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数字推理（二） （笔记） 主讲教师：戚七 授课时间：2025.09.25 粉笔公考·官方微信 1 数字推理（二）（笔记） 【答案汇总】 1-5：DADDB；6-10：CDACB；11-12：DB 目录 01 基础数列 02 特征数列 03 非特征数列 【注意】基础数列的特点是非常简单、考查频率低，但是所有规律的基础， 很重要；特征数列有明显的外在形式，可以通过特殊的点来识别出特征，进而判 断类型，比如数据很多判定为多重数列，出现大量分数判定为分数数列，特征数 列的优势在于有标志，找规律、识别题型比较快；本节课讲解的“非特征”数列 说明是“没有特征”的，所以相对而言难度较高，没有一定的标志，更多的时候 要通过尝试去做题。做数推就像在一片平原上找东西，当一些题目有特征，就好 像平原上有路标，只要沿着路标对应的路走即可；非特征数列就是几条没有路标 的路，当发现有路标的路都不符合的时候，就只能试一试这些没有路标的路，要 了解非特征数列常见的考法。 常见非特征数列 多级数列 递推数列 【注意】常见非特征数列：常见的是多级数列、递推数列。 一、多级数列 解题技巧 两两作差（主要考法） 相邻项数两两作差，注意作差顺序一致。 二次作差 2 如果一次差得到的新数列无明显特征，可以对新数列再次作差。 【注意】多级数列解题技巧：如本来的数列“A，B，C，D，E”是一级数列， 一级数列看不出规律，通过作差或者作和得到二级数列“a，b，c，d”，甚至二 级数列不行要考虑三级数列，这就是“多级”的含义。 1.两两作差（主要考法）：相邻项数两两作差，注意作差方向和顺序一致。 2.二次作差：如果一次差得到的新数列无明显特征，可以对新数列再次作差。 3.例：比如“A，B，C，D，E”，先作差，全都是后一个数字减去前一个数字， 观察减完得到的二级数列有什么规律，如果有规律就直接做题（比如可能是基础 数列或特征数列），如果还没有规律，新的数列“a，b，c，d”还是一组非特征 数列，则还可以尝试作差，得到数列“①，②，③”，然后找规律。 【例1】（2024 江苏）-6，-2，-10，6，-26，（ ） A.-90 B.90 C.-38 D.38 【解析】1.方法二：扫一眼就可以发现题干不是基础数列，也没有什么特征 （外在特征和数字特征），也不是特征数列，则判定为非特征数列。如果没有思 路，尝试作差，相邻项作差，二级数列为4，-8，16，-32。先观察符号，二级数 列的符号依次为+，-，+，-循环，二级数列下一项应该是正数。从数字上看，4， 8，16，32 是公比为2 的等比数列，则二级数列下一项应该是64，（ ）-（-26） =64，（ ）=64-26=38，对应D 项。 方法二：也可以想到①*2-②=③，尝试规律，-6*2-（-2）=-10，-2*2-（- 10）=6，-10*2-6=-26，（ ）=6*2-（-26）=38，对应D 项，此规律为递推规律， 本节课后面会讲到。【选D】 3 【注意】出现负号的时候要注意减法的符号。 【例2】（2024 浙江事业单位）12，15，19，26，37，55，（ ）。 A.84 B.87 C.90 D.95 【解析】2.一眼看过去有两个数字比较明显，分别是26 和37，26 可以看成 27-1 和25+1，37 可以看成36+1，可能会考虑幂次数列，观察其他项是否满足， 但其他数字好像没有什么可以修正的；出现7 项，考查多重数列的概率不大，往 往是8 项或者以上考虑多重。好像没有明显特征，非特征数列，尝试作差。后一 项减去前一项，差值的二级数列为3，4，7，11，18，观察二级数列的特征，3+4=7， 4+7=11，7+11=18，是简单的和递推数列，二级数列下一项为11+18=29，（ ）- 55=29，（ ）=84，对应A 项。【选A】 【例3】（2024 浙江事业单位）-1，0，-3，0，3，12，（ ）。 A.24 B.36 C.45 D.57 【解析】3.