考点 19 概率与统计（14 种题型 9 个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考 古典概型 求概率
2022新高考 条件概率与全概率公式，相互独立事件 独立性检验，条件概率
及二项分布
2022新高考 正态分布 求概率
2022新高考 条件概率与全概率公式，相互独立事件 求平均数，条件概率
及二项分布
2021新高考 抽样方法与总体分布的估计 中位数，平均数，极差，标准差
的理解与判断
2021新高考 条件概率与全概率公式，相互独立事件 判断事件独立性
及二项分布
2021新高考 离散型随机变量及其分布列，均值与方 离散型随机变量的分布列及期望
差
概率多为小题。随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一。常考查二项分布、正态分布、超几何
分布等常见的分布，多为解答题．
考查相关性、频率分布直方图、样本的数字特征、独立性检验、回归分析等．考查学生读取数据、分
析数据、处理数据的能力．
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
一．多选题（共2小题）1．（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，其中 是最小值， 是最大值，则
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ， ， 的平均数
B． ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， 的中位数
C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ， ， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， 的极差
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解： 选项， ， ， ， 的平均数不一定等于 ， ， ， 的平均数， 错误；
选项， ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， ， 的中位数等于 ， 正确；
选项，设样本数据 ， ， ， 为0，1，2，8，9，10，可知 ， ， ， 的平均数是5， ，
， ， 的平均数是5，
， ， ， 的方差 ，
， ， ， 的方差 ，
， ， 错误．
选项， ， ， ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
2．（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输 0，1信号，信号的传输相互独立．发送 0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 ．考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重复
发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为：
，故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为： ，故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为： ，故 错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率 ，
单次传输发送0译码为0的概率 ，
，
当 时， ，
故 ，故 正确．
故选： ．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
二．解答题（共2小题）
3．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，
经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人
判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 （c）；误诊率是将未患病者判
定为阳性的概率，记为 （c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 （c） 时，求临界值 和误诊率 （c）；
（2）设函数 （c） （c） （c）．当 ， ，求 （c）的解析式，并求 （c）在区间 ，
的最小值．
【分析】（1）根据已知条件，列出等式，即可求解；
（2）根据已知条件，分 ， ， ， 两种情况，依次求出函数，即可求解．
【解答】解：（1）当漏诊率 （c） 时，
则 ，解得 ；
（c） ；
（2）当 ， 时，
（c） （c） （c） ，当 ， 时 ， （ c ） （ c ） （ c ）
，
故 （c） ，
所以 （c）的最小值为0.02．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
4．（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未
命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为
0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， ，2， ， ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为 ，结合题意，即可得出答案；
（ 2 ） 由 题 意 设 为 第 次 投 篮 的 是 甲 ， 则 ， 构 造 得
，结合等比数列的定义可得 是首项为 ，公比为0.4的等比数列，即可得出答
案；
（3）由（2）得 ，当 时， ，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为 ，
由题意得 ；
（2）由题意设 为第 次投篮的是甲，则 ，
，
又 ，则 是首项为 ，公比为0.4的等比数列，
，即 ，
第 次投篮的人是甲的概率为 ；
（3）由（2）得 ，
当 时， ，
综上所述， ， ．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中
档题．
四、考点清单
一．互斥事件与对立事件
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A ，A ，…，A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A ，A ，…A 彼此互斥．
1 2 n 1 2 n
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 彼此互斥，那么事件发生（即A ，A ，…，A 中有一个发生）的
1 2 n 1 2 n
概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做 ．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与 只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（ ）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必
须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对
立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
二．互斥事件的概率加法公式
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 彼此互斥，那么事件发生（即A ，A ，…，A 中有一个发生）的
1 2 n 1 2 n
概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
三．古典概型及其概率计算公式
1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就
可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率
都是 ；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝ ＝ ．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝ 求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
四．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都
相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ ．
等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率．
五．几何概型
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 ，事件A所对应的区域用 A表示
Ω
（A ），则P（A）＝ 称为事件A的几何概率．
⊆Ω
六．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做
相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生
的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的
1 2 n
概率之积，即：
P（A •A …A ）＝P（A ）•P（A ）…P（A ）
1 2 n 1 2 n
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
七．条件概率与独立事件
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件
概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝ ，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件
B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝
八．离散型随机变量及其分布列
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常
用希腊字母 、 等表示．
（2）离散型ξ随η机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变量．若 是随机变量， ＝a +b，其中a、b是常数，则 也是随机变量．
（3）连续型随机ξ变量：对于随机η 变量ξ 可能取的值，可以取某一η区间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可
以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊
字母 ， ，…表示．
（2）ξ离散η 型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x ，x ，…，x ；X取每一个对应值的概率分别
1 2 n
为p ，p ，…，p ，则得下表：
1 2 n
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①p≥0，i＝1，2，3，…，n；②p +p +…+p ＝1．
i 1 2 n
九．离散型随机变量的期望与方差
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
… ξ …
x x x
n
1 2
… …
P p p p
n
1 2
则称E ＝x p +x p +…+x p +…为 的数学期望，简称期望．
1 1 2 2 n n
数学期ξ望的意义：数学期望离散型ξ随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p ＝p ＝…＝p ，则有p ＝p ＝…
1 2 n 1 2
ξ
＝p ＝ ，E ＝（x +x +…+x ）× ，所以 的数学期望又称为平均数、均值．
n 1 2 n
期望的一个性ξ质：若 ＝a +b，则E（a +bξ）＝aE +b．
2、离散型随机变量的η方差ξ； ξ ξ
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是x ，x ，…，x ，…，且取这些值的概率分别是
1 2 n
p ，p ，…，p …，那么， ξ
1 2 n
称为随机变量 的
ξ
均方差，简称为方差，式中的E 是随机变量 的期望．
ξ ξ标准差：D 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 ．
ξ ξ
方差的性质： ．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中
与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
