第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及
贝叶斯公式（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第21题,12分 利用全概率公式求概率 求离散型随机变量的均值
独立事件的乘法公式
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分 利用互斥事件的概率公式求概率
独立重复试验的概率问题
2023年全国甲卷（理），
计算条件概率 无
第6题,5分
2022年新I卷，第20题,12分 计算条件概率 独立性检验解决实际问题
频率分布直方图的实际应用
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分 计算条件概率 由频率分布直方图估计平均数
利用对立事件的概率公式求概率
2021年新I卷，第8题,5分 独立事件的判断 无
2020年全国甲卷（理），
独立事件的实际应用及概率 无
第19题,12分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握事件的相互独立性关系及其辨析
2.会独立事件的乘法公式计算
3.会条件概率的计算
4.会全概率及贝叶斯概率的计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合条件概率、全概率及贝叶斯概率综合考查，需重
点强化复习知识讲解
1. 事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事
件发生的概率没有影响．
2. 条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1，
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|
(2)如果B和C是两
B)．
个互斥事件，则
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
P(B∪C|A)＝P(B|A)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3. 条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本
基本事件法
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
缩样法
解，它能化繁为简
4. 全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n，则
1 2 n 1 2 n i对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A＋A＋…＋A)＝BA＋BA＋…＋BA，有P(B)＝
1 2 n 1 2 n
，此公式为全概率公式.
⊆
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包
含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
5. 贝叶斯公式
一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对
任意的事件 有
考点一、 独立事件的判断
1．（2023·全国·高三专题练习）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件
A：该家庭既有男孩又有女孩；事件 ：该家庭最多有一个男孩；事件 ：该家庭最多有一个女孩；则下
列说法中正确的是（ ）
A．事件 与事件 互斥但不对立 B．事件A与事件 互斥且对立
C．事件 与事件 相互独立 D．事件A与事件 相互独立
2．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2
张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示
事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不
同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
3．（2023春·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）（多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子
两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”， “第二次的点数小于5点”， “两次
点数之和为奇数”， “两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A． 与 不互斥且相互独立 B． 与 互斥且不相互独立
C． 与 互斥且不相互独立 D． 与 不互斥且相互独立
4．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件 “取出的两球同色”，事件 “第一次取出的是红球”，
事件 “第二次取出的是红球”，事件 “取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A． 与 互为对立 B． 与 互斥
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，
3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件
“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，
则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6
六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面
的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，
则（ ）
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
4．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，
3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示
“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次
取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D对立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
考点 二 、 独立事件的乘法公式
1．（2023·全国·模拟预测）某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为 ，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的
概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为
“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑
球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件 “从乙箱中取出
的两球都是白球”， “从乙箱中取出的两球都是黑球”， “从乙箱中取出的两球一个是白球一
个是黑球”，其对应的概率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，
则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于一个事件E，用 表示事件E中样本点的个数．在一个古
典概型的样本空间 和事件A，B，C，D中，
， ，则
（ ）
A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若三个元件 、 、 按照如图的方式连接成一个系统，每
个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件 正常工作且 、 中至少有一个正常工作时，系统就
正常工作，若元件 、 正常工作的概率依次为 、 ，且这个系统正常工作的概率为 ，则元件
正常工作的概率为 .7．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办
“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关
二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是 ，甲、丙两位同学都答错的概率是 ，乙、丙两位同学
都答对的概率是 .若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概
率为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三
人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人
累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.
根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为 ，乙、丙比赛乙胜概率为 ，丙、甲比赛丙胜概率
为 ，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
9．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games
Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运
项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛
不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才
会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分
组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜
者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到
败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总
决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛
就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因
此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为 ，其中 对阵其他三个队伍获胜概率均为
，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为 ．最初分组时 同组， 同组．
(1)若 ，在淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率（用 表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，
是否如很多人质疑的“对强者不公平”？1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知某口袋中放有大小、质地完全相同的红球和白球
各若干个，若有放回地从口袋中每次摸取1个球，连续摸两次，记两次摸到的小球颜色不同的概率为 ，
两次摸到的小球颜色相同的概率为 ，则（ ）
A． B．
C． D． ， 大小不确定
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙
去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物
馆的概率是（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
3．（2023·河南·校联考二模）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，
每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，
若甲通过每个阶段比赛的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均
为 ，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮
活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活
动中，甲、乙答对的概率分别为 和 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，
则（ ）．
A．每轮活动中，甲获胜的概率为
B．每轮活动中，平局的概率为
C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为
D．甲至少获胜两轮的概率为
5．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已
知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为 ， ， ，则3个人中至少2人在规定时间内完成任
务的概率为 ．
6．（2023·安徽合肥·二模）第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了
让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加
此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为 ，乙每轮猜对谜语的概率为 ，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、
乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为 ．
7．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、
乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每
场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的
两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队
轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与
丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
(1)写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
(2)写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．
8．（2023·西藏拉萨·统考一模）某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果
在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方
各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员
全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一
样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的
一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为 ,乙队每
位球员罚进点球的概率均为 .假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲
队第5个球员需出场罚球的概率.