虽然有7 项，但出现了很多个0，不好做多重数列；没有分数、 机械划分、幂次、倍数等，没有特征，非特征数列，尝试作差。后一项减前一项 得到的二级数列为1，-3，3，3，9，相邻数字之间看起来有倍数关系，考虑作商 数列，后一项除以前一项得到的三级数列为-3，-1，-1，3，得到的是d=2 的等 差数列，则三级数列下一项=9*5=45，（ ）-12=45，（ ）=57，对应D 项。【选 D】 【例4】（2022 浙江）21，30，40，53，71，（ ） 4 A.112 B.113 C.95 D.96 【解析】4.没有明显特征，非特征数列，尝试作差。后一项减前一项得到的 二级数列为9，10，13，18，二级数列看起来也没有特征，新的非特征数列再次 作差，后一项减前一项得到的三级数列为1，3，5，是公差为2 的等差数列，三 级数列下一项为7，则二级数列下一项为18+7=25，（ ）-71=25，（ ）=96，对 应D 项。【选D】 多级数列解题技巧 两两作和 相邻项数两两作和，观察得到的新数列规律。 二次作差 如果一次和得到的新数列无明显特征，可以对新数列再次作差。 【注意】近年的考试中，多级数列不止作差，有些题目还会考查作和，最早 喜欢这样考查的是浙江，浙江几乎每年都会有一道题可以用作和找规律，后来其 他省份也很喜欢考查作和。 1.两两作和：相邻项数两两作和，观察得到的新数列规律。作和的思路和作 差很像，如果发现数列没有特征，考虑作差也没有思路，则可以尝试作和，两两 加和得到新的数列，观察新数列的规律。 2.二次作差：如果一次和得到的新数列无明显特征，可以对新数列再次作差。 【例5】（2022 深圳）-8，10，-7，12，-5，（ ） A.18 B.16 5 C.14 D.11 【解析】5.基础数列、特征数列都不行，考虑作差，作差得到的二级数列为 18，-17，19，-17，可能会考虑18，19，20，如果（ ）-（-5）=20，（ ）=15， 但选项没有任何一个是15，说明这个思路走不通；作差不行，这样的数据二次作 差也没什么意义，考虑原数列作和，得到的二级数列为2，3，5，7，二级数列为 质数列，下一项为11，-5+（ ）=11，（ ）=16，对应B 项。【选B】 【注意】如果把质数列的下一项记成了9，则（ ）=14，C 项就是坑。注意 2，3，5，7，11 为质数列，1，3，5，7，9 为公差为2 的等差数列，二者非常相 似，注意区分，区别是第一项是2 还是1，以及有没有9 这个数字。 【例6】（2022 江苏）-1，2，6，21，43，（ ） A.61 B.75 C.82 D.98 【解析】6.没有特征，尝试作差，得到的二级数列为3，4，15，22，二级数 列没有规律，继续作差，得到的三级数列为1，11，7，也没有规律；两次作差没 有规律，不用尝试第三次，以往的考试中没有出现过作三次差的考法；没有思路， 调整方向，考虑作和，作和得到的二级数列为1，8，27，64，这些数字都是幂次 数，即1³，2³，3³，4³，二级数列下一项是5³=125，43+（ ）=125，（ ）=82， 对应C 项。【选C】 【例7】（2023 浙江事业单位）3，-1，5，2，10，9，（ ）。 A.15 B.17 C.19 D.21 【解析】7.没有特征，尝试作差，但作差也没有明显思路，尝试作和，二级 数列为2，4，7，12，19，直接观察没有什么思路，尝试对二级数列作差，得到 的三级数列为2，3，5，7，三级数列是质数列，下一项应该是11，则二级数列 下一项减去11 等于19，二级数列下一项为30，（ ）+9=30，（ ）=21，对应D 项。 6 也有同学尝试作差，原数列两两作差得到的二级数列为-4，6，-3，8，-1， 但二次作差没有思路，可以尝试作和，作和得到的三级数列为2，3，5，7，下一 项应该是11，-1+二级数列的下一项=11，二级数列下一项为12，（ ）-9=12， （ ）=21，对应D 项。【选D】 【注意】 1.77 小经验：作和后再作差，与作差后再作和是同一个规律，不用重复验 证。 