文档文本内容
!"# !"#$$
!"#$%&' ()*"+,!"#$-%#$ &.,!&!&-%%# &
/012' #!%'(.#!%#(
第1 章
解直角三角形
第1 章
解直角三角形
2022年，第24届冬季奥运会在北京举办.在滑雪运动中，如果在
倾斜角不同的两个滑道上向下滑过相同的距离，下降的高度相同吗？
已知圆弧形公路弯道两端相距圆园园皂，圆弧半径为员园园园皂，怎样求
这弯道的长？
本章我们将学习锐角三角函数及其有关计算，并运用三角函数解
决与直角三角形有关的简单实际问题援通过本章的学习，我们将找到
解决上述问题的方法援
数学
九年级下册
从图1-1 我们可以看到，在倾斜角（∠，∠）不同
的两个斜面上，物体移动的距离都是造，而它在水平和
铅垂两个方向上运动的距离却各不相同援物体在斜面
上运动时，在斜面、水平方向、铅垂方向所经过的距离，
以及斜面的倾斜角之间有什么关系？
两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相
同的距离，它们上升的高度相同吗？
1·1 锐角三角函数
造
造
图1-1
1郾作一个30毅的∠粤（图1-2），在角的边上任意
取一点月，作月悦⊥粤悦于点悦援计算月悦
粤月，粤悦
粤月，月悦
粤悦的
值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较援
2郾作一个50毅的∠粤（图1-3），在角的边上任意
取一点月，作月悦⊥粤悦于点悦援量出粤月，粤悦，月悦的长
（精确到1皂皂），计算月悦
粤月，粤悦
粤月，月悦
粤悦的值（精确到0.01冤，
并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较援
通过上面两个实践操作，你发现了什么？
3郾如图1-4袁月袁月1 是∠
一边上的任意两点，作
月悦⊥粤悦于点悦，月1悦1⊥粤悦1于点悦1 援判断比值月悦
粤月与
月1悦1
粤月1 ，粤悦
粤月与
粤悦1
粤月1 ，月悦
粤悦与
月1悦1
粤悦1 是否相等，并说明理由援
图1-2
粤
月
悦
30毅
悦1
悦
图1-4
粤
月
月1
悦
粤
月
图1-3
50毅
4
第1 章
解直角三角形
一般地，对于每一个确定的锐角（图1-4），在角的一边上任取一点月，
作月悦⊥粤悦于点悦，比值月悦
粤月，粤悦
粤月，月悦
粤悦都是一个确定的值，与点月在角的边
上的位置无关援而当锐角
变化时，比值月悦
粤月，粤悦
粤月，月悦
粤悦都发生了变化，因
此，我们把比值月悦
粤月，粤悦
粤月，月悦
粤悦看做是关于锐角
的函数援比值月悦
粤月叫做
∠
的正弦（泽蚤灶藻），记做泽蚤灶，即泽蚤灶＝月悦
粤月援同样，
比值粤悦
粤月叫做∠
的余弦（糟燥泽蚤灶藻），记做糟燥泽
，即
糟燥泽＝粤悦
粤月；比值月悦
粤悦叫做∠
的正切（贼葬灶早藻灶贼），记
做贼葬灶，即贼葬灶＝月悦
粤悦援
锐角
的正弦、余弦和正切统称∠的三角函数（贼则蚤早燥灶燥皂藻贼则蚤糟枣怎灶糟贼蚤燥灶）援
如果∠粤是砸贼吟粤月悦的一个锐角（图1-5），则有
锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜泽蚤灶＜1，0＜糟燥泽＜1（为什么？）援
例1
如图1-6，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，粤月＝5，月悦＝3援求∠粤的
正弦、余弦和正切援
解
如图1-6，在砸贼吟粤月悦中，粤月＝5，月悦＝3，
亦
粤悦＝
AB 2－BC 2
姨
＝
52－32
姨
＝4援
亦
泽蚤灶粤＝月悦
粤月＝3
5 ，糟燥泽粤＝粤悦
粤月＝4
5 ，
贼葬灶粤＝月悦
粤悦＝3
4 援
粤
月
悦
图1-6
泽蚤灶粤
粤的对边
斜边
；
糟燥泽粤
粤的邻边
斜边
；
贼葬灶粤
粤的对边
粤的邻边．
图1-5
∠粤的邻边
∠粤的对边
斜边
月
悦
粤
sin ，糟燥泽，贼葬灶
都是一个完整的符
号，单独的“泽蚤灶”没有
意义援其中
前面的
“∠”一般省略不写援
5
数学
九年级下册
员援如图，在砸贼吟粤月悦中，∠粤＝砸贼∠援写出∠月的对边和邻边，∠悦的对
边和邻边援
圆援如图，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，粤悦＝2，月悦＝3援求：
（1）泽蚤灶粤，糟燥泽月.
（2）糟燥泽粤，泽蚤灶月.
（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由援
猿援根据本节“合作学习”中第1 题的探索结果，说出30毅角的正弦、余
弦、正切的值援
粤
月
悦
（第2 题）
粤
月
悦
（第1 题）
员援已知∠（如图），根据三角函数的定义求泽蚤灶，糟燥泽，贼葬灶援
圆援如图，在砸贼吟粤月悦中，∠粤＝砸贼∠，粤月＝8，月悦＝10援求泽蚤灶悦，糟燥泽悦，
贼葬灶悦援
猿援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，粤悦＝5 糟皂，月悦＝2
6
姨
糟皂援求∠粤，∠月的
正弦、余弦和正切的值援
源援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，粤悦颐月悦＝1 颐2援求贼葬灶月，泽蚤灶月，糟燥泽月援
（第1 题）
（第2 题）
粤
月
悦
8
10
6
第1 章
解直角三角形
（第7 题）
粤忆
粤
悦
月
月忆
忆
缘援已知葬，遭，糟分别是砸贼吟粤月悦中∠粤，∠月，∠悦的对边，∠悦＝90毅援
（1）用关于葬，遭，糟的代数式表示∠粤，∠月的正弦和余弦.
（2）用关于葬，遭的代数式表示贼葬灶粤和贼葬灶月，你发现了什么？
6援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，泽蚤灶粤＝3
5 . 求cos 粤，tan 粤.
7援如图，一根3 皂长的竹竿粤月斜靠
在墙上，当端点粤离地面的高度
粤悦长为1 皂时，竹竿粤月的倾斜
角
的正切贼葬灶
的值是多少？当
端点粤位于粤忆，离地面的高度粤忆悦
为2皂时，倾斜角
忆的正切贼葬灶忆
的值是多少？贼葬灶
的值可以大于
100 吗？
现在我们来求30毅角的三角函数值.
如图1-7，∠A＝30毅. 在∠A 的一边上任取一点B，作BC 垂直于∠A 的
另一条边于点C，则AB＝2BC（为什么？）.
亦
AC＝
AB2－BC2
摇姨
＝（2BC）2－BC2
摇姨
＝
4BC2－BC2
摇姨
＝
3
摇姨
BC.
亦
sin30毅＝sinA＝BC
AB ＝BC
2BC ＝1
2 ；
cos30毅＝cosA＝AC
AB ＝
3
摇姨
BC
2BC
＝
3
摇姨
2
；
tan30毅＝tanA＝BC
AC ＝
BC
3
摇姨
BC
＝
1
3
摇姨
＝
3
摇姨
3
.
图1-7
C
B
粤
30毅
你能利用图1-7，
得到60毅角的三角函数
值吗？
7
数学
九年级下册
30毅
45毅
60毅
泽蚤灶
糟燥泽
贼葬灶
1援求45毅角的正弦、余弦和正切．
圆援根据上面的结果，将30毅，45毅，60毅角的三角函数值填入下表.
例2
求下列各式的值：
（1）2泽蚤灶30毅－3糟燥泽60毅.
（2）糟燥泽2 45毅髴＋贼葬灶60毅·泽蚤灶60毅.
（3）
3
姨
糟燥泽30毅－
２
姨
泽蚤灶45毅＋贼葬灶45毅·糟燥泽60毅援
解（1）2泽蚤灶30毅－3糟燥泽60毅
＝2× 1
2 －3×１
2
＝－１
2 援
（2）糟燥泽2 45毅＋贼葬灶60毅·泽蚤灶60毅
＝
2
姨
2
蓸
蔀
２
＋
3
姨
×
3
姨
2
＝2援
（3）
3
姨
糟燥泽30毅－
2
姨
泽蚤灶45毅+贼葬灶45毅·糟燥泽60毅
＝
3
姨
×
3
姨
2
－
2
姨
×
2
姨
2
＋1×１
2
＝1援
髴cos245毅表示（cos45毅）2，下同.
8
第1 章
解直角三角形
图1-8
A
D
C
B
例3
如
图
1-8，在
△ABC 中
，AB＝AC＝8 cm，∠BAC＝120毅.求
BC 的
长
和
△ABC 的
面
积
.
解
如
图
1-8，作
AD⊥BC 于
点
D.
在
△ABC 中
，AB＝AC，∠BAC＝120毅，
亦
∠BAD＝∠CAD＝1
2 ∠BAC＝60毅.
疫
sin∠BAD髴＝BD
AB ，
亦
BD＝ABsin∠BAD＝8 sin 60毅
＝8×
3
摇姨
2
＝4
3
摇姨（
cm）.
亦
BC＝2BD＝8
3
摇姨（cm）.
疫
cos∠BAD＝AD
AB ，
亦
AD＝ABcos∠BAD＝8 cos 60毅＝8× 1
2 ＝4（
cm）.
亦
S△ABC＝1
2 BC·AD＝1
2 ×8
3
摇姨
×4＝16
3
摇姨（
cm2）.
1援计算：
（1）糟燥泽30毅·泽蚤灶60毅.
（2）泽蚤灶2 45毅－2泽蚤灶45毅·糟燥泽60毅.
（3）泽蚤灶2 30毅＋糟燥泽2 30毅援
2援如图，点孕到坐标原点韵的距离韵孕＝6，韵孕与x 轴的夹角为60毅援
求点孕的坐标援
3援计算泽蚤灶30毅
糟燥泽30毅与贼葬灶30毅，sin 60毅
cos60毅与
tan 60毅，你发现了什么？对于任意
锐角，是否都有泽蚤灶
糟燥泽
＝贼葬灶
？请说明理由援
孕（曾，赠）
60毅
曾
赠
６
４
4
2
6
2
韵
（第2 题）
髴当用三个字母或数字表示角时，在三角函数式中需写上角的符号“∠”.
9
数学
九年级下册
员援求下列各式的值：
（1）3贼葬灶45毅＋2泽蚤灶30毅.
（2）16糟燥泽2 45毅－１
３贼葬灶2 60毅.
（3）
2
姨
泽蚤灶45毅－
3
姨（泽蚤灶60毅－2糟燥泽30毅）.
（4）3贼葬灶30毅－2贼葬灶60毅
糟燥泽60毅
＋4泽蚤灶60毅援
圆援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，∠粤＝45毅，粤月＝4援求月悦，粤悦的长援
猿援在直角坐标系中，点孕的位置如图所示援求点孕的纵坐标赠和韵孕
的长援
源援一辆卡车沿倾斜角为30毅的斜坡向上行驶100皂，分别求卡车沿水平
方向和铅垂方向所经过的距离援
缘援如图，梯子AB 的长为2郾8 皂援当
=60毅时，求
梯子顶端离地面的高度粤阅和两梯脚之间的
距离月悦援当
=45毅时呢？
远援计算下列各式：
（1）糟燥泽2 45毅＋泽蚤灶2 45毅.
（2）糟燥泽2 60毅＋泽蚤灶2 60毅援
你发现了什么？对任意锐角，是否都有
圆
远
（第3 题）
孕（6，赠）
30毅
曾
赠
4
4
2
6
韵
2
6
（第5 题）
阅
月
悦
粤
（第4 题）
30毅
糟燥泽2 ＋sin2
＝1？请说明理由援
10
第1 章
解直角三角形
如图1-9 和图1-10，将一个直角三角形形状的楔子（砸贼吟粤月悦）从木桩的底
端点孕沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动援如果楔子斜面的倾斜角
为10毅，楔子沿水平方向前进5 糟皂（如箭头所示），那么木桩上升多少厘米？
观察图1-10，易知，当楔子沿水平方向前进5 糟皂，即月晕＝5糟皂时，木桩上
升的距离为孕晕援
在砸贼吟孕月晕中，
疫
贼葬灶10毅＝孕晕
月晕，
亦
孕晕＝月晕·贼葬灶10毅＝5贼葬灶10毅（糟皂）援
那么贼葬灶10毅等于多少呢？对于不是30毅，45毅，60毅这些特殊角的三角函数
值，可以用科学计算器来求援
用科学计算器可以求任何锐角的三角函数值援一种比较普遍的按键方
法如表1-1髴.
图1-9
月
员园毅
图1-10
悦
晕
月
员园毅
粤
悦
孕
云
粤
孕
云
月
已知圆弧形公路弯道的两端相距200 m，圆弧半径为
1km，你能求出弯道的长吗？
1·2 锐角三角函数的计算
髴不同型号计算器的按键方法不一定相同，请参看相应计算器的说明书，下同援
10毅
10毅
按键顺序
显示结果
泽蚤灶30毅
0郾5
糟燥泽55毅
0郾573 576 436 4
贼葬灶86毅17忆
15郾394 276 04
贼葬灶
远
员
苑
越
愿
忆忆忆
。
忆忆忆
。
表1-1
本套教科书涉及
三角函数求值问题，
除特殊角或明确说明
外，一般可用计算器
求值.