十．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数 ， （x）＝ ，x （﹣∞，+∞），其中实数 和σ（σ＞0）为参数，我们
σ
μ
称 φ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲∈线，简称正态曲线． μ
（φ2 μ）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x （﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数： 和e，这∈是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：π和σ，其中 可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
μ μ
④解析式前面有一个系数为 ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣ ．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝ ，σ（x）dx，则称X的分布为
μ
正态分布，记作N（ ，σ2）． φ
（2）正态总体在三μ个特殊区间内取值的概率值
①P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.6826；
μ μ②P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态μ曲线的性质μ
正态曲线 ， （x）＝ ，x R有以下性质：
σ
（1）曲线φ位μ于x轴上方，与x轴不相交；
∈
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝ 对称；
μ
（3）曲线在x＝ 处达到峰值 ；
（4）曲线与xμ轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移；
（6）当 一定时，曲线的形μ状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲
线越“μ矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概
率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考
中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或
计算错误．对正态分布N（ ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数
值应该为σ2而不是σ，同时μ，记住正态密度曲线的六条性质．
十一．频率分布直方图
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表
中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
十二．频率分布折线图、密度曲线
1．频率分布折线图：
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频
率折线图．
2．总体分布的密度曲线：
如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率分布折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
十三．茎叶图
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，
49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
十四．统计图表获取信息
统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况，它简单明了，有利于我们把握数据的特点，统计图还
能直观、生动地传递信息．
【解题方法点拨】
由统计图表获取信息的步骤：
一、看统计图表特征；二、读统计图表数据信息并进行分析；
三、寻找出统计图表中数据的变化趋势或规律；
四、对统计图表的数据与信息作分析、推测，为对解决问题作出合理的判断提供依据．
注意：①要避免统计图的误导，首先要仔细观察统计图，其次要关注数据的来源、收集方式及描述形式，
这样才能获得准确的信息；
②对数据的收集、整理等一定要重视它的普遍性、代表性、公正性，不能以点带面，以偏概全，夸大局部
的作用．
【命题方向】
能正确解读统计图表，从中获取必要、准确的信息，并进站简单的决策；处理生活中常见的不规范统计图
带来的错误信息，提高对统计图表的认识能力．
十五．众数、中位数、平均数
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数
的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均
数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即 ．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
十六．极差、方差与标准差
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各
数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组
数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
十七．百分位数
百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p （0，1），总体的p分位数有这样的
特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p． ∈
四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百
分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是 ．因此这三个百分位数也称为总体
的四分位数．
【解题方法点拨】
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，
且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：
①按从小到大排列原始数据；
②计算i＝n×p%；
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为
第i项与第（i+1）项数据的平均数．
【命题方向】理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数．
十八．相关系数
1、概念：
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的
程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相
关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通
过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．
2、相关系数用r表示，计算公式为
其中：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关
程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
3、残差：
相关指数R2用来刻画回归的效果，其计算公式是
在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方．显然，R2取值越大，意味着残差平方
和越小，也就是模型的拟合效果越好．
【解题方法点拨】
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程： ＝ x+ ）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当．当回归方
程不是形如： ＝ x+ 时，我们称之为非线性回归方程．
十九．线性回归方程
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回
归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这
种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之
间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与
变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归
函数的类型为线性函数．
二十．独立性检验
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种
假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和
Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2 （0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤∈：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k 比较，得出事件有关的可能性大小．
0
五、题型方法
一．互斥事件与对立事件（共3小题）1．（2023•柳州模拟）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的
两个事件是
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【解答】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于 ，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故 错误；
对于 ，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故 错误；
对于 ，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故 错误；
对于 ，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故
正确．
故选： ．
【点评】本题考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题．
2．（2023•济南二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每
次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶
数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
【分析】根据相互独立事件，互斥事件的定义判断可得答案．
【解答】解：对于 ，基本事件总数为 ，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基
本事件数为 ，
（乙 ， 正确，
对于 ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为 ，
（丙 ， 错误，对于 ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为 ，
（丁 ， （甲丁） ， （甲 ，
（甲丁） （甲 （丁 ， 正确，
对于 ， 丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件， 丙与丁互为对立事件，
正确．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件，对立事件的判断，属于中档题．
3．（2023•如皋市校级模拟）已知 ， 是两个随机事件， （A） ，下列命题正确的是
A．若 ， 相互独立， （B）
B．若事件 ，则
C．若 ， 是对立事件，则
D．若 ， 是互斥事件，则
【分析】利用条件概率、相互独立事件判断 ；利用条件概率的定义判断 ；利用条件概率及对立、互斥
事件的意义判断 ．
【解答】解：对于 ，随机事件 ， 相互独立，则 （A） （B），
（B），故 正确；
对于 ，事件 ， （A）， ，故 正确；
对于 ， ， 是对立事件，则 ， ，故 错误；
对于 ， ， 是互斥事件，则 ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查条件概率、相互独立事件、互斥事件、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．古典概型及其概率计算公式（共4小题）
4．（2024•汉中一模）将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大
于5的概率为
