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二项分布、超几何分布与正态分布
9-8
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
9-8 二项分布、超几何分布与正态分布..........................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：二项分布.....................................................................................................................................1
考点2：超几何分布................................................................................................................................2
考点3：正态分布.....................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 二项分布......................................................................................................................................4
题型二 超几何分布.................................................................................................................................4
题型三 正态分布......................................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验称
为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点2：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取
的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称
随机变量X服从超几何分布．
考点3：正态分布
1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝· ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【常用结论总结】
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何
分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，
进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，二、分类题型
题型一 二项分布
【例题精析1】 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在 内的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这
是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解.
（2）根据条件得到重复抛掷10次正面朝上出现的频率在 得到 ，再结合二项分布即可求
解.
【解答】（1）设 “抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则 ,
设 表示事件A发生的次数，则 ．
则恰好出现5次正面朝上即 ，
所以 ，
故恰好出现5次正面朝上的概率为 .
（2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为 ，
重复抛掷10次正面朝上出现的频率在 内，即 ．所以 ．
【例题精析2】 为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启
动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配
置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概
率都为 ，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
(1)写出X的分布列；
(2)求出计算机网络不会断掉的概率．
【答案】(1)分布列见解析(2)0.999
【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解；
（2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解.
【解答】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即 ．
因此
，
，
，
，
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即 ，
因此所求概率为 ．
【例题精析3】 设 服从二项分布 ，则 .
【答案】 /
【分析】利用二项分布的期望公式计算作答.【解答】因为 服从二项分布 ，所以 .故答案为：
【例题精析4】 已知随机变量 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】由二项分布的均值计算公式可求出 ，则 ，化简即可得出答案.
【解答】因为随机变量 ，且 ，则 ，解得： ，
.故答案为： .
【例题精析5】 已知随机变量 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.
【解答】解：因为随机变量 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．【对点精练1】 某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每
个箱子中放入的奖品个数 满足 ，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游
戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参
与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该
游戏．
(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)
【分析】（1）先求得 ，然后求得 的概率分布，进而求得甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率.
（2）根据二项分布的知识求得 的概率分布，进而求得数学期望.
（3）根据二项分布的期望计算公式求得正确答案.
【解答】（1）因为每个箱子中放入的奖品个数 满足 ，
所以 ，则 ，所以 的概率分布为：
1 2 3 4 5
P
设事件 为甲能从1号箱子中取走一个奖品，
则 ，
所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为 .
（2） ，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为 ，所以 ，所以 ， ，X的概率分布为：
0 1 2 3 4
所以X的数学期望为 ．
或 ．
（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以 ，所以Y的数学期望为 ．
【对点精练2】 从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.求X的分布、
期望与方差.
【答案】答案见详解
【分析】根据古典概型的概率计算公式可得从52张扑克牌中任取一张牌是黑桃的概率是 ，X服
从二项分布，即 ，进而可得解.
【解答】52张扑克牌中有13张黑桃，从中任取一张牌是黑桃的概率是 ，从中任取5张牌，用X
表示其中黑桃的张数，则X服从二项分布，即 ，
X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
，
，，
，
，
.
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
，
.
【对点精练3】 一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件
是相互独立的，并且概率都是 .
(1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）写出随机变量X的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列；
（2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为 ，即可求得结果.
【解答】（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布，
易知X的所有可能取值为 ，可知 ，
,
,
,
,
,
；
所以X的分布为
0 1 2 3 4 5 6
（2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为 ，
所以途中至少遇到一次红灯的概率为 .
【对点精练4】 袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)分布列答案见解析，【解答】（1）有放回抽样时，取到的黑球数 可能的取值为 .又由于每次取到黑球的概率均为，3
次取球可以看成3次独立重复试验，则 .
； ； ；
.
因此， 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）不放回抽样时，取到的黑球数 可能的取值为 ，且有：
； ； .
因此， 的分布列为
0 1 2
.
【对点精练5】 已知随机变量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】 ，二项分布的性质，算出 ，在使用 即可.【解答】因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．答案为：
【对点精练6】 设随机变量 ，满足 ．若 ，则 ．
【答案】 /1.5
【分析】由题设有 求出参数 ，再由二项分布方差公式求 ，最后根据方差的
性质求 .