考点 三 、 条件概率的计算
1．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且 ，
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知A，B为互斥事件，事件C满足： ，
， ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左
前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下
珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十
位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、
百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件 “表示的四位数为偶数”，事件
“表示的四位数大于5050”，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考二模）（多选）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实
现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，
以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和 道填空题)，不放回地依次随机抽取 道
题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第 次抽到选择题”，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）（多选）甲、乙、丙、丁四名教师分配到 ， ，
三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件 ：“甲分配到 学校”；事件 ：
“乙分配到 学校”，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C．事件 与 相互独立 D．
6．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（
）
A．若事件A，B互斥， ， ，
B．若事件A，B相互独立， ， ，则C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
7．（2023·江苏南通·统考三模）（多选）设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·广西南宁·统考模拟预测）1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时
工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由
恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安
排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值
班2天，则甲连续值班的概率是
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B， ， ， ，则
.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，那么
．
1．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装
有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用
分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A． 两两不互斥 B．
C． 与B是相互独立事件 D．
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文比赛，评审结果显示，
获得一、二、三等奖的征文数量之比为 ，男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的
， ， .现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件 ，“取出男生的征
文”为事件 ，“取出女生的征文”为事件 ，则（ ）A． B． C． D．
3．（2023秋·广东佛山·高三佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运
会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参
加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）（多选）设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1
个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球
是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（ ）
A．事件A与事件B相互独立 B．
C． D．
5．（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）（多选）设 是一个随机试验中的两
个事件，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）（多选）一个袋子中有编号分别为 的4个球，除编号外没有其
它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件 ，
“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件 ，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． B．事件 与事件 相互独立
C． D．事件 与事件 互为对立事件
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国
家财政补贴､地方财政补贴､免征车辆购置税､充电设施奖补､车船税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件 表
示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件 表示“电动汽车销量增加”， ， .
一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的
概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（ ）A． B．
C． D． .
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山
4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷
山”，则 .
9．（2023·上海·高三专题练习）从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第
一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ．
10．（2023·湖南·模拟预测）已知甲罐中有 个红球、 个黑球，乙罐中有 个红球、 个黑球，先从甲罐
中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”， 表示事
件“由乙罐取出的球是黑球”，则 ．
考点 四 、 全概率公式及应用
1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）某餐馆在 网站有200条评价，好评率为 ，在 网站有100条评
价，好评率为 ．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·云南·高三阶段练习）有 张奖券，其中 张可以中奖，现有 个人从中不放回地依次各随机
抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件 “第 个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是
（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C． D．
3．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为 ，
汽车和动车正点到达目的地的概率分别为 ，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，
6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架
上，分别以 和 表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一
本书，以 表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．C． D．
5．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，
第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总
数的 ， ， ．随机取一个零件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车床加工”
， ， ，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）在某地A、B、C三个县区爆发了流感，这三个地区分
别3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取
一个人，这个人患流感的概率是 .
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子中
随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽
奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在
打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择
之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号
或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品
率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零
件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
1．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2
本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在
第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.
若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子
中任取一个球，设事件 为第一次取出的球为i号，事件 为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·广东佛山·高三佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球
和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ，
和 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以 表示从乙罐取出的球是红
球.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D． ， ， 两两互斥
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）（多选）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，
乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件 和 分别表示由
甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件 表示由乙箱取出的球是红球，则
（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
5．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）（多选）现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6
个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以 表示由甲箱中取
出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（ ）
A． 两两互斥.
B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为 .
C．以 表示由乙箱中取出的是红球的事件，则 .
D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为 .
6．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 “第 次
命中目标” ， ， ， ，则 .
7．（2023·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外
活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取 局 胜制，每局都是单打模式，每队有 名队
员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、
乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手 对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队
其余 名队员对乙队每名队员的胜率均为 .（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终 获胜且种子选手 上场的概率；
(2)已知甲队 获得最终胜利，求种子选手 上场的概率.
8．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而
不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得
到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机
摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回
答问卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；
方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.
当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求
得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.
