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数量关系---第四次课
王陈老师
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 25
第五章 排列组合问题
一、基本计数思维和原理
（一）分类分步
分类是做事时按不同的方式去做，且每种方式均能完成此事。
分步是做事时分不同步骤去做，所有步骤完成后才能完成此事。
（二）加乘原理
加法原理：分类计算时，将每一类方法数相加，即为完成这件事的方法数。
乘法原理：分步计算时，将每一步方法数相乘，即为完成这件事的方法数。
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能 力 训 练
判断以下各题应分类还是分步，并计算结果。
1.小王有4支不同的圆珠笔、3支不同的钢笔、2支不同的铅笔，他从中随机取一支笔写字，有多少种取法？
2. 有面值为 1 元、2 元、5 元面额的纸币各若干张，如果用它们支付 10 元的账单而无需找零，共有多少
种不同的支付方法？
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3. 有 3 件上衣、2 条裤子，要配成一套衣服，不同的搭配方法有多少种？
4. 有 3 名同学报名参加 4 个课外活动小组，每人限报一个，共有多少种不同的方法？
5. 单位 3 个科室分别有 7 名、9 名和 6 名职工。现抽调 2 名来自不同科室的职工参加调研活动，则有多
少种不同的挑选方式？
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个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 26
能 力 训 练 1
判断以下各题属于排列还是组合，并列式。
1. 从 5 名志愿者中，选出 2 名分别去甲、乙两地服务，共有多少种方法？
2. 从 10 名短跑运动员中选出 4 名参加 4×100 米接力比赛，共有多少种不同的安排方法？
3. 某部门要从 8 名销售员中任意选出 2 名参加培训，共有多少种选法？
4. 从 5 种不同的蔬菜种子中任选 3 种种植，共有多少种不同的选法？
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（三）解题训练
【例 1】小王在商 店消费了 90 元，口袋里只有 1 张 50 元、4 张 20 元、8 张 10 元的钞票，他共有几种
付款方式，可以使店家不用找零钱？（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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学 以 致 用
1. 餐厅需要使用 9 升食用油，现在库房里库存有 15 桶 5 升装的，3 桶 2 升装的，8 桶 1 升装的。问库
房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的 9 升食用油？（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
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2.2016 年间，甲、乙、丙、丁四个教研室共在学术期刊上发表文章 28 篇，已知甲发表的文章数不到 10
篇且不少于乙。乙发表的文章数不少于丙，丙发表的文章数不少于丁，丁发表的文章数是奇数。问每个教
研室发表的文章数有多少种不同的可能性？（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
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【例 2】小李今天上午有 a、b、c、d 这 4 项工作要完成，下午有 e、f、g 这 3 项工作要完成，每半天内
各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（ ）种完成工作的顺序。
A. 30
B. 60
C. 72
D. 144
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学 以 致 用
1. 将外形一样的红、黄、蓝三种颜色的笔装进相同的礼盒，每个礼盒装 5 支，且同种颜色的笔每盒不超过
两支，如任选 3 个装好的礼盒，有多少种不同的组合？（ ）
A. 14
B. 10
C. 9
D. 7
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2. 为了加强某社区消防安全意识，某消防支队对该社区的 4 栋居民楼开展消防安全检查，该支队 6 名消
防员负责此次安全检查，规定任一栋居民楼保证至少一名消防员前往，若同时开始检查，问共有多少种检
查方式？（ ）
A. 1560
B. 3240
C. 6300
D. 7200
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3. 某会计事务所从 4 名高级会计师和 6 名中级会计师中选派 4 人到甲、乙两个企业进行财务审计，每个
企业派遣 2 名会计师，且每个企业至少有 1 名高级会计师，问：共有多少种不同的派遣方法？（ ）
A. 380
B. 420
C. 470
D. 510
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三、常用方法
优限法：元素对位置有绝对要求。
捆绑法：有元素要求相邻。
插空法：有元素要求不相邻。
【例】由数字 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数，
（1）数字 1 必须在首位或末尾的五位数( )个。
（2）两个偶数必须相邻的五位数有( )个。
（3）两个偶数互不相邻的五位数有( )个。
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学 以 致 用
1. 某公司推出 4 款杯子，分别为陶瓷杯、玻璃杯、木质杯和不锈钢杯，现将 4 个杯子放进
展柜排成一排展示，要求玻璃杯不能放在两端，木质杯和不锈钢杯不能相邻，那么可能会出现
多少种排列方式？（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
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2. 为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出 3、2、4名选手参加比赛，
要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？（ ）