【解答】由 ，故 ，则 ，
所以 ，则 ，而 ，则 .故答案为：
【对点精练7】 已知随机变量 ，若 最大，则 ．
【答案】24
【分析】先根据 解出 ，再根据二项分布的方差公式求出 ，再计算
即可.
【解答】由题意知： ，要使 最大，有
，化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
故答案为：24.
题型二 超几何分布
【例题精析6】 某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示
选出女生的人数，则 .
【答案】 /
【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.
【解答】由题意，从3名男生，2名女生中任选2名同学参加科技节无人机表演，
则选出女生的人数为1的概率 .
故答案为： .
【例题精析7】 某企业生产的 个产品中有 个一等品、 个二等品，现从这些产品中任意抽取 个，则其中
恰好有 个二等品的概率为 .
【答案】
【分析】由题意可知该问题属于超几何分布，代入其公式计算即可求得结果.【解答】根据题意可知，任意抽取 个共有 种抽法，
则其中恰好有 个二等品的抽法共有 种，
因此任意抽取 个，则其中恰好有 个二等品的概率为 .
故答案为：
【例题精析8】 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率．
【答案】
【分析】设X表示选出的5名学生中含甲的人数，可知X服从超几何分布，求解即可.
【解答】X表示选出的5名学生中含甲的人数，X的可能取值为0或1，
则X服从超几何分布，且 ， ， ．
因此甲被选中的概率 ．
【例题精析9】 袋中有10个大小与质地相同的球，其中7个是红球.从中任取5个球，求取出的球中红球个
数X的分布.
【答案】分布列见解析
【分析】根据超几何分布的知识求得 的概率分布.
【解答】由题意，袋中有红球7个，其它颜色的有3个，故 的可能取值为 ，
，
，
所以 的分布列为
【例题精析10】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求：
(1)X的分布；
(2)X的期望与方差；
(3)“所选3人中女生人数 ”的概率.
【答案】(1)分布列见解析；(2) (3)
【分析】（1）利用超几何分布可求X的分布；（2）利用超几何分布的期望与方差公式求解
（3）利用互斥事件的概率公式求解即可
【解答】（1）由题意可得： 可取0，1，2， ，
所以 ，
分布列如下：
0 1 2
（2）易得 ；
（3）由（1）可知“所选3人中女生人数 ”的概率为 .
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的
特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个
体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点精练8】 从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率
为 ．【答案】 /0.175
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【解答】恰有2个中果的概率为 ．故答案为：
【对点精练9】 设随机变量 ，则 .
【答案】
【分析】根据超几何分布计算公式可得 .
【解答】由随机变量 服从超几何分布 ，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数
为10，根据超几何分布公式可得 .故答案为：
【对点精练10】 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中
随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当 最大时， ．
【答案】17.8/
【分析】首先分析超几何分布最大项确定 的值，再通过超几何分布的期望公式求出 的值，即可求
出 .
【解答】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
， 最大时，即 最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设 则令
；故当 时， 严格增加，
当 时， 严格下降，
即 时取最大值，此题中 ，
根据超几何分布的期望公式可得 ， 故答案为：17.8
【对点精练11】 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合
格的概率．
【答案】
【分析】根据超几何分布的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解.
【解答】设抽取的10个零件中不合格品数为随机变量 ，则随机变量 服从超几何分布，
且 ， ， ，可得随机变量 的分布列为 ， ，
所以 则至少有1件不合格的概率为 ．题型三 正态分布
【例题精析11】 已知随机变量 ，若 ，则实数 的值为 .
【答案】1
【分析】根据正态分布的对称性即可解得实数 的值；
【解答】由随机变量 ，且 ，
所以 与 关于 对称，
即 ，解得 ；
故答案为：1
【例题精析12】 一批灯泡的使用时间 （单位：小时）服从正态分布 ，则这批灯泡使用时间
在 内的概率是 ．
【答案】
【分析】利用3 原则即可得到概率.
【解答】因为 ， ，
则
故答案为： .
【例题精析13】 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，且
的最小值为－3，则 ．
【答案】0.2
【分析】先根据对称性求参，再根据正态分布的对称性求概率即可.