A． B． C． D．
【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概
型的概率公式，即可求得答案．
【解答】解：从5个数中随机删去两个数有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共10种方法，
要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是 ， ， ， 共有4种，
所以剩下数据的平均数大于5的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
5．（2024•惠州模拟）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A． B． C． D．
【分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型的概率
公式求解即可．
【解答】解：6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有 种，
利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故排放方法有 种，
所以所求概率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．
6．（2023•东湖区校级三模）某同学口袋中共有5个大小相同、质地均匀的小球．其中3个编号为5，2个
编号为10，现从中取出3个小球，编号之和恰为20的概率为
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率计算公式，求解即可．
【解答】解：设编号之和恰为20为事件 ，
基本事件总数为 ，
编号之和恰为20的情况为2个编号为5的小球，一个编号为10的小球，
所以事件 包含的基本事件数为 ，
（A） ．
故选： ．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
7．（2023•运城三模）2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体
育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的 5位志愿者分配到这三馆负责接待
工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为 ．
【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的
方法数，根据古典概型的计算公式计算．
【解答】解：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为 种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为 种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为 ．
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为 ，
故所求的概率为 ．故答案为： ．
【点评】本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
三．几何概型（共4小题）
8．（2024•内江一模）设关于 的一元二次方程 ．若 是从区间 ， 任取一个数， 是
从区间 ， 任取一个数，上述方程有实根的概率是
A． B． C． D．
【分析】如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形 及其内部，利用一元二次方程根的判别式
算出方程有实根的事件对应的区域为图中的梯形 及其内部，求出两个区域的面积并利用几何概型公
式，即可算出所求的概率．
【解答】解：如图，所有的基本事件对应集合 ， ，
构成的区域为如图的矩形 及其内部，其面积为 ；
设事件 “方程 有实根”
△ ，结合 、 都是非负数，解得 ，
事件 对应的集合 ， ，且 ，
所构成的区域为矩形 及其内部，且在直线 的右下方部分，
即图中的梯形 及其内部，其面积 ．
由于点 落在区域内的每一点是随机的，
事件 发生的概率 （A） ，即方程有实根的概率是 ．
故选： ．【点评】本题给出含有字母参数的一元二次方程，求方程有实数根的概率．着重考查了一元二次方程根的
判别式、不等式表示的平面区域、面积公式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．
9．（2023•中卫二模）如图，若在矩阵 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．
【解答】解： ， ，
，
故豆子落在图中阴影部分的概率为 ，
故选： ．
【点评】本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．
10．（2023•阆中市校级二模）在区间 ， 内随机取一个数 ，使直线 与圆 相交
的概率为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由直线与圆相交列出不等式即可得到 的范围，再结合概率的计算公式即可得到结果．【解答】解：因为圆心 ，半径 ，直线与圆相交，
所以圆心到直线 的距离 ，
解得 ，
所以所求的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
11．（2023•南江县校级模拟）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家
赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是
由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机
取一点，该点落在小正方形内的概率为 ，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为
A． B． C． D．
【分析】设正方形的边长 1，较小的角为 ，则中间小正方形的边长为 ，由题意可得
，显然可得 ，即可得到 ，从而求出 ．
【解答】解：设正方形的边长1，较小的角为 ，则中间小正方形的边长为 ，
由题意可得 ，
显然 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数求值相关知识，属于中档题．
四．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共4小题）
12．（2023•长宁区二模）已知事件 与事件 相互独立，如果 （A） ， ，那么
（B） 0. 2 ．
【分析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，即可求解．
【解答】解： 事件 与事件 相互独立，
事件 与事件 也相互独立，
，
， （B） ．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，属基础题．
13．（2023•咸阳模拟）某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为 ，乙队和丙
队答对该题的概率都是 ．若各队答题的结果相互独立且都进行了答题．则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰
有一支队伍答对该题的概率为
A． B． C． D．
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可．
【解答】解：记“甲队答对该题”为事件 ，“乙队答对该题”为事件 ，“丙队答对该题”为事件 ，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率．
故选： ．
【点评】本题主要考查独立事件的乘法公式，属于基础题
14．（2023•青羊区校级模拟）若三个元件 ， ， 按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正
常工作不受其他元件的影响，当元件 正常工作且 ， 中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若
元件 ， 正常工作的概率依次为0.7，0.8，且这个系统正常工作的概率为0.686，则元件 正常工作的概
率为 0. 9 ．
【分析】若该系统正常工作，则原件 一定正常工作且原件 、 中至少一个正常工作，以此可解决此题．
【解答】解：由题意，系统正常工作时， 正常工作且 ， 至少有一个正常工作，
其中 正常工作的概率为0.7， 正常工作的概率为0.8，设 正常工作的概率为 ，
则 与 至少有一个正常工作的概率为 ，
所以这个系统正常工作的概率为 ，解得： ．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查事件独立性及积事件概率求法，考查对立事件的定义以及数学运算能力及抽象能力，属
于基础题．
15．（2023•河北模拟）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲
每局赢的概率为 ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为
A． B． C． D．
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率．
【解答】解：因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局
且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
五．离散型随机变量的期望与方差（共9小题）
16．（2024•秦都区校级四模）某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组
成物理兴趣小组．
（1）求数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的概率；
（2）用 表示物理兴趣小组中的女生人数，求 的分布列与数学期望 ．
【分析】（1）由题意，根据排列组合相关知识以及古典概型概率公式进行求解即可；
（2）得到 的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
【解答】解：（1）已知某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理
兴趣小组，
共有 种组合方式，
其中数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的有 种，
所以数学兴趣小组中包含男生 ，但不包含女生 的概率 ；
（2）易知 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
此时 ， ， ，
，
则 的分布列为：
0 1 2 3 4
所以 ．【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
17．（2024•金牛区校级三模）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取 100名学生的 ， 两门学科
成绩作为样本．将他们的 学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到 70分为良好．已知
他们中 学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列联表，判断是否有 的把握认为这次考试学生
的 学科良好与 学科良好有关；
学科良好 学科不够良好 合计
学科良好
学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取 3人，记这3人中 ， 学科
均良好的人数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图计算可得出 学科良好的人数，补全 列联表，代入公式
求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（2）先得到 的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得 学科良好的人数为 ，
所以 列联表如下：
学科良好 学科不够良好 合计
学科良好 40 30 70学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设 学科良好与 学科良好无关，
此时 ，
所以我们有 把握认为 学科良好与 学科良好有关；
（2）已知 学科均良好的概率 ，
易知 的所有可能取值为0，1，2，3，
此时 ， ，
， ，
则 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
18．（2023•南通三模）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行
综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间 ， ， ，
