第 08 讲 二项分布、超几何分布及正态分布
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国甲卷（理）， 超几何分布的均值 计算几个数的中位数
第19题,12分 超几何分布的分布列 独立性检验解决实际问题
2022年新Ⅱ卷，第13题,5分 正态分布指定区间的概率 /
2021年新Ⅱ卷，第6题,5分 正态分布的实际应用 /
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握二项分布的定义及计算
2.理解、掌握超几何分布的定义及计算
3.理解、掌握正态分布的定义及计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给在大题中结合前面的的概率及分布列一起考查，需
重点强化复习
知识讲解1. 独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
在相同条件下重复做的n 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试
定义 次试验称为n次独立重 验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，
复试验 记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
A(i＝1,2，…，n)表示第
i
计算 i次试验结果，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
公式 P(AAA…A)＝ Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
1 2 3 n
P(A)P(A)…P(A)
1 2 n
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概
率．
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试
验次数n和变量的概率，继而求得概率．
2. 两点分布
X 0 1
P 1 － p p
这样的分布列叫做两点分布列．
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
3. 超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X
＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布
列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
X 0 1 … m
P …
4. 正态分布
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；
(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；
(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.
考点一、二项分布
1．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生
故障的概率都是 ，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两
种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机
器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪
种方案能使工厂的生产效率更高？
【答案】(1)分布列见解析，
(2) ， ，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
【分析】（1）根据题意得到随机变量 ，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，
列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得
机器发生故障时不能及时维修的概率 和 ，根据大小关系，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率
都是 ，可得方案一中，随机变量 ，
则 ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
X 0 1 2
P所以期望为 ．
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责
的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为 ，
则其概率为 ．
对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为 ，
则 ，
可得 ，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
2．（2023·湖南株洲·统考一模）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预
定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知
获得A档门票的概率是 ，若未成功，仍有 的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概
率均为 ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张
赛事门票．
(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲、乙获得的门票数分别为 、 ，分别求 、 的分布列，进而可得结果；
（2）“乙获得的门票数比甲多”有3种可能 、 和 ，结合（1）中的数据运算求解.
【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率 ，成功的概率为
，
设甲获得的门票数为 ，则 的可能取值为 ，
故 ，
故 的分布列为：
0 1 2设乙获得的门票数为 ，则 ，
故 ，
故 的分布列为：
0 1 2
故甲乙两人都没有获得任何门票的概率 .
（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率
.
3．（2023·湖南常德·二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有 ， ，
三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人
数如下表：
班级 一 二 三 四
人数
(1)从这 人中随机抽取 人，求这 人恰好来自同一班级的概率；
(2)从这 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选 ，
两款软件学习的概率都是 ，且他们选择 ， ， 任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午
自习时间选软件 的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）结合组合的应用，根据古典概型公式求解即可；
（2）由题知，甲乙丙同学选择 任一款软件学习的概率是 ， ，进而根据二项分布求解即可.
【详解】（1）解：由题知，从这 人中随机抽取 人，共有 种可能情况，
记“这 人恰好来自同一班级”为事件 ，则事件 包含的可能情况有： 种，
所以，
（2）解：由题知， 的可能取值为 ，
因为选 ， 两款软件学习的概率都是 ，且他们选择 ， ， 任一款软件都是相互独立的
所以，他们选择 款软件学习的概率是
所以，这三名学生中下午自习时间选软件 的人数为
所以， ， ，
， ；
所以， 的分布列为：
所以，
4．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操
作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从 类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过
两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从 类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为
止. 类题操作正确得10分， 类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，
100分为一等奖.某校选手李明 类7题中有5题会操作， 类5题中每题正确操作的概率均为 ，且各题
操作互不影响.
(1)求李明被终止比赛的概率；
(2)现已知李明 类题全部操作正确，求李明 类题操作完后得分的分布列及期望；
(3)求李明获二等奖的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)【分析】（1）设“李明被终止比赛”事件为 表示选的4题均会操作或3题会操作，结合对立事件的
概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意得到得分为 的取值，结合 类题正确操作题数 ，利用重复试验的概率计算公
式，求得概率，列出分布列，求解数学期望；
（3）根据题意得到事件 即 类题全部操作正确， 类题正确操作2题或 类题操作正确3题， 类题全
部正确操作，结合概率的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：设“李明被终止比赛”事件为 表示选的4题均会操作或3题会操作，
故李明被终止比赛的概率 .
（2）解：设李明在竞赛中， 类题全部操作正确后得分为 ，
则 的取值为 ，且 类题正确操作题数 ，
可得 ； ；
；
所求 的分布列
40 60 80 100
.
（3）解：设李明获二等奖的事件为 ，事件 即 类题全部操作正确， 类题正确操作2题
或 类题操作正确3题， 类题全部正确操作，
所以李明获二等奖的概率为 .
5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）自 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐
全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼
吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检
验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每
份样本是阳性结果的概率均为 .
(1)若 ，现对 份样本进行核酸检测，求这 份中检验结果为阳性的份数 的分布列及期望；(2)若 ，现有 份样本等待检验，并提供“ 合 ”检验方案：将 份
样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，
则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ 合 ”检验方案所需的检验次数 的期望 与
的大小.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）分析可知 ，利用二项分布可得出随机变量 的分布，利用二项分布的期望公式
可求得 的值；
（2）计算出 ，令 可得出 ，构造函数 ，利用导数
研究函数 的单调性，比较 与 的大小关系，即可得出 与 的大小.
【详解】（1）解：记阳性人数为 ，则 ， ，
， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， .