糟燥泽
泽蚤灶
缘
猿
缘
园
越
越
11
数学
九年级下册
员援求下列三角函数值（精确到0郾000 1）：
泽蚤灶60毅，糟燥泽70毅，贼葬灶45毅，泽蚤灶29援12毅，糟燥泽37毅42忆6义，贼葬灶18毅31忆援
圆援解答本节开头提出的有关木桩运动的问题（孕晕的值精确到0.000 1）援
例1
如图1-11，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，粤月＝12 糟皂，∠粤＝35毅援求
吟粤月悦的周长和面积（周长精确到0援1糟皂，面积精确到0.1cm2）援
解
在砸贼吟粤月悦中，
疫
泽蚤灶粤＝月悦
粤月，糟燥泽粤＝粤悦
粤月，
亦
月悦＝粤月·泽蚤灶粤，粤悦＝粤月·糟燥泽粤援
亦
吟粤月悦的周长
＝粤月＋月悦＋粤悦
＝粤月＋粤月·泽蚤灶粤＋粤月·糟燥泽粤
＝粤月（1＋泽蚤灶粤＋糟燥泽粤）
＝12（1＋泽蚤灶35毅＋糟燥泽35毅）
≈28援7（糟皂）；
吟粤月悦的面积
＝１
2 粤悦·月悦
＝１
2 粤月·糟燥泽粤·粤月·泽蚤灶粤
＝１
2 粤月2·泽蚤灶粤·糟燥泽粤
＝１
2 ×122×泽蚤灶35毅·糟燥泽35毅
≈33援8（糟皂2）援
答：吟粤月悦的周长约为28援7糟皂，面积约为33援8 糟皂2援
图1-11
粤
月
悦
按键顺序:
按键顺序:
12
第1 章
解直角三角形
员援求下列三角函数值（精确到0郾000 1）：
（1）泽蚤灶15毅26忆，泽蚤灶57毅33忆8义.
（2）糟燥泽70毅，糟燥泽50毅18忆，糟燥泽80毅7忆35义.
（3）贼葬灶3毅12忆5义，贼葬灶40毅55忆，贼葬灶73毅3忆援
圆援求下列正切值（精确到0郾000 1），然后用“＜”把它们连接起来.
贼葬灶53毅49忆，贼葬灶14毅32忆，贼葬灶89毅43忆22义，贼葬灶60毅，贼葬灶7毅援
猿援计算：3贼葬灶10毅－2泽蚤灶20毅＋糟燥泽60毅（精确到0郾001）援
员援计算下列各式：
（1）泽蚤灶25毅＋糟燥泽65毅（精确到0.000 1）.
（2）泽蚤灶36毅·糟燥泽72毅（精确到0.000 1）.
（3）贼葬灶56毅·贼葬灶34毅援
圆援求下列余弦值（精确到0.000 1），并把它们按从小到大的顺序用
“＜”连接.
糟燥泽27毅12忆，糟燥泽85毅，糟燥泽63毅36忆15义，糟燥泽54毅23忆，糟燥泽38毅39忆52义援
前面我们已经发现锐角三角函数之间的一些关系，如
贼葬灶＝泽蚤灶
糟燥泽
，泽蚤灶2 ＋糟燥泽2 ＝1援
探索下列关系式是否成立（0毅＜＜90毅）援
（1）泽蚤灶＋糟燥泽≤1.
（2）泽蚤灶2 ＝2泽蚤灶.
（3）当0毅＜＜＜90毅时，0＜泽蚤灶＜泽蚤灶＜1援
13
数学
九年级下册
（第6 题）
阅
粤
悦
月
郧
北
源援计算：
（1）泽蚤灶70毅
糟燥泽70毅（精确到0郾001）.
（2）贼葬灶35毅×糟燥泽35毅－泽蚤灶35毅援
缘援某河道上要建造一座公路桥，为了使船只能顺利通过，桥面离水面
的高度澡不小于3 皂援如果要求引桥的坡角髴不超过15毅，那么引
桥的水平距离造至少要多长（精确到0郾1皂）？
远援如图，河两岸粤月，悦阅互相平行，小明和
小慧要测量河的宽度，小明在粤点测
得对岸河边的树郧正好在他的正北方
向，小慧站在小明正东方向的月点，测
得∠粤月郧＝70毅，粤，月两点之间的距离
是5 皂援根据上述测量数据，你能求出
河的宽度吗（精确到0郾1 皂）？
在生活和生产实际中经常遇到这样的问题：已知一个角的三角函数值，
要求这个角的度数援这类问题同样可以通过计算器来解决援
已知三角函数值求角度，要用到泽蚤灶
贼葬灶
糟燥泽
键的第二功能“泽蚤灶－1”
“糟燥泽－1”
“贼葬灶－1”援例如，已知泽蚤灶＝0郾297 4，求锐角
援按键顺序为：
即
＝17郾301 507 83毅援
如果再按“度分秒键毅忆忆忆”，就换算成“度分秒”的形式，即
＝17毅18忆5援43义援
（第5 题）
澡
造
髴坡面的倾斜角叫做坡角援
14
第1 章
解直角三角形
例2
根据下面的条件，求锐角
的大小（精确到1义）.
（1）泽蚤灶＝0援451 1. （2）糟燥泽＝0援785 7. （3）贼葬灶＝1援403 6援
解（1）按键顺序为：
得
≈26毅48忆51义援
（2）按键顺序为：
得
≈38毅12忆52义援
（3）按键顺序为：
得
≈54毅31忆55义援
例3
如图1-12，一段公路弯道呈圆弧形，测得弯道粤月
蓻两端的距离为
200 皂，粤月
蓻的半径为1000 皂援求弯道的长（精确到0援1 皂）援
分析
因为粤月
蓻的半径已知，根据弧长公式造＝灶仔砸
180 ，要求弯道粤月
蓻的长，
只要求出粤月
蓻所对圆心角∠粤韵月的度数援
如图1-12，作韵悦⊥粤月，垂足为悦，则韵悦平分∠粤韵月援
在砸贼吟韵悦月中，月悦＝1
2 粤月＝100 皂，韵月＝1000皂，
于是有泽蚤灶∠月韵悦＝1
10援
利用计算器求出∠月韵悦的度数，就能求出∠粤韵月
的度数援
请你自己完成本例的求解过程援
图1-12
砸
韵
月
粤
悦
15
数学
九年级下册
员援已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的大小（精确到员义）.
（1）泽蚤灶＝0援684 1，泽蚤灶粤＝0援513 6，泽蚤灶＝0援052 6.
（2）糟燥泽＝0援324 1，糟燥泽粤＝0援283 9，糟燥泽＝0援541 2.
（3）贼葬灶＝3援267 2，贼葬灶粤＝2援378 0，贼葬灶＝57援82援
圆援在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图）援已知固定点粤
离地面的高度粤悦为3 皂，钢管脚的支撑点月离树干底部悦点的
距离为2皂援求钢管与地面所成角∠1 的大小（精确到1义）援
猿援如图，某游乐场一山顶滑梯的高澡为8皂，滑梯的长造为14 皂援求滑梯
坡角
的大小（精确到1忆）援
4援用三根长度分别为80糟皂，60糟皂，60糟皂的木条做成一个等腰三角形
（如图），这个等腰三角形各个内角的大小分别为多少（精确到1义）？
（第2 题）
粤
月
悦
1
（第4 题）
（第3 题）
造
澡
员援已知下列三角函数值，求锐角，，的大小（精确到1义）.
（1）泽蚤灶＝0援708 3，泽蚤灶＝0援937 1，泽蚤灶＝0援246 0.
（2）糟燥泽＝0援829 0，糟燥泽＝0援761 1，糟燥泽＝0援299 6.
（3）贼葬灶＝0援331 4，贼葬灶＝2援232 0，贼葬灶＝31援818 2援
圆援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠援根据下列条件求各个锐角（精确到1忆）.
（1）粤月＝3，粤悦＝1.
（2）粤悦＝5，月悦＝4援
猿援如图，测得一商场自动扶梯的长造
为8皂，该自动扶梯到达的高度澡
为5皂援问：自动扶梯与地面所成
的角
是多少度（精确到1忆）？
（第3 题）
澡
造
16
第1 章
解直角三角形
我们知道，圆周率是指“圆周长与该圆直径的比率”，这是一个不变的常数，借
助它可以进行关于圆和球体的计算. 显然，圆周率数值的“准确性”，关系到有关计
算的准确性和精确度.
刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，
“周三径一”不是
圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图
1-13）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周
长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起
相当严密的理论和完善的算法. 用这种方法，刘徽算出了π的近
似值：3.1416.
请查阅有关资料，了解“割圆术”这种数学方法. 对此你会提
出哪些感兴趣的数学问题？请说说你解决这些问题的大体思路
和方法. 你能解决以下两个问题吗？请试一试.
（1）用圆内接正多边形的周长代替圆周长，求出一个圆周
率的近似值（精确度自定）.
（2）得到3.1416这个π的近似值至少要把圆几等分？你能求出
精确度更高，精确到0.000 01的圆周率的近似值吗？请说出你的
方法和结果.
图1-13
缘援如图，一个钟摆的摆长OA 为1郾5m，摆幅（粤月
蓻两端的距离）为20 cm.
求钟摆每摆动一次摆端经过的路程（结果精确到1 cm）.
远援如图，在砸贼吟粤悦月中，∠粤悦月＝砸贼∠，阅是粤月的中点，贼葬灶∠粤悦阅＝
1
3 援求∠粤，∠月的度数（精确到1忆）援
（第6 题）
粤
悦
阅
月
月
粤
（第5 题）
韵
悦
17
数学
九年级下册
例2
如图1-15，在砸贼吟粤悦月中，∠悦＝90毅，∠粤＝50毅，粤月＝3援求∠月和
葬，遭（边长精确到0.1）援
解
如图1-15，在砸贼吟粤悦月中，∠月＝90毅－50毅＝40毅援
疫
泽蚤灶粤＝葬
粤月，
亦
葬＝粤月·泽蚤灶粤＝3泽蚤灶50毅≈2援3援
疫
糟燥泽粤＝遭
粤月，
亦
遭＝粤月·糟燥泽粤＝3糟燥泽50毅≈1援9援
在日常生活和生产实践中，人们经常遇到有关三角形的边长与角度的
计算援在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做
解直角三角形（solving right鄄angled triangles）援
1·3 解直角三角形
某些城市规划中，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋
顶，这样能有效解决顶楼住宅的渗漏、隔热差等问题，并
且美化居住景观. 这个改造工程也称为“平改坡”工程.
例1
图1-14 是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计图援已知原平
屋顶的宽度造为10皂，坡屋顶高度澡为3援5 皂援求斜面钢条葬的长度和坡角
（长度精确到0援1 皂，角度精确到1毅）援
解
如图1-14，
葬＝
造
2
蓸
蔀
2
＋澡2
姨
＝
52＋3援52
姨
≈6援1（皂）援
疫
贼葬灶＝澡
造
2
＝3郾5
5 ＝0援7，
亦
≈35毅援
答：斜面钢条葬的长度约为6援1 皂，坡角
约为35毅援
图1-14
葬
葬
澡
造
粤
遭
3
月
图1-15
悦
葬
18
第1 章
解直角三角形
员援在砸贼吟粤月悦中，葬，遭，糟分别是∠粤，∠月和∠悦的对边，∠悦＝砸贼∠援
根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到1毅）.
（1）糟＝10，∠粤＝30毅.
（2）遭＝4，∠月＝72毅.
（3）葬＝5，糟＝7.
（4）葬＝20，泽蚤灶粤＝１
2 援
圆援已知在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，葬＝5，∠月＝54毅33忆援求∠粤和遭，糟
（边长精确到0.1）援
员援如图，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠援
（1）已知∠粤和糟，则葬＝
，遭＝
.
（2）已知∠月和遭，则葬＝
，糟＝
，
吟粤月悦的面积杂＝
援
圆援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，粤悦＝6，月悦＝8援求∠月的三角函数值，并
求出∠粤，∠月的度数（精确到1毅）援
猿援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠援根据下列条件解直角三角形.
（1）遭＝10，∠粤＝60毅.
（2）葬＝2
5
姨
，遭＝2
15
姨
援
源援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠援根据下列条件解直角三角形（长度精确
到0援1，角度精确到1义）.
（1）糟＝7，∠粤＝36毅.
（2）葬＝6，糟燥泽月＝
5
姨
－1
2
援
缘援一个住宅区的配电房示意图如图所示，
它是一个轴对称图形援求配电房房顶离
地面的高度（精确到0援1 皂）援
远援如图，在一张长方形纸片粤月悦阅中，粤阅＝
25 糟皂，粤月＝20 糟皂，点耘，云分别是悦阅和
粤月的中点援现将这张纸片按图示方式折
叠，求∠阅粤匀的大小及耘郧的长（精确到
0援1 糟皂）援
（第1 题）
悦
月
葬
遭
糟
粤
（第6 题）
云
月
匀
悦
耘
郧
粤
阅
（第5 题）
2援5
35毅
3
0援3
单位：m
19
数学
九年级下册
例3
水库堤坝的横断面是梯形（图1-16）援测得月悦长为6 皂，悦阅长
为60皂，斜坡悦阅的坡比为1 颐2援5，斜坡粤月的坡比为1 颐3援求：
（1）斜坡悦阅的坡角∠阅和坝底粤阅的宽（角度精确到1忆，宽度精
确到0援1 皂）.
