文档文本内容
专题 03 三个二次关系及解不等式
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 考点05 分式不等式的解法
▶高阶思维・探究拓展
考点01 一元二次不等式的解法
考点02 三个二次的关系 难点解读01 高次不等式的解法
考点03 一元二次不等式恒成立 难点解读02 绝对值不等式的解法
考点04 一元二次函数根的分布
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶考点聚焦・解法深研 题型06 一元二次方程根的分布
▶重难攻坚・考法深研
题型01 解含参的一元二次不等式
题型02 三个二次的关系 重难点01 解分式、高次、绝对值不等式
题型03 一元二次不等式在R上恒成立或能成立 ▶易错剖析・避坑攻略
题型04 一元二次不等式在区间上恒成立
易错点01 忽略二次项系数的讨论
题型05 一元二次不等式在区间上有解
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）；
②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若可以因式分解，则能求出两根来；
③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况．
④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论
【新题对点练】求关于 的不等式 的解集.考点02 三个二次的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c（a>0）
二次方程 有两相等实根
有两相异实根
无实根
ax2+bx+c=0 b
x ，x (x <x ) x =x =-
(a>0)的根 1 2 1 2 1 2 2a
二次不等式
¿ ¿ R
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
二次不等式
¿ ∅ ∅
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D．
考点03 一元二次不等式恒成立
（1）在R上恒成立（讨论Δ）
① 在 上恒成立 恒成立
ax2+bx+c>0(a≠0) x∈R ⇔¿
② 在 上恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0) x∈R ⇔¿
（2）在区间上恒成立（参变分离或讨论）①若能参变分离，推荐参变分类，建立明确的参数和变量x的关系，并利用函数最值求解。
b
②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口a，对称轴- ，区间端点的
2a
值，可以利用数形结合来讨论。
【新题对点练】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“ , ”为真命题，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点04 一元二次函数根的分布
1、二次函数的根与定值k的位置关系（讨论开口向上的情况 a>0）
两根都小于k， 两根都大于k， 一根小于k，一根大于k，即
即x
1
<k , x
2
<k 即x
1
>k , x
2
>k x
1
<k<x
2
∆>0 ∆>0
{ {
b b
- <k - >k f (k)<0
2a 2a
f (k)>0 f (k)>0
2、二次函数的根与区间的位置关系（讨论开口向上的情况a>0）
两根有且仅有一根在
一根(m , n)内，
两根都在(m , n)外 两根都在(m , n)内
(m , n)内
另一根在(p , q)内{
f (m)>0
∆>0
{ f (n)<0
f (m)>0
{f (m)<0 f (p)<0
f (n)>0 f (m)f (n)<0
f (n)<0 f (q)>0
b
m<- <n
{ f (m)f (n)<0
2a or
f (p)f (q)<0
3、只有一根在(m , n)之间
{ ∆ =0
（1）当f (m)∙f(n)≠0时，分两种情况，方程有两相同的根，且根在(m , n)之间， b 或方
m<- <n
2a
程有两个不相同的根，有一个根在(m , n)之间，一根在(m , n)之外，f (m)∙f (n)<0
（2）当f (m)∙f (n)=0时, 方程有两不同的根，有一个根正好在m或n处，另一个根在(m , n)之间则
∆>0 ∆>0
{ {
f (m)=0 f (n)=0
b 或 b
m<- <n m<- <n
2a 2a
f (n)>0 f (m)>0
【新题对点练】（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的方程 ，求实数 为何
值时？
(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
考点05 分式不等式的解法
分式不等式化成乘法
f(x) ；f(x)
>0⇔f (x)g(x)>0 ≥0⇔¿
g(x) g(x)
f(x) ；f(x)
<0⇔f (x)g(x)<0 ≤0⇔¿
g(x) g(x)
【新题对点练】（2026·重庆渝中·二模）已知不等式 的解集为 或 ，则实数 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2难点解读01 高次不等式的解法
高次不等式--穿针引线法（零点分段法）
①先因式分解，求解对应的方程的根，在数轴上表示出来。
②，从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像
③根据线在数轴上方下方，写出对应的x的范围
难点破解（2025高三·北京·专题练习）不等式 的解集为______.