（2）解：记所需化验次数为 ，则 的可能取值为 、 、 ，
，则 ，
所以， ， ，
，，
令 ，可得 ，则 ，
所以， ，即 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
，当 时， 恒成立，
，则当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立.
综上所述，当 且 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 且 时， ，则 .
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数 的均值、方差，可直接用 的均值、方
差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求
解．
6．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由
个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立.当控
制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为
（例如： 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备
正常运行的概率）.
(1)若 ，当 时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求 ；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件高端产品的
利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.
（i）请用 表示 ；
（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元
件的个数来提高利润.
【答案】(1)分布列见解析， ，
(2)（i） ，（ii）答案见解析
【分析】（1）由题意可知 ，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率
公式求解 ；
（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即
为 ；
（ii）分类讨论求出 与 的关系，做差比较大小即可得出结论.
【详解】（1）因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ，
；
（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概
率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 ；
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 ，即 ；
（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则第一类：原系统中至少有 个元件正常工作，
其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为 ；
第三类：原系统中有 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为 ；
所以
，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当 时， ，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为 ，
所以当 时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当 时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出
是解题的难点与关键.
1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场
消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的
10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球
的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况： ：1个红球1个白球， ：2个
红球， ：2个白球， ：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等
奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为 ，求 的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为 、 、
(3)分布列答案见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为 ，则 ，利用二项分布的概率公式求出分
布列与数学期望.
【详解】（1）设顾客第 次摸到红球为 ，
则 ；
（2）由题意知， ， ，， ，
因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为 、 、 ；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为 ，
则 ，
所以 ， ，
， ，
则 分布列为：
1 2 3
数学期望 .
2．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，
现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概
率为 ，选择乙方案测试合格的概率为 ，且每位同学测试的结果互不影响.
(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；
(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.
【答案】(1)分布列见详解； .
(2)
【分析】（1）由条件确定随机变量X 的可能取值，则 ，由此可得其分布列，求得方差；
（2）设选择甲方案测试的学生人数为 ，则选择乙方案测试的学生人数为 ，并设通过甲
方案测试合格的学生人数为 ，通过乙方案测试合格的学生人数为 ，
利用二项分布期望公式和期望的性质求 ，由条件确定 的取值.
【详解】（1）由已知随机变量X的取值有 ,则 .； ；
； ；
； .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
方差 .
（2）设选择甲方案测试的学生人数为 ，
则选择乙方案测试的学生人数为 ，并设通过甲方案测试合格的学生人数为 ，
通过乙方案测试合格的学生人数为 ，
当 时，此时所有学生均选择乙方案测试，则 ，
所以 ，不符合题意；
当 时，此时所有学生均选择甲方案测试，则 ，
所以 ，符合题意；
当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，故当 时，符合题意.
综上，所以 .
所以当选择甲方案测试的学生人数为 时，测试合格的人数的均值不小于3.
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的
情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监
测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X
人数 10 81 9
无症状感染
名称 轻症感染者 重症感染者
者
(1)统计学中常用 表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学
生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为
“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布 ，且
．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染
者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；
（2）应用 ，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.
【详解】（1）由题意得： ，
，
，
.
（2） ，
，则 ，可能的取值为 ，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 .
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某学校三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂
就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐
厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是 ，择餐厅乙
就餐的概率为 ，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是 ，选择餐厅甲就餐的概率也为
，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第 天
选择甲餐厅就餐的概率为 .
(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ，求 的分布列，并求 ；
(2)请写出 的通项公式；
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得
概率分布，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）根据题意先求 与 的关系，然后利用构造法可得通项.
【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 ，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 ，所以 位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 ，则 .
的分布列为
0 1 2 3
故
（2）依题意， ，即 .
由（1）知 ，则
当 时，可得 ，
数列 是首项为 公比为 的等比数列.
5．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，
卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是
“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是
“敬业”卡的概率是 .”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张
卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列
和均值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设“敬业”卡有n张，根据已知列出关系式解出 的值，然后即可得出答案；（2）先求出下规则下，每人获奖的概率 .由已知可得 ，进而即可根据二项分布的分布列以
及均值公式，得出答案.
【详解】（1）设“敬业”卡有n张，由已知可得 ，解得 ，
故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为 .
（2）若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为 ，
若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为 ，
所以，新规则下，每个抽奖者获奖的概率为 ，
所以 ， （ ，1，2，3），
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 .
6．（2023·广东茂名·统考二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.
某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过
近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 ，在社
交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 ；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进
行复购的概率为 ，在社交媒体平台复购的概率为 .
(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为 ，若 ，试求 的分布列和期望；
(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为 ，当 取得最大值时， 为
何值？
(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，
在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的
广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第
（2）问所得 值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.
【答案】(1)分布列见解析；当 时，期望为1；当 时，期望为3；
(2)
(3)805500元
【分析】（1）复购的人数 满足 ，故通过 可求得 或 ，然后分两种情况进行
求分布列和期望即可；
（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为 ，由题得, ，故可计算得
，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的 值；
（3）根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可
【详解】（1）由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为 ，复购的人数 满足二项分布，即
，
故 ,故 或 .
又知 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
①当 时,
的分布列为
0 1 2 3 4
此时期望为 ，
② 时,，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
此时期望为
（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为 ，由题得, .
,
,
令 ,得 或1，
所以 时, ，函数 单调递增,当 时, ，函数 单调递减.
故当 取得最大值.
由 可得，此时 .
（3）短视频平台: (元),
社交媒体平台: (元),
净利润总额: (元).
故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.
【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所
学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的
考点二、超几何分布
1．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展
的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫
先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随
机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数 的分布列；
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.