（2）若堤坝长150 皂，则建造这个堤坝需用多少土石方（精确到1 皂3）？
解（1）如图1-16，作月耘⊥粤阅，悦云⊥粤阅，点耘，云为垂足援
在砸贼吟悦云阅中，贼葬灶阅＝悦云
云阅＝1
2郾5 ＝0援4，
亦
∠阅≈21毅48忆援
亦
悦云＝悦阅×泽蚤灶阅＝60×泽蚤灶21毅48忆≈22援28（皂），
阅云＝悦阅×糟燥泽阅＝60×糟燥泽21毅48忆≈55援71（皂）援
疫
月耘
粤耘＝1
3 ，
亦
粤耘＝3月耘＝3悦云＝66援84（皂），
亦
粤阅＝粤耘＋EF＋阅云＝AE＋BC＋阅云
＝66援84＋6＋55援71＝128援55≈128援6（皂）援
（2）横断面的面积杂＝１
2（月悦＋粤阅）×悦云
＝１
2（6＋128援55）×22援28
≈1 498援9（皂2），
许多有关图形的计算问题都可以直接或通过添辅助线，化归为解直角
三角形问题来解决援
图1-16
月
悦
阅
耘
云
粤
1 颐2援5
1 颐3
20
第1 章
解直角三角形
例4
体育项目400 皂栏比赛中，规定相邻两栏架之间的路程为35 皂援
在弯道处，以跑道离内侧线0援3 皂处的弧线（图1-17 中虚线）的长度作为相
邻两栏架之间的间隔路程援已知跑道的内侧线半径为36 皂. 问：在设定粤
栏架后，月栏架离粤栏架的距离是多少（结果精确到0援1 皂）？
解
如图1-18，连结粤月援由题意，得
粤月
蓻＝35 皂，韵月＝36援3 皂援
设∠粤韵月＝n毅,
由弧长公式造＝灶仔砸
180 ，可以得到
灶＝180造
仔砸＝180×35
36援3仔援
作韵悦⊥粤月于点悦援
疫
韵粤＝韵月，
亦
粤悦＝月悦，∠粤韵悦＝１
2 ∠粤韵月＝n
2 援
亦
粤月＝2粤悦＝2O粤sin∠AOC
＝2×36.3×sin
180×35
2×36援3仔摇
蓸
蔀毅≈33援7（皂）援
答：设定粤栏架的位置后，月栏架离粤栏架的距离约为33援7 皂援
图1-17
粤
月
韵
悦
图1-18
粤
韵
月
需用土石方灾＝杂造＝1 498援9×150＝224 835（皂3）援
答：斜坡悦阅的坡角约为21毅48忆，坡底宽约为128援6 皂，建造这个大坝
需用土石方约为224 835皂3援
21
数学
九年级下册
员援如图，燕尾槽的横断面粤月悦阅是等腰梯形，其中燕尾角∠月＝∠C＝
55毅，外口宽粤阅＝188 皂皂，深度粤E＝70 皂皂援求该燕尾槽的里口宽
月悦（精确到1 皂皂）援
圆援如图，某公路弯道两端A，B 的距离为1援72 噪皂，弯道半径韵粤为
1援5 噪皂援求弯道粤月
蓻的长（精确到0援01 噪皂）援
如
图
1-19，在
圆
内
接
正
十
边
形
中
，AB 是正十边形的
一条边，M 是
∠ABO 的平分线与半径OA 的
交
点
.
（
1）
设
⊙O 的
半
径
为
R，用
关
于
R 的
代
数
式
表
示
正
十
边
形
的
边
长
AB.
（
2）
你
发
现
sin 18毅和
黄
金
比
有
怎
样
的
关
系
？
O
M
B
A
图1-19
员援如图，一个零件的轴截面为梯形，且关于直线m 成轴对称援已知
倾角＝5援2毅，零件的长度造＝20 糟皂，大头直径阅＝10 糟皂援求小头直
径凿（精确到0援1糟皂）援
圆援如图，已韵的直径为10 糟皂，直径悦阅⊥粤月于
点耘，韵耘＝4 糟皂援求粤月
蓻的长（精确到0援1 糟皂）援
（第2 题）
悦
月
耘
韵
阅
粤
月
韵
粤
（第2 题）
（第1 题）
阅
月
耘
云
悦
粤
（第1 题）
造
凿
阅
m
22
第1 章
解直角三角形
猿援某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面粤月悦阅是一个梯形（如图）援已
知渠底宽月悦为0援8 皂，渠道深为1援2 皂，两渠壁粤B＝C阅，坡比均
为1 颐0援5. 求渠口宽粤阅及倾角
的度数（精确到1毅）.
源援一角硬币的正面有一个正九边形，示意图如图所示，其外接圆直径
为2援25 cm. 求该正九边形的边长（精确到0援01 cm）和面积（精确到
0援01cm2）.
缘援一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑
至如图所示位置时，粤月＝2 皂援已知木箱高
月耘＝1 皂，斜面坡角为32毅援求木箱端点耘
距地面粤悦的高度（精确到0援01皂）援
远援已知在吟粤月悦中，粤月＝5 糟皂，粤悦＝4 糟皂，粤月和粤悦的夹角为
援设
吟粤月悦的面积为杂（糟皂2）援
（1）若
为锐角，求杂关于的函数表达式. 若
为钝角呢？
（2）何时吟粤月悦的面积最大？最大面积为多少？
下面我们继续探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用援
例5
某海防哨所韵发现在它的北偏西30毅，距离哨所500 皂的粤处
有一艘船向正东方向航行，经过3 分钟后到达哨所东北方向的月处援求船
从粤处到月处的航速（精确到1 噪皂/澡）.
分析
对没有附图的测量问题，一般我们可先根据题意画出示意图
（图1-20）援由图1-20 容易看出，要求船的航速，只需求出粤，月间的路
程，这可化归为解砸贼吟粤韵悦与砸贼吟月韵悦援
粤
O
B
C
（第4 题）
阅
粤
（第3 题）
月
悦
（第5 题）
月
耘
粤
悦
23
数学
九年级下册
例6
如图1-21，测得两楼之间的距离为32援6 皂，从楼顶点粤观测点阅
的俯角为35毅12忆，点悦的俯角为43毅24忆援求这两幢楼的高度（精确到0援1 皂）援
分析
如图1-21，过D 作DE⊥AB，垂足为E. 显然，问题可转化为解
砸贼吟粤月悦和砸贼吟粤耘阅援
解
在砸贼吟粤月悦中，
∠粤悦月＝∠云粤悦＝43毅24忆，
亦
粤月＝月悦×贼葬灶∠粤悦月
＝32援6×贼葬灶43毅24忆
≈30援83≈30援8（皂）援
在砸贼吟粤耘阅中，
∠粤阅耘＝∠阅粤云＝35毅12忆，
阅耘＝月悦＝32援6（皂），
亦
粤耘＝阅耘×贼葬灶∠粤阅耘
＝32援6×贼葬灶35毅12忆≈23援00（皂）援
亦
悦阅＝粤月－粤耘≈30援83－23援00＝7援83≈7援8（皂）援
答：两幢楼高分别约为30援8 皂和7援8 皂援
解
根据题意画出示意图，如图1-20援
在砸贼吟粤韵悦中，
韵粤＝500 皂，∠粤韵悦＝30毅，
亦
粤悦＝韵粤泽蚤灶∠粤韵悦＝500×泽蚤灶30毅
＝500×１
2 ＝250（皂），
韵悦＝韵粤糟燥泽∠粤韵悦＝500×糟燥泽30毅
＝500×
3
姨
2
＝250
3
姨（皂）援
在砸贼吟月韵悦中，∠月韵悦＝45毅，
亦
月悦＝韵悦＝250
3
姨（皂），
亦
粤月＝粤悦＋月悦＝250＋250
3
姨
＝250（1＋
3
姨
）（皂）援
所以船的航速为250（1＋
3
姨
）÷3×60≈14 000（皂/澡）＝14（km/澡）援
答：船从粤处到B 处的航速约为14 噪皂/澡援
图1-21
35毅12忆
43毅24忆
耘
月
悦
阅
云
粤
32援6 皂
图1-20
东
月
悦
韵
粤
45毅
30毅
北
A
24
第1 章
解直角三角形
员援如图，在离铁塔150 皂的粤处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30毅12忆，
测倾仪高粤阅为1援52 皂援求铁塔高月C（精确到0援1 皂）援
圆援如图是某少年宫局部景点示意图援“蹦蹦床”粤在“正大门”月的北偏
东30毅方向，在“小舞台”悦的正北方向；
“小舞台”悦在“正大门”月
的东南方向60 皂处援问：
“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距多少米？
“蹦蹦床”距离“正大门”多少米？
猿援在地面上的粤点测得树顶端悦的仰角为30毅，沿着向树的方向前进
6 皂到达月点，在月点测得树顶端悦的仰角为45毅援请画出示意图，
并求出树高（精确到0援1 皂）援
（第1 题）
150
30毅12忆
C
月
粤
阅
单位：m
员援小慧的眼睛离地面的距离为1援6 皂，她用一块含60毅角的三角尺测
量广场上的旗杆高度（如图）援量得小慧与旗杆之间的距离为10援6 皂，
求旗杆的高度（精确到员皂）.
圆援小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部
的仰角和大厦底部的俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为
32 皂. 问：大厦有多高？小玲家又有多高（结果精确到1 皂）？
（第2 题）
46毅
29毅
32皂
（第1 题）
单位：m
1援6
10援6
月
耘
粤
阅
悦
粤
月
悦
阅
（第2 题）
正大门
蹦蹦床
小舞台
30毅
粤
月
悦
北
25
数学
九年级下册
如图1-22 的仪器叫做测倾仪，可用来测量观察目标时的仰角和俯角援它由度
盘、铅锤和支杆组成援测量时，将支杆插入地面，使支杆的
中心线、铅垂线和度盘的0毅刻度线重合，这时度盘的直径
孕匀处于水平位置援转动度盘，使度盘的直径孕匀对准测量
目标，这时铅垂线指的度数就是仰角或俯角的度数援你知道
这是为什么吗？
选择校园内某一目标物，用测倾仪测出你所需要的数
据，并求出目标物的高度援完成测量之后，写一份测量报告援
报告中要求有以下内容：测量的示意图、测量的操作过程、
测得的数据、计算方法和最终结果等援
匀
孕
60
30
0
30
60
铅锤
度盘
支杆
图1-22
猿援如图，广场上空有一个气球粤，地面上点
月，悦，阅在一条直线上，月悦＝20 皂援在点
月，悦分别测得气球粤的仰角∠粤月阅为
45毅，∠粤悦阅为56毅. 求气球粤离地面的
高度粤阅（精确到0援1皂）援
源援如图，从点粤看一山坡上的电线杆孕匝，
观测杆顶端点孕的仰角是45毅，向前走6 皂到达月点，测得杆顶端
点孕和杆底端点匝的仰角分别是60毅和30毅援求该电线杆孕匝的高
度（精确到0援1 皂）援
缘援如图，两个观察者从粤，月两地观测空中悦处一个气球，分别测得仰
角为45毅和60毅援已知粤，月两地相距100 皂，当气球沿与粤月平行的
路线飘移20 s 后到达点悦忆，在粤处测得气球的仰角为30毅援求：
（1）气球飘移的平均速度（精确到0.1m/s）.
（2）在月处观测点悦忆的仰角（精确到度）援
粤
（第3 题）
56毅
45毅
悦
阅
月
（第4 题）
45毅
30毅
60毅
月
孕
匝
粤
（第5 题）
悦忆
粤
月
悦
阅
60毅
45毅
30毅
26
第1 章
解直角三角形
国际数学家大会（ICM）和国际数学教育大会（ICME）堪称国际数学界
和数学教育界的“奥林匹克”. 每届会徽的设计往往既蕴涵了深刻的数学意
义，也体现了数学与艺术的结合.
图1-23的图案是第七届国际数学教育大会（陨悦酝耘）的会徽，这个会徽的
主体图案是由一连串如图1-24 所示的直角三角形演化而成，其中
韵粤1＝粤1粤2＝粤2粤3＝…＝粤8粤9. 如果设韵粤1＝1，那么利用勾股定理就很容易
得到：
韵粤1＝1＝
１
姨
，
韵粤2＝
2
姨
，
韵粤3＝
3
姨
，
…
韵粤灶＝
灶
姨
援
利用锐角三角函数可
以分别求出∠粤1韵粤2，∠粤2韵粤3，∠粤3韵粤4，…，∠粤8韵粤9 这些角的度数援你知道
怎样求吗？
（1）写出∠粤灶－1 韵粤灶的正切的表示式（2≤灶≤9，且灶为整数）.
（2）求∠粤3韵粤4 的度数.
（3）如果∠粤灶－1韵粤灶是第一个小于20毅的角，那么它是第几个直角三角形
的内角？
图1-25是2002年在北京召开的国际数学家大会
（ICM）的会徽，你能提出关于这个会徽的两个数学
问题，并给出解答吗？
图1-25
图1-23
陨悦酝耘援7
图1-24
韵
粤2
粤3
粤4
粤5
粤6
粤7
粤8
粤9
粤1
第1 章
解直角三角形
27
数学
九年级下册
填空．
1援如图1-26，自∠
一边粤孕上的点
月向另一边粤酝作垂线月悦，垂足为悦，那
么比值月悦
粤月叫做∠的
，记做
，即泽蚤灶
＝月悦
粤月；比值
叫做
∠的余弦，记做
，即糟燥泽＝粤悦
粤月；
比值月悦
粤悦叫做∠
的正切，记做贼葬灶
，
即
援锐角
的正弦、余弦和
正切统称∠
的
援
2援如图1-26，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅，
则有泽蚤灶粤＝
；糟燥泽粤＝
；
贼葬灶粤＝
援
3援30毅，45毅，60毅角的三角函数值.
4援
在直角三角形中，由已知的一些
边、角，求出另一些边、角的过程，叫做
援
填表.
粤
孕
悦
酝
月
图1-26
30毅
45毅
60毅
泽蚤灶
糟燥泽
贼葬灶
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
能用计算器求锐
角的三角函数值，
及已知三角函数
值求对应的锐角
会解直角三角形，
并应用解直角三
角形解决简单的
实际问题
28
第1 章
解直角三角形
荫认识锐角三角函数（泽蚤灶粤，糟燥泽粤，贼葬灶粤）援
荫知道30毅，45毅，60毅角的三角函数值援
员援在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝90毅援根据下列条件求∠粤的正弦、余弦、正切的值.
（1）粤悦＝
3
姨
，月悦＝2.
（2）粤月＝7，月悦＝5.
（3）
3
姨
粤悦＝
5
姨
月悦援
（4）泽蚤灶月＝5
13.
圆援在直角坐标系中，点孕（曾，6）在第一象限，且韵孕与曾轴正半轴的夹
角
的正切值是2
3 援求曾的值，及角
的正弦和余弦值援
猿援求下列各式的值：
（1）4泽蚤灶2 60毅＋贼葬灶45毅－8糟燥泽2 30毅.
（2）糟燥泽60毅－2泽蚤灶2 45毅＋3
4 贼葬灶2 30毅－泽蚤灶30毅.
（3）
糟燥泽45毅
贼葬灶60毅－泽蚤灶60毅援
源援如图，把两张宽度都是3 糟皂的纸条交错地
叠在一起，相交成角
援求重叠部分的面积援
荫会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数
值求锐角援
缘援求下列各组锐角的三角函数值（精确到0.000 1）：
（1）泽蚤灶70毅，泽蚤灶50毅35忆25义，泽蚤灶30援5毅.
（2）糟燥泽20毅，糟燥泽10毅56忆，糟燥泽87毅4忆.
（3）贼葬灶35毅24忆，贼葬灶15毅40忆，贼葬灶80毅42忆8义援
远援求下列各式中的锐角
：
（1）贼葬灶＝
3
姨
3
.
