什
么？你的同伴是否有同样的发现？
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的
内接四边形（cyclic quadrilateral），这个圆叫做四边形的外接圆（circumscribed
circle）.例如，在图3-46 中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边
形ABCD 的外接圆.
圆内接四边形有以下性质定理：
已知：如图3-46，四边形ABCD 内接于⊙O.
求证：∠A＋∠C＝180毅，∠B＋∠D＝180毅.
证明
把∠A 所对的弧记做BCD
蓻，∠C 所对的
弧记做BAD
蓻，
则∠A＝1
2 BCD
蓻，∠C＝1
2 BAD
蓻.
疫
BCD
蓻与BAD
蓻的度数之和是360毅，
亦
∠A＋∠C＝1
2 BCD
蓻＋1
2 BAD
蓻＝1
2（BCD
蓻＋BAD
蓻）＝1
2 ×360毅＝180毅.
同理可证∠B＋∠D＝180毅.
C
B
A
O
D
图3-46
m
m
m
圆内接四边形的对角互补.
95
数学
九年级上册
员援已知圆内接四边形有一个内角是50毅，求它的对角的度数.
2援若已O 的内接四边形ABCD 满足∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形
ABCD 是怎样的特殊平行四边形？
D
A
B
C
图3-47
例2
如果要把横截面直径为30 cm 的圆柱形原木锯成一根横截面为
正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15 m，
问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解
设原木的横截面为⊙O（图3-48）.要使锯出
的木材的横截面正方形ABCD 尽可能地大，正方形
ABCD 应内接于⊙O.由正方形ABCD 四个内角都是
直角，得它的两条对角线是⊙O 的两条直径，且这两条
直径互相垂直.所以只要在已O 内作两条互相垂直的
直径AC 和BD，就可以作出已O 的内接正方形ABCD.
例1
已知：如图3-47，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC
的外接圆交于点D.求证：DB＝DC.
分析
要证明DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB.根据“在同圆中，同
弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC.又根据“圆内接四边形的对角互
补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE.而已知∠DAC＝∠DAE，这
就证明了∠DBC＝∠DCB.
证明
疫
AD 是∠EAC 的平分线，
亦
∠DAC＝∠DAE.
疫
四边形ABCD 内接于圆O，
亦
∠BAD＋∠DCB＝180°（圆内接四边形的对角
互补）.
亦
∠DCB＝∠DAE（根据什么？）.
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
亦
∠DCB＝∠DBC，
亦
DB＝DC.
A
C
D
O
B
图3-48
E
O
96
第3 章
圆的基本性质
员援在圆内接四边形ABCD 中，已知∠A＝50毅，∠D－∠B＝40毅. 求∠B，
∠C，∠D 的度数.
圆援已知：如图，以等腰三角形ABC 的底边BC 为直径的已O 分别交两
腰AB，AC 于点D，E，连结DE. 求证：DE椅BC.
3援在圆内接四边形ABCD 中，ADC
蓻与ABC
蓻的比为3颐2. 求∠B，∠D 的
度数.
源援已知四边形ABCD 的内角∠A，∠B，∠C，∠D 的度数之比为3颐1颐2颐5，
判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由.
5援在圆内接四边形ABCD 中，AB
蓻，BC，
蓻CD
蓻，DA
蓻的度数之比为1颐2颐3颐4. 求
四边形ABCD 各内角的度数.
6援判断命题“
圆内接平行四边形一定是矩形” 的真假，并给出证明.
粤
E
C
B
D
（第2 题)
O
当原木的直径为30 糟皂时，粤韵＝月韵＝15 糟皂，
正方形粤月悦阅的面积为
4× 1
2 ×粤韵×月韵＝4× 1
2 ×15×15＝450（糟皂2）
＝4援50×10－2（皂2）援
所以木材的体积为4援50×10－2×15＝0援675（皂3）援
答：如图3-48，沿正方形ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面
为正方形的木材. 如果这根原木长15 皂，那么锯出木材的体积为0援675 皂3援
1援如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC＝40毅.求
∠D 的大小.
2援已知圆内接四边形ABCD 中，∠A颐∠B颐∠C＝
2颐3颐7. 求∠D 的大小.
3援任意画一个矩形，再画出它的外接圆.
B
O
A
D
C
（第1 题)
97
数学
九年级上册
我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（regular
polygon）.
根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边
形、正六边形等（图3-49）.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
图3-49
这个美丽图案的主体部分由一些多边形构成. 你发现这些多边形有
什么特别之处吗？
3·7 正多边形
例1
已知一个正多边形的内角为176.4毅，这个正多边形是几边形？有
没有内角为100毅的正多边形？
解
设正多边形的边数为n，由内角为176.4毅，得
（n-2)×180
n
＝176.4，
解得n＝100.
所以内角为176.4毅的正多边形为100 边形.
设正n 边形的内角为100毅，则(n-2)×180
n
＝100，
解得n＝4.5.
因为n 应是整数，所以不存在内角为100毅的正多边形.
98
第3 章
圆的基本性质
1援如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.
2援如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接圆.
（第2 题)
（第1 题)
我们知道，对于任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆.我们
把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正
多边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.
B
A
韵
图3-50
例2
如图3-50，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O
的内接正六边形.
分析
如图3-50，设AB 是⊙O 的内接正六边形的
一条边，连结OA，OB，则∠AOB＝60毅，所以△AOB 为
等边三角形，AB 与⊙O 的半径相等.因此，只要以⊙O
的半径为半径，从⊙O 上任取一点开始，依次在⊙O 上
截取五次，就把⊙O 六等分.也就是说，依次连结这些
分点，就得到所要求作的⊙O 的内接正六边形.
作法
如图3-51.
1. 在⊙O 上任取一点A.从点A 开始，以⊙O 的
半径为半径，在⊙O 上依次截取点B，C，D，E，F.
2. 依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.
所得的六边形ABCDEF 就是所求作的⊙O 的内
接正六边形.
很明显，AB
蓻＝BC
蓻＝CD
蓻＝DE
蓻＝EF
蓻＝60毅，
亦
FA
蓻＝360毅－5×60毅＝60毅＝AB
蓻.
所以点A，B，C，D，E，F 把⊙O 六等分，即六边形ABCDEF 是圆内接正
六边形.
B
A
F
E
D
O
C
图3-51
99
数学
九年级上册
（第5 题）
我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性援
1. 正三角形和正方形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
2. 填写下表.
3. 用命题的形式概括正n 边形的中心对称性和轴对称性，以及轴对称图
形的对称轴的条数.
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
中心对称
菁
轴对称
菁
对称轴条数
5
员援求正七边形的内角的度数.
圆援已知一个正多边形的内角是140毅，它是几边形？
3援已知正六边形ABCDEF（
如图）.
（
1）
用直尺和圆规作它的外接圆.
（
2）
求证：CF 是它的外接圆的直径.
4援如图，正五边形ABCDE 内接于已O，求∠ABD 的度数.
5援用直尺和圆规作如图图案（
尺寸大小不限）.
6援尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破
仑（1769～1821 年）也不例外.下面一道题传说是拿破仑考他的大
臣的，你想试一试吗？
只用圆规把一个圆四等分.
B
A
F
E
阅
悦
（第3 题）
（第4 题）
B
D
E
A
O
C
100
第3 章
圆的基本性质
图3-52 是荷兰著名艺术大师埃舍尔（Escher，
1898～1972 年）的一幅作品. 这幅作品由许多全等的
“骑士”既不留空隙，又不相重叠地镶嵌而成，妙不可
言.联想我们所熟悉的几何图形，如三角形、四边形、各
种正多边形等，其中哪些能镶嵌平面呢？很明显，若干
全等的四边形能镶嵌平面，如图3-53.
从图3-53 我们可以看到，一种多边形能镶嵌平面
必须满足这样一个条件：共顶点的各多边形的内角之
和等于360毅. 四边形的内角和等于360毅，因此，四边形满足能镶嵌平面的这个
必要条件.如果我们用一种正多边形来镶嵌平面，那么这种正多边形的内角度
数必须是360 的因数.所以能单独镶嵌平面的正多边形只有三种，即正三角形、
正方形、正六边形.如图3-54 就是用全等的正六边形镶嵌平面的示意图.
但如果用多种正多边形镶嵌平面，那么能镶嵌平面的正多边形组合就不止
上面所说的这几种. 如图3-55，这些美妙的图案是由多种正多边形镶嵌而成的.
你能用正方形和正八边形两种正多边形设计一幅镶嵌图吗？请试一试.
图3-55
美妙的镶嵌
图3-52
图3-53
图3-54
101
数学
九年级上册
例1
如图3-56，月酝是已韵的直径，四边形粤月酝晕是矩形，阅是已韵
上一点，阅悦⊥粤晕，与粤晕交于点悦援已知粤悦＝15 皂皂，已韵的半径砸＝30 皂皂援
求月阅
蓻的长.
解
如图3-57，连结韵阅，月阅，
则韵月＝韵阅＝30皂皂援
延长阅悦，交韵月于点耘援
在矩形粤晕酝月中，韵月⊥粤月，
又疫
悦阅⊥粤晕，
图3-56
月
粤
韵
悦
酝
晕
阅
员援已知圆的半径为10 糟皂，求：
（1）半圆的弧长.
（2）90毅圆心角所对的弧长.
（3）1毅圆心角所对的弧长.
（4）60毅圆心角所对的弧长援
圆援已知圆的半径为砸，求灶毅圆心角所对的弧长造援
（第2 题）
造
砸
灶毅
在半径为砸的圆中，灶毅的圆心角所对的弧长造的计算公式为：
我们知道，圆的周长造＝2仔砸（砸表示圆的半径）援那么能否根据圆的周长
公式推导出圆的弧长公式呢？
3·8 弧长及扇形的面积
造
灶仔砸．
国家西部大开发的标志性工程——
—西气东输工程的输
送管道西起新疆塔里木，东至上海白鹤镇，全长四千多千
米，成为横贯中国的能源传输大动脉援其中使用了成千上万
个圆弧形的弯管，你知道怎样计算这些弯管的长度吗？
102
第3 章
圆的基本性质
员援直径为100 糟皂的圆弧的度数为20毅30忆援求这条弧的长（结果精确
到0.1 糟皂）援
圆援已知半径为5 糟皂的圆弧长为5 糟皂援求这条弧所对圆心角的度数
（精确到0援1毅）援
猿援已知圆弧的度数为60毅，弧长为6仔糟皂援求圆的半径援
源援已知圆弧的长为10 仔糟皂，弧的半径为20 糟皂援求弧的度数援
亦
阅耘⊥韵月，
亦
四边形ACEB 是矩形，
亦
月耘＝粤悦＝15援
疫
韵月＝30，
亦
韵耘＝月耘，
亦
月阅＝韵阅（根据什么？）援
亦
吟韵月阅是等边三角形，
亦
∠阅韵月＝60毅，
亦
月阅
蓻＝灶仔砸
180 ＝60×仔×30
180
＝10 仔（皂皂）援
答：月阅
蓻的长为10 仔皂皂援
例2
一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2 噪皂援一辆汽车以每小时
60 噪皂的速度通过弯道，需时20 泽. 求弯道所对圆心角的度数（精确到0援1毅）援
分析
如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就
可以求出弯道所对圆心角的度数援
解
汽车在20 泽内通过的路程为造＝60
3 600 ×20＝1
3（噪皂），
由弧长公式造＝灶仔砸
180 ，得圆心角的度数为
灶＝180造
仔砸＝
180× 1
3
仔×2
＝30
仔≈9援5（度）援
答：弯道所对圆心角的度数约为9援5毅援
图3-57
粤
月
韵
阅
耘
悦
酝
晕
103
数学
九年级上册
员援已知弧的长为3 仔糟皂，弧的半径为6 糟皂援求弧的度数援
圆援已知圆的半径为17
2仔糟皂，圆心角为150毅援求这个圆心角所对的弧长援
猿援已知圆的半径为砸援设弧的度数为灶毅，当灶分别为120，90，60 时，
求弦长与弧长的比援所求的三个比中，哪一个更接近1？
源援西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管援制作
弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料援求出图中管道的
全长（中心线的长度，精确到1 糟皂）援
缘援如图，弧粤月的半径砸为30 皂，弓形的高澡为15 皂援求粤月
蓻的长援
远援如图，某田径场的最内圈周长为400皂，其中两个半圆弯道的内圈共长
200 皂，每条直道长100 皂，且每条跑道宽1 皂（共6 条跑道）援
（1）最内圈弯道半径为多少米（精确到0援1 皂）？
（2）最内圈弯道与最外圈弯道的长相差多少米（精确到0援1 皂）？
（3）相邻两圈的长度之间有什么规律？
（第4 题）
100毅砸90
造
韵
单位：糟皂
（第6 题）
100 皂
（第5 题）
澡
粤
月
砸
韵
104
第3 章
圆的基本性质
例3
如图3-59，有一把折扇和一把团扇援已知折扇的骨柄与团扇的直
径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120毅，问：
哪一把扇子扇面的面积大？
已知圆的半径为6 糟皂，求下列各扇形的面积.