【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为 ，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为 ；
（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
； ； ．
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不
同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假
设一段时间后，随机有 个字脱落．
(1)若 ，用随机变量 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量 的分布列及期望；
(2)若 ，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)0.6
【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；
(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.
【详解】（1）方法一：
随机变量X的可能取值为0，1，2，
， ， ，随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P
随机变量X的期望为
法二：
随机变量X服从超几何分布 ，所以 .
（2）设脱落一个“学”为事件 ，脱落一个“好”为事件 ，脱落一个“数”为事件 ，
事件 为脱落两个字 ，
， ，
， ， ，
所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为
，
法二：
掉下的两个字不同的概率为 ，
所以标语恢复原样的概率为 ．
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教
师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为 ，从学校全体男生中随机选取3人，记
为3人中身高不超过 的人数，以频率估计概率求 的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有 个男生的
概率为 ，求使得 取得最大值的 的值.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ；
(2) .
【分析】（1） 所有可能的取值为 ，且 ，根据二项分布的概率公式求解，从而可得
分布列与期望；（2）设事件 为“被选出的人中恰好有 位男生”，求解 即可.
【详解】（1） 所有可能的取值为 ，且 .
；
；
；
.
故 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以 .
（2）设事件 为“被选出的人中恰好有 位男生”，
则30个人中剩下 个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为 ，
所以 .
所以 ，解得 .
所以 ，
故当 时， 最大.
4．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其
中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白
鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
实验组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意， 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
故 .
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位
与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为 ，第21位数据为 ，
所以 ，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得， ，
所以能有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
1．（2023·陕西铜川·校考一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为
100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一
组 ，3份；第二组 ，8份；第三组 ；第四组 ；第五组 ，4份；已知其
中得分高于60分的问卷份数为20．
(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；
(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用
组合数表示），并求出期望 ．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）由题意可得第四组有16份问卷，所取两份问卷分差不低于20分，故在第二组与第四组中各
取一人，由古典概型的计算公式即可求解；
（2）随机变量X取值为0，1，2，3，4，求出各变量对应的概率，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）由于成绩在 的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20，
故第四组有16份问卷.
由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，
故所求概率为 ．
（2）由题意知随机变量X取值为0，1，2，3，4．
，
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4所以期望 ．
2．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教
师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高
三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范
围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少
获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛．为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师
从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解
答题符合入选标准．
(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师
甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；
(2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，
经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化
训练前大 ，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
【答案】(1)
(2)教师甲不能进入复赛
【分析】（1）考虑教师甲获得优秀奖的三种情况，分别计算概率相加得到答案.
（2）计算教师甲获得“优秀奖”的概率为 ，则 ， ，得到答案．
【详解】（1）设 为事件：“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件 发生的所有情况有：
①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为 ；
②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为 ；
③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为 ．
所以 ．
（2）强化训练后，每道非解答题入选的概率为 ，每道解答题入选的概率为 ，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为：
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行4轮比赛可看作4重伯努利试验．
用 表示教师甲在4轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则 ．
，故教师甲不能进入复赛．
3．（2023·全国·模拟预测）2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途
径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，
现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只
选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多
个平台购买电影票），得到如下表格：
A B C D E F G H
购买春节档电影票的人
40 30 30 30 30 20 10 10
数
曾经购买过电影票的人
92 88 80 80 70 62 25 15
数
(1)把样本消费者中曾经在每个平台上购买电影票的频率作为线上消费者在相应平台上购买电影票的概率，
从所有线上消费者中随机抽取4人，求恰有2人在C平台上购买电影票的概率．
(2)现从样本中在A，D，E平台上购买春节档电影票的消费者中按照分层抽样的方法抽取n个人，已知抽取
的在A平台上购买春节档电影票的人数比在D平台与E平台上购买春节档电影票的人数之和少2．
①求n的值；
②从抽取的n个人中再随机抽取4人，记这4人中在E平台上购买春节档电影票的人数为X，求X的分布
列及数学期望．
【答案】(1)
(2)① ；②分布列见解析；期望为
【分析】（1）n次独立重复实验求解即可；
（2）先应用分层抽样再根据超几何分布列分布列求数学期望即得.
【详解】（1）由题可得线上消费者在C平台上购买电影票的概率为 ，所以从所有线上消费者中随机抽取4人，恰有2人在 平台上购买电影票的概率为 ．
（2）①设按照分层抽样的方法抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数为4x，则抽取的在D平台与
平台上购买春节档电影票的人数之和为6x，所以 ，得 ，所以 ．
②由题及①易知抽到的10个人中，在 平台上购买春节档电影票的人数为3，所以X的所有可能取值为
0，1，2，3．
，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
4．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州
举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号 1 2 3 4
人数 30 40 20 10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题
目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为
，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1)3,4,2,1
(2)分布列见解析，2.8
【分析】（1）根据分层抽样计算可得；
（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为 ，
故 班分别抽取 （人）， （人）， （人）， （人）.
（2）由题意， 的可能取值为1,2,3,4，
,
,
,
,
所以 的分布列为：
1 2 3 4
考点三、正态分布
1．（2023·河北·统考模拟预测）山东烟台某地种植的苹果按果径 （单位： ）的大小分级，其中
的苹果为特级，且该地种植的苹果果径 ．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2
万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（ ）（参考数据： ， ．
， ）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【答案】C
【分析】先根据 原则求出 的概率，再乘以 即可得解.
【详解】由 ，得 ，
，，
所以 ，
所以特级苹果的个数约为 个.
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是
（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量 ，则有如下结论：（
， ， ）,高三（1）班有40名同学，
一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
【答案】C
【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.