2.规律至少要重复两组以上才能得到第三组，而不能只看一组的规律，这样 的风险太大了，不推荐。 【注意】多级数列解题技巧总结： 7 1.考试中做题的顺序：拿到题目先尝试作差，一次作差基本上可以解决60% 以上的题目；如果第一次作差没有规律，尝试第二次作差，到这一步可以解决75% 左右的题目；如果还不行，考虑对原数列作和，基本上可以解决90%以上的题目； 如果作和还没有思路，对原数列作和之后再作差，可以解决99%的题目。考试中 肯定是优先尝试高频考查的规律，作和的规律比较少，所以优先考虑作差和再作 差，不行再考虑作和，作和还不行再考虑和后作差。 2.答疑：作和之后再作和的考法非常罕见，一定不优先考虑，一定是优先考 虑常见思维。 二、递推数列 解题技巧 简单递推数列 （1）和递推（①+②=③） 【例】1，2，3，5，8，13，21 （2）差递推（①-②=③） 【例】21，13，8，5，3，2，1 （3）积递推（①*②=③） 【例】1，2，2，4，8，32 （4）商递推（①÷②=③） 【例】32，8，4，2，2，1 【注意】递推数列：命题人可能会在简单递推数列的基础上做一个变形，如 1，2，4，7，12，20，（ ），1+2=3，2+4=6，4+7=11，7+12=19，明显可以发现 规律为①+②+1=③，即1+2+1=4，2+4+1=7，4+7+1=12，7+12+1=20，（ ） =12+20+1=33，是简单递推的修正形式。 【例8】（2022 浙江）2，4，6，9，13，19，（ ） A.28 B.29 C.30 D.31 【解析】8.很明显2+4=6，考虑简单递推数列有没有规律，4+6=10，10 和9 相比还要减去1，即4+6-1=9。再往后看，6+9=15，15 和13 相比需要减2，即 6+9-2=13。依此类推，9+13-3=19，2+4-0=6，则下一项为13+19-4=28，对应A 项。 【选A】 8 复杂递推数列 1.圈三数（圈出不大不小相邻三个数） 2.试规律（观察数列趋势，尝试找规律） 平稳变化：优先加减、倍数 3.做验证（所有数都满足规律） 【例】（2022 深圳）0，1，2，6，16，44，（ ） A.58 B.66 C.120 D.132 【注意】复杂递推数列： 1.解题步骤： （1）圈三数：圈出不大不小相邻三个数，太大的数字不好算，太小的数字 规律太多不好找，尽量圈出中间的、好算的相邻三个数字，通过这三个数字找规 律。 （2）试规律（重点）：如果整个数列相对平稳变化，找规律可以优先尝试加 减、倍数，根据整个数列的趋势决定尝试什么规律。 （3）做验证：要保证所有数都满足规律，一定要验证，可能某些项满足某 个规律、其他项不满足。 2.例：（2022 深圳）0，1，2，6，16，44，（ ） A.58 B.66 C.120 D.132 答：整个数列不是基础数列，也没有特征，非特征数列。可能会尝试作差、 作和，但都没有明显思路，尝试做递推，圈出三个数，圈中间的（2，6，16）或 者（6，16，44）都可以。整个数列变化平稳，看起来在2～3 倍，可以尝试做加 减法、倍数关系。2+6=8，8*2=16，则猜测规律为（①+②）*2=③，验证其他数 字，（0+1）*2=2，（1+2）*2=6，（6+16）*2=44，其他数字也符合规律，则（ ） =（16+44）*2=120，对应C 项。 【例9】（2022 浙江）-9，6，3，12，27，（ ） A.64 B.65 C.66 D.67 9 【解析】9.不是基础数列，观察特征，如果考虑题干都是3 的倍数来选到C 项也是可以做对的；非特征数列，尝试作差、作和都没有思路，尝试递推，圈三 数，圈（6，3，12），凑大数，6+6=12，6=2*3，猜测规律为①+②*2=③，验证其 他数字，-9+6*2=3，3+12*2=27，（ ）=12+27*2=66，对应C 项。【选C】 【例10】（2023 深圳）24，14，26，33，46，（ ） A.56 B.62.5 C.66 D.71.5 【解析】10.