【解答】因为 的最小值为－3，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
即根据正态分布的对称性，正态分布 的正态密度曲线关于 对称，即 ，而 ，所以 ，故 ，
故答案为:0.2．
【例题精析14】 若随机变量 ，且 ，则 ．
【答案】 /
【分析】利用正态曲线的对称性求出 的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出
，代值计算即可得解.
【解答】因为 ，且 ，则 ，
所以， .
故答案为： .
【例题精析15】 某种红糖的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间
的约有 袋．（质量单位： ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】4093
【分析】根据正态分布的对称性，结合 求解即可.
【解答】由题意知， ，
所以 ， ，得，
所以袋装质量在区间 的约有 袋．
故答案为：4093
【例题精析16】 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机
变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量 ，当 充
分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似，且正态随机变量 的期望和方差与二项随机变量
的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的 进行了证明.
现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为
.
（附：若 ，则 ， ，
）
【答案】0.977
【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的 原则求解即可.
【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为 ,则 ,
故 ， ，
由已知得 ，且 , ,
因为 ，
所以 ,解得 ，
所以 ,
故答案为：0.977.【例题精析17】 某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩 ，则这次统测数学及格的人数约
为（满分150分，不低于90分为及格） ．
（附： ， ）
【答案】190
【分析】由题意得 ， ，然后根据正态分布的性质结合已知求出 的概率，从而可估计
出数学及格的人数.
【解答】依题意 ， ，
， ，
，则 ．故答案为：190
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可
求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，
从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
【对点精练12】 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】0.1/
【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.
【解答】由于随机变量 服从正态分布 ，
由 可得 ，故 ，
故 ，故 ，
故答案为：0.1
【对点精练13】 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合 ，即可求解.
【解答】随机变量 服从正态分布 ，可得正态分布曲线关于 对称，
因为 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
【对点精练14】 已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】3
【分析】由正态曲线，可得 ，然后由基本不等式可得 的最小值.
【解答】因为 ，且 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
因为 ，即 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：3
【对点精练15】 设随机变量 ，其中 ，则 的值为 .
【答案】1【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【解答】由题意，正态曲线关于直线 对称，因为 ， ，
根据对称性可得 ，即 ，
故答案为：1.
【对点精练16】 若 ，且 ，则 .
【答案】 /
【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.
【解答】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为 ，
由正态分布的对称性可得 .故答案为：
【对点精练17】 若随机变量 ，且 ，则 .
【答案】0.82
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【解答】由正态分布的对称性知 .故答案为：0.82.
【对点精练18】 已知随机变量 ， ，且 ， ，则
．
【答案】0.2/
【分析】由二项分布与正态分布的性质计算即可.
【解答】因为随机变量 且 ，
所以 ，所以 ，
故 ，由因为 ，所以 ，则 .所以 .故答案为：0.2
【对点精练19】 已知随机变量 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率.
【解答】因为 ，所以正态曲线的对称轴为 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
【对点精练20】 已知 ，且 ，则 .
参考数据： ， ，
.