难点解读02 绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形．
一般的，|f(x)|>g(x)与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)同解；|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解．
一般的，|f(x)|>|g(x)|⇔|f(x)| 2>|g(x)| 2 ⇔f(x) 2>g(x) 2，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对
值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
难点破解 （多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式 对任意实数 恒成
立，则实数 的可能取值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
素养进阶·答题技法突破
题型01 解含参的一元二次不等式
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若可以因式分解，则能求出两根来；
③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况．
④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）解不等式 ．【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于 的不等式 的解集中恰有两个
整数，则 的范围是______；
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，求函数
的定义域．
【变式2】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）（1）关于 的不等式： ；
①当 时，解不等式；
②当 时，解不等式.
（2）已知函数 ，求函数 的值域.
题型02 三个二次的关系
理解一元二次函数、一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，对方程的根与系数之间的关系的应
用。
【典例1】（多选）（2026·西藏林芝·二模）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【典例2】（多选）（2026·河南开封·模拟预测）已知 ，若关于 的方程
有两个不相等的实数根 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为4C．关于 的不等式 的解集为
D． 是关于 的不等式 的一个解
【变式1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集是
D．不等式 的解集为
【变式2】（多选）（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式 的解集为
，则下列说法正确的有（ ）．
A． B．不等式 的解集为
C． D．
题型03 一元二次不等式在R上恒成立或能成立
一元二次不等式在R上恒成立与能成立问题可以只从判别式方面考虑，可以结合图像来理解。
【典例1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【典例2】（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）若不等式 的解集是 ，则 的范
围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型04 一元二次不等式在区间上恒成立
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、∀x∈D，m≤f (x)⇔m≤f (x)
min
2、∀x∈D，m≥f (x)⇔m≥f (x)
max
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）不等式 对任意 恒成立，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·广东汕头·模拟预测）对于任意的 ，都有 和
恒成立，其中a，b为实数．则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2026·山东枣庄·二模）已知 ， ．则 的取值范围是
______．
【变式2】（2026·吉林·三模）若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
题型05 一元二次不等式在区间上有解
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、∃x∈D，m≤f (x)⇔m≤f (x)
max
2、∃x∈D，m≥f (x)⇔m≥f (x)
min
【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）若关于x的不等式 在区间 上有解，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）当 时，关于x的不等式 有解的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，
，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【变式2】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）设函数 ，若 ， ，则m
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
题型06 一元二次方程根的分布
根的分布由三个关键因素决定：判别式（是否有实根）、对称轴（根的大致位置）、区间端点的函数值
符号（根是否在区间内）。
【典例1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“ ”是“关于x的方程 的两根
都大于1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）方程 有一正根和一负根的充分不必要
条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于 的二次方程 在 上至多有
一个解”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）若方程 在区间 上有两个不等实根，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
重难点01 解分式、高次、绝对值不等式
分式不等式：移项通分化为相乘的形式，转化为分子分母同号（或异号）的不等式组，利用“穿根法”
求解。注意分母不能为零，且不能直接去分母。
高次不等式：因式分解，画出数轴标出各根，从右上方开始“穿根”（奇次根穿过，偶次根弹回），即
可得到不等式解集。
绝对值不等式：利用绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离）或分段讨论去绝对值。
【典例1】（2026·上海普陀·二模）设 ，若关于x的不等式 的解集是 ，则a的
值为______.
【典例2】（2026·天津·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合 ，集合
，则 __________．易错点01 忽略二次项系数的讨论
当方程或不等式中含参数且最高次项为二次时，二次项系数可能为零，此时方程退化（一次或常
数），解法截然不同。必须先讨论系数是否为零，再分情况求解，不能直接默认是一元二次问题。
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）关于 的方程 有实数根，则 的最大整数值
是________．
【典例2】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题 为真命题，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则
的取值范围是________．
优题精练·专题实战通关
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．2．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在 ，使得不等式 成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三·全国·专题练习）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值范
围是______．
4．（2026·天津河东·二模）已知二次函数 ，若对于任意 ，都有 成立，
则实数 的取值范围是________．
5．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数 使得 对于任意的 恒成立，
则 最小值为____________．
解法三：平口单峰：由题意得 对任意的 恒成立，
根据平口单峰函数可得 ，令 ，易得 ，所以 ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ，
所以 .
6．（25-26高三上·河北·期中）设函数 .
(1)命题 ，使得 成立.若 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 的解集.
7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程 的两根一个比2大另一个比2小，则
实数m的范围是 ____________ .8．（2026·北京房山·二模）设集合 ，
，给出下列四个结论：
① 且 ；
② 且 ；
③ 若 ，则 且 ；
④ 若 且 ，则 ．
其中正确结论的序号是____．
9．（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）关于x的不等式 的解集为
，则（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式 的解集为______