【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布 ， ，
∴ ，
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为 ，
∴理论上说在130分以上人数约为 .故选：C．
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（多选）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为
X，且X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在
的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据正态分布即可求出概率，均值和方差.
【详解】由题意，
X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，
∴ ，
∴ ，故选项A正确;
由题意可知 ，
∴ ，故选项B错误：
∵ ，
∴ ，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
5．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）（多选）已知随机变量 的概率密度函数为
，且 的极大值点为 ，记 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据已知可求得， ， ， ，即可判断A、B项；然后求出
，根据正态分布的对称性，即可得出C、D项.
【详解】对于A项，根据已知可得， ， .
因为 的极大值点为 ，所以有 ，所以 ，故A项错误；对于B项，由A分析可知， ，故B项正确；
对于C项，由A分析可知， .
又 ， ，
根据正态分布的对称性，可知 ，所以 ，故C正确；
对于D项，因为 ，所以 ， .
所以， ，故D项正确.
故选：BCD.
6．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，
多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国
家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速
度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身
体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她
们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩 ，其中 近似为女生短跑平均成绩
近似为样本方差 ，经计算得 ，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在
内的人数为 ，求 （结果保留2个有效数字）.
附参考数据： ，随机变量 服从正态分布 ，则
.
【答案】(1)16.16
(2)0.073【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.
（2）根据 ，可求得成绩在 内的概率，利用 二项分布的概率公
式求解即可.
【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）由题意知 ，
则 ，
故该校女生短跑成绩在 内的概率 ，
由题意可得 ，
所以 ，
，
所以 .
8．（2023·重庆·统考二模）某网络 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，
竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均
未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 分，现要根据得分给共 名参加者中得分前
名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为 分， 分以上共有 人，已知甲的得分为 分，问甲能否获得奖励，
请说明理由；
②丙得知他的分数为 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 分， 分以上共有 人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量 ，则 ； ；
．
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析；②乙所说为假
【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；
（2）①利用正态分布的对称性及 法则，求得前 名参赛者的最低得分即可判断；
②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及 法则，证得丙的分数为 分是小概率事件，从而得以判
断.【详解】（1）设 ：第 次通过第一关， ：第 次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为 ，
由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为 ．
①由题意可知 ，
因为 ，且 ，
所以 ，则 ；
而 ，且 ，
所以前 名参赛者的最低得分高于 ，
而甲的得分为 分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则 ，
，
而 ，所以 ，
从而 ，
而 ，
所以 为小概率事件，即丙的分数为 分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，
所以可认为乙所说为假．
9．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为
了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所
需时间情况如下频率分布直方图.(1)求 的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数 和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间 服从正态分布 ，其中 近似为 ，
.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在 范围内的平
台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分
钟的平台中，每个平台每卖一件扣除 ；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行
奖励 元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售
一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若 服从正态分布 ，则 ， ，
.参考数据： .
【答案】(1) ， ，中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1可得 ，再根据平均数与中位数的算法求解即可；
（2）根据正态分布概率公式可得所以在时间大于 分钟与小于 分钟在平台内的数量，进而根据题
意可得所需准备的资金表达式，再求导分析最值求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得 ，解得 .
故平均数
.
设中位数为 ，因 ， ，故
，则 ，解得 ，即中位数为 .
（2）由题意， ，且 ， ，
故 ，
所以在时间大于 分钟的平台内约有 件；
，
所以在时间小于 分钟的平台内约有 件；
则“合格平台”约有 件，
所以需要资金为 ，由于 ，可令 ，则 ，令 有 ，
当 时 ， 递减；
当 时 ， 递增；
故 有最小值 ，故至少需要准备 元.
10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共
有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球 已知这种球的质量指标 （单
位：g）服从正态分布 ，其中 ， .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11
场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜
的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前
2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班
排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为 .
(1)令 ，则 ，且 ，求 ，并证明： ；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为 ，求出 的最大值点 ，并以 作为 的
值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后
一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据： ，则 ， ，
.
【答案】(1)0.02275；证明见解析.
(2)（ⅰ）分布列见解析
（ⅱ）能， .
【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果；
（2）先利用导数求出 ，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.
【详解】（1） ，又 ，所以 .
因为 ，根据正态曲线对称性， ，
又因为 ，所以 .
（2） ，
.
令 ，得 .
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
所以 的最大值点 ，从而 .
（ⅰ） 的可能取值为3，2，1，0.
， ，
， ，
所以 的分布列为
3 2 1 0
（ⅱ）若 ，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分， ，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为 .
1．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．【答案】 / ．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从标准正态分布
，若 ，则 ．（用字母 表示）
【答案】
【分析】根据随机变量 服从标准正态分布 ，得到 ，再结合随机变量 服从正
态分布 可得答案.
【详解】随机变量 服从标准正态分布 ，根据对称性可知 ，
因为 ，所以 ，即 ，
随机变量 服从正态分布 ，根据对称性可知 ，
，则 ，即 .
故答案为： .
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按 个蓝莓果重量 （克）分为 级： 的
为 级， 的为 级， 的为 级， 的为 级， 的为废果．将 级与 级果
称为优等果．已知蓝莓果重量 服从正态分布 ．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出 个
蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为 （可精确到 ）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽
出优等果，但抽查次数最多不超过 次，若抽查次数 的期望值不超过 ， 的最大值为 ．
附： ， ，
【答案】4
【分析】依题意可得 ，设 ，利用错位相减法求出 ，即
可得到 ，从而得到 ，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.
【详解】因为蓝莓果重量 服从正态分布 其中 ，，
设第 次抽到优等果的概率 （ ），
恰好抽取 次的概率 ，所以 ，
设 ，则 ，
两式相减得： ，
所以 ，
由 ，即 ， 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设 ，利用错位相减法求出 ，进而求出 ，
利用指数函数的单调性解不等式即可.