【答案】0.84
【分析】根据题意可得 ， 可得 ，进而由结合正态分布的对称性可得
，代入运算求解．
【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以
.故答案为：0.84．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•西安校级三模）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量
称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似，且正态随机变量 的期望和
方差与二项随机变量 的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形，1812年，拉普拉斯
对一般的 进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数
超过60次的概率为
（ 附 ： 若 ， 则 ， ，
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出 ， ，再结合
正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，
设硬币正面向上次数为 ，
则 ，
故 ， ，
由题意可得， ，且 ， ，
，用 正 态 分 布 近 似 估 算 硬 币 正 面 向 上 次 数 超 过 60 次 的 概 率 为
．
故选： ．
【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
2．（2023•一模拟）已知随机变量 ，且 ，则
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
【分析】根据正态分布的定义，先求出 ，再结合 即可得到答案．
【解答】解：由 ，知 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查
曲线的对称性，属于基础题．
3．（2023•涟源市模拟）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值
为
A．9 B．7 C．5 D．4
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解： 随机变量 服从正态分布 ，若 ，
，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
4．（2023•巴宜区校级四模）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数 服从正态分布 ， ，
考生共50000人，估计数学单科分数在 分的学生人数约为（ 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ，
，
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
【分析】利用 区间上的概率及正态分布的对称性求 ，进而估计区间人数．
【解答】解：由题设
，
所以数学单科分数在 （分 的学生人数约为 人．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（2023•江宁区校级二模）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．
某新能源汽车制造企业为调查其旗下 型号新能源汽车的耗电量（单位： 情况，随机调查
得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量 ，若 ，则样本中
耗电量不小于 的汽车大约有
A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆
【分析】根据正态分布的性质，求出 ，再由样本容量求频数．
【 解 答 】 解 ： 因 为 ， 且 ， 所 以
，
所以样本中耗电量不小于 的汽车大约有 （辆 ．故选： ．
【点评】本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6．（2023•深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩 （满分：100分）服从正态分布： ，
且 ， ，
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 正 态 分 布 的 性 质 可 得 ， 又 由
，计算可得答案．
【解答】解：根据题意， ，且 ，
则 ，
又由 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布的性质，涉及互斥事件概率的计算，属于基础题．
7．（2023•深圳模拟）设随机变量 ， ，若 ，则 的值为
A． B． C．3 D．5
【分析】根据正态分布的对称性可解．
【解答】解：因为随机变量 ， ， ，
则根据正态分布的对称性 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布的对称性，属于中档题．8．（2023•吉州区校级一模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【分析】根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 ．
【解答】解： 随机变量 服从正态分布 ，
正态曲线的对称轴是 ．
又 ，
，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属
于基础题．
9．（2023•保定三模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【分析】根据正态分布的对称性即可计算．
【解答】解：因为 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．
10．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50次坐公交车和骑自行车所
花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布， ， ，
， ． 和 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是A． B．
C． D．
【分析】根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可．
【解答】解：由 ， ，得 ， 错误；
由正态密度曲线图像可知， ， ， ， 错误；
由正态密度曲线图像可知， ，所以 ， 正确；
由正态密度曲线图像可知， ， ，所以 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查
曲线的对称性，属于基础题．
11．（2023•盐城一模）某种品牌手机的电池使用寿命 （单位：年）服从正态分布 ， ，且
使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为
A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1
【分析】根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题得： ，故 ，
因为 ，所以根据对称性得： ．
故选： ．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（2023•宁波二模）设随机变量 服从正态分布， 的分布密度曲线如图所示，若 ，则
与 分别为
A． B． C． D．
【分析】根据题意和正态曲线即可求得 ，又根据正态曲线可得 ， ，进而即可求得
．
【解答】解：根据题意，且 ，则 ，
由正态曲线得 ， ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．
13．（2023•琼山区校级模拟）某市一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 近似服从正态分布
，且 ．现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700人作进一步分析，则这
700人中此次检测数学成绩不低于99分的人数约为
A．100 B．125 C．150 D．175
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：绩 近似服从正态分布 ，且 ，
则 ，故 ，
现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700人作进一步分析，
则这700人中此次检测数学成绩不低于99分的人数约为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
14 ． （ 2023• 市 中 区 校 级 二 模 ） 已 知 随 机 变 量 ， 且 ， 则
的最大值为
A． B． C． D．
【分析】根据正态分布的性质求出 的值，则 ，令 ，
，则 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可得解．
【解答】解：因为随机变量 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
15．（2023•山东模拟）设随机变量 ，且 ， ，则
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
【分析】由题知 ， ，进而根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：因为随机变量 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以根据正态分布的对称性， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