（1）圆心角为90毅的扇形.
（2）圆心角为120毅的扇形.
（3）圆心角为240毅的扇形.
（4）弧长为7援2 糟皂的扇形援
如图3-58，已韵的半径为砸，∠月韵悦＝灶毅援怎样求扇形月韵悦的面积？
因为员毅圆心角的扇形的面积为圆面积的1
360 ，
即仔砸2
360 ，所以扇形月韵悦的面积为灶仔砸2
360 援由弧长公式
造＝灶仔砸
180 ，得
灶仔砸2
360 ＝灶仔砸×砸
2×180 ＝1
2 造砸援
如果扇形的半径为砸，圆心角为灶毅，扇形的弧长为造，那么扇形面积杂的
计算公式为：
图3-58
月
悦
韵
灶毅
造
杂
灶仔砸
造砸．
葬
图3-59
105
数学
九年级上册
员援已知扇形的圆心角为30毅，面积为3仔糟皂2援求扇形的半径援
圆援已知扇形的圆心角为150毅，弧长为20仔糟皂援
求扇形的面积援
猿援如图，阴影部分表示以直角三角形各边
为直径的三个半圆所围成的两个新月
形，它的面积与直角三角形的面积有什
么关系？请说明理由援
（第3 题）
悦
粤
月
解
设折扇的骨柄长为葬，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，
亦
杂折扇＝120仔·葬2
360
－120仔
360 ×
葬
2
蓸
蔀
2
＝仔
4 葬2援
而杂团扇＝仔伊
葬
2
蓸
蔀
2
＝仔
4 葬2，
所以两把扇子扇面的面积一样大援
例4
我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2援5 皂，设计流
量为12援73 皂3/泽援如果水管截面中水面面积如图3-60 所示，其中∠粤韵月＝
45毅，那么水的流速应达到每秒多少米（精确到0援01 皂/泽）？
分析
由图3-60，不难发现截面中有水部分（阴影部分）的面积是圆的
面积与空隙部分（弓形）面积之差援因此根据水的流量、截面中水面面积与
流速的关系，即可求得水的流速援
请你自己写出解题过程，并与同伴交流援
图3-60
粤
月
韵
106
第3 章
圆的基本性质
员援已知圆的半径为18 糟皂，扇形的圆心角为135毅援求扇形的面积援
圆援一扇形的半径等于已知圆的半径的2 倍，且它的面积等于该已知圆
的面积援求这一扇形的圆心角援
猿援已知一个扇形的面积为12仔糟皂2，圆心
角为216毅援求它的弧长援
源援如图，水平放置的圆柱形排水管的截面
半径为12 糟皂，截面中有水部分弓形的
高为6 糟皂援求截面中有水部分弓形的面
积（精确到1 糟皂2）援
缘援如图，在矩形粤月悦阅中，粤阅＝2粤月＝2援以月为圆心，月粤为半径作圆
弧，交悦月的延长线于点耘，连结阅耘援求图中阴影部分的面积援
远援如图，扇形粤韵月的圆心角为直角，边长为1 的正方形韵悦阅耘的顶
点悦，耘，阅分别在韵粤，韵月，粤月
蓻上援过点粤作粤云⊥耘阅，交耘阅的延
长线于点云援求图中阴影部分的面积援
（第4 题）
韵
粤
月
6糟皂
（第5 题）
耘
月
悦
粤
阅
（第6 题）
阅
云
耘
月
粤
悦
韵
107
数学
九年级上册
只用一张长方形的纸片，能作出一个正方形吗？
例如，把长方形纸按图3-61 折叠，摊开、铺平后，折痕ABCD 即构成一
个正方形. 通过折痕来构造图形的基本原理是：叠合可以产生全等图形，由
此就能得到一些相等的角和相等的边，为所要构造的图形提供合适的条件.
C
B
D
A
图3-61
当要折出的图形是正多边形时，如何产生各条相等的边和各个相等内
角，是我们寻找折叠方法的主要出发点.
下面我们再看一例：用一张正方形纸折出一个正三角形.
分析：如图3-62. 如果把正方形纸的一边（AB）作为
要折的正三角形的一条边，那么只要通过适当的折叠，使
边AD，BC 成为正三角形的另外两条边. 根据正三角形和
正方形的轴对称性，我们可以先对折正方形，得到AB 的
垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C 折到AB 的垂直平
分线上. 折叠后点D 与点C 重合，记为点O. 很明显，
吟ABO 是等边三角形. 这样，只要沿AO，BO 各折一次，两条折痕与边AB 就
构成了一个正三角形. 请动手折一折.
试一试：
（1）用一张正三角形纸折出一个正六边形.
（2）用一张正方形纸折出一个正八边形.
图3-62
C
A
B
D
O
数学
九年级上册
108
第3 章
圆的基本性质
填空．
1援在同一平面内，线段韵孕绕它固定
的一个端点韵旋转一周，
所经过的封闭曲线叫做圆，定点韵叫做
，线段韵孕叫做
援
2援如果孕是圆所在平面内的一点，凿
表示孕到圆心的距离，则表示圆的半径，那
么就有：凿＜则圳点孕在圆
；
凿
则圳点
孕在圆上；
凿＞则圳点
孕在圆
援
3援
的三个点确
定一个圆援
4援三角形的外心是三角形三条边的
的交点.
5援由一个图形变为另一个图形，在运
动的过程中，原图形上的所有点都绕一个
固定的点，按
转动
，这样
的图形运动叫做图形的
.
图形经过旋转所得的图形和原图形全
等. 对应点到
的距离相等. 任何一对
对应点与旋转中心连线所成的角度等于
.
6援垂径定理：垂直于弦的直径
这条弦，并且平分弦
援
平分弦（不是直径）的直径
，
并且
弦所对的弧援
平分弧的
垂直平分弧所对的弦援
7援圆心角定理：在同圆或等圆中，相
等的圆心角所对的
相等，所对
的
相等援
在同圆或等圆中，如果
、
、
、
中有一
对量相等，那么它们所对应的其余各对量
都相等援
8援圆周角定理：圆周角的度数等于它
所对弧上的
的一半援
半圆（或直径）所对的圆周角是
；
90毅的圆周角所对的弦是
援
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等；
的圆周角所对的弧也
相等援
9援圆内接四边形的对角
.
10.
相等、各
也相
等的多边形叫做正多边形. 任何正多边形
都有一个
圆.
11援在半径为砸的圆中，灶毅的圆心角
所对的弧长的计算公式为：造＝
援
如果扇形的半径为砸，圆心角为灶毅，
扇形的弧长为造，那么扇形面积的计算公
式为：
杂扇形＝
＝
援
填表.
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
过不在同一直线
上的三点作圆
利用圆的有关性
质，进行简单的论
证和计算
计算弧长和扇形
的面积
109
数学
九年级上册
荫理解圆及其有关概念，探索并了解点与圆的位置关系援
荫理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，了解三角形的外心援
荫会过不在同一直线上的三点作圆援
员援如图，粤，月，悦是已韵上的三点援写出图中的三条弦和每一条弦所对
的弧援
圆援如图，AB，AC 为已韵的两条弦援作已韵，并在已韵上找一点阅，使它
到粤，月两点的距离相等援
猿援已知等边三角形粤月悦（如图）援
（1）用直尺和圆规作吟粤月悦的外接圆.
（2）若粤月＝4
3
姨
糟皂，求吟粤月悦的外接圆半径援
荫认识图形的旋转.
荫理解图形的旋转的性质，会按要求作出简单平面图形经过旋转所得
的图形.
4援如图，C 为线段AB 的中点，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时
针方向旋转180毅.作出经旋转后的图形，并标出点C 的对应点.
5援已知等边三角形ABC（如图）.
（1）以点A 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转30毅，作出旋
转后的图形援
（2）经第（1）题旋转所得的图形与△ABC 之间有没有互相垂直的
边？证明你的判断援
3援1 节
3援2 节
A
C
B
O
（第4 题）
A
（第5 题）
B
C
（第1 题）
粤
月
悦
韵
（第3 题）
粤
月
悦
（第2 题）
粤
月
悦
110
第3 章
圆的基本性质
粤
月
阅
悦
耘
韵
（第8 题）
3援3 节
3援4 节3援5 节
荫探索圆的性质，包括圆的轴对称性、中心对称性，以及圆绕圆心旋转
的特有性质援
荫探索并证明垂径定理.
荫探索圆心角定理、圆周角定理，包括它们的逆定理和推论援
6援已知粤，月，悦为已韵上顺次三点，且∠粤韵悦＝150毅. 求∠粤月悦的度数援
7援已知已韵的直径粤月为6 糟皂，弦粤悦与粤月的交角为30毅. 求弦月悦
的长及弦粤悦的弦心距援
8援如图，粤悦是已韵的直径，弦月阅垂直平分粤韵，
耘为垂足援
（1）求四边形粤月悦阅的各个内角的度数.
（2）找出图中度数为30毅的所有的角.
（3）若月阅＝2 糟皂，求弓形月粤阅的高粤耘援
9援已知半径为10 的已韵中，粤月，悦阅是已韵的
两条平行的弦援若粤月＝8，悦阅＝10，求粤月，悦阅
之间的距离援
10援如图为一个门锁的部分设计图，求粤月
蓻所在圆的半径（精确到0援1皂皂）援
11援已知：如图，粤月是已韵的直径，韵悦⊥粤月，阅是悦韵的中点，阅耘椅粤月.
求证：耘悦
蓻＝2耘粤
蓻援
员2援已知：如图，在已韵中，粤月＝悦阅，粤月与悦阅相交于点酝援
求证：粤酝＝阅酝援
（第10 题）
（第11 题）
粤
韵
月
耘
阅
悦
20
1援5
单位：皂皂
粤
月
粤
悦
酝
月
阅
韵
（第12 题）
111
数学
九年级上册
3援6 节3援7 节
荫了解圆内接四边形和四边形的外接圆的定义.
荫掌握圆内接四边形的对角互补.
荫了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
荫会用直尺和圆规作圆的内接正方形和正六边形.
员3援已知四边形ABCD 内接于⊙O，AD
蓻＝72毅，CD
蓻＝80毅，AB
蓻＝100毅.求
四边形ABCD 各个内角的度数.
员4援求正十五边形的内角度数.
员5援已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，G 是AC
蓻上一点，
AG，DC 的延长线交于点F.求证：∠FGC＝∠AGD.
员6援已知：如图，连结正五边形ABCDE 各条对角线，就得到一个五角
星图案.
（
1）
求五角星的各个顶角（
如∠ADB）的度数.
（
2）
求证：五边形MNLHK 是正五边形.
员7援利用圆的等分作图：
（1）用直尺和圆规作一个正六边形.
（2）发挥你的创造性和想象力，设计一幅美
丽的图案援
18援已知：如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，
AC，EC 分别交BD 于点H，G.求证：点H，G
三等分BD.
荫会计算圆的弧长和扇形的面积.
19援已知圆心角为120毅的扇形的面积为12仔，则扇形的弧长为（
）
（
A）
4.
（
B）
2.
（
C）
4仔.
（
D）
2仔.
D
E
C
B
A
（第16 题）
N
M
H
L
K
（第15 题）
F
A
G
O
D
C
B
E
C
E
D
G
O
F
A
H
B
（第18 题）
3援8 节
112
第3 章
圆的基本性质
20援如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1 000 mm，两直管道的
长度都为2 000 mm.求图中管道的展直长度（
即图中虚线所表示的
中心线的长度，精确到1 mm）.
21援如图，C，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm.求阴影
部分的面积.
荫会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.