光看题干没什么特点，但结合选项，题干都是整数，选项出现 了“.5”，大概率会有除法关系，数推中涉及到除法的要么是作商，要么是1/2 倍 递推。先考虑作商，作商数列要么相邻项之间是整数倍、要么好约分，24/14=12/7， 找规律很难找，大概率不考虑作商，很大可能性考虑1/2 倍递推（结合选项中的 “.5”也可以直接切入1/2 倍递推）。圈三数，圈（14，26，33），33 和26 差了 7，刚好14/2=7，则猜测规律为①/2+②=③。验证其他数字，24/2+14=26， 26/2+33=46，符合规律，则33/2+46=（ ），（ ）=62.5，对应B 项。【选B】 【注意】77 小经验： 1.看题干没思路，结合选项思考。 2.整数中出现“.5”，考虑作商或1/2 倍递推。 【拓展】（2020 浙江）36，24，24，12，18，（ ），16.5 A.3 B.9 C.17 D.24 【解析】拓展.本题中出现了一个特殊的数字16.5，整数中出现了一个小数 的形式，实际上如果把16.5 去掉，前面的数字也可以形成严谨的规律，但16.5 放在这里就是为了提醒大家，出现“.5”，考虑作商或1/2 倍递推。考虑作商， 前一项除以后一项得到的二级数列为3/2，1/1，2/1，2/3，没有什么规律；考虑 1/2 倍递推，尽量不要圈重复的数字，可以圈（24，12，18），24 和12 差了12， 18 和12 不太好观察，但如果看24 和18 差了6，6 就是12 的1/2，则考虑规律 10 为①-②/2=③，验证规律，36-24/2=24，24-24/2=12，都符合规律，12-18/2=（ ）， （ ）=3，可以继续验证，18-3/2=16.5，规律完全符合，A 项当选。【选A】 【注意】77 小经验： 1.看题干没思路，结合选项思考。 2.整数中出现“.5”，考虑作商或1/2 倍递推。 复杂递推数列 1.圈三数（圈出不大不小相邻三个数） 2.试规律（观察数列趋势，尝试找规律） 平稳变化：优先加减、倍数 剧烈变化：优先乘除、幂次 3.做验证（所有数都满足规律） 【例】（2020 深圳）2，3，7，22，155，（ ） A.3411 B.2988 C.1188 D.741 【注意】 1.试规律的过程中，如果出现剧烈变化，如数列陡增，往往涉及到乘除、幂 次，递推中出现幂次一般也就是2 次方，3 次方也很少见，不会太复杂。 2.例：（2020 深圳）2，3，7，22，155，（ ） A.3411 B.2988 C.1188 D.741 答：前面不太明显，但是看选项，前面都是一位数、两位数、三位数，选项 变成了四位数，变化剧烈，单纯靠加减不够，需要考虑其他规律。比较明显的是 （3，7，22），3*7=21，3*7+1=22，猜测规律为①*②+1=③，验证其他数字，2*3+1=7， 7*22+1=155，都符合规律，则22*155+1=（ ），可以先看尾数，尾数为1，排除 B、C 项；看量级，20 +*150 +=3000 +，741 太小了，排除D 项，A 项当选。 【例11】（2020 深圳）2，1，9，100，（ ） 11 A.144 B.1191 C.6560 D.11881 【解析】11.题干的数字虽然少，但很明显，1、9、100 都是幂次数，且题干 是一位数的情况下选项出现了五位数，出现剧烈变化，说明大概率涉及到乘除法 或者幂次，且题干明显有很多幂次数，优先考虑幂次数。 （2+1）²=9， （1+9）²=100， 规律为（①+②）²=③，（9+100）²一定在10000 以上，只有D 项符合，D 项当选。 【选D】 【例12】（2024 江苏事业单位）1，2，6，37，1371，（ ）。 A.1879683 B.1879642 C.1879577 D.1879504 【解析】12.题干前面是一位数、两位数，后面突然出现了四位数，变化剧 烈，光靠乘除法也比较难凑数，6 和37 光靠乘法也达不到1371，说明应该涉及 幂次。