（2）泽蚤灶＝
3
2
3
姨
.
（3）糟燥泽＝
1
2
姨
.
（4）泽蚤灶＝0. 940 3（精确到1义）.
（5）糟燥泽＝0援585 2（精确到0.1毅）. （6）贼葬灶＝0援153 5（精确到1忆）援
（第4 题）
1援2 节
1.1 节
29
数学
九年级下册
苑援已知等腰三角形的顶角为78毅4忆，底边上的高
线长为28援5 糟皂援求这个等腰三角形的腰长和
三角形的面积（腰长精确到0.1cm，面积精确到
1cm2）援
愿援如图，AB 是已O 的内接正五边形的边长. 求
图中弓形的面积（精确到0援1 糟皂2）援
荫能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题援
怨援为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点粤测得河北岸的
树悦恰好在粤的正北方向，然后向东走10 皂到达月点，测得树悦
在点月的北偏西65毅方向援画出示意图，并求出河宽（精确到0援1 皂）援
员园援为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼房之间
的最小距离要使中午12 时不能遮光援如图，旧楼的一楼窗台高1皂，
现计划在旧楼正南方40 皂处再建一幢新楼援已知该市冬天中午
12 时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为30毅. 问：新
楼房最高可建多少米（结果精确到1 皂）？
员员援飞行员在空中观察地面的区域是一个圆（如图）援当观察角
为50毅，
飞机的飞行高度
为9援8×102 皂时，观察区域的半径为多少米
（结果精确到1 皂）？如果观察角度不变，要使观察区域面积增加
1 倍，那么飞机要升高多少米（精确到1 皂）？
（第11 题）
50毅
（第10 题）
30毅
1 皂
新
楼
旧
楼
40 皂
（第8 题）
单位：糟皂
D
悦
韵
粤
B
1援3 节
30
第1 章
解直角三角形
员2援如图，某轮船在海上以每小时30 海里的速度向正西方向航行. 上
午8：00 在点B 处测得小岛A 在北偏东30毅方向，上午9：00 船
到达点C 处，测得岛A 在北偏东45毅方向. 如果轮船继续向西航
行，上午11：00 到达点D 处.求点D 与小岛A 的距离（精确到0.1
海里）.
员3援从一个半径为10 糟皂的圆片中裁下一个垫
片，如图中阴影部分援已知粤月椅悦阅，粤月＝
悦阅＝16 糟皂援求垫片的面积（精确到0援1 糟皂2）援
（第13 题）
月
悦
阅
粤
（第12 题）
A
B
C
D
31
第2 章
直线与圆的位置关系
在日出过程中，你认为地平线与太阳之间的位置关系是怎样变化
的？由此你可以想象直线与圆有哪几种位置关系？
2020 年11 月29 日，我国首个实施无人月面取样返回的月球探
测器嫦娥五号进行第二次近月制动，顺利进入离月球表面200km 的
近圆形环月轨道. 如图，⊙O 代表月球，点P 代表嫦娥五号探测器，
PC=200km. 从点P 处能看到的月球上最远的点在什么位置？能观察
到月球表面的最远距离是多少?（月球的直
径约为3 476km，结果精确到1 km）
本章我们将学习直线与圆的位置关
系，并利用这些知识解决一些简单的实际
问题．
P
C
O
A
B
数学
九年级下册
在观察日出过程中，如果我们把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，那
么我们就会发现直线与圆有以下三种位置关系（图2-1）.
一般地，当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交（图2-1①）；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线
（贼葬灶早藻灶贼），公共点叫做切点（图2-1②）；当直线与圆没有公共点时，叫做直线
与圆相离（图2-1③）援
②
③
图2-1
如图，韵为直线造外一点，韵栽⊥造于点栽，
且韵栽＝凿援以韵为圆心，分别以1
2
凿，凿，3
2
凿为
半径作圆援所作的圆与直线造有什么位置关系？
韵
栽
凿
造
火车的车轮与铁轨之间可以想像成直线与圆的哪一种位
置关系？
2·1 直线与圆的位置关系
韵
韵
造
造
韵
造
①
34
第2 章
直线与圆的位置关系
例1
已知：如图2-3，P 为∠ABC 的角平分线上一点，已P 与BC 相切.
求证：已P 与AB 相切.
证明
设已P 的半径为r，点P 到BC，
AB 的距离分别为d1，d2郾
疫
点P 在∠ABC 的平分线上，
亦
d1＝d2郾
又已P 与BC 相切，
亦
d1＝r，则d2＝r.
亦
已P 与AB 相切.
图2-3
A
P
B
C
如果
韵的半径为则，圆心韵到直线造的距离为凿，那么，
凿
则圳直线造与
韵相交；
凿
则圳直线造与
韵相切；
凿
则圳直线造与
韵相离援
观察图2-2，我们能够发现，直线与圆的位置与圆的半径r 及圆心到直
线的距离d 有关.
造
韵
凿
栽
造
韵
凿
栽
造
韵
则
凿
栽
①
②
③
图2-2
则
则
例2
在码头粤的北偏东60毅方向有一个海岛，距离该岛中心孕12 海
里的范围内是一个暗礁区援货船从码头粤由西向东航行，行驶了10 海里到
达点月，这时岛中心孕在该船的北偏东45毅方向援若货船不改变航向，则货
船会不会进入暗礁区？
一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：
35
数学
九年级下册
粤
孕
匀
月
图2-4
45毅
60毅
北
员援设已韵的半径为则，圆心韵到直线造的距离为凿援根据下列条件判断
直线造与已韵的位置关系.
（1）凿＝4，则＝3.
（2）凿＝3
2 ，则＝
3
姨
.
（3）凿＝2
3 ，则＝3
5 .
（4）凿＝2
5
姨
，则＝
20
姨
援
圆援在吟粤月悦中，∠粤悦月＝90毅，悦粤＝3，悦月＝4援设已悦的半径为则，请根
据下列则的值，判断直线粤月与已悦的位置关系，并说明理由援
（1）则＝2.
（2）则＝2郾4.
（3）则＝3援
员援填空：
（1）如果圆心韵到直线造的距离等于已韵的直径，那么直线造与
已韵的位置关系是
.
（2）如果一条直线与圆有公共点，那么该直线与圆的位置关系是
.
解
画示意图如图2-4援暗礁区的圆心为孕，作孕匀⊥粤月，垂足为匀，则
∠孕粤匀＝30毅，∠孕月匀＝45毅，
亦
粤匀＝
3
姨
孕匀，月匀＝孕匀援
疫
粤匀－月匀＝粤月＝10，
亦
3
姨
孕匀－孕匀＝10，
亦
孕匀＝
10
3
姨
－1
（海里）援
疫
10
3
姨
－1
＞12，
亦
货船不会进入暗礁区援
36
第2 章
直线与圆的位置关系
（3）如果正三角形粤月悦的边长为8糟皂，以粤为圆心，则为半径的圆
与月悦相切，那么则＝
糟皂.
（4）已知∠粤韵月＝30毅，孕是韵粤上一点，韵孕＝4 糟皂. 以则为半径作
已孕. 若则＝2
3
姨
糟皂，则已孕与直线韵月的位置关系是
；
若已孕与直线韵月相离，则则需满足的条件是
援
圆援如图，已知点韵和直线造. 作以点韵为圆心，且与直线造相切的圆援
猿援如图，在砸贼吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠，粤悦＝8cm，月悦＝6 cm援若要以悦为
圆心，则为半径画已悦，根据下列条件，
求半径则的值或取值范围援
（1）直线粤月与已悦相离.
（2）直线粤月与已悦相切.
（3）直线粤月与已悦相交援
源援已知已韵的半径为则，点韵到直线造的距离为凿，且渣凿－3渣＋（6－2则）2
＝0援试判断直线造与已韵的位置关系援
缘援两个同心圆的半径分别为3 糟皂和2 糟皂，粤月是大圆的一条弦. 当粤月
与小圆相交、相切、相离时，粤月的长分别满足什么条件？
6援已知已O 的半径r＝7 cm，直线l1椅l2，且l1 与已O 相切，圆心O 到l2
的距离为9 cm. 求l1 与l2 的距离.
（第3 题）
月
粤
悦
（第2 题）
韵
造
37
数学
九年级下册
如图，粤月是已韵的直径援分别过点粤，月作已韵的切线援
韵
粤
月
图2-6
月
粤
悦
韵
例3
已知：如图2-6，粤是已韵外一点，粤韵的延长线交已韵于点悦，
点月在圆上，且粤月＝月悦，∠粤＝30毅援求证：直线粤月是已韵的切线援
证明
连结韵月援
疫
韵月＝韵悦，粤月＝月悦，∠粤＝30毅，
亦
∠韵月悦＝∠悦＝∠粤＝30毅，
亦
∠粤韵月＝∠悦＋∠韵月悦＝60毅援
疫
∠粤月韵＝180毅－（∠粤韵月＋∠粤）
＝180毅－（60毅＋30毅）＝90毅，
亦
粤月⊥韵月，
亦
粤月为已韵的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆
的切线）援
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线援
按照下述步骤作图押
如图2-5，在已韵上任取一点粤，连结韵粤援过点粤作
直线造⊥韵粤援
思考以下问题（可与你的同伴交流）：
（1）圆心韵到直线造的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线造与已韵的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现什么？
一般地，有以下直线与圆相切的判定定理：
图2-5
韵
38
第2 章
直线与圆的位置关系
例4
如图2-7，台风中心孕（100，200）沿北偏东30毅方向移动，受台风
影响区域的半径为200 噪皂援那么下列城市粤（200，380），月（600，480），
悦（550，300），阅（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次
台风的影响？
解
如图2-7，在直角坐标系中画出以点孕（100，200）为圆心，以200
为半径的已孕，再在点孕处画出北偏东30毅方向的方向线，作垂直于方向线
的已孕的直径匀运，分别过点匀，运作已P 的切线造1，造2，则造1椅造2援
因为台风圈在两条平行线造1，造2 之间移动，点粤，阅落在切线造1，造2 之间，
所以受到这次台风的影响；而点月，悦不在切线造1，造2 之间，所以不受到这次
台风的影响援
员援如图，点匝在已韵上援分别根据下列条件，
判定直线孕匝与已韵是否相切.
（1）韵匝＝6，韵孕＝10，孕匝＝8.
（2）∠韵＝67郾3毅，∠孕＝22毅42忆援
圆援如图，韵孕是已韵的半径，∠孕韵栽＝60毅，韵栽
交已韵于点杂援
（1）过点孕作已韵的切线.
（2）过点孕的切线交韵栽于点匝，判断点杂是不是线段韵匝的中
点，并说明理由援
（第1 题）
韵
匝
孕
曾（噪皂）
韵
100
200
300
400
500
600
700
100
200
300
400
500
粤
阅
孕
悦
月
图2-7
造员
造２
匀
运
赠（噪皂）
30毅
600
北
韵
杂
栽
孕
（第2 题）
39
数学
九年级下册
员援已知圆的直径为4 糟皂，圆心到直线造1，造2，造3，造4 的距离分别为2 糟皂，
2
2
姨
糟皂，4泽蚤灶30毅糟皂，1援5 糟皂. 问：与圆相切的直线有哪些？为什么？
圆援如图，定滑轮已韵静止时，半径韵粤在水平位置援链条粤月所在的直
线与已韵有什么位置关系？请说明理由援
猿援如图，点酝在已韵上援
（1）过点酝作已韵的切线酝晕.
（2）是否存在一条与酝晕平行的已韵的切线？若存在，请作出这条
切线援
源援已知：如图，粤月是已韵的直径，月悦⊥粤月，弦粤阅椅韵悦援求证：阅悦是
已韵的切线援
缘援链球运动员在投掷链球时，链球按顺时针作圆周运动. 如图，当运动
员即将放手时，链球在已韵的点孕处援
（1）链球将沿已韵的切线方向飞出，请画出
链球飞出的方向.
（2）已知已韵的半径OP 为1.2 皂，假设链球
在飞出的2 s 内方向不变，经过2 s，链球飞
出的距离为32 皂. 求此时链球离点韵的
距离（精确到0援01 m）援
月
粤
韵
（第2 题）
粤
（第4 题）
月
韵
悦
阅
（第3 题）
韵
酝
（第5 题）
韵
孕
40
第2 章
直线与圆的位置关系
远援已知：如图，在砸贼吟粤月悦中，∠粤悦月＝砸贼∠，悦阅⊥粤月于点阅援
（1）求证：月悦是吟粤阅悦的外接圆的切线.
（2）在吟ABC 中，哪条边所在的直线是吟月阅悦的外接圆的切线？
为什么？
（3）若粤悦＝5 c皂，月悦＝12 c皂，以悦为圆心，2援4 c皂为半径作已悦.
判断已悦与直线粤月的位置关系，并说明理由援
（第6 题）
粤
阅
月
悦
图2-8
粤
韵
孕
栽
如图2-8，直线粤栽与已韵相切于点粤，连结韵粤，
孕是粤栽上一点援∠韵粤孕等于多少度？在已韵上再
任意取一些点，过各点作已韵的切线（根据圆的切
线的定义，画出大致图形），连结圆心与切点援半径
与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？
你的发现与你的同伴的发现相同吗？
一般地，圆的切线有如下的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线援
41
数学
九年级下册
月
悦
粤
韵
阅
图2-10
耘
例5
木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径援如图2-9，用角尺
的较短边紧靠已韵于点粤，并使较长边与已韵相切于点悦援记角尺的直角顶
点为月，量得粤月＝8 糟皂，月悦＝16 糟皂援求已韵的半径援
解
连结韵粤，韵悦，作粤阅⊥韵悦，垂足为阅援设已韵的半径为则援
疫
已韵与月悦相切于点悦，
亦
韵悦⊥月悦（经过切点的半径垂直于圆的切线）援
疫
粤月⊥月悦，粤阅⊥韵悦，
亦
四边形粤月悦阅是矩形，
亦
粤阅＝月悦，阅C＝A月，
韵阅＝韵悦－悦阅＝韵悦－粤月援
在砸贼吟粤韵阅中，韵粤2＝粤阅2＋韵阅2，
即则2＝（则－8）2＋162，解得则＝20援
亦
已韵的半径为20 糟皂援
图2-9
悦
月
粤
韵
阅
例6
已知：如图2-10，直线粤月与已韵相切于点悦，粤韵交已韵于点
阅，连结悦阅，OC援求证：∠粤悦阅＝1
2 ∠悦韵阅援
证明
如图2-10，作韵耘⊥悦阅于点耘，
则∠悦韵耘＋∠O悦耘＝Rt∠.