22援如图袁以两条互相垂直的交通主干线l1，l2 为坐标轴，建立直角坐
标系.在一次地震应急模拟中，预测震中将位于点A（
1，1）处，地震
影响范围的半径为200 千米.根据该模拟预测，问：这两条交通线
上的下列城市会受到地震的影响吗？
请说明理由.
B（
2，0），C（
2.9，0），D（
－0援5，0），E（
0，－1），F（
0，2援7），G（
0，－0援7）.
23援一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改
为一个圆弧形的门洞，
圆弧所在的圆外接
于矩形，如图.已知矩形的高为2 m，宽为
2
3
3
摇姨
m.求要打掉墙体的面积（
结果精确
到0援01m2）.
（第21 题）
粤
韵
月
阅
悦
（第20 题）
2 000
砸1 000
2 000
单位：皂皂
（第22 题）
粤（1，1）
l2（百千米）
l1（百千米）
1
2
韵
－1
－2
1
2
－1
－2
（第23 题）
113
第4 章
相似三角形
黄金分割被称为是“最美丽”的几何比率，应用于建筑、绘画、雕
刻等各个领域援自然界中也有很多例子，如蝴蝶身长与双翅展开后
的长度之比约为园援远员愿援那么黄金分割究竟是怎样一种分割？黄金比
又是怎样计算的呢？
屋架跨度的一半韵孕长为缘米熏高度韵匝为圆援圆缘米援现要在屋顶上
开一个天窗，其高度粤悦为员援圆米，粤月在水平位置援你能求出粤月的长
度吗？
本章我们将学习比例线段，相似三角形，相似多边形和图形的位
似援通过本章的学习，我们就能解决上述问题援
粤
月
匝
孕
悦
韵
数学
九年级上册
髴本套教科书中比例式的字母都约定取值不为0援
我们知道，如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成
比例援通常我们把葬，遭，糟，凿四个实数成比例表示成葬颐遭＝糟颐凿，或葬
遭＝糟
凿，其
中遭，糟称为内项，葬，凿称为外项援
1援分别计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.
（1）0援3
2 ＝0援6
4 .
（2）
2
姨
6
姨
＝
1
3
姨
援
2援利用等式的性质，能从葬
遭＝糟
凿推
导
出
葬凿＝遭糟吗？反过来呢？
美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0援618援许多美
的图案都与0援618 这个比值有关援你知道0援618 这个比值的来
历吗？
4·1 比例线段
例1
根据下列条件，求葬颐遭的值援
（1）2葬＝3遭.
（2）葬
5 ＝遭
4 援
解（1）2葬＝3遭圯葬颐遭＝3 颐2，即葬颐遭＝3
2 援
（2）葬
5 ＝遭
4 圯4葬＝5遭圯葬
遭＝5
4 援
葬
遭
糟
凿
葬凿
遭糟（葬，遭，糟，凿都不为0髴）.
比例有如下基本性质：
116
第4 章
相似三角形
员援下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式．
（1）3，－9，－2，6.
（2）
12
姨
，
6
姨
，10
姨
，
5
姨
.
（3）3，
3
姨
，
2
姨
，2．
员援求下列比例式中的曾援
（1）4 颐3＝5 颐曾.
（2）曾
3 ＝曾－1
2
援
圆援已知葬
遭＝3
4 ，求葬＋遭
遭
的值援
猿援已知葬遭＝糟凿，写出有关葬，遭，糟，凿成立的比例式（至少写出4 个）援
例2
已知葬
遭＝糟
凿，判断下列比例式是否成立，并说明理由援
（1）葬＋遭
遭
＝糟＋凿
凿
.
（2）葬
遭＝葬＋糟
遭＋凿（遭＋凿≠0）援
解（1）比例式成立援理由如下：
疫
葬
遭＝糟
凿，
两边同加上1，得
葬
遭＋1＝糟
凿＋1，即葬＋遭
遭
＝糟＋凿
凿
援
（2）比例式成立援理由如下：
设葬
遭＝糟
凿＝噪，则葬＝遭噪，糟＝凿噪援
疫
遭＋凿≠0，
亦
葬＋糟
遭＋凿＝遭噪＋凿噪
遭＋凿＝噪，
亦
葬
遭＝葬＋糟
遭＋凿援
117
数学
九年级上册
粤
月
粤忆
悦
韵
悦忆
月忆
1
1
图4-1
两条线段的长度的比叫做这两条线段的比. 如图4-1，线段OC＝2，
OC忆＝4，线段OC与OC忆的比是2 颐4＝1
2 ，记做OC
OC忆
＝1
2 ；线段AB＝
2
摇姨
，
A忆B忆＝2
2
摇姨
，线段AB与A忆B忆的比是
2
摇姨
颐2
2
摇姨
＝1
2 ，
记做AB
A忆B忆＝1
2 .
由图4-1我们还可以看到，线段OC与OC忆的比和线
段AB与A忆B忆的比相等，也就是OC
OC忆＝AB
A忆B忆.
圆援求下列各式中的曾.
（1）3 颐曾＝6 颐12.
（2）曾－1
曾
＝曾－2
曾＋1 ．
猿援根据下列条件，求曾与赠的比.
（1）2曾
3 ＝3赠
2 .
（2）曾－2赠
赠
＝2
5 ．
源援已知葬
遭＝3
2 ，求下列算式的值.
（1）葬－遭
遭
.
（2）2葬－遭
葬＋2遭.
缘援如图，两块矩形绿地的一组邻边的长分别为葬，遭和糟，凿．已知这
两块绿地的面积相等，写出关于葬，遭，糟，凿的一个比例式．
远援已知葬颐遭＝糟颐凿，且b≠d.判断下列比例式是否成立，并说明理由．
（1）葬颐糟＝遭颐凿.
（2）葬
遭＝葬－糟
遭－凿．
（第5 题）
糟
凿
葬
遭
118
第4 章
相似三角形
例3
如图4-2，在砸贼吟粤月悦中，悦阅是斜边粤月上的高线援找出一组比
例线段，并说明理由援
分析根据葬凿＝遭糟圳葬
遭＝糟
凿，问题可转化为找出四条线段，使其中两
条线段的乘积等于另两条线段的乘积援
解
记砸贼吟粤月悦的面积为杂，则
粤悦·月悦＝2杂，悦阅·粤月＝2杂，
亦
粤悦·月悦＝悦阅·粤月，
亦
粤悦
悦阅＝粤月
月悦，
亦
粤悦，悦阅，粤月，月悦是一组比例线段援
台南
图4-3
台北基隆
台中
高雄
比例尺1颐9 000 000
北
例4
图4-3 表示我国台湾省几个城市的位置关系援问：基隆市在高
雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少千米？
解
如图4-3，量出高雄市到基隆市的图上距离约35 皂皂援
设实际距离为泽，则35
泽＝
1
9 000 000 ，
亦
泽＝35×9 000 000＝315 000 000（皂皂），
即
泽＝315（噪皂）援
量得图中∠＝28毅援
答：基隆市在高雄市的北偏东28毅方向，到高雄
市的实际距离约为315 噪皂援
粤
图4-2
阅
月
悦
找出图4-1 中三组比例线段，并分别写出比例式援
一般地，四条线段葬，遭，糟，凿中，如果葬与遭的比等于
糟与凿的比，即葬
遭＝糟
凿，那么这四条线段葬，遭，糟，凿叫做
成比例线段，简称比例线段（责则燥责燥则贼蚤燥灶葬造泽藻早皂藻灶贼泽）援例
如，在图4-1 中，韵悦，韵悦忆，粤月，粤忆月忆是比例线段援
求两条线段的
比必须选定同一长
度单位，但比值与单
位的大小无关.
119
数学
九年级上册
员援如图，在砸贼△粤月悦中，∠C＝Rt∠，∠粤＝30毅援求：
（1）月悦
粤月.
（2）粤悦
粤月．
圆援根据图4-3，求台中在台北的什么方向，到台北的
实际距离是多少千米．
猿援在如图三个长方形中，哪两个长方形的长和宽是比例线段？
源援如图，在荀粤月悦阅中，阅耘⊥粤月，阅云⊥月悦援找出
图中的一组比例线段（小写字母表示相应线
段），并说明理由．
缘援如图，阅耘是吟粤月悦的中位线援请尽可能多地
写出比例线段援对每一组比例线段，写出一
个比例式（至少要写出两组）援
粤
（第4 题）
耘
月
葬
糟
凿
遭
悦
阅
云
（第5 题）
月
悦
阅
耘
粤
（第3 题）
4
8
6
8
6
4援5
员援如图，月悦
粤月＝
，月悦
粤悦＝
援
圆援如图是一块含45毅角的三角尺援
（1）求图中粤月，月悦，悦粤三条边的长度之比.
（2）判断线段粤月，粤悦，粤忆月忆，粤忆悦忆是否成比例，并说明理由援
粤
月
悦
（第1 题）
（第1 题）
月
悦
粤
（第2 题）
粤
月
粤忆
月忆
悦忆
悦
120
第4 章
相似三角形
粤
孕
月
图4-5
已知a＝2
2
摇姨
，b＝2
3
摇姨
，c＝
18
摇姨
，算一算，b2＝ac 成立吗？a，b，b，c
这四个数是否成比例？再写出三个数，使它们满足葬
遭＝遭
糟的条件.
（请与你的同伴交流）
一般地，如果三个数葬，遭，糟满足比例式葬
遭＝遭
糟（或葬颐遭=遭颐糟），那么遭就
叫做葬，糟的比例中项援
员援1 是不是1 1
2 和2
3 的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式援
圆援已知线段葬＝3，遭＝27，求葬，遭的比例中项线段援
图4-4 是意大利著名画家达·芬奇（d葬
灾蚤灶糟蚤，1452～1519 年）的名画《蒙娜丽莎》援画
面中脸部被围在矩形粤月悦阅内，图中四边形
月悦耘云为正方形援量一量点云到点粤，月的距离援
云粤
月云与月云
粤月相等吗？
如图4-5，如果点孕把线段粤月分成两条线
段粤孕和孕月，使AP＞PB，且孕月
粤孕＝粤孕
粤月，那么称
线段粤月被点孕黄金分割（早燥造凿藻灶泽藻糟贼蚤燥灶），点孕
叫做线段粤月的黄金分割点，所分成的较长一条线段粤孕与整条线段粤月的
比叫做黄金比（早燥造凿藻灶ratio）援例如，图4-4 中，AF
BF ＝BF
粤月，它们都是黄金比，
又因为BC＝BF，所以矩形粤月悦阅的宽与长之比也是黄金比援
粤
阅
云
耘
月
悦
图4-4
b
ac
葬
遭
b
c .
121
数学
九年级上册
古代希腊的帕特农神庙
图4-6
应用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值援
如图4-5，设粤孕
粤月＝曾，则孕月＝粤月－粤孕＝粤月－粤月·曾援
由孕月
粤孕＝粤孕
粤月，得粤月－粤月·曾
粤月·曾
＝粤月·曾
粤月，即1－曾
曾
＝曾
1 援
化简，得曾2＋曾－1＝0援
解得曾1＝
5
姨
－1
2
，曾2＝－1－
5
姨
2
（不合题意，舍去）援
所以粤孕
粤月＝
5
姨
－1
2
≈0援618援
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”
的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等
方面援图4-6 中所示的框住古希腊神庙图形
的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比.
有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割
的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的
长度之比接近黄金比的近似值0援618援
例5
如图4-7，已知线段粤月＝
5
姨
＋1
2
，点孕是它的黄金分割点，
粤孕＞P月. 求粤孕，BP 的长援
解
因为点孕是线段AB 的黄金分割点，
且粤孕＞P月，
亦
粤孕
粤月＝
5
姨
－1
2
，
亦
粤P＝
5
姨
－1
2
粤月＝
5
姨
－1
2
×
5
姨
＋1
2
＝1，
BP＝粤月－粤孕＝
5
姨
＋1
2
－1＝
5
姨
－1
2
.
粤
月
图4-7
P
122
第4 章
相似三角形
（第4 题）
员援求下列各组线段葬，遭的比例中项线段.
（1）葬＝
3
姨
，遭＝3
3
姨
.
（2）葬＝
3
姨
－1
2
，遭＝
3
姨
＋1
2
援
圆援已知点孕是线段粤月的黄金分割点，粤孕＞孕月，求：
（1）粤孕
孕月
（精确到0.1）.
（2）若粤月＝2，求孕月援
员援求线段葬，遭的比例中项线段.
（1）葬＝4援5，遭＝2.