4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤
梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：
凤梨数量（盒）
购物群数量（个） 12 20 32
(1)求实数 的值，并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平均数（盒）；
(2)假设所有购物群销售凤梨的数量 服从正态分布 ，其中 为（1）中的平均数， ．
若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量在 （单位：盒）内的群为“一级
群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该
凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地
大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若 服从正态分布 ，则
．
【答案】(1) ，376
(2)186800元
【分析】（1）根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；
（2）根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励
金.【详解】（1）由题意得： ，解得 ．
故平均数为 .
（2）由题意， ，
且 ，
故 ，
所以“优质群”约有 个，
，
所以“一级群”约有 个；
所以需要资金为 ，
故至少需要准备186800元．
5．（2023·河北·统考模拟预测）某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结
果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这100件产品质量指标的平均值 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若认为该产品质量指标 ， 认为是样本平均值 .
（i）在交货前，该产品的客户随机抽取了10件，记X表示这10件产品中质量指标在（219.6，279.6）之
间的产品件数，求 ；
（ii）为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在
之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查.在质量
检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为180.9，质量指标最大值为299.8，根据近
似值判断是否需要检查整个生产过程.
附：若 ，则 ， ，
.
【答案】(1)239.6；
(2)（i）8；（ii）不需要检查整个生产过程．【分析】（1）由各组数据中点值乘以相应频率再求和可得；
（2）（i）由正态分布性质求得概率 ，再乘以10即得；（ii）由正态分布特殊区间概
率公式得 ，再乘以15得合格产品数量，从而得出不合格产品数量，可判断出结论．
【详解】（1）
；
（2）（i）由题意该产品质量指标 ，
，
；
（ii）由已知 ，
，因此不合格产量数量差为0，不需要检查整个生产过程．
6．（2023·广东·校联考模拟预测）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进
行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，
两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前
400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，
请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量 ，则 ； ；
.
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设 为第 次通过第一关， 为第 次通过第二关，计算
即可；
（2）①由 ，且 ，计算 ，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由 计算 ，求出 ，利用小概率事件即可得出结
论．【详解】（1）设 ：第i次通过第一关， ：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为 ，由题意
知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为 .①由题意可知 ，因为 ，且
，
所以 ，则 ；而 ，
且 ，
所以前400名参赛者的最低得分高于 ，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则 ，
，
而 ，所以 ，从而 ，
而 ，
所以 为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发
生了，所以可认为乙所说为假.
7．（2023·湖南·校联考模拟预测）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加
禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：
， ， ， ， ， ．整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分 ，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学
生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费
券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券
15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）
参考数据： ， ，
．
【答案】(1) ，
(2)5114元
【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为 ，即可求得 ，根据平均数公式计算即可
得 ；
（2）利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为 元时的概率，即可得出
一名学生的期望值为 ，便可计算出全校1000名学生共可获得食堂消费券为5114元．
【详解】（1）由题意可知， ，
解得
（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，
，
，
，
，
Y的分布列如下表：
Y 0 5 10 15
P 0.15865 0.6827 01359 0.02275
即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为
，
所以，全校学生可获得 （元）．
故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．
8．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生
参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方
图：
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求
至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布 ，其中 可近似为
样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ，已知小明
的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 ，每
一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 题时“花”掉的分数为 （ ，
2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛
成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获
得最佳的复赛成绩，则他的答题数量 应为多少?
附：若 ，则 ， ，
； ．
【答案】(1) ；
(2)有
(3)7或8
【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在 和 范围内的样本量，根据超几何分布的概
率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；
（2）求出变量Z的均值，确定 ，即可求得 ，算出不低于91分的人数，可得结论；
（3）设学生甲答对的题目数为 ，复赛成绩为Y，可得 ，结合二项分布的均值计算公式可得
表达式，结合二次函数知识，可得答案.
【详解】（1）预赛成绩在 范围内的样本量为： ，预赛成绩在 范围内的样本量为： ，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为 ，
则 ，
又 ，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
故 .
（2） ，
，则 ，
又 ，
故 ，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有 人，
因为 ，故小明有资格参加复赛.
（3）设学生甲答对的题目数为 ，复赛成绩为Y，
则 ，故 ，
，
故
,
因为 ，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.
9．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一
规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送的货物量 （单位：箱）
分成了以下几组： ， ， ， ， ， ，并绘制了如图所示的频率分
布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析每日的可配送货物量少
的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自
这一组的概率；
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为三级， 时，奖励50元； 时，奖励
80元； 时，奖励120元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于样本的中位数时有两次抽奖机会，每
日的可配送货物量低于样本的中位数时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率为
奖
50 100
金
概
率
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
(3)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量 （单位：箱）近似服从正态分布
，其中 近似为样本平均数．试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在
区间 内的天数（结果保留整数）．
附：若 ，则 ， ．
【答案】(1)
(2)小张选择方案二更有利
(3)1637
【分析】（1） 由频率分布直方图结合分层抽样的方法得出各组抽取的人数，再求其概率即可；
（2） 若选择方案一，小张每日可获得的奖金为 的可能取值为50，80，120元，由频率分布直方图可得
其对应的概率，再求其数学期望即可；若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为 可能取值为50，
100，150，200元，求其相应的概率得出数学期望并和方案一比较大小得出结果；
（3）由频率分布直方图求解 ，再根据正态分布求给定区间的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知：前3组数据的频率之比为 . 根据分层抽样的方法，11天的数
据有1个来自第1组，4个来自第2组，6个来自第3组，故有4天的数据来自 这一组.