疫
已韵与粤月相切于点悦，
亦
韵悦⊥粤月（经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠粤悦阅＋∠韵悦耘＝砸贼∠援
亦
∠粤悦阅＝∠悦韵耘.
疫
吟韵阅悦是等腰三角形，OE⊥CD，
亦
∠悦韵耘＝1
2 ∠悦韵阅，
亦
∠粤悦阅＝1
2 ∠悦韵阅援
42
第2 章
直线与圆的位置关系
员援已知：如图，直线造切已韵于点孕，弦粤月椅造. 求证：粤孕
蓻＝BP
蓻援
圆援如图，晕是直线造上一点援作半径为1 糟皂的已韵，使已韵与直线造相
切于点晕援满足条件的圆可作几个？
猿援如图，粤栽切已韵于点粤，粤月是已韵的直径，
月栽交已韵于点悦援已知∠月＝30毅，粤栽＝
3
姨
援求直径AB 和弦月悦的长援
（第3 题）
月
韵
粤
栽
悦
（第1 题）
韵
粤
月
孕
造
（第2 题）
晕
造
员援填空：
（1）如图，粤月是已韵的直径，月悦切已韵于点月，粤悦交已韵于点
阅援若粤C＝5，B悦＝3，则已韵的半径为
.
（2）如图，已韵的切线PC 交直径粤月的延长线于点孕，C 为切点.
若∠P＝30毅，已韵的半径为1，则孕月的长为
援
（第1（1）题）
粤
韵
月
阅
悦
（第1（2）题）
粤
悦
韵
月
孕
43
数学
九年级下册
圆援已知：如图，直线葬切已韵于点栽，粤月为已韵的弦，粤栽
蓻＝月栽
蓻援求证：
粤月椅葬援
猿援如图，直线葬椅遭援求作一个圆，要求与这两条平行线都相切援这样的
圆有多少个？它们的圆心位置有什么特点？
4援已知：如图，PA 是已O 的切线，A 是切点. B 为已O 上一点，PA＝PB.
求证：PB 是已O 的切线.
5援如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于
点D，BE彝CE 于点E，交半圆于点F，已知CE＝12，月E＝9援求CO
的长援
6援在例6 中，若粤悦＝4 糟皂，已韵的半径为3 糟皂，求粤阅，悦耘的长援
（第4 题）
孕
A
B
O
（第5 题）
韵
月
C
D
E
云
A
（第2 题）
粤
韵
月
栽
葬
（第3 题）
遭
葬
44
第2 章
直线与圆的位置关系
如图2-11，P 是已O 外一点，PA，PB 分别切已O 于A，B 两点. 比较PA，
PB 两条线段的长短，你发现了什么？
从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一
点到切点间的线段的长叫做切线长. 例如，图
2-11 中，线段PA，PB 的长是点P 到已O 的切线长.
关于圆的切线，有下面的定理：
下面给出证明.
已知：如图2-12，P 为已O 外一点，PA，PB 分别与已O 相切于点A，B.
求证：PA＝PB.
证明：如图2-12，连结AO，BO，PO.
疫
PA，PB 分别与已O 相切于点A，B，
亦
AO⊥PA，BO⊥PB.
而AO＝BO，PO＝PO，
亦
Rt吟AOP≌Rt吟BOP.
亦
PA＝PB.
图2-12
月
A
P
O
切线长定理
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.
图2-11
P
O
A
B
你见过抖空竹表演吗？如示意图，AC，BD 分别与
已O 相切于点C，D，AC 与BD 的延长线交于点P. PC
与PD 有什么大小关系？
2·2 切线长定理
粤
B
D
C
O
P
例1
如图2-13，点O 是粤月
蓻所在圆的圆心，AC，BC 分别与已O 相切于
点A，B. 已知∠ACB＝80毅，OC＝100 cm. 求点C 到已O 的切线长（结果精确
到1 cm）.
解
如图2-13，连结OA，OB.
45
数学
九年级下册
疫
AC，BC 分别与已O 相切于点A，B，
亦
AC＝BC（过圆外一点所作的圆的两条切线
长相等）.
又疫
OA＝OB，OC＝OC，
亦
吟OAC≌吟OBC.
亦
∠ACO＝∠BCO＝1
2 ∠ACB＝1
2 ×80毅＝40毅.
在Rt吟OAC 中，∠OAC＝90毅（为什么？），
亦
AC
OC ＝cos 40毅，
亦
AC＝OC×cos 40毅＝100×cos 40毅≈77（cm）.
答：点C 到已O 的切线长约为77 cm.
例2
如图2-14，已O 表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，
NB 分别切已O 于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P. 已知∠APB＝60毅，
AP＝24 cm，求两切点间的距离和粤月
蓻的长（精确到1 cm）.
解
如图2-15，连结AB，OA，OB，OP.
疫
MP，NP 分别切已O 于点A，B，
亦
OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP（为什么？）.
又疫
∠APB＝60毅，
亦
吟ABP 为等边三角形，
亦
AB＝AP＝24 cm.
疫
OA＝OB，
亦
OP 平分蚁APB，
亦
∠OPA＝30毅，
亦
OA＝AP× tan 30毅＝24×
3
摇姨
3
＝8
3
摇姨（cm）.
而∠AOB＝360毅－2×90毅－60毅＝120毅,
亦
粤月
蓻＝120仔×OA
180
＝120仔×8
3
摇姨
180
≈29(cm）.
答：两切点间的距离为24 cm，粤月
蓻的长约为29 cm.
图2-13
O
月
C
A
图2-14
O
M
A
P
B
N
图2-15
O
M
A
P
B
N
46
第2 章
直线与圆的位置关系
3援由圆弧形弯道粤月
蓻和两段直道AM，BN 组成的一条公路示意图如图
所示. 直线AM，BN 分别与粤月
蓻所在的已O 相切于点A，B. 已知已O
的半径为90 m，粤月
蓻的长为60 仔m，求直线AM 与BN 所成的锐角
的度数，以及AM，BN 的交点到已O 的切线长.
4援已知：如图，PA，PB 是已O 的切线，切点分别为A，B. 连结PO 并延
长，交已O 于点C. 求证：AC＝BC.
员援已知已O 的半径为5，P 是已O 外一点，PO＝10.
求点P 到已O 的切线长和两切点间的劣弧长.
2援已知：如图，在已O 中，弦AB 垂直平分半径ON，
过点A，B 的切线相交于点M. 求证：吟ABM 是
等边三角形.
1援如图，P 是已O 外一点，PA，PB 分别切已O 于点A，B. 已知已O 的半
径为1，OP＝2郾4. 求切线长（精确到0郾1）和∠APB 的度数（精确到1毅）.
2援如图，O 为Rt吟ABC 的直角边AC 上一点.以OC 为半径的半圆与
斜边AB 相切于点D，交AC 于点E. 已知AB＝5，AC＝4，求BD 的
长和已O 的半径.
（第2 题）
A
B
O
N
M
（第3 题）
O
M
A
B
N
O
C
B
A
P
（第4 题）
B
（第2 题）
O
C
E
A
D
（第1 题）
B
O
P
A
47
数学
九年级下册
缘援已知：如图，A 是已O 外一点，AB，AC 分别与
已O 相切于点B，C. P 是月C
蓻上任意一点，过
点P 作已O 的切线，交AB 于点M，交AC 于
点N. 设AO＝d，BO＝r. 求证：吟AMN 的周长
是一个定值，并求出这个定值.
（第5 题）
A
N
P
M
B
O
C
如图2-16，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆
来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？
建议按下列步骤探索：
（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什
么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆
心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心和半径？
图2-16
这幅美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它
们之间有着怎样的位置关系？
2·3 三角形的内切圆
48
第2 章
直线与圆的位置关系
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（蚤灶泽糟则蚤遭藻凿糟蚤则糟造藻），圆心叫做三角形的内心（蚤灶糟藻灶贼则藻），
三角形叫做圆的外切三角形（糟蚤则糟怎皂泽糟则蚤遭藻凿贼则蚤葬灶早造藻）援
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点援对任
意一个吟粤月悦（图2-17），分别作它的角平分线粤阅和
月耘援以粤阅和月耘的交点韵为圆心，点韵到月悦的距离
韵云为半径作已韵，这个已韵就是吟粤月悦的内切圆援
韵
粤
耘
图2-17
月
云
阅
悦
例1
如图2-18，等边三角形ABC 的边长为3 糟皂，求吟粤月悦的内切圆
已韵的半径.
解如图2-18，设已韵切粤月于点阅，连结韵粤，韵月，韵阅援
疫
已韵是吟粤月悦的内切圆，
亦
粤韵，月韵是∠月粤悦，∠粤月悦的角平分线援
疫
吟粤月悦是等边三角形，
亦
∠韵粤月＝∠韵月粤＝30毅援
疫
韵阅⊥粤月，粤月＝3 糟皂，
亦
粤阅＝月阅＝1
2 粤月＝1郾5（糟皂），
亦
韵阅＝粤阅×贼葬灶30毅＝1郾5×
3
姨
3
＝
3
姨
2 （糟皂）援
答：吟粤月悦的内切圆的半径为
3
姨
2
糟皂援
月
阅
粤
韵
悦
图2-18
例2
已知：如图2-19，已韵是吟粤月悦的内切圆，切点分别为阅，耘，云援设
吟粤月悦的周长为造援求证：粤耘＋月悦＝1
2 造援
证明疫
已韵是吟粤月悦的内切圆，耘，云为切点，
亦
粤耘＝粤云（根据什么？）.
同理，月阅＝月云，悦阅＝悦耘援
亦
粤耘＋月悦＝粤耘＋月阅＋悦阅
＝1
2（粤耘＋粤云＋月阅＋月云＋悦阅＋悦耘）＝1
2 造援
图2-19
悦
阅
月
韵
耘
云
粤
49
数学
九年级下册
耘
阅
（第2 题）
云
员援已知正三角形的边长为6 糟皂援求它的内切圆和外接圆的半径援
圆援如例2 图，设吟粤月悦的面积为杂，周长为造，吟粤月悦的内切圆的半径
为则，则杂＝1
2 造则援请说明理由援
猿援如图，在吟粤月悦中，∠悦＝砸贼∠援用直尺和圆规作吟粤月悦的内切圆援
（第3 题）
悦
粤
月
员援填空：
（1）已知陨是吟粤月悦的内心.
①若∠粤陨悦＝120毅，则∠月＝
；
②若∠粤＝曾毅，则∠月陨悦＝
.
（2）已知吟粤月悦的面积为12 糟皂2，周长为24 糟皂，则吟粤月悦的内切
圆半径为
糟皂.
（3）正三角形的内切圆半径与高线长的比为
援
圆援用直尺和圆规作如图钝角三角形阅耘云的内切圆援
任意画一个三角形，作出它的内心，再以内心为圆心作一个圆，使它与三
角形的一条边有两个交点援这个圆与三角形的其他两边有怎样的位置关系？仔
细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，是否有相同的规
律？请说明理由援
50
第2 章
直线与圆的位置关系
猿援如图，已韵是吟粤月悦的内切圆，分别切月粤，月悦，粤悦于点耘，云，阅，
孕是耘阅
蓻上一点援若∠月＝50毅，求∠耘孕云的度数援
源援
如图，花边上正三角形的内切圆半径为1 糟皂援如果这条花边中有
100 个圆和100 个正三角形，算一算这条花边的总长度.
5援如图，已韵是砸贼吟粤月悦的内切圆，∠悦＝90毅，粤韵的延长线交月悦于
点阅. 若粤悦＝6，悦阅＝2，求已韵的半径援
远援已知一块等腰三角形钢板的底边长为60 糟皂，腰长为50 糟皂援
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离援
月
耘
粤
悦
（第3 题）
韵
云
孕
阅
（第4 题）
（第5 题）
粤
韵
悦
月
阅
51
数学
九年级下册
填空．
1援
当直线和圆有唯一公共点时，
叫做直线与圆
，直线叫做圆
的
，公共点叫做
援
当直线与圆有
公共点时，叫
做直线与圆相交；当直线与圆
公
共点时，叫做直线与圆相离援
2援如果已韵的半径为则，圆心韵到
直线造的距离为凿，那么，
凿＜则圳
；
圳直线造与已韵相切；
圳直线造与已韵相离援
3援经过半径的外端并且
的直线是圆的切线援
经过切点的
垂直于圆的
切线援
4援圆外一点到切点间的线段的长
叫做
.
切线长定理：过圆外一点所作的
圆的两条
相等.
5援与三角形三边都相切的圆叫做三角形
的
，内切圆的圆心叫做三角形的
，这个三角形叫做圆的
援
三角形的内心是三角形的
的交点援
填表.
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
判断直线与圆的
位置关系
过圆上一点作圆
的切线
作三角形的内切
圆
运用切线的性质、
切线的判定定理、
切线长定理进行有
关的论证和计算
52
第2 章
直线与圆的位置关系
荫了解直线与圆的位置关系援
荫能判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点作圆的切线援
荫掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系援
荫探索并证明切线长定理，并会简单的应用.
员援已知：如图，已韵的半径韵悦垂直于弦粤月，点孕在韵悦的延长线上，
粤悦平分∠孕粤月援求证：孕粤是已韵的切线援
圆援如图，求作与∠月粤悦的两边都相切的圆援这样的圆有多少个？这些
圆的圆心的位置有什么特点？如果要使圆与∠月粤悦的两边相切，且
切粤月于点孕，这样的圆存在吗？若存在，请作出符合条件的圆援
猿援如图，已韵是砸贼吟粤月悦的外接圆，∠粤悦月＝90毅，∠粤＝30毅援过点
悦作已韵的切线，交粤月的延长线于点阅，连结悦韵援根据题中所给
的已知条件，至少写出六个你认为正确的结论援
源援已知：如图，OT 是直角三角形ABO 的斜边AB 上的高线，AO＝BO.
以O 为圆心，OT 为半径的圆交OA 于点D，过点D 作已O 的切线
CD，交AB 于点C. 求证：OB＝BC.