（2）葬＝
2
姨
－1，遭＝
2
姨
＋1援
圆援如图，悦是线段粤月的黄金分割点，粤悦＞月悦.写出
黄金分割的比例式，指出其中的比例中项．
猿援一本书的宽与长之比为黄金比援已知它的宽为
14 糟皂，求它的长（精确到0郾1 糟皂）.
4援有些植物茎上相邻两片叶子成137毅28忆的角，这
种角度使植物通风和采光的效果最佳．这一度
数与怎样的角的度数成黄金比？
5援1颐
2
姨
也是一个很有趣的比援已知线段粤月（
如图），用直尺和圆规作
粤月上的一点孕，使粤孕颐粤月＝1颐
2
姨
．
（第2 题）
粤
悦
月
（第3 题）
（第2 题）
粤
孕
月
（第5 题）
粤
月
123
数学
九年级上册
1.观察有横格线的练习簿页（图4-8），这些横格线有什么特征？在
图4-8 中任意画几条直线，使之与横格线相交.这些横格线在每一条所画
的直线上截得的线段有什么规律？
2. 观察图4-9.l1，l2，l3，l4，l5 是一组等距离的平行线.AE 与A忆E忆是任
意画的两条直线，分别与这组平行线依次相交于点A，B，C，D，E 和A忆，
B忆，C忆，D忆，E忆.比例式AB
BC ＝A忆B忆
B忆C忆成立吗？AB
BD ＝A忆B忆
B忆D忆呢？AB
A忆B忆＝BD
B忆D忆呢？
为什么？你还能再找出两组比例线段吗？
图4-8
粤
B
C
D
E
A忆
B忆
C忆
D忆
E忆
l1
l2
l3
l4
l5
图4-9
你能用直尺和圆规把一条线段三等分吗？
两条直线被一组平行线（
不
少
于
3 条
）所截，所得的对应线段成比例.
我们有以下的基本事实：
4·2 由平行线截得的比例线段
124
第4 章
相似三角形
B
E
D
A
F
C
l3
l2
l1
图4-10
B4
B2
B1
B3
B
A
A1
A2
A3
A4
A5
图4-11
l
把线段AB 分成
AC，CB 两条线段，并
使AC 颐CB＝2 颐3，可
怎么作？
例2
已知线段AB（图4-11）.把线段AB 五等分.
作法
如图4-11.
1. 以A 为端点作一条射线，并在射线上依
次截取线段AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5.
2. 连结A5 B，并过点A1，A2，A3，A4 分别作
A5B 的平行线，依次交AB 于点B1，B2，B3，B4.
点B1，B2，B3，B4 就是所求作的把线段AB 五等分的点.
事实上，我们只要过点A 作一条与A5B 平行的直线l（图4-11），就可
以根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事
实，得到：
AB1
AA1
＝B1B2
A1A2
＝B2B3
A2 A3
＝B3 B4
A3 A4
＝B4 B
A4 A5
.
而AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，
亦
AB1＝B1 B2＝B2B3＝B3B4＝B4B，
这就证明了点B1，B2，B3，B4 是所求作的五等
分的分点.
例1
如图4-10，直线l1椅l2椅l3，直线AC 分别交l1，l2，l3 于点A，B，C；
直线DF 分别交l1，l2，l3 于点D，E，F.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC
的长.
解
疫
l1椅l2椅l3，
亦
AC
AB ＝DF
DE（两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例），
亦
AC
4 ＝3＋6
3
，
解得AC＝12.
125
数学
九年级上册
A
G
F
C
D
B
E
（第5 题）
员援如图，直线l1椅l2椅l3，直线AC 交l1，l2，l3 于点A，B，C；直线DF 交
l1，l2，l3 于点D，E，F.已知AB
BC ＝4
3
，求
DE
DF
.
2援如图，AB 与CD 相交于点E，AD椅BC，BE
AE ＝3
4 ，CE＝2.求CD 的长.
3援把已知线段a（
如图）
三等分.
4援已知线段a（
如图），把它分成3 颐4 的两条
线段.
5援已知：如图，在吟ABC 中，D 为BC 上一点，
EG椅BC，分别交AB，AD，AC 于点E，F，G.
求证：
AE颐AF颐AG＝BE颐DF颐CG.
月
A
D
E
F
C
l3
l2
l1
（第1 题）
C
B
E
阅
粤
（第2 题）
a
（第3 题）
员援如图，AB椅CD椅MN，点M，N 分别在线段AD，BC 上.写出成比例
线段和相应的比例式.
圆援已知线段a（如图），把它六等分.
3援如图，在△ABC 中，DE椅BC，AD＝EC，BD＝4，AE＝3.求AB 的长.
（第1 题）
月
A
C
D
耘
粤
悦
月
阅
（第3 题）
a
（第4 题）
a
（第2 题）
M
N
126
第4 章
相似三角形
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（泽蚤皂蚤造葬则
贼则蚤葬灶早造藻）援相似三角形对应边的比叫做相似比（泽蚤皂蚤造葬则ity ratio）援
相似用符号“
”表示，读做“相似于”援如图4-12，∠粤忆＝∠粤，∠月忆＝∠月，
∠悦忆＝∠悦，粤忆月忆
粤月＝月忆悦忆
月悦＝粤忆悦忆
粤悦，所以吟粤忆月忆悦忆与吟粤月悦相似，记做“吟粤忆月忆悦忆
吟粤月悦”
髴援吟粤忆月忆悦忆与吟粤月悦的相似比是粤忆月忆
粤月（或月忆悦忆
月悦，粤忆悦忆
粤悦）.
量一量图4-12 中吟粤月悦与吟粤忆月忆悦忆各
内角的度数，这两个三角形各内角之间有什
么关系？再算一算吟粤月悦与吟粤忆月忆悦忆各条边
的长，这两个三角形的边之间有什么关系？
有些奇妙的曲线与相似三角形有着密切的联系援
4·3 相似三角形
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
根据相似三角形的定义，可得到下面的性质：
髴在本套教材中，当用符号“∽”表示两个三角形相似时都把对应顶点字母写在对应位置上.
图4-12
月
悦
粤
悦忆
粤忆
月忆
127
数学
九年级上册
例1
已知：如图4-13，阅，耘分别是粤月，粤悦边的中点援
求证：吟粤阅耘
吟粤月悦援
证明
疫
阅，耘分别是粤月，粤悦的中点，
亦
阅耘椅月悦，阅耘＝1
2 月悦援
亦
∠粤阅耘＝∠月，∠粤耘阅＝∠悦援
在吟粤阅耘和吟粤月悦中，
∠粤阅耘＝∠月，∠粤耘阅＝∠悦，∠粤＝∠粤
阅耘
月悦＝粤阅
粤月＝粤耘
粤悦＝1
2
伤
赏
设
设
商设
设
圯吟粤阅耘
吟粤月悦（相似三角形的定义）.
1. 如图，阅，耘分别是吟粤月悦的两条边上的点，吟粤阅耘与吟粤月悦相似援
根据以下两个不同的图形，分别写出吟粤阅耘与吟粤月悦的对应角，以
及对应边成比例的比例式援
（1）
（2）
2. 两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是
多少？
（第1 题）
粤
耘
阅
月
悦
粤
阅
耘
月
悦
粤
耘
阅
月
悦
图4-13
例2
如图4-14，阅，耘分别是吟粤月悦的粤月，粤悦边上的点，吟粤月悦
吟粤阅耘援已知粤D颐DB＝1颐2，月悦＝9 糟皂，求阅耘的长援
解
疫
吟粤月悦
吟粤阅耘，
亦
阅耘
月悦＝粤阅
粤月（相似三角形的对应边成比例）.
128
第4 章
相似三角形
员援已知吟粤月悦
吟孕匝砸，且吟粤月悦与吟孕匝砸的相似比是2
5 ，则
粤月
孕匝＝
，匝砸
月悦＝
援
员援如图，阅是粤月上的一点，吟粤月悦
吟粤悦阅，且粤阅颐粤悦＝2 颐3，
∠粤阅悦＝65毅，∠月＝37毅援
（1）求∠粤悦月，∠粤悦阅的度数.
（2）写出吟粤月悦与吟粤悦阅的对应边成比例的比例式，并说出相
似比.
圆援如图，粤月，悦阅相交于点韵，吟粤韵悦
吟月韵阅援
（1）若韵悦颐韵阅＝1颐2，粤悦＝5，求月阅的长.
（2）若∠粤＝35毅，∠粤韵悦＝100毅，求∠阅的度数援
猿援如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似
吗？为什么？
粤
阅
月
悦
（第1 题）
（第2 题）
粤
韵
月
悦
阅
疫
粤阅
阅月＝1
2 ，
亦
粤阅
粤月＝1
3 ，
亦
阅耘
月悦＝1
3 ，即阅耘
9 ＝1
3 ，
亦
阅耘＝1×9
3
＝3（糟皂）援
答：阅耘的长为3 糟皂援
图4-14
粤
阅
月
悦
耘
129
数学
九年级上册
圆援如图，吟粤月悦与吟粤忆月忆悦忆是相似三角形援
（1）用符号表示图中两个相似三角形.
（2）写出各对对应角.
（3）写出对应边成比例的比例式，并求出
吟粤月悦与吟粤忆月忆悦忆的相似比援
猿援如图，阅，耘分别是粤月，粤悦上的点，吟粤阅耘
吟粤月悦，相似比是2
5 援
（1）若阅耘＝4 糟皂，求月悦的长援
（2）若粤耘＝7 糟皂，求耘悦的长援
源援在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a 表示已知数. 试分别
确定
，曾的值援
（1）
（2）
缘援如图，吟粤月悦
吟粤悦阅，点阅在粤月上援已知粤悦＝3 糟皂，粤阅＝2 糟皂援
求粤月的长援
远援已知：如图，在砸贼吟粤月悦中，∠ACB＝砸贼∠，粤C＝BC，CD⊥AB 于点D.
求证：吟粤悦D
吟粤月悦援
（第2 题）
粤
月
悦
粤忆
月忆
悦忆
粤
（第3 题）
月
悦
耘
阅
（第5 题）
粤
悦
月
阅
70毅
粤
月
悦
65毅
阅
5
70毅
韵
曾
3
a
（第4（2）题）
110毅
40毅
粤忆
月忆
悦忆
12
a
曾
粤
月
悦
30毅
110毅
2a
18
（第4（1）题）
（第6 题）
B
A
悦
D
130
第4 章
相似三角形
判定三角形相似的预备定理：
根据上述预备定理，我们可以得到以下三角形相似的判定定理：
下面给出证明.
已知：如图4-16，在△ABC 与△A忆B忆C忆中，∠A＝∠A忆，∠B＝∠B忆.
求证：△ABC∽△A忆B忆C忆.
证明
如图4-16，在A忆B忆上截取
A忆D＝AB，作DE椅B忆C忆，交A忆C忆于点E，
则△A忆DE∽△A忆B忆C忆（平行于三角形一
边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似）.
又疫
∠A＝∠A忆，∠B＝∠B忆＝∠A忆DE，
亦
△ABC≌△A忆DE，
亦
△ABC∽△A忆B忆C忆.
1. 如图4-15，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC
上的点，DE椅BC.△ADE 与△ABC 相似吗？
2. 回顾判定两个三角形全等的条件，相应的,猜
想判定两个三角形相似有哪些条件？
图4-15
月
粤
阅
耘
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似.
4·4 两个三角形相似的判定
怎样运用三角形的相似测量河的宽度？
粤
月
悦
月忆
粤忆
悦忆
图4-16
阅
耘
有两个角对应相等的两个三角形相似.
