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专题08 计数原理与概率统计
题号
1
2
3
4
5
答案
B
D
B
C
BD
6．1080
题号
1
2
答案
ACD
BD
3．
4．0
5．90
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
C
B
C
BC
ABD
BC
ACD
8．1
题号
1
答案
ABD
2．(1)
；变量x 与y 之间具有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析；期望：1.8
【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱；
考点1
排列与组合
考点2
二项式定理
考点3
统计
考点4
线性回归方程与独立性检验
（2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
样本相关系数：
，
因为
非常接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关关系.
（2）5 天中取件人数小于100 的天数有3 天，
从这5 天中随机选取3 天，
的可能取值为1，2，3.
，
，
，
所以
的分布列为：
1
2
3
的数学期望
3．(1)有关，理由见解析
(2)无关
【详解】（1）逻辑推理任务中信号同步的频率
，创造性想象任务中信号同步的频率
，
思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即
；
（2）零假设
：思维任务类型与信号同步性无关，
根据表中数据可得
，
根据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即思维任务类型与信号同步性无关．
题号
1
2
3
4
答案
C
D
BC
BD
5．
/
6．
/0.9375
7．(1)
；
(2)①
；②
【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进
行计算即可；
（2）①先算出第
次是第一次取到红球，第
次是第二次取到红球的概率为
，
则第
次恰好抽到第二个红球的概率为
中
从到
取值累加求和；
②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到
的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值.
【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为
，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
考点5
古典型概率与条件概率
则
；
记在模型二下，取到红球的概率为
，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则
；
（2）①设第
次是第一次取到红球，第
次是第二次取到红球的概率为
，
则
，
则第
次恰好抽到第二个红球的概率
为
中
从到
取值累加求和，即
，
利用等比数列求和公式即可得
；
②由题可知，
的取值依次为
，
当
时，
，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
，
设
，
由错位相减法可得
，
所以
.
1．(1)
，
；
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得；
（2）由题意可得
，利用期望公式可得
，则由
计算即可得
解；
（3）由（2）可得
，即可得
，再利用累
加法计算即可得解.
【详解】（1）由题意可得
，
；
（2）第
次操作抽到
类部件的概率等于第
次操作后
类部件占比的期望，
第
次操作抽到
类部件的概率等于第
次操作后
类部件占比的期望，
故有
，
，
若第
次操作时，取到
类部件，则
类部件的数量不变，
若第
次操作时，取到
类部件，则
类部件的数量加，
故
，
考点6
二项分布与超几何分布的均值与方差
故
，
即
；
（3）由
，
则
，
即
，
则
，
，
，
，
则
，
即
，则
，
故
，
故
.
2．(1)
(2)应该选择方案一
【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得
后对其求导，可得其单调性，即可得其
极大值点；
（2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得.
【详解】（1）每箱产品中恰有1 件不合格品的概率
，
，
则
，令
，得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值点
.
（2）由（1）知
，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为
，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为
．
；
因为
，所以应该选择方案一．
3．(1)
(2)这1000 件产品中恰有2 件次品的概率为
；当
为整数时，
最大时的值为
或
；
当
不为整数时，
最大时的值为小于
的最大整数.
【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，
（ii）根据
最大时
列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为
，即
．
所以
，
由
，
得
，即
.
（2）（i）由题意知
，且
，
又
，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以
，
所以
，即这1000 件产品中恰有2 件次品的概率为
.
（ii）因为
最大，所以
，
即
，解得
，
又
，所以当
为整数时，
最大时的值为
或
；
当
不为整数时，
最大时的值为小于
的最大整数.
4．(1)
(2)
【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得；
（2）得到
的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望.
【详解】（1）设事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”，
，
则
，
所以甲11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为
；
（2）由题意可知
的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
6
所以
.
5．(1)0.028.
(2)0.7224.