（第1 题）
粤
韵
悦
孕
月
粤
（第2 题）
孕
月
悦
（第3 题）
月
韵
粤
悦
阅
O
B
A
D
T
C
（第4 题）
2.1 节2.2 节
53
数学
九年级下册
5援如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切援测得
∠粤韵月＝110毅援一辆汽车以每小时60 千米的速度经过这段弯道，
用了1援46 分，求弯道圆弧的半径（精确到0.01k皂）.
6援如图，在吟粤月悦中，粤月＝粤悦＝5，月悦＝6，粤阅⊥月悦，阅为垂足援若以
粤阅的中点耘为圆心，作一个半径为1郾2 的已耘，问：已耘与吟粤月悦的
各边有何位置关系？请说明理由援
7援如图，在一四边形地块的四周种植宽度均为
2 皂的草坪，外围四角均是以地块顶点为圆
心的圆弧，并与各边通过相切连接援已知地
块的周长为500 皂，求草坪外围的周长援
荫了解三角形的内切圆和内心援
8援某公园有一块由三条马路围成的三角形绿地（示意图如图）援现准
备在其中建一个尽可能大的圆亭供人们休息，试作出这个表示圆
亭范围的圆援
9援如图，在Rt吟粤月悦中，∠C＝Rt∠，粤悦＝8，∠粤＝60毅，已韵与边粤月，
粤悦相切，耘是切点援求：
（1）已韵的面积赠关于耘粤的长曾的函数表达式.
（2）当已韵为吟粤月悦的内切圆时曾，赠的值援
（第9 题）
粤
耘
月
悦
韵
（第8 题）
（第7 题）
2援3 节
（第5 题）
韵
月
110毅
粤
阅
悦
（第6 题）
耘
粤
月
阅
悦
54
第2 章
直线与圆的位置关系
荫会综合运用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题援
员0援2020 年11 月29 日，我国首个实施无人月面取样返回的月球探
测器嫦娥五号进行第二次近月制动，顺利进入离月球表面200 km
的近圆形环月轨道.如图，⊙O 代表月球，点P 代表嫦娥五号
探测器，PC=200 km. 从点P 处能看到的月球上最远的点在什么
位置？能观察到月球表面的最远距离是多少？
（月球的直径约为
3 476km，结果精确到1 km）
员1援当一个圆环沿着一条直线滚动时，圆环绕它
的圆心作旋转运动. 如图，在直角坐标系中，
一个圆环沿着x 轴向负方向滚动，圆心的初
始位置为（5，1）.
（1）若滚动时，圆环绕它的圆心旋转一
周，则圆心到达何处？
（2）若圆环滚动到与y 轴相切，则圆环绕
它的圆心旋转了几周？
（第10 题）
P
C
O
A
B
（第11 题）
y
O
6
4
2
4
6
x
O
2
55
第3 章
三视图与表面展开图
直棱柱、圆柱和圆锥在日常生活中有广泛的应用. 你能找到这些
几何体形状的特征吗？在设计图纸上怎样来描述蒙古包的轮廓？这
种图形又是根据怎样的原理绘制出来的？
本章将学习直棱柱、圆柱、圆锥等简单几何体的三视图和表面展
开图. 通过本章的学习，我们将找到上述问题的答案.
主视图
左视图
俯视图
数学
九年级下册
在平行投影下，线段和平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线
之间的相对位置有什么关系？请就此问题作一探讨援
建议：
1援以4～6 人为一组，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面
的投影援
物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影（责则燥躁藻糟贼蚤燥灶）援
这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面援如图3-1，地上的树影
是树在阳光照射下的投影，投射线是太阳光线，投影面就是地面；图3-2 是
雕塑和它在灯光照射下的投影，灯光光线就是投射线，地面就是投影面援
由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影（parallel projection）援例如，
太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光线，它们所形成的投影就是平行
投影援
图3-1
图3-2
你看过皮影戏吗？皮影戏就是用灯光将用兽皮或纸板做成的人物剪影
投影在幕布上，在艺人的操纵下表演各种动作援皮影戏是中国民间的一门
古老传统艺术援
3·1 投影
58
第3 章
三视图与表面展开图
例1
如图3-5，已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下形成的
投影，在图中画出太阳光线，并画出此时竖直立在地面的乙旗杆的投影援
解
如图3-6，过点粤，月作直线（虚线），太阳光线如图中的虚线所
2援不断改变木杆和三角形纸板的位置援什么时候木杆的影子成为一
个点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，
你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三
角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3援根据前面的探索，你能解释下列示意图（图3-3，图3-4）的实际意
义吗？
图3-5
甲旗杆的影子甲旗杆
乙旗杆
月
悦
阅
耘
粤
图3-3
粤
月
（2）
投影面
粤忆
月忆
粤
月
投影面
（3）
粤忆
月忆
孕
月
粤
投影面
（1）
图3-4
粤忆
悦忆
月忆
月
悦
粤
投影面
（2）
粤忆
悦忆
月忆
月
悦
粤
（3）
孕
匝
悦
月
粤
投影面
（1）
59
数学
九年级下册
员援分别根据下列条件（如图，带箭头虚线表示投射线），画出线段粤月
在投影面上的投影．
圆援如图，窗户的一条边粤月在地面上的平
行投影为粤忆月忆援将整个窗户的投影补充
完整援
投影面
粤
月
（第2 题）
粤
月
阅
悦
粤忆
月忆
（第1 题）
月
投
影
面
月
粤
投
影
面
员援如图，地面上直立一根标杆粤月．
（1）当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
（2）当阳光与地面的倾斜角为60毅
时，标杆在地面上的投影是什
么图形？画出投影示意图．
圆援一个正方形纸板粤月悦阅和投影面平
行（如图），投射线和投影面垂直，
点悦在投影面的对应点为点悦忆援
画出正方形纸板的投影示意图．
月
粤
（第员题）
（第2 题）
粤
月
阅
悦
悦忆
投射线方向
投
影
面
示援过点阅作粤月的平行线，交地平线于点云援线段耘云就是乙旗杆阅耘的
投影援
图3-6
粤
悦
月
耘
云
阅
粤
60
第3 章
三视图与表面展开图
如图3-7，日晷是利用投影长度与角度的变化来测
定时刻的仪器，是我国光辉灿烂的文化瑰宝援请通过
查阅资料、上互联网等途径，收集我国古代有关日晷的
历史资料，探索用日晷测定时刻的数学原理，并就此写
一篇数学小论文援
图3-7
猿援分别根据下列条件（如图，虚线表示投射线）画出△粤月悦在投影面
上的平行投影．
（1）△粤月悦所在平面与投影面
平行，点粤的投影为点粤忆.
源援如图，虚线表示太阳光线援画出标杆粤月分别在地面上和墙上的投
影的示意图．
缘援如图，大小不同的两块长方形木板直立于地面，其中一块长方形木
板在太阳光下的影子已经画出援试画出另一块长方形木板在太阳
光下的影子．
粤
月
悦
投影面
（第3 题）
粤
月
悦
投影面
粤忆
粤忆
（2）△粤月悦所在平面与投射线
平行，点粤的投影为点粤忆援
（第5 题）
（第4 题）
粤
月
粤
月
悦
投影面
61
数学
九年级下册
例2
图3-11 的两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影援在图中画出
形成投影的光线援它们是平行投影还是中心投影？请说明理由援
解
分别连结标杆的顶端与其投影上的对应点（图3-12）援很明显，图（1）
的投射线互相平行，是平行投影援图（2）的投射线将相交于一点，是中心投影援
图3-12
（1）
（2）
如图3-8，墙上的手影是在灯光下形成的一
种投影，它与平行投影不同，光线是从一点出发
的援由同一点出发的投射线所形成的投影叫做
中心投影（central projection）援由于中心投影的
投射线与平行投影的投射线具有不同的性质，
因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显
的差别援如图3-9，当线段粤月与投影面平行时，粤月的中心投影粤忆月忆把线
段粤月放大了，且粤月椅粤忆月忆，吟韵粤月∽吟韵粤忆月忆援又如图3-10，当吟粤月悦所在
的平面与投影面平行时，吟粤月悦的中心投影吟粤忆月忆悦忆也把吟粤月悦放大了，
吟粤月悦和吟粤忆月忆悦忆是位似图形，点S 是它们的位似中心援
图3-8
图3-11
（1）
（2）
图3-9
粤
月
韵
投
影
面
图3-10
粤
月
月忆
粤忆
悦
悦忆
杂
投影面
粤忆
月忆
62
第3 章
三视图与表面展开图
员援小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子长，那么甲的身高一
定比乙高援你认为小明的结论正确吗？请说明理由援
圆援下面两幅图中，哪一幅是太阳光下树的投影？哪一幅是路灯下树的
投影？
3援如图，在直角坐标系中，点（2，2）是一个
光源. 木杆AB 两端的坐标分别为
（0，1），
（3，1）. 求木杆AB 在x 轴上的投
影A忆B忆的长.
（1）
（第2 题）
（2）
例3
如图3-13，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC援已知树高
AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m. 求路灯的高度OP.
解
如图3-13，可知吟ABC∽吟POC，
则AB
AC ＝PO
PC ，即2
3 ＝
PO
3＋4.5
，解得PO＝5.
答：路灯的高度OP 是5 m.
图3-13
O
A
P
C
B
y
渊2袁2冤
（第3 题）
x
O
A
B
1
2
3
1
2
3
63
数学
九年级下册
员援两根高度相同的木杆同时垂直立在同一地平面上，请你根据给出的
条件，判断下列说法是否正确.
（1）它们在灯光下的影长相等.
（2）它们在阳光下的影长相等.
（3）它们在灯光下的影子总在同一侧.
（4）它们在阳光下的影子总在同一侧援
圆援小杰与小刚身高相同.一天晚上，两人在路灯下玩耍，小刚恰好站
在小杰影子的头部援请在图中分别画出小杰和小刚的影子（用线
段表示）.
猿援在灯光的照射下，一块矩形木板在地面上形成的影子如图所示，请
画出光源的位置援
源援如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影
是面积为0.81仔皂2 的圆援已知圆桌的高度为1 皂，圆桌面的半径为
0.5 皂援求吊灯距地面的高度援
5援某人身高1.8 皂，开始时站在路灯下的影子长为3.6 皂，然后他向路灯
走近3.6 皂（指水平距离），此时他的影子长与身高相等.求路灯高，
以及开始时他与路灯的水平距离.
（第4 题）
（第2 题）
路灯
小杰
（第3 题）
64
第3 章
三视图与表面展开图
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影
（orthogonal projection）. 人们常用不同方向上的正投影来表达物体的形状和
大小.
如图3-14，长方体的侧棱与水平投影面
垂直，请与同伴一起探讨下面的问题：
（1）这个长方体的四条侧棱在水平投影
面上的正投影是什么图形？
（2）画出长方体在水平投影面上的正投
影（棱A1A 在水平投影面上的正投影为A忆），得
到的正投影是什么图形？它与长方体的底面有
什么关系？
粤1
水平投影面
D
B1
C1
D1
B
C
A
图3-14
粤忆
3·2 简单几何体的三视图
如图所示的蒙古包的上部是圆锥，下部是圆柱，我们怎样用
平面图形去表示其形状和大小呢？
由上面的探究可以发现，沿一个方向的物体的正投影从一个方面反映
了物体的形状和大小. 为了全面地反映一个物体的形状和大小，除了水平投
影面外，人们常常再选择正面和侧面两个投影面髴，画出物体的正投影.
如图3-15，长方体正投影面上的正投影是一个和矩形A1ABB1 全等的矩
形；从左向右在侧投影面上的正投影是一个和矩形A1ADD1 全等的矩形. 把
侧投影面、水平投影面分别向右、向下旋转90毅，使三个正投影处于同一平面，
如图3-16. 这就是人们常用于表示物体形状和大小的三视图.
髴正面和侧面两个投影面分别简称正投影面和侧投影面，如图3-15.
65
数学
九年级下册
图3-15
粤
月
悦
粤1
月1
悦1
粤2
月2
悦2
韵
在
载
再
水平投影面
侧
投
影
面
D2
D1
D
正投影面
图3-17
主视方向
图3-18
主视图
左视图
俯视图
图3-16
物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫
做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图. 主视图、左视图和俯视图合
称三视图. 产生主视图的投射线方向也叫做主视方向. 从图3-16可以看出，
在三视图中，主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸，通常称之为
“长对正”；主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸，通常称之为
“高平齐”；俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸，通常称之为
“宽相等”.
“长对正、高平齐、宽相等”是画三视图必须遵循的法则. 在画三视图时，
我们一般先选择主视方向，画出主视图，再把左视图画在主视图的右边，把
俯视图画在主视图的下方.
例1
如图3-17，一个长方体的底面是一个正方形. 请按立体图的尺
寸大小和指定的主视方向画出三视图.
解
所求三视图如图3-18.
主视图
左视图
正投影面
侧
投
影
面
水平投影面
长对正
高平齐
俯视图
66
第3 章
三视图与表面展开图
棱柱是特殊的几何体，分为直棱柱和斜棱柱，现阶段我们只讨论直棱柱.
直棱柱的上下底面可以是三角形、四边形、五边形……侧面都是矩形，上、下
底面是全等多边形. 根据底面图形的边数，我们就说它是直三棱柱、直四棱
柱、直五棱柱……（图3-19）.
长方体和立方体都是直四棱柱.
底面
直三棱柱
侧面
侧棱
直四棱柱
直五棱柱
直六棱柱
图3-19
看不到的轮廓
线通常画成虚线.
例2
一个直五棱柱的立体图如图3-20 所示，它的底面形状是一个正
方形被裁去一个等腰三角形后所成的五边形，
立体图上标注的尺寸是实际尺寸（单位：cm）.
选取适当的比例画出它的三视图.
解
按1 颐2 的比例，画出三视图如图3-21.
主视方向
单位：cm
2
2
4
4
图3-20
图3-21
主视图
左视图
俯视图
67
数学
九年级下册
员援如图为一个立方体和它的三视图，完成下面的填空.
（1）棱AD 在正投影面上的正投影是
，在水平投影面上
的正投影是
.
（2）侧面BCC1B1 在正投影面上的正投影是
，在侧投影面
上的正投影是
.
