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二项分布、超几何分布与正态分布
9-8
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
9-8 二项分布、超几何分布与正态分布..........................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：二项分布.....................................................................................................................................1
考点2：超几何分布................................................................................................................................2
考点3：正态分布.....................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 二项分布......................................................................................................................................4
题型二 超几何分布.................................................................................................................................4
题型三 正态分布......................................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验称
为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点2：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取
的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称
随机变量X服从超几何分布．
考点3：正态分布
1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝· ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【常用结论总结】
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何
分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，
进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，二、分类题型
题型一 二项分布
【例题精析1】 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在 内的概率．
【例题精析2】 为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启
动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配
置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概
率都为 ，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
(1)写出X的分布列；
(2)求出计算机网络不会断掉的概率．
【例题精析3】 设 服从二项分布 ，则 .
【例题精析4】 已知随机变量 ，且 ，则 .
【例题精析5】 已知随机变量 ，且 ，则 .
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．【对点精练1】 某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每
个箱子中放入的奖品个数 满足 ，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游
戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参
与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该
游戏．
(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的数学期望．
【对点精练2】 从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.求X的分布、
期望与方差.
【对点精练3】 一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件
是相互独立的，并且概率都是 .
(1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【对点精练4】 袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差.
【对点精练5】 已知随机变量 ，若 ，则 ．
【对点精练6】 设随机变量 ，满足 ．若 ，则 ．
【对点精练7】 已知随机变量 ，若 最大，则 ．题型二 超几何分布
【例题精析6】 某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示
选出女生的人数，则 .
【例题精析7】 某企业生产的 个产品中有 个一等品、 个二等品，现从这些产品中任意抽取 个，则其中
恰好有 个二等品的概率为 .
【例题精析8】 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率．
【例题精析9】 袋中有10个大小与质地相同的球，其中7个是红球.从中任取5个球，求取出的球中红球个
数X的分布.
【例题精析10】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
求：
(1)X的分布；
(2)X的期望与方差；
(3)“所选3人中女生人数 ”的概率.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的
特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个
体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点精练8】 从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率
为 ．
【对点精练9】 设随机变量 ，则 .【对点精练10】 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中
随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当 最大时， ．
【对点精练11】 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合
格的概率．
题型三 正态分布
【例题精析11】 已知随机变量 ，若 ，则实数 的值为 .
【例题精析12】 一批灯泡的使用时间 （单位：小时）服从正态分布 ，则这批灯泡使用时间
在 内的概率是 ．
【例题精析13】 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，且
的最小值为－3，则 ．
【例题精析14】 若随机变量 ，且 ，则 ．
【例题精析15】 某种红糖的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间
的约有 袋．（质量单位： ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【例题精析16】 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机
变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量 ，当 充
分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似，且正态随机变量 的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的 进行了证明.
现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为
.
（附：若 ，则 ， ，
）
【例题精析17】 某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩 ，则这次统测数学及格的人数约
为（满分150分，不低于90分为及格） ．
（附： ， ）
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可
求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，
从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
【对点精练12】 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【对点精练13】 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
【对点精练14】 已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【对点精练15】 设随机变量 ，其中 ，则 的值为 .
【对点精练16】 若 ，且 ，则 .
【对点精练17】 若随机变量 ，且 ，则 .【对点精练18】 已知随机变量 ， ，且 ， ，则
．
【对点精练19】 已知随机变量 ，且 ，则 .
【对点精练20】 已知 ，且 ，则 .
参考数据： ， ，
.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•西安校级三模）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量
称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似，且正态随机变量 的期望和
方差与二项随机变量 的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形，1812年，拉普拉斯
对一般的 进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数
超过60次的概率为
（ 附 ： 若 ， 则 ， ，
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.00142．（2023•一模拟）已知随机变量 ，且 ，则
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
3．（2023•涟源市模拟）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值
为
A．9 B．7 C．5 D．4
4．（2023•巴宜区校级四模）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数 服从正态分布 ， ，
考生共50000人，估计数学单科分数在 分的学生人数约为
（ 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ，
，
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
5．（2023•江宁区校级二模）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．
某新能源汽车制造企业为调查其旗下 型号新能源汽车的耗电量（单位： 情况，随机调查
得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量 ，若 ，则样本中
耗电量不小于 的汽车大约有
A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆
6．（2023•深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩 （满分：100分）服从正态分布： ，
且 ， ，
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
7．（2023•深圳模拟）设随机变量 ， ，若 ，则 的值为A． B． C．3 D．5
8．（2023•吉州区校级一模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1
9．（2023•保定三模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
10．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50次坐公交车和骑自行车所
花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布， ， ，
， ． 和 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是
A． B．
C． D．
11．（2023•盐城一模）某种品牌手机的电池使用寿命 （单位：年）服从正态分布 ， ，且
使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为
A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1
12．（2023•宁波二模）设随机变量 服从正态分布， 的分布密度曲线如图所示，若 ，则与 分别为
A． B． C． D．
13．（2023•琼山区校级模拟）某市一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 近似服从正态分布
，且 ．现从该市参加此次考试的考生中随机抽取 700人作进一步分析，则这
700人中此次检测数学成绩不低于99分的人数约为
A．100 B．125 C．150 D．175
14 ． （ 2023• 市 中 区 校 级 二 模 ） 已 知 随 机 变 量 ， 且 ， 则
的最大值为
A． B． C． D．
15．（2023•山东模拟）设随机变量 ，且 ， ，则
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
16．（2023•枣庄二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩
近似服从正态分布 ， ，则数学成绩位于 ， 的人数约为
参考数据： ， ， ．
A．455 B．2718 C．6346 D．954517．（2023•温州模拟）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
A． B． C． D．
18．（2023•雨花区校级一模）若 ，则当 ，1，2， ，100时
A． B．
C． D．
19．（2023•南京三模）设随机变量 ，2， ，则 ．
20．（2023•济南三模）已知随机变量 ， ，其中 ， ， ，
，则 ．
21．（2023•湖北模拟）已知随机变量 服从 ，则当 时，概率 最大．
22．（2023•曲靖模拟）已知随机变量 ，若 ，则 ．
23．（2022•锦江区校级模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲
乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组
能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 ．甲、乙两个小组的选题以及对每题
的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
24．（2017•启东市校级模拟）设有3个投球手，其中一人命中率为 ，剩下的两人水平相当且命中率均为
， ，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为 ．
（1）当 时，求数学期望 及方差 ；
（2）当 时，将 的数学期望 用 表示．25．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5， ，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的
跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点
向前跳两步．
（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为 ，求 和 ；
（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．
26．（2014•上海模拟）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩
具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（2）设 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求 的分布列及期望 ．