悦
131
数学
九年级上册
例1
在一次数学活动课上，为了测量河宽粤月，小聪采用如下方法
（图4-17）：从粤处沿与粤月垂直的直线方向走45 皂到达悦处，插一根标
杆，然后沿同方向继续走15 皂到达阅处，再右转90毅走到耘处，使月，悦，耘
三点恰好在一条直线上援量得阅耘＝20 皂，这样就可以求出河宽粤月援请你说
明理由，并算出结果援
解
疫
粤月⊥粤阅，阅耘⊥粤阅，
亦
∠月粤悦＝∠耘阅悦＝砸贼∠援
又疫
∠粤悦月＝∠阅悦耘，
亦
吟粤月悦∽吟阅耘悦（有两个角对应相
等的两个三角形相似），
亦
粤悦
悦阅＝粤月
阅耘援
疫
粤悦＝45，悦阅＝15，阅耘＝20，
亦
45
15＝粤月
20 ，
亦
粤月＝45×20
15
＝60（皂）援
答：河宽粤月是60 皂援
图4-17
粤
悦
阅
耘
月
员援能否判定如图吟粤月悦与吟粤忆月忆悦忆相似？为什么？
圆援如图，点D，E，F 分别在吟ABC 的各条边上，且
阅耘椅月悦，阅云椅粤悦援请尽可能多地找出图中的
相似三角形，并说明理由援
（第2 题）
悦
月
粤
阅
耘
云
（第1 题）
月
粤
悦
悦忆
月忆
粤忆
105毅
35毅
40毅
105毅
132
第4 章
相似三角形
员援如图，已知耘云椅悦阅椅粤月，写出图中的相似三角形援
圆援如图，在吟粤月悦中，∠粤悦月＝砸贼∠，悦阅⊥粤月于点阅援试写出图中的
相似三角形援
猿援如图，已知∠粤悦月＝∠悦阅月＝砸贼∠援图中这两个三角形相似吗？如果
你认为相似，请说明理由；如果你认为不一定相似，请添加一个条件，
使这两个三角形一定相似援
源援已知：如图，在已韵中，弦粤月与弦悦阅交于
点孕援
（1）求证：吟粤阅孕
吟悦月孕.
（2）判断粤孕·月孕＝阅孕·悦孕是否成立，并给
出证明援
缘援如图，等腰三角形粤月悦的顶角∠粤＝36毅，月阅是∠粤月悦的平分线.
判断点阅是不是线段粤悦的黄金分割点，并说明理由援
远援小明和他的同学用如图方法测量一幢楼的楼高：线段粤月，耘云，悦阅
分别表示人、竹竿、楼房的高度，且点粤，耘，悦在一条直线上援测得人
和竹竿的水平距离为1援5 皂，人和楼房的水平距离为20 皂，人的高
度为1援6 皂，竹竿的高度为2援8 皂，据此可求出楼高援请你给出这种测
量方法的数学解释，并算出楼高援
（第1 题）
粤
月
悦
阅
耘
云
韵
（第3 题）
粤
月
悦
阅
（第2 题）
粤
月
悦
阅
（第4 题）
阅
韵
粤
悦
月
孕
（第5 题）
粤
悦
月
阅
（第6 题）
悦
匀
阅
粤
月
耘
云
郧
133
数学
九年级上册
例2
图4-19 是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A，D
两端点的距离为5 cm，AO
BO ＝DO
CO ＝1
2 .求容器的内径BC.
解
∠AOD＝∠BOC
AO
BO ＝DO
CO
伤
赏
设
设
设
设
设
设
商设
设
设
设
设
设
圯△AOD∽△BOC（两边对
应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），
三角形相似还有下面的判定定理：
下面给出证明.
已知：如图4-18，在△ABC 与△A忆B忆C忆中，∠C＝∠C忆，C忆A忆
CA ＝C忆B忆
CB .
求证：△CAB∽△C忆A忆B忆.
证明
如图4-18，在△ABC 的CA 边上截取CD＝C忆A忆，过点D 作
DE椅AB，交CB 于点E，则△CDE∽△CAB（根据什么？），
亦
CD
CA ＝CE
CB（相似三角形的对应边成比例）.
疫
C忆A忆
CA ＝C忆B忆
CB ，
亦
CD
CA ＝C忆A忆
CA ＝C忆B忆
CB ，
亦
C忆B忆
CB ＝CE
CB ，
亦
C忆B忆＝CE.
又疫
∠C＝∠C忆，
亦
△C忆A忆B忆≌△CDE，
亦
△CAB∽吟C忆A忆B.
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
B忆
C忆
A忆
E
D
B
A
C
图4-18
C
B
D
A
O
图4-19
134
第4 章
相似三角形
亦
AD
BC ＝AO
BO ，
即5
BC ＝1
2 ，
亦
BC＝2×5＝10（cm）.
答：容器的内径BC 为10cm.
例3
已知：如图4-20，点D，E 分别在AB，AC 上，且AD
AB ＝AE
AC .求证：
DE椅BC.
∠A＝∠A
AD
AB ＝AE
AC
伤
赏
设
设
设
设
设
设
商设
设
设
设
设
设
圯△ADE∽△ABC（根据什么？）.
亦
∠ADE＝∠B（相似三角形的对应角相等）.
亦
DE椅BC.
C
B
D
E
A
图4-20
员援分别判断如图各对三角形是否相似援
（1）粤悦与月阅相交于点韵.
（2）∠A＝∠D.
圆援如图，阅为吟粤月悦的边粤悦上一点援若要使吟粤月阅与吟粤悦月相似，
可添加什么条件？你有几种不同方法？
粤
月
韵
阅
悦
24
20
6
5
粤
月
悦
阅
（第2 题）
粤
月
悦
耘
阅
云
30
48
72
45
证明
（第1（1）题）
（第1（2）题）
135
数学
九年级上册
员援已知：如图，在吟ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，AD
DB ＝AE
EC .
求证：吟ADE∽吟ABC.
圆援已知：如图，AB 与CD 交于点O，且
AO
BO ＝CO
DO .
求证：
AC椅BD.
猿援求证：顶角相等的两个等腰三角形相似.
源援如图，
在吟APB 中，C，D 分别为AP，BP 上
的点.若CP
PB ＝DP
PA ＝3
4 ，AB＝8 cm，求CD
的长.
缘援如图，在吟粤月悦中，阅是粤悦上一点援已知粤月2 ＝粤阅·粤悦，∠粤月阅＝
40毅. 求∠悦的度数援
远援给一版墙报镶边，需要4 糟皂宽的彩色纸条48 糟皂援现有如图一张三
角形彩色纸零料，其中月悦＝25 糟皂，月悦边上的高线长为20 糟皂援小
慧给出一种裁纸方法：如图，将粤月，粤悦分别五等分，然后连结两边
对应的点，并以这些连结线为一边作矩形援剪下矩形纸条（
图中阴影
部分）作为墙报镶边的材料援问：小慧的这种方法能满足这版墙报
镶边的需要吗？请说明理由援
悦
月
粤
阅
（第6 题）
月1
粤
月2
月3
月4
月
悦
悦1
悦2
悦3
悦4
（第5 题）
C
B
D
E
A
（第1 题）
C
A
O
D
B
（第2 题）
C
B
D
P
A
（第4 题）
136
第4 章
相似三角形
例4
如图4-22，判断4×4 方格中的两个三角形是否相似，并说明理由.
分析
要判断△ABC 与△EFD 是否相似，从角的方面较难确定，但容
易计算每个三角形的边长，可通过判断边是否对应成比例来判定.
解
设4×4 方格中每个小正方形的边长为1，根
据勾股定理，得
AB＝2
2
摇姨
，BC＝
10
摇姨
，CA＝
2
摇姨
；
EF＝2
5
摇姨
，FD＝5，DE＝
5
摇姨
.
亦
CA
DE ＝AB
EF ＝BC
FD ＝
2
摇姨
5
摇姨
，
亦
△ABC∽△EFD（三边对应成比例的两个三角形相似）.
三角形相似还有下面的判定定理：
下面给出证明.
已知：如图4-21，在△ABC 和△A忆B忆C忆中，AB
A忆B忆＝BC
B忆C忆＝AC
A忆C忆.
求证：△ABC∽△A忆B忆C忆.
证明
如图4-21，在A忆B忆上截取A忆D＝AB，作DE椅B忆C忆，交A忆C忆于点
E，则△A忆DE∽△A忆B忆C忆（根据什么？），
亦
A忆D
A忆B忆＝DE
B忆C忆＝A忆E
A忆C忆.
疫
AB
A忆B忆＝BC
B忆C忆＝AC
A忆C忆，
亦
A忆D
A忆B忆＝AB
A忆B忆＝BC
B忆C忆＝AC
A忆C忆，
亦
DE
B忆C忆＝BC
B忆C忆，A忆E
A忆C忆＝AC
A忆C忆，
亦
DE＝BC，A忆E＝AC，
亦
△ABC≌△A忆DE，
亦
△ABC∽△A忆B忆C忆.
三边对应成比例的两个三角形相似.
图4-22
耘
月
悦
云
阅
粤
图4-21
A忆
C忆
B忆
D
E
B
A
C
137
数学
九年级上册
月
悦
粤
（第2 题）
员援求证：任何两个等边三角形都相似.你有几种不同的证明方法？
2援如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格
点上.在方格纸内画△A忆B忆C忆，使△A忆B忆C忆
∽△ABC，相似比为2 颐1，且顶点都在格
点上.
例5
已知：如图4-23，O 为△ABC 内一点，A忆，B忆，C忆分别是OA，OB，
OC 上的点，且OA忆
OA ＝OB忆
OB ＝OC忆
OC .求证：△A忆B忆C忆∽△ABC.
分析
由已知容易发现△OA忆B忆∽△OAB，△OA忆C忆∽△OAC，△OB忆C忆
∽△OBC，由这三对相似三角形的对应边成比例，我们不难得到△A忆B忆C忆
与△ABC 的对应边成比例.
证明
如图4-23，在△OA忆B忆与△OAB 中，
疫
∠A忆OB忆＝∠AOB，OA忆
OA ＝OB忆
OB ，
亦
△OA忆B忆∽△OAB（根据什么？），
亦
A忆B忆
AB ＝OA忆
OA .
同理可证A忆C忆
AC ＝OA忆
OA .
亦
A忆B忆
AB ＝A忆C忆
AC .
同理可证A忆B忆
AB ＝B忆C忆
BC .
亦
A忆B忆
AB ＝B忆C忆
BC ＝A忆C忆
AC ，
亦
△A忆B忆C忆∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似）.
C
A
B
O
B忆
C忆
A忆
图4-23
138
第4 章
相似三角形
员援如图，
三个三角形的顶点都在方格纸
的格点上. 它们中哪些三角形相似？
请说明理由.
圆援如图，在吟ABC 中，D，E，F 分别是AB，
BC，CA 的中点. 求证：吟EFD∽吟ABC，
并说出吟EFD 与吟ABC 的相似比.
猿援已知：如图，在吟ABC 中，点F，O，G 在BC 边上，点E 在AO 上，
OF
OB ＝OE
OA ＝OG
OC
. 求证：吟EFG∽吟ABC.
源援如图，在等边三角形ABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 上的点，
且AD＝BE＝CF. 找出图中所有相似的三角形（
不要求证明）.
缘援如图，吟ABC 的三个顶点都在格点上. 在方格纸内作吟A忆B忆C忆，使
吟A忆B忆C忆∽吟ABC，相似比为1 颐2，且各顶点都在格点上.
6援一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形一定相似吗？
证
明你的判断.
A
F
C
B
D
（第4 题）
E
C
B
A
（第5 题）
悦
E
B
D
F
A
（第2 题）
A
B
E
O
G
C
F
（第3 题）
（第1 题）
粤
悦
月
耘
云
酝
郧
阅
139
数学
九年级上册
例1
如图4-24，△A忆B忆C忆∽△ABC，相似比为B忆C忆
BC ＝k. 求这两个三
角形的角平分线A忆D忆与AD 的比.
解
疫
△A忆B忆C忆∽△ABC，
亦
∠B忆＝∠B，∠B忆A忆C忆＝∠BAC.
疫
A忆D忆，AD 分别是△A忆B忆C忆与
△ABC 的角平分线，
亦
∠B忆A忆D忆＝1
2 ∠B忆A忆C忆，∠BAD＝1
2 ∠BAC，
亦
∠B忆A忆D忆＝∠BAD，
亦
△A忆B忆D忆∽△ABD（有两个角对应相等的两个三角形相似），
亦
A忆D忆
AD ＝A忆B忆
AB ＝B忆C忆
BC ＝k.
A忆
C忆
D忆
B忆
C
D
B
A
图4-24
4·5 相似三角形的性质及其应用
根据相似三角形的定义，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似
三角形的对应角相等，对应边成比例.它们的应用非常广泛.
例2
已知：如图4-25，BD，CE 是△ABC 的两条中线，P 是它们的交点.
求证：DP
BP ＝EP
CP ＝1
2 .
证明
如图4-25，连结DE.