用 表示事件“抽取的3天的数据中至少有2天的数据来自 ”，
则 .
（2）若选择方案一，设小张每日可获得的奖金为 元，则 的可能取值为50，80，120，
由频率分布直方图可得其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
故 .
若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为 元，则 的可能取值为50，100，150，200，每日的可配送
货物量不低于样本的中位数的概率为 ，低于样本中位数的概率也为 .
故 ， ， ，
.
所以 的分布列为
50 100 150 200
所以 .
因为 ，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利.
（3）由题可得 ，
所以 .
故该物流公司2000天内日货物配送量在区间 内的天数为 .
10．（2023·浙江绍兴·统考二模）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取
了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在 周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直
方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第 分位数（小数点后保留2位）；
(2)若所有用户年龄 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ，试估计喜欢
使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；
(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用 表示这8名用
户中恰有 名用户的年龄在区间 岁的概率，求 取最大值时对应的 的值；
附：若随机变量 服从正态分布 ，则：
【答案】(1) （岁）
(2)
(3)
【分析】（1）结合频率分布直方图和百分位数的定义即可求解；
（2）利用正态分布的性质即可求解；
（3）利用二项分布的概率公式和二项式系数的最值列不等式组，解之即可.
【详解】（1） 由直方图可知，第 分位数位于区间 ，
第 分位数 （岁）.
（2） （岁）使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的 .
（3）根据题意 ，
要使 取最大值，则 ，
，解得 ，
因为 ，所以 .
17．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都
会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 ，上下浮动
不超过 .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 ，标准差为 的正态分布.
(1)已知如下结论：若 ，从X的取值中随机抽取 个数据，记这k个数据的平均
值为Y，则随机变量 ，利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在 上，并经计算25
个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的
理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；
第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i） ；（ii）理由见解析
(2)分布列见解析，
【分析】(1)(i)由正态分布的对称性及 原则进行求解；(ii)结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；(2)设取出黑色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，进而求出 的分布列及
数学期望.
【详解】（1）（i）因为 ，所以 ，因为 ，所以
，因为 ，
所以 ；
（ii）由第一问知 ，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g，
，而 ，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师
的理由；
（2）设取出黑色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0，1，2.
则 ，
，故分布列为：
0 1 2
其中数学期望 .
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若 ，则当 ，1，2，…，100时（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.
【详解】解：由题意得：即 ，
化简得： ，
又k为整数,可得 ,所以 ，
故选：C．
二、多选题
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量 ，下列说法中正确的是（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【答案】BCD
【分析】根据二项分布有关知识 ， ， ，可得.
【详解】A选项：因 ，所以 ，故A错误.
B选项： ，故B正确.
C选项： ，故C正确.
D选项： ， ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）设随机变量 ，则 .
【答案】
【分析】根据超几何分布计算公式可得 .
【详解】由随机变量 服从超几何分布 ，
可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得 .
故答案为：
4．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活
动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆
中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种
了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【分析】根据题意可计算出一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为 ，再根据二项分布的期望值即
可求得结果.
【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为 ，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为 ，且被评为“阳光小组”的盆数 服从二项分布
，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有 .
故答案为：410
5．（2023·福建宁德·校考二模）若随机变量 ，且 ，则
．
【答案】 /
【分析】利用正态曲线的对称性求出 的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出
，代值计算即可得解.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
所以， .
故答案为： .
6．（2023·河南开封·统考三模）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，
且 的最小值为－3，则 ．
【答案】0.2
【分析】先根据对称性求参，再根据正态分布的对称性求概率即可.
【详解】因为 的最小值为－3，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
即根据正态分布的对称性，正态分布 的正态密度曲线关于 对称，
即 ，而 ，所以 ，故 ，
故答案为:0.2．
7．（2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取5000袋，则
袋装质量在区间 的约有 袋．（质量单位： ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】4093
【分析】根据正态分布的对称性，结合 求解即可.
【详解】由题意知， ，
所以 ， ，得
，
所以袋装质量在区间 的约有 袋．
故答案为：4093
8．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）一个袋中共有 个大小相同的黑球、白球
和红球，已知从袋中任意摸出 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的
概率是 ，则白球的个数为 .
【答案】
【分析】首先设有白球 个，根据题意得到 ，再解方程即可.
【详解】设有白球 个，因为从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率是 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：5
9．（2023·河南·校联考模拟预测）若随机变量 ，且 ，则．
【答案】0.39/
【分析】由正态分布函数的性质结合已知条件即可求解.
【详解】因为 ，所以正态曲线的对称轴是直线 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：0.39.
四、解答题
10．（2023·云南·校联考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之
一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有
名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才
能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的人
数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据:若 ,则 , ,
, , .
【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有 ,求各学生能进入面试的概率,再由独立
事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求 人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出 的可能取值为 的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,
所以 ,
则 ,
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .
（2） 的可能取值为 ,,
,
,
,
则随机变量 的分布列为：
, .
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·江西·校联考模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．随机变量 ， ，若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】A． ， ，故A错；
B． ，故B对；
C． ， ， ，故C对；
D． ， ，故D对．
故选：BCD2．（2023·吉林白山·统考二模）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好
的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃
的膨胀系数 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 ，则下列选项正确的是
（ ）．（附：若 ，则 ， ，
）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在 的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为 ，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为
乙生产线的2倍
【答案】BD
【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.
【详解】因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，故A错误．
因为 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．
因为 ， ，
所以 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．
因为 ，
，所以D正确．
故选：BD.