(1)若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为 ，试估计该年级学生对饭堂的满意度.
（结果保留3位有效数字）
考点 五 、 贝叶斯概率公式及应用
1．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，
大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三
次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，
则他出于某种特殊的原因说谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是 ．最初人们不知道这
个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是诚实
的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑
球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取
出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件 与事件B相互独立
C． D．
3．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）（多选）甲箱中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙箱中有 个红球，
个白球和 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 和 表示由甲箱取出的球是红球，
白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确
的是（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
4．（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）有3台车床加工同一型号的零件，第1
台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一
起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ．
1．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，
货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（
）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号
球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两
个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该
盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
3．（2023·河南安阳·统考二模）学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次
品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为 ．
4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是 ，并且
会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率
是 .
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项目，1000米为必测项目，
再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目
恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因
素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为
0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接
受信号为1的概率为（ ）
A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575
3．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，
其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3
个球中至少有1个黑球”，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西临汾·统考二模）现有甲､乙､丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一､二两个
等级､其中甲､乙､丙三个工厂的一等品各有60件､70件､80件.从这300件产品中任选一件产品，则下列说
法错误的是（ ）
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
5．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其
中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为
（ ）
A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四
级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，
发生中度雾霾的概率为（ ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
二、填空题
7．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）某学习小组共有11名成员，其中有6名
女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况， 表示
“抽到的2名成员都是女生”， 表示“抽到的2名成员性别相同”，则 .
8．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， .则
谜题被破解的概率为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为 和 ，供应商
提供的部件的良品率为 ，若该部件的总体良品率为 ，则供应商 提供的部件的良品率为
．
10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件 为“取到的
两个数的和为偶数”，事件 为“取到的两个数均为偶数”，则 ．
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去四川省图
书馆与老师探讨作业试卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道 处，小明在街道 处，四川省图书馆位于
处.二人均选择最短路线并约定在天府广场汇合，记事件 ：小红经过 ，事件 ：小红经过 ，则
.
三、解答题
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲
厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已
知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
13．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为 ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局
者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；
(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子
向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.
四、双空题
14．（2023·山西·统考模拟预测）一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出
的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是 ，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是
.
15．（2023·湖北武汉·统考三模）设样本空间 含有等可能的样本点，且 ， ，
，则A，B，C三个事件 （填“是”或“不是”）两两独立，且
.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）用 五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件 {数字 在
的左边}，事件 { 与 相邻}，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找
到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定
位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧
急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北·校联考模拟预测）2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健
康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，
患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068
5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有
两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个
绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色
的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南·统考三模）设 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生， ， ，
给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）已知事件A、B满足 ， ，则
（ ）
A． B．
C．事件 相互独立 D．事件 互斥
二、多选题
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可
以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调
配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从
余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配， 表示事件“甲调配出红色”； 表示事件“甲调配
出绿色”； 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 是独立事件 B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．
9．（2023春·山东聊城·高三统考期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设
M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立10．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知A，B为两个随机事件，且 ， ，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若 ，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
三、填空题
11．（2023·福建福州·校考模拟预测）在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两
队小组赛中相见，积分规则如下：以 或 获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以 获胜的球队
积2分，落败的球队积1分．若甲队每局比赛获胜的概率为0.6，则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件
下，甲队前2局比赛都获胜的概率是 ．(用分数表示)
12．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的
控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概
率分别为 ， ， ，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ．
13．（2023·湖北·统考模拟预测）现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个
3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球
放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为 ．
14．（2023·江苏南京·校考二模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含
有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包
产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该
企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占 ，则小张决
定采购该企业产品的概率为 ．
四、解答题
15．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等
奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的
通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖
（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖
金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.
16．（2023·全国·高三专题练习）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，
组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5
个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束
后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支
部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲
箱中取出的是2个选择题的概率.
17．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智
能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断
扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修
正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同
的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个
红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试
验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 （先验概率）.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中
摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
18．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参
赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中
有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两
班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩
的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，
两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统
计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差
为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题
目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
19．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子
中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请
抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，
在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选
择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号
或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
20．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙两个学校分别有 位同学和n位同学参加某项活动，假定所有
同学成功的概率都是 ，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，
事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．
(1)若 ，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
(2)证明： ．
【真题感知】
6.1
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的
同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，
至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为
；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
4．（2023·全国）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑
球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为
；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
三、解答题
5．（·湖南·高考真题）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品
而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品
的概率为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．6．（四川·高考真题）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，
两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为
0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．
7．（四川·高考真题）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾
取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概
率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2
件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求
该商家拒收这些产品的概率．
6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习
惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在
未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