疫
BD，CE 是△ABC 的两条中线，
亦
DE
1
2 BC.
A
C
B
P
E
D
图4-25
在员园倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边
长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大员园倍？
4·5 相似三角形的性质及其应用
140
第4 章
相似三角形
用
亦
∠EDB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，
亦
△DEP∽△BCP（根据什么？）.
亦
DP
BP ＝EP
CP ＝DE
BC ＝1
2 .
员援已知△ABC∽△A忆B忆C忆，相似比为BC
B忆C忆＝2
3 ,
AD,A忆D忆分别是△ABC 与△A忆B忆C忆的一条中
线.求AD 与A忆D忆的比.
圆援已知：
如图，
在吟ABC 中，D，E，F 分别是AB，
AC，BC 上的点，DE椅BC，BF＝CF，AF 交DE
于点G. 求证：
DG＝EG.
A
E
C
F
B
G
D
(第2 题)
例2 中，如果再作BC 边上的中线，这条中线与AC 边上的中线BD 的交
点也必定分BD 成1颐2 的两条线段，也就是点P.这就证明了三角形的三条中
线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心（centroid）. 三角
形的重心分每一条中线成1颐2 的两条线段.
A
作用于物体的各部分的重力，可以看做一个大小等于
各个重力总和的力作用于物体的某一点，这一点就叫做物
体的重心.现在我们来做一个实验.任意剪一个三角形纸板
（图4-26），在它的顶点系一根线，把三角
形纸板悬挂起来，在纸板上画出悬线的延
长线AD.这条延长线也就是纸板所受重
力的作用线.观察AD 所在的位置，你发现了什么？然后换一
个顶点把三角形纸板悬挂起来，同样在纸板上画出重力作用
线（图4-27），你又发现了什么？这两条重力作用线的交点即
物理意义上纸板的重心.它和三角形的数学意义上的重心有
什么关系？
D
B
A
图4-27
C
E
P
C
D
B
图4-26
141
数学
九年级上册
员援如图，吟ABC∽吟A忆B忆C忆，相似比为AB
A忆B忆＝4
3 . D，D忆分别是AB，A忆B忆
上的点，且AD＝1
3 AB，A忆D忆＝1
3 A忆B忆. 求CD 与C忆D忆的比.
圆援如图，AD 为△ABC 的一条中线，P 为△ABC 的重心，EF椅BC，交
AB，AC 于点E，F，交AD 于点P.求EF 与BC 的比.
猿援已知：如图，在吟ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE＝∠B. 求证：
AD 2＝AE·AB.
源援如图，在吟ABC 中，中线AD，BE 相交于点F. EG椅BC，交AD 于点
G. 求AG 与GF 的比.
缘援如图，在吟ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，吟ADE∽吟ACB，相似
比为AD 颐AC＝2 颐3.吟ABC 的角平分线AF 交DE 于点G，交BC
于点F.求AG 与
GF 的比.
E
A
B
D
C
(第3 题)
(第1 题)
A忆
D忆
C忆
B忆
B
C
A
D
F
D
B
C
P
E
A
(第2 题)
E
C
B
F
G
D
A
(第5 题)
C
E
A
B
D
G
F
(第4 题)
142
第4 章
相似三角形
相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相
似比的平方．
已知：如图4-28，吟粤月悦
吟粤忆月忆悦忆，相似比为噪援
求证：吟粤月悦的周长
吟粤忆月忆悦忆的周长＝噪，吟粤月悦的面积
吟粤忆月忆悦忆的面积＝噪2援
证明疫
吟粤月悦
吟粤忆月忆悦忆，相似比为噪，
亦
粤月
粤忆月忆＝月悦
月忆悦忆＝悦粤
悦忆粤忆＝噪（相似三角形的对应边成比例），
亦
粤月＝噪粤忆月忆，月悦＝噪月忆悦忆，悦粤＝噪悦忆粤忆，
亦
吟粤月悦的周长
吟粤忆月忆悦忆的周长＝
粤月＋月悦＋悦粤
粤忆月忆＋月忆悦忆＋悦忆粤忆＝噪粤忆月忆＋噪月忆悦忆＋噪悦忆粤忆
粤忆月忆＋月忆悦忆＋悦忆粤忆
＝噪（粤忆月忆＋月忆悦忆＋悦忆粤忆）
粤忆月忆＋月忆悦忆＋悦忆粤忆
＝噪援
如图4-29，分别作吟粤月悦，吟粤忆月忆悦忆的BC，月忆悦忆边上的高线粤阅，粤忆阅忆援
疫
吟粤月悦
吟粤忆月忆悦忆，
亦
∠月＝∠月忆（相似三角形的对应角相等）援
疫
粤阅，粤忆阅忆分别是月悦，月忆悦忆边上的高线，
任意画两个相似三角形，选择合适的方法探索下面的问题：
（1）这两个三角形的周长之比与相似比有什么关系？
（2）这两个三角形的面积之比与相似比有什么关系？
相似三角形的周长和面积有以下性质：
图4-28
图4-29
粤忆
月忆
粤
月
悦
阅
粤
月
悦
粤忆
月忆
悦忆
阅忆
悦忆
143
数学
九年级上册
例3 图4-30 是某市部分街道图，比例尺为1颐100 000援请估计三条道
路围成的三角形地块粤月悦的实际周长和面积援
解地图上的比例尺为1 颐100 000，就
是地图上的吟粤月悦与实际三角形地块的相
似比为
1
100 000 援量得地图上粤月＝2援7 糟皂，
月悦＝3援0 糟皂，粤悦＝2援0 糟皂，则地图上吟粤月悦
的周长为
2援7＋3援0＋2援0＝7援7（糟皂）援
疫
7援7
三角形地块的实际周长＝
员
100 000 ，
亦
三角形地块的实际周长为7援7×105糟皂，即7.7 k皂援
量得月悦边上的高线长为1援8 糟皂，
如图，阅，耘分别是粤悦，粤月上的点，∠粤阅耘＝∠月，粤郧⊥月悦于点郧，
粤云⊥阅耘于点云援若粤阅＝3，粤月＝5，求：
（1）粤郧
粤云.
（2）吟粤阅耘与吟粤月悦的周长之比.
（3）吟粤阅耘与吟粤月悦的面积之比援
粤
阅
悦
月
耘
云
郧
亦
∠粤阅月＝∠粤忆阅忆月忆＝90毅，
亦
吟粤月阅
吟粤忆月忆阅忆（有两个角对应相等的两个三角形相似），
亦
粤阅
粤忆阅忆＝粤月
粤忆月忆＝噪，
亦
吟粤月悦的面积
吟粤忆月忆悦忆的面积＝
1
2 月悦·粤阅
1
2 月忆悦忆·粤忆阅忆
＝月悦
月忆悦忆· 粤阅
粤忆阅忆＝噪·噪＝噪2援
由上述证明过程可以看到，两个相似三角形的对应高线长之比也等于相似比援
粤
月
图4-30
悦
D
144
第4 章
相似三角形
例4
如图4-31，在△ABC 中，DE椅BC，分别交AB，AC 于点D，E.若
要使△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则AD 与AB 的比应取多少？
解
疫
DE椅BC，
亦
△ADE∽△ABC.
由
△ADE 的面积
四边形DBCE 的面积＝1，
得△ADE 的面积
△ABC 的面积＝1
2 .
亦
AD
AB
蓸
蔀
2
＝1
2 ，
亦
AD
AB ＝
2
摇姨
2
.
答：若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则AD 与AB 的比为
2
摇姨
2
.
亦地图上吟粤月悦的面积为1
2 ×3援0×1援8＝2援7（糟皂2）援
疫
2援7
三角形地块的实际面积＝
员
100 000
蓸
蔀
2
，
亦三角形地块的实际面积为2援7×1010糟皂2，即2.7 k皂2援
答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7 k皂，实际面积为2.7 k皂2.
D
E
A
C
B
图4-31
员援把一个三角形的三边同比例放大. 填空：
（1）如果三角形的边长扩大到原来的100 倍，那么三角形的周长
扩大到原来的
倍；面积扩大到原来的
倍.
（2）如果三角形的周长扩大到原来的100 倍，那么三角形的边长
扩大到原来的
倍援
（3）如果三角形的面积扩大到原来的100 倍，那么三角形的边长
扩大到原来的
倍.
145
数学
九年级上册
（第7 题）
粤
月
悦
员援已知吟粤月悦
吟阅耘云，相似比为2，则它们
的周长之比是
，面积之比是
援
圆援请解答本节节前语中的问题援
猿援如图，粤月，悦阅相交于点韵，粤悦椅月阅，
粤韵颐月韵＝3 颐2，吟粤CO 的周长为18 糟皂援求
吟月DO 的周长援
源援求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比援
缘援如图，在吟ABP 中，粤月椅悦阅椅耘云，粤悦＝悦耘＝耘孕，吟孕粤月的面积为
18 糟皂2. 求四边形悦阅云耘的面积援
远援如图，在吟粤月悦中，点阅，耘，云分别在边粤月，粤悦，月悦上，阅耘椅月悦，
阅云椅粤悦援已知粤阅
月阅＝2
3 ，吟粤月悦的面积为葬援求荀阅云悦耘的面积援
7援如图，已知吟粤月悦援作一条与月悦平行的直线，
把吟粤月悦划分成两部分，使划分成的三角形和
四边形的面积之比为1 颐2，可怎样作？如果要
使划分成的两部分的面积之比为1 颐灶呢？
（第3 题）
粤
悦
阅
月
韵
（第5 题）
粤
月
阅
云
悦
耘
孕
（第6 题）
粤
耘
阅
月
悦
云
（第2 题）
月
悦
阅
耘
粤
圆援如图，在等边三角形粤月悦中，点阅，耘分别在边
粤月，粤悦上，阅耘椅月悦援若月悦＝8 糟皂，粤阅颐阅月＝
1颐3，则吟粤阅耘的周长等于
糟皂，吟粤阅耘
的面积等于
糟皂2．
146
第4 章
相似三角形
例5
如图4-32，屋架跨度的一半韵孕＝5 皂，高度韵匝＝2援25 皂援现要
在屋顶上开一个天窗，天窗高度粤悦＝1援20 皂，粤月在水平位置援求粤月的长
（精确到0.01 皂）.
解
由题意，得粤月椅孕韵，
亦
∠粤月悦＝∠韵孕匝援
又疫
∠悦粤月＝∠孕韵匝＝砸贼∠，
亦
吟粤月悦
吟韵孕匝，
亦
粤月
韵孕＝粤悦
韵匝，
亦
粤月＝韵孕×粤悦
韵匝
＝5×1援20
2援25
≈2援67（皂）援
答：粤月的长约为2援67 皂援
下面我们来看相似三角形性质的一些实际应用援
例6
数学兴趣小组测量校园内一棵树高，有以下两种方法：
方法一：如图4-33，把镜子放在离树（粤月）8 皂的点耘处，然后沿着直线
月耘后退到点阅，这时恰好在镜子里看到树梢顶点粤，再用皮尺量得阅耘＝
2援8 皂，观察者目高悦阅＝1援6 皂.
方法二：如图4-34，把长为2援40 皂的标杆悦阅直立在地面上，量出树的
影长为2援80 皂，标杆的影长为1援47 皂援
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0援1 皂）援
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨援还有其他测量树高的方法吗？
图4-32
粤
月
匝
孕
悦
韵
图4-33
阅
耘
云
月
粤
悦
图4-34
粤
月
悦
阅
耘
147
数学
九年级上册
员援凸透镜成像的原理如图所示，粤阅椅造椅月悦援若人到焦点的距离与焦
点到凸透镜的中心线阅月的距离之比为5颐4，则人被缩小到原来的
几分之几？
圆援如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高粤月＝1援2 皂援当月悦＝2援4 皂
时，点月离地面的距离月耘＝1援4 皂，求此时点粤离地面的距离（精确
到0郾1 皂）援
猿援如图，正方形城邑阅耘云郧的四面正中各有城门，出北门20 步的粤
处（匀粤＝20 步）有一树木，出南门14 步到悦处（运悦＝14 步），再向
西行1 775 步到月处（悦月＝1 775 步），正好看到粤处的树木（点阅
在直线粤月上）援求城邑的边长援
（本题是我国古代数学名著《九章算术》中“勾股”章的第二十题，原
文是：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门
十四步，折而西行一千七百七十五步见木援问邑方几何？”）
（第1 题）
人
焦点
焦点
缩小
的实像
粤
月
悦
阅
造
匀
韵
云1
云2
郧
如图为步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离韵耘为80糟皂，
步枪上的准星宽度粤月为2 皂皂，目标的正面宽度悦阅为50 糟皂援求眼睛
到目标的距离韵云援
韵
阅
云
悦
耘
粤
月
月
准星
粤
（第2 题）
粤
月
耘
阅
云
悦
（第3 题）
月
悦
云
郧
阅
耘
匀
粤
运
北
148
第4 章
相似三角形
源援小聪和他的同学利用影长测量旗
杆高度（如图），当1 皂长的直立
竹竿的影长为1援5 皂时，测量旗杆
落在地上的影长为21 皂，落在墙上
的影长为2 皂援求旗杆的高度援
缘援有一块三角形余料粤月悦，它的边月悦＝120 皂皂，高线粤阅＝80 皂皂援
要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在月悦上，其余两个顶
点分别在粤月，粤悦上援求加工成的正方形零件的边长.