二、填空题
3．（2023·湖南岳阳·湖南省岳阳县第一中学校考二模）某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标
，且 ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 表示 的瓷
砖片数，则 ．
【答案】1
【分析】由正态分布性质可求 ，结合二项分布定义确定 的二项分布，根据
二项分布的均值公式求结论.【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
由已知 ，
所以 .
故答案为：1.
4．（2023·云南·校联考模拟预测）某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若
，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概
率是 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出
结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
则所求概率为 .
故答案为：
三、解答题
5．（2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外
语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､
地理4门中选择2门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数
外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布 .
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知
识分析上述宣传语的可信度.附： ， ， .
【答案】(1) 种
(2)①4093人；②不可信
【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可；
（2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的
原则判断即可.
【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有 种，在
生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则 ，即 种；
若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有 种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共 种方法；
（2）①设此次网络测试的成绩记为 ，则 ，
由题知 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信. ，
则 ，
5000名学生中成绩大于430分的约有 人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
6．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大会上
中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取
2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经
济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动
汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解 两个品牌新能源电动汽
车的使用满意度，在某市对购买 两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对A、B
两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：
，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计A、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车
更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使
用B品牌的用户中随机抽取5个人，用 表示对B品牌较满意的人数，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1) ， 品牌电动汽车的满意度平均分分别为 ，B品牌电动汽车更受用户欢迎；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）利用频率分布直方图估计两种品牌电动汽车满意度的平均分，再比较大小作答.
（2）求出对 品牌满意度不低于70分的概率，求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出
期望作答.
【详解】（1）设用户对 品牌电动汽车的满意度平均分为 ，则
，
设用户对 品牌电动汽车的的满意度平均分为 ，则
，
显然 ，
所以 品牌电动汽车更受用户欢迎．
（2）依题意，用户对 品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为 ，
低于70分的频率为 ，
从该市使用 品牌的用户中随机抽取5个人，则 的所有可能取值为 ，则 ，
， ，
， ，， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
数学期望 .
7．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实
施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从
武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， 表示选取的人中来自该
中学的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙
两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ，且 ，如果甲、乙两位同学想在此
次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11轮
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意可知 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以 ．（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由 ， ， ，得 ，
则 ，因此 ，
令 ， ，于是当 时， ．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值 ．
设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为 ，则 ， ，
由 ，即 ，解得 ．
而 ，则 ，所以理论上至少要进行11轮答题．
8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）袋中放有形状、大小完全相同的4个黑球和4个白球．
(1)从中依次摸3个球，摸后不放回，求在前两次摸球有黑球的条件下，第三次摸到白球的概率；
(2)若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中．
① 求某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中的概率；
② 若摸到黑球加1分，摸到白球减1分，求摸球多少次时，得分为4分的概率最大．
【答案】(1)
(2)① ；②14或16
【分析】（1）根据题意，记事件 为“前两次摸球有黑球”，记事件 为“第三次摸到白球”，根据古典
概型概率公式计算 、 的值，由条件概率公式计算可得答案；
（2）①根据题意，分析可得每次摸到黑球的概率为 ，分析摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中，即
可得答案；②设摸球 次时，得分为4分，其概率记为 ，求 的最大值即可．
【详解】（1）设事件A：前两次摸球有黑球，事件B：第三次摸到白球，则
， ，所以 ．
（2）① 设事件C：某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中，则 ．
② 设摸球 次时，得分为4分，其概率记为 ，
由于得分为4分，若摸白球 次， ，则摸黑球 次，故摸球次数 ， ，则
，且 为偶数，
则 ， ，
所以 ，整理得 ，
所以 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，
又 ，所以当 或 时， 最大．
9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究
人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按 ， ，
， ， 分组，绘制频率分布直方图如图所示.
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗
后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志
愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射
疫苗，结果又有 名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率 ，求 的值；
（ⅱ）以（i）中的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110
名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 ，求 最大时的 的值.
参考公式： （其中 为样本容量）.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)（i）20；（ⅱ）99.
【分析】（1）完善列联表，计算 的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）（i）利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二项分布的概率公式，列出不
等式组并求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在 内有
（人），
在 内有 （人），在 内有 （人），
在 内有 （人），在 内有 (人)，
依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有 人，
则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，
所以 列联表如下：
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设 ：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件 “志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件 “志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，
事件 “志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件 发生的概率分别为 ，
则 ，解得： ，
所以 .
（ⅱ）依题意，随机变量 ， ，
显然 不是最大的，即当 最大时， ，
于是 ，即 ，
则 ，整理得 ，解得 ，因此 ，
所以 最大时， 的值为99.
10．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒
防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参
加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得
20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，
前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，
获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后
18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2
分､1分的概率分别为 ， ， ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 ， .
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，每局是否赢得
比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大【分析】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分， 的可能值
为5，4，3，2，根据事件相互独立求出 的分布列、数学期望；
（2）设小A每天赢得的局数为 ，则 ，从而得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分，
这些事件相互独立，由条件知 的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
5 4 3 2
所以 .
（2）设小明每天赢得的局数为 ，则易知 ，
于是 .
假设赢得 局的概率最大，则据条件得 ，
即 ，
整理得 ，解之得 ，又因为 ，所以 ，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
11．（2023·四川·校联考模拟预测）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参
加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法
抽取了600名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方
图如图所示．将分数不低于850分的学生称为“最佳选手”．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从分数落在 ， 内的两组学生中抽取7人，再从这7人中随机
抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1) ，670
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率之和为 求得 ，根据中位数的求法求得中位数.