2援如图是底面为正方形的直四棱柱，下面有关它的
三个视图的说法正确的是（
）
（A）俯视图与主视图相同.
（B）左视图与主视图相同.
（C）左视图与俯视图相同.
（D）三个视图都相同.
3援如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立
体图上的尺寸标注其三视图的尺寸.
D1
C1
A1
D
B
A
C
B1
主视方向
（第1 题）
H
G
R
Q
P
O
E
F
K
L
N
M
左视图
主视图
俯视图
5
6
4
3
（第3 题）
主视图
左视图
俯视图
主视方向
（第2 题）
68
第3 章
三视图与表面展开图
（第5 题）
1援填写如图直六棱柱的三个视图的名称.
2援如图为一个几何体和它的主视图，请完成下面的填空.
（1）几何体的三条侧棱AA1，BB1，CC1 在正投影面上的正投影分别
是
，
，
.
（2）下底面吟ABC 在正投影面上的正投影是
；
左侧面矩形A1ABB1 在正投影面上的正投影是
.
3援按1 颐4 的比例画出如图长方体的三视图.
G
H
F
A1
A
C1
主视图
D
I
E
B
C
B1
（第2 题）
（第3 题）
3
6
4
单位：cm
主视方向
主视方向
（第1 题）
4援一个直棱柱的底面是边长为1 cm 的等边三角形，侧棱长为1.5 cm.
画出它的三视图（尺寸比例自选）.
5援一个直棱柱的高为2郾4 cm，它的俯视图是平行四边形（如图）.按
1 颐1 的比例画出它的三视图.
（第4 题）
主视方向
69
数学
九年级下册
下面我们来学习怎样画圆柱、圆锥等简单旋转体的三视图.
主视方向
图3-22
图3-23
主视图
左视图
俯视图
例3
如图3-22，一个圆柱的底面半径为1.2 cm，高为1.6 cm. 按所标
的主视方向说出它在正投影面、水平投影面、侧投影面上的正投影各是什
么图形，并按指定的主视方向画出它的三视图（比例为1 颐1）.
解
圆柱在正投影面上的正投影是矩形，在水平投影面上的正投影是
圆，在侧投影面上的正投影是矩形. 其三视图如图3-23.
值得注意的是，对于同一个物体，如果选择不同的主视方向，那么画出
的三视图也将不同. 画物体的三视图时我们通常选择合适的主视方向，使得
三视图易画、易读.
对于上例的圆柱，如果按图3-24 的主视方向，那么其三视图如图3-25
所示.
图3-24
主视方向
图3-25
俯视图
主视图
左视图
70
第3 章
三视图与表面展开图
A
B
C
O
图3-26
俯视图
图3-27
例4
如图3-26，一个圆锥的底面直径为8 cm，高为6 cm. 按1 颐4 的
比例画出它的三视图.
分析
若以垂直于圆锥的轴截面髴ABC 的方向为主视方向（图3-26），
则这个圆锥在正投影面上的正投影是一个底边长为8 cm，高为6 cm 的等
腰三角形，在水平投影面上的正投影是直径为8 cm 的圆，在侧投影面上的
正投影与在正投影面上的正投影相同. 按1 颐4 的比例，主视图、左视图是
底边长为2 cm，高线长为1.5cm 的等腰三角形，俯视图是直径为2cm 的圆.
解
所求三视图如图3-27.
主视图
左视图
主视方向
1援下列选项中，如图圆柱的三视图画法正确的是（
）
（第1 题）
圆柱
（粤）
俯视图
主视图
左视图
（月）
主视图
左视图
俯视图
（悦）
（阅）
俯视图
主视图
左视图
主视图
左视图
俯视图
髴圆锥的轴截面指过圆锥顶点和底面圆心的截面.
71
数学
九年级下册
髴在没有特别说明的情况下，画三视图的主视方向可自选，下同.
2援球的三个视图是什么图形？
3援已知一个圆锥的底面半径为1.5 cm，高为3 cm. 按1 颐1 的比例画
出这个圆锥的三视图（主视方向自选髴）.
1援将图中的实物与它的主视图用线连起来.
（第1 题）
2援一个圆柱和一个长方体如图放置，说出下面①②两组视图分别是什
么视图.
3援如图为一个圆柱的主视图和左视图，补画它的俯视图.
①
②
主视方向
（第2 题）
（第3 题）
主视图
左视图
72
第3 章
三视图与表面展开图
4援如图是一个底面直径与高相等的圆柱，按立体图尺寸画出它的三视图.
5援选取合适的比例，画出如图圆锥的三视图援
（第4 题）
（第5 题）
160
单位：皂皂
120
运用我们已经掌握的基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图的
画法，就能画一些简单物体的三视图援
图3-28
图3-29
例5
如图3-28，一个蒙古包上部的圆锥部分和下部的圆柱部分的高
都是2皂，底面直径为3皂援以1 颐200 的比例画出它的三视图援
分析我们可以把蒙古包看成圆柱和圆锥两种几何体的组合体援利用三
视图的正投影原理，想象出蒙古包在正投影面、水平投影面、侧投影面上的
正投影的图形，就可画出三视图援
解
按1 颐200 的比例画出蒙古包的三视图，如图3-29援
主视图
左视图
俯视图
73
数学
九年级下册
例6
如图3-30，一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长为120皂皂，高
为120 皂皂，内孔直径为120 皂皂援画出这个六角螺帽毛坯的三视图援
分析
六角螺帽毛坯可以看成在底面为正六边形的直六棱柱的中间
挖去一个圆柱. 根据直六棱柱和圆柱的三视图的画法，我们就能画出这个六
角螺帽毛坯的三视图.
解
选取1 颐10的比例，画出这个
六角螺帽毛坯的三视图，如图3-31.
图3-30
图3-31
主视图
左视图
俯视图
员援如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（
）
2援如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，画出它的三视图（按
立体图尺寸）.
3援如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三
角形），下部是圆柱. 画出它的三视图（按立体图尺寸）.
（第1 题）
（粤）
（月）
（悦）
（阅）
（第2 题）
（第3 题）
74
第3 章
三视图与表面展开图
员援如图，一截钢管的内直径为200皂皂，外直径为260皂皂，高为300皂皂援
选取适当的比例画出它的三视图援
圆援如图物体由两个圆锥组成援选取适当的比例画出它的三视图援
3援如图是一个“凹”字形几何体. 画出它的三视图（
尺寸自选）.
4援从一个边长为2 cm 的大立方体上挖去一个小立方体（
边长是大立
方体的一半），得到的几何体如图所示.画出它的三视图（
比例为
1 颐1）.
5援选取适当的比例画出如图零件的三视图（
直四棱柱的底面是正方形，
其中心与圆柱底面的圆心重合）援
（第2 题）
单位：皂皂
440
200
400
（第1 题）
（第5 题）
200
500
200
单位：皂皂
100
（第4 题）
（第3 题）
75
数学
九年级下册
如图3-32，甲、乙两图分别是小明和小慧画的方桌图援
（1）两幅图中，桌面画法的区别在哪里？你认为哪种画法更有立体感?
（2）量一量，图甲中，表示桌面的平行四边形的锐角是多少度？四条边
的长度有什么关系？
在画立体图形时，我们常把其中水平位置的正方形或长方形画成平行
四边形，它的锐角是45毅，横向边长与实际边长相同，纵向边长画成实际边长
的一半援
例
画棱长为2 糟皂的立方体的立体图形援
分析
画立方体的立体图形时，上、下底面应画成平行四边形，其中的
锐角是45毅，横向边长与实际边长相同，为2 糟皂，纵向边长画成实际边长的一
半，为1糟皂；侧棱长应与实际棱长相同，为2糟皂，且互相平行援
画法
如图3-33援
立体图的一种画法
图3-33
（2）画侧棱援
（1）画下底面援
阅
悦
粤
月
粤忆
月忆
阅忆
悦忆
阅
悦
粤
月
阅
悦
粤
月
粤忆
月忆
阅忆
悦忆
（3）画上底面，并把被遮
挡的线改为虚线（或
擦去）援
甲
乙
图3-32
76
第3 章
三视图与表面展开图
图3-34
造
请试一试：
1援画一个立方体的立体图形，使立方体的棱长等于已知线段造（图
3-34）援
2援画长、宽、高分别为1援8 糟皂，1援4 糟皂，0援9 糟皂的长方体
的立体图形援
三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小. 在制造
机器、工具、生活用品等时，设计人员通常把自己构思的产品形状用三视图表
示出来，再由工人根据三视图制造出符合要求产品援因此三视图在许多行业
有着广泛的应用援
根据三视图，工人就能制造出符合设计要求的零件.
图3-35
你能从下面的三视图（图3-35）中推断出它们分别表示什么几何体吗？
（1）
（2）
（3）
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
40
10
10
单
位
：mm
20
10
3·3 由三视图描述几何体
77
数学
九年级下册
由三视图描述几何体（或实物原型），一般先根据各视图想象从各个方
向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物原型）的形状，再根
据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个
方向的尺寸援
图3-36
比例：1 颐3
图3-37
6 糟皂
4援5糟皂
3 糟皂
9糟皂
主视图
左视图
俯视图
例
已知一个几何体的三视图如图3-36 所示，描述该几何体的形
状，量出三视图的有关尺寸，并根据已知的比例求出它的侧面积（精确
到0援1 糟皂2）援
分析由主视图和左视图知道，这个几何体是直棱柱，但不能确定棱的
条数援再由俯视图可以确定它是直四棱柱，且底面是梯形援
解这个几何体是底面为梯形的直四棱柱援量出有关尺寸，根据比例
1 颐3，可得这个直四棱柱各个方向的尺寸，如图3-37援
它的四个侧面都是长为9 糟皂的长方形，前侧面的宽为3 糟皂，后侧面
的宽为6 糟皂，左侧面的宽为4援5 糟皂援
由勾股定理，可得右侧面的宽为
4援52＋（6－3）2
姨
（糟皂）.
所以它的侧面积为
3×9＋6×9＋4援5×9＋
4援52＋（6－3）2
姨
×9≈170援2（糟皂2）.
答：这个几何体的侧面积为170.2 糟皂2.
78
第3 章
三视图与表面展开图
员援某物体的三视图如图所示，说出它的形状援
圆援由几个相同的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示，方格中
的数字表示在该位置的小立方块的个数援画出这个几何体的三
视图援
3
1
（第2 题）
2
（第1 题）
主视图
左视图
俯视图
员援已知一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是
援
圆援已知一个几何体的三个视图都是半径相等的圆，则这个几何体是
.
猿援一个几何体的三视图如图所示. 它是什么几何体？
源援一个几何体的三视图如图所示援说出这个几何体的形状，并求出
它的表面积援
（第3 题）
主视图
左视图
（第4 题）
220
100
60
单位：皂皂
主视图
左视图
俯视图
俯视图
79
数学
九年级下册
5援一个几何体的三视图如图所示，描述这个几何体的形状.
图3-38
分别将三个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后
铺平援你能得到下列图形（图3-38）吗？请试一试援你还能得到其他不同
的展开图吗？
（第5 题）
主视图
左视图
俯视图
A
B
3·4 简单几何体的表面展开图
杜登尼（阅怎凿藻灶藻赠，1857～1930 年）是19 世纪英国知名的谜题创
作者，下面的问题来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇”问题：在一个长、
宽、高分别为3 米，2 米，2 米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的
中间，离天花板0.1 米处（点粤处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1
米处（点月处）援试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
80
第3 章
三视图与表面展开图
图3-39
图3-41
3
6
1
5
2
4
图3-40
2
4
5
6
1
3
像图3-38 那样，将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺
平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图（灶藻贼）援
例1
图3-39 是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分别用1，2，
3，4，5，6 中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要
求给出一种表示法）援
分析
可以先用折叠的方法试一试，看它能否折成一个立方体援
解
图3-39 是一个立方体的表面展开图，各对应面上的数字表示如图
3-40 和图3-41援
下列各图中，哪些图能折叠成一个立方体？动手试一试援
淤
于
盂
图3-42
例2
如图3-42，为了生产这种牛奶包装盒，需要先画
出展开图纸样援
（1）如图3-43 给出三种纸样，它们都正确吗？
（2）从图3-43 正确的纸样中选出一种，标注上尺寸.
图3-43
甲
乙
丙
b
a
澡
81
数学
九年级下册
（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和全面积（侧面积
与两个底面积的和）援
解（1）图3-43 中，因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，所
以图乙不正确援图甲和图丙都正确（请动手试一试，为什么？）援
（2）根据图3-43，若选图甲，可得表面展开图
及尺寸标注如图3-44 所示援
（3）由图3-44 得，包装盒的侧面积和全面积为
杂侧＝（遭＋葬＋遭＋葬）澡
＝2葬澡＋2遭澡；
杂表＝杂侧＋2杂底
＝2葬澡＋2遭澡＋2葬遭援
图3-44
葬
遭
遭
葬
澡
葬
遭
遭
（第2 题）
员援下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
圆援画出如图所示的底面为正三角形的直棱柱的表面展开图（尺寸大
小自选）援
（第1 题）
③
④
⑤
①
②
82
第3 章
三视图与表面展开图
员援用较厚的纸按照图示画好剪下，再把它折起来粘好，做成直棱柱模
型（选做其中一个）援
圆援如图是哪一种几何体的表面展开图？先想
一想，再折一折援
猿援画出底面边长为2 糟皂，侧棱长为4 糟皂的
正四棱柱的表面展开图，并计算这个正四
棱柱的侧面积和全面积（尺寸比例自选）援
（第2 题）
（第1 题）
源援下列各图中，经过折叠不能围成一个立方体的是（
）
缘援一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体，正确的是
（
）
（悦）
（阅）
（粤）
（月）
（第5 题）
（粤）
（月）
（悦）
（阅）
83
数学
九年级下册
6援如图为一几何体的三视图，试画出其表面展开图（
尺寸自选）.
7援解决本节节前语中的问题.
下面我们来探索圆柱的表面展开图.
如图3-45，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（BC）旋转一周，其
余各边所成的面围成的几何体. AB，CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面
（base），是两个半径相同的圆. AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面（lateral
face），AD 不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线.