16．（2023•枣庄二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩
近似服从正态分布 ， ，则数学成绩位于 ， 的人数约为
参考数据： ， ， ．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解： ，
则数学成绩位于 ， 的人数约为 ．
故选： ．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
17．（2023•温州模拟）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据正态曲线的对称性直接求出概率值．
【解答】解：因为随机变量 服从正态分布 ，且 ，
由于正态曲线的对称轴是 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了正态分布曲线中概率计算问题，注意正态曲线的对称性应用，是基础题．
18．（2023•雨花区校级一模）若 ，则当 ，1，2， ，100时
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可知， ，得到 ，又 为整数，求出 值，逐项判断即
可．
【解答】解：根据题意可知，
，
即 ，解得 ，
又 为整数，故 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查二项分布求概率最值，属于基础题．
二．填空题（共4小题）19．（2023•南京三模）设随机变量 ，2， ，则 ．
【分析】根据超几何分布分布列计算公式，计算出 ．
【解答】解：由于 符合超几何分布，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本小题主要考查超几何分布的概率公式，属于基础题．
20．（2023•济南三模）已知随机变量 ， ，其中 ， ， ，
，则 0.2 ．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望公式，求出 ，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解： ， ， ，
则 ，
，
则 ，
故 ，
所以 ．
故答案为：0.2．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
21．（2023•湖北模拟）已知随机变量 服从 ，则当 5 或 6 时，概率 最大．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：随机变量 服从 ，则 ，
概率 最大，
则 且 ，
即
且 ，
即 且 ，解得 ，
，
或 ．
故答案为：5或6．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
22．（2023•曲靖模拟）已知随机变量 ，若 ，则 ．
【分析】由 可得 ，进而可求解答案．
【解答】解：已知 ，
则 ，
，解得 或 （因为 ，故舍去）．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
三．解答题（共4小题）
23．（2022•锦江区校级模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲
乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组
能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 ．甲、乙两个小组的选题以及对每题
的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【分析】（1）根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
（2）结合超几何分布的概率公式，二项分布的概率公式求出概率，再分别求出两种情况的期望与方差，
通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1） 这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，
甲至少答对两个问题的概率 ．
（2）设甲答对题数为 ， 所有可能取值为1，2，3，
则 ，
，
，
故 ，
．
设乙答对题数为 ，由题意可得，随机变量 ，
故 ， ，
， ，
甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
【点评】本题主要考查了超几何分布和二项分布，数学期望与方差公式，属于中档题．
24．（2017•启东市校级模拟）设有3个投球手，其中一人命中率为 ，剩下的两人水平相当且命中率均为
， ，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为 ．（1）当 时，求数学期望 及方差 ；
（2）当 时，将 的数学期望 用 表示．
【分析】（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项
分布的期望和方差公式进行求解即可；
（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为 ．因为三个人投球得到最
多投入3个，最少0个，得到变量的可能取值，根据相互独立事件和互斥事件的公式得到概率，从而得到
分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
【解答】解：（1） 每位投球手均独立投球一次，
当 时，每次试验事件发生的概率相等，
，由二项分布的期望和方差公式得到结果
，
（2） 的可取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
的分布列为
0 1 2 3
．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与方差和二项分布，
属于中档题．25．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5， ，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的
跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点
向前跳两步．
（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为 ，求 和 ；
（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．
【分析】 由于 表示抛掷骰子二次，质点到达的正整数，由题意则 的取值有3，4，5，并利用随机变
量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．
由题意质点恰好到达正整数6有三种情形，①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4；②抛掷骰子
四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4；③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于 4，二次大于4．
利用独立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；
【解答】解：（Ⅰ） 的可能取值为3，4， （1分）
， ， （4分）
的分布列为
3 4 5
（7分）
（Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形
①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率 ； （8分）
②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为 ；（9分）
③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率 （10分）
所以
即质点恰好到达正整数6的概率为 ． （12分）【点评】此题重在准确理解题意，主要考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，
并利用随机变量的分布列求其期望．
26．（2014•上海模拟）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩
具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（2）设 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求 的分布列及期望 ．
【分析】（1）与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除包括两种情况，一是4个数字都是奇数，
二是4个数中有3个奇数，另一个是2，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率
公式，得到结果．
（2） 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知 的可能取值是0，1，2，3，4，根据符合
二项分布，得到变量的分布列和利用二项分布的期望公式，得到期望．
【解答】解：（1）不能被4整除的有两种情形；
①4个数均为奇数，概率为
②4个数中有3个奇数，另一个为2，
概率为
这两种情况是互斥的，
故所求的概率为
（2） 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知 的可能取值是0，1，2，3，4，
根据符合二项分布，得到
， 1 ， 2 ， 3 ， ， 的 分 布 列 为服从二项分布 ，
．
【点评】本题考查二项分布与 次独立重复实验的模型，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个可
以出现在理科高考试卷中的一道解答题目．