， ， ， ， 上，分别对应为 ， ， ， 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健
康的重视，初评获 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获
等级的学生有 的概率提升为 等级：原获 等级的学生有 的概率提升为 等级：原获 等级的学
生有 的概率提升为 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得 等级，乙、丙获得 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为 等级的人数为 ，
求 的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是 等级的概率．
【分析】（1）求出 的所有可能取值及其对应的概率，即可求出 的分布列，再由期望公式求出 的数学
期望；
（2）记事件 为“该学生复评晋级”，事件 为“该学生初评是 ”，由条件概率公式代入求解即可．
【解答】解：（1） 的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3
．
（ 2 ） 记 事 件 为 “ 该 学 生 复 评 晋 级 ” ， 事 件 为 “ 该 学 生 初 评 是 ” ，．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
19．（2023•惠来县校级一模）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中 ， ．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭
有 个孩子 ，1，2， ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该
家庭男孩多．
（1）为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利
的增加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由．
（2）若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 （B）．
【分析】 （1）由概率之和为 1 和期望公式得到方 程组， 联立得到 ，令
， ，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案；
（2）由 和 求出 ，并用全概率公式求出 （B）．
【解答】解：（1）不存在 的值使得 ，理由如下：
由题意得， ①，且 ②，
由②得到 ，将其代入①，整理得到 ，令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，
故 无解，
所以不存在 的值使得 ；
（2）若 ，则 ，解得 ，
， ， ，
由全概率公式可得 ，
因为 ， ，所以 ．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望公式和全概率公式，属于中档题．
20．（2024•凉山州模拟）体育课上，同学们进行投篮测试．规定：每位同学投篮 3次，至少投中2次则通
过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为 ，每次是否
投中相互独立．
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）若乙同学每次投中的概率为 ，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投
篮训练的投篮次数之和记为 ，求 的分布列与数学期望 ．
【分析】（1）求出甲同学在3次投篮中，投中2次或3次的概率，得到答案；
（2）求出 的可能取值及对应的概率，得到分布列，得到数学期望．
【解答】解：（1）记事件 ：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，则 ；
（2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以乙通过测试的概率为 ，
由题意可知，随机变量 的可能取值有0，30，60，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 30 60
故 ．
【点评】本题考查离散型随机变量的概率的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
21．（2023•黄州区校级二模）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次
为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，
两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，
设甲、乙每次踢球命中的概率均为 ，甲扑到乙踢出球的概率为 ，乙扑到甲踢出球的概率 ，且各次踢
球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的分布列及数学期望；
（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；
（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算．
【解答】解：（1）记一轮踢球，甲进球为事件 ，乙进球为事件 ， ， 相互独立，
由题意得： ， ，
甲的得分 的可能取值为 ，0，1，
，，
，
所以 的分布列为：
0 1
．
（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0
分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得 分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，
甲3轮各得1分的概率为 ，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为 ，
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得 分的概率为 ，
甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为 ，
所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率 ．
【点评】本题主要考查了随机变量的分布列及期望的求解，属于中档题．
22．（2024•扬州模拟）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 ， ， 表示，其中 ，
．而在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维
坐标 ， ， ， ， ，其中 ， ．现有如下定义：在 维空间中两点间的曼
哈顿距离为两点 ， ， ， ， 与 ， ， ， ， 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
（1）求出 维“立方体”的顶点数；（2）在 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离
①求出 的分布列与期望；
②证明：在 足够大时，随机变量 的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ， 随 变化关系可表示为
【分析】（1）由题意，根据乘法原理，即可确定顶点个数；
（2）①首先确定 ，1，2， ， ，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；
②由①可知， 足够大时， ，可得正态分布 ，正态分布曲线为 ，并设题中分布
列所形成的曲线为 ，则当 与 均在 处取最大值，说明当 时，且 ，
则可认为方差 ．
【解答】解：（1）对于 维坐标 ， ， ， ， 有 ， 两种选择 ，
所以共有 种选择，
即共有 个顶点；
（2）①对于 的随机变量，在坐标 ， ， ， ， 与 ， ， ， ， 中有 个坐
标值不同，
即 ，剩下 个坐标值满足 ，
此时所对应情况数为 种，
所以 ，
则 的分布列为：
0 1 2所以 ，
倒序相加得 ，
故 ；
②证明：当 足够大时， ，
设正态分布 ，正态分布曲线为 ，
因为该正态分布期望为 ，方差为 ，
不妨设分布列所形成的曲线为 ，
所以函数 与 均在 处取最大值，
当 ，且 时，
此时可认为方差 ，
若 ，
当 时， ，
所以 ；
若 ，
当 足够大时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ．
综上所述，可以认为 ．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列和期望以及正态分布，考查了逻辑推理和运算能力．
23．（2024•惠州模拟）魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、
观察力、反应力．基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，
老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下：
时间
， ， ， ， ，
人数
年级
低年级 2 8 12 14 4
高年级 10 22 16 10 2
（1）估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
（2）在这次测试中，从所用时间在 ， 和 ， 内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学
生的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用学生所占比例确定第78百分位数一定位于 ， 内，再根据百分位数的计算方法
即可求得答案；
（2）事件“从所用时间在 ， 内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”和“从所用时间
在 ， 内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”是相互独立事件，分别求出其频率，确
定 的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望．
【解答】解：（1）在这次训练测试中所用时间在140秒以下的学生所占比例为 ，
所用时间在170秒以下的学生所占比例为 ，所以第78百分位数一定位于 ， 内，
设第78百分位数的值为 ，则 ．
（2）记事件 为“从所用时间在 ， 内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”，
事件 为“从所用时间在 ， 内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”，
由题意知，事件 ， 相互独立，且 ， ．
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
故 的数学期望 ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
24．（2024•昌乐县校级模拟）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生
产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 ．
（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修．已知每名维修工人
每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的
情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果
出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 与
之中选其一，应选用哪个？（实际获利 生产线创造利润 维修工人工资）【分析】（1）设3条生产线中出现故障的条数为 ，则 ．由此能求出该企业每月有且只有1条
生产线出现故障的概率．
（2）①当 时，设该企业每月的实际获利为 万元．求出实际获利 的均值，当 时，设该企业每
月的实际获利为 万元．求出实际获利 的均值，由 ．得到应选用 ．
【解答】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为 ，则 ．
该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：
．
（2）①当 时，设该企业每月的实际获利为 万元．
若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
又 ，
，
，
此时，实际获利 的均值为：
．
②当 时，设该企业每月的实际获利为 万元．