（第5 题）
月
粤
匝
阅
酝
悦
孕
晕
耘
以4～6 人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量的实践活动援每
组测量的目标、内容和方法均可以自选援在完成实践活动后，以组为单位写一份测量
实践报告，在班内进行交流援
（第4 题）
观察图4-35，分别求出图中两个四边形的各条
边长（每小格的边长为1 个单位），并比较各对应内
角的大小.然后与你的同伴议一议：
（1）这两个四边形的角之间有什么关系？
（2）这两个四边形的边之间有什么关系？
（3）这两个四边形的形状之间有什么关系？
粤
月
阅
悦
图4-35
粤忆
月忆
阅忆
悦忆
4·6 相似多边形
图形的相似性给人类的创造发明带
来灵感. 19 世纪末法国机械师克莱兰·阿
代尔设计的第三架飞行器的形状就是模
仿蝙蝠.
149
数学
九年级上册
相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相
似比的平方．
与相似三角形类似，相似多边形有以下性质：
如图4-35，从四边形ABCD 到四边形A忆B忆C忆D忆的改变过程中，图形的
形状没有改变.一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保
持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似. 图形的相
似在人们的生活中有着广泛的应用.例如地图的绘制，照片的放大与缩小
髴本套教材当用符号“∽”表示两个多边形相似时都把对应顶点字母写在对应位置上.
例1
矩形纸张的长与宽之比为
2
姨
，沿长边对折，所得的矩形纸张是
否和原来的矩形纸张相似？请说明理由援
解
沿长边对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似援理由如下：
如图4-36，原来的纸张为矩形粤月悦阅，月悦
粤月＝
2
姨
援
连结月悦与粤阅的中点云，耘，则耘云就把矩形粤月悦阅分为全等的两个
矩形援
在矩形粤月云耘中，
粤月
月云＝
粤月
1
2 月悦
＝
2
2
姨
＝
2
姨
，
亦
粤月
月云＝月悦
粤月，
即矩形粤月云耘与矩形月悦阅粤的对应边成比例.
而两个矩形的对应角相等，
所以矩形粤月云耘与矩形月悦阅粤相似援
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形
（similar polygon）.相似多边形对应边的比也叫做相似比.例如，图4-35 中，四
边形ABCD 与四边形A忆B忆C忆D忆相似，记做四边形ABCD∽四边形A忆B忆C忆D忆髴，
AB 与A忆B忆的比就是四边形ABCD 与四边形A忆B忆C忆D忆的相似比.
图4-36
月
粤
云
耘
悦
阅
150
第4 章
相似三角形
图4-37
云忆
云
员援判断题（对的在括号内打“√”，错的在括号内打“伊”）援
（1）所有的正方形都相似.
（
）
（2）所有的矩形都相似.
（
）
（3）所有的菱形都相似.
（
）
（4）所有的正六边形都相似援
（
）
圆援已知四边形粤月悦阅与四边形粤忆月忆悦忆阅忆相似，粤月与粤忆月忆是对应边，
月悦与月忆悦忆是对应边援若粤月
粤忆月忆
＝2
3 ，则月忆悦忆
月悦＝
援
猿援在如图所示的相似四边形中，求
未知的边长曾和角度琢的大小援
（第3 题）
70毅
80毅
3
5
曾
12
70毅
145毅
琢
把标准纸（长与宽之比为
2
姨
）一次又一次对开（图4-38），按图4-39 叠放起
来援你发现了什么有趣的现象？你能给出数学解释吗？
图4-38
1
4
员
愿
1
2
1
16
1
32
图4-39
1
8
1
4
1
2
1
16
1
32
（图4-37）等都是图形的相似的应用.
151
数学
九年级上册
员援在如图所示的相似四边形中，求未知的边长曾和角度
的大小援
圆援在比例尺为1颐100 000 的地图上，某开发区的图上面积为25 糟皂2，那
么该开发区的实际面积是多少？
猿援如图，在四边形粤月悦阅中，月忆，悦忆，阅忆分
别是粤月，粤悦，粤阅上的点，月忆悦忆椅月悦，
悦忆阅忆椅悦阅援判断四边形粤月悦阅与四边
形粤月忆悦忆阅忆是否相似，并说明理由援
源援将下列各图形的变化与变化的名称用线连起来.
（第1 题）
5
120毅
55毅
10
5
55毅
125毅
曾
粤
月
悦
阅
月忆
悦忆
阅忆
（第3 题）
旋转
相似（不全等）
轴对称
平移
152
第4 章
相似三角形
（第7 题）
5援如图，矩形粤月悦阅
矩形月悦云耘，且粤阅＝粤耘援求粤月颐粤阅的值援
6援如图，四边形粤耘郧云
四边形粤月悦阅，点耘，云分别在粤月，粤D 上.当
点E，F 满足什么条件时，四边形粤耘郧云的面积是四边形粤月悦阅的
面积的1
4 ？
7援把一个长方形划分成三个全等的长方形（如
图）援若要使每一个小长方形与原长方形相
似，则原长方形应满足什么条件？
阅
粤
云
悦
月
耘
（第5 题）
云
月
耘
粤
郧
悦
阅
（第6 题）
4·7 图形的位似
这一组蝴蝶图案除彼此相似外，还有什么特点？
如图4-40，O 是四边形ABCD 所在平面内任意一点.连结OA，OB，OC，
OD，分别在OA，OB，OC，OD 上截取OA忆，OB忆，OC忆，OD忆，使得OA忆
OA ＝OB忆
OB
＝OC忆
OC ＝OD忆
OD ＝1
2 ，连结A忆B忆，B忆C忆，C忆D忆，D忆A忆.
D忆
C忆
E忆
B忆
A
A忆
D
B
E
C
O
图4-40
153
数学
九年级上册
请与你的同伴议一议，四边形A忆B忆C忆D忆与四边形ABCD 相似吗？它们
在位置上有什么特点？过点O 任意作一条射线，分别交两个四边形的边于
点E忆，E（图4-40），则OE忆与OE 的比是多少？
一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都
相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形
就叫做位似图形（homothetic figures），经过各对应两点的直线的交点叫做位
似中心（homothetic centre）.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比
（homothetic ratio）.如图4-40，分别经过点A 与A忆，点B 与B忆，点E 与E忆等
对应点的各条直线都交于点O，各对应点到点O 的距离之比都为1
2（或
2），所以四边形A忆B忆C忆D忆与四边形ABCD 是位似图形，点O 就是它们的位
似中心，位似比为1
2 .从图4-40 还可以看到，位似多边形必定是相似多边
形，位似比也就是相似比.
利用图形的位似可以把一个图形放大或缩小. 若所画图形与原图形的
位似比大于1，则将图形放大；若所画图形与原图形的位似比小于1，则将原
图形缩小.
放缩尺是将图形进行放大或缩小的工具. 如图4-41，点O 的位置固定
不变，在A，A忆处装有画笔. 当画笔A 沿图形F 运动时，画笔A忆画出图形F忆，
图形F忆将图形F 放大了. 反之，图形F 是图形F忆的缩小图形. 位似比可通过
调节点B，D 的位置来确定.
图4-41
F
A
O
B
D
C
F忆
A忆
154
第4 章
相似三角形
作法
如图4-43.
1援连结韵粤，韵月，韵悦，韵阅援
2援分别延长韵粤，韵月，韵悦，韵阅至郧，悦，耘，云，使韵郧
韵粤＝韵悦
韵月＝韵耘
韵悦＝韵云
韵阅＝3援
3援依次连结郧悦，悦耘，耘云，云郧援
四边形郧悦耘云就是所求作的四边形援
如果按同样比例，反向延长韵粤，韵月，韵悦，韵阅，就得到四边形郧忆悦忆耘忆云忆，
也是所求作的四边形援
四边形郧悦耘云与
四边形郧忆悦忆耘忆云忆具有
怎样的对称性？
图4-43
郧
云
粤
阅
月
悦
耘
曾
云忆
耘忆
悦忆
郧忆
赠
O
2
4
6
8 10 12 14 16 18
－2
－4
－6
－8
－10
－12
－14
－16
－18
2
4
6
8
10
12
14
－2
－4
－6
－8
－10
－12
－14
例1
如图4-42，以坐标原点O 为位似中心，作荀ABCD 的位似图形，
并把荀ABCD 的边长放大3 倍.
分析
把荀ABCD 的边长放大3 倍，即画一个与荀ABCD 的位似比为
3 颐1 的平行四边形.
粤
阅
月
悦
－2
－4
－6
－8
－10
－12
－14
－16
－18
2
4
6
8 10 12 14 16 18
2
－2
4
6
8
10
12
14
－4
－6
－8
－10
曾
赠
O
－12
－14
图4-42
155
数学
九年级上册
（第1 题）
粤
月
悦
韵
当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（曾，赠），位似图
形与原图形的位似比为噪，则位似图形上的对应点的坐标为（噪曾，噪赠）或
（
噪曾，噪赠）．
比较图4-43 中各对应点的坐标，我们不难发现以坐标原点为位似中
心的位似图形有以下性质：
员援如图，已知吟粤月悦和点韵援以韵为位似中心，求作吟粤月悦的位似图
形，并把吟粤月悦的边长缩小到原来的1
2 援
A
C忆
B忆
A忆
O
C
B
（第3 题）
（第2 题）
粤
月
悦
赠
曾
韵
1
2
－1
1
2
3
－2
－3
3
4
－1
－2
－3
圆援如图，在直角坐标系中，吟粤月悦各
顶点的坐标为粤（-1，1），月（2，3），
悦（0，3）援现以坐标原点韵为位似中
心，作与吟粤月悦的位似比为2
3 的
位似图形吟粤忆月忆悦忆，并写出顶点粤忆，
月忆，悦忆的坐标.
3援如图，AB椅粤忆月忆，BC椅B忆C忆，CA椅
C忆A 忆，粤A忆，B月忆，CC忆相交于点O.
吟ABC 与吟粤忆月忆C忆是位似图形吗？
请简述理由.
156
第4 章
相似三角形
员援下列各组图形的各边都对应平行，判断它们是不是位似图形.
（1）矩形粤月悦阅与矩形粤忆月忆悦忆阅忆.
（2）吟粤月C 与吟粤忆月忆悦忆.
（3）图形云与图形云忆.
（4）梯形粤月悦阅与梯形粤1月1悦1阅1援
圆援如图，韵是粤月的中点援以韵为位似中心，作与四边形粤月悦阅位似的
图形，并使边长缩小到原来的1
2 援
猿援如图，四边形粤耘云匀与四边形粤月悦阅是位似图形，位似比为2
3 ，且
四边形粤月悦阅的周长为140 糟皂，面积为900 糟皂2. 求四边形粤耘云匀
的周长和面积援
（第1（1）题）
粤
月
阅
悦
阅忆
悦忆
粤忆
月忆
粤
（第1（4）题）
月
粤1
月1
阅员
悦员
悦
阅
云
（第1（3）题）
云忆
（第1（2）题）
C
悦忆
A忆
A
B
B忆
粤
韵
月
阅
悦
（第2 题）
粤
耘
月
（第3 题）
匀
阅
悦
云
157
数学
九年级上册
源援如图援
（1）写出四边形粤月悦阅的各个顶点的坐标.