A. 小于 1000
B. 1000 ～ 5000
C. 5001 ～ 20000
D. 大于 20000
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3. 把 12 棵同样的松树和 6 棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植 9 棵，要求每侧的柏树数量相等且不
相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？（ ）
A. 36
B. 50
C. 100
D. 400
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4. 要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜上排成一排，其中 A、B 排在一起，C、D不能排在一起
则有（ ）种不同的排列方式。
A. 12
B. 20
C. 24
D. 48
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二、解题训练
【例 1】小王从编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 本书中随机抽出若干本书。
（1）从中抽出 1 本书，编号是偶数的概率为（ ）；
（2）从中抽出 2 本书，编号恰好为相邻两个整数的概率为（ ）；
（3）从中抽出 2 本书，编号是一个奇数一个偶数的概率为（ ）。
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学 以 致 用
1. 某高校组织 5 组大学生到贫困山区的甲、乙、丙、丁、戊不同村进行支教活动，已知每个村庄派遣一组，
每组有 1 人教语文，3 人教英语，2 人教数学，2 人教地理，且每人仅能教一个科目。所有前往支教的大
学生随机分配，问小芳被派往甲村教英语的概率是多少？（ ）
A. 7.5%
B. 15%
C. 25%
D. 37.5%
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2. 一次学术会议安排 3 名教授和 2 名副教授作报告，要求第一个和最后一个作报告的都是教授。如在满
足此要求的安排中随机选择一种，则2名副教授的发言次序相邻的概率为（ ）。
A./14
B.1/3
C.2/3
D.3/4
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3. 车库中有 10 个相连的空车位，有三辆车开进车库并随机停在这 10 个车位上，问剩下的空位中正好有
5 个相连空位的概率为（ ）。
A. 小于 10%
B. 10%
C. 20%
D. 大于 20%
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【例 2】某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张、小李随机入座，则他们坐在同一
排的概率（ ）。
A. 不高于 15%
B. 高于 15% 但低于 20%
C. 正好为 20%
D. 高于 20%
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学 以 致 用
1. 某单位工会组织桥牌比赛，共有 8 人报名，随机组成 4 队，每队 2 人。那么，小王和小李恰好被分在
同一队的概率是（ ）。
A.1/7
B.1/14
C.1/21
D.1/28
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2. 某企业排班调休，每名职工在下个星期的七天内随机安排两天休息，问职工小韩和小李被安排的休息日
完全相同的概率为（ ）。
A.1/7
B.1/14
C.1/15
D.1/21
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3. 五一劳动节将至，某单位为表彰劳模，特准备了 6 种奖品表彰先进个人，已知每种奖品都足够多，劳模
们可以选择任意的 3 种，问两位劳模拿到的奖品种类完全一样的概率是多少？
（ ）
A. 5%
B. 2.5%
C. 0.5%
D. 0.25%
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二、解题训练
【例 1】小明将一枚硬币连抛 3 次，观察向上的面是字面还是花面，请你帮他计算出有 2 次字面向上的概
率是多少？（ ）
A.1/4
B.1/6
C.3/8
D.1/10
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学 以 致 用
1. 射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次射击有4次命中10环的概率是（ ）。
A. 80%
B. 63.22%
C. 40.96%
D. 32.81%
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2. 植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组织员工植树造林。假设树苗的成活率为
80%，那么，该单位职工小张种植 3 棵树苗，至少成活 2 棵的概率是（ ）。
A.27/125
B.48/125
C.64/125
D.112/125
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【例 2】某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有 80% 的概率赢乙选手，那么这场
单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？（ ）
A. 0.768
B. 0.800
C. 0.896
D. 0.924
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1. 甲乙丙三人进行乒乓球比赛，若甲对乙、乙对丙、丙对甲的胜率均为 50%，单场比赛不
存在平局，三人互相各比一场计分。问甲胜两场的概率是（ ）。
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/5
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2. 甲和乙进行 5 局 3 胜的乒乓球比赛，甲每局获胜的概率是乙每局获胜概率的 1.5 倍。问：以下哪种情
况发生的概率最大？（ ）
A. 比赛在 3 局内结束
B. 乙连胜 3 局获胜
C. 甲获胜且两人均无连胜
D. 乙用 4 局获胜