若 ，则 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
，
因为 ．
于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，
应选用 ．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查二项分布等
基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共5小题）
25．（2024•昌乐县校级模拟）甲、乙两类水果的质量（单位： 分别服从正态分布 ， ， ，
，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是
A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数
【分析】根据正态分布曲线所反映的随机变量的均值、方差，以及曲线的对称性，逐项判断即可．
【解答】解：由图像可知：甲类水果的平均质量为 ，乙类水果的平均质量为 ．
故 ， 正确；
甲图像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故 正确；结合乙类的图像可知： ，故 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布的性质和图像，属于基础题．
26．（2023•山东模拟）设随机变量 ，且 ， ，则
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
【分析】由题知 ， ，进而根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：因为随机变量 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以根据正态分布的对称性， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
27．（2023•宁德模拟）已知某批零件的质量指标 （单位：毫米）服从正态分布 ，且
，现从该批零件中随机取 3 件，用 表示这 3 件产品的质量指标值 不位于区间
的产品件数，则 0.4 8 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的方差公式，即可求解．【解答】解：由正态分布的对称性可知， ，
故1件产品的质量指标值 不位于区间 的概率 ，
则 ，
故 ．
故答案为：0.48．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及二项分布的方差公式，属于基础题．
28．（2023•青海一模）已知贵州某果园中刺梨单果的质量 （单位： 服从正态分布 ，且
，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在 的单果的个数的期望为
A．20 B．60 C．40 D．80
【分析】由正态分布对称性及已知得 ，又质量在 的单果的个数
，应用二项分布的期望公式求期望．
【解答】解：因为 （单位 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在 的单果的个数 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．
29．（2023•江苏模拟）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热
潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能
达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高三年级“不合
格”的人数不超过总人数的 ，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练．现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组
有16名学生．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为 70，标准差为4；乙组
的平均成绩为80，标准差为6．（数据的最后结果都精确到整数）
（1）求这40名学生测试成绩的平均分 和标准差 ；
（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布 ，用样本平均数 作为 的估计值 ，用
样本标准差 作为 的估计值 ．利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；
（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战．每场挑
战赛都采取七局四胜制．积分规则如下：以 或 获胜队员积4分，落败队员积0分；以 或 获
胜队员积3分，落败队员积1分．假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为 ，求王强在这轮比赛中所得
积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率．
附：
① 个数的方差 ；
② 若 随 机 变 量 ， 则 ， ，
．
【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；
（2）根据题中所给的公式进行求解即可；
（3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可．
【解答】解：（1） ，
第一组学生的方差为 ；
解得： ；
第二组学生的方差为 ；
解得： ．这40名学生的方差为 ，
所以 ；
（2）由 ， ，得 ， ．
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有 （人 ，
又 ，所以高三年级学生体能达标为“合格”；
（3）设王强在这轮比赛得3分为事件 ，他以 的比分获胜为事件 ，他以 的比分获胜为事件 ．
则 ，
，
所以 （A） ，
设王强前3局比赛获胜的事件为 ，
则 ，
．
【点评】本题考查平均数、方差的计算、正态分布、条件概率，是难题．
七．频率分布直方图（共3小题）
30．（2023•龙岗区校级二模）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学
生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全
校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【分析】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量
关系，即可得答案．
【解答】解：由题图知：选取人数为 人，故合唱社团占比为 ，故 正确，
所以机器人社团占比为 ，故该社团人数为 人，故 错误，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多 人，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查频率分布直方图以及统计相关知识，属于中档题，
31．（2023•青海一模）从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位： 都在区间 ，
内，将这200个脐橙的质量数据分成 ， ， ， ， ， ， ， 这4组，得到
的频率分布直方图如图所示．
（1）试问这200个脐橙中质量不低于 的个数是多少？
（2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数．【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案；
（2）根据平均数的求法求得正确答案．
【解答】解：（1）不低于 的频率为 ，
所以这200个脐橙中质量不低于 的个数是 ；
（2）平均数为 ．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
32．（2024•拉萨一模）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等
操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这
10个数据的平均数 与方差 ；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照 ， ， ， ，
， ， ， ， ， 分组，得到如下频率分布直方图．
（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；
（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数 （结果保留整数）．【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法求得正确答案；
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图求得正确答案；（ⅱ）根据中位数的求法求得正确答案．
【解答】解：（1） ，
．
（2）（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为：
．
（ⅱ）由 ， ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，属于中档题．
八．茎叶图（共3小题）
33．（2023•巴中模拟）第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界
送出来自中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲，乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两
名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现
有下列4种推荐意见．
①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．
②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．
③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．
④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会．
其中合理推荐意见的编号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据茎叶图的概念还原数据，再由平均数与方差的计算公式加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得甲的训练数据为118，124，127，131，130，所以甲的平均数为， ，
方差为 ．
甲的训练数据为119，125，126，125，130，
所以乙的平均数为 ，
方差为 ．
因为甲的平均数大于乙，且甲的方差大于乙，可知乙的成绩较好且发挥稳定，
所以无论从平均数还是方差的角度，都应该推荐乙参加，②③符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了平均数与方差、茎叶图的概念，考查了数据的处理能力，属于基础题．
34．（2023•内江一模）如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则 的值为 9 ．
【分析】甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，由茎叶图列出方程组求出 ， ，由此能求出
的值．
【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据是9，12， ，24，27；它的中位数为14， ；
乙组数据的平均数为 ， ；
；
故答案为：9．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数、平均数、茎叶图的性
质的合理运用，
35．（2023•鄠邑区模拟）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市
名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在 35
分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”．
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取 5名，再从这5名观众中任
选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名
观众时间相差5分钟以上的概率．
【分析】（1）根据茎叶图，用分层抽样法求得所抽到的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概
率值；