(3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析
【分析】（1）连续检测3 次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，再结合二项
分布的概率公式，即可求解；
（2）通过由全概率公式得出即可；
（3）
的所有可能取值为
，60，
，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件
．连续检测3 次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，
所以
，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件
，被检测的零件为不合格品是事件
，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件
，
则
．
由（1）知
，又因为
，
，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）
的所有可能取值为
，60，
．
，
，
，
则
．
因为
，所以该工厂不会停止生产该零件．
题号
1
答案
ABD
2．
3．(1)
；变量x 与y 之间具有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析；期望：1.8
【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱；
（2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
样本相关系数：
，
因为
非常接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关关系.
（2）5 天中取件人数小于100 的天数有3 天，
从这5 天中随机选取3 天，
的可能取值为1，2，3.
，
，
考点7
离散型随机变量的均值与方差
，
所以
的分布列为：
1
2
3
的数学期望
4．(1)
(2)应该选择方案一
【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得
后对其求导，可得其单调性，即可得其
极大值点；
（2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得.
【详解】（1）每箱产品中恰有1 件不合格品的概率
，
，
则
，令
，得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值点
.
（2）由（1）知
，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为
，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为
．
；
因为
，所以应该选择方案一．
5．(1)
(2)
X
0
1
2
3
P
，
.
【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【详解】（1）解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件
C，“问题1 被回答正确”为事件D，由题意知：
，
由全概率公式得：
.
（2）由题意知：X 的可能取值为0,1,2,3，
则有
，
．
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则
.
6．(1)
(2)需先使用药物
可使得痊愈的平均天数更短
【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患
病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率；
（2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先
后
和先
后
两种方案下，治愈天
数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案.
【详解】（1）记事件
：检测结果阳性，事件
：患病，
由题意可知，
，
，
，
所以
，
因此，这种检验方法在该地区的误诊率为
．
（2）设
表示药物
能治愈疾病的概率，
表示药物
能治愈疾病S 的概率，
则有
，
．
设先用药物
再用药
来治愈疾病所需的天数为
，
的可能取值为3，6，9，
则
，
，
所以
．
设先用药物
再用药
来治愈疾病所需的天数为
，
的可能取值为3，6，9，
同理得
，
，
则有
，
从而有
，由此需先使用药物B 可使得痊愈的平均天数更短.
7．(1)
，
；
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得；
（2）由题意可得
，利用期望公式可得
，则由
计算即可得
解；
（3）由（2）可得
，即可得
，再利用累
加法计算即可得解.
【详解】（1）由题意可得
，
；
（2）第
次操作抽到
类部件的概率等于第
次操作后
类部件占比的期望，
第
次操作抽到
类部件的概率等于第
次操作后
类部件占比的期望，
故有
，
，
若第
次操作时，取到
类部件，则
类部件的数量不变，
若第
次操作时，取到
类部件，则
类部件的数量加，
故
，
故
，
即
；
（3）由
，
则
，
即
，
则
，
，
，
，
则
，
即
，则
，
故
，
故
.
8．(1)
(2)
【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得；
（2）得到
的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望.
【详解】（1）设事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”，
，
则
，
所以甲11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为
；
（2）由题意可知
的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
6
所以
.
题号
1
2
答案
D
ABD
考点8
正态分布
3．(1)
(2)这1000 件产品中恰有2 件次品的概率为
；当
为整数时，
最大时的值为
或
；
当
不为整数时，
最大时的值为小于
的最大整数.
【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，
（ii）根据
最大时
列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为
，即
．
所以
，
由
，
得
，即
.
（2）（i）由题意知
，且
，
又
，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以
，
所以
，即这1000 件产品中恰有2 件次品的概率为
.
（ii）因为
最大，所以
，
即
，解得
，
又
，所以当
为整数时，
最大时的值为
或
；
当
不为整数时，
最大时的值为小于
的最大整数.
1．(1)
(2)分布列见详解，
(3)
；
【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4 次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”
的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可；
（2）依据比赛规则确定随机变量
的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件
加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望；
（3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出
与
的递推，通过构造等比数列求通
项，再对等比数列与常数列分别求和得
.
【详解】（1）设事件
：甲第次投篮合中，
则
则甲投篮4 次即停止投篮的概率
，
则
，故甲投篮4 次即停止投篮的概率为
．
（2）依题意可得，随机变量
的可能取值为：
，
，
局结束时，甲胜概率
，
局结束时，乙胜概率
，
考点9
概率统计综合题型
，
，
分布列：
数学期望：
.