（2）以坐标原点韵为位似中心，作与四边形粤月悦阅的位似比为3
的位似四边形粤忆月忆悦忆阅忆. 画出四边形粤忆月忆悦忆阅忆，并写出四边形
粤忆月忆悦忆阅忆各顶点的坐标援
缘援如图，已知图形云援选取适当的一点为位似中
心，适当的比为位似比，作图形云的位似图形
云忆，使图形云忆与图形云组成一幅轴对称的图形援
（第5 题）
云
（第4 题）
韵
4
8
12
16
－4
－12
－16
4
8
12
－4
－8
－12
阅
粤
悦
月
赠
曾
－8
158
第4 章
相似三角形
你一定见过美丽的雪花，你仔细观察过雪花的形状吗？在数学上，我们
可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
将等边三角形（图4-44①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向
外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（图4-
44②）. 接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等
分后的中段，像图4-44③那样向外画新的等边三角形. 不断重复这样的过
程，就得到了雪花曲线（图4-44④）．
分形是这样一种图形，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的
一样，这种现象叫做自相似，这种自相似的过程可以无限地继续下去. 雪花
曲线就是一个分形的例子，它是瑞典数学家科赫（运燥糟澡，1870～1924 年）于
1904 年制作的，它有一个令人惊异的性质：具有有限的面积，但有着无限的
周长！
蕨类植物（如图4-45）的叶子形状也是分形的形象. 如果你观察分形羊
图4-44
淤
于
盂
榆
图4-46
图4-45
精彩的分形
159
数学
九年级上册
齿叶的任何一个部分，它会显现与原来羊齿叶一样的形状. 分形羊齿叶的
图案能够在计算机上制作出来.分形几何提供了一种描述自然界物体的数
学手段，运用分形可以创作许多精美的图案，如图4-46．
如果注意到分形连续不断，从大尺度到小尺度的自我复制，以及迭代操
作的特点，我们就能作出一些简单的分形图．
图4-47 这幅“龙”的分形图，看起来很复杂，其实它
是简单几何图形的从大尺度到小尺度的自我复制. 将
一个等腰直角三角形（图4-48①）分割成两个全等的等
腰直角三角形，右边一半不动，左边一半以斜边所在的
直线为轴作轴对称，得图4-48②. 类似地，再将图4-48②
中的每一个直角三角形进行分割和轴对称，得图4-48③.
这样一直作下去，就会得到一幅“龙”的分形图. 你能画出下一步吗？试
一试.
实践活动：自选一个起始图形，设计一个自相似和迭代的操作过程，作
出一幅美丽的分形图案（有条件的可用计算机来进行）．
将你的作品与同伴交流．
图4-48
淤
于
盂
图4-47
160
第4 章
相似三角形
填空．
1. 比例的基本性质：a
b ＝c
d
圳
摇摇摇.
2. 两条线段的
摇摇摇摇摇叫做这两
条线段的比.
如果四条线段a，b，c，d中，有a
b
＝c
d
，
那么四条线段a，b，c，d叫做摇摇摇
摇摇，
简称摇摇
摇摇摇.
如果三个数a，b，c满足比例式a
b
＝b
c
（或a 颐b＝摇摇摇
摇摇），则b就叫做a，c的
摇摇.
a
b
＝b
c
圳b2＝摇摇摇
摇摇.
3. 基本事实：两条直线被摇摇
（不
少于三条）所截，所得的对应线段成比例.
4. 摇
摇摇摇，摇摇
摇摇摇的两个三角形
叫做相似三角形. 相似三角形
摇摇摇的
比叫做相似比.
5. 摇
摇摇摇摇三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似.
有摇摇摇
摇角对应相等的两个三角形相
似.两边
摇摇摇，且夹角相等的两个三
角形相似.摇
摇摇摇摇对应成比例的两个三
角形相似.
6. 相似三角形的对应角摇摇摇
摇摇，对
应边摇摇
摇摇摇.相似三角形的周长之比等
于摇摇
摇摇摇；相似三角形的面积之比等于
摇摇摇
摇摇.
7. 三角形三条中线的交点叫做
.
三角形的重心分每一条中线成摇
摇摇摇的
两条线段.
8. 相似多边形的周长之比等于
；
相似多边形的面积之比等于
摇摇摇摇.
9. 由一个图形改变为另一个图形，在
改变的过程中保持
不变（大小可
以改变），这样的图形改变叫做图形的
相似.
10. 当以摇摇
摇摇为位似中心时，若原
图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图
形的位似比为k，则位似图形上的对应点的
坐标为摇
摇摇摇摇或摇
摇摇摇摇.
填表．
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
进行简单比例式
的变形
分线段成比例的
作图
判定两个三角形
相似
应用相似三角形
的性质进行简单
的证明和计算
作已知图形的位
似图形
应用相似多边形
的性质进行简单
的计算
161
数学
九年级上册
荫理解比例的基本性质：葬
遭＝糟
凿圳葬凿＝遭糟，会应用比例的基本性质
进行简单的比例式的变形援
荫了解线段比和成比例线段的概念援理解比例中项的概念援
荫了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算援
荫掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3 条）所截，所得对
应线段成比例援
员援由4葬＝7遭，可得比例式:
援
圆援已知线段葬＝4，遭＝8，则葬，遭的比例中项线段等于
援
猿援如图，粤阅，月耘是吟粤月悦的两条高线援找出一组比例线段，并写出比
例式援
源援已知孕是线段粤月的黄金分割点，孕粤＞孕月，粤月＝4糟皂，则孕粤＝
糟皂援
缘援已知一个长方形的长为线段a，宽与长之比为黄金比，求这个长方
形的面积援
6援把已知线段a（如图）分成5 颐3 的两部分援
7援如图，过菱形粤耘阅云的顶点阅作直线，分
别交粤E 的延长线于点月，交粤F 的延长
线于点悦援若F悦＝2
3 粤F，求BE
AF 援
荫了解相似三角形的概念援
荫探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相
似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比
例的两个三角形相似援
荫会在简单情况下判定两个三角形相似援
8援下面给出了关于三角形相似的一些命题：
①等边三角形都相似；
②等腰三角形都相似；
③直角三角形都相似；
④等腰直角三角形都相似；
⑤全等三角形都相似援
其中正确的有
.
（第3 题）
粤
悦
月
耘
阅
a
（第6 题）
A
F
C
D
B
（第7 题）
E
4援1 节4援2 节
4援3 节4援4 节
162
第4 章
相似三角形
9援已知：如图，在矩形粤月悦阅中，粤悦是对角
线，耘云椅粤悦，交粤月，月悦于点耘，云援求证：
吟耘月云
吟悦阅粤援
员0援如图，判断吟粤月悦与吟耘云阅是否相似，
并说明理由援
员1援已知：如图，延长圆内接四边形的边AD 和边BC，相交于点E.
求证：吟ABE∽吟CDE.
员2援如图，四边形粤月郧匀，四边形月悦云郧，四边形悦阅耘云都是正方形援请
从图中找出三对相似三角形，要求其中一对必须不是直角三角形，
并说明这一对三角形相似的理由援
员3援已知：四边形ABCD 的两条对角线相交于点P，∠ADB＝∠BCA.
求证：△ABP∽△DCP.
荫了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例援
荫了解相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的
平方援
荫了解三角形的重心的概念和性质援
荫会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题援
员4援如图，阅，耘分别是粤月，粤悦上的点援
（1）求∠粤，∠悦的度数.
（2）若粤阅＝2，粤悦＝4，则月悦是阅耘的几倍？
粤
（第10 题）
阅
悦
耘
云
月
粤
月
云
悦
耘
阅
（第9 题）
（第12 题）
月
粤
悦
阅
耘
云
郧
匀
悦
E
D
B
A
（第11 题）
（第13 题）
D
C
B
A
P
（第14 题）
粤
月
悦
阅
耘
72毅55毅
55毅
4援3 节4援5 节
163
数学
九年级上册
员5援铁路道口的栏杆如图，粤月＝1援25 皂，月悦＝16援5 皂援若要使栏杆悦端
从栏杆水平位置上升到垂直距离（悦耘）11援22 皂处，则栏杆粤端应
下降的垂直距离（粤阅）为多少米？
员6援估计上海、南京、杭州三城市连线的实际总长（根据你所用地图的
比例尺，结果精确到0.1 km）援
员7援已知：如图，点P 是吟ABC 的重心. 过P 作
AC 的平行线，
分别交AB，BC 于点D，E；
作DF椅EC，交AC 于点F. 若吟ABC 的
面积为18 cm2，求四边形ECFD 的面积.
员8援现有一张直角三角形纸片，你能把它一刀
剪成两个相似三角形吗？说出你的剪法，
并画出示意图援
员9援刘徽（生于公元250 年左右）是中国古代伟大的数学家，他的杰作
《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产援在《海岛算
经》一文中，刘徽精心选编了九个测量问题，其中第一题的题意如
下：如图，观察海岛（粤月），立两标杆（悦阅，耘云），并使点云，阅，月在同
一直线上，两标杆前后相距1 000 步，标杆均高3 丈援若从标杆悦阅
后退123 步，观察者的眼睛匀（靠近地面）与标杆顶端悦，岛的峰顶
粤在同一直线上；若从标杆耘云后退127 步，同样观察者的眼睛运
（靠近地面）与标杆的顶端耘，岛的峰顶粤也在同一直线上援问：海
岛的峰高粤月和海岛离标杆悦阅的距离月阅分别为多少（注：1步＝
6 尺袁1 丈＝10 尺）？
（第15 题）
粤
阅
月
悦
耘
A
粤
P
C
B
E
D
（第17 题）
F
运
云
匀
阅
月
悦
耘
粤
（第19 题）
（第16 题）
南京
杭州
上海
164
第4 章
相似三角形
荫了解相似多边形的概念援
荫知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似
比，面积之比等于相似比的平方援
荫了解图形的位似援
荫能够利用位似将一个图形放大或缩小援
20援一张长方形纸如图，粤月＝12，粤阅＝7援2援把
它裁成两张长方形纸，使得其中一张和原
纸相似，应怎样裁？有没有可能使两张纸都
和原纸相似？
21援一个比例为1颐10 000 的矩形草坪示意图的
长、宽分别为5 糟皂，2 糟皂.求草坪的实际面积援
22援下图8 个图形分别是原图形经平移、旋转、轴对称、相似（
不全等）
所得的图形.请将它们配对，在下面的空格中填入相应的编号.
（
1）
平移：摇摇
摇摇摇摇和摇摇摇
摇摇摇.
（
2）
旋转：摇摇摇
摇摇摇和摇摇
摇摇摇摇.
（
3）
轴对称：摇摇摇摇
摇摇和摇摇摇摇
摇摇.
（
4）
相似（
不全等）：摇摇
摇摇摇摇和摇
摇摇摇摇摇.
23援已知图形云和点韵（
如图）援以点韵为位似中心，作图形云的位似
图形云忆，使图形云与图形云忆的位似比为1
2 援
4援6 节4援7 节
（遭）
（葬）
（糟）
（凿）
（第20 题）
粤
月
阅
悦
（澡）
（第22 题）
（早）
（枣）
（藻）
韵
（第23 题）
云
165
数学
九年级上册
圆4援在直角坐标系中，四边形粤月悦阅的位置如图所示援以坐标原点韵
为位似中心，作四边形粤月悦阅的位似四边形粤忆月忆悦忆阅忆，使它与四
边形粤月悦阅的位似比为3援要求：
（1）写出点粤，月，悦，阅的坐标.
（2）作四边形粤月悦阅的位似图形援
（3）写出四边形粤忆月忆悦忆阅忆各对应顶点的坐标.
圆5援如图，在矩形粤月悦阅中，粤月＝8，月悦＝6. 顺次连结各边中点袁得菱形
粤1月1悦1阅1；再顺次连结菱形粤1月1悦1阅1 的各边中点，得矩形粤2月2悦2阅2；
再顺次连结矩形粤2月2悦2阅2 的各边中点，得菱形粤3月3悦3阅3，……这样
继续下去援
（1）找出图中各组相似多边形，并求出每组相似多边形中相邻两
个多边形的相似比.
（2）分别求出四边形粤6月6悦6阅6，四边形粤7月7悦7阅7 的周长和面积援
粤
月
阅
悦
曾
赠
韵
2
4
6
8 10 12 14 16 18
－2
－4
－6
－8
－10
－12
－14
－16
－18
2
－2
－4
－6
－8
－10
－12
－14
4
6
8
10
12
14
（第24 题）
阅
粤
（第25 题）
月
悦
悦1
阅1
粤2
月2
月1
月3
阅3
阅2
悦3
粤3
悦2
粤1
166
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