37 本身是6²+1，6 就是上一项，看起来是①²+1=②，验证其他数字，1² +1=2，但2²+1=5，必须是2²+2=6，且37²的尾数是9，必须加上2 才能是尾数1， 则规律为①²+1、①²+2 循环，修正项是一个循环的情况，则（ ）=1371²+1，尾 数应该是2，对应B 项。【选B】 【注意】梳理： 1.本题的修正项是循环的规律，是+1、+2 的周期循环。 2.本题不是三项递推，是①²+修正项=②，是两项递推，真题中确实会出现 两项递推，要对于两项递推或者四项递推有所了解。 复杂递推数列 1.圈三数（圈出不大不小相邻三个数） 2.试规律（观察数列趋势，尝试找规律） 3.做验证（所有数都满足规律） 注意：常见三项递推，个别题目考虑两项、四项递推 【例】（2017 浙江）4，-2，1，3，2，6，11，（ ） 12 A.16 B.19 C.22 D.25 【注意】复杂递推数列： 1.注意：常见三项递推，个别题目考虑两项、四项递推。两项递推有的题目 是幂次关系，有的题目是倍数关系，比如两项之间都是2 倍、3 倍关系的时候， 很有可能是两项递推的修正，注意两项递推特别喜欢考查修正，因为如果只考查 两项的倍数递推太简单了；四项递推考查比较简单，一般考查的就是加和，如① +②+③=④，因为四项太复杂了，出现一般就考查加和。 2.例：（2017 浙江）4，-2，1，3，2，6，11，（ ） A.16 B.19 C.22 D.25 答：规律为①+②+③=④。4+（-2）+1=3，-2+1+3=2，1+3+2=6，3+2+6=11， 2+6+11=（ ），（ ）=19，对应B 项。 【注意】递推数列总结： 1.简单递推数列：加和、乘积、减法、除法，要注意简单递推可能带上修正 形式考查，当观察到似乎符合简单递推但不完全满足，可以尝试加上修正项看是 否满足。 2.复杂递推数列（更重要、更常考）：解题思路是三步走。 13 （1）圈三数（圈出不大不小相邻三个数）。 （2）试规律（观察数列趋势，尝试找规律）。注意这一步不要“盲试”，一 定是先对数列做大致的观察，观察出趋势和变化情况选择规律。 （3）做验证（所有数都满足规律）。 （4）注意：常见三项递推，个别题目考虑两项、四项递推。 【注意】数字推理总结： 1.做数字推理总结下来就是先“看”（是不是基础数列），再“找”（找特征， 看是不是特征数列），最后“试”（作差、作和、递推）。 2.现阶段没有数字敏感性的情况下可以一点一点试，但这样很浪费时间，考 场上最好的方法是用数字敏感性做题，则就需要培养数推的敏感性。如何培养： （1）学思路。学数字推理要先了解常考的思路，如果盲目去找规律很难找 得到，在知道有固定路径的情况下，沿着固定路径去走即可，这些固定的路径就 是常见的考点，如基础数列、特征数列。基础数列就是靠数字敏感度；特征数列 就是看特征，看项数、有没有特殊符号或均为多位数、分数、幂次数、倍数关系 等，当发现题干的特征匹配了某个特征数列的特征，就沿着路径走下去，大概率 能找到规律；如果题干的特征和以上特征都不匹配，则大概率是非特征数列，只 能靠尝试，但也不是盲目试，对于多级和递推，优先尝试是不是多级（作差或作 和，一次不行可以再做一次），不行再尝试递推，圈出三个数字观察规律。 14 （2）练真题+积累规律。做题不是“大量做题”，而是“坚持做题”，不是一 口气做很多题，保持每天做一点或者每周做题，一直保持做题状态，这样对于培 养数字敏感性是最高的，建议每天练习5 道题左右，就算做的题目重复也没关 系，保持感觉；做题一定要做真题，本身学习数推的目标就是积累规律，积累的 最好是命题人的规律，如果参加的考试明确会考查数推，则要把考试相关的数推 题目全部做过，这样就知道出题人喜欢出什么规律，则考场上就可以按照出题人 的思路走，这样就更容易找答案。模拟题可以作为参考，但是不要纠结模拟题的 思路，模拟题也是参考真题出题，但毕竟只是参考，思路肯定没有真题更贴近出 题人的思路。至少要整理近5 年本省考试的真题，积累思路，知道命题人喜欢怎 么考。 15 遇见不一样的自己 Be your better self