（2）根据超几何分布的知识求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）由题意知 ，
解得 ，
分数段 对应的频率为0.1， 对应的频率为0.35， 对应的频率为0.25，
设中位数为x，则 ．
由 ，解得 ．
（2）由题意知从分数段 对应的学生中抽取5人，
从 对应的学生中抽取2人，随机变量 的所有可能取值为0，1，2．
则 ，
，，
随机变量X的分布列为
0 1 2
所以 ．
12．（2023·广西玉林·统考模拟预测）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中
随机抽取了 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ，
， ， ， ， 分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ，
的三组中抽取了 人，再从这 人中随机抽取 人，记 为 人中成绩在 的人数，求 ；
(2)规定成绩在 的为 等级，成绩在 的为 等级，其它为 等级．以样本估计总体，用频率
代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取 人，求获得 等级的人数不少于 人的概率.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据频率和为 可构造方程求得 的值；由分层抽样原则可确定 人中，成绩在 的
人数，根据超几何分布概率公式可求得结果；
（2）用频率估计概率可确定获得 等级的概率，根据二项分布概率公式，由
可求得结果.
【详解】（1） ， ；
成绩在 ， ， 的频率之比为 ，
抽取的 人中，成绩在 的人数为 人，.
（2）用频率估计概率，获得 等级的概率为 ，
记抽取的 人中，获得 等级的人数为 ，则 ，
，
即获得 等级的人数不少于 人的概率为 .
13．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅
读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情
况，通过随机抽样调查了 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的
频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这 位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；（同一组数据用
该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求
；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ，
， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 的人
数 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① ；② ；③
．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据 ，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量 的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知 ，即 ，
所以 ．
（3）由题意可知 ， 和 的频率之比为： ，
故抽取的10人中 ， 和 分别为：2人，4人，4人，
随机变量 的取值可以为 ，
， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
14．（2023·海南海口·校考模拟预测）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，
奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了200 份试卷进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面共
100分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N，2 （用样本平均数和标准差 s 分别作为 、
的近似值），已知样本标准差 s 7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间80，90 和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这 10份样本中随
机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间80，90 的概
率．
参考数据：若 X ~N ，2 ，则 P X 0.68 ，P 2 X 2 0.95
， P 3 X 3 0.99 .
【答案】(1)
(2)73
(3)
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
平均分 ；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 和 的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在 ，应抽取 人，
分数在 应抽取 人，
记事件 ：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间80，90 ，
则 ， ，
则 ．
所以抽测3份试卷有2份来自区间80，90 的概率为 .
15．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按
分成8组，得到如图所示的频率分布直方
图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 和 内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中
随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 内的学员人数为 ，求 的分布列与
数学期望．
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为 求出 ，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；
（2）求出 的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可知 ，
解得 ．
因为 ，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在 内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，
解得 ．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在 内的有4名，在 内的有8名．
由题意可知 的所有可能取值为 ．
， ，， ，
，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
【真题感知】
一、单选题
1．（浙江·高考真题）已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正态分布的特征得 ＝ ，选A.
2．（湖北·高考真题）设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论
中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C
【详解】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
考点：正态分布密度曲线．
3．（安徽·高考真题）设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．
则有
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据正态分布 函数的性质：正态分布曲线是一条关于 对称，在 处取得最
大值的连续钟形曲线； 越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且
弯曲较陡峭，选A．
4．（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有 种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有 中，
由古典概型的概率公式得概率为 .
故选：D
5．（湖北·高考真题）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
6．（山东·高考真题）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，
其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【详解】试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
二、填空题
7．（全国·高考真题）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 .若 在(0，1)内取值的概率
为0.4，则 在(0，2)内取值的概率为 .
【答案】0.8
【分析】利用正态分布的对称性求解即可
【详解】因为正态分布的平均数为1，
所以
所以
故答案为： 0.8
三、解答题
8．（湖南·高考真题）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每
名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 ，参加过
计算机培训的有 ．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记 为3人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望.【答案】(1)0.9
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率
和期望运算求解.
【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事
件B，
由题意可知：事件A与B事件独立， ，则 ，
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率 ，
故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率
（2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数 服从二项分布 ，则 ，
， ，
， ，
的分布列：
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
的期望 .
9．（全国·高考真题）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【详解】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数
据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为 的点．均值为每个
矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）
由已知得，
，故 ；（ii）某用户从该企业购买
了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间 的
产品件数 ，故期望 ．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，
．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
10．（山东·高考真题）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法
如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A，A，A，A，
1 2 3 4
A，A 和4名女志愿者B，B，B，B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
5 6 1 2 3 4
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的频率．
1
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【详解】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为X 0 1 2 3 4
P
进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含
的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为： .则
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是 =
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分
布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利
用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学
应用意识、基本运算求解能力等.
11．（四川·高考真题）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾
取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概
率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2
件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率．
【答案】(1)0.7599；
(2)答案见详解.
【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出 件进行检验至
少有 件是合格的概率；
（2）根据超几何分布求出对应的概率，结合对立事件概率公式，即可求得结果.
【详解】（1）记“厂家任取 件产品检验，其中至少有 件事合格品”为事件A
用A的对立事件来算，有 ；
（2）设商家检验出不合格产品的件数为 ，则 的可能取值为0,1,2，
，
，
，
所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为 、 ；
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件 ，
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为 .
12．（全国·高考真题）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位
专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的
概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
【答案】（1） 0.4 （2）见解析
【分析】（1）由题意，稿件被录用或者稿件能通过两位初审专家的评审，或者稿件恰能通过一位初审专
家的评审且能通过复审专家的评审，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式，即得解；
（2）由题意 ，由二项分布的概率公式和期望公式，即得解
【详解】（1）记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+BC,
= =
=0.25+0.5×0.3=0.40.
（2）由题意， ，且
分布列如下：
期望 .