（2）用列举法计算所求的基本事件数，求对应的概率值．
【解答】解：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是 ；
选中的“朗读爱好者”有 人，记为 、 ，
“非朗读爱好者”有 人，记为1、2、3；
记 ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，
基本事件有 ， ， ， ， ， ， ，12，13，23共10个；
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ， 共7个，
则 （A） ；
（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，
女观众分别是40，41，现要各抽一名，则有：
、 ， 、 ， 、 ， 、 ， 、 ，
、 ， 、 ， 、 ， 、 ， 、 共10种情况．收视时间相差5分钟以上的有：
、 ， 、 ， 、 ， 、 共4种情况．
故收视时间相差5分钟以上的概率 ．
【点评】本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．
九．统计图表获取信息（共2小题）
36．（2024•天河区校级模拟）如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
【分析】 选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案； 选项，根据图形及方差的意义得到
错误．
【解答】解： 选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年的粮食年产量极差为 ，故 正确；
选项， ，结合 选项可知第65百分位数为第7个数33，故 正确；
选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为 ，故 正确；
选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故 错误．
故选： ．【点评】本题考查统计图表的相关信息，属于基础题．
37．（2024•资阳模拟）甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制
成如图所示折线图．下列说法正确的是
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
【分析】 ．利用平均数公式求解判断； ．利用中位数定义求解判断； ．根据折线图的波动判断； ．
利用极差的定义求解判断．
【解答】解：甲的数据：8，10，9，6，7，9，6，9，10，8，乙的数据：9，5，10，5，3，6，4，3，6，
10，
．甲投中个数的平均数为 ，
乙投中个数的平均数为 ，故错误；
．甲的数据从小到大排序为：6，6，7，8，8，9，9，9，10，10，则中位数为 ，
乙的数据从小到大排序为：3，3，4，5，5，6，6，9，10，10，则中位数为 ，故错误；
．由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正
确；
．甲投中个数的极差为 ，乙投中个数的极差为： ，故错误．
故选： ．
【点评】本题考查折线图的应用，平均数与中位数的概念，极差的定义，属中档题．一十．极差、方差与标准差（共2小题）
38．（2023•湖南模拟）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 ，2，
， 的平均数为 ，方差为 ；第二部分样本数据 ，2， ， 的平均数为 ，方差为 ，设
，则以下命题正确的是
A．设总样本的平均数为 ，则
B．设总样本的平均数为 ，则
C．设总样本的方差为 ，则
D．若 ，则
【分析】对于 选项，因为 ，由 放缩，可得 ；
对于 选项，举例说明 不正确；
对于 选项，举例说明 不正确；
对于 选项，若 ， ，代入总体方差计算公式，可得 ．
【解答】解：对于 选项，因为 ，所以 ，
，即 ， 正确；
对于 选项，取第一部分数据为1，1，1，1，1，则 ， ，取第二部分数据为 ，9，则 ，
，则 ， 不正确；
对于 选项，取第一部分数据为 ， ，0，1，2，则 ， ，
取第二部分数据为1，2，3，4，5，则 ， ，则 ， ， 不正确；对于 选项，若 ， ，则 ， ，
正确．
故选： ．
【点评】本题考查总样本的平均数和方差，属于基础题．
39．（2024•惠州模拟）某电池厂有 、 两条生产线，现从 生产线中取出产品8件，测得它们的可充
电次数的平均值为210，方差为4；从 生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为
200，方差为4．则20件产品组成的总样本的方差为 2 8 ．
【分析】先求出总体的平均数，再结合方差公式，即可求解．
【解答】解：总体的平均数 ，
则其方差 ．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查平均数和方差公式，属于基础题．
一十一．百分位数（共2小题）
40．（2023•城关区校级模拟）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线．某党支部理论学习
小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这
10名党员学习成绩的 分位数为 9 3 ．
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，
而 ，
则这10名党员学习成绩的 分位数为93．
故答案为：93．
【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
41．（2023•大理市二模）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己的前生活状态的满意程度的指
标，常用区间 ， 内的一个数来表示，该数越接近10，表示满意度越高．现随机抽取10位某市市民，
他们的幸福感指数为4，4，5，5，6，7，7，8，9，10．则这组数据的第80百分位数是 8. 5 ．
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，共有10个数据， ，这组数据的第80百分位数是第8个数据和第9个数据的平均数即 ，
故答案为：8.5．
【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
一十二．相关系数（共2小题）
42．（2024•乐山模拟）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大
小．
【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以 接近于1， 接近于 ，
由此可得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于
1（或 ，此题是基础题．
43．（2023•河南模拟）变量 与 相对应的一组数据为 ， ， ， ， ，变
量 与 相对应的一组数据为 ， ， ， ， ． 表示变量 与 之间的线
性相关系数， 表示变量 与 之间的线性相关系数，则
A． B． C． D．
【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组
数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．
【解答】解： 变量 与 相对应的一组数据为 ， ，
， ， ，
，
，
这组数据的相关系数是 ，
变量 与 相对应的一组数据为 ， ，
， ，
，
这组数据的相关系数是 ，
第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，
故选： ．
【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，
也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．一十三．线性回归方程（共4小题）
44．（2024•昌乐县校级模拟）具有线性相关关系的变量 ， 的一组数据如下：
0 1 2 3
其线性回归直线方程为 ，则回归直线经过
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】根据 ， 呈正相关，得到 ，再求出样本点中心，综合分析即可求解．
【解答】解：由图表中的数据可知： ， 呈正相关，
，
又 ， ，
样本点中心为 ，该点在第四象限，
线性回归直线经过第一、三、四象限．
故选： ．
【点评】本题考查线性回归分析，属基础题．
45．（2024•铜川一模）2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和
校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策．某地为了检测双减的落实情况，从某高中
选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．
学生序号 1 2 3 4 5 6
学习时长 分 220 180 210 220 200 230
（Ⅰ）若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
（Ⅱ）下表是某班统计了本班同学2022年 月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人
均月课外劳动时间 关于月份 的线性回归方程 ， 与 的原始数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间 8 9 12 19 22由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）．
附： ， ， ．
【分析】（Ⅰ）用 表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为 和 ，写出所有的基
本事件数，再计算所求的概率值．
（Ⅱ）（1）由表中数据计算 、 ，求出回归系数，利用回归方程求 、 的值．
（2）根据线性回归方程计算 时的预测值，再求残差值．
【解答】解：（Ⅰ）用 表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为 和 ，则基本事
件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15个，
将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
则序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
所以事件 中基本事件为： ， ， ， ， ， ，共6个，
计算所求的概率为 （A） ．
（Ⅱ）（1）由表中数据，计算 ，
，
所以 ，计算 ，所以 ，①
又因为回归直线恒过样本点的中心 ，所以 ，即 ，②
由①②，解得 ， ，③
又因为 ，所以 ，④
由③④，解得 ， ．
（2）因为线性回归方程为 ，
当 时，预测值 ，此时残差为 ．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．
46．（2023•浙江模拟）2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产
业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、
营造良好产业生态．某芯片研发单位用在“ 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比 如表所
示．已知 ，于是分别用 和 得到了两条回归直线方程： ，
，对应的相关系数分别为 、 ，百分比 对应的方差分别为 、 ，则下列结论正确的是
（附 ，
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解．
【解答】解： 时， ，变量 、 呈线性正相关，故 ，故 正确；
方差反映数据的稳定性，显然 时更稳定，故此时方差更小，即 ，故 正确；
由于 ，当 时，
，
当 时， ，
所以 ，故 正确；
因为 ，所以 时， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．
47．（2023•银川模拟）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启
全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史
性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现
代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到 2025年全国水产品年产量达到6900万吨 年至
2021年全国水产品年产量 （单位：千万吨）的数据如下表：
年份 2018 2019 2020 2021
年份代号 1 2 3 4
总产量 6.46 6.48 6.55 6.69
（1）求出 关于 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、
渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员
高配比（配比 渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且
高配比的地区有4个，能否有 的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据 ， ， ， ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘
法估计分别为 ， ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考数据 ，
【分析】（1）先求出 ， 的值，再利用公式求出 ， 的值，从而得到 关于 的线性回归方程；
（2）根据题意列出业科技推广人员配比和年产量之间的 列联表，根据公式计算 的值，再与临界值
比较即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意可得 ，
又因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ；
（2）由题意得，渔业科技推广人员配比和年产量之间的 列联表如下：
渔业科技推广人员配比 渔业科技推广人员配比 合计
年产量超过90万吨 4 10 14
年产量未超过90万吨 12 6 18合计 16 16 32
所以 ，
故有 的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
一十四．独立性检验（共4小题）
48．（2023•西宁一模）在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 列联表：
休闲 看电视 运动
性别
男 8 20
女 16 12
为了判断休闲方式是滞与性别有关，根据表中数据，得到 ，因为
，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为
（参考数据： ，
A． B． C． D．
【分析】利用 与临界值比较，即可得到结论．
【解答】解： ， ， ，
判断出错的可能性至多为 ，
故选： ．
【点评】本题考查独立检验（只要求 列联表）的基本思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
49．（2023•抚松县校级模拟）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校
所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经常锻炼 不经常锻炼
男 40 10
女 30 20
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635经计算 ，则可以推断出
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有 的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有 的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【分析】利用频率估计概率得到 错误 正确，确定 ，得到 正确 错误，得到答案．
【解答】解：对于 ，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 ，故 错误；
对于 ，经常体育锻炼的概率的估计值男生为 ，女生为 ，故 正确；
对于 ， ，故有 的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故 正确；
对于 ， ，故没有 的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故 错
误．
故选： ．
【点评】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．
50．（2024•昌乐县校级模拟）近年来非洲猪瘟在全国各地出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出
技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：
方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收
费；
方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药
的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元．
（1）设日收费为 （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 （单位：头）， ，试写出两种方案
中 与
的函数关系式．
（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和
10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下 列联表．
9月份
10月份 合计未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
根据以上列联表，判断是否有 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关．
附 ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据该统计数
据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个
方案更合适，并说明理由．
【分析】（1）找到与两种方案匹配的函数模型，即可列出函数关系式；（2）根据 的公式计算出结果，
对照数据比较大小即可作出判断；（3）结合条形统计图中显示的发病数量与需要用药的天数，逐一对两
种方案的养殖成本进行计算即可．
【解答】解：（1）方案一： 与 的函数关系式为 ， ，
方案二： 与 的函数关系式为 ．
（2）由列联表可知， ，
故有 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关．
（ 3 ） 若 采 用 方 案 一 ， 则 这 100 天 的 总 费 用 为元，
若 采 用 方 案 二 ， 则 这 100 天 的 总 费 用 为
元，
所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二．
【点评】本题考查分段函数解析式及独立性检验，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
51．（2024•资阳模拟）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线
生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了 300件进行测评，并将测评结果
“优”或“良” 制成如下所示列联表：
良 优 合计
甲生产线 40 80 120
乙生产线 80 100 180
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．
若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ．
【分析】（1）根据 列联表，求得 ，即可判断．
（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2，4件，列举法写出所有可能，进行计
算即可．
【解答】解：（1）计算 ，对照附表知，有 的把握认为产品质量与生产线有关系．
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取 件产品，记为 ， ，
在乙生产线抽取 件产品，记为 ， ， ， ，
在这6件产品中随机抽取2件，共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共15种，
其中2件产品中至少有一件产自于甲生产线的有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有
9种，
故所求的概率为 ，
所以这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为 ．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
六、易错分析
易错点一、 互斥事件与对立事件关系模糊致错
1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地
理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考
科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、
化学”和“选择生物、地理”为( )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件
【错解】选B，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该考生“选择
思想政治、化学”和“选择生物、地理”是对立事件．
【错因】混淆互斥事件与对立事件概念
【正解】选D，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发
生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件．
2、某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一
种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断
是不是对立事件。
①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C
【错解】选①或③或④或⑤【错因】两类事件的概念不清。
【正解】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验
中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立
事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，本题中“至少订一种报”与“一种报也不
订”不可能同时发生，但必有一个发生，所以选②。
易错点二、使用概率加法公式忽略成立条件致错
3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,
事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B)．
【错解】因为P(A)＝＝,P(B)＝＝,所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【错因】事件A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．注意，在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问
题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公式．
【正解】将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件C,出现“5”为事件D,则
C与D两事件互斥,所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
易错点三、求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a∈{1,2,3}，b∈{0,1,2}，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B.
C. D.
【错解】选C，f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根，
Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝1；a＝3，b＝0,1,2，
共有5种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为＝.
【错因】a＝2，b＝1或0，有两种情况，错解中遗漏了一种情况。
【正解】选B f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程f′(x)＝0有两个相异实根，
Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a＞b，有a＝1，b＝0；a＝2，b＝0,1；a＝3，b＝0,1,2，
共有6种，总的情况有3×3＝9种，所以所求概率为＝.
5、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B. C. D.