如果沿圆柱的任意一条母线（MN）把圆柱的侧面“剪
开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图，如图3-46，这个侧
面展开图是一个矩形（矩形ABCD）. 这个矩形的一条边（AD）
等于圆柱的母线长，也就等于圆柱的高，另一条与它相邻的
边（AB）等于底面圆的周长. 一般地，一个底面半径为r，母线
长为l 的圆柱的表面展开图如图3-47 所示.
（第6 题）
图3-45
B
A
D
C
主视图
左视图
俯视图
图3-46
N
A
D
C
B
M
图3-47
r
l
2仔r
84
第3 章
三视图与表面展开图
例3
如图3-48 为一个圆柱的三视图. 以相同的比例画出它的表面展
开图，并计算它的侧面积和全面积（结果保留仔）.
分析
由图3-48 知，圆柱底面圆的半径r 为1 cm，母线长l 为2.5 cm.
因此圆柱的表面展开图中两个底面应画成半径为1 cm 的圆，侧面展开
图应画成长为2仔r＝2仔×1≈6.28（cm），宽为2.5 cm 的长方形.
解
所求圆柱的表面展开图如图3-49.
S侧＝2仔rl＝2×仔×1×2.5＝5仔（cm2）；
S全＝2仔r2＋2仔rl＝2仔×12＋2仔×1×2.5＝7仔（cm2）.
答：这个圆柱的侧面积为5仔cm2，全面积为7仔cm2郾
图3-49
图3-48
10
单位：皂皂
主视图
俯视图
员援如图，已知矩形ABCD，AB＝25 cm，AD＝
13 cm.若以AD 边为轴，将矩形旋转一周，
则所成的圆柱的底面直径是
cm，
母线长是
cm，侧面展开图是一
组邻边长分别为
的一个矩形.
2援一个圆柱的底面直径为20 cm，母线长为15 cm. 求这个圆柱的侧面
积和全面积（结果保留仔）.
（第1 题）
D
C
A
B
左视图
25
85
数学
九年级下册
1援一个圆柱的底面半径为120 mm，母线长为280 mm. 以1 颐10 的比
例画出它的表面展开图，并求出它的侧面积和全面积（结果保留仔）.
2援如图为一个圆柱的三视图. 根据三视图的尺寸，画出这个圆柱的表
面展开图.
3援已知圆柱的全面积为150仔cm2，母线长为10 cm. 求这个圆柱的
底面半径.
4援已知一个圆柱的侧面展开图是长为20仔cm，宽为10 cm 的矩形. 描
述这个圆柱的形状，并画出它的三视图（尺寸比例自选）.
5援已知一个圆柱的底面半径r 与母线长l 的比为2 颐3，圆柱的全面积
为500仔cm2. 选取适当的比例画出这个圆柱的表面展开图.
如图3-50，一只蚂蚁在圆柱的底面A 处，准备
沿着圆柱的侧面爬到B 处，它怎样爬行路线最近？
先说说你的解题思路，然后给出解答，并算出最近
路线的长（精确到0.01 cm）.
B
6
A
4
图3-50
单位：c皂
（第2 题）
主视图
俯视图
左视图
86
第3 章
三视图与表面展开图
下面我们来探讨圆锥的表面展开图.
如图3-51，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的
一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成
的一个几何体. 直角边BC 旋转所成的面就是圆锥的底
面，斜边AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面. 斜边AB 不论
转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线.
图3-51
C
B
A
图3-52
2仔则
则
造
（1）将一个圆锥模型的侧面沿它的一条母线剪开、铺
平. 观察所得的平面图形（图3-52）是什么图形.
（2）圆锥的底面圆周长与侧面展开图有什么关系？
（3）推导圆锥的侧面积公式.
一般地，一个底面半径为r，母线长为l 的圆锥的
侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周
长2仔r 的扇形，如图3-53. 由此我们可以得到圆锥的
侧面积和全面积公式：
S侧
仔rl；
S全
仔r
仔rl.
若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则由仔l
180毅＝2仔r，得到圆锥
侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：
r
l ·
毅.
造
r
图3-53
87
数学
九年级下册
例4
圆锥形烟囱帽（图3-54）的母线长为
80糟皂，高为38援7 糟皂援
（1）求这个烟囱帽的面积（精确到103糟皂2）.
（2）以1颐40 的比例画出这个烟囱帽的展开图.
解（1）疫
造＝80 糟皂，澡＝38援7 糟皂，
亦
则＝
造2－澡2
姨
＝
802－38援72
姨
≈70（糟皂），
亦
杂侧＝仔则造＝仔×70×80≈1援8×104（糟皂2）援
答：烟囱帽的面积约1援8×104糟皂2援
（2）烟囱帽的展开图的扇形圆心角为
＝r
l ×360毅＝70
80
×360毅＝315毅.
按1 颐40 的比例画这个烟囱帽的展开图，如图3-55.
图3-55
图3-54
造
h
r
（第2 题）
单位：皂皂
240
员援已知圆锥的底面半径为12 糟皂，母线长为20 糟皂援求这个圆锥的侧面
积和全面积援
2援如图为一个圆锥的三视图. 以相同的大小比例画出它的表面展开图.
俯视图
员援已知圆锥的底面半径为10 糟皂，母线长为15 糟皂援求这个圆锥的侧面
积和全面积援
左视图
主视图
88
第3 章
三视图与表面展开图
圆援一个圆锥的侧面展开图是半径为18 糟皂，圆心角为240毅的扇形援求
这个圆锥的底面半径援
猿援将半径为30糟皂的圆形铁皮剪成三个全等的扇形，用来做三个无底
的圆锥形筒，则圆锥形筒的高是多少（不计接头）？
源援已知圆锥的轴截面是边长为6 糟皂的正三角形援求圆锥的高和侧面
积，并以1 颐2 的比例画出圆锥的表面展开图.
5援如图为一个圆锥的侧面展开图. 以1 颐10 的比例画出它的三视图.
远援如图，在四边形粤月悦阅中，月悦＝悦阅＝10，粤月＝15，粤月⊥月悦，悦阅⊥
月悦援把四边形粤月悦阅绕直线悦阅旋转一周，求所得几何体的表面积.
制作如图3-56 的纸帽，使纸帽的高为20糟皂，底面半径为8 糟皂援要求：
（1）说明怎样确定纸帽的侧面展开图的圆心角.
（2）画出侧面展开图的示意图.
（3）根据侧面展开图的图样，说明应如何取料.
（4）用漂亮的彩纸做两顶这样的纸帽援
图3-56
（第6 题）
粤
阅
月
悦
（第5 题）
单位：皂皂
R300
89
数学
九年级下册
填空．
1援物体在光线的照射下，在某个
内形成的影子叫做
，
这时，光线叫做
，投影所在的平
面叫做
援
由
的投射线所形成的投影叫
做平行投影援由
的投射线所
形成的投影叫做中心投影援
2援在平行投影中，如果投射线
于投影面，那么这种投影就称为正投影援
3援物体在正投影面上的正投影叫
做
，在
上的正投影叫做
俯视图，在侧投影面上的
叫做左
视图.
主视图、左视图、俯视图合称
.
产生主视图的投影线方向叫做
.
4.
、
、
是画
三视图必须遵循的法则.
5.将几何体沿着某些棱“剪”开，并使
各个面连在一起，铺平所得到的
称
为几何体的表面展开图.
6援圆柱可以看做由一个
绕
它的一条边旋转一周时，其余各边所成的
面围成的一个几何体. 和转轴平行的一条
边旋转所成的面就是圆柱的
，
这条边不论转动到哪一个位置，都是圆柱
的
. 圆柱的侧面展开图是一个
，它的一组邻边长分别等于
和
.
7援圆锥可以看做将一个直角三角形
绕它的一条
旋转一周，它的其余
各边所成的面围成的一个几何体.
旋转所成的面就是圆锥的侧面. 无论转到
什么位置，这条斜边都叫做圆锥的
.
圆锥的侧面展开图是一个半径为
，
弧长为
的扇形，扇形的圆
心角＝
. 圆锥的侧面积和全面积
的计算公式是S侧＝
，
S全＝
.
填表.
技
能
内
容
学
会
程
度
学
会
基
本
学
会
不
会
在
简
单
情
况
下
辨
认
并
画
出
物
体
的
平
行
投
影
、正
投
影
和
中
心
投
影
画
直
棱
柱
、
圆
柱
、
圆
锥
、球
等
简
单
物
体
的
三
视
图
根
据
三
视
图
描
述
几
何
体
的
形
状
会
辨
认
，并
会
画
直
棱
柱
、圆
柱
和
圆
锥
的
表
面
展
开
图
，会
计
算
直
棱
柱
、圆
柱
和
圆
锥
的
侧
面
积
和
全
面
积
90
第3 章
三视图与表面展开图
荫知道物体的投影是怎样形成的，能根据光线的方向辨认实物的投影援
荫了解平行投影、中心投影的概念及其主要特征，会在简单情况下画
出投影示意图援
1援如图，已知线段粤月与投影面平行，则线段在投影面上的平行投影
是什么图形？画出这个图形援
2援如图，已知正方形粤月悦阅和投影面平行，则这个正方形在投影面的
平行投影是什么图形？画出这个图形援
3援如图，点孕为光源，阅忆是点阅在投影面上的投影援画出矩形粤月悦阅在投
影面上的中心投影援
4援如图，直立在地面上的甲、乙两根木棒的影子是平行投影还是中心
投影？画出同一时刻木棒丙的影子援
3援1 节
（第1 题）
月
粤
投影面
（第2 题）
月
粤
阅
悦
投影面
孕
月
粤
悦
阅
（第3 题）
投
影
面
阅忆
甲
乙
丙
（第4 题）
91
数学
九年级下册
（第5 题）
粤1
月1
粤3
粤2
悦2
悦1
阅1
悦
阅
粤
月
悦3
投
影
面
荫了解正投影、三视图的概念.
荫会画直棱柱、圆柱、圆锥、球等简单
几何体的三视图.
荫会根据视图描述简单的几何体.
5援如图，回答下列图形在投影面上
的正投影是什么图形.
（1）矩形粤粤1阅1阅.
（2）矩形悦悦1阅1阅.
（3）棱悦悦1，粤1月1援
6援下列三视图所表示的几何体存在吗？如果存在，说出相应几何体的
名称援
7援如图所示的三视图错在哪里？改正其中的左视图和俯视图，并说出
改正后的三视图所表示的几何体的名称援
（第6 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
3援2 节3援3 节
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
（第7 题）
主视图
左视图
俯视图
92
第3 章
三视图与表面展开图
8援一个铁皮盒如图甲，它的主视图和俯视图如图乙所示援补画它的左
视图援
怨援圆柱的高为320 皂皂，底面直径为160 皂皂援按1颐10 的比例画出它的
三视图援
10援如图为一个零件的三视图援描述这个零件的形状援
员1援一个直四棱柱的底面为梯形（如图），直四棱柱的高为1郾5cm. 按1 颐1
的比例画出它的三视图.
荫了解直棱柱、圆柱和圆锥的表面展开图，会计算直棱柱、圆柱和圆锥
的侧面积和全面积，能根据展开图想象和制作实物模型.
12援将三个面上做有标记的立方体盒子展开，下列各示意图中有可能
是它的展开图的是（
）
（月）
（悦）
（阅）
（粤）
（第12 题）
3援4 节
（第10 题）
主视图
左视图
俯视图
（第11 题）
（第8 题）
乙
甲
主视图
俯视图
93
数学
九年级下册
13援一个直棱柱的立体图如图所示援画出它的表面展开图（比例自选）援
14援如图为一个包装盒的表面展开图援描述这个包装盒的形状，并用
硬纸做出它的模型.
员5援已知圆锥的高为6 糟皂，底面直径为16 糟皂. 以适当的比例画出这
个圆锥的表面展开图，并求出圆锥的侧面积和全面积.
员6援扇形的半径为30 糟皂，圆心角为240毅援若将它卷成一个无底的圆锥
形筒，则这个圆锥形筒的高是多少？以适当的比例画出这个圆锥的
三视图.
荫了解直棱柱、圆柱和圆锥的三视图和表面展开图在现实生活中的应
用.
员7援一个包装盒的展开图如图所示援说出它的形状，并以相同的比例
画出它的三视图援
18援画出如图零件的三视图（比例自选）.
（第17 题）
（第18 题）
220
100
60
单位：皂皂
160
2
单位：糟皂
（第13 题）
2
2
2
2
2
（第14 题）
94
第3 章
三视图与表面展开图
19援如图为一个零件的三视图. 描述这个零件的形状援
20援蒙古包的形状可以近似地看成由圆锥和圆柱组成援要搭建15 个底
面积为33 皂2，高为4 皂（其中圆锥的高度为2 皂）的蒙古包，那么至
少需要多少平方米帆布（蒙古包的底面不用帆布，结果精确到园援员皂2）？
圆1援如图为一个模型的三视图，与实际尺寸的比例为1 颐50援
（1）描述这个模型的形状.
（2）从三视图中量出尺寸，并换算成实际尺寸.
（3）若制作这个模型的木料密度为360 噪早辕皂3，则这个模型的质
量是多少千克？现要将这个模型的表面刷上油漆，每千克油
漆可以刷4 皂2，需要油漆多少千克？
（第21 题）
俯视图
主视图
左视图
俯视图
（第19 题）
主视图
左视图
95
责任编辑
华
琼
责任校对
谢异泓
装帧设计
在线广告传媒有限公司
责任印务
陆
江
出
版
浙江教育出版社
（杭州市环城北路177 号
电话：0571-88909737、88900061）
发
行
浙江省新华书店集团有限公司
图文制作
杭州万方图书有限公司
印
刷
杭州富春印务有限公司
开
本
787mm伊1092mm
1/16
印
张
6.25
字
数
125 000
版
次
2014 年6 月第1 版
印
次
2024 年12 月第12 次印刷
标准书号
ISBN 978-7-5536-1853-1
定
价
6.51 元
义
务
教
育
教
科
书
数
学
九年级下册
定价批准文号：浙发改价格〔2019〕319 号、
〔2020〕331 号举报电话：12345、12315
如
发
现
印
、装
质
量
问
题
，影
响
阅
读
，请
与
承
印
厂
联
系
调
换
。
电
话
：
0 5 7 1 - 6 4 3 6 2 0 5 9
再陨宰哉允陨粤韵再哉允陨粤韵运耘杂匀哉
杂匀哉载哉耘允陨哉晕陨粤晕允陨载陨粤悦耘