（3）当
时，
，则
，
当
时，
，
则
，即
则
，
故
为首项为
，公比为
的等比数列故
，
即
，故
．
2．(1)
数学期望为
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）分析可知随机变量
的可能取值有、
，求出随机变量
在不同取值下的概率，可得出随
机变量
的分布列，进而可求得
的值；
（2）（i）推导得出
，
，两式作差，结合
可推得结论成立；
（ii）分析可得
，结合（i）推导得出
，可得出
，则有
是以
为首项，
为公比的等比数列，求出数列
的通项公式，可证得结论成立.
【详解】（1）随机变量
的可能取值为和
，
时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战
高二篮球队，
或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三
篮球队，
则
，
．
则
的分布列为
则
的数学期望为
．
（2）（ⅰ）若第
次挑战权属于高二篮球队，
若第
次挑战权属于高一篮球队，则第
次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为
，
若第
次挑战权属于高三篮球队，则第
次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为
，
所以
①，同理可得
②，
②
①得
，
又
，因此
，因此
；
（ii）若第
次挑战权属于高一篮球队，
若第
次挑战权属于高二篮球队，则第
次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为
，
若第
次挑战权属于高三篮球队，则第
次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为
，
所以
，③
①
②，得
，
由③知
，
又
，
从而有
，所以
，
第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则
，
故
，
则有
是以
为首项，
为公比的等比数列，
因此，
，
．
当
为偶数时，
，因此
．
3．(1)
(2)
X
0
1
2
3
P
.
【分析】（1）根据回归直线方程的计算方法求得回归直线方程.
（2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）
，
,
.所以，回归直线方程为
.
（2）由题意知随机变量
的可能取值为
，则：
，
，
，
，
X
0
1
2
3
P
故均值
.
4．(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）分类讨论，根据随机变量
服从二项分布，利用期望公式求解即可；
（3）列出不等式组，求出
取值范围，分类求
与
的关系即可.
【详解】（1）由题意，
；
；
；
；
；
.
（2）根据集合
的子集个数，可知集合A 的可能情况有
种；同理，集合B 也可能有
种.
因此，两集合的所有可能情况数为
X 的所有取值为
当
时，先从n 个元素中选出k 个元素，记为
，有
种可能情况；
对于这k 个元素中的每个元素
，满足
时，
只可能满足
这三种情况之一，有
种可能情况.
因此，事件“
”的所有可能情况数为
，则
由
，可知
，则
.
（3）若
，由
，
，则
，矛盾.
若
，由
，
可知，当
时，满足
；
当
时，满足
若
，由
，即
，
即
，解得
，
从而，
，其中
为自然数.
5．(1)
(2)
【分析】（1）方法一，根据全概率公式求解；方法二，根据互斥事件的概率加法公式和独立事件乘法公
式求解；
（2）分别求出
和
时，顾客获得的奖金的期望，比较大小得解.
【详解】（1）方法一，当
时，记事件
为“顾客所选的箱子中有2 个白球和2 个红球”，事件
为
“顾客可以获得奖金”，
则
．
方法二，由题可知，当
时，若顾客所选的箱子中有2 个白球和2 个红球，且他获得奖金的概率
，
若顾客所选的箱子中有1 个白球和3 个红球，且他获得奖金的概率
，
则当
时，顾客可以获得奖金的概率
.
（2）当
时，记顾客获得的奖金为
元，则
的所有取值可能为
，
且
，
则
.
当
时，记顾客获得的奖金为
元，则
的所有取值可能为
.
且
，
则
.
因为
，
所以当
时，顾客获得奖金金额的期望更大.
6．(1)
，13
(2)
0
1
2
．
【分析】（1）由公式求解
，
，在将
代入即可.
（2）由题意可得
，列出分布列，即可求解.
【详解】（1）由表格中的数据可得
，所以
．
故
．
故
关于
的线性回归方程为
．
当
时，
，
故预测第8 个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13．
（2）由题意可得
，
所以
，
分布列如下：
0
1
2
所以
．