【错解】选A或B或C
【错因】用列举法列举基本事件时因重复或遗漏而错误
【正解】如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随 机选2个顶点,剩下
的4个顶点构成四边形,有
共15种．若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有 , 共 3
种,故其概率为＝.6、箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验出停止,则检验4
次停止检验的概率为 .
.
【错解】
【错因】忽略前4次全是正品的情况.
【正解】 .
易错点四、对条件概率概念理解不透致错
7．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，现需要一只卡口
灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡
的概率为( )
A. B. C. D.
【错解】选B，共有12只灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，共有 种，则第1次抽到螺口
灯泡，第2次抽到卡口灯泡，共有 种，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡
口灯泡的概率为 。
【错因】没有理解条件概率，错解中误当成古典概型去求。注意，条件概率：设A，B是条件S下的两个
随机事件， ，则称在事件A发生的条件下事件B发生的概率为条件概率，记作 ，
，其中 表示事件A与事件B同时发生构造的事件．
【正解】选C，设事件A为第1次抽到螺口灯泡，事件B为第2次抽到卡口灯泡，则在第1次抽到螺口灯
泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率P(B|A)＝＝＝.
8．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋
中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
【错解】选D，若从第一个袋中取的的是白球，则 ，若从第一个袋中取的的是黑球，则 ，
则两次均取到白球的概率为 .
【错因】对条件概率概念理解不透致错。
【正解】选B 记A表示第i次取到白球(i＝1,2)，则P(A)＝，P(A|A)＝.由乘法公式，得P(AA)＝
i 1 2 1 1 2P(A)P(A|A)＝×＝.
1 2 1
9、假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，则其至少有1个男孩的概率为
．
【错解1】此家庭有3个孩子共有（男，男，女），（女，女，男），（男，男，男），（女，女，女）4
种可能，故其中有1名女孩条件下至少有1个男孩的概率为 ．
【错因】基本事件空间认识有误，此家庭中3个孩子出生有先后顺序，应包含8种可能；同时条件概率求
解时若采用缩小事件空间用古典概型求解时事件总数应为7，而不是8．因为（男，男，男）中不
包含其中有1个女孩．
【正解】此家庭共有3个孩子，包含基本事件有（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），
（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）其中至
少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为 ．
【错解2】记事件A表示“其中有1名女孩”，B表示“至少有1个男孩”，
则 ．
【错因】其中有1名女孩共有6种可能，即至少有1名是女孩，错解中误理解为有且只有1名女孩．
【正解2】 ．
易错点五、求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1致错
10、若随机变量X满足 ,则 .
【错解】因为 ,所以
= .
【错因】没有求出a的值【正解】因为满足 ,所以
= ,所以 ,所以 = .
11、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次
考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加驾照考
试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分
布列。
【错解】随机变量 可取1，2，3，4，则 ， ，
， ，
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
1 2 3 4
p 0.6 0.28 0.096 0.0216
【错因】因为 ，主要是对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没
通过，而第四次可能通过也有可能不通过。
【正解】随机变量 可取1，2，3，4，则 ， ，
， ，
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
1 2 3 4
p 0.6 0.28 0.096 0.024
易错点六、混淆超几何分布和二项分布的概念致错
12、某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的
一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无
放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品
数量为Y， ，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量Y服从超几何分布C． D．
【错解】AD，对于A，B选项，由超几何分布的概念可知A正确；
对于D选项，该批产品有M件，则 ，
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误．
【错因】由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故A错，
B对。
【正解】由超几何分布的概念可知B正确；对于D选项，该批产品有M件，则 ，
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误．
13、某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．
现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙，种植完成后若随机选出4
块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求 ．
【错解】根据题意可知X服从二项分布，每块地种甲的概率为 ，故 ，
．
【错因】产生错误的主要原因是没有真正掌握二项分布与超几何分布的概念而将它们混为一谈，本题中选
地种植甲或乙品种是“不重复”试验，故X应服从超几何分布．
【正解】X可能的取值为0，1，2，3，4，且 ．易错点七、分不清独立重复试验与相互独立事件致错
14、甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人击中目标与否相互之间没有影响，每人
各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击
中目标的概率为________．
【错解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好
有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝2×3＝ .
【错因】独立重复试验与相互独立事件混淆
【正解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好
有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝C×2×2×C×3×＝.
易错点八、独立性检验问题中对 的值理解不准确致错
15．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表．参照附表，能得到的正
确结论是( )
男 女 合计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
附：χ2＝.
α 0.05 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【错解】C
【错因】不理解 的含义
【正解】选A 由列联表中的数据可得χ2＝≈7.822＞6.635＝x ，
0.010
故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A.
16、在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量 的观测
值 ．在犯错误的概率不超过0．001的前提下,下面说法正确的是（）下面临界值表供参考0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
A．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过
0.001
B．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于
0.001
C．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超
过0.001
D．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低
于0.001
【错解】B
【错因】不理解 的含义
【正解】由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量 的观测值 ,其中
,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”.故选A.
易错点九. 对于综合性问题事件分拆混乱致错
17、某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是
“合格”则该课程考核“合格”．甲,乙,丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7,在实验考核中合
格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲,乙,丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)
【错解】(1)设甲,乙,丙至少两人合格为事件A,
P(A)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.402.
(2)设三人都合格为事件B,P(B)＝0.9×0.8×0.7＝0.504.
【错因】事件分拆错误．“至少两人合格”要分析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙丙
合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和；三人课程考核合格要写成六个独立事件的积．
【正解】记“甲理论考核合格”为事件A,“乙理论考核合格”为事件A,“丙理论考核合格”为事件A,记为
1 2 3
A的对立事件,i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B,“乙实验考核合格”为事件B,“丙实验考核
i 1 2合格”为事件B.
3
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C,
P(C)＝P(AA＋AA＋AA＋AAA)＝P(AA)＋P(AA)
1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3
＋P(AA)＋P(AAA)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.
2 3 1 2 3
(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D,
P(D)＝P[(AB)·(AB)·(AB)]＝P(AB)·P(AB)·P(AB)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
＝0.254 016≈0.254.
所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.
